北京丰台区第二中学数学 二次函数(篇)(Word版 含解析)

北京丰台区第二中学数学 二次函数（篇）（Word 版 含解析）

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．已知函数2266()

22()

x ax a x a y x ax a x a ⎧-+>=⎨-++≤⎩（a 为常数，此函数的图象为G ）

（1）当a ＝1时，

①直接写出图象G 对应的函数表达式 ②当y=-1时，求图象G 上对应的点的坐标

（2）当x >a 时，图象G 与坐标轴有两个交点，求a 的取值范围 （3）当图象G 上有三个点到x 轴的距离为1时，直接写出a 的取值范围

【答案】（1）①2266(1)

22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩

，②(1,1),(31),(31)--+--；（2）

0a <或

2635a <<；（3）1a -<，1

153a <<，113a <<-【解析】 【分析】

（1）①将1a =代入函数解析式中即可求出结论；

②分1x >和1x ≤两种情况，将y=-1分别代入求出x 的值即可；

（2）根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解即可；

（3）先求出2

66y x ax a =-+的对称轴为直线6321

a

x a -=-

=⨯，顶点坐标为(

)

23,96a a a -+，222y x ax a =-++的对称轴为直线()

221a

x a =-

=⨯-，顶点坐标为()2

,2a a

a +，然后根据a 和0的大小关系分类讨论，然后根据二次函数的性质逐一求解

即可． 【详解】

（1）①1a =时，2266(1)

22(1)x x x y x x x ⎧-+>=⎨-++≤⎩

②当1x >时，

2661x x -+=-

2670x x -+=

1233x x ==当1x ≤时，

2221x x -++=-

2230x x --=

121,3x x =-=（舍）

∴坐标为(1,1),(31),(31)---- （2）当0a <时

266()y x ax a x a =-+>与y 轴交点坐标(0,6)a ，266y x ax a =-+对称轴为直线

6321

a

x a -=-

=⨯，过点(1,1) ∴x ＞a ＞3a ，此时图像G 与坐标轴有两个交点（与x 轴一个交点，与y 轴一个交点） 当0a ≥时，

266()y x ax a x a =-+>的图像与y 轴无交点

顶点坐标为(

)

2

3,96a a a -+

当x a =时，2

56y a a =-+＞0①，且2960a a -+<②时，此时图像G 与x 轴有两个交点

将①的两边同时除以a ，解得65a <； 将②的两边同时除以a ，解得23

a > ∴

2635

a << 即当

26

35

a <<时，图像G 与坐标轴有两个交点， 综上，0a <或26

35

a <<

（3）2

66y x ax a =-+的对称轴为直线6321a

x a -=-

=⨯，顶点坐标为()

23,96a a a -+ 222y x ax a =-++的对称轴为直线

()

221a x a =-=⨯-，顶点坐标为()

2,2a a a + ①当a ＜0时，

()222y x ax a x a =-++≤中，当x=a 时，y 的最大值为22a a +

由()2

10a +≥可得221a a +≥-，即此图象必有一个点到x 轴的距离为1

而()266y x ax a x a =-+>必过（1,1），即此图象必有一个点到x 轴的距离为1，此时x

＞3a ，y ＞225666a a a a a a ⋅+=-+-

当22

21561

a a a a ⎧+<⎨-+<-⎩时，()222y x ax a x a =-++≤与x 轴只有一个交点，()266y x ax a x a =-+>与x 轴有两个交点

解得：315

a --<

；

当

2

2

21

561

a a

a a

⎧+>

⎨

-+>-

⎩

时，()

222

y x ax a x a

=-++≤与x轴有两个交点，()

266

y x ax a x a

=-+>与x轴有一个交点

解得：1a

-+<<，与前提条件a＜0不符，故舍去；

②当a≥0时，

()

222

y x ax a x a

=-++≤中，当x=a时，y的最大值为22

a a

+，必过点（-1，-1），即此图象必有一个点到x轴的距离为1

而()

266

y x ax a x a

=-+>，此时当x=3a时，y的最小值为2

96

a a

-+，由

()2

310

a

--≤可得2

961

a a

-+≤，即此图象必有一个点到x轴的距离为1

当

2

2

2

2

21

561

961

961

a a

a a

a a

a a

⎧+<

⎪

-+>

⎪

⎨

-+>-

⎪

⎪-+≠

⎩

时，()

222

y x ax a x a

=-++≤与x轴只有一个交点，

()

266

y x ax a x a

=-+>与x轴有两个交点

解得：

1

1

5

a

<<-+且1

3

a≠；

当

2

2

2

2

21

561

961

961

a a

a a

a a

a a

⎧+<

⎪

-+<

⎪

⎨

-+<-

⎪

⎪-+≠

⎩

时，()

222

y x ax a x a

=-++≤与x轴只有一个交点，

()

266

y x ax a x a

=-+>与x轴有两个交点

此不等式无解，故舍去；

当

2

2

2

2

21

561

961

961

a a

a a

a a

a a

⎧+>

⎪

-+<

⎪

⎨

-+>-

⎪

⎪-+≠

⎩

时，()

222

y x ax a x a

=-++≤与x轴有两个交点，

()

266

y x ax a x a

=-+>与x轴有一个交点

此不等式无解，故舍去；

综上：

3

1

5

a

-

-<或

11

53

a

<<

或

1

1

3

a

<<-

【点睛】

此题考查的是二次函数的性质和分段函数的应用，此题难度较大，掌握二次函数的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．