离散数学 命题逻辑的推理理论

推理理论----直接证法一、推理理论1.定义1-8.1 设A和C两个命题公式，当且仅当A→C为重言式，即A ⇒ C.称C是A的有效结论，或C可由A 逻辑地推出.称已知的A为前提。

得到的C为前提的有效结论.实际上，推理的过程就是证明蕴含式的过程，即令H 1，H 2，…，H m 是已知的命题公式(前提)，若有H 1∧H 2∧....∧H m C ，则称C 是一组前提H 1，H 2，…H m 的有效结论，简称结论.1、真值表法（1）检查真值表中H1，H2,…Hm全部为“T”的所有行，看结论C是否也均为“T”，若C均为“T”，则结论有效.否则结论无效.（2）看结论C为“F”的所有行，检查每行前提H1，H2,…H m中是否至少有一个为F，若有“F”，则结论有效；若有均为“T”的行，则结论无效.二、推理方法例1 求证⌝P ∧ (P∨Q) ⇒Q.证明考察真值表P Q ⌝P P∨Q QF F T F FF T T T TT F F T FT T F T T 由真值表可以看出⌝P ∧ (P∨Q) ⇒Q.2、直接证法由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据已知的等价或者蕴含公式，推演得到有效的结论.•规则P(引入前提规则)：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用.•规则T(引入结论规则)：在推导中，如果有一个或多个公式、重言蕴涵公式S，则公式S可以引入推导中.重要的重言蕴涵式(如教材第43页所示)I1.P∧Q⇒P I2. P∧Q⇒QI3. P⇒P∨Q I4. Q⇒P∨QI5. ⌝P⇒P→Q I6. Q⇒P→QI7. ⌝(P→Q)⇒P I8. ⌝(P→Q)⇒⌝QI9. P,Q ⇒P∧Q I10. ⌝P∧(P∨Q)⇒Q I11. P∧(P→Q)⇒Q I12. ⌝Q∧(P→Q)⇒⌝P I13. (P→Q)∧(Q→R)⇒P→RI14. (P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)⇒RI15. A→B ⇒(A∨C)→(B∨C)I16. A→B ⇒(A∧C)→(B∧C)重要的等价公式:⌝⌝P⇔P对合律 E1P∧Q⇔Q∧P E3 P∨Q⇔Q∨P 交换律 E2结合律 EP∧(Q∧R)⇔(P∧Q)∧R4E5 P∨(Q∨R)⇔(P∨Q)∨RP∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)分配律 E6E7 P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)德-摩根定律 E⌝(P∧Q)⇔⌝P∨⌝Q8E9⌝(P∨Q)⇔⌝P∧⌝QP∨P⇔P E11 P∧P⇔P幂等律 E10P∨F⇔P E13 P∧T⇔P同一律 E12零律 EP∨T⇔T E15 P∧F⇔F14E16 P→Q⇔⌝P∨Q E17 ⌝(P→Q)⇔P∧⌝QE18 P→Q⇔⌝Q→⌝P E19 P→(Q→R)⇔(P∧Q)→R E20 P ∆ Q ⇔(P→Q)∧(Q→P)E21 P ∆ Q ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q )E22 ⌝(P ∆ Q)⇔ P↔⌝Q吸收律 P∨(P∧Q)⇔P P∧(P∨Q)⇔P互补律 P∨⌝P⇔T P∧⌝P⇔FP ∆ Q ⇔(⌝P∨Q)∧(P∨⌝Q)例2 求证（P→Q）∧（Q→R）∧P ⇒ R.证明序号前提或结论所用规则（从哪几步得到）所用公式(1) P P(2) P→Q P(3) Q T (1)(2) I11(4) Q→R P(5) R T (3)(4) I11 •（注公式I11为： P ∧（P→Q）⇒ Q ）。

离散数学第一章1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。

1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。

A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。

R：我是一名大学生。

1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁PP P0 11 01.2.2 合取联结词∧P∧P Q Q0 0 00 1 01 0 01 1 11.2.3 析取联结词∨P∨P Q Q0 0 00 1 11 0 11 1 11.2.4 条件联结词→P Q Q0 0 10 1 11 0 01 1 11.2.5 双条件联结词?P?P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.6 与非联结词↑P↑P Q Q0 0 10 1 11 0 11 1 0性质：（1）P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。

1.2.7 或非联结词↓P↓P Q Q0 0 10 1 01 0 0性质：（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。

1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。

例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。

离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。

命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。

推理理论中的推理规则（离散数学）推理理论是一个研究推理方法与规则的学问，其中推理规则是重要的一部分。

推理规则是指在一定的条件下，由一个或多个命题出发，推出另一个命题的规则。

在离散数学中，推理规则包括一些基础的规则和一些复杂的规则。

1. 充分必要条件充分必要条件是指一个命题P能成立的充分必要条件是命题Q 成立。

即P⇔Q。

这里的充分必要条件是指两个命题是等价的，即当且仅当P成立时Q成立，Q成立时P也成立。

例如，一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两个相等的角。

2. 反证法反证法是一种常用的推理规则，它常用于证明一个命题的反命题成立。

即假设命题P不成立，通过推理得到矛盾，从而证明了P成立。

例如，证明“所有偶数都不是素数”这个命题可以采用反证法，假设有一个偶数是素数，然后推导出矛盾，从而证明“所有偶数都不是素数”。

3. 等价变形等价变形是指在推理过程中将命题变形成等价的命题。

例如，将P∧Q推导为Q∧P是一种等价变形。

等价变形可以通过逻辑符号的转换、语法规则的变换等方式实现。

4. 全称推理全称推理是指从一个全称命题出发，推出另一个全称命题。

例如，从“对于任意一个自然数n，n+1>n”这个全称命题可以推出“对于任意一个自然数m，m+2>m”。

5. 假言推理假言推理是指从一个条件命题和它的前件出发，推出它的后件的命题。

例如，从“如果今天下雨，那么他就不去逛公园。

今天不下雨”这两个命题可以推出“他会去逛公园”。

6. 假命题推理假命题推理是指从一个假命题出发进行推理，最终得到矛盾。

例如，从假设“1=2”出发，我们可以通过推导得到矛盾，并证明1不等于2。

7. 归谬法归谬法是指从前提推导出矛盾的方法，一般用于证明前提错误的情况。

例如，如果要证明“所有汉语拼音都是辅音加韵母”这个命题是错误的，可以通过归谬法证明，即找出一个汉语拼音不符合这个规则。

8. 消解法消解法是推理中常用的一种方法，可用于在两个命题中推导得到新的命题。

离散数学精选笔记一、集合论基础。

1. 集合的定义与表示。

- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。

通常用大写字母表示集合，如A、B、C等。

- 集合的表示方法有列举法和描述法。

- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，例如A = {1,2,3}。

- 描述法：用谓词来描述集合中元素的性质，例如B={xx是偶数且x < 10}。

2. 集合间的关系。

- 包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A包含于B，记作A⊆ B。

当A⊆ B且A≠ B时，称A是B的真子集，记作A⊂ B。

- 相等关系：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。

3. 集合的运算。

- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。

- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。

- 补集：设全集为U，A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。

- 集合运算的性质：- 交换律：A∩ B = B∩ A，A∪ B=B∪ A。

- 结合律：(A∩ B)∩ C = A∩(B∩ C)，(A∪ B)∪ C=A∪(B∪ C)。

- 分配律：A∩(B∪ C)=(A∩ B)∪(A∩ C)，A∪(B∩ C)=(A∪ B)∩(A∪ C)。

二、命题逻辑。

1. 命题与命题联结词。

- 命题是能够判断真假的陈述句。

例如“今天是晴天”是一个命题。

- 命题联结词：- 否定¬：若P为命题，则¬ P表示“P不成立”。

- 合取wedge：Pwedge Q表示“P并且Q”，当P和Q都为真时，Pwedge Q为真。

- 析取vee：Pvee Q表示“P或者Q”，当P和Q至少有一个为真时，Pvee Q为真。

- 蕴涵to：Pto Q表示“如果P，那么Q”，当P为真Q为假时，Pto Q为假，其余情况为真。

- 等价↔：P↔ Q表示“P当且仅当Q”，当P和Q同真同假时，P↔ Q为真。

2. 命题公式及其分类。

- 命题公式是由命题变元（通常用P、Q、R等表示）和命题联结词按照一定规则组成的符号串。