北京丰台区第二中学数学 二次函数(篇)(Word版 含解析)

2024届北京市丰台区第二中学中考数学最后冲刺模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如果t>0,那么a+t与a的大小关系是( )A．a+t>a B．a+t<a C．a+t≥a D．不能确定2．已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y （cm2），则y与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（）A3B．2 C．3D．(123+4．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，PB 切⊙O 于点B ，PO 交⊙O 于点E ，延长PO 交⊙O 于点A ，连结AB ，⊙O 的半径OD ⊥AB 于点C ，BP=6，∠P=30°，则CD 的长度是（ ）A ．33B ．32C ．3D ．236．如图，ABC ∆为等边三角形，要在ABC ∆外部取一点D ，使得ABC ∆和DBC ∆全等，下面是两名同学做法：（ ）甲：①作A ∠的角平分线l ；②以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交l 于点D ，点D 即为所求；乙：①过点B 作平行于AC 的直线l ；②过点C 作平行于AB 的直线m ，交l 于点D ，点D 即为所求．A ．两人都正确B ．两人都错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确7．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，M 为EF 的中点，连接DM ，若O 的半径为2，则MD 的长度为( )A 7B 5C ．2D ．18．在国家“一带一路”倡议下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧专列．行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000 km，将13000用科学记数法表示应为( )A．0.13×105B．1.3×104C．1.3×105D．13×1039．七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：以下叙述错误的是（）A．甲组同学身高的众数是160B．乙组同学身高的中位数是161C．甲组同学身高的平均数是161D．两组相比，乙组同学身高的方差大10．若x＞y，则下列式子错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．﹣3x＞﹣3y C．x+3＞y+3 D．x y > 3311．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数12．一个容量为50的样本,在整理频率分布时,将所有频率相加,其和是( )A．50 B．0.02 C．0.1 D．1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若关于x的方程x2+x﹣a+54＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是( )A．﹣1 B．0 C．1 D．214．若两个关于x，y 的二元一次方程组3136mx nyx y+=⎧⎨-=⎩与52428x ny nx y-=-⎧⎨+=⎩有相同的解，则mn 的值为_____．15．若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=223k kx-+（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为________．16．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a），如图，若曲线y＝2x（x＞0）与此正方形的边有交点，则a的取值范围是_______．17．如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是__________．18．因式分解：-2x 2y +8xy -6y =__________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）京沈高速铁路赤峰至喀左段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的13，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?20．（6分）已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果2a PQ a <<，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”.在平面直角坐标系xOy 中，若A （﹣1，1），B （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），D （1，1）.（1）在11,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2132P ⎛ ⎝⎭，(32P 中，正方形ABCD 的“关联点”有_____； （2）已知点E 的横坐标是m ，若点E 在直线3y x =上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围； （3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线31y x =+与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点.如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，求n 的取值范围.21．（6分）如图，在ABC 中，CD AB ⊥，垂足为D ，点E 在BC 上，EF AB ⊥，垂足为F.12∠∠=，试判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由．22．（8分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低．马迹塘一农户需要将A ，B 两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A ，B 产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元，A ，B 两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元∕件）如下表所示： 品种A B 原来的运费45 25 现在的运费 30 20（1）求每次运输的农产品中A ，B 产品各有多少件；（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加8件，但总件数中B 产品的件数不得超过A 产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元．23．（8分）一天，小华和小夏玩掷骰子游戏，他们约定：他们用同一枚质地均匀的骰子各掷一次， 如果两次掷的骰子的点数相同则小华获胜：如果两次掷的骰子的点数的和是6则小夏获胜．（1）请您列表或画树状图列举出所有可能出现的结果；（2）请你判断这个游戏对他们是否公平并说明理由．24．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC 是平行四边形，EB 交⊙O 于点D ，连接CD 并延长交AB 的延长线于点F ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）若∠F=30°，EB=6，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）25．（10分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|26．（12分）平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y=﹣x2+2mx+3m2（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，过点C作直线l的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．（1）当点C（0，3）时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；②求证：∠DCE=∠BCE；（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．27．（12分）计算：（1）﹣12018+|3﹣2|+2cos30°；（2）（a+1）2+（1﹣a）（a+1）；参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、A【解题分析】试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.t＞0，∴a＋t＞a，故选A.考点：本题考查的是不等式的基本性质点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.2、B【解题分析】根据题意，Q 点分别在BC 、CD 上运动时，形成不同的三角形，分别用x 表示即可.【题目详解】（1）当0≤x ≤2时，BQ ＝2x 14242y x x =⨯⨯=当2≤x ≤4时，如下图()()()()211144448242428222y x x x x x x =-+⨯-⨯---⨯⨯-=-++由上可知故选：B .【题目点拨】本题是双动点问题，解答时要注意讨论动点在临界两侧时形成的不同图形，并要根据图形列出函数关系式.3、C【解题分析】过O 作OC ⊥AB ，交圆O 于点D ，连接OA ，由垂径定理得到C 为AB 的中点，再由折叠得到CD=OC ，求出OC 的长，在直角三角形AOC 中，利用勾股定理求出AC 的长，即可确定出AB 的长．【题目详解】过O 作OC ⊥AB ，交圆O 于点D ，连接OA ，由折叠得到CD=OC=12OD=1cm，在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC2+OC2=OA2，即AC2+1=4，解得：3，则3．故选C．【题目点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．4、B【解题分析】分析:根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.详解:∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c=b，∴a+c=0，∴ac＜0，∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．故选B.点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0.5、C【解题分析】连接OB，根据切线的性质与三角函数得到∠POB=60°，3再根据等腰三角形的性质与三角函数得到OC 的长，即可得到CD的长.【题目详解】解：如图，连接OB，∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°，∵BP=6，∠P=30°，∴∠POB=60°，OD=OB=BPtan30°=6×33∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵OD⊥AB，∴∠OCB=90°，∴∠OBC=30°，则OC=123∴3.故选：C．【题目点拨】本题主要考查切线的性质与锐角的三角函数，解此题的关键在于利用切线的性质得到相关线段与角度的值，再根据圆和等腰三角形的性质求解即可.6、A【解题分析】根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论．【题目详解】甲的作法如图一：∵ABC 为等边三角形，AD 是BAC ∠的角平分线 ∴90BEA ∠=︒180BEA BED ∠+∠=︒90BED ∴∠=︒90BEA BED ∴∠=∠=︒由甲的作法可知，AB BD = ABC DBC ∴∠=∠在ABC 和DCB 中，AB BD ABC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC DCB SAS ∴≅故甲的作法正确；乙的作法如图二：//,//BD AC CD AB,ACB CBD ABC BCD ∴∠=∠∠=∠在ABC 和DCB 中，ABC BCD BC BCACB CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC DCB ASA ∴≅故乙的作法正确；故选：A ．【题目点拨】本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．7、A【解题分析】连接OM 、OD 、OF ，由正六边形的性质和已知条件得出OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°，由三角函数求出OM ，再由勾股定理求出MD 即可．【题目详解】连接OM 、OD 、OF ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，M 为EF 的中点，∴OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF•sin ∠MFO=2×32=3， ∴MD=()2222327OM OD +=+=，故选A ．【题目点拨】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM 是解决问题的关键．8、B【解题分析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．将13000用科学记数法表示为：1.3×1．故选B．考点：科学记数法—表示较大的数9、D【解题分析】根据众数、中位数和平均数及方差的定义逐一判断可得．【题目详解】A．甲组同学身高的众数是160，此选项正确；B．乙组同学身高的中位数是161，此选项正确；C．甲组同学身高的平均数是15815916031611697++⨯++=161，此选项正确；D．甲组的方差为807，乙组的方差为347，甲组的方差大，此选项错误．故选D．【题目点拨】本题考查了众数、中位数和平均数及方差，掌握众数、中位数和平均数及方差的定义和计算公式是解题的关键．10、B【解题分析】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；B、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；D、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确．故选B．11、A【解题分析】试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，体现数据的稳定性，集中程度；方差越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．故教练要分析射击运动员成绩的波动程度，只需要知道训练成绩的方差即可．故选A.考点：1、计算器-平均数，2、中位数，3、众数，4、方差12、D【解题分析】所有小组频数之和等于数据总数，所有频率相加等于1.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、D【解题分析】根据根的判别式得到关于a 的方程，求解后可得到答案.【题目详解】关于x 的方程2504x x a +-+=有两个不相等的实数根， 则251410,4a ⎛⎫∆=-⨯⨯-+> ⎪⎝⎭解得： 1.a >满足条件的最小整数a 的值为2.故选D.【题目点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，理解并能运用根的判别式得出方程是解题关键.14、1【解题分析】联立不含m 、n 的方程求出x 与y 的值，代入求出m 、n 的值，即可求出所求式子的值．【题目详解】 联立得：36428x y x y -⎧⎨+⎩＝①＝②， ①×2+②，得：10x=20，解得：x=2，将x=2代入①，得：1-y=1，解得：y=0，则20x y ⎧⎨⎩＝＝， 将x=2、y=0代入3152mx ny x ny n ＝＝+⎧⎨--⎩，得：21102m n ⎧⎨-⎩＝＝， 解得：1212m n ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，则mn=1，故答案为1．【题目点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．15、y 2＜y 1＜y 2【解题分析】分析：设t=k 2﹣2k+2，配方后可得出t ＞1，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y 1、y 2、y 2的值，比较后即可得出结论．详解：设t=k 2﹣2k+2，∵k 2﹣2k+2=（k ﹣1）2+2＞1，∴t ＞1．∵点A （﹣2，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （1，y 2）都在反比例函数y=223k k x-+（k 为常数）的图象上， ∴y 1=﹣2t ，y 2=﹣t ，y 2=t ， 又∵﹣t ＜﹣2t ＜t ， ∴y 2＜y 1＜y 2．故答案为：y 2＜y 1＜y 2．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 2的值是解题的关键．161a ≤≤【解题分析】因为A 点的坐标为（a ，a ），则C （a ﹣1，a ﹣1），根据题意只要分别求出当A 点或C 点在曲线上时a 的值即可得到答案.【题目详解】解：∵A 点的坐标为（a ，a ），∴C （a ﹣1，a ﹣1），当C 在双曲线y=2x 时，则a ﹣1=21a -，解得；当A 在双曲线y=2x 时，则a=2a，解得a=2，∴a的取值范围是2≤a≤2+1．故答案为2≤a≤2+1．【题目点拨】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于根据题意找到关键点，然后将关键点的坐标代入反比例函数求得确定值即可.17、5 2【解题分析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【题目详解】设AP，EF交于O点，∵四边形ABCD为菱形，∴BC∥AD,AB∥CD.∵PE∥BC,PF∥CD，∴PE∥AF,PF∥AE.∴四边形AEFP是平行四边形．∴S△POF=S△AOE.即阴影部分的面积等于△ABC的面积．∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积=12AC BD=5，∴图中阴影部分的面积为5÷2=52．18、－2 y (x－1)( x－3)【解题分析】分析：提取公因式法和十字相乘法相结合因式分解即可.详解：原式()2243,y x x =--+ ()()213.y x x =---故答案为()()213.y x x ---点睛：本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和十字相乘法是解题的关键.分解一定要彻底.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）乙队单独施工需要1天完成;（2）乙队至少施工l8天才能完成该项工程．【解题分析】（1）先求得甲队单独施工完成该项工程所需时间，设乙队单独施工需要x 天完成该项工程，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”列方程解方程即可求解；（2）设乙队施工y 天完成该项工程，根据题意列不等式解不等式即可.【题目详解】（1）由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为1÷13=90（天）．设乙队单独施工需要x 天完成该项工程，则 301515190x++=， 去分母，得x+1=2x ．解得x=1．经检验x=1是原方程的解．答：乙队单独施工需要1天完成．（2）设乙队施工y 天完成该项工程，则 1-363090y ≤ 解得y≥2．答：乙队至少施工l8天才能完成该项工程．20、（1）正方形ABCD 的“关联点”为P 2，P 3；（2）12m ≤≤或12m ≤≤-；（3n ≤≤【解题分析】（1）正方形ABCD 的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），由此画出图形即可判断； （2）因为E 是正方形ABCD 的“关联点”，所以E 在正方形ABCD 的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），因为E 在直线y =上，推出点E 在线段FG 上，求出点F 、G 的横坐标，再根据对称性即可解决问题；（3）因为线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，分两种情形：①如图3中，MN 与小⊙Q 相切于点F ，求出此时点Q 的横坐标；②M 如图4中，落在大⊙Q 上，求出点Q 的横坐标即可解决问题；【题目详解】（1）由题意正方形ABCD 的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），观察图象可知：正方形ABCD 的“关联点”为P 2，P 3；（2）作正方形ABCD 的内切圆和外接圆，∴OF ＝1，2OG =.∵E 是正方形ABCD 的“关联点”，∴E 在正方形ABCD 的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），∵点E 在直线3y x =上，∴点E 在线段FG 上.分别作FF ’⊥x 轴，GG ’⊥x 轴，∵OF ＝1，2OG =∴12OF '=，22OG '=. ∴1222m ≤≤.根据对称性，可以得出2122m-≤≤-.∴1222m≤≤或2122m-≤≤-.（3）∵3,03M⎛⎫-⎪⎪⎝⎭、N（0，1），∴33OM=，ON＝1.∴∠OMN＝60°.∵线段MN上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，①MN与小⊙Q相切于点F，如图3中，∵QF＝1，∠OMN＝60°，∴233 QM=∵3 OM=∴33 OQ=.∴13 3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.②M落在大⊙Q上，如图4中，∵2QM =3OM = ∴32OQ =∴2323Q ⎫⎪⎪⎭. 综上：33233n ≤≤【题目点拨】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.21、DG ∥BC ，理由见解析【解题分析】由垂线的性质得出CD ∥EF ，由平行线的性质得出∠2=∠DCE ，再由已知条件得出∠1=∠DCE ，即可得出结论．【题目详解】解：DG ∥BC ，理由如下：∵CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∴CD ∥EF ，∴∠2=∠DCE ，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCE ，∴DG ∥BC ．【题目点拨】本题考查平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，证明∠1=∠DCE 是解题关键．22、（1）每次运输的农产品中A 产品有10件，每次运输的农产品中B 产品有30件，（2）产品件数增加后，每次运费最少需要1120元．【解题分析】（1）设每次运输的农产品中A 产品有x 件，每次运输的农产品中B 产品有y 件，根据表中的数量关系列出关于x 和y 的二元一次方程组，解之即可，（2）设增加m 件A 产品，则增加了（8-m ）件B 产品，设增加供货量后得运费为W 元，根据（1）的结果结合图表列出W 关于m 的一次函数，再根据“总件数中B 产品的件数不得超过A 产品件数的2倍”，列出关于m 的一元一次不等式，求出m 的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．【题目详解】解：（1）设每次运输的农产品中A 产品有x 件，每次运输的农产品中B 产品有y 件，根据题意得：4525120030201200300x y x y +⎧⎨+-⎩＝＝， 解得：1030x y ⎧⎨⎩＝＝， 答：每次运输的农产品中A 产品有10件，每次运输的农产品中B 产品有30件，（2）设增加m 件A 产品，则增加了（8-m ）件B 产品，设增加供货量后得运费为W 元，增加供货量后A 产品的数量为（10+m ）件，B 产品的数量为30+（8-m ）=（38-m ）件，根据题意得：W=30（10+m ）+20（38-m ）=10m+1060，由题意得：38-m≤2（10+m ），解得：m≥6，即6≤m≤8，∵一次函数W 随m 的增大而增大∴当m=6时，W 最小=1120，答：产品件数增加后，每次运费最少需要1120元．【题目点拨】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用，解题的关键：（1）正确根据等量关系列出二元一次方程组，（2）根据数量关系列出一次函数和不等式，再利用一次函数的增减性求最值．23、（1）36（2）不公平【解题分析】（1）根据题意列表即可；（2）根据根据表格可以求得得分情况，比较其大小，即可得出结论．【题目详解】（1）列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）∴一共有36种等可能的结果，（2）这个游戏对他们不公平，理由：由上表可知，所有可能的结果有36种，并且它们出现的可能性相等，而P（两次掷的骰子的点数相同）61. 366 ==P（两次掷的骰子的点数的和是6）=5. 36∴不公平．【题目点拨】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．24、（1）证明见解析；（2）9﹣3π【解题分析】试题分析：(1)、连接OD，根据平行四边形的性质得出∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，结合OB=OD得出∠DOC=∠AOC，从而证明出△COD和△COA全等，从而的得出答案；(2)、首先根据题意得出△OBD为等边三角形，根据等边三角形的性质得出EC=ED=BO=DB，根据Rt△AOC的勾股定理得出AC的长度，然后根据阴影部分的面积等于两个△AOC的面积减去扇形OAD的面积得出答案.试题解析：（1）如图连接OD．∵四边形OBEC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠DOC=∠AOC，在△COD和△COA中，，∴△COD≌△COA，∴∠CDO=∠CAO=90°，∴CF⊥OD，∴CF是⊙O的切线．（2）∵∠F=30°，∠ODF=90°，∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠4=60°，∵∠4=∠F+∠1，∴∠1=∠2=30°，∵EC∥OB，∴∠E=180°﹣∠4=120°，∴∠3=180°﹣∠E﹣∠2=30°，∴EC=ED=BO=DB，∵EB=6，∴OB=OD═OA=3，在Rt△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=3，∠AOC=60°，∴AC=OA•tan60°=3，∴S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2××3×3﹣=9﹣3π．25、1【解题分析】原式第一项利用乘方法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【题目详解】解：原式=1﹣1×+1+=1﹣+1+=1．【题目点拨】此题考查了含有特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.26、（1）y=﹣x2+2x+3；D（1，4）；（2）证明见解析；（3）m=33；【解题分析】（1）①把C点坐标代入y=﹣x2+2mx+3m2可求出m的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到D点坐标；②如图1，先解方程﹣x2+2x+3=0得B（3，0），则可判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=45°，再证明△CDE为等腰直角三角形得到∠DCE=45°，从而得到∠DCE=∠BCE；（2）抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2，把一般式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=m，顶点D的坐标为（m，4m2），通过解方程﹣x2+2mx+3m2=0得B （3m ，0），同时确定C （0，3m 2），再利用相似比表示出GF=2m 2，则DG=2m 2，接着证 明∠DCG=∠DGC 得到DC=DG ，所以m 2+（4m 2﹣3m 2）2=4m 4，然后解方程可求出m ． 【题目详解】（1）①把C （0，3）代入y=﹣x 2+2mx+3m 2得3m 2=3，解得m 1=1，m 2=﹣1（舍去）， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3； ∵()222314y x x x =-++=--+， ∴顶点D 为（1，4）；②证明：如图1，当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，则B （3，0）， ∵OC=OB ，∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=45°， ∵CE ⊥直线x=1， ∴∠BCE=45°， ∵DE=1，CE=1，∴△CDE 为等腰直角三角形， ∴∠DCE=45°， ∴∠DCE=∠BCE ；（2）解：抛物线的对称轴交x 轴于F 点，交直线BC 于G 点，如图2， ()2222234y x mx m x m m =++=--+﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=m ，顶点D 的坐标为（m ，4m 2）， 当y=0时，﹣x 2+2mx+3m 2=0，解得x 1=﹣m ，x 2=3m ，则B （3m ，0）， 当x=0时，y=﹣x 2+2mx+3m 2=3m 2，则C （0，3m 2）， ∵GF ∥OC ， ∴,GF BF OC BO =即22,33GF mm m= 解得GF=2m 2， ∴DG=4m 2﹣2m 2=2m 2， ∵CB 平分∠DCO ， ∴∠DCB=∠OCB ， ∵∠OCB=∠DGC ， ∴∠DCG=∠DGC ， ∴DC=DG ，即m2+（4m2﹣3m2）2=4m4，∴21 3m，=而m＞0，∴33m=．【题目点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用等腰直角三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．27、(1)1;(2)2a+2【解题分析】（1）根据特殊角锐角三角函数值、绝对值的性质即可求出答案;（2）先化简原式，然后将x的值代入原式即可求出答案．【题目详解】解:（1）原式=﹣1+23+2×32=1;（2）原式=a2+2a+1+1﹣a2=2a+2.【题目点拨】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．。

北京市丰台二中2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷一、选择题：每题只有一个正确选项，请把你认为正确的选项填涂在答题卡上.共12小题，每题5分，计60分.1．（5分）复数z=的虚部为（）A．2 B．2i C．1 D．i2．（5分）下列语句不是命题的是（）A．他的个子很高B．5的平方是20C．北京是中国的一部分D．同角的余角相等3．（5分）已知p，q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直5．（5分）在命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）如图，E、F、G、H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A．五面体B．棱锥C．棱台D．棱柱7．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜08．（5分）若直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是（）A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β9．（5分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．210．（5分）如图是长方体被一平面所截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为长方体的底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．梯形或平行四边形D．不能确定11．（5分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任意一点，则有：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．上述关系正确的题号是（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④12．（5分）如图，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M为BC的中点，则直线EM 与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、填空题：请把你认为正确的结果填写在答题卡对应位置上.共6小题，每题5分，总计30分. 13．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为；类似地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为．14．（5分）将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为：．15．（5分）若=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=（用复数代数式表示）16．（5分）用一个平面去截一个球，若与球心距离为1的截面圆的半径也为1，则该球的体积为．17．（5分）已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．当满足条件时，有m∥β（填所选条件的序号）18．（5分）如图（1），在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD，如图（2）．则在四棱锥P﹣ABCD中，AP 与平面EFG的位置关系为．三、解答题：要写出证明过程或解答过程.19．（15分）如图，在正方体ABCD=A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（1）求证：AD1∥平面EFG；（2）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（3）求异面直线B1D1与EG所成的角度数．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？21．（15分）在数列{a n}中，已知a1=1，且a n+1=．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式；（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想．22．（15分）已知函数f（x）=a x+（a＞1）．（1）试比较f（﹣3）与f（﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．北京市丰台二中2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷参考答案一、选择题：每题只有一个正确选项，请把你认为正确的选项填涂在答题卡上.共12小题，每题5分，计60分.1．（5分）复数z=的虚部为（）A．2 B．2i C．1 D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z，从而求得它的虚部．解答：解：复数z====i，故复数z的虚部为1，故选：C．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）下列语句不是命题的是（）A．他的个子很高B．5的平方是20C．北京是中国的一部分D．同角的余角相等考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：本题考查命题的定义，根据定义逐项判断即可，属于基础题目．解答：解：A、无法判断真假，不是命题，A错误，B，C，D可以判断真假，是命题，正确，故选：A．点评：解题关键是定义：命题是能够判断真假的陈述句．3．（5分）已知p，q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则￢p是假命题，即充分性成立，若￢p是假命题，则p是真命题，此时p∧q是真命题，不一定成立，即必要性不成立，故“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．4．（5分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：由平行公理，若c∥b，因为c∥a，所以a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．异面和相交均有可能．解答：解：a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．故选C点评：本题考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力．5．（5分）在命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：结合互为逆否的两个命题真假性相同，逐一分析命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b 不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题真假，可得答案．解答：解：命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”为真命题，故其逆否命题为真命题；命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题为“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a+b＞0”为假命题；故原命题的否命题也为假命题；故命题“已知a，b都是实数，若a+b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是2个，故选：C点评：本题考查四种命题的真假，本题解题的关键是知道原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性．6．（5分）如图，E、F、G、H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是（）A．五面体B．棱锥C．棱台D．棱柱考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据棱柱的结构特征进行判断．解答：解：截面以下的几何体满足：有两个平面互相平行，其它侧面都是平行四边形，相邻侧面的棱互相平行，这样的立体图形为四棱柱，故选：D．点评：主要考查了棱柱的结构特征，属于容易题．7．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜0考点：命题的否定；全称命题．专题：证明题．分析：根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“∃x0∈M，￢p（x）”即可得出．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．故选A．点评：熟练掌握全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x0∈M，￢p（x）”是解题的关键．8．（5分）若直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是（）A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面垂直的性质、线面平行的判定，即可得出结论．解答：解：直线a⊥直线b，直线a⊥平面β，b⊂β，或b⊄β，若b⊄β，则b∥β，∴b⊂β，或b∥β．故选：D．点评：本题考查线面垂直的性质、线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．9．（5分）如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱锥．解答：解：该几何体为三棱锥，其体积为V=××3×1×2=1，故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．10．（5分）如图是长方体被一平面所截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为长方体的底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．梯形或平行四边形D．不能确定考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，分产生的截面四边形的四个顶点的位置进行讨论．解答：解：如图示时，该截面四边形为平行四边形，当截面产生的两个四个交点，其中两个为下底面的产生的，两个为截面与上底面产生时，此时截面四边形为梯形，故截面四边形可能为梯形或平行四边形，故选：C．点评：本题重点考查了空间中棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于容易题．注意分类讨论思想在求解问题中的灵活运用．11．（5分）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任意一点，则有：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．上述关系正确的题号是（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面，可得A正确，由圆的性质可得AC⊥BC，可得B正确，由B 及线面垂直的性质可得D正确．解答：解：由题意可得AC⊥BC，由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面可知PA⊥BC，故①正确，⇒BC⊥平面PAC，故②正确，对于③假设AC⊥PB，结合选项②，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，又AC⊥PA，故③不正确，利用直线与平面垂直的性质可得BC⊥PC，故④正确，故选B．点评：本题主要考查了三垂线定理的运用，涉及到了“线面垂直”与“线线垂直”的转化，要求考生熟练掌握基本概念、基本定理．12．（5分）如图，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE=DA=AB=AC，∠BAC=120°，M为BC的中点，则直线EM 与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：由ED⊥平面BCD，可得DM为EM在平面BCD上的射影，即∠EMD为EM与平面BCD所成角．解三角形可得直线EM与平面BCD所成角的正弦值；解答：解：∵ED⊥平面BCD，∴DM为EM在平面BCD上的射影，∴∠EMD为EM与平面BCD所成角．∵DA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴DA⊥AB，DA⊥AC，设DE=DA=AB=AC=a，则DC=DB=a，在△ABC中，∠BAC=120°，∴BC=a，又∵M为BC中点，∴DM⊥BC，BM=BC=a，∴DM=a．在Rt△EDM中，EM==，∴sin∠EMD==，故选：A点评：本题考查的知识点是直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定定理，直线与平面垂直的性质定理，难度中档．二、填空题：请把你认为正确的结果填写在答题卡对应位置上.共6小题，每题5分，总计30分. 13．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为；类似地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：①由正三角形的面积计算公式S=（a为边长），可得=．②如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO=，可得h==．利用它们的体积比==即可得出．解答：解：①由正三角形的面积计算公式S=（a为边长）．∴==．②如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO==．∴h==．∵两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比===．故答案为：．点评：本题考查了面积比、体积比与棱长比之间的关系、三角形的面积计算公式、棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提为：“平行四边形的对角线互相平分”．考点：演绎推理的基本方法．专题：推理和证明．分析：由演绎推理的基本规则，大前提是一个一般性的结论，本题中研究的是平行四边形的性质，可得答案．解答：解：将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式为：大前提：“平行四边形的对角线互相平分”，小前提：“菱形是平行四边形”，结论：“菱形的对角线互相平分”，故答案为：“平行四边形的对角线互相平分”点评：本题考查进行简单的演绎推理，解题的关键是对演绎推理的规则有着熟练的掌握，再就是熟练掌握了平行四边形的性质，本题是概念型题，知识性理论性较强．15．（5分）若=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=﹣5﹣4i（用复数代数式表示）考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用向量的坐标运算结合复数的加法运算得答案．解答：解：∵=4+3i，=﹣1﹣i（i是虚数单位），则=﹣=﹣1﹣i﹣（4+3i）=﹣5﹣4i．故答案为：﹣5﹣4i．点评：考查了复数的代数表示法及其几何意义，训练了平面向量的坐标运算，是基础题．16．（5分）用一个平面去截一个球，若与球心距离为1的截面圆的半径也为1，则该球的体积为π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为1，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积．解答：解：用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为r=所以球的体积为：πr3=π故答案为：π．点评：本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是基础题．17．（5分）已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．当满足条件③⑤时，有m∥β（填所选条件的序号）考点：直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：要使m∥β，根据线面平行的判定定理和定义，只需m与β内的一条直线平行或者m在与β平行的平面内即可．解答：解：根据面面平行的性质，可得m⊂α，α∥β时，m∥β．故满足条件③⑤时，有m∥β．故答案为：③⑤．点评：本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．18．（5分）如图（1），在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD，如图（2）．则在四棱锥P﹣ABCD中，AP 与平面EFG的位置关系为平行．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，可以取AD的中点为H，连接FH，得到FH∥PA，然后，得到AP∥平面EFG．解答：解：可以取AD的中点为H，连接FH，因为F为中点，所以FH∥PA，∴PA∥平面EFHG，∴AP∥平面EFG．故答案为：平行．点评：本题重点考查了空间中点线面的位置关系、直线与平面平行等知识，属于中档题．若题目中出现中点问题，添加辅助线的口诀为：有中点连中点，得到中位线；无中点，取中点，相连得到中位线．三、解答题：要写出证明过程或解答过程.19．（15分）如图，在正方体ABCD=A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（1）求证：AD1∥平面EFG；（2）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（3）求异面直线B1D1与EG所成的角度数．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）首先，连结C1B，然后，得到四边形ABC1D1是平行四边形，从而得证；（2）根据（1）可以证明AB1∥平面EFG，从而证明；（3）根据平行关系，得到∠FEG就是异面直线B1D1与EG所成的角，然后放到三角形中求解．解答：解：（1）连结C1B，∵AB∥B1C1，且AB=B1C1∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，又∵E、G为中点，∴BC1∥EG，∴AD1∥EG，∴AD1∥平面EFG；（2）结合（1），同理可以证明AB1∥平面EFG，∵AB1∩AD1=A，∴平面AB1D1∥平面EFG；（3）∵BD∥B1D1，且BD∥EF，∴∠FEG就是异面直线B1D1与EG所成的角，在△EFG中，显然为等边三角形，∴异面直线B1D1与EG所成的角为60°．点评：本题重点考查了空间中平行关系、异面直线所成的角等知识，考查比较综合，解题关键是学会转化思想在立体几何中的应用．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）只要证明CD垂直与平面PAD的两条相交直线；（2）结合已知和（1）得到PA⊥面PDC，再利用面面垂直的判定定理证明；（3）结合（1，2）利用线面垂直和面面垂直的判定得到其余的垂直平面．解答：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD过P作PE⊥AD，垂足为E，∴PE⊥底面ABCD，∴PE⊥CD，∵AD∩PE=E，∴CD⊥平面PAD；（2）证明：由（1）可知CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA．又∵PA=PD=AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°，即PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC．（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有平面PCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD．点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及面面垂直的判定，关键是将线面关系和面面关系转化为线线关系解答．21．（15分）在数列{a n}中，已知a1=1，且a n+1=．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式；（3）试用数学归纳法证明（2）中猜想．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；（2）由a1=，a2=，a3=，a4=，即可猜想得到通项公式；（3）利用（2）的猜想a n的表达式，运用数学归纳法证明．注意两个步骤缺一不可，特别必须运用假设证明n=k+1，也成立．解答：解：（1）∵a1=1，a n+1=，∴a2==，a3==，a4==．（2）由（1），a1=，a2=，a3=，a4=，可以猜想a n=．（3）用数学归纳法证明：ⅰ）当n=1时，a1==1，所以当n=1时猜想成立．ⅱ）假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即a k=，当n=k+1时，a k+1===，所以当n=k+1时猜想也成立．由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N*都成立．所以a n=．点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（15分）已知函数f（x）=a x+（a＞1）．（1）试比较f（﹣3）与f（﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（只写结果，不用证明）（3）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出f（﹣3），f（﹣2），f（0），f（1），并根据指数函数的单调性即可比较f（﹣3）与f （﹣2），f（0）与f（1）的大小；（2）求f′（x），并判断f′（x）的符号，从而写出f（x）的单调递增区间；（3）假设f（x）有负数根，也就是存在x＜0，使得，然后将该方程变成：，由0＜a x＜1便得到，解该不等式得到的x的范围应该和x＜0矛盾，从而说明假设不成立．解答：解：（1）f（﹣3）=，f（﹣2）=a﹣2+4；∵a＞1；∴a﹣3＜a﹣2，；∴f（﹣3）＜f（﹣2）；同理可得f（0）＜f（1）；（2）f′（x）=＞0；∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）；（3）证明：假设f（x）=0有负数根；即存在x＜0，使成立；∴；∵0＜a x＜1；∴，解得，与x＜0矛盾；∴假设不成立；即方程f（x）=0没有负数根．点评：考查指数函数的单调性，求导数，并判断导数符号从而求出函数的单调区间的方法，以及利用反证法证明问题时找矛盾的方法与过程．。

北京丰台区第二中学九年级上册期末精选试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%．某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了1%10a，求a的值．【答案】（1）去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）a的值为20．【解析】【分析】（1）设去年年底猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；（2）设3月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）设去年年底猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2．5×（1+60%）x≥200，解得：x≥50．答：去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）设3月20日的总销量为1；根据题意得：60（1﹣a%）×34(1+a%）+60×14(1+a%）=60（1+110a%），令a%=y，原方程化为：60（1﹣y）×34(1+y）+60×14(1+y）=60（1+110y），整理得：5y2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；答：a的值为20．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键．2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．3．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA ＝63． 【解析】解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3y x=（x ＞0）的图象上， ∴S △ACO ＝12×2-＝1 ，S △ODB ＝12×3＝32．∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝90°，∵∠ AOC ＋∠ OAC ＝90°，∴∠ OAC ＝∠ BOD ． 又∵∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∴△ACO ∽△ODB ．∴S S ACO ODB ∆∆＝2OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝23，∴OA OB ＝±6（舍负取正），即OA OB ＝6． ∴在Rt △AOB 中，tan ∠ OBA ＝OA OB ＝6．4．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点， ∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根． ∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0． 解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0． 则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1， ∵=== 32-，解得：k=-1或k= 13-（舍去）， ∴k=﹣15．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）方案② 【解析】试题分析：首先设下调的百分率为x ，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x ，依题意得，4000（1-x ）2=3240 解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去） 答：平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元 方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520＞316000 ∴方案②更优惠 考点：一元二次方程的应用二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣4≤b ＜0． 【解析】 【分析】（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得， 点A 和点B 在直线y ＝x 上， 设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣b a， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122x x+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a-）， ∵直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，∴点（2b a -，2ba -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2ba -＝21221b a a ++∴﹣b ＝221a a ≤+4，（当a ＝2时取等号）∴0＜﹣b∴﹣4≤b ＜0，即b 的取值范围是﹣4≤b ＜0． 【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116m >-【解析】 【分析】（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】解：（1）当1m =-时，()22613y x x x =++≥把(),1P a 代入，得22611a a ++=解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫--⎪⎝⎭此时，229911=()22918m m m ---++ ∴0y 的最大值118=综上所述，0y 的最大值为118（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△ 解得：m=0（舍去）或29m =-由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m 且x ≥3m∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，直线y ＝x ﹣3经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 于点M ，连接PC ．①线段PM 是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P 运动的过程中，是否存在点M ，恰好使△PCM 是以PM 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94即可求解；②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：9303b cc++=⎧⎨=-⎩，解得：32 cb=-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94，∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝32时，PM最大值为：94；②存在，理由：PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；MC2＝（x﹣3+3）2+x2；（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，解得：x＝0或2（舍去0），故x＝2，故点P（2，﹣3）；（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，解得：x＝0或2（舍去0和2），故x ＝3﹣2，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣42， 故点P （3﹣2，2﹣42）．综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣2，2﹣42)． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】 【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=， ①∠MAN=∠ABD 时， （Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时， 直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32），AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32），故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）；②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN==， 解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．10．如图，已知二次函数22(0)y ax ax c a 的图象与x 轴负半轴交于点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ．(1) 求一次函数解析式；(2)求顶点P 的坐标；(3)平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=，求点M 坐标；(4)设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值．【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3(2)顶点P 的坐标为（1，4）(3) M 点的坐标为：15,2(,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或 23-） （445【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B （0，3），根据OB=3OA ，可求出OA 的长，也就得出了A 点的坐标，然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中，即可得出所求；（2）将（1）得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M 点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ，在构建的直角三角形AME 中，可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长，然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标．（本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D 关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值．【详解】(1)∵A （-1，0）,∴OA=1∵OB=3OA ，∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为：223y x x =-++∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4）(3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+∵直线3y x b =+过P （1，4）∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠=设M （x,3x+1）① 当点M 在x 轴上方时，有31312x x +=+，∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-=+，∴59x =- ∴25(,9M - 23-） (4)作点D 关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N ⊥PD 于点N当-x 2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，∴A （-1，0），P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2，令x=0，可得y=2，∴D （0，2），∵D 与D′关于直线x=1对称，∴D′（2，2）．根据ND′⊥PD ，设ND′解析式为y=kx+b ，则k=-12，即y=-12x+b ， 将D′（2，2）代入，得2=-12×2+b ，解得b=3， 可得函数解析式为y=-12x+3， 将两函数解析式组成方程组得：13222y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得25145 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N（214,)55，由两点间的距离公式：d=222144522555⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴所求最小值为455【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．如图，在矩形ABCD中，6AB cm=，8AD cm=，连接BD，将ABD△绕B点作顺时针方向旋转得到A B D'''△（B′与B重合），且点D'刚好落在BC的延长上，A D''与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与A B D'''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE''）的面积；（2）将A B D'''△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与A B D'''△重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AA B''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）2452cm ；（2）22331624(0)22588020016(4)3335x x x y x x x ⎧--+≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（3）存在，使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、95． 【解析】【分析】（1）先用勾股定理求出BD 的长，再根据旋转的性质得出10B D BD cm ''==，2CD B D BC cm '=''-=，利用B D A ∠'''的正切值求出CE 的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；（2）分类讨论，当1605x ≤<时和当1645x ≤≤时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB A B '=''时；当AA A B '=''时；当AB AA '='时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（1）6AB cm =，8AD cm =，10BD cm ∴=，根据旋转的性质可知10B D BD cm ''==，2CD B D BC cm '=''-=，tan A B CE B D A A D CD '''''∠=='''， 682CE ∴=， 32CE cm ∴=， ()28634522222A B CE A B D CED S S S cm ''''''⨯∴==-⨯÷=-； （2）①当1605x ≤<时，22CD x '=+，32CE x =， 233+22CD E S x x '∴=△， 22133368242222y x x x ∴=⨯⨯-=--+； ②当1645x ≤≤时，102BC x =-，()41023CE x =- ()221488020010223333y x x x ∴=⨯-=-+． （3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+，245A M NB '==， 2236AN A N +'=，222418623655x ⎛⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：6695x -=秒，（6695x --=舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+，245A M NB '==， 2222AB BB AN A N +'=+'22224183646255x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：32x =秒． 综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、669-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．12．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC=，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持BE n BG m =，设AB=33E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）56π；（2）3；（3）存在，63+【解析】【分析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由△BCE∽△BA2D2，推出222A DCE nCB A B m==，可得CE=2nm，由161A EEC=-推出16A CEC=，推出A1C=26nm•，推出BH=A1C=26nm•，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到3FGFFM FED==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.【详解】解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．∴AD=HA1=n=1，在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，∴BA1=2HA1，∴∠ABA1=30°，∴旋转角为30°，∵22125+=∴D 到点D 1所经过路径的长度=30551806ππ⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2，∴222A D CE n CB A B m==， ∴2n CE m=， ∵161EA EC=-， ∴16A C EC=， ∴A 1C=26n m⋅， ∴BH=A 1C=2226n m n m -=⋅， ∴42226n m n m-=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4， ∴242416n n m m-=•， ∴3n m =（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；由（2）可知，3BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形，∴3FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，∴∠DFG=∠MFE ，∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，∴∠FDG=∠FME ，∴△FDG ∽△FME ，∴FG F FM FE D ==，∵∠DFM=90°，tan FD FMD FM ∠==， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，∴FM DM =；在矩形ABCD 中，有AD AB =3=，则3AD =， ∵MN ⊥AB ，∴四边形ANMD 是矩形，∴MN=AD=3，∵∠NPM=∠DMF=30°，∴PM=2MN=6，∴NP=AB =，∴DM=AN=BP=2，∴2FM DM ===∴6PF PM MF =+=+【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.13．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG=2OD ，OE=2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①30°或150°，②AF'的长最大值为222+，此时315α=．【解析】【分析】（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=2+2，此时α=315°．【详解】(1)如图1,延长ED交AG于点H,∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，∴OA=OD，OA⊥OD，∵OG=OE，在△AOG和△DOE中，90OAOD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△AOG ≌△DOE ， ∴∠AGO=∠DEO ， ∵∠AGO+∠GAO=90°， ∴∠GAO+∠DEO=90°， ∴∠AHE=90°， 即DE ⊥AG ；(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况： (Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时， ∵OA=OD=12OG=12OG′， ∴在Rt △OAG′中,sin ∠AG′O=OA OG '=12， ∴∠AG′O=30°， ∵OA ⊥OD,OA ⊥AG′， ∴OD ∥AG′,∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘， 即α=30°；(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时， 同理可求∠BOG′=30°， ∴α=180°−30°=150°. 综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°. ②如图3,当旋转到A. O 、F′在一条直线上时,AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，∴OA=OD=OC=OB=2，∵OG=2OD，∴OG′=OG=2，∴OF′=2，∴AF′=AO+OF′=22+2，∵∠COE′=45°，∴此时α=315°.【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．14．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH是等边三角形；（261；（3）△FGH的周长最大值为32（a+b），最小值为32（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=12BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=12EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）如图2中，连接AF、EC．易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF2221-3，在Rt△ABF中，BF22AB AF-6，∴BD=CE=BF﹣DF61，∴FH=12EC=612．（3）存在．理由如下．由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=12BD，∴△GFH的周长=3GF=32BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为3 2（a+b），最小值为32（a﹣b）．点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．15．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【解析】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，即可推出答案；（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG ，FH ⊥FG ． 连接AD ，BE ，两线交于Z ，AD 交BC 于X ， 同（1）可证∴FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∵三角形ECD 、ACB 是等腰直角三角形， ∴CE=CD ，AC=BC ，∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△BCE ， ∴AD=BE ，∠EBC=∠DAC ，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB ， ∴∠DXB+∠EBC=90°， ∴∠EZA=180°﹣90°=90°， 即AD ⊥BE ， ∵FH ∥AD ，FG ∥BE ， ∴FH ⊥FG ， 即FH=FG ，FH ⊥FG ， 结论是FH=FG ，FH ⊥FG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．四、初三数学 圆易错题压轴题（难）16．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线；（2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）证明：连接CM ，∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴．又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，．∴545(x )x 5)12152-=--（，∴，解得10OD 3=． 又∵D 为OB 中点，∴1552+．∴D 点坐标为（0，154)．连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有解得．∴直线AD 为．∵二次函数的图象过M （56，0)、A(5，0)，∴抛物线对称轴x=154． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=154交于点P ， ∴PD+PM 为最小．又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=154的交点． 当x=154时，45y (x )x 5)152=--（． ∴P 点的坐标为（154，56）． （3）存在． ∵，5y a(x )x 5)2=--（又由（2）知D （0，154)，P （154，56）， ∴由，得，解得y Q =±103．∵二次函数的图像过M(0，56)、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为，又∵该图象过点D （0，154)，∴，解得a=512． ∴二次函数解析式为．又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103． ∴当y Q =103时，，解得x=15524-或x=1552+；当y Q =512-时，，解得x=154． ∴点Q 的坐标为（15524-，103)，或（15524+103)，或（154，512-）．【解析】试题分析：（1）连接CM ，可以得出CM=OM ，就有∠MOC=∠MCO ，由OA 为直径，就有∠ACO=90°，D 为OB 的中点，就有CD=OD ，∠DOC=∠DCO ，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论．（2）根据条件可以得出2222OC OA AC 534=-=-=和OC OBtan OAC AC OA∠==，从而求出OB 的值，根据D 是OB 的中点就可以求出D 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD 交对称轴于P ，先求出AD 的解析式就可以求出P 的坐标． （3）根据PDM DAM PAM S S S ∆∆∆=-，求出Q 的纵坐标，求出二次函数解析式即可求得横坐标．17．在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、 AD 、BD ．已知圆O 的半径长为5，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图2，设AC=x ，ACO OBDSS=y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．【答案】（1）2；（2）2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6．【解析】 【分析】(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC 的长.(2)分别作OH ⊥AB ，DG ⊥AB ，用含x 的代数式表示△ACO 和△BOD 的面积，便可得出函数解析式.(3)分OB ∥AD 和OA ∥BD 两种情况讨论. 【详解】解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB=8， ∴OD ⊥AB ，AC=12AB=4， 在Rt △AOC 中，∵∠ACO=90°，AO=5， ∴22AO AC -，∴OD=5， ∴CD=OD ﹣OC=2；（2）如图2，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ， 则由（1）可得AH=4，OH=3， ∵AC=x ，∴CH=|x ﹣4|，在Rt △HOC 中，∵∠CHO=90°，AO=5，∴∴CD=OD ﹣OC=5过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴OH OCDG CD=， ∴DG=OH CD OC⋅35， ∴S △ACO =12AC ×OH=12x ×3=32x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣x ）×（335）=32（8﹣x ）∴y=ACO OBDS S=()323582x x -（0＜x ＜8）（3）①当OB ∥AD 时，如图3，过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB•OH=12OB•AE ， AE=AB OH OB ⋅=245=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，AO=5，∴75∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴AD=2AF=145．②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得DG=BM=245， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，∴AD=22AG DG +=6综上得AD=145或6．故答案为（1）2；（2）y=()282558x x x x -+-（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6．【点睛】本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.18．四边形ABCD 内接于⊙O ，连接AC 、BD ，2∠BDC +∠ADB ＝180°．（1）如图1，求证：AC ＝BC ；（2）如图2，E 为⊙O 上一点，AE ＝BE ，F 为AC 上一点，DE 与BF 相交于点T ，连接AT ，若∠BFC ＝∠BDC +12∠ABD ，求证：AT 平分∠DAB ； （3）在（2）的条件下，DT ＝TE ，AD ＝8，BD ＝12，求DE 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 【解析】 【分析】（1）只要证明∠CAB=∠CBA 即可．。

北京丰台区第二中学数学整式的乘法与因式分解（篇）（Word 版含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.2．下列四个多项式，可能是2x 2＋mx －3 (m 是整数)的因式的是A ．x －2B ．2x ＋3C ．x ＋4D ．2x 2－1【答案】B【解析】【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.【详解】因为m 是整数，∴将2x 2＋mx －3分解因式：2x 2＋mx －3=（x-1）（2x+3）或2x 2＋mx －3=（x+1）（2x-3），故选：B.【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.3．因式分解x 2+mx ﹣12＝（x +p ）（x +q ），其中m 、p 、q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．11D ．12【答案】C【解析】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可.详解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx －12∴p+q=m ，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m 的最大值为11.故选C.点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.4．在2014，2015，2016，2017这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）．A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 【答案】A【解析】由于22()()a b a b a b -=+-，所以22201510081007=-；222016505503=-；22201710091008=-；因+a b 与-a b 的奇偶性相同，21007⨯一奇一偶，故2014不能表示为两个整数的平方差． 故选A.5．下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）A ．92-xB ．2269a ab b -+-C ．22x y --D ．21x -【答案】C【解析】【分析】根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．【详解】A 、x 2-9，可用平方差公式，故A 能用公式法分解因式；B 、-a 2+6ab-9 b 2能用完全平方公式，故B 能用公式法分解因式；C 、-x 2-y 2不能用平方差公式分解因式，故C 正确；D 、x 2-1可用平方差公式，故D 能用公式法分解因式；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．6．已知4y 2+my +9是完全平方式，则m 为( )A ．6B ．±6C ．±12D ．12【答案】C【解析】【分析】原式利用完全平方公式的结构特征求出m 的值即可．【详解】∵4y 2+my +9是完全平方式，∴m =±2×2×3=±12．故选：C ．【点睛】此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．下列运算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．2222a a -=D ．()22436a a =【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；【详解】解：2123•a a a a +==，A 准确； 62624a a a a -÷==，B 错误；2222a a a -=，C 错误；()22439a a =，D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．8．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误；B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．9．已知三个实数a,b,c 满足a-2b+c=0，a+2b+c ＜0，则（ ）A ．b>0，b 2-ac ≤0B ．b ＜0，b 2-ac ≤0C ．b>0，b 2-ac ≥0D ．b ＜0，b 2-ac ≥0【答案】D【解析】【分析】 根据题意得a+c=2b ，然后将a+c 替换掉可求得b ＜0，将b 2-ac 变形为()24a c -，可根据平方的非负性求得b 2-ac≥0.【详解】解：∵a-2b+c=0，∴a+c=2b ，∴a+2b+c=4b ＜0，∴b ＜0， ∴a 2+2ac+c 2=4b 2，即22224a ac c b ++= ∴b 2-ac=()22222220444a c a ac c a ac c ac -++-+-==≥， 故选：D.【点睛】 本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.10．下列各运算中，计算正确的是（ ）A ．a 12÷a 3=a 4B ．（3a 2）3=9a 6C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣ab+b 2D ．2a•3a=6a 2【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.【详解】A 、原式=a 9，故A 选项错误，不符合题意；B 、原式=27a 6，故B 选项错误，不符合题意；C 、原式=a 2﹣2ab+b 2，故C 选项错误，不符合题意；D 、原式=6a 2，故D 选项正确，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．12．已知25,23a b==，求2a b +的值为________.【答案】15．【解析】【分析】逆用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．【详解】解：∵2a =5，2b =3，∴2a+b =2a ×2b =5×3=15．故答案为：15．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．13．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.14．计算：532862a a a -÷=（）___________．【答案】343a a -【解析】根据整式的除法—多项式除以单项式，可知：532862a a a -÷=（）8a 5÷2a 2-6a 3÷2a 2=343a a -.故答案为：343a a -.15．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．【答案】0【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a ，b 互为相反数，∴a+b=0，∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）=0，故答案为0．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．16．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______． 【答案】6【解析】根据完全平方公式，可知（x ﹣1x ）2= x 2-2+21x =4，移项整理可得x 2+21x=6. 故答案为6.点睛：此题主要考查了整式的乘法，解题关键是利用完全平方公式进行变形，然后化简整理即可求解，注意整体思想的应用，比较简单，是常考题.17．分解因式：2x 2﹣8=_____________【答案】2（x+2）（x ﹣2）【解析】【分析】先提公因式，再运用平方差公式.【详解】2x 2﹣8，=2（x 2﹣4），=2（x+2）（x ﹣2）．【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.18．若3a b +=，则226a b b -+的值为__________.【答案】9【解析】分析：先将226a b b -+化为()()6a b a b b +-+，再将3a b +=代入所化式子计算即可. 详解：∵3a b +=，∴226a b b -+=()()6a b a b b +-+=3()6a b b -+=336a b b -+=3()a b +=9.故答案为：9.点睛：“能够把226a b b -+化为()()6a b a b b +-+”是解答本题的关键.19．已知16x x +=，则221x x +=______ 【答案】34【解析】 ∵16x x +=，∴221x x +=22126236234x x ⎛⎫+-=-=-= ⎪⎝⎭， 故答案为34.20．分解因式：32231827m m n mn -+=____________________【答案】23(3)m m n -【解析】【分析】先提公因式3m ，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】3322m 18m n 27mn -+=3m(m 2-6mn+9n 2)=3m(m-3n)2，故答案为：3m(m-3n)2.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．。

北京丰台区第二中学七年级下册数学期末试卷（篇）（Word 版 含解析） 一、解答题1．已知//AB CD ，点E 在AB 与CD 之间．（1）图1中，试说明：BED ABE CDE ∠=∠+∠；（2）图2中，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线相交于点F ，请利用（1）的结论说明：2BED BFD ∠=∠．（3）图3中，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线相交于点F ，请直接写出BED ∠与BFD ∠之间的数量关系．2．如图，已知直线12//l l ，点A B 、在直线1l 上，点C D 、在直线2l 上，点C 在点D 的右侧，()80,2,ADC ABC n BE ∠=︒∠=︒平分,ABC DE ∠平分ADC ∠，直线BE DE 、交于点E ．（1）若20n =时，则BED ∠=___________； （2）试求出BED ∠的度数（用含n 的代数式表示）；（3）将线段BC 向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出BED ∠的度数．（用含n 的代数式表示）3．如图，已知AM //BN ，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点,C D ．（1）当60A ∠=︒时，ABN ∠的度数是_______；（2）当A x ∠=︒，求CBD ∠的度数（用x 的代数式表示）；（3）当点P 运动时，ADB ∠与APB ∠的度数之比是否随点P 的运动而发生变化?若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．（4）当点P 运动到使ACB ABD =∠∠时，请直接写出14DBN A +∠∠的度数．4．已知//AB CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，在平行线AB ，CD 之间有一动点P ．（1）如图1所示时，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明（3）当EPF ∠满足0180EPF ︒<∠<︒，且QE ，QF 分别平分PEB ∠和PFD ∠， ①若60EPF ∠=︒，则EQF ∠=__________°．②猜想EPF ∠与EQF ∠的数量关系．（直接写出结论）5．如图，∠EBF ＝50°，点C 是∠EBF 的边BF 上一点．动点A 从点B 出发在∠EBF 的边BE 上，沿BE 方向运动，在动点A 运动的过程中，始终有过点A 的射线AD ∥BC ．（1）在动点A 运动的过程中， （填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD 平分∠EAC ？ （2）假设存在AD 平分∠EAC ，在此情形下，你能猜想∠B 和∠ACB 之间有何数量关系？并请说明理由；（3）当AC ⊥BC 时，直接写出∠BAC 的度数和此时AD 与AC 之间的位置关系．二、解答题6．已知//a b ，直角ABC 的边与直线a 分别相交于O 、G 两点，与直线b 分别交于E ，F 点，且90ACB ∠=︒．（1）将直角ABC 如图1位置摆放，如果56AOG ∠=︒，则CEF ∠=________； （2）将直角ABC 如图2位置摆放，N 为AC 上一点，180NEF CEF ∠+∠=︒，请写出NEF ∠与AOG ∠之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角ABC 如图3位置摆放，若135GOC ∠=︒，延长AC 交直线b 于点Q ，点P 是射线GF 上一动点，探究,POQ OPQ ∠∠与PQF ∠的数量关系，请直接写出结论． 7．已知：ABC 和同一平面内的点D ．（1）如图1，点D 在BC 边上，过D 作//DE BA 交AC 于E ，//DF CA 交AB 于F ．根据题意，在图1中补全图形，请写出EDF ∠与BAC ∠的数量关系，并说明理由；（2）如图2，点D 在BC 的延长线上，//DF CA ，EDF BAC ∠=∠．请判断DE 与BA 的位置关系，并说明理由．（3）如图3，点D 是ABC 外部的一个动点．过D 作//DE BA 交直线AC 于E ，//DF CA 交直线AB 于F ，直接写出EDF ∠与BAC ∠的数量关系，并在图3中补全图形．8．已知//a b ，直角ABC 的边与直线a 分别相交于O 、G 两点，与直线b 分别交于E 、F 点，90ACB ∠=．（1）将直角ABC 如图1位置摆放，如果46AOG ∠=，则CEF ∠=______； （2）将直角ABC 如图2位置摆放，N 为AC 上一点，180NEF CEF ︒∠+∠=，请写出NEF ∠与AOG ∠之间的等量关系，并说明理由．（3）将直角ABC 如图3位置摆放，若140GOC ∠=，延长AC 交直线b 于点Q ，点P 是射线GF 上一动点，探究POQ ∠，OPQ ∠与PQF ∠的数量关系，请直接写出结论． 9．如图1，D 是△ABC 延长线上的一点，CE //AB ． （1）求证：∠ACD ＝∠A+∠B ；（2）如图2，过点A 作BC 的平行线交CE 于点H ，CF 平分∠ECD ，FA 平分∠HAD ，若∠BAD ＝70°，求∠F 的度数．（3）如图3，AH //BD ，G 为CD 上一点，Q 为AC 上一点，GR 平分∠QGD 交AH 于R ，QN 平分∠AQG 交AH 于N ，QM //GR ，猜想∠MQN 与∠ACB 的关系，说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系中，()()02A a C b ，，，，且满足()240a b a b ++-+=，过C 作CB x ⊥轴于B（1）求三角形ABC 的面积．（2）发过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠，如图2，若,90()CAB ACB a αββ∠=∠=+=︒，求AED ∠的度数．（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在；请说明理由．三、解答题11．（1）如图1，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，AB ∥CD ，∠ADC =50°，∠ABC =40°，求∠AEC 的度数；（2）如图2，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，∠ADC =α°，∠ABC =β°，求∠AEC 的度数；（3）如图3，PQ ⊥MN 于点O ，点A 是平面内一点，AB 、AC 交MN 于B 、C 两点，AD 平分∠BAC 交PQ 于点D ，请问ADPACB ABC∠∠-∠的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．12．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：（习题回顾）已知：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F .求证：CFE CEF ∠=∠；（变式思考）如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，若ABC 的外角BAG ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，其反向延长线与BC 边的延长线交于点E ，则CFE ∠与CEF ∠还相等吗？说明理由；（探究延伸）如图3，在ABC 中，AB 上存在一点D ，使得ACD B ∠=∠，BAC ∠的平分线AE 交CD 于点F .ABC 的外角BAG ∠的平分线所在直线MN 与BC 的延长线交于点M .直接写出M ∠与CFE ∠的数量关系.13．如图①，AD 平分BAC ∠，AE ⊥BC ，∠B=450,∠C=730． （1） 求DAE ∠的度数；（2） 如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE BC ⊥”，其它条件不变，求DFE ∠ 的度数；（3） 如图③，若把“AE ⊥BC ”变成“AE 平分BEC ∠”，其它条件不变，DAE ∠的大小是否变化，并请说明理由．14．如图1，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABD ，DE 平分∠BDC ． （1）求证：∠BED ＝90°；（2）如图2，延长BE 交CD 于点H ，点F 为线段EH 上一动点，∠EDF ＝α，∠ABF 的角平分线与∠CDF 的角平分线DG 交于点G ，试用含α的式子表示∠BGD 的大小； （3）如图3，延长BE 交CD 于点H ，点F 为线段EH 上一动点，∠EBM 的角平分线与∠FDN 的角平分线交于点G ，探究∠BGD 与∠BFD 之间的数量关系，请直接写出结论： ．15．已知，//AB CD ，点E 为射线FG 上一点．（1）如图1，写出EAF ∠、AED ∠、EDG ∠之间的数量关系并证明； （2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，求证：EAF AED EDG ∠=∠+∠；（3）如图3，AI 平分BAE ∠，DI 交AI 于点I ，交AE 于点K ，且EDI ∠：2:1CDI ∠=，20AED ∠=︒，30I ∠=︒，求EKD ∠的度数．【参考答案】一、解答题1．（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD ． 【分析】（1）图1中，过点E 作EG ∥AB ，则∠BEG=∠ABE ，根据AB ∥CD ，EG ∥AB ，所以CD ∥EG ，解析：（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．【详解】解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，即∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）图2中，因为BF平分∠ABE，所以∠ABE=2∠ABF，因为DF平分∠CDE，所以∠CDE=2∠CDF，所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，所以∠BED=∠ABE+∠CDE，∠BFD=∠ABF+∠CDF，所以∠BED=2∠BFD．（3）∠BED=360°-2∠BFD．图3中，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，所以∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），因为BF平分∠ABE，所以∠ABE=2∠ABF，因为DF平分∠CDE，所以∠CDE=2∠CDF，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），由（1）得：因为AB∥CD，所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，所以∠BED=360°-2∠BFD．【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．2．（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n°【分析】（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；（2）同（1）中方法求解解析：（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n°【分析】（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；（2）同（1）中方法求解即可；（3）分当点B在点A左侧和当点B在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作EF∥AB，由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可．【详解】解：（1）当n=20时，∠ABC=40°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠BEF=∠ABE，∠DEF=∠CDE，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠BEF=∠ABE=20°，∠DEF=∠CDE=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°；（2）同（1）可知：∠BEF=∠ABE=n°，∠DEF=∠CDE=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；（3）当点B在点A左侧时，由（2）可知：∠BED=n°+40°；当点B在点A右侧时，如图所示，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=12∠ABC=n°，∠CDG=12∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠ABE=n°，∠CDG=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；如图所示，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=12∠ABC=n°，∠CDG=12∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°；如图所示，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，∴∠ABG=12∠ABC=n°，∠CDE=12∠ADC=40°，∵AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠ABG=n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；综上所述，∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键．3．（1）120°；（2）90°-x°；（3）不变，；（4）45°【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；（2）由平行线的性质可得∠ABN=180°-x°，根据角平分线的定义知∠解析：（1）120°；（2）90°-12x°；（3）不变，12；（4）45°【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；（2）由平行线的性质可得∠ABN=180°-x°，根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=90°-12x°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB=2：1；（4）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根据角平分线的定义可得∠ABP=∠PBN=12∠ABN=2∠DBN，由平行线的性质可得12∠A+12∠ABN=90°，即可得出答案．【详解】解：（1）∵AM∥BN，∠A=60°，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=120°；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∴∠ABN=180°-x°，∴∠ABP+∠PBN=180°-x°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12（180°-x°）=90°-12x°；（3）不变，∠ADB：∠APB=12．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB：∠ADB=2：1，∴∠ADB：∠APB=12；（4）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN，∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=12∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN=180°，∴12∠A+12∠ABN=90°，∴12∠A+2∠DBN=90°，∴14∠A+∠DBN=12（12∠A+2∠DBN）=45°．【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】（1）由于点是平行线，之间解析：（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】（1）由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，AEP∠，EPF∠，PFC∠满足数量关系为：EPF AEP PFC ∠=∠+∠；（2）当P 点在EF 的右侧时，AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足数量关系为：360AEP EPF PFC ∠+∠+∠=︒；（3）①若当P 点在EF 的左侧时，150EQF BEQ QFD ∠=∠+∠=︒；当P 点在EF 的右侧时，可求得30BEQ QFD ∠+∠=︒；②结合①可得180218023602()EPF BEQ DFQ BEQ PFD ∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠，由EQF BEQ DFQ ∠=∠+∠，得出2360EPF EQF ∠+∠=︒；可得EPF BEP PFD =∠+∠，由BEQ DFQ EQF ∠+∠=∠，得出2EPF EQF ∠=∠．【详解】解：（1）如图1，过点P 作//PG AB ，//PG AB ，EPG AEP ∴∠=∠，//AB CD ，//PG CD ∴，FPG PFC ∴∠=∠，AEP PFC EPF ∴∠+∠=∠；（2）如图2，当P 点在EF 的右侧时，AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足数量关系为：360AEP EPF PFC ∠+∠+∠=︒；过点P 作//PG AB ，//PG AB ，180EPG AEP ∴∠+∠=︒，//AB CD ，//PG CD ∴，180FPG PFC ∴∠+∠=︒，360AEP EPF PFC ∴∠+∠+∠=︒；（3）①如图3，若当P 点在EF 的左侧时，60EPF ∠=︒，36060300PEB PFD ∴∠+∠=︒-︒=︒， EQ ，FQ 分别平分PEB ∠和PFD ∠， 12BEQ PEB ∴∠=∠，12QFD PFD ∠=∠， 11()30015022EQF BEQ QFD PEB PFD ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒； 如图4，当P 点在EF 的右侧时，60EPF ∠=︒，60PEB PFD ∴∠+∠=︒，11()603022BEQ QFD PEB PFD ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒； 故答案为：150︒或30；②由①可知：11()(360)22EQF BEQ QFD PEB PFD EPF ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠，2360EPF EQF ∴∠+∠=︒； 11()22EQF BEQ QFD PEB PFD EPF ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 2EPF EQF ∴∠=∠．综合以上可得EPF ∠与EQF ∠的数量关系为：2360EPF EQF ∠+∠=︒或2EPF EQF ∠=∠．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．5．（1）是；（2）∠B ＝∠ACB ，证明见解析；（3）∠BAC ＝40°，AC ⊥AD ．【分析】（1）要使AD 平分∠EAC ，则要求∠EAD ＝∠CAD ，由平行线的性质可得∠B ＝∠EAD ，∠ACB ＝∠CAD解析：（1）是；（2）∠B ＝∠ACB ，证明见解析；（3）∠BAC ＝40°，AC ⊥AD ．【分析】（1）要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；（2）根据角平分线可得∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，则有∠ACB＝∠B；（3）由AC⊥BC，有∠ACB＝90°，则可求∠BAC＝40°，由平行线的性质可得AC⊥AD．【详解】解：（1）是，理由如下：要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；故答案为：是；（2）∠B＝∠ACB，理由如下：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，∴∠B＝∠ACB．（3）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠EBF＝50°，∴∠BAC＝40°，∵AD∥BC，∴AD⊥AC．【点睛】此题考查了角平分线和平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线的有关性质是解题的关键．二、解答题6．（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠N解析：（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．【详解】解：（1）如图，作CP//a，∵a//b，CP//a，∴CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，∴∠BCP=180°-∠CEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：如图，作CP//a，则CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，∵∠NEF+∠CEF=180°，∴∠BCP=∠NEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC =∠GOP +∠POQ =135°，∴∠GOP =135°-∠POQ ，∴∠OPQ =135°-∠POQ +∠PQF ．如图，当点P 在GF 延长线上时，作PN //a ，连接PQ ，OP ,则PN //a //b ，∴∠GOP =∠OPN ，∠PQF =∠NPQ ，∵∠OPN =∠OPQ +∠QPN ，∴∠GOP =∠OPQ +∠PQF ，∴135°-∠POQ =∠OPQ +∠PQF ．【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．7．（1）图见解析，，理由见解析；（2），理由见解析；（3）图见解析，或．【分析】（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得，由此即可得；（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可解析：（1）图见解析，EDF BAC ∠=∠，理由见解析；（2）//DE BA ，理由见解析；（3）图见解析，EDF BAC ∠=∠或180EDF BAC ∠+∠=︒．【分析】（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得,EDF BFD B B D AC F ∠=∠∠∠=，由此即可得；（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得BAC BOD ∠=∠，再根据等量代换可得EDF BOD ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得；（3）先根据点D 的位置画出如图（见解析）的两种情况，再分别利用平行线的性质、对顶角相等即可得．【详解】（1）由题意，补全图形如下：EDF BAC∠=∠，理由如下：DE BA，//∴∠=∠，EDF BFDDF CA，//∴∠=∠，BABFD C∴∠=∠；EDF BACDE BA，理由如下：（2）//如图，延长BA交DF于点O，DF CA，//∴∠=∠，BAC BOD∠=∠，EDF BAC∴∠=∠，EDF BOD//∴；DE BA（3）由题意，有以下两种情况：∠=∠，理由如下：①如图3-1，EDF BAC//DE BA，E EAF∴∠+∠=︒，180DF CA，//E EDF∴∠+∠=︒，180∴∠=∠，EAF EDF由对顶角相等得：BAC EAF∠=∠，∴∠=∠；EDF BAC②如图3-2，180EDF BAC ∠+∠=︒，理由如下：//DE BA ，180EDF F ∴∠+∠=︒，//DF CA ，BAC F ∴∠=∠，180EDF BAC ∴∠+∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．8．（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF ＝90°，理由见解析；（3）当点P 在GF 上时，∠OPQ ＝140°﹣∠POQ+∠PQF ；当点P 在线段GF 的延长线上时，140°﹣∠POQ ＝∠OPQ+∠PQF ．解析：（1）136°；（2）∠AOG +∠NEF ＝90°，理由见解析；（3）当点P 在GF 上时，∠OPQ ＝140°﹣∠POQ +∠PQF ；当点P 在线段GF 的延长线上时，140°﹣∠POQ ＝∠OPQ +∠PQF ．【分析】（1）如图1，作CP ∥a ，则CP ∥a ∥b ，根据平行线的性质可得∠AOG ＝∠ACP ，∠BCP +∠CEF ＝180°，然后利用∠ACP +∠BCP ＝90°即可求得答案；（2）如图2，作CP ∥a ，则CP ∥a ∥b ，根据平行线的性质可得∠AOG ＝∠ACP ，∠BCP +∠CEF ＝180°，然后结合已知条件可得∠BCP ＝∠NEF ，然后利用∠ACP +∠BCP ＝90°即可得到结论；（3）分两种情况，如图3，当点P 在GF 上时，过点P 作PN ∥OG ，则NP ∥OG ∥EF ，根据平行线的性质可推出∠OPQ ＝∠GOP +∠PQF ，进一步可得结论；如图4，当点P 在线段GF 的延长线上时，同上面方法利用平行线的性质解答即可．【详解】解：（1）如图1，作CP∥a，a b，∵//∴CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∵∠AOG＝46°，∴∠CEF＝136°，故答案为136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°．理由如下：如图2，作CP∥a，则CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，而∠NEF+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝∠NEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+∠NEF＝90°；（3）如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG，∴NP∥OG∥EF，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；如图4，当点P在线段GF的延长线上时，过点P作PN∥OG，∴NP∥OG∥EF，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键．9．（1）证明见解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN＝∠ACB；理由见解析．【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，然后通过等量代换即可得出答案；（2）首先根据角∠ACB；理由见解析．解析：（1）证明见解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN＝12【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，然后通过等量代换即可得出答案；（2）首先根据角平分线的定义得出∠FCD ＝12∠ECD ，∠HAF ＝12∠HAD ，进而得出∠F ＝12（∠HAD+∠ECD ），然后根据平行线的性质得出∠HAD+∠ECD 的度数，进而可得出答案；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义得出12QGR QGD ∠=∠，12NQG AQG ∠=∠，180MQG QGR ∠+∠=︒ ，再通过等量代换即可得出∠MQN ＝12∠ACB ．【详解】解：（1）∵CE //AB ， ∴∠ACE ＝∠A ，∠ECD ＝∠B ， ∵∠ACD ＝∠ACE+∠ECD ， ∴∠ACD ＝∠A+∠B ；（2）∵CF 平分∠ECD ，FA 平分∠HAD ， ∴∠FCD ＝12∠ECD ，∠HAF ＝12∠HAD ，∴∠F ＝12∠HAD+12∠ECD ＝12（∠HAD+∠ECD ）， ∵CH //AB ， ∴∠ECD ＝∠B ， ∵AH //BC ， ∴∠B+∠HAB ＝180°， ∵∠BAD ＝70°，110B HAD ∴∠+∠=︒，∴∠F ＝12（∠B+∠HAD ）＝55°； （3）∠MQN ＝12∠ACB ，理由如下：GR 平分QGD ∠，12QGR QGD ∴∠=∠．GN 平分AQG ∠，12NQG AQG ∴∠=∠．//QM GR ，180MQG QGR ∴∠+∠=︒ ．∴∠MQN ＝∠MQG ﹣∠NQG ＝180°﹣∠QGR ﹣∠NQG ＝180°﹣12（∠AQG+∠QGD ）＝180°﹣12（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC ） ＝12（∠CQG+∠QGC ）∠ACB．＝12【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．10．（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）【分析】（1）根据非负数的性质得到a＝−b，a−b＋4＝0，解得a＝−2，b＝2，则A （−2，0），B（2，0），C（2，2），即可计算出解析：（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）【分析】（1）根据非负数的性质得到a＝−b，a−b＋4＝0，解得a＝−2，b＝2，则A（−2，0），B （2，0），C（2，2），即可计算出三角形ABC的面积＝4；（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB＝∠ABD，即∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，过E作EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，所以∠AED＝∠1＋∠2＝1×90°＝45°；2x＋1，则G点坐标为（0，1），然（3）先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y＝12后利用S△PAC＝S△APG＋S△CPG进行计算．【详解】解：（1）由题意知：a＝−b，a−b＋4＝0，解得：a＝−2，b＝2，∴ A（−2，0），B（2，0），C（2，2），∴S△ABC＝1AB BC=4；2（2）∵CB∥y轴，BD∥AC，∴∠CAB＝∠ABD，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，过E作EF∥AC，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，∴∠AED ＝∠1＋∠2＝12×90°＝45°； （3）存在．理由如下：设P 点坐标为（0，t ），直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 把A （−2，0）、C （2，2）代入得：-2k+b=02k+b=2⎧⎨⎩，解得1k=2b=1⎧⎪⎨⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝12x ＋1， ∴G 点坐标为（0，1），∴S △PAC ＝S △APG ＋S △CPG ＝12|t−1|•2＋12|t−1|•2＝4，解得t ＝3或−1， ∴P 点坐标为（0，3）或（0，−1）．【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．三、解答题11．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化， 【分析】（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠解析：（1）∠E =45°；（2）∠E =2βα-；（3）不变化，12【分析】（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ，则可得∠E=12（∠D+∠B ），继而求得答案；（2）首先延长BC 交AD 于点F ，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D ，又由角平分线的性质，即可求得答案． （3）由三角形内角和定理，可得90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：（1）∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ，∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ， ∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB ∴∠D+∠B=2∠E ， ∴∠E=12（∠D+∠B ），∵∠ADC=50°，∠ABC=40°， ∴∠AEC=12×（50°+40°）=45°；（2）延长BC 交AD 于点F ， ∵∠BFD=∠B+∠BAD ，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D ， ∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ，∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB ，∴∠E=∠B+∠EAB －∠ECB=∠B+∠BAE －12∠BCD=∠B+∠BAE －12（∠B+∠BAD+∠D ）= 12（∠B －∠D ）， ∠ADC =α°，∠ABC =β°，即∠AEC=.2βα-（3）ADP ACB ABC ∠∠-∠的值不发生变化，1.2ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠ 理由如下：如图，记AB 与PQ 交于E ，AD 与CB 交于F ， ,PQ MN ⊥90,DOC BOE ∴∠=∠=︒90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠①，ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠②，∴ ①－②得：90,DFO ACB ABC DAC OEB ︒-∠=∠-∠+∠-∠ 90,DFO OEB DAC ACB ABC ∴︒-∠+∠-∠=∠-∠90,,ADP DFO OEB EAD ADP ∠=︒-∠∠-∠=∠AD 平分∠BAC ，,BAD CAD ∴∠=∠ ,OEB CAD ADP ∴∠-∠=∠ 2,ADP ACB ABC ∠=∠-∠1.2ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．12．[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析． 【分析】[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可解析：[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析． 【分析】[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可证明； [变式思考]根据角平分线的定义和对顶角相等可得∠CAE=∠DAF 、再根据直角三角形的性质和等角的余角相等即可得出CFE ∠=CEF ∠；[探究延伸]根据角平分线的定义可得∠EAN=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根据三角形外角的性质可得∠CEF=∠CFE ，由此可证∠M+∠CFE=90°． 【详解】[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD 是高， ∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°， ∴∠B=∠ACD ， ∵AE 是角平分线， ∴∠CAF=∠DAF ，∵∠CFE=∠CAF+∠ACD ，∠CEF=∠DAF+∠B ， ∴∠CEF=∠CFE ；[变式思考]相等，理由如下： 证明：∵AF 为∠BAG 的角平分线， ∴∠GAF=∠DAF ， ∵∠CAE=∠GAF ， ∴∠CAE=∠DAF ，∵CD 为AB 边上的高，∠ACB=90°, ∴∠ADC=90°， ∴∠ADF=∠ACE=90°，∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°， ∴∠CEF=∠CFE ；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，证明：∵C 、A 、G 三点共线 AE 、AN 为角平分线， ∴∠EAN=90°， 又∵∠GAN=∠CAM ，∴∠M+∠CEF=90°，∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∴∠M+∠CFE=90°．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同角的余角相等．在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键．13．（1）∠DAE =14°；（2）∠DFE =14°；（3）∠DAE 的大小不变，∠DAE=14°，证明详见解析.【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE解析：（1）∠DAE =14°；（2）∠DFE =14°；（3）∠DAE 的大小不变，∠DAE =14°，证明详见解析.【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．（3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE=15°即是最好的证明．【详解】（1）∵∠B=45°，∠C=73°，∴∠BAC=62°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=31°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+31°=76°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DAE=90°-∠ADE=14°．（2）同（1），可得，∠ADE=76°，∵FE⊥BC，∴∠FEB=90°，∴∠DFE=90°-∠ADE=14°．（3）DAE∠=14°∠的大小不变.DAE理由：∵ AD平分∠ BAC，AE平分∠BEC∴∠BAC=2∠BAD，∠BEC=2∠AEB∵∠BAC+∠B+∠BEC+∠C =360°∴2∠BAD+2∠AEB=360°-∠B-∠C=242°∴∠BAD+∠AEB=121°∵∠ADE=∠B+∠BAD∴∠ADE=45°+∠BAD∴∠DAE=180°-∠AEB-∠ADE=180°-∠AEB-45°-∠BAD=135°-（∠AEB+∠BAD）=135°-121°=14°【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 14．（1）见解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°解析：（1）见解析；（2）∠BGD＝902a︒-；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝12（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°，从而根据∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）即可得到答案；（2）过点G作GP∥AB，根据AB∥CD，得到GP∥AB∥CD，从而得到∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG，然后根据∠EBD+∠EDB＝90°，∠ABD+∠BDC＝180°，得到∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，再利用角平分线的定义求出2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α即可得到答案；（3）过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB，从而得到AB∥GM∥FN∥CD，得到∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，根据BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∠4＝12∠FBP＝12（180°﹣∠3），∠6＝12∠FDQ＝12（180°﹣∠5），即可求解.【详解】解：（1）证明：∵BE平分∠ABD，∴∠EBD＝12∠ABD，∵DE平分∠BDC，∴∠EDB＝12∠BDC，∴∠EBD+∠EDB＝12（∠ABD+∠BDC），∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∴∠EBD+∠EDB＝90°，∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．（2）解：如图2，由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，又∵∠ABD+∠BDC＝180°，∴∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，过点G作GP∥AB，∵AB∥CD，∴GP∥AB∥CD∴∠ABG＝∠BGP，∠PGD＝∠CDG，∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG＝902α-；（3）如图，过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GM∥FN∥CD，∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∴∠4＝12∠FBP＝12（180°﹣∠3），∠6＝12∠FDQ＝12（180°﹣∠5），∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，＝∠3+∠5+12（180°﹣∠3）+12（180°﹣∠5），＝180°+12（∠3+∠5），＝180°+12∠BFD，整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质和三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）设CD与AE交于点H∠+∠=∠，证明见解析；（2）证明见解析；（3）解析：（1）EAF EDG AED80∠=︒．EKD【分析】（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）设CD与AE交于点H，根据∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG，进而得到∠EAF=∠AED+∠EDG；α+5°，再根（3）设∠EAI=∠BAI=α，则∠CHE=∠BAE=2α，进而得出∠EDI=α+10°，∠CDI=12α+5°+α+10°+20°，求得据∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α=12α=70°，即可根据三角形内角和定理，得到∠EKD的度数．【详解】解：（1）∠AED=∠EAF+∠EDG．理由：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）证明：如图2，设CD与AE交于点H，∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHG，∵∠EHG是△DEH的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）∵AI平分∠BAE，∴可设∠EAI=∠BAI=α，则∠BAE=2α，如图3，∵AB∥CD，∴∠CHE=∠BAE=2α，∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI，∴∠EDI=α+30°-20°=α+10°，又∵∠EDI：∠CDI=2：1，∴∠CDI=12∠EDK=12α+5°，∵∠CHE是△DEH的外角，∴∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α=12α+5°+α+10°+20°，解得α=70°，∴∠EDK=70°+10°=80°，∴△DEK中，∠EKD=180°-80°-20°=80°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．。

北京丰台区第二中学数学九年级上册期末试卷解析版 一、选择题 1．已知一元二次方程2330p p --=，2330q q --=，则p q +的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．3- D ．32．如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，52AB =，以AB 为斜边向上作Rt ABD ∆，90ADB ∠=︒.连接CD ，若7CD =，则AD 的长度为（ ）A ．32或42B ．3或4C ．22或42D ．2或4 3．某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表所示．现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中不正确的是（ ）A ．团队平均日工资不变B ．团队日工资的方差不变C ．团队日工资的中位数不变D ．团队日工资的极差不变 4．已知⊙O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为4.5，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．P 在圆内 B ．P 在圆上C ．P 在圆外D ．无法确定 5．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．53t -<<B ．5t >-C ．34t <≤D ．54t -<≤ 6．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．12D 2：1 7．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：姓名 读 听 写 小莹 92 80 90若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ） A ．86B ．87C ．88D ．89 8．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1 9．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ∽△ADE ，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）A ．∠B ＝∠DB ．∠C ＝∠E C ．AD AB AE AC = D ．AC BC AE DE = 10．如图，在矩形中，，，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点中，在⊙外的是( )A ．点B ．点C ．点D ．点11．如图所示的网格是正方形网格，则sin A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．35D ．4512．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ︒︒∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）A ．2B ．3C ．32D ．2 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数21y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <<C ．0,0a b ><D ．0,0a b <>14．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．2x +y ＝1B ．x 2+3xy ＝6C ．x +1x ＝4D ．x 2＝3x ﹣215．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252- B ．25- C ．251- D ．52-二、填空题16．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）17．若线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为_____cm.（结果保留根号）18．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，A 、B 、C 分别为直线l 1，l 2，l 3上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1，l 2之间的距离为m ，直线l 2，l 3之间的距离为n ，若∠ABC ＝90°，BD ＝3，且12m n =，则m ＋n 的最大值为___________．19．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．20．已知，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是________．21．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．22．抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______.23．如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为_____．24．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则线段A′C 长度的最小值是______．25．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 都在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA 的值为________．26．在平面直角坐标系中，抛物线2y x 的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为_____．27．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．28．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________．29．已知二次函数y ＝3x 2+2x ，当﹣1≤x ≤0时，函数值y 的取值范围是_____．30．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，点M 为AF 中点，以点O 为圆心，以OM 的长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，以DE 的长为半径画弧得到扇形DEF ，把扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2，则r 1：r 2=_____．三、解答题31．画图并回答问题：（1）在网格图中，画出函数2y x x 2=--与1y x =+的图像；（2）直接写出不等式221x x x -->+的解集.32．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且DE ＝4，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则PA ＋14PB 的最小值为_____．33．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建，如图，A ，B 两地之间有一座山．汽车原来从A 地到B 地需途经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶，已知BC ＝80千米，∠A ＝45°，∠B ＝30°．(1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走多少千米？(2)开通隧道后，汽车从A 地到B 地可以少走多少千米？(结果保留根号)34．（1）如图①，AB 为⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为点Q ．说明△APQ ∽△ABP ；（2）如图②，⊙O 的半径为7，点P 在⊙O 上，点Q 在⊙O 内，且PQ ＝4，过点Q 作PQ 的垂线交⊙O 于点A 、B ．设PA ＝x ，PB ＝y ，求y 与x 的函数表达式．35．某小型工厂9月份生产的A 、B 两种产品数量分别为200件和100件，A 、B 两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了A 、B 两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A 产品生产数量的增长率和A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品生产数量的增长率是A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是A 产品出厂单价的增长率的2倍，设B 产品生产数量的增长率为x （0x >），若10月份该工厂的总收入增加了4.4x ，求x 的值.四、压轴题36．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ；（1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2y x=在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，T 的半径为3，点C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范围，（3）已知直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝+-+⎭+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围．37．数学概念若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 .（2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB DC =②如图②，BC BD =深入思考（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）38．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，tan B ＝34，OB ＝8． （1）求OA 、AB 的长；（2）点Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连结CD ，QC ．①当t 为何值时，点Q 与点D 重合？②若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．39．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2y x bx c =-++的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．40．抛物线G ：2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题干可以明确得到p,q 是方程2330x x -=的两根,再利用韦达定理即可求解.【详解】解：由题可知p,q 是方程2330x x -=的两根,∴3,故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,韦达定理的应用,熟悉韦达定理的内容是解题关键. 2．A解析：A【解析】【分析】利用A 、B 、C 、D 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出ADC ABC ∠∠=，再作AE CD ⊥，设AE=DE=x ，最后利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图所示，∵△ABC 、△ABD 都是直角三角形，∴A,B,C,D 四点共圆，∵AC=BC ，∴BAC ABC 45∠∠==︒，∴ADC ABC 45∠∠==︒，作AE CD ⊥于点E,∴△AED 是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则AD 2x =， ∵CD=7,CE=7-x, ∵AB 52=∴AC=BC=5，在Rt△AEC 中，222AC AE EC =+，∴()22257x x =+-解得，x=3或x=4， ∴AD 232x ==2. 故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解. 3．B解析：B【解析】【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：调整前的平均数是：26042804300443⨯+⨯+⨯⨯=280； 调整后的平均数是：260528023005525⨯+⨯+⨯++=280； 故A 正确；调整前的方差是：()()()222142602804280280430028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=8003； 调整后的方差是：()()()222152602802280280530028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=10003； 故B 错误； 调整前：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，280，280，280，280，300，300，300，300；最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280，调整后：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，260，280，280，300，300，300，300，300；最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280，故C 正确；调整前的极差是40，调整后的极差也是40，则极差不变，故D 正确.故选B.【点睛】此题考查了平均数、方差、中位数和极差的概念，掌握各个数据的计算方法是关键.4．C解析：C【解析】【分析】点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外.【详解】∵点P 到圆心O 的距离为4.5，⊙O 的半径为4，∴点P 在圆外.故选：C.【点睛】此题考查点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离d 的距离与半径r 的大小确定点与圆的位置关系.5．D解析：D【解析】【分析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.【详解】将()4,0代入二次函数，得2440m -+=∴4m =∴方程为240x x t -+=∴42x ±= ∵15x <<∴54t -<≤故答案为D .【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.6．B解析：B【解析】【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，∴它们的面积比是：1：4．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可.【详解】根据题意得：92580390288532⨯+⨯+⨯=++（分）， ∴小莹的个人总分为88分；故选：C ．【点睛】本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键.8．A解析：A【解析】【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．故选A．【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．9．D解析：D【解析】【分析】先求出∠DAE＝∠BAC，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；C、添加AD ABAE AC=可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意；D、添加AC BCAE DE=不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．10．C解析：C【解析】【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC的长度,即可解题.【详解】解：如下图,连接AC,∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,∴由勾股定理可知对角线AC=5,∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,故选C.【点睛】本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键.11．C解析：C【解析】【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，∵224225AC BC=+==，BC＝22，AD＝2232AC CD+=，∵S△ABC＝12AB•CE＝12BC•AD，∴CE＝22326525BC ADAB⨯==，∴6535525CEAsin CABC∠==＝，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．12．D解析：D【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝2AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝2AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．【详解】∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD＝2AB，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC＝BD＝2AB，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，∴下面圆锥的侧面积＝2×1＝2．故选D．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．13．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A，B，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：由二次函数y=ax2+bx+1可知图象经过点（0，1），∵二次函数y=ax2+bx+1的图象还经过点A，B，则函数图象如图所示，抛物线开口向下，又对称轴在y 轴右侧，即02b a-> ， ∴b ＞0，故选D 14．D解析：D【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：A 、原方程为二元一次方程，不符合题意；B 、原式方程为二元二次方程，不符合题意；C 、原式为分式方程，不符合题意；D 、原式为一元二次方程，符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.15．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：AP AB = ，得42AP == .故选A. 二、填空题16．【解析】抛物线的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .故答案为>解析：12y y >【解析】抛物线()2y x 11=-+的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .故答案为> 17．或【分析】根据黄金分割比为计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC 可能为较长线段，也可能为较短线段.【详解】解：AB=10cm ，C 是黄金分割点，当AC>BC 时,则有解析：5 或1555【解析】【分析】计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC 可能为较长线段，也可能为较短线段.【详解】解：AB=10cm ，C 是黄金分割点，当AC>BC 时,则有×10=5， 当AC<BC 时,则有BC=12AB=12×10=5-，∴AC=AB-BC=10-(5 ）=15-，∴AC 长为5 cm 或1555 cm. 故答案为：55 或1555【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．18．【解析】【分析】过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：过作于，延长交于，过作于，过解析：274【解析】【分析】过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，设AE BN x ==，CF BM y ==，得到3DM y =-，4DN x =-，根据相似三角形的性质得到xy mn =，29y x =-+，由12m n =，得到2n m =，于是得到()3m n m +=最大，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，设AE BN x ==，CF BM y ==， 3BD =，3DM y ∴=-，3DN x =-，90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90EAB ABE ABE CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，EAB CBF ∴∠=∠，ABE BFC ∴∆∆∽，∴AE BE BF CF=，即x m n y =， xy mn ∴=，ADN CDM ∠=∠，CMD AND ∴∆∆∽，∴AN DN CM DM=，即3132m x n y -==-， 29y x ∴=-+，12m n =， 2n m ∴=，()3m n m ∴+=最大，∴当m 最大时，()3m n m +=最大，22(29)292mn xy x x x x m ==-+=-+=，∴当92(29)4x =-=⨯-时，28128mn m ==最大， 94m ∴=最大， m n ∴+的最大值为927344⨯=． 故答案为：274． 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线，利用相似三角形转化线段关系，得出关于m 的函数解析式是解题的关键．19．【解析】【分析】在OA 上取使，得，则，根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB 时，CP 最小，由相似求出的最小值即可.【详解】解：如图，在OA 上取使，∵，∴，在△和△QOC 中，，【解析】【分析】在OA 上取'C 使'OC OC =，得'OPC OQC ≅，则CQ=C'P ，根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC ⊥AB 时，CP 最小，由相似求出C'P 的最小值即可.【详解】解：如图，在OA 上取'C 使'OC OC =，∵90AOC POQ ∠=∠=︒，∴'POC QOC ∠=∠，在△'POC 和△QOC 中，''OP OQ POC QOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△'POC ≌△QOC （SAS ），∴'PC QC =∴当'PC 最小时，QC 最小，过'C 点作''C P ⊥AB ，∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A 坐标为：（0，8）；B 点（-4，0），∵'4OC OC OB ===， ∴22228445AB OA OB ++=''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠==， ''445C P =， ∴4''55C P = ∴线段CQ 455 455【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．20．【解析】【分析】直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．【详解】解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．故答案为：解析：13x【解析】【分析】直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．【详解】解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．故答案为：-1＜x ＜3．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．21．【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：，三月份的产量为：.【详解】二月份的产量为：，三月份的产量为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟解析：2500(1)720x +=【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【详解】二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）. 22．(1，3)【解析】【分析】根据顶点式：的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，解析：(1，3)【解析】【分析】根据顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：2(-1)3y x =+的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，掌握顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）是解决此题的关键.23．6+π．【解析】【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积．【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两解析：．【解析】【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积．【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连接AO ，则Rt △ADO 中，∠OAD ＝30°，OD ＝1，AD 3∴S △ADO ＝12OD •AD 3 ∴S 四边形ADOE ＝2S △ADO 3∵∠DOE ＝120°，∴S 扇形DOE ＝3π， ∴纸片不能接触到的部分面积为：333π）＝3﹣π ∵S △ABC ＝1233∴纸片能接触到的最大面积为： 33＝3+π．故答案为3．【点睛】此题主要考查圆的综合运用，解题的关键是熟知等边三角形的性质、扇形面积公式.24．【解析】【分析】【详解】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点，∴2 解析：272【解析】【分析】【详解】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=12MD=1， ∴FM=DM×cos30°=3，∴2227MC FM CF =+=，∴A′C=MC ﹣MA′=272-．故答案为272-．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．25．【解析】如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=，AB=，∴sinA=.解析：5 【解析】如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=221+1=2，AB=223+1=10，∴sinA=2510BD AB ==.26．【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．【详解】解：∵解析：2(1010,1010)-【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点1A 的坐标，求得直线12A A 为2y x =+，联立方程求得2A 的坐标，即可求得3A 的坐标，同理求得4A 的坐标，即可求得5A 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点2019A 的坐标．【详解】解：∵A 点坐标为()1,1，∴直线OA 为y x =，()11,1A -，∵12A A OA ∕∕，∴直线12A A 为2y x =+，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴()22,4A ，∴()32,4A -，∵34A A OA ∕∕，∴直线34A A 为6y x =+，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴()43,9A ，∴()53,9A -…，∴()220191010,1010A -，故答案为()21010,1010-． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．27．【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】，，，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 解析：203【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】123////l l l ，AB DE BC EF∴=， 3,5,4AB BC DE ===，345EF∴=， 解得203EF =， 故答案为：203． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．28．=31.5【解析】【分析】根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．【详解】根据题意，得：=31.5故答案为：=31.5．【点睛】本题考查一元二次方程的解析：()2561x -=31.5【解析】【分析】根据题意，第一次降价后的售价为()561x -，第二次降价后的售价为()2561x -，据此列方程得解．【详解】根据题意，得：()2561x -=31.5故答案为：()2561x -=31.5．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的． 29．﹣≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y＝3x2+2x ＝3（x+）2﹣，∴函数的对称轴为x ＝﹣，∴当﹣1≤x≤0时，函数有最解析：﹣13≤y ≤1 【解析】【分析】 利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y ＝3x 2+2x ＝3（x +13）2﹣13， ∴函数的对称轴为x ＝﹣13， ∴当﹣1≤x ≤0时，函数有最小值﹣13，当x ＝﹣1时，有最大值1， ∴y 的取值范围是﹣13≤y ≤1， 故答案为﹣13≤y ≤1．【点睛】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．30．【解析】分析：根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．详解：连OA由已知，M为AF中点，则OM⊥AF∵六边形ABCDEF为正六边形∴解析：3:2【解析】分析：根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．详解：连OA由已知，M为AF中点，则OM⊥AF∵六边形ABCDEF为正六边形∴∠AOM=30°设AM=a∴AB=AO=2a，3a∵正六边形中心角为60°∴∠MON=120°∴扇形MON 120323aa π⋅⋅=则r1=3 3a同理：扇形DEF的弧长为：120241803aaππ⋅⋅=则r2=2 3 ar 1：r 2=32：故答案为32：点睛：本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的半径．三、解答题31．（1）画图见解析；（2）x<-1或x>3【解析】【分析】（1）根据二次函数与一次函数图象的性质即可作图,（2）观察图像,找到抛物线在直线上方的图象即可解题.【详解】（1）画图（2）221x x x -->+在图象中代表着抛物线在直线上方的图象∴解集是x ＜-1或x ＞3【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．32．1452【解析】【分析】连接PC,则PC=12DE=2, 在CB上截取CM=0.25,得出△CPM∽△CBP，即可得出结果.【详解】解:连接PC,则PC=12DE=2,∴P在以C为圆心，2为半径的圆弧上运动,在CB上截取CM=0.25,连接MP,∴0.25121,2444 CM CPCP CB====,∴CM CP CP CB=,∵∠MCP=∠PCB, ∴△CPM∽△CBP,∴PM=14 PB,∴PA+14PB=PA+PM,∴当P、M、A共线时，PA+14PB最小，即221450.25+6=2.【点睛】本题考查了最短路径问题，相似三角形的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键. 33．(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走2)千米；(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为23千米．【解析】【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比。

代数几何综合一、二次函数压轴题类类型解析在北京中考中二次函数的重要性不言而喻，稳坐压轴题倒数第三题，数学想上90分的学生，这道题严格意义上来说必须拿下的，基本的布置有三问，前两问比较简单，基本一半以上的学生都能拿下，但最后一问涉及临界点问题，有的题目甚至需要将图像想象成会动的函数来讲，对学生的分析能力来说是一个比较大的挑战。

在二次函数前两问中，通常考查函数的对称轴，与x轴的交点坐标，顶点坐标，求函数解析式，或者带点计算的基本能力。

常见考点：1．顶点（-b2a ，4ac−b24a），对称轴是直线x=-b2a2．与x轴交点坐标（−b+√b2−4ac2a ，0）（−b−√b2−4ac2a，0）3．顶点式求函数解析式4．函数图像平移以及翻折问题，平移规律左加右减，上加下减，函数图像关于x轴翻折图像类似M或W。

5．抛物线中对称性与距离问题6．抛物线常见的定点函数。

最后一问的解答过程中，一般情况从六个方面确定函数的图像的基本性质。

1.分析开口方向和大小，有的函数需要分类讨论2.分析抛物线的对称轴3. 分析定点坐标4. 分析抛物线与x 轴的交点坐标5. 分析抛物线与y 轴的交点坐标6. 分析抛物线的其它定点总的来说，给定的条件中，一定能确定二次函数某些性质，例如：开口大小固定，过固定点，与x 轴交点固定，截x 轴的线段长度固定等，具体情况还是要具体分析，但基本上都离不开对图像的分析。

一、公共点类型线段或直线与抛物线有交点时，考察类型较多，也是模拟考试中的重点内容，根据函数图像的性质，分析临界点，代数即可。

易（房山）26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点 A (−1，a )，B (3，a )，且顶点的纵坐标为 -4． （1）求 m ，n 和 a 的值；（2）记二次函数图象在点 A ，B 间的部分为 G (含 点A 和点B )，若直线 2y kx =+与 图象G 有公共点，结合函数图象，求 k 的取值范围．易（延庆）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2432y ax ax a =-+-（0a ≠）的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B ． （1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．易（顺义）26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2(3)3y mx m x =+--（0m >）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C , 4=AB ，点D 为抛物线的顶点. （1）求点A 和顶点D 的坐标；（2）将点D 向左平移4个单位长度，得到点E ,求直线BE 的表达式；（3）若抛物线26=-y ax 与线段DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.中（平谷）26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线3222-+-=m mx x y 与y 轴交于点A ，过A 作AB ∥x 轴与直线x =4交于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）； （2）当抛物线经过点A ，B 时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G （包含A ，B 两点），点P （m ,0）是x 轴上一动点，过P 作PD ⊥x 轴于P ，交图象G 于点D ，交AB 于点C ，若CD ≤1，求m 的取值范围．中（石景山）26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+(0)k ≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m . （1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11(,)N x y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22(,)P x y ,33(,)Q x y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围．中（西城）26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+．（1）当2m 时， ①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点1(2,)A y ，22(,)B x y 都在抛物线上，且21y y ，则2x 的取值范围是_______；（2）已知点P (－1,2)，将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q ．当n ＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图像，求m 的取值范围．中（东城）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2691(0)y mx mx m m =-++≠（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B （点A 在点B 的左侧），且AB =4，求m 的值；（3）已知四个点C （2,2），D （2,0），E （5,-2），F （5,6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．中（大兴）26. 在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A （-1，6），求二次函数的表达式；（3）将点A （-1，6）沿x 轴向右平移7个单位得到点B ，若抛物线与线段AB 始终有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.中（密云）26．已知抛物线2224y x mx m =-+-，抛物线的顶点为P . （1）求点P 的纵坐标．（2）设抛物线x 轴交于A 、B 两点，1122(,),(,)A x y B x y ，21x x >. ①判断AB 长是否为定值，并证明．②已知点M （0，-4），且MA ≥5，求21-x x m +的取值范围．2-41y ax ax =+难（门头沟）26．在平面直角坐标系xOy中，一次函数4=+的图象与x轴交于点A，与过点（0，5）y x平行于x轴的直线l交于点B，点A关于直线l的对称点为点C．（1）求点B和点C坐标；（2）已知某抛物线的表达式为22=-+-．2y x mx m m①如果该抛物线顶点在直线4=+上，求m的值；y x②如果该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．难（朝阳）26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x+a-3，当a=0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4 个单位长度，得到点B.（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.二、对称性对称性考察比较灵活，两点纵坐标相同时，说明两点关于对称轴对称。

【典型例题】题型一、二次函数的图像及性质 例1、填表抛物线开口对称轴顶点坐标增减性 最值性223y x =+ 232y x =- 22y x =-+23y x =--例2、如图， ① y ＝ax 2 ② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2④ y ＝dx 2比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接．___________________________________ 题型二、图象的平移例3、抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x = 时，y 有最 值是 。

题型三、二次函数解析式例4、二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.⑴求该函数的表达式；⑵若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值。

例 2 若二次函数c x x y +-=62的图像过),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-,则321,,y y y 则的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 2题型三：图形的平移例3 将二次函数y =x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）A ．y =x 2﹣1B ．y =x 2+1C ．y =（x ﹣1）2D ．y =（x +1）变式训练 将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A ．23(2)3y x =++ B ．23(2)3y x =-+ C ．23(2)3y x =+- D ．23(2)3y x =--题型四：二次函数c bx ax y ++=2的图象特征与c b a 、、的符号之间的关系例4 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图1所示，则有： （1）a ___0,b___0 ,c___0 （2）b 2－4ac___0 （3）a+b+c___0 （4）a-b+c___0变式训练1 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图2所示，其对称轴x =﹣1，给出下列结果： ①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a +b =0；④a +b +c ＞0；⑤a ﹣b +c ＜0，则正确的结论是 （ ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤图2变式训练2 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图3所示，那么一次函数y bx c =+和反y-1x图1x=122468211234O比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）C D题型五:求二次函数与坐标轴交点例5 如图，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ， （1）求△A B C 的面积。

北京丰台区第二中学七年级下册数学期末试卷（篇）（Word 版 含解析） 一、解答题1．如图①，将一张长方形纸片沿EF 对折，使AB 落在''A B 的位置；（1）若1∠的度数为a ，试求2∠的度数（用含a 的代数式表示）； （2）如图②，再将纸片沿GH 对折，使得CD 落在''C D 的位置．①若//'EF C G ，1∠的度数为a ，试求3∠的度数（用含a 的代数式表示）； ②若''B F C G ⊥，3∠的度数比1∠的度数大20︒，试计算1∠的度数．2．如图，//MN GH ，点A 、B 分别在直线MN 、GH 上，点O 在直线MN 、GH 之间，若116NAO ∠=︒，144OBH ∠=︒．（1）AOB ∠= ︒；（2）如图2，点C 、D 是NAO ∠、GBO ∠角平分线上的两点，且35CDB ∠=︒，求ACD ∠ 的度数；（3）如图3，点F 是平面上的一点，连结FA 、FB ，E 是射线FA 上的一点，若MAE ∠=n OAE ∠，HBF n OBF ∠=∠，且60AFB ∠=︒，求n 的值．3．如图，直线//PQ MN ，一副直角三角板,ABC DEF ∆∆中，90,45,30,60ACB EDF ABC BAC DFE DEF ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=．（1）若DEF ∆如图1摆放，当ED 平分PEF ∠时，证明：FD 平分EFM ∠．（2）若,ABC DEF ∆∆如图2摆放时，则PDE ∠=（3）若图2中ABC ∆固定，将DEF ∆沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作FGQ ∠和GFA ∠的角平分线GH FH 、相交于点H （如图3），求GHF ∠的度数．（4）若图2中DEF ∆的周长35,5cm AF cm =，现将ABC ∆固定，将DEF ∆沿着CA 方向平移至点F 与A 重合，平移后的得到''D E A ∆，点D E 、的对应点分别是''D E 、，请直接写出四边形'DEAD 的周长．（5）若图2中DEF ∆固定，（如图4）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF ∆的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．4．如图，已知AM //BN ，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点,C D ．（1）当60A ∠=︒时，ABN ∠的度数是_______；（2）当A x ∠=︒，求CBD ∠的度数（用x 的代数式表示）；（3）当点P 运动时，ADB ∠与APB ∠的度数之比是否随点P 的运动而发生变化?若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．（4）当点P 运动到使ACB ABD =∠∠时，请直接写出14DBN A +∠∠的度数．5．已知，如图1，射线PE 分别与直线AB ，CD 相交于E 、F 两点，∠PFD 的平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设∠PFM ＝α°，∠EMF ＝β°，且（40﹣2α）2＋|β﹣20|＝0（1）α＝ ，β＝ ；直线AB 与CD 的位置关系是 ；（2）如图2，若点G 、H 分别在射线MA 和线段MF 上，且∠MGH ＝∠PNF ，试找出∠FMN 与∠GHF 之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图3），分别与AB 、CD 相交于点M 1和点N 1时，作∠PM 1B 的角平分线M 1Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中1FPN Q∠∠的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 二、解答题6．如图，直线//PQ MN ，一副三角板（90ABC CDE ∠=∠=︒，30ACB ∠=︒，60,45EAC DCE DEC ∠=︒∠=∠=︒）按如图①放置，其中点E 在直线PQ 上，点,B C 均在直线MN 上，且CE 平分ACN ∠．（1）求DEQ ∠的度数．（2）如图②，若将三角形ABC 绕B 点以每秒5︒的速度按逆时针方向旋转（,A C 的对应点分别为,F G ）．设旋转时间为t 秒(036)t ≤≤． ①在旋转过程中，若边//BG CD ，求t 的值；②若在三角形ABC 绕B 点旋转的同时，三角形CDE 绕E 点以每秒4︒的速度按顺时针方向旋转（,C D 的对应点分别为,H K ）．请直接写出当边//BG HK 时t 的值． 7．如图1，E 点在BC 上，A D ∠=∠．180ACB BED ∠+∠=︒．（1）求证：//AB CD（2）如图2，//,AB CD BG 平分ABE ∠，与EDF ∠的平分线交于H 点，若DEB ∠比DHB ∠大60︒，求DEB ∠的度数．（3）保持（2）中所求的DEB ∠的度数不变，如图3，BM 平分,EBK DN ∠平分CDE ∠，作//BP DN ，则PBM ∠的度数是否改变？若不变，请直接写出答案；若改变，请说明理由．8．如图，已知//AB CD P ，是直线AB CD ，间的一点，PF CD ⊥于点F PE ，交AB 于点120E FPE ∠=︒，．（1）求AEP ∠的度数；（2）如图2，射线PN 从PF 出发，以每秒40︒的速度绕P 点按逆时针方向旋转，当PN 垂直AB 时，立刻按原速返回至PF 后停止运动：射线EM 从EA 出发，以每秒15︒的速度绕E 点按逆时针方向旋转至EB 后停止运动，若射线PN ，射线EM 同时开始运动，设运动间为t 秒．①当20MEP ∠=︒时，求EPN ∠的度数； ②当 //EM PN 时，求t 的值． 9．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：如图1，已知点A 是BC 外一点，连接AB ，AC ，求∠BAC ＋∠B ＋∠C 的度数． （1）阅读并补充下面推理过程 解：过点A 作ED ∥BC ， ∴∠B ＝∠EAB ，∠C ＝ 又∵∠EAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180° ∴∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180° 解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC ，∠B ，∠C “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：（2）如图2，已知AB ∥ED ，求∠B ＋∠BCD ＋∠D 的度数．（提示：过点C 作CF ∥AB ） 深化拓展：（3）如图3，已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，∠ADC ＝70°，点B 在点A 的左侧，∠ABC ＝60°，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 所在的直线交于点E ，点E 在AB 与CD 两条平行线之间，求∠BED 的度数．10．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A 转动的速度是a °/秒，灯B 转动的速度是b °/秒，且a 、b 满足()2450a b a b -++-=．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即//PQ MN ，且60BAN ∠=︒（1）求a 、b 的值；（2）若灯B 射线先转动45秒，灯A 射线才开始转动，当灯B 射线第一次到达BQ 时运动停止，问A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行?（3）如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化?若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．三、解答题11．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．① 求∠B的度数；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．12．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O、A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动．(1)若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点Q，在点A，B的运动过程中，∠AQB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．(2)若AP是∠BAO的邻补角的平分线，BP是∠ABO的邻补角的平分线，AP、BP相交于点P，AQ的延长线交PB的延长线于点C，在点A，B的运动过程中，∠P和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠P和∠C的度数；若发生变化，请说明理由．13．（生活常识）射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图 1，MN 是平面镜，若入射光线AO 与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB 与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2 .（现象解释）如图 2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.求证AB∥CD.（尝试探究）如图 3，有两块平面镜OM，ON，且∠MON =55 ，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB 与CD 相交于点E，求∠BEC 的大小.（深入思考）如图 4，有两块平面镜OM，ON，且∠MON α ，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB 与CD 所在的直线相交于点E，∠BED=β , α 与β 之间满足的等量关系是 .（直接写出结果）14．如图1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（1）求证：∠BED＝90°；（2）如图2，延长BE交CD于点H，点F为线段EH上一动点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小；（3）如图3，延长BE交CD于点H，点F为线段EH上一动点，∠EBM的角平分线与∠FDN的角平分线交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论：．15．如图，△ABC和△ADE有公共顶点A，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC=45°，∠DAE=30°．（1）若DE//AB，则∠EAC＝；（2）如图1，过AC上一点O作OG⊥AC，分别交A B、A D、AE于点G、H、F．①若AO＝2，S△AGH＝4，S△AHF＝1，求线段OF的长；②如图2，∠AFO的平分线和∠AOF的平分线交于点M，∠FHD的平分线和∠OGB的平分线交于点N，∠N+∠M的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．【参考答案】一、解答题1．（1） ；（2）① ；② 【分析】(1)由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE ，再根据平角的定义求解即可； (2) ①由（1）知，，根据平行线的性质得到 ，再由折叠的性质及平角的定义解析：（1）1902a ︒- ；（2）①1454a ︒+ ；②50︒【分析】(1)由平行线的性质得到4'B FC a ∠=∠=，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE ，再根据平角的定义求解即可；(2) ①由（1）知，1902BFE a ∠=︒-，根据平行线的性质得到1BFE C'GB 902a ∠=∠=︒- ，再由折叠的性质及平角的定义求解即可；②由（1）知，∠BFE = 19012EFB '∠=︒-∠，由''B F C G ⊥可知：''90B FC FGC ∠+∠=︒，再根据条件和折叠的性质得到''11402190B FC FGC +=∠+∠=∠︒-∠︒，即可求解．【详解】解：（1）如图，由题意可知'//'A E B F ， ∴14a ∠=∠=， ∵//AD BC ， ∴4'B FC a ∠=∠=，180BFB a '∴∠=︒-，∴由折叠可知1129022BFE BFB a '∠=∠=∠=︒-．（2）①由题（1）可知1902BFE a ∠=︒- ，∵//'EF C G ，1902BFE C'GB a ∴∠=∠=︒-，再由折叠可知：113180*********HGC C GB a a ⎛⎫∠+∠=︒-∠=︒-︒-=︒+ ⎪⎝⎭'，13454HGC a ∴∠=∠=︒+；②由''B F C G ⊥可知：''90B FC FGC ∠+∠=︒，由（1）知19012BFE ∠=︒-∠，11802180290112B FC BFE ⎛⎫'∴∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠ ⎪⎝⎭，又3∠的度数比1∠的度数大20︒，∴3=1+20∠∠︒，()18023180212014021FGC '∴∠=︒-∠=︒-∠+︒=︒-∠， ''11402190B FC FGC +=∴∠+∠=∠︒-∠︒，1=50∴∠︒． 【点睛】此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．2．（1）100；（2）75°；（3）n=3． 【分析】（1）如图：过O 作OP//MN ，由MN//OP//GH 得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OB解析：（1）100；（2）75°；（3）n =3． 【分析】（1）如图：过O 作OP //MN ，由MN //OP //GH 得∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180°，即∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°，即可求出∠AOB ；（2）如图：分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，先根据角平分线求得58NAC ∠=︒，再根据平行线的性质得到58CEF ∠=︒；进一步求得18DBF ∠=︒，17DFB ∠=︒，然后根据三角形外角的性质解答即可；（3）设BF 交MN 于K ，由∠NAO =116°，得∠MAO =64°，故∠MAE =641nn ︒⨯+，同理∠OBH =144°，∠HBF =n ∠OBF ，得∠FBH =1441n n ︒⨯+，从而=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441，又∠FKN =∠F +∠FAK ，得144606411n nn n ︒︒︒⨯=+⨯++，即可求n ． 【详解】解：（1）如图：过O 作OP //MN ， ∵MN //GHl∴MN //OP //GH∴∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180° ∴∠NAO +∠AOB +∠OBH =360° ∵∠NAO =116°，∠OBH =144° ∴∠AOB =360°-116°-144°=100°；（2）分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，∵AC 平分NAO ∠且116NAO ∠=︒， ∴58NAC ∠=︒， 又∵MN //GH ， ∴58CEF ∠=︒；∵144OBH ∠=︒，36OBG ∠=︒ ∵BD 平分OBG ∠， ∴18DBF ∠=︒， 又∵,CDB ∠=︒35∴351817DFB CDB DBF ∠=∠-∠=-=︒； ∴175875ACD DFB AEF ∠=∠+∠=︒+︒=︒； （3）设FB 交MN 于K ，∵116NAO ∠=︒，则MAO ∠=︒64； ∴641nMAE n ∠=⨯︒+ ∵144OBH ∠=︒， ∴+1n FBH n ∠=⨯︒144，=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441， 在△FAK 中，64601nBKA FKA F n ∠=∠+∠=⨯︒+︒+,∴144646011n n n n ⨯︒=⨯︒+︒++， ∴3n =．经检验：3n =是原方程的根，且符合题意.【点睛】本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．3．（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm ；（5）10s 或30s 或40s【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；（2）如图2，过点E 作EK ∥MN ，利用平行线性解析：（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm ；（5）10s 或30s 或40s【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；（2）如图2，过点E 作EK ∥MN ，利用平行线性质即可求得答案；（3）如图3，分别过点F 、H 作FL ∥MN ，HR ∥PQ ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；（4）根据平移性质可得D′A ＝DF ，DD′＝EE′＝AF ＝5cm ，再结合DE ＋EF ＋DF ＝35cm ，可得出答案；（5）设旋转时间为t 秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC ∥DE 时，②当BC ∥EF 时，③当BC ∥DF 时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．【详解】（1）如图1，在△DEF 中，∠EDF ＝90°，∠DFE ＝30°，∠DEF ＝60°，∵ED 平分∠PEF ，∴∠PEF ＝2∠PED ＝2∠DEF ＝2×60°＝120°，∵PQ ∥MN ，∴∠MFE ＝180°−∠PEF ＝180°−120°＝60°，∴∠MFD ＝∠MFE −∠DFE ＝60°−30°＝30°，∴∠MFD ＝∠DFE ，∴FD 平分∠EFM ；（2）如图2，过点E作EK∥MN，∵∠BAC＝45°，∴∠KEA＝∠BAC＝45°，∵PQ∥MN，EK∥MN，∴PQ∥EK，∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，又∵∠DEF＝60°．∴∠PDE＝60°−45°＝15°，故答案为：15°；（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，∴FL∥PQ∥HR，∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，∴∠QGH＝12∠FGQ，∠HFA＝12∠GFA，∵∠DFE＝30°，∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，∴∠HFA＝12∠GFA＝75°，∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，∴∠RHG＝∠QGH＝12∠FGQ＝12（180°−105°）＝37.5°，∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；（4）如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，∵DE＋EF＋DF＝35cm，∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45（cm），即四边形DEAD′的周长为45cm；（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，∴∠CAE＝∠DFE＝30°，∴3t＝30，解得：t＝10；BC∥EF时，如图6，∵BC∥EF，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，∴3t＝90，解得：t＝30；BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，∴∠BKA＝∠DRM＝75°，∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，∴3t＝120，解得：t＝40，综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．4．（1）120°；（2）90°-x°；（3）不变，；（4）45°【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；（2）由平行线的性质可得∠ABN=180°-x°，根据角平分线的定义知∠解析：（1）120°；（2）90°-12x°；（3）不变，12；（4）45°【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；（2）由平行线的性质可得∠ABN=180°-x°，根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=90°-12x°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB=2：1；（4）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根据角平分线的定义可得∠ABP=∠PBN=12∠ABN=2∠DBN，由平行线的性质可得12∠A+12∠ABN=90°，即可得出答案．【详解】解：（1）∵AM∥BN，∠A=60°，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=120°；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∴∠ABN=180°-x°，∴∠ABP+∠PBN=180°-x°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12（180°-x°）=90°-12x°；（3）不变，∠ADB：∠APB=12．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB：∠ADB=2：1，∴∠ADB：∠APB=12；（4）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN，∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=12∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN=180°，∴12∠A+12∠ABN=90°，∴12∠A+2∠DBN=90°，∴14∠A+∠DBN=12（12∠A+2∠DBN）=45°．【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（1）20，20，；（2）；（3）的值不变，【分析】（1）根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；（2）先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出；（3）作的平分线交的延长线于解析：（1）20，20，//AB CD ；（2）180FMN GHF ∠+∠=︒；（3）1FPN Q∠∠的值不变，12FPN Q =∠∠ 【分析】（1）根据2(402)|20|0αβ-+-=，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证//AB CD ； （2）先根据内错角相等证//GH PN ，再根据同旁内角互补和等量代换得出180FMN GHF ∠+∠=︒；（3）作1PEM ∠的平分线交1M Q 的延长线于R ，先根据同位角相等证//ER FQ ，得1FQM R =∠∠，设PER REB x ==∠∠，11PM R RM B y ==∠∠，得出12EPM R ∠=∠，即可得12FPN Q=∠∠． 【详解】解：（1）2(402)|20|0αβ-+-=，4020α∴-=，200β-=，20αβ∴==，20PFM MFN ∴∠=∠=︒，20EMF ∠=︒，EMF MFN ∴∠=∠，//AB CD ∴；故答案为：20、20，//AB CD ；（2）180FMN GHF ∠+∠=︒；理由：由（1）得//AB CD ，MNF PME ∴∠=∠，MGH MNF ∠=∠，PME MGH ∴∠=∠，//GH PN ∴，GHM FMN ∴∠=∠，180GHF GHM ∠+∠=︒，180FMN GHF ∴∠+∠=︒；（3）1FPN Q ∠∠的值不变，12FPN Q=∠∠； 理由：如图3中，作1PEM ∠的平分线交1M Q 的延长线于R ，//AB CD ，1PEM PFN ∴∠=∠，112PER PEM ∠=∠，12PFQ PFN =∠∠， PER PFQ ∴∠=∠，//ER FQ ∴，1FQM R ∴∠=∠，设PER REB x ==∠∠，11PM R RM B y ==∠∠，则有：122y x R y x EPM =+∠⎧⎨=+∠⎩， 可得12EPM R ∠=∠，112EPM FQM ∴∠=∠，∴112EPM FQM ∠=∠． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．二、解答题6．（1）60°；（2）①6s ；②s 或s【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题． （2）①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程即可解决问题． ②分两种情形：如图③中，当解析：（1）60°；（2）①6s ；②103s 或703s 【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．（2）①首先证明∠GBC =∠DCN =30°，由此构建方程即可解决问题．②分两种情形：如图③中，当BG ∥HK 时，延长KH 交MN 于R ．根据∠GBN =∠KRN 构建方程即可解决问题．如图③-1中，当BG ∥HK 时，延长HK 交MN 于R ．根据∠GBN+∠KRM=180°构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）如图①中，∵∠ACB=30°，∴∠ACN=180°-∠ACB=150°，∵CE平分∠ACN，∴∠ECN=1∠ACN=75°，2∵PQ∥MN，∴∠QEC+∠ECN=180°，∴∠QEC=180°-75°=105°，∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°．（2）①如图②中，∵BG∥CD，∴∠GBC=∠DCN，∵∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°，∴∠GBC=30°，∴5t=30，∴t=6s．∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为6s．②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．∵BG∥KR，∴∠GBN=∠KRN，∵∠QEK=60°+4t，∠K=∠QEK+∠KRN，∴∠KRN=90°-（60°+4t）=30°-4t，∴5t=30°-4t，∴t=103s．如图③-1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．∵BG∥KR，∴∠GBN+∠KRM=180°，∵∠QEK=60°+4t，∠EKR=∠PEK+∠KRM，∴∠KRM=90°-（180°-60°-4t）=4t-30°，∴5t+4t-30°=180°，∴t=703s．综上所述，满足条件的t的值为103s或703s．【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．7．（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°【分析】（1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论；（2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再 解析：（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°【分析】（1）如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，可得ACB CED ∠=∠，所以//AC DF ，可得A DFB ∠=∠，又A D ∠=∠，进而可得结论； （2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，根据//AB CD ，可得//////AB EM HN CD ，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据DEB ∠比DHB ∠大60︒，列出等式即可求DEB ∠的度数；（3）如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，根据平行线的性质和角平分线定义可求PBM ∠的度数．【详解】解：（1）证明：如图1，延长DE 交AB 于点F ，180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，ACB CED ∴∠=∠，//AC DF ∴，A DFB ∴∠=∠，A D ∠=∠，DFB D ∴∠=∠，//AB CD ∴；（2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，//AB CD ，//////AB EM HN CD ∴，1180EDF ∴∠+∠=︒，MEB ABE ∠=∠， BG 平分ABE ∠，12ABG ABE ∴∠=∠， //AB HN ，2ABG ∴∠=∠，//CF HN ，23β∴∠+∠=∠，∴132ABE β∠+∠=∠， DH 平分EDF ∠，132EDF ∴∠=∠， ∴1122ABE EDF β∠+∠=∠，1()2EDF ABE β∴∠=∠-∠， 2EDF ABE β∴∠-∠=∠，设DEB α∠=∠，1180180()1802MEB EDF ABE EDF ABE αβ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠-∠=︒-∠，DEB ∠比DHB ∠大60︒，60αβ∴∠-︒=∠，1802(60)αα∴∠=︒-∠-︒解得100α∠=︒DEB ∴∠的度数为100︒；（3）PBM ∠的度数不变，理由如下：如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，BM 平分EBK ∠，DN 平分CDE ∠，12EBM MBK EBK ∴∠=∠=∠， 12CDN EDN CDE ∠=∠=∠， //ES CD ，//AB CD ，////ES AB CD ∴，DES CDE ∴∠=∠，180BES ABE EBK ∠=∠=︒-∠，G PBK ∠=∠，由（2）可知：100DEB ∠=︒，180100CDE EBK ∴∠+︒-∠=︒，80EBK CDE ∴∠-∠=︒，//BP DN ，CDN G ∴∠=∠，12PBK G CDN CDE ∴∠=∠=∠=∠， PBM MBK PBK ∴∠=∠-∠1122EBK CDE =∠-∠ 1()2EBK CDE =∠-∠ 1802=⨯︒ 40=︒．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 8．（1）；（2）①或；②秒或或秒【分析】（1）通过延长作辅助线，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果；（2）①当时，分两种情况，Ⅰ当在和之间，Ⅱ当在和之间，由，计算出的运动时间解析：（1）30；（2）①2803︒或403︒；②185秒或5411或9011秒 【分析】（1）通过延长PG 作辅助线，根据平行线的性质，得到90∠=︒PGE ，再根据外角的性质可计算得到结果；（2）①当20MEP ∠=︒时，分两种情况，Ⅰ当ME 在AE 和EP 之间，Ⅱ当ME 在EP 和EB 之间，由20MEP ∠=︒，计算出EM 的运动时间t ，根据运动时间可计算出FPN ∠，由已知120FPE ∠=︒可计算出EPN ∠的度数； ②根据题意可知，当//EM PN 时，分三种情况，Ⅰ射线PN 由PF 逆时针转动，//EM PN ，根据题意可知15AEM t ∠=︒，40FPN t ∠=︒，再平行线的性质可得AEM AHP ∠=∠，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；Ⅱ射线PN 垂直AB 时，再顺时针向PF 运动时，//EM PN ，根据题意可知，15AEM t ∠=︒，//ME PN ，15GHP t ∠=︒，可计算射线PN 的转动度数1809015t ︒+︒-︒，再根据PN 转动可列等量关系，即可求出答案；Ⅲ射线PN 垂直AB 时，再顺时针向PF 运动时，//EM PN ，根据题意可知，15AEM t ∠=︒，940()2GPN t ∠=-︒，根据（1）中结论，30PEG ∠=︒，60PGE ∠=，可计算出PEM ∠与EPN ∠代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．【详解】解：（1）延长FP 与AB 相交于点G ，如图1，PF CD ⊥，90PFD PGE ∴∠=∠=︒，EPF PGE AEP ∠=∠+∠，1209030AEP EPF PGE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）①Ⅰ如图2，30AEP ∠=︒，20MEP ∠=︒，10AEM ∴∠=︒，∴射线ME 运动的时间102153t ==（秒)， ∴射线PN 旋转的角度2804033FPN ︒∠=⨯︒=， 又120EPF ∠=︒，8028012033EPN EPF EPN ︒︒∴∠=∠-∠=︒-=；Ⅱ如图3所示，30AEP ∠=︒，20MEP ∠=︒，50AEM ∴∠=︒，∴射线ME 运动的时间5010153t ==（秒)， ∴射线PN 旋转的角度104004033FPN ︒∠=⨯︒=， 又120EPF ∠=︒，4004012033EPN FPN EPF ︒︒∴∠=∠-∠=-︒=； EPN ∴∠的度数为2803︒或403︒；②Ⅰ当PN 由PF 运动如图4时//EM PN ，PN 与AB 相交于点H ，根据题意可知，经过t 秒，15AEM t ∠=︒，40FPN t ∠=︒，//EM PN ，15AEM AHP t ∴∠=∠=︒，又=FPN PGH PHA ∠∠+∠，409015t t ∴︒=︒+︒， 解得185t =（秒)；Ⅱ当PN 运动到PG ，再由PG 运动到如图5时//EM PN ，PN 与AB 相交于点H ，根据题意可知，经过t 秒，15AEM t ∠=︒，//EM PN ，15GHP t ∴∠=︒，9015GPH t ∠=︒-︒，PN ∴运动的度数可得，18040GPH t ︒+∠=︒，解得5411t =；Ⅲ当PN 由PG 运动如图6时，//EM PN ，根据题意可知，经过t 秒，15AEM t ∠=︒，40180GPN t ∠=-︒，30AEP ∠=︒，60EPG ∠=︒，1530PEM t ∴∠=︒-︒，24040EPN t ∠=︒-，又//EM PN ，180PEM EPN ∴∠+∠=︒，153040240180t t ∴︒-︒+-︒=︒， 解得9011t =（秒）， 当t 的值为185秒或5411或9011秒时，//EM PN ．【点睛】本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键．9．（1）∠DAC ；（2）360°；（3）65°【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D=∠FCD ，∠B=∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；解析：（1）∠DAC ；（2）360°；（3）65°【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D =∠FCD ，∠B =∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；（3）过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数．【详解】解：（1）过点A 作ED ∥BC ，∴∠B =∠EAB ，∠C =∠DCA ，又∵∠EAB +∠BAC +∠DAC =180°，∴∠B +∠BAC +∠C =180°．故答案为：∠DAC ；（2）过C 作CF ∥AB ，∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠D =∠FCD ，∵CF ∥AB ，∴∠B =∠BCF ，∵∠BCF +∠BCD +∠DCF =360°，∴∠B +∠BCD +∠D =360°；（3）如图3，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴∠ABE =∠BEF ，∠CDE =∠DEF ，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC =60°，∠ADC =70°，∴∠ABE =12∠ABC =30°，∠CDE =12∠ADC =35°，∴∠BED =∠BEF +∠DEF =30°+35°=65°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． 10．（1），；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．（3）由参数表示，即可判断．【详解】解析：（1）4a =，1b =；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，34BAC BCD ∠=∠【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．（3）由参数t 表示BAC ∠，BCD ∠即可判断．【详解】解：（1）∵()2450a b a b -++-=, ∴4050a b a b -=⎧⎨+-=⎩, 4a ∴=，1b =；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，①当045t <<时，4(45)1t t =+⨯，解得15t =；②当4590t <<时，()418018045t t -=-+，解得63t =；③当90135t <<时，436045t t -=+，解得135t =，（不合题意）综上所述，当t =15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；（3）设A 灯转动时间为t 秒，1804CAN t ∠=︒-，60(1804)4120BAC t t ∴∠=︒-︒-=-︒，又//PQ MN ，18041803BCA CBD CAN t t t ∴∠=∠+∠=+︒-=︒-，而90ACD ∠=︒，9090(1803)390BCD BCA t t ∴∠=︒-∠=︒-︒-=-︒，:4:3BAC BCD ∴∠∠=，即34BAC BCD ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．三、解答题11．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；（2）①由三角形内角和定理可得，解析：(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．【详解】（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠DFE ＝90°，∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，∴∠C ＝∠FDE ，∴AC ∥DE ，∴∠CAF ＝∠E ，∴∠CAF ＝∠E ＝∠B故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°∴∠BAF ＝∠C又AC ∥DE ，∴∠C ＝∠CDE ，∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；（2）①∵90BAC ∠=︒∴90B C ∠+∠=︒又∵50C B ∠∠︒-=，∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）； 当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）；综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．12．(1)∠AQB 的大小不发生变化，∠AQB ＝135°；(2)∠P 和∠C 的大小不变，∠P=45°，∠C=45°.【分析】第(1)题因垂直可求出∠ABO与∠BAO的和，由角平分线和角的和差可求出∠BA 解析：(1)∠AQB的大小不发生变化，∠AQB＝135°；(2)∠P和∠C的大小不变，∠P=45°，∠C=45°.【分析】第(1)题因垂直可求出∠ABO与∠BAO的和，由角平分线和角的和差可求出∠BAQ与∠ABQ 的和，最后在△ABQ中，根据三角形的内角各定理可求∠AQB的大小．第(2)题求∠P的大小，用邻补角、角平分线、平角、直角和三角形内角和定理等知识求解．【详解】解：(1)∠AQB的大小不发生变化，如图1所示，其原因如下：∵m⊥n，∴∠AOB＝90°，∵在△ABO中，∠AOB+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，又∵AQ、BQ分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠BAQ＝12∠BAC，∠ABQ＝12∠ABO,∴∠BAQ+∠ABQ＝12 (∠ABO+∠BAO)＝190452⨯=又∵在△ABQ中，∠BAQ+∠ABQ+∠AQB＝180°，∴∠AQB＝180°﹣45°＝135°．(2)如图2所示：①∠P的大小不发生变化，其原因如下：∵∠ABF+∠ABO＝180°，∠EAB+∠BAO＝180°∠BAQ+∠ABQ＝90°，∴∠ABF+∠EAB＝360°﹣90°＝270°，又∵AP、BP分别是∠BAE和∠ABP的角平分线，∴∠PAB＝12∠EAB，∠PBA＝12∠ABF，∴∠PAB+∠PBA＝12 (∠EAB+∠ABF)＝12×270°＝135°，又∵在△PAB中，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，∴∠P＝180°﹣135°＝45°．②∠C的大小不变，其原因如下：∵∠AQB＝135°，∠AQB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣135°，又∵∠FBO＝∠OBQ+∠QBA+∠ABP+∠PBF＝180°∠ABQ＝∠QBO＝12∠ABO，∠PBA＝∠PBF＝∠ABF，∴∠PBQ＝∠ABQ+∠PBA＝90°，又∵∠PBC＝∠PBQ+∠CBQ＝180°，∴∠QBC＝180°﹣90°＝90°．又∵∠QBC+∠C+∠BQC＝180°，∴∠C＝180°﹣90°﹣45°＝45°【点睛】本题考查三角形内角和定理，垂直，角平分线，平角，直角和角的和差等知识点，同时，也是一个以静求动的一个点型题目，有益于培养学生的思维几何综合题．13．【现象解释】见解析；【尝试探究】BEC 70；【深入思考】2.【分析】[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠解析：【现象解释】见解析；【尝试探究】∠BEC = 70︒；【深入思考】β= 2α.【分析】[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可得出∠DCB+∠ABC=180°，即可证得AB∥CD；[尝试探究]根据三角形内角和定理求得∠2+∠3=125°，根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定义得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°，根据三角形内角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°；[深入思考]利用平角的定义得出∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，利用外角的性质∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，而∠BOC=∠3-∠2=α，即可证得β=2α．【详解】[现象解释]∵OM⊥ON，∴∠CON=90°，∴∠2+∠3=90°∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠DCB+∠ABC=180°，∴AB∥CD；【尝试探究】如图3，在△OBC中，∵∠COB=55°，∴∠2+∠3=125°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°，∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°，∴∠BEC=180°-110°=70°；【深入思考】如图4，理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，∴∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，∵∠BOC=∠3-∠2=α，∴β=2α．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．14．（1）见解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°解析：（1）见解析；（2）∠BGD＝902a︒-；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝12（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°，从而根据∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）即可得到答案；（2）过点G作GP∥AB，根据AB∥CD，得到GP∥AB∥CD，从而得到∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG，然后根据∠EBD+∠EDB＝90°，∠ABD+∠BDC＝180°，得到∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，再利用角平分线的定义求出2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α即可得到答案；（3）过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB，从而得到AB∥GM∥FN∥CD，得到∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，根据BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∠4＝12∠FBP＝12（180°﹣∠3），∠6＝12∠FDQ＝12（180°﹣∠5），即可求解.【详解】解：（1）证明：∵BE平分∠ABD，∴∠EBD＝12∠ABD，∵DE平分∠BDC，∴∠EDB＝12∠BDC，∴∠EBD+∠EDB＝12（∠ABD+∠BDC），∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∴∠EBD+∠EDB＝90°，∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．（2）解：如图2，由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，又∵∠ABD+∠BDC＝180°，∴∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，过点G作GP∥AB，∵AB∥CD，∴GP∥AB∥CD∴∠ABG＝∠BGP，∠PGD＝∠CDG，∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG＝902α-；（3）如图，过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GM∥FN∥CD，∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∴∠4＝12∠FBP＝12（180°﹣∠3），∠6＝12∠FDQ＝12（180°﹣∠5），∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，＝∠3+∠5+12（180°﹣∠3）+12（180°﹣∠5），＝180°+12（∠3+∠5），＝180°+12∠BFD，整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质和三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°【分析】（1）利用平行线的性质求解即可．（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．②利用角平分线的定解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°【分析】（1）利用平行线的性质求解即可．（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．②利用角平分线的定义求出∠M，∠N（用∠FAO表示），可得结论．【详解】解：（1）如图，∵AB∥ED∴∠E=∠EAB=90°（两直线平行，内错角相等），∵∠BAC=45°，∴∠CAE=90°-45°=45°．故答案为：45°．（2）①如图1中，∵OG⊥AC，∴∠AOG=90°，∵∠OAG=45°，∴∠OAG=∠OGA=45°，∴AO=OG=2，∵S△AHG=12•GH•AO=4，S△AHF=12•FH•AO=1，∴GH=4，FH=1，∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1．②结论：∠N+∠M=142.5°，度数不变．理由：如图2中，∵MF，MO分别平分∠AFO，∠AOF，∴∠M=180°-12（∠AFO+∠AOF）=180°-12（180°-∠FAO）=90°+12∠FAO，∵NH，NG分别平分∠DHG，∠BGH，∴∠N=180°-12（∠DHG+∠BGH）=180°-12（∠HAG+∠AGH+∠HAG+∠AHG）=180°-12（180°+∠HAG）=90°-12∠HAG=90°-12（30°+∠FAO+45°）=52.5°-12∠FAO，∴∠M+∠N=142.5°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，最后一个问题的解题关键是用∠FAO表示出∠M，∠N．。

北京丰台区第二中学数学整式的乘法与因式分解（篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.2．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】【分析】设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a 2，得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，再根据正方形的面积公式将a 、b 代入，即可得出答案．【详解】解：设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6b 2，∵a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，（b ＞a ）∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，故选C ．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，用到的知识点是完全平方公式．3．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）.A ．3B ．-3C ．5D ．-5【答案】A【解析】【分析】观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1，再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入，逐次降低m 的次数，使问题得以解决．【详解】∵m 2-m-1=0，∴m 2-m=1，∴m 4-m 3-m+2=m 2 (m 2-m)-m+2=m 2-m+2=1+2=3，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m 2-m 作为一个整体出现，逐次降低m 的次数.4．利用平方差公式计算(25)(25)x x ---的结果是A ．245x -B ．2425x -C ．2254x -D ．2425x + 【答案】C【解析】【分析】平方差公式是（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2.【详解】解：()()()()()2225252525425254x x x x x x ---=--+=--=-， 故选择C.【点睛】本题考查了平方差公式，应牢记公式的形式.5．因式分解x 2－ax ＋b ，甲看错了a 的值，分解的结果是(x ＋6)(x －1)，乙看错了b 的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b分解因式正确的结果为（）A．(x－2)(x＋3) B．(x＋2)(x－3) C．(x－2)(x－3) D．(x＋2)(x＋3)【答案】B【解析】【分析】【详解】因为(x＋6)(x－1)=x2+5x-6，所以b=-6；因为(x－2)(x＋1)=x2-x-2，所以a=1.所以x2-ax＋b=x2-x-6=(x-3)(x+2).故选B.点睛：本题主要考查了多项式的乘法和因式分解，看错了a，说明b是正确的，所以将看错了a的式子展开后，可得到b的值，同理得到a的值，再把a，b的值代入到x2＋ax＋b 中分解因式.6．设M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则M与N的关系为( )A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定【答案】B【解析】由于M=（x-3）（x-7）=x2-10x+21，N=（x-2）（x-8）=x2-10x+16，可以通过比较M与N 的差得出结果．解：∵M=（x-3）（x-7）=x2-10x+21，N=（x-2）（x-8）=x2-10x+16，M-N=（x2-10x+21）-（x2-10x+16）=5，∴M>N．故选B．“点睛”本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．7．已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2－b2=c（a－b），则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ）A ．30B ．20C ．60D ．40【答案】A【解析】【分析】 设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，则2260x y -=，∵S 阴影=S △AEC +S △AED =11()()22x y x x y y -+- =1()()2x y x y -+ =221()2x y - =1602⨯ =30.故选A.【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.9．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）A ．(a ＋1)(a －1)＝a 2－1B ．a 2－6a ＋9＝(a －3)2C ．x 2＋2x ＋1＝x (x ＋2x )＋1D ．－18x 4y 3＝－6x 2y 2·3x 2y【答案】B【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B 、是因式分解，正确．C 、右边不是积的形式，错误；D 、左边是单项式，不是因式分解，错误．故选B ．【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．10．下列式子从左至右的变形，是因式分解的是（ ）A ．21234x y x xy -=B ．11(1)x x x -=-C ．2221(1)x x x -+=-D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的意义进行判断即可．【详解】因式分解是指将一个多项式化为几个整式的积的形式．A ．21234x y x xy -=，结果是单项式乘以单项式，不是因式分解，故选项A 错误；B ．11(1)x x x-=-，结果应为整式因式，故选项B 错误；C ．2221(1)x x x -+=-，正确；D ．22()()a b a b a b +-=-是整式的乘法运算，不是因式分解，故选项D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，涉及完全平方公式，本题属于基础题型．二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知a-b=4，ab=6，则22a b += _________．【答案】28【分析】对完全平方公式进行变形即可解答.【详解】解：∵222()216a b a ab b -=-+=∴22a b +=2()a b -+2ab=16+2×6=28故答案为28.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解答本题的关键.12．因式分解:225101a a -+=______________【答案】()251a -【解析】根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：225101a a -+=()251a -. 故答案为：()251a -.13．把方程x 2+4xy ﹣5y 2＝0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．【答案】x +5y ＝0 x ﹣y ＝0【解析】【分析】通过十字相乘法,把方程左边因式分解,即可求解.【详解】∵x 2+4xy ﹣5y 2＝0，∴(x +5y )(x ﹣y )＝0，∴x +5y ＝0或x ﹣y ＝0，故答案为：x +5y ＝0和 x ﹣y ＝0．【点睛】该题重点考查了因式分解中的十字相乘法,能顺利的把方程左边因式分解是解题的关键所在.十字相乘法相关的知识点是:必须是二次三项式,并且符合拆解的原则,即可利用十字相乘分解因式.14．5(m －n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．【答案】 (m-n)4， （5+m-n ）【解析】把多项式5(m －n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m －n)4-(n-m)5=(m －n)4（5+m-n ）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n ）.15．计算：532862a a a -÷=（）___________．【答案】343a a -【解析】根据整式的除法—多项式除以单项式，可知：532862a a a -÷=（）8a 5÷2a 2-6a 3÷2a 2=343a a -.故答案为：343a a -.16．因式分解：2()4()a a b a b ---＝___.【答案】()()()22a b a a -+-【解析】分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．详解：a 2（a-b ）-4（a-b ）=（a-b ）（a 2-4）=（a-b ）（a-2）（a+2），故答案为：（a-b ）（a-2）（a+2）．点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．17．因式分解：=______． 【答案】2（x +3）（x ﹣3）．【解析】试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即=2（x 2-9）=2（x+3）（x-3）.考点：因式分解.18．若（2x ﹣3）x+5=1，则x 的值为________．【答案】2或1或-5【解析】(1)当2x −3=1时,x=2,此时()2+543-=1，等式成立；(2)当2x −3=−1时,x=1,此时()1523+-=1，等式成立； (3)当x+5=0时,x=−5,此时()0103--=1，等式成立．综上所述，x 的值为：2，1或−5.故答案为2，1或−5.19．有两个正方形A ，B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A ，B 的面积之和为______．【答案】13【解析】【分析】设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图形得出关系式求解即可．【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，由图甲得a 2﹣b 2﹣2（a ﹣b ）b=1即a 2+b 2﹣2ab=1，由图乙得（a+b ）2﹣a 2﹣b 2=12，2ab=12，所以a 2+b 2=13，故答案为13．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．20．若=2m x ，=3n x ，则2m n x 的值为_____.【答案】18【解析】【分析】先把x m+2n 变形为x m （x n ）2，再把x m =2，x n =3代入计算即可．【详解】∵x m =2，x n =3，∴x m+2n =x m x 2n =x m （x n ）2=2×32=2×9=18；故答案为18．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．。

七年级上册北京丰台区第二中学数学期末试卷（基础篇）（Word版含解析）一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）1．如图 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，当直角顶点E 移动时，写出∠BAE 与∠ECD 的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，P 为线段 AC 上一定点，点 Q 为直线 CD 上一动点，且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当点 Q 在射线 CD 上运动时(不与点 C 重合)，∠PQD，∠APQ 与∠ BAC 有何数量关系？写出结论，并说明理由．【答案】（1），理由如下：CE 平分，AE 平分，；（2），理由如下：如图，延长AE交CD于点F，则由三角形的外角性质得：；（3），理由如下：，即由三角形的外角性质得：又，即即．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的判定即可得；（2）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得．2．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作AB．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图①所示，则AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|．当A、B两点都不在原点时：⑴如图②所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|b﹣a|＝|a﹣b|⑵如图③所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣(﹣a)＝a﹣b＝|a﹣b|⑶如图④所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在点O的右侧，则AB＝OB+OA＝|b|+|a|＝a+(﹣b)＝|a﹣b|回答下列问题：（1）综上所述，数轴上A、B两点之间的距离AB＝________．（2）数轴上表示2和﹣4的两点A和B之间的距离AB＝________．（3）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离AB＝________，如果AB＝2，则x的值为________．（4）若代数式|x+2|+|x﹣3|有最小值，则最小值为________．【答案】（1）（2）6（3）；0或－4（4）5【解析】【解答】(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离 (2)数轴上表示2和－4的两点A和B之间的距离 (3)数轴上表示和－2的两点A和B之间的距离如果，则的值为或由题意可知：当x在−2与3之间时，此时，代数式|x+2|+|x−3|取最小值，最小值为故答案为：（1）；（2）6；（3），0或－4；（4）5.【分析】（1）发现规律：在数轴上两点之间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值，故可求解；（2）根据（1），即可直接求出结果；（3）先根据（1）即可表示出AB；当AB=2时，得到方程，解出x的值即可；（4）|x+2|+|x-3|表示数轴上一点到-2与3两点的距离的和，当这点是-2或5或在它们之间时和最小，最小距离是-2与3之间的距离。

2022-2023学年北京市丰台二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )A. B.C. D.2. 抛物线y=(x−4)2+1的对称轴是直线( )A. x=4B. x=1C. x=−1D. x=−43. 关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0的一个根为0，则m为( )A. 0B. 1C. −1D. 1或−14. 抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标是( )A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (2,−1)D. (2,1)5. 如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC=120°，那么∠BAC的度数是( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 在△ABC中，CA=CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB 的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定7. 用配方法解方程x2+4x=1，变形后结果正确的是( )A. (x+2)2=5B. (x+2)2=2C. (x−2)2=5D. (x−2)2=28. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )A. a=2bB. c>0C. a+b+c>0D. 4a−2b+c=0二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 如果点A(3,−2)与点B关于原点对称，那么点B的坐标是．10. 将抛物线y=2x2向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为______．11. 若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12. 在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是．13. 若点A(−1,y1)，B(2,y2)在抛物线．y=2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1______y2.(选填“>”“<或“=”)14. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…−2−10123…y…50−3−4−30…那么该抛物线的顶点坐标是．15. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为．16. 斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(ℎuán)其外，旁有庣(tiāo)焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的边长为尺．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17. 解方程：x2−2x−3=0．18. 解方程：2x2−9x+10=0．四、解答题（本大题共10小题，共58.0分。

一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AM AF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM2．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝123．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ） A ．10% B ．29% C ．81%D ．14.5%4．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-5．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣99＝0化为（x ﹣1）2＝100B ．x 2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C ．2x 2﹣7x ﹣4＝0化为（x ﹣74）2＝8116D ．3x 2﹣4x ﹣2＝0化为（x ﹣23）2＝1096．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A ．7 B ．7或10 C ．10或11 D ．11 7．若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k-4且k≠0B ．k≥-4C ．k>-4且k≠0D ．k>-48．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ） A ．12B ．16C ．l2或16D ．159．方程(2)2x x x -=-的解是（ ） A ．2B ．2-，1C ．1-D ．2，1-10．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e 是（ ） 日一二 三 四 五 六图1图2A ．17B ．18C ．19D ．2011．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ） A ．6人 B ．7人 C ．8人 D ．9人 12．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．1或0 13．一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0配方后正确的是（ ） A ．(x ﹣2)2＝1 B ．(x ﹣2)2＝5 C ．(x ﹣4)2＝1 D ．(x ﹣4)2＝5 14．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝015．若()()2222230x y xy ++--=，则22x y +的值是（ ）A ．3B ．-1C ．3或1D ．3或-1二、填空题16．一元二次方程2210x x -+=的一次项系数为_________．17．关于x 的方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根，则k =_______．18．写出有一个根为1的一元二次方程是______．19．已知()0n n ≠是一元二次方程240x mx n ++=的一个根，则m n +的值为______． 20．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为______．21．当m ______时，关于x 的一元二次方程2350mx x -+=有两个不相等的实数根． 22．若t 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根，则判别式24b ac =-△与完全平方式()22M at b =+的大小关系为___________23．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．24．函数()2835my m x -=+-是一次函数，则m =______．25．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b+=________． 26．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB ＝18m ，AD ＝15m ，在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，则x ＝_____．三、解答题27．解方程： （1）x 2+10x +9＝0； （2）x 2﹣3x ＝14． 28．已知关于x 的方程()22120x k x k ---=，求证：不论k 取何值，这个方程都有两个实数根．29．用适当的方法解一元二次方程： （1）()229x -=； （2）2230x x +-=．30．如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，求AB 和BC 的长．。

一、选择题1．我们把定义域为[)0,+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：①对任意的[)0,x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，给出下列四个结论：（1）若()f x 为“Ω函数”，则()00f =；（2）若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[)0,+∞上为增函数；（3）函数()0,1,x Qg x x Q∈⎧=⎨∉⎩在[)0,+∞上是“Ω函数”（Q 为有理数集）；（4）函数()2g x x x =+在[)0,+∞上是“Ω函数”；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．1()()2xf x =B ．()lg f x x =C ．()f x x =-D ．1()f x x=3．已知2()25x f x +=-，()()20g x ax a =+>，若对任意的[]11,2x ∈-，存在[]00,1x ∈，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．[)3,+∞D ．(]0,34．定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度的最大值为（ ） A ．1B ．74C ．114D ．725．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9)B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)6．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞+∞D ．[2,)+∞7．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12x =有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ） A ．](2-∞，B ．[)2，+∞C ．[]24-，D ．[]14， 9．已知函数224()3f x x x =-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．以上都不对10．若函数2()34f x x x =--的定义域为[]0m ，，值域为2544⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，则m 的取值范围是（ ） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,4D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．)1,4⎡+∞⎢⎣B ．)1,2⎡+∞⎢⎣C ．(10,4⎤⎥⎦D ．(10,2⎤⎥⎦12．已知函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭；当4x <时，1f x f x =+（）（），则22log 3f +（）=A ．124 B ．112C ．18D ．38二、填空题13．关于函数()f x =的性质描述，正确的是_________.①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称.14．函数()()2325f x kx k x =+--在[)1+∞，上单调递增，则k 的取值范围是________. 15．已知()13=f x x ，则不等式(21)f x -() 230f x ++>的解集为_________. 16．自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()xxf ae ex b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数 2.71828e =…）（1）如果()f x 为单调函数.写出满足条件的一-组值：a =______，b =______. （2）如果()f x 的最小值为2，则+a b 的最小值为______.17．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=-，若()113f =- ，则()2019f = _________.18．已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________．19．若关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，则实数a 的取值范围是______. 20．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()0)(f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”．0x 是它的一个均值点，若函数()2f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是___________．三、解答题21．（1）已知()()43f x x a =-+时，当实数a 为何值时，()f x 是偶函数？（2）已知()g x 是偶函数，且()g x 在[)0,+∞是增函数，如果当[]1,2x ∈时()()6g x a g x +≤-恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()f x 为二次函数，满足()()139f f -==，且()03f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()g x f x mx =-在[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()222f x x ax =++，[]5,5x ∈-．（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数． （3）求函数()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值．24．已知函数()()kf x x x R x=+∈，且()()12f f =. （1）求k ；（2）用定义证明()f x 在区间)+∞上单调递增.25．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的图象过()0,1A ，()1,5B 两点，且它的对称轴的方程为12x =-.（1）求该二次函数的表达式；（2）当26x ≤≤时，函数()22y ax b m x c =+-+的最大值为()G m ，最小值为()H m ，令()()()h m G m H m =-，求()h m 的表达式.26．已知一次函数()y f x =满足()12f x x a -=+， . 在所给的三个条件中，任选一个补充到题目中，并解答. ①()5f a =，②142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，③()()41226f f -=. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()()g x x f x f x x λ=⋅++在[]0,2上的最大值为2，求实数λ的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用“Ω函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”. 【详解】解：对（1），由①得()00f ≥， 在②中令0x y ==， 即()()020f f =， 解得：()00f ≤，()00f ∴=，故（1）正确；对（2），当()0f x =时，满足①②，但在[)0,+∞不是增函数，故（2）错误； 对（3），当x ，y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误；对（4），()2g x x x =+，当[)0,x ∈+∞时，min ()(0)00g x g ==≥， 即满足条件①，222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=≥，即满足条件②，∴函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”，故（4）正确.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解“Ω函数”的定义，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.2．C解析：C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，排除选项得到答案. 【详解】A. 1()()2x f x =，非奇非偶函数，排除；B. ()lg ||lg ||()f x x x f x -=-==，函数为偶函数，排除；C. ()()f x x f x -==-，函数为奇函数，且单调递减，正确；D. 1()()f x f x x-=-=-，函数为奇函数，在[1,0)-和(0,1] 单调递减，排除. 故选：C 【点睛】熟悉函数的单调性和奇偶性是解题关键.3．A解析：A 【分析】根据指数函数的性质求出()f x 在[0,1]上的值域A ，利用一次函数的单调性求出()g x 在[1,2]-上的值域B ，由题得B A ⊆，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】2()25x f x +=-，[]00,1x ∈，()()min 01f x f ∴==-，()()max 13f x f ==， ∴()f x 在[0,1]上的值域为[]1,3A =-，又()2(0)g x ax a =+>在[1,2]-上单调递增，∴()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得B A ⊆，021223a a a >⎧⎪∴-+≥-⎨⎪+≤⎩，解得102a <≤.故选：A 【点睛】本题考查函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围.探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围4．B解析：B 【分析】根据定义作出函数()f x 的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可． 【详解】其中(1,1)A ，(3,3)B ，即()233,133313x x x f x x x x ⎧--=⎨-+⋅<<⎩或，当3()4f x =时，当3x 或1x 时，由33|3|4x --=，得9|3|4x -=，即34C x =或214G x =，当7()4f x =时，当13x <<时，由27334x x -+=，得52E x =，由图象知若()f x 在区间[m ，]n 上的值域为3[4，7]4，则区间[m ，]n 长度的最大值为537244E C x x -=-=，故选：B ． 【点睛】利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解.5．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得： 若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<， 综上可得：09m <<， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.6．C解析：C 【分析】由于参数b 的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时，()2f x x =，()[)0,f x ∈+∞，()()[)0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭，对称轴为02b x =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b-≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞） 故选：C. 【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论，同时结合最值与对称轴的关系解决问题.7．B解析：B 【分析】根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④. 【详解】①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，，故错误；②由{}[]12x x x =-=，可得[]12x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确； ③由②可得{}11.52=，{}12.52=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不是增函数，故错误； ④函数{}x 的定义域是R ,而{}[]{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误； 综上，故正确的是②. 故选：B. 【点睛】本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．8．C解析：C 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-， 解之可得24x -， 故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ． 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.9．C解析：C 【分析】根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴224()3[1,2]f x x x =-∈+．当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102k >>-． ∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．10．B解析：B 【分析】求出(0)4f =-，再计算出最小值为32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后求出()4f m =-的值后可得m的范围． 【详解】2325()24f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， (0)4f =-，又32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以32m ≥，由2()344f m m m =--=-解得0m =或3m =，因此332m ≤≤． 故选：B ． 【点睛】方程点睛：本题考查二次函数的性质，掌握其对称轴、单调性是解题关键．由此可得二次函数2()f x ax bx c =++在区间[,]m n 上的最值求法：设0a >，函数的对称轴0x x =（02bx a=-）， 当0x m <时，min ()()f x f m =，0m x n ≤≤时，min 0()()f x f x =，0x n >时，min ()()f x f n =，当02m n x +≤时，max ()()f x f n =，当02m nx +>时，max ()()f x f m =． 0a <类似讨论．11．C解析：C 【分析】由于22()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】由题得， 当0x ≥时，22()f x x a a =--，故写成分段函数222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得222,0()2,x x a f x x a x a ⎧-≤≤=⎨->⎩， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104a <≤. 故选：C . 【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据232log 34<+<，()()222log 33log 3f f +=+可得，又有23log 34+> 知，符合4?x >时的解析式，代入即得结果. 【详解】因为函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当4x <时，1f x f x =+（）（），所()()()()22222log 3log 121log 12log 24f f f f +==+=以=21log 242=124，故选A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、对数的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题13．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单解析：①②④ 【分析】求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】函数()f x =21011x x ⎧-⎪⎨+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．当[1x ∈-，0)时(][)(]2211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒===-∞∈⇒，当(0x ∈，1]时，(][)220,,111x x ∈∈⇒+∞⇒()[0f x ===，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()f x ==，则()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．故答案为：①②④． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.14．【分析】根据函数的解析式分和两种情况讨论利用一次二次函数的性质即可求解【详解】由已知函数在上单调递增可得当时函数在上单调递减不满足题意；当时则满足解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主解析：25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【分析】根据函数的解析式，分0k =和0k ≠两种情况讨论，利用一次、二次函数的性质，即可求解. 【详解】由已知函数()()2325f x kx k x =+--在[)1+∞，上单调递增可得， 当0k =时，函数()25f x x =--在[)1+∞，上单调递减，不满足题意； 当0k ≠时，则满足03212k k k>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得25k ≥，综上所述，实数k 的取值范围是25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 故答案为：25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，其中解答中熟记一次函数、二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力，属于基础题.15．【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断是R 上单调递增的奇函数再结合奇偶性和单调性解不等式即可【详解】由幂函数性质知时在是增函数故函数在是增函数又定义域是R 而故是R 上的奇函数根据奇函数对称性知在R 上解析：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断()f x 是R 上单调递增的奇函数，再结合奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由幂函数性质知，01α<<时y x α=在[)0,+∞是增函数，故函数()13=f x x 在[)0,+∞是增函数，又()f x 定义域是R ，而()()()1133=f x x x f x =-=---，故()f x 是R 上的奇函数，根据奇函数对称性知，()f x 在R 上单调递增.故不等式(21)f x -() 230f x ++>即(21)f x -()() 2323f x f x >-+=--，故2123x x ->--，即12x >-，故解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】 思路点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可；（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可.16．2【分析】（1）取结合函数是单调函数利用复合函数的单调性求解的值即可；（2）根据的最小值为2分类讨论确定结合基本不等式进行求解即可【详解】（1）令则是增函数是减函数要使是单调函数只需综上当时时为增函解析：1- 2 【分析】（1）取1a =，结合函数是单调函数，利用复合函数的单调性求解b 的值即可； （2）根据()f x 的最小值为2，分类讨论确定0a >，0b >，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】（1）令1a =，则()x x f x e be -=+，x y e =是增函数，x y e -=是减函数，要使()x x f x e be -=+是单调函数， 只需1b =-．综上，当1a =时，1b =-时，()xxf x e e -=-为增函数． （2）当0ab 时，()f x 为单调函数，此时函数没有最小值， 当0a <，0b <，()f x 有最大值，无最小值， 所以，若()f x 有最小值为2，则必有0a >，0b >，此时()22x x x f x ae be ae be -=+⨯，1=，即1ab =，则22a b ab +=，当1a b ==时等号成立， 即+a b 的最小值为2． 故答案为：1,1,2- 【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.17．3【分析】根据题意求得函数的周期性得出函数的周期然后利用函数的周期和的值即可求解得到答案【详解】由题意函数对任意实数满足条件则即函数是以4为周期的周期函数又由令则即所以【点睛】本题主要考查了抽象函数解析：3 【分析】根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和()1f 的值，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数()f x 对任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=-， 则()1(4)[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由()113f =-，令1x =-，则1(12)(1)f f -+=--，即1(1)3(1)f f -==， 所以()2019(14505)(1)3f f f =-+⨯=-=． 【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．【解析】解：当k=0时满足条件当时综上：点睛：定义域为分母在上都不为0注意分母不一定为二次所以先考虑二次项系数为零解析：0k ≤<3. 【解析】 解： 当k=0时，13y =，满足条件 当k 0≠时，24120k k -<综上：0k 3≤<．点睛：定义域为R ，分母在R 上都不为0，注意分母不一定为二次，所以先考虑二次项系数为零．19．【分析】由题意可知关于的不等式在上有解作出函数和函数的图象考虑直线与函数的图象相切以及直线过点数形结合可求得实数的取值范围【详解】关于的不等式在上有解即关于的不等式在上有解作出两函数图象当由与相切时解析：5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意可知关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出函数2y x a =-和函数222y x =-的图象，考虑直线2y x a =-与函数222y x =-的图象相切，以及直线()2y x a =--过点()0,2，数形结合可求得实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，即关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出两函数2y x a =-，222y x =-图象，当由2y x a =-与222y x =-相切时，则2222x a x -=-，即22220x x a +--=，()4828200a a ∆=++=+=，解得52a =-.由()2y x a =--过点()0,2得2a =. 由图可知5142a -<<，因此，522a -<<，即实数a 的取值范围为5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用含绝对值的不等式在区间上有解求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.20．【分析】根据新定义可得在区间上有解利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设∴在区间上有解即在区间上有解∵令单调递减时单调递增所以所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定 解析：[)0,+∞【分析】根据新定义可得2x mx m +=在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】解：设11x -<<，()()()()1111f f f x m --==--，∴2x mx m +=在区间()1,1-上有解，即21x m x=-在区间()1,1-上有解，∵()()()()22212112211121111x x x x x y x x x x x-+----+====-+-----， 令()10,2x t -=∈，12y t t∴=+-，(]0,1t ∈单调递减，[)1,2t ∈时单调递增，所以120y t t=+-≥，所以实数m 的取值范围是[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定义题目，解题的关键是将问题转化为2x mx m +=在区间()1,1-上有解，分离参数求解，意在考查了分析能力、数学运算.三、解答题21．（1）0a =；（2）62a -≤≤. 【分析】（1）当0a =时，由()43f x x =+判断，当0a ≠时，由()(),f a f a -的关系判断；（2）根据()g x 是偶函数，将()()6g x a g x +≤-，转化为 ()()6g x a g x +≤-，再根据()g x 在[)0,+∞是增函数，转化为[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立求解. 【详解】（1）当0a =时，()43f x x =+是偶函数，当0a ≠时，a a ≠-，而()()()420f a f a a --=≠，()f x 不可能是偶函数，所以当0a =时，()f x 是偶函数；（2）由()g x 是偶函数知()()g x a g x a +=+，()()66g x g x -=-，且x a +，60x -≥，因为()g x 在[)0,+∞是增函数，及()()6g x a g x +≤-，所以当[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立， 即当[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立，即当[]1,2x ∈时，66x x a x -≤+≤-恒成立， 即当[]1,2x ∈时，662a x -≤≤-恒成立，所以62a -≤≤. 【点睛】方法点睛：函数奇偶性与单调性求参数问题，当涉及到偶函数时，要利用()()()f x f x f x -==转化为求解.22．（1）()2243f x x x =-+；（2）8m ≥或0m ≤．【分析】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入已知条件解得,,a b c ，得解析式；（2）由对称轴不在区间内可得． 【详解】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）∵()()139f f -==，且()03f = ∴99313a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得243a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴()2243f x x x =-+．（2）由（1）()()2243g x x m x =-++，其对称轴为4144m mx +==+ ∵()()g x f x mx =-在[]1,3上单调函数，∴134m +≥，或114m+≤，解得：8m ≥或0m ≤． 【点睛】方法点睛：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的单调性．二次函数解析式有三种形式：（1）一般式：2()f x ax bx c =++；（2）顶点式：2()()f x a x h m =-+；（3）交点式（两根式）：12()()()f x a x x x x =--．23．（1）最大值为37，最小值为1；（2）(][),55,-∞-+∞；（3）()22710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，()max 2g a =.【分析】（1）利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值和最小值； （2）分析二次函数()y f x =图象的开口方向和对称轴，然后对函数()y f x =在区间上为增函数或减函数两种情况分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）对实数a 的取值进行分类讨论，分析二次函数()f x 在区间[]5,5-上的单调性，进而可求得()g a 关于a 的表达式，并求出a 在不同取值下()g a 的取值范围，由此可得出()g a 的最大值.【详解】（1）当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+.所以，函数()f x 在区间[]5,1-上为减函数，在区间[]1,5上为减函数， 当[]5,5x ∈-时，()()min 11f x f ==，()517f =，()537f -=，所以，()()max 537f x f =-=；（2）二次函数()222f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-.①若函数()y f x =在区间[]5,5-上是增函数，则5a -≤-，解得5a ≥； ②若函数()y f x =在区间[]5,5-上是减函数，则5a -≥，解得5a ≤-. 综上所述，实数a 的取值范围是(][),55,-∞-+∞；（3）二次函数()222f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-. ①当5a -≤-时，即当5a ≥时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为增函数， 则()()52710g a f a =-=-，此时()23g a ≤-； ②当55a -<-<时，即当55a -<<时，函数()y f x =在区间[)5,a --上为减函数，在区间(],5a -上为增函数， 则()()22g a f a a =-=-，此时()(]2223,2g a a =-∈-；③当5a -≥时，即当5a ≤-时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为减函数，则()()52710g a f a ==+，此时()271023g a a =+≤-.综上所述，()22710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，()max 2g a =.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 24．（1）2；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题得122kk +=+，解方程即得解； （2）利用定义法证明函数在区间)+∞上单调递增. 【详解】（1）由()()12f f =得122k k +=+， 解得2k =，所以()2f x x x=+ （2）21x x ∀>>()()21212122f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1221212112222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭()()1221122x x x x x x -=-，∵21x x >>，∴210x x ->，212x x >， ∴()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， 所以函数()f x在区间)+∞上单调递增.【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.25．（1）2221y x x =++；（2）()22728,5116913,59221255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩. 【分析】（1）待定系数法求出参数,,a b c ，写出二次函数表达式即可；（2）由（1）知22(22)1y x m x =+-+，即对称轴为12m x -=，讨论12m -与区间[]2,6的位置关系求m 范围及对应()h m .【详解】解：（1）由题可得12215b a c a b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩，解得221a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即2221y x x =++； （2）22(2)2(22)1y ax b m x c x m x =+-+=+-+，其图象对称轴的方程为12m x -=. ①当122m -<时，即5m <时，()8512G m m =-，()134H m m =-，()728h m m =-；②当1242m -≤≤时，即59m ≤≤时，()8512G m m =-，221()2m m H m -++=，21169()1322h m m m =-+； ③当1462m -<≤时，即913m <≤时，()134G m m =-，221()2m m H m -++=，2125()522h m m m =-+； ④当162m ->时，即13m >时，()134G m m =-，()8512H m m =-，()872h m m =-.综上，()22728,5116913,59221255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩. 【点睛】关键点点睛：已知过定点及对称轴，应用待定系数法求二次函数解析式；当对称轴含参数时，研究区间最值需要讨论对称轴与区间的关系确定最值情况.26．（1）()23f x x =+（2）2λ=-【分析】利用待定系数法求出()22f x x a =++，（1）根据所选条件，都能求出1a =，可得()23f x x =+；（2）根据对称轴与区间中点值的大小分两种情况讨论求出最大值，结合已知最大值可求得λ的值.【详解】设()f x kx b =+(0)k ≠，则(1)2k x b x a -+=+，即2kx k b x a -+=+，所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++，若选①，（1）由()5f a =得225a a ++=，得1a =，所以()23f x x =+.（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++， 区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-， 当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max ()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-.若选②，（1）由142a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得14222a a =⨯++，解得1a =，所以()23f x x =+； （2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max ()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max ()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-.若选③，（1）由()()41226f f -=得4(22)2(42)6a a ++-++=，解得1a =，所以()23f x x =+；（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-， 当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max ()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-.【点睛】关键点点睛：第二问，讨论对称轴与区间中点值的大小求最大值是解题关键.。

2021年北京中考二轮复习之二次函数1、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax+a-2(a＞0)，分别过点M(t，0)和点N(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．①当a=2时，若图形G为轴对称图形，求m的值；①若存在实数t，使得m=2，直接写出a的取值范围．2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2a2x+1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B.（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若AB=4，求抛物线所对应的函数解析式；（3）点P(a+4,1)，Q(0,a+1)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+a-4(a≠0)的对称轴是直线x=1.（1）求抛物线y=ax2+bx+a-4(a≠0)的顶点坐标；（2）当-2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在(2)的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m-n=3，求t的值.4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-(a+1)x.（1）若抛物线过点(2,0)，求抛物线的对称轴；（2）若M(x1,y1)，N(x2,y2)为抛物线上两个不同的点，①当x1+x2=-4时，y1=y2，求a的值；①若对于x1+x2≥-2，都有y1＜y2，求a的取值范围.5、在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y=-x2+2mx-m2+2m+1的顶点，（1）求点A的坐标；（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；（3）点P(0,1)向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m的取值范围.6、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2bx+b2-2(b＞0)经过点A(m,n)．（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点B(0,2)，且满足0＜m＜3，求n的取值范围；（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．7、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)被x轴截得的线段长度为4．（1）求抛物线的对称轴；（2）求c的值（用含a的式子表示）；（3）若点M(x1,3)，N(x2,3)为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1(x2-5)≤0，求a的取值范围．8、已知二次函数y=ax2-2ax+1(a≠0).（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M(x1，0)N(x2,0)(其中x1＜x2),且满足x1＜6-2x2,求a的取值范围.9、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a(a＞0)与y轴交于点A．（1）求点A和抛物线顶点的坐标（用含a的式子表示）；（2）直线y=-ax+3a与抛物线y=ax2-4ax+3a(a＞0)围成的区域（不包括边界）记作G，横、纵坐标都为整数的点叫做整点.①当a=1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；①当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围．10、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2mx+m2-1.（1）当m=2时，求抛物线的顶点坐标；（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；①若点(m-1,y1)，(m,y2)，(m+3,y3)都在抛物线y=x2-2mx+m2-1上，则y1，y2，y3的大小关系为_______；（3）直线y=x+b与x轴交于点A(-3,0，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2-2mx+m2-1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当ΔOAP为钝角三角形时，求m的取值范围.11、在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=-2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；（1）求点C的坐标；（2）对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；①设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若参考答案1、【解析】：（1）抛物线的解析式为()222212y ax ax a a x =-+-=--， ① 抛物线的顶点坐标为（1，2-）． （2）① 当2a =时，抛物线为()2212y x =--，其对称轴为1x =． ① 图象G 为轴对称图形，① 点A ，B 必关于对称轴1x =对称． ① 点A 的横坐标为t ，点B 的横坐标为2t +， ① AB =2，① 0t =，点A 为（0，0），点B 为（2，0）．① 当01x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ① 图象G 上任意一点的纵坐标最大值为0，最小值为2-． ① 2m =． ① 02a <≤2、【解析】：（1）x=α；（2）①抛物线22y=x -2x+10ααα（≠）与y 轴的交点为A.∴点A 的坐标为A （0，1）.∵过A 所作x 轴的平行线与抛物线的交点为B ，4AB =， ∴点B 的坐标为（4，1）或（-4，1）. ∴抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2. ∴=2α或=-2α.∴抛物线所对应的函数解析式为2y=2x -8x+1或2y=-2x -8x+1.（3）∵过A 所作x 轴的平行线与抛物线22y=x -2x+10ααα（≠）的交点为B ，∴点B 的纵坐标为1.∵点B 的横坐标是关于x 的方程22x -2x+1=1αα的解.解得12x =0x =2α， ∴点B 的坐标为B （2a ，1）. 又∵点P 的坐标为P （a+4，1），∴点P 在直线AB 上.①如图4.当a 0＞时，2a 0a+11a+4a ＞，＞，＞∴B （2a ，1）在A （0，1）右侧，且Q （0，a+1）在y 轴上N （0，1）的上方，P （a+4，1）在抛物线的对称轴右侧.∵抛物线22y=x -2x+10ααα（≠）与线段PQ 恰有一个公共点，∴结合图象可得，点P ，点B 的横坐标x 满足x p ， x B 满足p x x B ≥ ① a 0＞a+42a ≥解得0a 4＜≤②如图5，当0a <时，20a+11a <，＜a+4a ＞∴B （2a ，1）在A （0，1）左侧，且Q （0，a+ 1）在y 轴上A （0，1）的下方，P （a+4，1）在抛物线的对称轴右侧.∵抛物线22y=x -2x+10ααα（≠）与线段PQ 恰有一个公共点，∴结合图象可得，点P ，点A 的横坐标x p X A 满足x x P A ≥ ①a 0＜a+40≥解得-4a 0≤＜综上所述，-4a 0≤＜或0a ≤＜4 3、【解析】：4、【解析】（1）①函数图象过点（2，0）， ①042(+1)a a =-，①1a =， ······················································································· 1分 ①22y x x =-，①二次函数的对称轴为直线1x =.·································································································· 2分 （2）①由题意可知，二次函数的对称轴为直线x =-2，①(1)22a a -+-=-， ①15a =-. ······················································································ 4分①由题意可知，对于任意的x ≥-2，y 随x 的增大而减小，从而： 0(1)22a a a <⎧⎪-+⎨-≤-⎪⎩， 解得：105a -≤<. ··········································································· 6分5、【解析】：（1）22221y x mx m m =-+-++2()21x m m =--++．①顶点A 的坐标为(,21)m m +． …………………………………………2分 （2）①射线OA 与x 轴所成的锐角为45︒， ①21m m =+．①1m =-或13m =-．…………………………………………4分（3）08m ≤≤且2m ≠. …………………………………………6分 6、【解析】：（1）①2)(22222--=-+-=b x b bx x y ①顶点坐标为)2(-，b .…………………………1分 （2）把)20(，代入2222y x bx b =-+-， 得:b =2或b =-2， ①0>b ，①2=b .①解析式为242y x x =-+，对称轴为2=x . …………2分 ①30<<m ，且顶点坐标为)22(-，，①结合函数图象可得22<≤-n . ……………………4分 （3）结合函数图象，b 的取值范围53≤≤b .…………6分7、【解析】（1）解：①22y ax ax c =-+2(1)a x c a =-+-①抛物线22y ax ax c =-+的对称轴为:直线1x =. ……..……….1分 （2）解：①抛物线22y ax ax c =-+被x 轴截得的线段长度为4 , ①抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交点为()03，.①960a a c -+=.①3c a =-. ………..……….3分 （3）解：①3c a =-, ①223y ax ax a =--.①抛物线223y ax ax a =--的顶点坐标为()4a -1，.①12(5)0x x -≤，①12050x x -≥，≤或12050x x -≤，≥. ①1205x x ≥，≤或1205x x ≤，≥. ①当0a >时，①12(5)0x x -≤，图象过()0-1，，()03，.①1205x x <，≥. 将53x y ==，代入223y ax ax a =--得，14a =. ①104a <≤.①当0a <时，①12(5)0x x -≤，图象过()0-1，，()03，.①1205x x ≥，≤ 将03x y ==，代入223y ax ax a =--得，1a =-. 当抛物线的顶点()4a -1，在MN 上时， ①34a =-. ①34a <--1≤. ①104a <≤或34a <--1≤. .………..……….6分 8、【解析】（1）(2)12a x a --==……………………………………………………2分 （2）1212262x x x x +<⋅+=24x ∴<………………………………………………………3分若0a >时，当1x =时，210,1a a a -+<>……………………………………5分 若0a <时，当4x =时，116810,8a a a -+<<-…………………………………7分 所以1a >或18a <-9、【解析】（1）A (0，3a ) …………………………………………………………… 1分 由抛物线243(0)y ax ax a a =-+> 得422aa--=， 222243(4)12164444a a a a a a a a a a⋅----===-，所以顶点坐标为（2，-a ） ……………………………………………… 3分 （2）①当a =1时，直线3y x =-+与抛物线243y x x =-+的图象如下： 当x =1时，代入得M (1，2)，A (1，0)，符合题意得整点有(1，1)； 当x =2时，代入得N (2，1)，P (2，-1)，符合题意得整点有(2，0)；所以区域G 中的整点有2个 ……………………………………………… 4分………………………………5分………………………………6分①322a <≤．…………………………………………………………… 6分10、【解析】（1）①抛物线为2221y x mx m =-+-,①当m =2时，1)2(3422--=+-=x x x y ①抛物线的顶点坐标是（2，-1） （2）①抛物线的对称轴 是x =m① 则y 1， y 2 ，y 3的大小关系为 y 3 > y 1 > y 2 ； ……………… …4分 （3）①当①OAP =90°，抛物线经过点P （-3，3）， ①)(5,121舍-=-=m m①当①AOP =90°，抛物线经过点P （0，3）， ①2)(,2-21==m m 舍①若①OAP 为钝角三角形,m 的取值范围21>-<m m 或11、【解析】（1））（0 ，5C 或）（0 ，1C …………2分 （2）①①任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），当221>>x x 时，总有y 1＞y 2 ①二次函数经过）（0 ，1C 设二次函数解析式为)3)(1(--=x x a y ①经过），（60A ①2=a …………3分 ①二次函数表达式为6822+-=x x y ………4分。

丰台区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知a=21.2，b=（﹣）﹣0.8，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a2． 设函数f （x ）在R 上的导函数为f ′（x ），且2f （x ）+xf ′（x ）＞x 2，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ）A ．f （x ）＞0B ．f （x ）＜0C ．f （x ）＞xD ．f （x ）＜x3． △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a=，c=2，cosA=，则b=（ ）A ．B ．C ．2D ．34． 如果命题p ∨q 是真命题，命题￢p 是假命题，那么（ ） A ．命题p 一定是假命题 B ．命题q 一定是假命题C ．命题q 一定是真命题D ．命题q 是真命题或假命题5． 已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m ），且∥，则=（ ）A ．（﹣5，﹣10）B ．（﹣4，﹣8）C ．（﹣3，﹣6）D ．（﹣2，﹣4）6． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．B ．|a|＞|b|C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 37． 双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y 23＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 23＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 25－y 2＝1 D.x 22－y 24＝18． 下面是关于复数的四个命题：p 1：|z|=2， p 2：z 2=2i ，p 3：z 的共轭复数为﹣1+i ， p 4：z 的虚部为1． 其中真命题为（ ） A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 49． 已知实数x ，y 满足，则z=2x+y 的最大值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．410．数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．511．若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）A ．(]0,2016 B ．[]0,2015 C ．(]1,2016 D ．[]1,201712．“24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.二、填空题13．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,则其表面积为__________2cm .15．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．16．命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是 ．17．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|+|= ．18．在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则= ．三、解答题19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知1cos )sin 3(cos 2cos 22=-+C B B A. （I ）求角C 的值；（II ）若2b =，且ABC 的面积取值范围为[2，求c 的取值范围． 【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．20．如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，AC=BC=BD=2AE=，M 是AB 的中点．（1）求证：CM ⊥EM ；（2）求MC 与平面EAC 所成的角．21．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x （个） 2 3 4 5 加工的时间y （小时）2.5344.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：回归直线=bx+a，其中b==，a=﹣b．22．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．23．已知函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．（Ⅰ）若直线l：y=k1x是函数y=f（﹣x）的图象的切线，直线m：y=k2x是函数y=g（x）图象的切线，求证：l⊥m；（Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，P=g（），Q=，R=，试比较P，Q，R的大小，并说明理由．24．已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；（2）若l与椭圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．丰台区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：∵b=（﹣）﹣0.8=20.8＜21.2=a，且b＞1，又c=2log52=log54＜1，∴c＜b＜a．故选：A．2．【答案】A【解析】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A故选A．3．【答案】D【解析】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．4．【答案】D【解析】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题，又∵命题“非p”也是假命题，∴命题p为真命题．故命题q为可真可假．故选D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．5． 【答案】B【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4， 故选B ．6． 【答案】D【解析】解：若a ＞0＞b ，则，故A 错误；若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则|a|=|b|，故B 错误； 若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则a 2＞b 2，故C 错误； 函数y=x 3在R 上为增函数，若a ＞b ，则a 3＞b 3，故D 正确； 故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．7． 【答案】【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即|6b |b 2＋a2＝1，又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，∴E 的方程为x 25－y 2＝1，故选C.8． 【答案】C【解析】解：p1：|z|==，故命题为假；p 2：z 2===2i ，故命题为真；，∴z 的共轭复数为1﹣i ，故命题p 3为假；∵，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4 故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．9． 【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，Z最大值=4，故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．10．【答案】C【解析】解：函数f（x）=+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6，∵a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，∴a2014，a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．数列{a n}中，满足a n+2=2a n+1﹣a n，可知{a n}为等差数列，∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4．故选：C．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．11．【答案】B【解析】12．【答案】A【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的充分不必要条件，故选A.二、填空题13．【答案】20x y --=【解析】解析： 设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而1222y y +=，∴12121y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=.14．【答案】20 【解析】考点：棱台的表面积的求解. 15．【答案】﹣280解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=．由，得r=3．∴x2的系数是．故答案为：﹣280．16．【答案】存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．17．【答案】4．【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|+|=2||，再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），∴2||=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．18．【答案】1．【解析】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题19．【答案】【解析】（I ）∵1cos )sin 3(cos 2cos 22=-+C B B A， ∴0cos sin 3cos cos cos =-+C B C B A ， ∴0cos sin 3cos cos )cos(=-++-C B C B C B ，∴0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-C B C B C B C B ， ∴0cos sin 3sin sin =-C B C B ，因为sin 0B >，所以3tan =C 又∵C 是三角形的内角，∴3π=C .20．【答案】【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB ，∴△ABC 为等腰直角三角形， ∵M 为AB 的中点， ∴AM=BM=CM ，CM ⊥AB ， ∵EA ⊥平面ABC ， ∴EA ⊥AC ，设AM=BM=CM=1，则有AC=，AE=AC=，在Rt △AEC 中，根据勾股定理得：EC==，在Rt △AEM 中，根据勾股定理得：EM==，∴EM 2+MC 2=EC 2，∴CM ⊥EM ；（2）解：过M 作MN ⊥AC ，可得∠MCA 为MC 与平面EAC 所成的角， 则MC 与平面EAC 所成的角为45°．21．【答案】【解析】解：（1）作出散点图如下：…（3分）（2）=（2+3+4+5）=3.5，=（2.5+3+4+4.5）=3.5，…（5分）=54，x i y i=52.5∴b==0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05…（10分）（3）当x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．∴加工10个零件大约需要8.05个小时…（12分）【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．22．【答案】【解析】【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．∴g（x）=e x．，f（﹣x）=ln（﹣x），则函数的导数g′（x）=e x，f′（x）=，（x＜0），设直线m与g（x）相切与点（x1，），则切线斜率k2==，则x1=1，k2=e，设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1==，则x2=﹣e，k1=﹣，故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m．（Ⅱ）不妨设a＞b，∵P﹣R=g（）﹣=﹣=﹣＜0，∴P＜R，∵P﹣Q=g（）﹣=﹣==，令φ（x）=2x﹣e x+e﹣x，则φ′（x）=2﹣e x﹣e﹣x＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，故φ（x）＜φ（0）=0，取x=，则a﹣b﹣+＜0，∴P＜Q，⇔==1﹣令t（x）=﹣1+，则t′（x）=﹣=≥0，则t（x）在（0，+∞）上单调递增，故t（x）＞t（0）=0，取x=a﹣b，则﹣1+＞0，∴R＞Q，综上，P＜Q＜R，【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．24．【答案】【解析】解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：x2+4（x+m）2=4，即：5x2+8mx+4m2﹣4=0，△=（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）=﹣16m2+80=0解得：m=．（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程5x2+8mx+4m2﹣4=0的两根，由韦达定理可得：x1+x2=﹣，x1•x2=，∴|AB|====2；∴m=±．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．。