第五章 大变形问题的基本方程和Lagrangion 表示法（列式法）
§5-1物体的运动分析和应变度量
严格来说任何一个变形过程都是非线性的，因为平衡状态和变形有关。但在小变形情况下，以物体变形的平衡方程可始终建立在初始构形上，而与实际情况相差不大，足够满足工程要求。
而研究大变形物体的变形过程，，必须在变形之后的物体构形上建立平衡方程。研究方法：把连续的的变形过程分为若干个增量步，在每个增量步内建立它的增量运动方程——即变形体内质点的运动规律。要选取某一坐标系：初始（initial ）坐标系; 相邻（adjacent, neighboring ）坐标系; 瞬时（current ）坐标系.
1． 物体运动方程：物体构形（configuration ）内一点P 的增量运动方程。
选择两个固定坐标系,以t 时刻物体构形作为参考构形的坐标系a i , 以+t t 时刻物体构形作为参考构形的坐标系x i
研究（t t t →+）具有普遍意义
.t 时刻 ()i P a ； t t + 时刻 '()i P x △t 增量步内，P 的变形
i i i u x a =- （1）
研究t 时间步内物体内一点P 的变形。最简便的办法是将两个坐标系重合在一起。
2． 应变度量
研究P 点附近线素变形 在 t t t →+ 时间步内 ''PQ P Q →
线素变形 i i i du dx da =- （1）’
将i du 在i a 坐标系中，在P 点处作一阶泰勒展开并考虑到()=i P du O 得i
i j j
u du da a ?=
? 代入(1)’ 式得 ()i
i ij j j
u dx da a δ?=+
? (2) 同理将i du 在x i 坐标系中，在P ’点处作一阶泰勒展开,并考虑到()'=i P du O 得
i
i j j
u du dx x ?=
?
代入(1)’ 式 ()i
i ij j j
u da dx x δ?=-
? (2)’ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 附：若位移i du 是坐标i a 的单值连续函数，则可在i a 空间中p 点处展成泰勒级数
. 123123()??????=+++=? ???????i i i i i i p j j
u u u
u du du da da da da a a a x i.e 111
111231232222212312333333123123()()()p p p u u u du du da da da a a a u u u du du da da da a a a u u u du du da da da a a a ??????=+++?? ????????
??????
=+++?? ???????
?
?
?????=+++? ????????
代入（1）式 i i i dx da du =+
写成张量形式： i
i ij j j u
dx da a δ??
?=+ ? ???
?
(2) 同理若将位移i du 在i x 坐标系中p ’点处展成泰勒级数并取一阶项：
123123()??????=+++=? ???????
i i i
i i i p j u u u u du du dx dx dx x x x x 代入（1）得
i
i ij j j u
da dx x δ??
?=- ? ???
?
(2)’ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 上两式中 i i j j u du da a ?=
? i i j j
u
du dx x ?=? 其中
i j u a ??和i j
u
x ?? 可分别记为,i j u 和,i j u ，可称为相对位移张量（不对称张量），而且可将,i j u 分解成对称部分和反对称部分。
i.e. ,i
i j ij ij j
u u a εω?=
=+? (3)
其中 1(
)21()2j i ij j i j i ij j i u u a a u u a a εω??
?=+????
????
=-????
(4)
同理 ,i
i j ij ij j
u u x εω?=
=+? (3)’ 1()21()2j i ij j i j i ij j i u u x x u u x x εω???=+?
???
????
=-????
(4)’
将（3）（4）和 (3)’ (4)’代入（2）(2)’
得变形前线素 ()i ij ij ij i dx da δεω=++ (5) 变形后线素 ()i ij ij ij i da dx δεω=-- (5)’
为了定义应变要讨论t ?时间步内线素的长度变化PQ
t 时刻变形前线素长度 ： PQ 长度ds 0 ()2
0i i ds da da = (6) t+t ?时刻变形前长度 ： ''P Q 长度ds ()2i i ds dx dx = (6)’ 定义应变为: ()()22
02ij
i i
ds ds E da da -=
和 ()()22
02ij
i i
ds ds e dx dx -=
(7)和(7)’
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 附录：
1. 说明：平衡方程和变形有关，否则无法求解或求解错误。
由两杆三铰结构，且三铰位于同一条直线上。从小变形的观点，平衡方程始终相对于初始坐标建立。所以，外力P 无法抵挡，成为结构力学中瞬变机构。
而实际上，平衡状态是客观存在的，如图平衡状态和变形有关。当铰2有了一定的微小法向位移δ之后，杆中的轴力，有一部分可以抵抗外力P ，而平衡与变形δ有关。平衡方程应相对于变形后的构型为参考的坐标系来建立。 2. 说明：用线性理论求解会得到错误的结果。
物体作平面转动的刚体运动。角速度为3ω，t 时间内转动量为t 3ω。按小变形理论，
x
向线素dx ，经转动后成为'dx ，则
1cos cos '3311-=-?=-==
t dx
dx t dx dx dx dx dx du ωωε 当t 3ω较大的时候011≠ε，这显然是不真实的错误解。只有当03→t ω时，011=ε。因此，线性应变理论不适用于大变形状态。 3、关于相对位移张量和不对称性
在i a 坐标系下，表示位移i du ，则j j i j j i i da u da a u du ,=??=，其中j
i j i a u
u ??=,称相对位移张量，即
???
??
????????????
?
?
???????
????????????????????=??
????????321
332
31
33222123121
11
321da da da a u a u a u a u a u a u a u a u a u du du du 相对位移张量是非对称张量，因为
i
j
j i a u a u ??≠
??。例如对于平面内变形： 1
2
21a u a u ??≠?? )(211
2213a u a u ??-??=
ω 1
2
211221a u a u ??+??=
=γγ 12211221212
1
ωεωγ+=+=??a u 其中21γ是工程应变，21ε是应变张量分量。这样可以将相对位移张量分解成对称部分和反对称部分
ij ij j i j
i
u a u ωε+==??, (3) 其中)(21i j j i ij a u a u ??+??=ε为对称部分称为应变张量；)(21i j
j i ij a u a u ??-??=ω为非对称部分称为刚
体转动
1
2a
?122
γ1
a
分量表示
????
?
??
???=???????
?????????=3332312322211312
113332312322
21
1312112
12
121
21212
1
εεεεεεεεεεγγ
γεγγγεεij ????
??????---=00
32
31
2321
1312ωωωωωωωij 同理
ij ij j i j
i
u x u ωε+==??, (3)’ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 为了求)(ij ij e E ，将（2）代入（5）
i
i j
k i k i j j i i i j
k
i k i j j i i i i j
i ij i j i ij i
i i i da da a u a u a u a u da da a u a u a u a u da da da a u
da a u da da dx dx dS dS )()11()()()()(202????+??+??=-????+??+??+
=-??+??+=-=-δδ (8) 上面的展开推导过程中，采用了张量运算法则：
1) 当1i j k ===时，1==kl ij ij ij δδδδ 2) j
i
j i ij
a u a u ??=
??δ 3)
j
k
i k j i j i a u a u a u a u ????=
???? 同理，将 (2)’ 代入 (5)’
220()()(
)????-=-=++????j i k k
i i i i i i j i i j
u u u u dS dS dx dx da da dx dx x x x x (8)’ 将 (8) 和 (8)’ 代入 (5) 和 (5)’，得
)(21j
k i k i j j i ij a u a u a u a u E ????+??+??=
(9)
)(21j
k
i k i j j i ij x u x u x u x u e ????+??+??= (9)’
统一表示为：
)(2
1
)(,,,,j k i k i j j i ij ij u u u u e or E ++=
(10) (10) 式恰好反映了t ?增量步内，线素PQ （P 点）的应变量，ij E 是以t 时刻的物体构形为参考构形建立的坐标系来描述的，而ij e 是以t +t ?时的坐标描述的。 前者称为Green 应变，取相对坐标系。后者称为Almansi 应变，取即时坐标系。 讨论：
如果将初始构形i a 和变形后的构形i x 看作是同一构形，即变形比较小，且位移的一阶导数项
j i a u ??（j i x u
??）也比较小，则可认为平方项（i k a u ??j
k a u ??）趋近于零，那么 (9) 式和 (9)’ 式就完全相同。ij E 和ij e 退化为通常的线性应变。 §5-2 物体内一点的应力度量
引言：就应力的概念而言，是定义在变形物体所处平衡状态的一点位置上的。也就是定义在某一时刻的物体位形上。由于上面应变是定义在不同构形所相应的参考坐标系下，所以应力在不同坐标系下也有多种应力表示。
设力向量d P 表示作用在物体处于某一平衡位形下，微面积ds 上的合力，在直角坐标系下d P 的各分量为i d P （i=1，2，3）,微面积ds 的外法线方向上单位向量n ，各分量l i 为外法线的三个方向余弦。
该点应力向量定义为: 0lim ds dP
ds
σ→=。
1、Euler 应力（True stress ）
该应力时定义在变形后的物体微面积ds 上，用ij σ表示 则由Cauchy 公式得：
i ij j dP l ds σ= (13)
该应力和Almansi 应力相对应 分量形式：
()()()111112213322112222333311322333dP l l l ds dP l l l ds dP l l l ds
σσσσσσσσσ=++??
=++??
=++?
2、Lagrangion 应力（nominal stress ）(1th Pida-kirchhoff)
把变形后微面积ds 上的应力，定义在变形前的微面积ds o 即用初始坐标系来表示。将ds
上的力dP i ,转向初始位形相应的微面积ds o 上，而在转换过程中保持力的大小和方向不变。
力平移 oi i dP dP = (14)
并在初始微面积上定义
oi ij oj o dP T l ds = (15)
即将物体变形后微面积ds 的应力用初始位移下相应微面积ds o 上的力来表示。称为Lagrange 应力。
3． Kirchhoff 应力（back transformed stress ） (2nd pida-Kirchhoff stress)
将变形后物体微面积ds 上的合力dP i ,按照张量变换，转换到初始位形的相应微面积ds o 上，而不是平移。
则 0i ij j dP l dP = (ij im jn mn l l σσ=) (16)
其中 ()cos ,i
ij i j j
a l x a x ?==
? 在初始构形的微面积上，定义应力s ij 称为Kirchhoff 应力
()
k oi ij oj o dP S l ds = (17)
附：关于方向余弦l ij 张量
定义 i ij j x l a = ； ij l 是不对称张量。 性质 33
2
21
1
1ij ij
i j l l
====∑∑
例在二维平面中
在 i a 坐标下 ， P 点（1a ，2a ） 在 i x 坐标下 ， P 点（1x ，2x ）
111111
212
cos cos ox OA Ax oa a p a a
oa oa x x αβ=+=+??=+??
Ie. 1111212x a l a l =+ 同理 2121222x a l a l =+ 4、 Euler 应力、Lagrangion 应力和Kirchhoff 应力之间的关系
将（15），（16）式代入（17）式得：
0000i i ij j j ij j i i
a a
S l ds dP T l ds x x ??=
=?? (18) 即 i
ij ij ij ij i
a S T l T x ?=
=? 利用变形过程中微元的质量不变条件
00i
i j i
a l ds l ds x ρρ?=? (19) 其中0ρ和ρ分别为初始和变形后的密度 将（19）式代入（13）（14）式 由（13）式右端=（14）式右端得
00ij j ij j l ds T l ds σ= (20)
由(19) 00i
j j j
a l ds l ds x ρρ?=
? (21) (21)式代入(20)得：
0i
ij
ij j
a T x ρσρ?=? (22) (22)式代入(18)式
00000
i i ij j ij ij j i i a a S l ds T l ds x x ρσρ????=
????? 0
ij il jm lm S l l ρσρ
=
(23) 以上(18) (22) (23)式给出了三种应力之间的关系。 上述关系中 ij σ为Euler 应力是对称的。
T ij 为Lagrangion 应力是不对称的，因为力是通过向量平移过来的。 S ij 为Kirchhoff 应力是对称的，因为力是通过向量转换过来的。
§5.3大变形过程中弹性本构方程
这里仅讨论单纯的几何非线性问题，而材料本构方程仍为弹性的。需要注意的是在不同的坐标系下，采用相应的应变和应力来表示。
即在当前构形的坐标系下，采用Euler 和Almansi 应变
在相对（参考）构形 采用Lagrangion 应力和Green 应或采用Kirchhoff 应力和Green 应变 设变形体在无热交换的保守系统中，物体处于平衡状态下，由本构关系
ij ijkl kl D e σ= 弹性阵ijkl D 有34个(81)个）系数 (24)
将上面关系式（12）（22）和（23）它们分别给出了;ij
ij ij
ij E e T σ和ij ij S σ之间的关系。
代入(24)式可得： 0
mn mnPQ PQ T D E = (25)
和 0
mnPQ
PQ mn S D
E = (26)
其中： 0
0Q m P mnPQ ijkl i k L
x
x x D D a a a ρρ???=
??? 非对称弹性阵 0
0Q
m n P mnPQ
ijkl i j k L
x x x x D
D
a a a a ρρ????=???? 对称弹性阵 § 5.4 Lagrangion 坐标系下的有限元列式推导
采用拉格朗日法是以某一已知位形位参考位形建立的坐标系，它采用的是个Green 应变和2nd pida-Kirchhoff 应力来描述几何物理和平衡方程。
在采用增量发求解的过程中，把每个载荷步看成是变形过程中的各个时间增量步，即每个增量步上都对应物体的一个构形。在L 氏表示中，若一初始构形做位参考构形的称为全局的拉格朗日表示法（Total-Lagrangion ）,若以前一个相邻的构形作为参考构形的则称为修正的Lagrangion 表示法(Update-Lagrangion) 1、T.L 表示 （讨论 t — t+△t 增量步）
设变形体在t 时刻的状态是已知的，即相对于初始坐标下的各力学量（位移、应变和应力是已知的），现在要求在某一增量载荷作用下的增量位移、应变、应力等。 1） 增量形式的几何关系及其变分形式 a) 增量几何关系
设t 和t+△t 时刻的Green 应变
()(),,,,,,,,1
2
1
2ij i j j i k i k j ij i j j i k i k j E u u u u E u u u u =
++=++ (28)
设△t 时间步内的增量位移和增量应变为△U i 和△ij E
则： i i i u u u =+? ij ij ij E E E =+? (29)
t+△t 时刻的应变量ij E 可用t 时刻的位移和位移增量表示
()()()()1212ij i i j j k k k k j i i i j i k k ij j i i j E u u u u u u u u x x x x u u u u E x x x x ???????
=+?++?++?+?? ? ??????
??????????=++????????????
(30)
()()()()()()12j i k k k k k k ij ij ij j i i j i j i j u u u u u u u u E E E x x x x x x x x ??
???????????????=-=++++??????????????
(31)
记为 01
L L NL ij ij ij ij ij ij E E E E E E ?=-=?+?+? (32)
式中 0112121.2???
?????=+? ? ?????
??
??
????????=+
?? ????????
?
??
??????= ?? ??????
j L i ij j i L k k k k
ij i
j j i NL k k ij i j u u E x x u u u u E x x x x u u E x x (33) (33)式中第一、二式是未知增量位移的线性项，而第三部分是非线性项。在有限元计算中通常写成矩阵形式：
即 NL L L E E E E ?+?+?=?10 (32)’ 且 U L E L ?=?.0，θθA A E L ?+?=
?21211，θ??=?A E L 2
1
2 (33)’ 在三维空间中： {}T
u u u U 321,,= (34)
?
???
???
?
????????????????
??????????????????????????
=0000000001
2
1323321x x x x x x x x x L (35) ????
??
????
???????
??????
?????????
??????????????????????=000
0000001
2
13
23321x u x u x u x u x u x u x u x u x u A T T T T T T T T
T (36)
??
??
?
??
??????
??????????
??
??
???????
?????????????????????????????=?0)()()(0)()()(0)(000)(00
0)(1
2
1323
32
1x u x u x u x u x u x u x u x u x u A T T T T T T T T
T (36)’ , ????????????????????????=111x u x u x u θ (37) , ???
??
??????????????????????=?321x u x u x u θ(37)’
111312312312333000000000000000000
x x x I x x H I x x I x x x x x ???
????????
????????????
???????????????????????==?????????????????????????
?????????????????????
???????
?
3I 为3×3的单位阵 若单元位移插值函数 u=Nq 则 △u = N △q
△θ= H △u = HN △q = G △q (39)
令： G = HN (40)
以上公式代入(32)’—(33)’
可得： *
00L L E L u LN q B q ?=?=?=? (41)
*
111122
L L E A A AG q B q θθ?=
?+?=?=? (42) (38) 设：HU =θ
*
11122
NL L E A AG q B q θ?=??=??=? (43)
这里： *L0B LN = (41)’
*L1B AG = (42)’
*nL
1
B 2
AG =? (43)’ 回代(32)’可得： ***
01()L L NL E B B B q ?=++? (44)
令 *E B q ?=? (45)
此时 ****01L L NL B B B B =++ (46)
b. 增量几何关系的变分形式
(46)式反应了在△t 增量步内应变增量和位移增量间的几何关系。因为在以后研究没已增量步内的平衡关系时，需要利用能量变分原理；故下面推倒其变分几何关系。即
)()(q B E ?=?δδ
0011()()()()L L L L E B q E B q δδδδ?=??=? *
00*11L L B B B B ?=?
?=??
(47) )(()()
()()()
*
11
122
22δδθδθδθδθδδ???=???=???+??? ???=???=??=?nL nL E A A A A AG q B q (48)
∴ AG B NL ?=
2
1
*
令 *
2nL nL B B = 得 )(()nL nL E B q δδ?=?
于是 ()***01()δδ?=++?L L NL E B B B q
设 01L L NL B B B B =++ (49)
最后得△t 增量步内增量几何关系的变分形式：
()δδ?=?E B q (50)
2) 增量平衡方程和切线刚度矩阵 (1) 增量平衡方程 (2) 切线刚度矩阵
在△t 步内采用能量变分原理，可写出t+△t 时刻的平衡方程式：
???+=-
00V V V T T T
dA p N dV F N dV S B
设上式右端项＝P ，即为单元的等效节点力向量；
左端： ?????+=?+=-
00)(V V V T V T T T SdV B SdV B dV S S B dV S B
将式：NL L L B B B B ++=10代入可得
I I I
I I I -
?????+++=0
00
210)(V T V T L V T L T V T SdV B SdV B SdV B B dV S B
令 e R =I
q K ?=II σ其中：GdV M G K V T ?=0
σ；????
?
?????I I I I I I I I I =3333
323
313233223
213133123
11S S S S S S S S S M ???=?=I I I 0
*V T V T q dV DB B EdV D B
当非线性方程采用线性化方法求解时，假定在一个微小的增量步内0*
==NL
NL B B 则：10*L L B B B B +== 于是
所以平衡方程式可写为：
[]为几何刚度矩阵
为大位移矩阵为线性刚度矩阵
为切线刚度矩阵其中则有：令 ; ; :
000σσ
σK K K K R P q K K K K K R P q K K K L T e T L T e
L -=?++=-=?++
2、U ．L ．方法
1）几何关系（增量几何关系及其变分形式） 2）平衡方程及切线刚度矩阵 3）T.L 和U.L.两种方法的比较
()
()()0
000010100011011 L T
L L L L V T T T T
L L L L V V K K B B D B B dV q
B DB dV B DB B DB B DB dV q
III =++???
??
??=+++?????
??
???
6.2.1方程的简单变形（第2课时） 课型：新授 执笔： 学习目标： 1、能灵活运用方程的简单变形规则解一元一次方程 2,通过尝试，探究，掌握解较为复杂的方程基本方法 学习重点：方程的简单变形 学习难点：移项要变号和系数化为1 学法指导：自主，合作，探究 学习过程： 一、知识回顾： 1.方程的两条简单变形法则_____________________________________________ _____________________________________________________________________ 2.什么叫移项？_______________________________________________________ 二、自主学习、合作探究： 探究一：解下列方程： (1)3x+2=14; (2)x x -=12 1 (3)1-2x=2x (4)5=4n-3 (5)1-x 21 =x+3 1 探究二：已知y 1=2x-3,y 2=3x+2,当X 取何值时，y 1 = y 2 ？ 探究三：甲班人数有35人，乙班人数有47人，应从乙班调出多少人进入甲班，才能使两班人数一样多？ 三、当堂训练 1、已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ） A 、3a-5=2b B 、3a+1=2b+6 C 、3ac=2bc+5 D 、a=3 532+b
2、一元一次方程3x+6=2x-8移项后正确的是（ ） A 、3x+2x=6-8 B 、3x-2x=-8+6 C 、3x-2x=-6-8 D 、3x-2x=8-6 3、下列变形中属于移项的是（ ） A 、由2X=-1得x=2 1- B 、由22=x 得x=4 C 、由5x+6=0得5x=-6 D 、由4-3x=0得-3x+4=0 4下列方程变形正确的是 (只填序号) ①3x+6=0可变为3x=6 ②2x=x-1可变为2x-x=-1 ③2+x-3=2x+1可变为2-3-1=2x-x ④4x-2=5+2x 可变为4x-2x=5-2 5、方程3x+2=0的解是 6、已知2a-3与12-5a 互为相反数，则a= 四、课后巩固 1、解方程-x=-30，，系数化为1正确的是（ ） A 、-x=30 B 、x=-30 C 、x=30 D 、x=3 2、若a=b ，则（1）a-4141-=b ,（2）b a 5141=,（3）b a 3434-=-,（4）3a-1=3b-1, （5）1-2a=2b-1中，正确的有 （只填序号） 3、若单项式123-n ab 与单项式1+n ab 是同类项，则n 的值是 4、如果55222-=+-a b a ，那么b= 5、已知92,4321-=-=x y x y ，解答下列问题：（1）当x 取何值时，21y y =？ （2）当x 取何值时，1y 比2y 小18？ 6、若x=2是关于的方程a x x -=+242的解，求代数式a a 12-的值. 五、小结： 六教（学）后感：----------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
§6.2.1 方程的简单变形(2) 科目：七年级数学备课人：王淑轶 【教学目标】 1.进一步理解等式的性质，掌握“移项”和“将未知数的系数化为1”两种变形的方法。 2.能正确地应用等式的性质对方程进行简单的变形求出方程的解。 3.进一步渗透化归的数学思想，培养逻辑思维和推理能力。 【教学重点】 用等式的性质解简单的方程。 【教学难点】 两次运用等式的性质，并具有一定的思维顺序。 【教学过程】 一、复习回顾，导入新课 1.方程两边都加上或都减去，方程的解不变。 2.方程两边都乘以或都除以，方程的解不变。 3.解下列方程，并说出每步计算的依据： (1)2x+3＝1；(2)8x＝2x-7； (3)-7x＝-42；(4)- 1 4y= 1 2. 二、自主探索，预习展示 自学课本6页～7页内容，完成下列问题： 1.方程8x=2x-7,移项，得：；合并同类项，得：；将未知数的系数化为1，得：。 2.方程6=8+2x, ，得：8+2x=6；，得：2x=6 ；将未知数的系数化为1，得：x= 。 3.求方程的解的过程，就是通过、等变形，把方程转化成的形式。 三、合作探究 1.解下列方程： (1)2y- 1 2= 1 2y-3；(2) 2 5x-8＝ 1 4-0.2x. 2.思考：你还有更好的解法吗？想一想，应如何选择解方程的步骤。
四、巩固练习 1.解下列方程： (1)3x+4=0；(2)7y+6=-6y；(3)5x+2=7x+8；(4)10-9x=9-10x； (5)3y-2=y+1+6y；(6)1- 1 2x=x+ 1 3. 2.根据下列条件列出方程，然后求出结果。 (1)某数比它的4倍小6； (2)比某数的3倍小2的数等于它的一半； (3) 某数的30%与17的差等于这个数的2倍。 3、已知y1=3x+2，y2=4-x。 (1)当x取何值时，y1=y2？(2)当x取何值时，y1比y2大4？ 五、整体感知 本节课我们学习掌握“移项”和“将未知数的系数化为1”两种变形的方法在一元一次方程中的具体应用。 在实际计算中，要根据题目灵活运用两种变形进行解答。 六、拓展延伸 已知关于x的方程4x+2m=3x+1与x+2=2x+1的解相同，求m的值。
6.2.1方程的简单变形(一) (时间:45分钟 总分:100分) 考点导航:1.理解方程简单变形的依据; 2.理解移项要变号的要求; 3.中考时重点考查移项在解方程中的应用. 1．下列说法不正确的是（ ） Ａ、若x y =，则x a y a +=+ Ｂ、若x y =，则x b y b -=- Ｃ、若x y =，则22 77x y = Ｄ、若x y =，则x y a a = 2．下列方程变形中正确的是（ ） ① 360x +=可变形为36x =；② 21x x =-可变形为21x x -=-； ③ 2321x x +-=+可变形为2312x x --=-； ④ 4252x x -=+可变形为4252x x -=-． Ａ、①②③ Ｂ、②③ Ｃ、②④ Ｄ、②③④ 3.把方程1 74 x - =系数化为1,下列选项正确的是( ) A 、714x = B 、174x ?? =?- ??? C 、714 x =- D 、174x =+ 4．3x =-是方程4x a +=的解，则a 的值是（ ） Ａ、7 Ｂ、1 Ｃ、1- Ｄ、7- 5.下列说法正确的是（ ）。 A 、将方程11 22x x x -+=-变形，得到22x -=-。 B 、将方程(1)(2)1x x x --=-两边都除以1x -，得到2x -=0，这两个方 程的解相同。C 、将方程322x =系数化为1，得4 3 x =。D 、将方程344x x =-变形，得4x =。 6.①由 13 x =得1x =的变形是移项；②方程的解也可以说是方程的根； ③当,a b 是有理数且0a ≠时，关于x 的方程ax b =的解为b x a =； ④若(2)(2)a x a y -=-，且2a ≠，则x y =。 对于以上四种说法正确的是（ ） A 、①③ B 、②④ C 、③④ D 、①④ 二 精心填一填，你会轻松（每题4分，共28分） 7.(1)方程的基本变形一:方程两边都加上或都减去___________或__________,方程的解不变; (2)方程的基本变形二:方程的两边都乘以或除以________________________,方程的解不变; (3)移项的依据是__________________,将未知数的系数化为1的依据是_________________. 8.下列方程的变形是否正确?若不正确请改正. (1)由233x x +=-,得233x x -=(对,不对) 改正:___________________; (2)由85x =-,得8 5 x =-(对,不对) 改正:_____________________. 9.若()2 310x y -++=,则2008 () xy =______________________. 10.若关于x 的方程53=-ax 的解是=x 2,则=a __________. 11.在等式3215?-?= 的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相
6.2 1. 第1课时 由等式的性质到方程简单变形 一、选择题 1．若x ＝1是关于x 的方程2x －a ＝0的解，则a 的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1 2．方程2x ＋3＝7的解是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝4 C ．x ＝3.5 D ．x ＝5 3．下列说法正确的是( ) A ．若a ＋m ＝b ＋m ，则a ＝b B ．若a 2＝b 2，则a ＝b C ．若ma ＝mb ，则a ＝b D ．若x ＝y ，则x a ＝y b 4．下列等式变形正确的是( ) A ．如果x ＝y ，那么x －2＝y －2 B ．如果－12 x ＝8，那么x ＝－4 C ．如果mx ＝my ，那么x ＝y D ．如果|x|＝|y|，那么x ＝y 5．当x ＝2时，代数式ax －2的值是4，那么当x ＝－2时，这个代数式的值是( ) A ．－4 B ．－8 C ．8 D ．2 二、填空题 6．用适当的数或式子填空，使方程的解不变． (1)如果5x ＋3＝－7，那么5x ＝________； (2)如果x 5＝y 2 ，那么2x ＝________. 7．下列结论：①若m ＝n ，则m 3＝n 3 ；②若－2x ＋2＝－2y ＋2，则x ＝y ；③若am ＝bm ，则a ＝b ；④若a ＝b ，则am ＝bm.你认为正确的结论有________(填序号)． 8．若2x －3与1互为相反数，则x ＝________． 9．图K －2－1中标有相同字母的物体的质量相同，若物体A 的质量为20克，当天平处于平衡状态时，物体B 的质量为________克． 图K －2－1 三、解答题 10．解方程：(1)5x ＋3＝8； (2)5x ＋2＝3x ； (3)－34x ＝43； (4)35x －17＝－25 x.
6.2.1等式的性质与方程的简单变形（一） 知识技能目标 1.理解并掌握方程的两个变形规则； 2.使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程； 3.运用方程的两个变形规则解简单的方程． 过程性目标 1.通过实验操作，经历并获得方程的两个变形过程； 2.通过对方程的两个变形和等式的性质的比较，感受新旧知识的联系和迁移； 3.体会移项法则：移项后要变号． 课前准备 托盘天平，三个大砝码，几个小砝码． 教学过程 一、创设情境 同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事． 小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量． 最常见的方法是用天平测量一个物体的质量． 我们来做这样一个实验，测一个物体的质量（设它的质量为x）．首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量． 二、探究归纳 请同学来做这样一个实验，如何移动天平左右两盘内的砝码，测物体的质量． 实验1：如图(1)在天平的两边盘内同时取下2个小砝码，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量． 实验2：如图(2)在天平的两边盘内同时取下2个所测物体，天平依然平衡，所测物体的质量等于2个小砝码的质量．
实验3：如图(3)将天平两边盘内物体的质量同时缩少到原来的二分之一，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量． 上面的实验操作过程，反映了方程的变形过程，从这个变形过程，你发现了什么一般规律？ 方程是这样变形的： 方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，所得结果仍是等式。 请同学们回忆等式的性质和方程的变形规律有何相同之处？并请思考为什么它们有相同之处？ 通过实验操作，可求得物体的质量，同样通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解． 三、实践应用 例1 解下列方程． (1)x －5 = 7； (2)4x = 3x －4． 分析：(1)利用方程的变形规律，在方程x －5 = 7的两边同时加上5，即x －5 + 5 = 7 + 5，可求得方程的解． (2)利用方程的变形规律，在方程4x = 3x －4的两边同时减去3x ，即4x －3x = 3x －3x －4,可求得方程的解． 即 x = 12． 即 x =－4 ． 像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项(transposition )． 注 (1)上面两小题方程变形中，均把含未知数x 的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边． (2)移项需变号，即：跃过等号，改变符号． 例2 解下列方程： (1)－5x = 2； (2)3 123=x ； 分析：(1)利用方程的变形规律，在方程－5x = 2的两边同除以－5，即－5x ÷(－ 5)= 2÷(－5)(或5255-=--x )，也就是x =5 2-,可求得方程的解．
初一数学·方程的简单变形 广西大新县雷平中学何勇新 通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。 1．重点：方程的两种变形。 2．难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。 上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成x＝a 形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。 让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。 测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。 如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡。 如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗？ 让同学们观察图的左边的天平；天平的左盘内有一个大
砝码和2个小砝码，右盘上有5个小砝码，天平平衡，表示左右两盘的质量相等。如果我们用x表示大砝码的质量，1表示小砝码的质量，那么可用方程x+2＝5表示天平两盘内物体的质量关系。 问：图右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的？它所表示的方程如何由方程x+2＝5变形得到的？ 学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。 问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变？如果把方程两边都加上同一个整式呢？ 让同学们看图。左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x＝2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的？ 把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗？如果把方程两边都加上2x呢？ 由图、可归结为； 方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。 让学生观察，由学生自己得出方程的第二个变形。 即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变：
§6.2.1 方程的简单变形(1) 科目：七年级数学 备课人：王淑轶 【教学目标】 1.了解等式的两条性质，理解并掌握“移项”和“将未知数的系数化为1”的意义和方法； 2.能正确地应用等式的性质对方程进行简单的变形求出方程的解； 3.初步体会数学建模的过程和思想，渗透化归的数学思想，培养观察、分析和概括能力。 【教学重点】 理解和应用等式的性质。 【教学难点】 应用等式的性质把简单的方程化为“x =a ”的形式。 【教学过程】 一、复习回顾，导入新课 1.解下列方程： (1)3+x=8 (2)17-2x=6 (3)3x-7=11 (4)-7x=21 2.观察以上各方程的解的书写形式，有什么共同点？ 二、自主探索 自学课本4页～6页内容，完成下列问题： 1、方程两边都加上或都减去 ，方程的解不变。 2、方程两边都乘以或都除以 ，方程的解不变。 3、将方程中的某些项 后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。 4、解方程的过程，实质上就是对方程进行适当的变形得到 的形式。 5、试用适当的数或整式填空： (1) 若3x=5-4x ，则3x+（ ）=5； (2) 若x 3 +4=2x ，则2x-（ ）=4； (3) 若-y=2，则y=（ ）； (4) 若8-2x=4，则x=（ ）. 三、合作探究 1、解下列方程： (1)x-5＝7； (2)4x ＝3x-4； (3)-5x ＝2； (4)32 x=13 。
2、试直接写出下列方程的解： (1)x-8＝5，（ ）； (2)9x ＝8x-5，（ ）； (3)-6x ＝-36 ，（ ）； (4)- 15 x=110 ，（ ）。 四、巩固练习 1、解方程2x-4=3x+5，移项正确的是（ ）。 A.2x+3x=5-4； B.2x+3x=5+4； C.2x-3x=5-4； D.2x-3x=5+4. 2、下列方程的变形中，移项正确的是（ ）。 A.由8+x=12，得x=12+8； B.由5x+8=4x ，得5x-4x=8； C.由10x-2=4-2x ，得10x+2x=4+2； D.由2x=3x-5，得3x+2x=5。 3、方程6x=3+5x 的解为（ ）。 A.x=2； B.x=3； C.x=-2； D.x=-3. 4、解下列方程： (1)x+1=-2； (2)5x=4x-2； (3)- 35 x=6； (4)34 x=-5. 五、整体感知 本节课我们通过天平实验，得出方程的两种变形： ①把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。 ②把方程两边都乘以或除以(不等零)的同一个数，方程的解不变。 第①种变形又叫移项，移项时别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。 六、拓展延伸 1、若3x-1与4x+3的值相等，求x 的值。 2、方程∣2x-k ∣=23 的解是x=0，求k 的值。
七年级数学下册 方程的简单变形（二）教案 华东师大版 知识技能目标 1.运用方程的变形规律熟练解方程； 2.理解解方程的步骤，掌握移项变号规则． 过程性目标 通过解方程过程的探讨，使学生获得解方程的步骤，体会数学中由特殊到一般的思想方法． 教学过程 一、创设情境 方程的变形是怎样的？请同学们利用方程的变形，求方程2x + 3 = 1的解．并讨论： (1)解方程的每一步的依据是什么？ (2)解方程应解到什么形式为止？ (3)通过解方程，你能归纳出解方程的一般步骤吗？ 二、探究归纳 解2x = 1－3，………………移项； 2x = －2，………………合并同类项； x = －1．………………未知数的系数化为1． (1)第一步的依据是方程的变形：在方程的两边同时减去3； 第二步的依据是合并同类项； 第三步的依据是方程的变形：方程的两边同时除以2． (2)解方程应得到x = a 的形式． (3)解方程的一般步骤是： ①移项； ②合并同类项； ③系数化为1． 三、实践应用 例1 解下列方程，并能说出每一步的变形过程． (1)8x = 2x －7 ； (2)6 = 8 + 2x ； (3)2y －21 =32 1 y ； (4)3y － 2 = y + 1 + 6y ． 解(1)8x = 2x －7， 移项，得 8x －2x =－7， 合并同类项，得 6x = －7， 系数化为1，得 x = －6 7． (2)分析本题含有未知数的项在方程的右边，在解题时可考虑先把8 + 2x 放到方程的左边，把6放到方程的右边，然后再解方程． 解8 + 2x = 6， 移项 2x = 6－8， 合并同类项
方程的简单变形（二） 知识技能目标 1.运用方程的变形规律熟练解方程； 2.理解解方程的步骤，掌握移项变号规则． 过程性目标 通过解方程过程的探讨，使学生获得解方程的步骤，体会数学中由特殊到一般的思想方法． 教学过程 一、创设情境 方程的变形是怎样的？请同学们利用方程的变形，求方程2x + 3 = 1的解．并讨论： (1)解方程的每一步的依据是什么？ (2)解方程应解到什么形式为止？ (3)通过解方程，你能归纳出解方程的一般步骤吗？ 二、探究归纳 解 2x = 1－3，………………移项； 2x = －2，………………合并同类项； x = －1．………………未知数的系数化为1． (1)第一步的依据是方程的变形：在方程的两边同时减去3； 第二步的依据是合并同类项； 第三步的依据是方程的变形：方程的两边同时除以2． (2)解方程应得到x = a 的形式． (3)解方程的一般步骤是： ①移项； ②合并同类项； ③系数化为1． 三、实践应用 例1 解下列方程，并能说出每一步的变形过程． (1)8x = 2x －7 ； (2)6 = 8 + 2x ； (3)2y －21 =32 1 y ； (4)3y － 2 = y + 1 + 6y ． 解 (1)8x = 2x －7， 移项，得 8x －2x =－7， 合并同类项，得 6x = －7， 系数化为1，得
x = － 6 7． (2)分析 本题含有未知数的项在方程的右边，在解题时可考虑先把8 + 2x 放到方程的左边，把6放到方程的右边，然后再解方程． 解 8 + 2x = 6， 移项 2x = 6－8， 合并同类项 2x = －2， 系数化为1 x = －1． 注意：(1)移项和改变多项式各项的顺序是不同的，把8 + 2x 放在方程左边，6放到方程的右边时，符号不变． (2)也可考虑直接把含未知数的项2x 移到方程的左边，然后再解方程． 或解 6 = 8 + 2x ， 移项 － 2x = 8 － 6， 合并同类项 － 2x =2， 系数化为1 x = －1． 或解 6 = 8 + 2x ， 移项 6－8 = 2x ， 合并同类项 －2 = 2x ， 即 2x = －2， 系数化为1 x =－1． 以上三种解法，让学生通过对比分析，体会每种方法的优点，寻求较简捷的方法． (3) 2y －21 =32 1 y 移项 2y －y 21=－3 + 2 1， 合并同类项 y 23= －2 5， 系数化为1 y = －25÷23= －25×3 2， 即 y = －35．
方程的简单变形(华师大版.教案) 1．方程的简单变形 (广西大新县雷平中学何勇新) 教学目的 通过天平实验，让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。 重点、难点 1．重点：方程的两种变形。 2．难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。 教学过程 一、引入 上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成x＝a 形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。 二、新授 让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。 测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。 如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍
然平衡。 如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗? 让同学们观察图(1)的左边的天平；天平的左盘内有一个大砝码和2个小砝码，右盘上有5个小砝码，天平平衡，表示左右两盘的质量相等。如果我们用x表示大砝码的质量，1表示小砝码的质量，那么可用方程x+2＝5表示天平两盘内物体的质量关系。 问：图(1)右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?它所表示的方程如何由方程x+2＝5变形得到的? 学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。 问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去)同一个整式呢? 让同学们看图(2)。左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x＝2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的? 把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗?如果把方程两边都加上2x呢? 由图(1)、(2)可归结为； 方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程
6.2.1 方程的简单变形 【教学目标】 了解方程的基本变形：移项和化简未知数的系数为1.了解未知数的基本变形在解方程中的作用。 知识与能力 1．了解方程可以进行的基本变形，知道通过变形可以求出方程的解。 2．了解移项的定义，注意移项要变号。 3．了解未知数系数化为1的方法。 4．知道方程的解的形式是“x=a”，学会通过变形求解简单方程。 情感、态度、价值观 通过本节的教学，应该达到使学生体会数学的价值的目的。 【重点难点】 重点：1、方程的简单变形；2，简单变形的简单应用。 难点：1、移项和简单变形的关系。2、移项要变号，为什么要变号。3、简 单变形和方程的解的关系。 【教学过程】 1、吸引学生的注意力，按照教材第4页进行课堂教学试验。 2、总结规律： （1）试验1：方程的两边同时加上或减去同一个数，方程的解不变； （2）试验2：方程的两边同时加或减去同一个整式，方程的解不变 （3）试验3：方程的两边都乘以或是教除以同一个不为零的数，方程的解不变。 3、讲解例题： （1）X-5=7 （2）4X=3X-4 解： X=7+5 4X-3X=-4 X=12 X=-4 4、概括： 像这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。 牢记“移项要变号” 本课小结 初步按照分步骤学习通过方程的基本变形来求解简单方程，主要是按照“移项-把未知数的系数化为1”的思路来走，所得结果就是方程的解。 板书设计
【教学反思】方程变形是求方程解的重要依据,让学生理解方程的基本变 形的原理。教材中省略了等式的性质，学生对理解方程变形的两条依据有一些困难。 .
6.2.1 方程的简单变形 【教学内容】 本小节的内容在教材第4-7页。主要内容为：通过对方程变形的分析，探索求解简单方程的规律，学会通过变形求解简单方程。 【教学目标】 了解方程的基本变形：移项和化简未知数的系数为1.了解未知数的基本变形在解方程中的作用。 知识与能力 1．了解方程可以进行的基本变形，知道通过变形可以求出方程的解。 2．了解移项的定义，注意移项要变号。 3．了解未知数系数化为1的方法。 4．知道方程的解的形式是“x=a”，学会通过变形求解简单方程。 过程与方法 本节课从学生熟悉的近视现象入手并提出问题，围绕以怎样的调查方式进行调查，如何较合理地确定调查对象，调查中应注意哪些问题等组织讨论，在最后解决问题时，学习抽样、样本、总体等统计概念，通过课堂练习对本班视力不良同学的调查统计，提出有关保护视力的一些合理性建议．本教学设计虽没有要求实地调查，但从调查对象的确定、调查问卷的设计、调查数据的整理与分析上处处以学生讨论为主，力求体现课堂教学主体的合作性、互补性，意图通过本节教学，使学生能了解抽样调查的大致过程，初步了解样本、总体等统计概念，用样本反映、考察总体的基本统计思想． 情感、态度、价值观 通过本节的教学，应该达到使学生体会数学的价值的目的。 【重点难点】 重点：1、方程的简单变形；2，简单变形的简单应用。 难点：1、移项和简单变形的关系。2、移项要变号，为什么要变号。3、简单变形和方程的解的关系。 【教学突破】： 实质上，本节就是“通过简单变形来求解方程”，所以本节的直接目标是学生能自己会对方程进行简单变形并求解。教学中教师要注意强调“移项要变号—未知数的系数要化1—得出方程的解”这一解决问题的步骤。 【教学过程】 第一课时教学流程设计
数学：6.2.1方程的简单变形（一）教案 知识技能目标 1.理解并掌握方程的两个变形规则； 2.使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程； 3.运用方程的两个变形规则解简单的方程． 过程性目标 1.通过实验操作，经历并获得方程的两个变形过程； 2.通过对方程的两个变形和等式的性质的比较，感受新旧知识的联系和迁移； 3.体会移项法则：移项后要变号． 课前准备 托盘天平，三个大砝码，几个小砝码． 教学过程 一、创设情境 同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事． 小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量． 最常见的方法是用天平测量一个物体的质量． 我们来做这样一个实验，测一个物体的质量（设它的质量为x）．首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量． 二、探究归纳 请同学来做这样一个实验，如何移动天平左右两盘内的砝码，测物体的质量． 实验1：如图(1)在天平的两边盘内同时取下2个小砝码，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量． 实验2：如图(2)在天平的两边盘内同时取下2个所测物体，天平依然平衡，所测物体的质量等于2个小砝码的质量．
实验3：如图(3)将天平两边盘内物体的质量同时缩少到原来的二分之一，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量． 上面的实验操作过程，反映了方程的变形过程，从这个变形过程，你发现了什么一般规律？ 方程是这样变形的： 方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变． 方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变． 请同学们回忆等式的性质和方程的变形规律有何相同之处？并请思考为什么它们有相同之处？ 通过实验操作，可求得物体的质量，同样通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解． 三、实践应用 例1 解下列方程． (1)x －5 = 7； (2)4x = 3x －4． 分析：(1)利用方程的变形规律，在方程x －5 = 7的两边同时加上5，即x －5 + 5 = 7 + 5，可求得方程的解． (2)利用方程的变形规律，在方程4x = 3x －4的两边同时减去3x ，即4x －3x = 3x －3x －4,可求得方程的解． 即 x = 12． 即 x =－4 ． 像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项(transposition )． 注 (1)上面两小题方程变形中，均把含未知数x 的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边． (2)移项需变号，即：跃过等号，改变符号． 例2 解下列方程： (1)－5x = 2； (2)3 123=x ； 分析：(1)利用方程的变形规律，在方程－5x = 2的两边同除以－5，即－5x ÷(－ 5)= 2÷(－5)(或5255-=--x )，也就是x =5 2-,可求得方程的解． (2)利用方程的变形规律，在方程3123=x 的两边同除以23或同乘以3 2，即23312323÷=÷x (或3 2313223?=?x )，可求得方程的解． 解 (1)方程两边都除以－5，得