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北师大版数学必修四课件：第2章§6 平面向量数量积的坐标表示

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高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 平面向量数量积的坐标表示》1

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 平面向量数量积的坐标表示》1

§6平面向量数量积的坐标表示授课人：韦慧一、教学课题：北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学必修4第二章第六节“平面向量数量积的坐标表示”.二、设计要点：学生在前面已学过向量的坐标表示，研究过向量线性运算中坐标运算的推理过程，在引进平面向量数量积后，自然要考虑它的坐标表示问题.同时，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.因此，本节课主要以问题为载体，通过几个思考题的设置，让学生利用已学知识，思考探究有关向量的坐标表示.通过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验向量的数量积是向量关系和数量关系之间相互转化的一种重要渠道和方法.三、教学目标：1．知识与技能①理解掌握平面向量数量积的坐标表达式及相关运算.②理解掌握向量的模、夹角等公式，能根据公式解决夹角、垂直等问题.2．过程与方法①培养学生转化能力，以及利用代数方法研究几何问题的思想方法.②体会数形结合的思想方法.3．情感与态度经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验向量这一数学工具在几何问题代数化中的重要应用.四、教学重点、难点：1.重点：探究发现平面向量数量积的坐标表示及相关表示.2.难点：应用平面向量数量积的坐标表示及相关表示解决几何问题。

五、教学方法与手段：1．教学方法：导学探究，教师引导学生探究新知，学生通过思考计算等方式得出一些重要结论，然后运用得到的结论解决简单的问题。

2.教学手段：多媒体辅助教学.六、核心素养：一方面应用向量数量积的坐标运算解决几何问题中的向量长度，两向量的夹角等问题，使得几何问题代数化，培养学生从直观想象到数学抽象的核心素养，另一方面在解决问题的过程中，培养学生数学运算的核心素养。

七、学法指导：1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力；2、紧紧围绕数形结合这条主线；3、注意前后知识的联系与区别,不断反思建构形成知识网络.八．教学基本流程：九．教学过程分析：第一种:选择恰当的实例；(一) 第二种:从复习向量加减法的坐标运算开始；第三种:开门见山直奔主题;第四种:种提供材料,让学生发现问题;(二)导学诱思、探索研究；教师通过学生已有经验，启发其思、疑、探，在讨论、设计中得到问提供材料 导学诱思 设置情景 复习思考 提出问题 类比化归 探索研究 建模应用 学法指导反思建构新课引入设置情景题的解答，培养其求异思维、创新能力的形成；(三) 建模应用；数学作为科学独立分支，其重要工具作用无处不在；关键是否体会数学本质，构建数学模型使问题得到解决；(四) 反思建构；学生在反思建构中，寻找知识、方法、能力、情感等方面的收获规律，有利于纳入知识系统，形成知识网络；(五)分层评价.充分发挥课堂教学评价的针对性、激励性、导向性、创新性；使评价更有利于学生的身心健康发展，更符合新课程改革理念.十、教学过程（一）、预习反馈（课前学生完成，课堂反馈）[基础·初探]一、教材整理平面向量数量积的坐标表示阅读教材P98～P99，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)a·b＝；(2)a2＝，即|a|＝；(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝；(4)a⊥b⇔.2．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的．二、预习检测1、已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，1)，若a·b＝2、判断下列各对向量是否垂直：(1)(3,2),(4,6) (2)(7,1),(2,14)112(3)(,),(2,) (4)(3,5),(5,3)323a b a b a b a b =-===-====- 3、已知(1,2),a a ==4、已知(3,2),(1,1),a b ==-则向量a 和b 的夹角的余弦值5、直线l 1：3x ＋4y －12＝0的方向向量6、直线l 2：7x +y -28＝0的方向向量（二）、课堂测试（公式运用巩固）1、（14年学考13）已知向量(26)(3)a b a b λ=-=⊥，，，，且，则实数λ的值为 A .－9 B .－1 C .1 D .92、已知AB →＝(4,2)，AC →＝(k ，－2)，在△ABC 中A ∠为直角，则k 等于( ) A ．1 B ． 6 C ．1或6 D ．1或2或63、若向量(12)(11)-a b a b a b ==-+，，，，且2与的夹角等于 。

2-6 平面向量数量积的坐标表示 课件高中数学必修4(北师大版)

2-6 平面向量数量积的坐标表示 课件高中数学必修4(北师大版)

自学导引 1．平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝ x1x2＋y1y2 ， 即两个向量的数量积等于 相应坐标乘积的和 ． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， x x ＋y y ＝0 则a⊥b⇔ 1 2 1 2 .
3．平面向量的模 (1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝
2 x2 ＋ y 1 1 .
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→ B |＝ x2－x12＋y2－y12 .
：向量模的坐标运算的实质是什么？ 提示 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐 已知a＝(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标． [思路探索] 设b＝(x，y)为所求单位向量，由a⊥b及|b|＝1的坐 标形式，得到关于x，y的方程组，进而求出b的坐标． 解 设b＝(x，y)为所求单位向量，则x2＋y2＝1 又因为a⊥b，所以a· b＝0，即4x＋2y＝0 x＝ 5， 5 联立①②解得 2 5 y＝－ 5 ，


2|b|＝2 2 的一
1 半，故c＝ (a＋b)＝ 2
－
3＋1 3－1 1 或c＝－ (a＋b)＝ ， 2 2 2
3＋1 3－1 . ，－ 2 2
规律方法 涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌 握数量积坐标运算公式a· b＝x1x2＋y1y2以及相关的模长公式或 夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想．值得注意 的是，对于一些向量数量积的坐标运算的问题，有时考虑其几 何意义可使问题快速获解，如本题的方法二．这也告诉我们， 在考虑向量的数的特征时不能忽视其形的特征．
，

北师大版数学必修四课件：平面向量数量积的坐标表示

北师大版数学必修四课件：平面向量数量积的坐标表示

.. 导. 学 固思
2 2
整理得 25x +48xy+25y =1, 2 即 x(25x+24y)+24xy+25y =1. ② 2 由①②有 24xy+25y =1, ③ 将①变形代入③可得 y=± ,
7 5
, ������ = - , 35 再代回①得, 或 5 ������ = ������ = .
【解析】设 P(x,y),则������������ =(x-a,y),������������ =(-a,a), 由������������ =t������������ 得, ������-������ = -������������,解得 ������ = ������-������������, ������ = ������������, ������ = a������, ∴������������ =(a-at,at),又∵������������=(a,0), ∴������������ ²������������ =a -a t,∵a>0,可得-a <0,又 0≤t≤1, ∴当 t=0 时,������������ ²������������ =a -a t 有最大值 a .
【解析】∵a=(1,1),b=(-1,2), ∴a²b=(1,1)²(-1,2)=-1+2=1.
1
.
.. 导. 学 固思
4
已知 a=(1, 3),b=( 3+1, 3-1),求 a 与 b 的夹 角.
【解析】由 a=(1, 3),b=( 3+1, 3-1)得, a²b= 3+1+ 3( 3-1)=4,|a|=2,|b|=2 2. 记 a 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ = 又∵0≤θ ≤π ,∴θ = .

高中数学第二章2.6第26课时平面向量数量积的坐标表示作业课件北师大版必修4

高中数学第二章2.6第26课时平面向量数量积的坐标表示作业课件北师大版必修4

所以A→B⊥A→D，所以四边形 ABCD 是矩形． 又|A→B|＝ 13，|A→D|＝2 13，故|A→B|≠|A→D|， 所以四边形 ABCD 不是正方形． 综上，四边形 ABCD 是矩形．
13．(13 分)已知在△ABC 中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)， BC 边上的高为 AD.
A．1
B．2
C. 2
2 D. 2
解析：建立平面直角坐标系，设 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x， y)，由(a－c)·(b－c)＝0，得x－122＋y－122＝12，这说明向量 c 的终 点坐标在圆x－122＋y－122＝12上，又向量 c 的起点 O 也在圆上， 原点 O 到此圆上的点的最大值等于圆的直径的大小，即|c|max＝ 2. 故选 C.
由题意知 AC⊥BC，且 CA＝CB＝3， ∴C→M·C→A＝(C→A＋A→M)·C→A ＝(C→A＋B→A)·C→A＝(C→A＋C→A－C→B)·C→A ＝(2C→A－C→B)·C→A＝2C→A2－C→B·C→A＝2×32＝18.
解法二：如图，建立平面直角坐标系，则 C(0,0)，B(3,0)，A(0,3)． 由题意知|A→B|＝3 2，∴|B→M|＝6 2，设点 M 的坐标为(x，y)， 则 x＝－3，y＝6，即 M(－3,6)， ∴C→M·C→A＝(－3,6)·(0,3)＝18.
0)，Q(0,1－λ)，则B→Q＝(－2,1－λ)，C→P＝(2λ，－1)，∵B→Q·C→P＝－
2，∴－2×2λ＋(1－λ)×(－1)＝－2，解得 λ＝13，故选 A.
7．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的 a＝ (m，n)，b＝(p，q)，令 a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是( B )
谢谢观赏！

数学北师大必修四课件：第二章 平面向量 2.6

数学北师大必修四课件：第二章 平面向量 2.6

思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)若 a≠0,则与 a 共线的单位向量有两个,分别为|������������| 和 |-������������|. (
)
(2)对任意向量a,总有a2=|a|2. ( )
(3)直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个方向向量为(A,B).
一二三四五
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Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
四、两个向量垂直 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. 【做一做 4】 已知������������=(-1,2),������������=(3,m),且������������ ⊥ ������������,则 m= .
解析:2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为θ,
则
cos
θ=(2|2������������++���������)���|·|(���������-���-���������|���)
=
9 3√2×3
=
√22.
又 θ∈[0,π],故夹角为π4.
答案:C
探究一
探究二
探究三
§6 平面向量数量积的坐标表示
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.掌握平面向量数量积的坐标 表达式,会用平面向量数量积 进行坐标运算. 2.会用坐标运算求向量的模, 会求两个向量的夹角. 3.会用数量积的坐标运算判断 两个向量的垂直关系. 4.能运用数量积解决有关问 题.

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)

3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，

高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示 也谈高考热点数量积素材 北师大版必修4

高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示 也谈高考热点数量积素材 北师大版必修4

也谈高考热点—数量积 数量积是平面向量的一朵奇葩，其运算形式有cos (0)a b a b ααπ⋅=≤≤r r r r 与1212a b x x y y ⋅=+r r 两种。

用数量积来处理有关长度、角度、垂直关系，及构造不等式与函数都有其独到之处 。

因此关于数量积的考查，也成为高考命题的热点。

以下就其在高考中的考查形式，分类例述如下一、求长度例1 设向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r r ，()||1,,,a a b c a c =-⊥⊥u u r r r r r r ,则222a b c ++r r r 的值是分析：本题考查向量的代数运算，必须要熟练掌握数量积与向量加减法运算。

解析：()()0,0a b c a b c a c b c a c a c -⊥⇒-⋅=⋅-⋅=⊥⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r ，故0b c ⋅=r r ()2222220()21a b c a b c a b c b c b c b c ++=⇒-=+⇒-=+=++⋅=+=r r r r r r r r r r r r r r r r 由， 所以2222222a b c a b c ++=++=r r r r r r评注：求向量的模，通常是转化为向量的平方，利用向量的数量积来解决。

这是解决向量长度的一种重要方法。

二、求角例2 已知||2||0a b =≠r r ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根,则a r 与b r 的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 分析： 要求两向量夹角，必须回到向量数量积的运算公式上来处理。

解：,0||2||≠= 且关于x 的方程0||2=⋅++x x 有实根，则2||4a a b -⋅r r r ≥0，设向量,a b r r 的夹角为θ，cosθ=||||a b a b ⋅⋅r r r r ≤221||1412||2a a =r r ，∴θ∈],3[ππ，选B. 评注：将向量的运算揉合在方程之中，这也是近年高考对向量考查的一个方向。

高中数学 第2章 平面向量 6 平面向量数量积的坐标表示课件 北师大版必修4

高中数学 第2章 平面向量 6 平面向量数量积的坐标表示课件 北师大版必修4

.
2．直线的方向向量 给定斜率为 k 的直线 l，则向量 m＝(1，k)与直线 l 共线 ，我们把与直线 l 共 线的非零向量 m 称为直线 l 的 方向向量 ．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两非零向量的夹角 θ 满足 cos θ＜0，则两向量的夹角 θ 一定是钝角．( )
(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.(
【自主解答】 (1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，
∴|a＋2b|＝ －32＋－62＝3 5.
(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，
∴a＋b＝－a，
∴(a＋b)·c＝－a·c＝52.
设a与c的夹角为θ，
则cos θ＝|aa|·|cc|＝
－52 5×
5＝－12.
(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算； (2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
[再练一题] 1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求： (1)(2a－3b)·(a＋2b)； (2)(a＋b)2. 【解】 法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝ (－10,5)， a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)， ∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200. (2)∵a＋b＝(10，－5)， ∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125.
【自主解答】 (1)∵a 与 b 同向，且 b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)法一：a＋c＝(4,3)，∴(a＋c)·b＝4＋6＝10. 法二：(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝10＋0＝10.

高中数学必修4第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》

高中数学必修4第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》

2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2


3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
学习目标：
1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、 向量的 夹角、模的 公式. 2、掌握两个向量垂直的坐标表示 3、能初步运用向量数量积的坐标表示 解决处理有关长度、垂直及夹角 的几 个问题.
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
a // b x1y2 x2 y1 0
a b x1 x2 y1 y2 0
例３:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 解：由题意可知： -1＜ cos
a b ab
＜0
∴λ∈（—
1 ，2）∪（2，+∞） 2
例４：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）试判 定△ABC的形状，并给出证明。
cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
例2:设a=(2,１),b=(１,３),求a· b及a 与b的夹角

高中数学北师大版必修4配套课件：2-4_《平面向量的坐标》

高中数学北师大版必修4配套课件：2-4_《平面向量的坐标》

有 因为由平面向量基本定 理，平面向量与有序实 数对一一对应.
b
A(a,b)
a
探究二 平面向量的坐标 y
在直角坐标系内，我们分别
j
r
oi
x
⑴式是向量 a 的坐标表示.
注意：每个向量都有唯一的坐标.
y
5 4 3 2 1
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1 -2
例2 在平面内以O的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴 的正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别 求下列位移向量的坐标.
rr 3i 2j.
所以，cr =(2 3， 2).
y
B1
B(x2,y2)
结论1: 一个向量的坐标等于其终 1
A(x1,y1) A1
点的相应坐标减去始点的
1
x
相应坐标。
探究四 什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起来？ 向量的起点为原点时.
一一对应
练习：
在同一直角坐标系内画出下列向量.
解：
探究五 相等向量的坐标有什么关系？
（2）因为∠QOQ′=60°，
|
uuur OQ
|
r 3,所以b

uuur OQ

uHale Waihona Puke uur OQuuuur QQ


3
r i

3
3
rr j.所以b

(
3
,
3
3 ).
22
22
（3）因为∠ROR′=30°，|
uuur OR
|
r 4,所以c

uuur OR

uuuur uuuur OR+RR=2

北师大版数学必修四课件：2.6平面向量数量积的坐标表示

北师大版数学必修四课件：2.6平面向量数量积的坐标表示

(1)当θ =0°或180°时，l1∥l2,此时α =0°； (2)当0°＜θ ≤90°时，l1与l2所成的角α =θ ；
(3)当90°＜θ ＜180°时，l1与l2所成的角α =180°-θ .
可以借助向量所成的角来判断直线所成的角， 但必须注意两者的角的范围不同θ∈［0,π］，而
［0, ］ . 2
r uuu r r uuu r r 2 2 使得 OA a x, y , 所以 OA a x y , 即 a 为点A到
r
原点的距离；
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1),所以
uuu r 2 即平面直角坐标系中任意 AB (x 2 x1 ) 2 y2 y1 ,
特殊情形.
uuu r uuu r 【规范解答】 1 AB 3, 4 ,AC c 3, 4 ,
当c=5时，AC 2, 4 .
uuu r uuu r uuu r ABgAC 6 16 1 5 cos A uuu . r uuu r 5 5 20 5 AB gAC uuu r uuu r ABgAC 3 c 3 16 25 3c＜ 0,
r r r 故C正确；由 1 0 所以 (a ， 故D错误. b) b，
1 2
1 2
【例】如图，以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△OAB，使 ∠B =90°，求点B和向量 AB 的坐标.
uu u r
【规范解答】设B点坐标(x,y)，则
uuu r uuu r OB x, y ， AB uuu r uuu r Q OB AB,
系！
r r 1 1 【例1】(2010·安徽高考)设向量 a 1,0 ， b ( , )， 2 2

北师大版高中数学必修4课件2§4.1平面向量的坐标表示 课件

北师大版高中数学必修4课件2§4.1平面向量的坐标表示 课件

3 1 － 3－ 2 2
1→ → 2． 已知点 A(2,3)， B(－1,5)， 且AC＝3AB， 则点 C 的坐标为
【解析】 2 1→ → → ＝OA → ＋AC →＝ AC＝ AB＝－1，3 ，设 O 为坐标原点，则 OC 3
11 1 ， ，即 3 11 C1， 3 。
→ |＝1，∠AOB＝150° ∵|OB ， ∴B(－cos 30° ，sin 30° )，即
B－
3 1 ， 。 2 2

3 3 → ∵|OC|＝3， ∴C(－3sin 30° ， －3cos 30° )， 即 C－2，－2 3 3 1 3 1 → 又∵A(2,0)∴AB＝ － ， －(2,0)＝ － －2， 2 2 2 2 3 3 3－3 3 1 → BC＝－2，－2 3－－ ， ＝ ， 2 2 2
第二章·平面向量
§4.1平面向量的坐标表示
复习引入：
1.向量的加、减、数乘运算；
2.平面向量基本定理。
探究新知：
阅读教材P88～P89“4.2”以上部分，完成下列问题。
图 2­4­1
如图2­4­1所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向 相同 单位 的两个 基底 向量i，j作为 ，对于平面上的向量a，由平面向量基本定 ；我们把有序 xi ＋ yj 有且只有 理可知 一对有序实数(x，y)，使得a＝ (x，y) 称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)。 实数对
。
【答案】
11 1， 3
小结：
1．向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当 向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标。 2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几 何图形，利用三角函数的定义进行计算。

高中数学 2.4平面向量的坐标课件 北师大版必修4

高中数学 2.4平面向量的坐标课件 北师大版必修4

2.设点A的坐标为(2，1)，点B的坐标为(1，-2)，则向量 BA 的坐标为( )
(A)(3，-1)
(B)(-1，-3)
则 a1 a cos45 2
2 2
2.
2 a2 a sin45 2 2 2,
b1
b
cos120
3（
1 ） 2
3， 2
b2 b sin120 3
3 3 3, 22
c1 c cos30 4
3 2 2
3，
c2
c
sin 30
4 （
1 ） 2
2.
因此 a 2，2 ，b （ 3，3 3 ），c 2 3， 2 . 22
平面向量坐标的线性运算 平面向量坐标的线性运算
1.若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘 的运算法则进行； 2.若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标， 然后再进行向量的坐标运算； 3.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
平面向量坐标的线性运算只是向量运算的一 种形式，求解时注意向量运算的平行四边形法则及三角形 法则在解题中的灵活应用.
【例1】在直角坐标系xOy中，向量 a,b,c 的方向如图所 示，且 a 2，b 3，c 4，分别计算出它们的坐标.
【审题指导】已知三向量的模以及与坐标轴的夹角,要求向 量的坐标,先将向量正交分解,把它们分解成横、纵坐标的 形式.
【规范解答】设 a a1,a2 , b b1, b2 ,c c1,c2 ,
方法二：因为 a 与b 4平b 行2a，则存在常数λ，使
a b 4即b 2a ， 2根1据a向 量4共1线b的，条
件知，向量 a与 共b 线，故x=2.
【例】已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线 AC和OB(O为坐标原点)交点P的坐标. 【审题指导】“直线AC和OB相交于点P”说明A、P、C三点 及O、P、B三点分别共线，因此，可借助"OP OB,AP AC" 求解本题.

高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示课件北师大版必修4

高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示课件北师大版必修4

＝．
【预习评价】
1．直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是( )
A．(2，－3)
B．(2,3)
C．(－3,2)
D．(3,2)
答案 D
2．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为 _____．
答案 x－3y＋5＝0
题型一 平面向量数量积的坐标运算 【例1】 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
题型二 平面向量的夹角问题 【例2】 已知O→P＝(2,1)，O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，设C是直线OP
上的一点(其中O为坐标原点)． (1)求使C→A·C→B取得最小值时的O→C； (2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
解 (1)∵点C是直线OP上的一点， ∴向量O→C与O→P共线， 设O→C＝tO→P(t∈R)， 则O→C＝t(2,1)＝(2t，t)， ∴C→A＝O→A－O→C＝(1－2t,7－t)， C→B＝O→B－O→C＝(5－2t,1－t)， ∴C→A·C→B＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8. ∴当t＝2时，C→A·C→B取得最小值，此时O→C＝(4,2)．
π
π
A.6
B.4
π C.3 解析
π D.2 cos θ＝|OO→→AA|·|OO→→BB|＝1×1·1＋120＋×112＝12，
∵θ∈[0，π2]，∴θ＝π3.
答案 C
知识点2 直线的方向向量
(向1)向定量义．：与直线共l线
的非零向量m称为直线l的方
(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向(量1，为k)m
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
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x1 x2 y1 y2
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积 的和.即
a b x1x2 y1 y2
练习：求值
设a (5, 7), b (6, 4), 求a b.
解：x1 5, x2 6; y1 7, y2 4. a b x1 x2 y1 y2 30 28 2.
r r r (2)求模公式：| a | a a
r r 坐标表示为：设a ( x, y )，则|a|= x 2 y 2
特别地：
若A( x1 , y1 )，B(x2 , y2 ),则:AB x2 x1 , y2 y1
A、B两点间的距离d | AB|
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
a b c a b c
思考1：向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标语言” 表示，向量的数量积能否由“坐标语言”来表示？ 若两个向量
a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )
a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j ) ?
r r r r r r 解：由题意得 a x1i y1 j , b x2i y2 j r r r r r r a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j )
r2 r r r r r2 x1 x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
2
1 26 cos θ , 26 13 2 26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26
【技巧方法】
1.细心代入，精确计算.
2.分步计算，难度化整为零.
例2
求以点C(ɑ,b)为圆心，r为半径的圆的方程. y
M C
解：设M（x,y)是圆C上任意一点， 则| CM |=r, 即 CM · CM = r2 因为 CM =（x-α,y-b), 所以(x-α)2+(y-b)2=r2,
4.性质:
a ⊥b a b 0 (1)垂直的充要条件：__________________
| a | a a (2)求模公式：_______________
a b cos a, b | a || b | (3)夹角公式：_____________________
5.数量积的运算律：
B
a b a b cos
b

B
a
A
b
┐ B'
O
b cos
A
b cos
O

3.平面向量数量积的物理意义？
F

F cos
S
如果一个物体在力F的作用下产生位移S, 那么力F所做的功W 可用公式计算 :
r r r r W = Fg S =| F || S | cosθ
r r 设x轴上单位向量为 i ，y轴上单位向量为 j
请计算下列式子： ① ③
r r i i = r r ij=
1 0
②
r r j j r r j i
=
1 0
④
=
r r r r 已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 怎样用 a , b 的坐标表示 r r a b 呢？请同学们思考！
交流，乐于探索创新的科学精神.
4.本课重点：平面向量数量积的坐标表示.
5.本课难点：平面向量数量积坐标表示的实际应用.
如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运 算，向量的力量无限。 下面就让平面向量数量角: （0≤≤） (2)平面向量数量积的定义:
§6 平面向量数量积的坐标表示
1.知识目标： （1）掌握“平面向量的数量积的坐标表示”这个重要的 知识点； （2）会用“平面向量的数量积的坐标表示”的有关知识 解决实际问题。如判断垂直、求解长度、角度与方程等.
2.能力目标：体会坐标的意义，熟悉坐标化的方法.
3.情感目标：在师生共同的学习过程中，培养学生合作
B
b
b
O


a b | a || b | cos
其中：a 0, b 0
A
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
2.平面向量数量积的几何意义:
a与b的数量积等于a的长度 a 与 b在a方向上投影 b cos 的乘积， 或b的长度 b 与a在b方向上投影 a cos 的乘积.
解：法1 设向量a与b 的夹角为，则 cos 3 1 2 1 3 2 1 1
2 2 2 2
26 , 26
26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26
解法2 设向量a与b 的夹角为θ，则 a b 3 1 2 1 1, a 32 22 13, b 12 1 2,
(3)夹角公式：
设a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), a与b的夹角为，则
r r a b cos r r | a || b |
坐标表示为：
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
典型例题分析
例1 已知 a 3, 2 ，b 1, 1 ，求向量a 与b 的夹角 的余弦值.
【技巧方法】 区分好横纵坐标，准确代入数值，精心计算.
5 6 7 4
思考2
质？
如何用向量的坐标来表示两向量数量积的相关性
r r (1)垂直的充要条件：设非零向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则:
r r 坐标表示为： a b x1 x2 y1 y2 0
a b b a ⑴交换律：___________
( a) b (a b) a (b) ⑵数乘结合律：________________________
a (b c) a b a c ⑶分配律：___________________
注意： 数量积不满足结合律

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