习题
第一章人寿保险
一、n 年定期寿险
【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。
I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。 解：I
表4–1 死亡赔付现值计算表
年份 年内死亡人数
赔付支出 折现因子 赔付支出现值 （1） （2） （3）=1000*(2)
（4）
（5）=(3)*(4)
1 1 1000 103.1- 970.87
2 2 2000 203.1- 1885.19
3 3 3000 303.1- 2745.43
4 4 4000 403.1- 3553.9
5 5 5 5000 503.1-
4313.04 合计 ---
15000
---
13468.48
根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：
48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----（元）
则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。 解：II
表4–2 死亡赔付现值计算表
年份 年内死亡人数
赔付支出 折现因子 赔付支出现值 （1） （2） （3）=1000*(2)
（4）
（5）=(3)*(4) 1 1000*40q =1.650 1650 103.1- 1601.94 2 1000*40|1q =1.809 1809 203.1- 1705.16 3 1000*40|2q =1.986 1986 303.1- 1817.47 4
1000*40
|
3q =2.181
2181
403.1-
1937.79
5 1000*40
|
4q =2.391
2391 503.1-
2062.50 合计 ---
10017
---
9124.86
根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：
86
.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----q q q q q （元）
则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。 【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：
I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，
)
()(424023414024040|2340|12402
40|11|
3:40q p v q p v vq q v q v vq q v A
k k k ++=++=⨯=∑=+
]05.1001993
.0)001812.01()00165.01(05.1001812.0)00165.01(05.100165.0[
3
2⨯-⨯-+⨯-+=
00492793.0=（元）。
II 、单位赔付现值期望的方差为，
00444265.0)()()()(21
|
3:4040|2640|1440221|3:402
40|)1(221|
3:401|
3:402
=-++=-⨯=-∑=+A q v q v q v A q v A
A
k k k III 、趸缴纯保费为，
28.49100001
|
3:40=⨯A （元）
【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。假设
)
1051(1000x l x -
=，计算趸缴纯保费。
解：趸缴纯保费为，
k
k k k q p A
+=+-⨯⨯=∑5029
50)1(1|
03:5008.1100000100000
其中，
55
55505050k
l l p k k
-==
+，
k
l l l q k k k k -=
-=
++++551
50515050
故，
k k A
k k -⨯-⨯
=∑=+-551
555508.110000010000029
)1(1|
03:50
70
.20468)08.1/1(1)08.1/1(108.115510000030
=--⨯⨯=（元）
二、终身寿险
【例4.4】某人在40岁时投保了10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：
I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，
18853
.0...40|646540|2340|124064
40|140=⨯++⨯+⨯+⨯=⨯=∑=+q v q v q v q v q v A k k k （元）。
II 、单位赔付现值期望的方差为，
00191979
.0)()(24064
40|)1(22
40402
=-⨯=-∑=+A q v A A k k k
III 、趸缴纯保费为，
29
.188********=⨯A （元）
三、n 年定期生存寿险
【例4.5】某人在40岁时投保了10000元20年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：
I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，
342332
.04020201
|02:40=⨯=p v A （元）
II 、单位赔付现值期望的方差为，0313891
.040204020202=⨯⨯⨯q p v
III 、趸缴纯保费为，
32.3423100001
|
02:40=⨯A （元）
纯保费+风险附加费用=365.36)0213183.03423317.0(100))((100=+=+⨯R z E （元） 四、n 年定期两全保险
【例4.6】某人在40岁时投保了10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：
I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，
391722.01
|02:401|
02:40|02:40=+=A A A （元）
II 、单位赔付现值期望的方差为，004261.0)()(2)()()(2121=-+=z E z E z Var z Var z Var
III 、趸缴纯保费为，391722
10000|02:40=⨯A （元）
六、延期寿险
【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在40-60岁死亡，赔付50000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡，保险金为30000元。利用生命表93U 、利率6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。
