2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第五章 5.4复数

1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的射影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5，2)，C (－1，－4)，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵AB →＝(2，－2)，CB →＝(6,6)， ∴AB →·CB →＝12－12＝0，∴AB →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析 设D 为AC 的中点， 如图所示，连接OD ， 则OA →＋OC →＝2OD →. 又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－OB →，即O 为BD 的中点，从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2.4．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2， 又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图像如图所示，点B ，C 是该图像与x 轴的交点，过点C 的直线与该图像交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝________.答案 2解析 (BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝(BD →＋BE →)·BC →＝2BC →·BC →＝2|BC →|2，显然|BC →|的长度为半个周期，周期T ＝2ππ＝2，∴|BC →|＝1，所求值为2.题型一 向量在平面几何中的应用例1 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的______． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC的内心．思维升华 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形 D ．菱形答案 (1)12(2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形． 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx＝________. 答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx＝±3.思维升华 向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．(2015·江西重点中学盟校第一次联考)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12答案 B解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点， 则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23，sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos ∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.题型三 向量的综合应用例3 (1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( ) A ．1 B.13 C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3解析 (1) 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图像可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18，故选D.(2)由图像可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 3解析 ∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎨⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.三审图形抓特点典例 已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图像上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的射影为π12，则ω， φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6解析 由E 为该函数图像的一个对称中心，作点C 的对称点为M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的射影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像可以看作是由y ＝sin ωx 的图像向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A温馨提醒 对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论间的联系．[方法与技巧]1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． [失误与防范]1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价． 2．注意向量共线和两直线平行的关系．3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 D解析 ∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6.即点P 的轨迹是抛物线．3．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34 答案 A解析 由题意可得PC →＝2AP →，所以P 是线段AC 的三等分点(靠近点A )，易知S △P AB ＝13S △ABC ，即S △P AB ∶S △ABC ＝1∶3. 4．在△ABC 中，AC →·AB →|AB →|＝1，BC →·BA →|BA →|＝2，则AB 边的长度为( ) A ．1B ．3C ．5D ．9答案 B解析 由题意画示意图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，如图.AC →·AB →|AB →|＝1表示AC →在AB →上的射影为1，即AD 的长为1，BC →·BA →|BA →|＝2表示BC →在BA →上的射影为2，即BD 的长为2，故AB 边的长度为3.5.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76πD.73π 答案 B解析 由题意知M (π12，A )，N (7π12，－A )， 又∵OM →·ON →＝π12×7π12－A 2＝0， ∴A ＝712π. 6．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．答案 1∶2解析 如图所示，取AC 中点D .∴OA →＋OC →＝2OD →.∴OD →＝BO →.∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比．7．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则向量OA →，OB →的夹角为________．答案 120°解析 ∵A ，B ，C 为单位圆上三点，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，又∵OA →＋OB →＋OC →＝0.∴－OC →＝OB →＋OA →.∴OC →2＝(OB →＋OA →)2＝OB →2＋OA →2＋2OB →·OA →，可得cos 〈OA →，OB →〉＝－12. ∴向量OA →，OB →的夹角为120°.8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________.答案 －252解析 设{AB →，AC →}为平面内一组基底．如图所示，O 为△ABC 的外心，设M 为BC 中点，连接OM 、AM 、OA ，则易知OM ⊥BC .又AO →＝AM →＋MO →，∴BC →·AO →＝BC →·(AM →＋MO →)＝BC →·AM →＋BC →·MO →＝BC →·AM →(其中BC →·MO →＝0)＝(AC →－AB →)·12(AB →＋AC →) ＝12(AC →2－AB →2)＝12×(122－132)＝－252. 9．设向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，－1)，b ＝(2sin ωx ，－1)，其中ω>0，x ∈R ，已知函数f (x )＝a·b 的最小正周期为4π.(1)求ω的值；(2)若sin x 0是关于t 的方程2t 2－t －1＝0的根，且x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求f (x 0)的值． 解 (1)f (x )＝a·b ＝(cos ωx －sin ωx ，－1)·(2sin ωx ，－1)＝2sin ωx cos ωx －2sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4. 因为T ＝4π，所以2π2ω＝4π，ω＝14. (2)方程2t 2－t －1＝0的两根为t 1＝－12，t 2＝1. 因为x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以sin x 0∈(－1,1)， 所以sin x 0＝－12，即x 0＝－π6. 又由(1)知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x 0＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π12＋π4＝2sin π6＝22. 10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的取值范围． 解 (1)因为a ∥b ， 所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34. cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin A ＝22，所以A ＝π4，或A ＝3π4. 因为b ＞a ，所以A ＝π4.f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， 32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－4OB →＋3OC →＝0，则|AB →||BC →|等于( ) A.13 B.12C ．3D ．2 答案 C解析 由OA →－4OB →＋3OC →＝0，得OA →－OB →＝3OB →－3OC →＝3(OB →－OC →)，所以－AB →＝－3BC →，所以|AB →|＝3|BC →|，即|AB →||BC →|＝3.故选C. 12．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π6 B.⎝⎛⎦⎤π6，π C.⎝⎛⎦⎤π3，πD.⎝⎛⎭⎫π3，23π答案 C解析 设a 与b 的夹角为θ.∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x .∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a |2－4a ·b ＞0，∴a ·b ＜a 24， 又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，故选C.13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________________．答案 (－34，12)∪(12，＋∞) 解析 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m,1－m )．若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12. 由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )．∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34. 由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →. 故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是(－34，12)∪(12，＋∞)． 14．(2015·淮北模拟)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析 如图，向量α与β在单位圆O 内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12， 故以向量α，β为两边的三角形的面积为14，故β的终点在如图所示的线段AB 上⎝⎛⎭⎫α∥AB →，且圆心O 到AB 的距离为12，因此夹角θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.15．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，若|m ＋n |＝2.(1)求内角A 的大小；(2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．解 (1)|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos(π4＋A )．∵4＋4cos(π4＋A )＝4，∴cos(π4＋A )＝0. ∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，A ＝π4. (2)由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4， 解得a ＝42，∴c ＝8.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16.。

第5讲 客观题的解法 题型概述 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．方法一 直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知M (－1,2)，N (1,0)，动点P 满足|PM →·ON →|＝|PN →|，则动点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y思路分析 动点P 的轨迹方程→P 点满足条件→直接将P 点坐标代入化简即可 答案 A解析 设P (x ，y )，由题意得M (－1,2)，N (1,0)，O (0,0)，PM →＝(－1－x,2－y )，ON →＝(1,0)，PN →＝(1－x ，－y )，因为|PM →·ON →|＝|PN →|，所以|1＋x |＝(1－x )2＋y 2，整理得y 2＝4x .直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.方法二 特例法从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例2 (1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．6思路分析 AM →·NM →的值→某种特殊情况下AM →·NM →的值→取▱ABCD 为矩形答案 C解析 若四边形ABCD 为矩形，建系如图，由BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，所以AM →·NM →＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则直线PM 与PN 的斜率之积等于________．思路分析 直线PM ，PN 斜率之积→特殊情况下的k PM ·k PN →取P 点为椭圆短轴端点答案 －34解析 取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又M (－2,0)，N (2,0)，所以k PM ·k PN ＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．方法三 排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．例3 (1)(2020·天津)函数y ＝4x x 2＋1的图象大致为( )思路分析 选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除 答案 A解析 令f (x )＝4x x 2＋1，则f (x )的定义域为R ， 且f (－x )＝－4xx 2＋1＝－f (x )， 所以函数为奇函数，排除C ，D.又当x ＝1时，f (1)＝42＝2，排除B. (2)已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1(b >0)，直线l ：y ＝mx ＋1.若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞) 思路分析 求b 的取值范围→取b 的特殊值→特殊情况验证排除答案 C解析 注意到直线l 恒过定点(0,1)，所以当b ＝1时，直线l 与椭圆C 恒有公共点，排除D ；若b ＝4，则方程x 24＋y 2b＝1不表示椭圆，排除B ；若b >4，则显然点(0,1)恒在椭圆内部，满足题意，排除A.故选C.(3)(多选)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则下列说法正确的是( )A ．当x >0时，f (x )＝e x (1－x )B ．f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)C ．函数f (x )有2个零点D ．∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2思路分析 观察选项，从易于判断真假的选项出发.答案 BD解析 对于C ，当x <0时，令f (x )＝0⇒x ＝－1，∴f (x )有3个零点分别为－1,0,1，故C 错误；对于A ，令x >0，则－x <0，∴f (－x )＝e －x (1－x )，又f (x )为奇函数，∴－f (x )＝e －x (1－x )，∴f (x )＝e －x (x －1)，故A 错误．∵A ，C 错误，且为多选题，故选BD.排除法使用要点：,(1)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项.,(2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法等常结合使用.方法四 构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化． 例4 (1)(2019·全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26π D.6π思路分析 求球O 体积→求球O 半径→构造正方体(补形)答案 D解析 如图所示，构造棱长为2的正方体PBJA －CDHG ，显然满足题设的一切条件，则球O 就是该正方体的外接球，从而体积为6π.(2)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是______________．思路分析 解f (x )>0→利用函数单调性(结合已知含f (x )的不等关系)→构造函数答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 构造函数g (x )＝f (x )x，则g ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2. 根据条件，g (x )为偶函数，且x >0时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，g (－1)＝g (1)＝0.∴当0<x <1时，g (x )>0，∴f (x )>0，同理当x <－1时，g (x )<0，∴f (x )>0，故使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题. 方法五 估算法因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．例5 (1)(2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm思路分析 估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算答案 B解析 头顶至脖子下端的长度为26 cm ，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm ，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170 cm～178 cm之间，选B.(2)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3思路分析V三棱锥D－ABC最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算答案 B解析等边三角形ABC的面积为93，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，所以13×93×4<V三棱锥D－ABC <13×93×8，即123<V三棱锥D－ABC<24 3.选B.估算法使用要点：(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值(例)法结合起来使用.(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.。

步步高大一轮复习讲义数学答案第一章：概率论基础1.1 集合与概率题目：设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A与B的交集、并集和差集。

答案：•交集：A∩B = {3,4,5}•并集：A∪B = {1,2,3,4,5,6,7}•差集：A-B = {1,2}1.2 条件概率与事件独立题目：某班级有40名男生和30名女生，从中随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。

答案： - 总人数：40 + 30 = 70 - 抽到男生的概率：40/70 = 4/72.1 随机变量与离散型随机变量题目：设随机变量X表示投掷一枚骰子出现的点数，求X 的概率分布。

答案：X123456P(X)1/61/61/61/61/61/62.2 连续型随机变量与概率密度函数题目：设随机变量X表示一位学生的身高，其概率密度函数为f(x) = 0.01，0<x<100，求X在区间[50,70]的概率。

答案： - X在区间[50,70]的概率：P(50<=X<=70) =∫(50,70)0.01dx = 0.01*(70-50) = 0.23.1 矩阵与线性方程组题目：解下列线性方程组： - 2x + 3y = 8 - 3x + 2y = 7答案： - 通过消元法可得：x = 1，y = 23.2 行列式与矩阵的逆题目：求下列矩阵的逆矩阵： - A = [1, 2; 3, 4]答案： - A的逆矩阵：A^(-1) = [ -2, 1/2; 3/2, -1/2]第四章：数学分析基础4.1 极限与连续题目：求极限lim(x->0)(sinx/x)的值。

答案： - 极限lim(x->0)(sinx/x) = 14.2 导数与微分题目：求函数y=3x^2的导数。

答案： - y的导数：dy/dx = 6x以上是《步步高大一轮复习讲义》中关于数学部分的答案，希望对你的复习有所帮助。

祝你学习顺利！。

§5.1平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度为0的向量,记作0.(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得b＝λa.概念方法微思考1.若b与a共线,则存在实数λ使得b＝λa,对吗？提示不对,因为当a＝0,b≠0时,不存在λ满足b＝λa.2.如何理解数乘向量λa.提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|,方向要分类讨论:当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a 反方向；当λ＝0或a为零向量时,λa为零向量.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.( √ ) (2)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上.( × ) (4)当两个非零向量a ,b 共线时,一定有b ＝λa ,反之亦成立.( √ ) 题组二 教材改编2.已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ,且OA →＝a ,OB →＝b ,则DC →＝________,BC →＝________.(用a ,b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图,DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ,BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3.在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,若2OA →＋OC →＝2OD →＋OB →,则四边形ABCD 的形状为________. 答案 梯形解析 ∵2OA →＋OC →＝2OD →＋OB →, ∴2(OA →－OD →)＝OB →－OC →,即2DA →＝CB →, ∴DA →∥CB →,且|DA →|＝12|CB →|,∴四边形ABCD 是梯形. 题组三 易错自纠4.对于非零向量a ,b ,“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案 A解析 若a ＋2b ＝0,则a ＝－2b ,所以a ∥b . 若a ∥b ,则a ＋2b ＝0不一定成立, 故前者是后者的充分不必要条件. 5.(多选)下列四个命题中,错误的是( ) A.若a ∥b ,则a ＝b B.若|a |＝|b |,则a ＝b C.若|a |＝|b |,则a ∥b D.若a ＝b ,则|a |＝|b |答案 ABC6.设向量a ,b 不平行,向量λa ＋b 与a ＋2b 平行,则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ,b 不平行,∴a ＋2b ≠0,又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行,则存在唯一的实数μ,使λa＋b ＝μ(a ＋2b )成立,即λa ＋b ＝μa ＋2μb ,则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.7.在△ABC 中,点E ,F 满足AE →＝12AB →,CF →＝2F A →,若EF →＝xAB →＋yAC →,则x ＋y ＝ _____.答案 －16解析 依题意有EF →＝EA →＋AF →＝－12AB →＋13AC →,所以x ＝－12,y ＝13,所以x ＋y ＝－16.平面向量的概念1.(多选)给出下列命题,不正确的有( ) A.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同B.若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,且AB →＝DC →,则ABCD 为平行四边形 C.a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b D.已知λ,μ为实数,若λa ＝μb ,则a 与b 共线 答案 ACD解析 A 错误,两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等；但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点；B 正确,因为AB →＝DC →,所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →,又A ,B ,C ,D 是不共线的四点,所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误,当a ∥b 且方向相反时,即使|a |＝|b |,也不能得到a ＝b ,所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件,而是必要不充分条件；D 错误,当λ＝μ＝0时,a 与b 可以为任意向量,满足λa ＝μb ,但a 与b 不一定共线. 故选ACD.2.若a 0为单位向量,a 为平面内的某个向量,下列命题中: ①若a 为平面内的某个向量,则a ＝|a |·a 0； ②若a 与a 0平行,则a ＝|a |a 0； ③若a 与a 0平行且|a |＝1,则a ＝a 0, 假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D解析 ①②③均为假命题. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线.平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a ,b 满足|a ＋b |＝|a －b |,则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥b D.|a |＞|b |答案 A解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则. 在▱ABCD 中,设AB →＝a ,AD →＝b ,由|a ＋b |＝|a －b |知,|AC →|＝|DB →|,从而四边形ABCD 为矩形,即AB ⊥AD ,故a ⊥b . 故选A.方法二 ∵|a ＋b |＝|a －b |, ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.命题点2 向量的线性运算例2 (2018·全国Ⅰ)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示.EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →.故选A. 命题点3 根据向量线性运算求参数例3 (2019·江西省名校联考)在△ABC 中,BD →＝DC →,AP →＝2PD →,BP →＝λAB →＋μAC →,则λ＋μ等于( )A.－13B.13C.－12D.12答案 A解析 因为BD →＝DC →,AP →＝2PD →, 所以AD →＝12AB →＋12AC →＝32AP →,所以AP →＝13AB →＋13AC →,所以BP →＝AP →－AB →＝－23AB →＋13AC →,因为BP →＝λAB →＋μAC →,所以λ＝－23,μ＝13,所以λ＋μ＝－13.故选A.思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和或差.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值.跟踪训练1 (1)(2020·河北省衡水中学模拟)如图,在等腰梯形ABCD 中,DC ＝12AB ,BC ＝CD ＝DA ,DE ⊥AC 于点E ,则DE →等于( )A.12AB →－12AC → B.12AB →＋12AC →C.12AB →－14AC →D.12AB →＋14AC →答案 A解析 因为DC ＝12AB ,BC ＝CD ＝DA ,DE ⊥AC ,所以E 是AC 的中点,可得DE →＝12DA →＋12DC →＝12(DC →＋CA →)＋12DC →＝DC →－12AC →＝12AB →－12AC →,故选A.(2)在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别为边BC ,CD 的中点,若AB →＝xAE →＋yAF →(x ,y ∈R ),则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →,AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →,因为AB →＝xAE →＋yAF →,所以AB →＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2＋y AD →, 所以⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.共线定理的应用例4 已知O ,A ,B 是不共线的三点,且OP →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R ).(1)若m ＋n ＝1,求证:A ,P ,B 三点共线； (2)若A ,P ,B 三点共线,求证:m ＋n ＝1. 证明 (1)若m ＋n ＝1,则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →), ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →), 即BP →＝mBA →,∴BP →与BA →共线.又∵BP →与BA →有公共点B ,则A ,P ,B 三点共线. (2)若A ,P ,B 三点共线,则存在实数λ,使BP →＝λBA →, ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →). 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →, 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. ∵O ,A ,B 不共线,∴OA →,OB →不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1. 思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A ,B ,C 三点共线⇔AB →,AC →共线. (3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ,则λ＝μ＝0.(4)OA →＝λOB →＋μOC →(λ,μ为实数),若A ,B ,C 三点共线,则λ＋μ＝1. 跟踪训练2 (1)设两个非零向量a 与b 不共线. 若k a ＋b 与a ＋k b 共线,则k ＝________. 答案 ±1解析 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线, ∴存在实数λ,使k a ＋b ＝λ(a ＋k b ), 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ,b 是两个不共线的非零向量, ∴k －λ＝λk －1＝0. 消去λ,得k 2－1＝0,∴k ＝±1.(2)如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交AB ,AC 所在直线于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 方法一 连结AO ,则AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →, 因为M ,O ,N 三点共线, 所以m 2＋n2＝1,所以m ＋n ＝2.方法二 连结AO (图略).由于O 为BC 的中点,故AO →＝12(AB →＋AC →),MO →＝AO →－AM →＝12(AB →＋AC →)－1m AB →＝⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →, 同理,NO →＝12AB →＋⎝⎛⎭⎫12－1n AC →. 由于向量MO →,NO →共线,故存在实数λ使得MO →＝λNO →, 即⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎡⎦⎤12AB →＋⎝⎛⎭⎫12－1n AC →. 由于AB →,AC →不共线,故得12－1m ＝12λ且12＝λ⎝⎛⎭⎫12－1n , 消掉λ,得(m －2)(n －2)＝mn , 化简即得m ＋n ＝2.1.(2019·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A ,B ,C 三点满足BC →＝2AB →,则这三点在线段上的位置关系是( )答案 A解析 根据题意得到BC →和AB →是共线同向的,且BC ＝2AB ,故选A.2.(2019·山东省师大附中模拟)设a ,b 是非零向量,则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案 B解析 由a ＝2b 可知,a ,b 方向相同,a |a |,b |b | 表示 a ,b 方向上的单位向量,所以a |a |＝b|b |成立；反之不成立.故选B.3.已知向量AB →＝a ＋3b ,BC →＝5a ＋3b ,CD →＝－3a ＋3b ,则( ) A.A ,B ,C 三点共线 B.A ,B ,D 三点共线 C.A ,C ,D 三点共线 D.B ,C ,D 三点共线 答案 B解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →, ∴BD →与AB →共线,由于BD →与AB →有公共点B , 因此A ,B ,D 三点共线,故选B.4.(2019·沈阳东北育才学校模拟)向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa ＋b 与c 共线,则实数λ等于( )A.－2B.－1C.1D.2 答案 D解析 由题中所给图象可得,2a ＋b ＝c ,又c ＝μ(λa ＋b ),所以λ＝2.故选D.5.(2020·南京模拟)在△ABC 中,点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ,使得OG →＝16BC →,且OA →＝mOB →＋nOC →,则m －n 等于( ) A.2 B.－2 C.1 D.－1 答案 D解析 ∵ GA →＋GB →＋GC →＝0, ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0, ∴OG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝16BC →＝16(OC →－OB →),可得OA →＝－12OC →－32OB →,∴m ＝－32,n ＝－12,m －n ＝－1,故选D.6.如图,在△ABC 中,AN →＝13AC →,P 是BN 上的一点,若AP →＝mAB →＋211AC →,则实数m 的值为( )A.911B.511C.311D.211 答案 B解析 注意到N ,P ,B 三点共线, 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →,从而m ＋611＝1,所以m ＝511.7.(多选)在△ABC 中,下列命题正确的是( ) A.AB →－AC →＝BC →B.AB →＋BC →＋CA →＝0C.若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0,则△ABC 为等腰三角形D.若AC →·AB →＞0,则△ABC 为锐角三角形 答案 BC解析 由向量的运算法则知AB →－AC →＝CB →；AB →＋BC →＋CA →＝0,故A 错,B 对； ∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0, ∴AB →2＝AC →2,即AB ＝AC ,∴△ABC 为等腰三角形,故C 对； ∵AC →·AB →＞0,∴角A 为锐角,但三角形不一定是锐角三角形. 故选BC.8.(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是( )A.若AM →＝12AB →＋12AC →,则点M 是边BC 的中点B.若AM →＝2AB →－AC →,则点M 在边BC 的延长线上 C.若AM →＝－BM →－CM →,则点M 是△ABC 的重心D.若AM →＝xAB →＋yAC →,且x ＋y ＝12,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12答案 ACD解析 若AM →＝12AB →＋12AC →,则点M 是边BC 的中点,故A 正确；若AM →＝2AB →－AC →,即有AM →－AB →＝AB →－AC →, 即BM →＝CB →,则点M 在边CB 的延长线上,故B 错误； 若AM →＝－BM →－CM →,即AM →＋BM →＋CM →＝0, 则点M 是△ABC 的重心,故C 正确； 如图,AM →＝xAB →＋yAC →,且x ＋y ＝12,可得2AM →＝2xAB →＋2yAC →, 设AN →＝2AM →, 则M 为AN 的中点,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12,故D 正确.故选ACD.9.若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2,则|AB →＋AC →|＝________.答案 2 3解析 因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2, 所以△ABC 是边长为2的正三角形,所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍, 所以|AB →＋AC →|＝2 3.10.(2019·钦州质检)已知e 1,e 2为平面内两个不共线的向量,MN →＝2e 1－3e 2,NP →＝λe 1＋6e 2,若M ,N ,P 三点共线,则λ＝________. 答案 －4解析 因为M ,N ,P 三点共线, 所以存在实数k 使得MN →＝kNP →, 所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2), 又e 1,e 2为平面内两个不共线的向量,可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.11.如图所示,设O 是△ABC 内部一点,且OA →＋OC →＝－2OB →,求△ABC 与△AOC 的面积之比.解 如图,取AC 的中点D ,连结OD ,则OA →＋OC →＝2OD →,∴OB →＝－OD →,∴O 是AC 边上的中线BD 的中点, ∴S △ABC ＝2S △OAC ,∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示,在△ABC 中,D ,F 分别是AB ,AC 的中点,BF 与CD 交于点O ,设AB →＝a ,AC →＝b ,试用a ,b 表示向量AO →.解 方法一 由D ,O ,C 三点共线, 可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数),同理,可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝⎛⎭⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数),① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ,② 所以由①②,得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b , 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝⎛⎭⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ,b 不共线,所以⎩⎨⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎨⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b ). 方法二 因为D ,F 分别是AB ,AC 的中点,所以O 为△ABC 的重心,延长AO 交BC 于点E (图略),则E 为BC 的中点,所以AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b ).13.A ,B ,C 是圆O 上不同的三点,线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合),若OC →＝λOA→＋μOB →(λ,μ∈R ),则λ＋μ的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,＋∞)C.(1,2]D.(－1,0)答案 B解析 设OC →＝mOD →,则m ＞1, 因为OC →＝λOA →＋μOB →,所以mOD →＝λOA →＋μOB →,即OD →＝λm OA →＋μmOB →, 又知A ,B ,D 三点共线,所以λm ＋μm＝1,即λ＋μ＝m , 所以λ＋μ＞1,故选B.14.已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点P 满足OP →＝13⎝⎛⎭⎫2OA →＋12OB →＋12OC →,则点P 一定为△ABC 的( ) A.BC 边中线的中点B.BC 边中线的三等分点(非重心)C.重心D.BC 边的中点答案 B解析 设BC 的中点为M ,则12OC →＋12OB →＝OM →, ∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →, 即3OP →＝OM →＋2OA →,也就是MP →＝2P A →,∴P ,M ,A 三点共线,且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点.15.设a 是已知的平面向量,向量a ,b ,c 在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a ＝λb ＋μc ；④若|a |＝2,存在单位向量b ,c 和正实数λ,μ,使a ＝λb ＋μc ,则3λ＋3μ＞6.其中真命题是__________.答案 ①②④解析 给定向量b ,总存在向量c ,使a ＝b ＋c ,即a －b ＝c .显然存在c .所以①正确.由平面向量的基本定理可得②正确.给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a ＝λb ＋μc ,当a 分解到c 方向的向量长度大于μ时,向量a 没办法按b ,c 分解,所以③不正确.存在单位向量b ,c 和正实数λ,μ,由于a ＝λb ＋μc ,向量b ,c 的模为1,由三角形的三边关系可得λ＋μ＞2.由3λ＋3μ≥23λ＋μ＞6.所以④成立.16.(2019·成都模拟)已知G 为△ABC 的重心,过点G 的直线与边AB ,AC 分别相交于点P ,Q .若AP→＝λAB →,△ABC 与△APQ 的面积之比为209,求实数λ的值. 解 设AQ →＝xAC →,∵P ,G ,Q 三点共线,∴可设AG →＝μAP →＋(1－μ)AQ →,∴ AG →＝λμAB →＋(1－μ)xAC →,∵G 为△ABC 的重心,∴ AG →＝13(AB →＋AC →), ∴ 13AB →＋13AC →＝λμAB →＋(1－μ)xAC →,∴ ⎩⎨⎧ 13＝λμ，13＝(1－μ)x ，两式相乘得19＝λxμ(1－μ),① ∵ S △ABC S △APQ ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC 12|AP →||AQ →|sin ∠BAC , ∴λx ＝920,② ②代入①即2081＝μ(1－μ), 解得μ＝49或59,即λ＝35或34.。

第5讲 复 数一、选择题1．复数2＋i1－2i的共轭复数是( )．A ．－35i B.35i C ．－i D ．i解析 2＋i 1－2i ＝i －2i ＋11－2i ＝i ，∴2＋i 1－2i 的共轭复数为－i.答案 C2．复数i －21＋2i ＝( )． A ．iB ．－iC ．－45－35iD ．－45＋35i解析 因为i －21＋2i ＝i －21－2i1＋2i1－2i ＝5i5＝i ，应选择A.答案 A3.在复平面内，设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，那么复数2z＋z 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 由题知，2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，因此复数2z＋z 2对应的点为(1,1)，其位于第一象限．答案 A4．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，若是|z 1|<|z 2|，那么实数a 的取值范围是 ( )．A ．－1<a <1B ．a >1C ．a >0D ．a <－1或a >1解析 |z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5，∴a 2＋4<5，∴－1<a <1.应选A.答案 A5．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是 ( )．A ．－3＋2iB ．3＋2iC ．－2＋3iD ．2＋3i解析Δ＝62－4×13＝－16，∴x ＝－6±4i2＝－3±2i. 答案 A6．设z 是复数，f (z )＝z n (n ∈N *)，关于虚数单位i ，那么f (1＋i)取得最小正整数时，对应n 的值是( )． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析 f (1＋i)＝(1＋i)n ，那么当f (1＋i)取得最小正整数时，n 为8. 答案 D7．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )．A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析 z ＝2－1＋i ＝2－1－i－1＋i－1－i＝－1－i ，因此|z |＝2，p 1为假命题；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2为真命题；z ＝－1＋i ，p 3为假命题；p 4为真命题．应选C.答案 C8．已知复数z 知足z (1＋i)＝1＋a i(其中i 是虚数单位，a ∈R )，那么复数z 在复平面内对应的点不可能位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝1＋a i1－i 1＋i1－i＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，a ∈∅，因此z 对应的点不可能在第二象限，应选B.答案 B9．在复数集C 上的函数f (x )知足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，1－i x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )．A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析 ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案 D10．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，那么“a >12”是“点M 在第四象限”的( )．A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件解析 z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，假设其对应的点在第四象限，那么a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件． 答案 C 二、填空题11．设i 为虚数单位，那么(1＋i)5的虚部为________．解析 因为(1＋i)5＝(1＋i)4(1＋i)＝(2i)2(1＋i)＝－4(1＋i)＝－4－4i ，因此它的虚部为－4. 答案 －412．已知复数z 知足(2－i)z ＝1＋i ，i 为虚数单位，那么复数z ＝________. 解析 ∵(2－i)z ＝1＋i ，∴z ＝1＋i 2－i ＝1＋i 2＋i2－i 2＋i ＝1＋3i 5＝15＋35i. 答案 15＋35i13．设复数z 知足i(z ＋1)＝－3＋2i ，那么z 的实部是________． 解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，即z ＝1＋3i.答案 114．假设复数(1＋a i)2(i 为虚数单位，a ∈R)是纯虚数， 那么复数1＋a i 的模是________．解析 因为(1＋a i)2＝1－a 2＋2a i 是纯虚数，因此1－a 2＝0，a 2＝1，复数1＋a i 的模为1＋a 2＝ 2.答案215．设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，假设z 2z 1的虚部是实部的2倍，那么实数a 的值为________． 解析 ∵a ∈R ，z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ， ∴z 2z 1＝a ＋2i 1－i＝a ＋2i1＋i 1－i1＋i＝a －2＋a ＋2i 2＝a －22＋a ＋22i ，依题意a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6.答案 616．假设a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，那么|a ＋b i|＝________.解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1. ∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－12＝5.答案5。

学案72 数系的扩充与复数的引入导学目标： 1.明白得复数的大体概念.2.明白得复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四那么运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．自主梳理 1．数系的扩充数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________，事实上前者是后者的真子集．2．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 别离是它的________和________．假设________，那么a ＋b i 为实数，假设________，那么a ＋b i 为虚数，假设________________，那么a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面成立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示____________．复数集C 和复平面内________组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作______或________，即|z |＝|a ＋b i|＝____________. 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法那么设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，那么 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝________________； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝________________； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i＝________________________(c ＋d i≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法知足互换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝______________________.自我检测1．(2020·山东)复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2020·广东)设复数z 知足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，那么z 等于( ) A ．1＋iB ．1－iC ．2＋2iD ．2－2i3．(2020·大纲全国)复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，那么z z －z －1等于( ) A ．－2i B ．－i C ．iD ．2i4．(2020·重庆)复数i 2＋i 3＋i 41－i 等于( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 5．(2020·江苏)设复数z 知足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，那么z 的实部是________.探讨点一 复数的大体概念例1 设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)． (1)假设z 为实数，那么m ＝________； (2)假设z 为纯虚数，那么m ＝________.变式迁移1 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 别离取什么值时，z 别离为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 探讨点二 复数的四那么运算例2 (2020·全国Ⅱ)复数⎝⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2等于( ) A ．－3－4iB ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i变式迁移2 计算： (1)－1＋i2＋ii 3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1－3i3＋i2.例3 (2020·唐山模拟)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫21＋i 2 012＋4－8i2－－4＋8i 211－7i.变式迁移3 (1)(2020·四川)i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3等于( ) A ．－1B ．1C ．－iD ．i(2)(2020·福建)i 是虚数单位，(1＋i1－i )4等于( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 (3)i 是虚数单位，1＋i 1－i2＋1－i 1＋i2等于( ) A ．iB ．－iC ．1D ．－1探讨点三 复数的点坐标表示例4 如下图，平行四边形OABC ，极点O ，A ，C 别离表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．变式迁移4 (2020·江苏苏北四市期末)复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点别离为A ，B ，C ，假设∠BAC 是钝角，那么实数c 的取值范围为________________．1.复数a ＋b i ⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数――→b ≠0纯虚数a ＝02．乘法法那么：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法法那么：a ＋b ic ＋d i＝a ＋b ic －d ic 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．专门地：(a ±b i)2＝a 2±2ab i －b 2＝a 2－b 2±2ab i ，(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.3．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算进程：(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0 (n ∈N )； (2)(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i.一、选择题(每题5分，共25分)1．(2020·江西)假设z ＝1＋2ii ，那么复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i2．(2020·北京)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点别离为A ，B .假设C 为线段AB 的中点，那么点C 对应的复数是( )A ．－4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i3．(2020·平顶山调研)假设θ∈(3π4，5π4)，那么复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．(2020·课标全国)复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB.35i C ．－iD ．i5．下面四个命题： ①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数； ③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④若是让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题(每题4分，共12分)6．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i ，那么复数i ＋z 2z 1的虚部为______．7．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，假设z 1z 2为实数，那么实数m ＝________.8．(2020·上海九校联考)复数z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )知足|z －1|＝x ，那么复数z 对应的点Z (x ，y )的轨迹方程为__________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知|z |－z ＝1－2i ，求复数z .10．(12分)(2020·上海)已知复数z 1知足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11．(14分)已知m ∈R ，复数z ＝m m －2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面第二象限；(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．学案72 数系的扩充与复数的引入 自主梳理1．自然数系 有理数系 实数系 N Q R 2.(1)实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 (2)a ＝c ，b ＝d(3)a ＝c ，b ＝－d (4)x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 所有的点 原点O (5)|z | |a ＋b i|a 2＋b 23．(1)①(a ＋c )＋(b ＋d )i ②(a －c )＋(b －d )i ③(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ④ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2(2) z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3) 自我检测1．D [∵z ＝2－i 2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为(35，－45)，在第四象限．]2．B [方式一 设z ＝x ＋y i ， 那么(1＋i)(x ＋y i)＝x －y ＋(x ＋y )i ＝2，故应有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，故z ＝1－i.方式二 z ＝21＋i ＝21－i1＋i1－i＝1－i.]3．B [∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z ·z ＝|z |2＝2， ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.] 4．C [i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1－i ＋11－i ＝－i1－i ＝－i 1＋i 1－i1＋i＝1－i 2＝12－12i.] 5．1解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ， 得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1. 课堂活动区例1 解题导引 依照复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可别离求出相应的m 值．利用概念解题时，要看准实部与虚部．(1)1或2 (2)－12解析 z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.(1)假设z 为实数，那么m 2－3m ＋2＝0.∴m ＝1或2.(2)假设z 为纯虚数，那么⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，解得m ＝－12.变式迁移 1 解 (1)当z 为实数时，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，那么有a 2－5a －6≠0且a 2－1≠0， ∴a ≠－1且a ≠6且a ≠±1.∴a ≠±1且a ≠6.∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6a ＝6a ≠±1.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．例2 解题导引 复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(归并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i 的幂的性质，区分(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2与(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，现在要注意区分(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2与(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，避免实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．A [⎝⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－i 1－i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4i 22＝(1－2i)2＝－3－4i.] 变式迁移2 解 (1)－1＋i2＋ii 3＝－3＋i －i＝－1－3i.(2)1＋2i2＋31－i2＋i＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (3)1－3i3＋i2＝3＋i －i3＋i2＝－i 3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.例3 解题导引 注意i n (n ∈N )的周期性，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i ，i 4k ＝1 (其中k ∈N )，和(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i 等运算结果在解题中的应用，运算的最后结果化为a ＋b i (a ，b ∈R )的形式．解 原式＝－23＋i 1－23i12＋232＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋i 21 006＋4－8i 2－4－8i 211－7i＝13i 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 006＋0 ＝i ＋(－i)1 006＝i ＋i 2＝i －1＝－1＋i. 变式迁移3 (1)A (2)C (3)D解析 (1)i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1. (2)(1＋i 1－i )4＝[(1＋i 1－i )2]2＝(2i－2i )2＝1. (3)1＋i 1－i2＋1－i 1＋i2＝1＋i －2i ＋1－i2i＝－1－i ＋1－i 2i ＝－2i 2i＝－1.例4 解题导引 依照复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或用向量相等直接给出结论即可．解 (1)∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)∵OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i. 变式迁移4 c >4911且c ≠9解析 在复平面内三点坐标别离为A (3,4)，B (0,0)，C (c ，2c －6)，由∠BAC 是钝角得AB →·AC →<0且B 、A 、C 不共线，由(－3，－4)·(c －3,2c －10)<0，解得c >4911，其中当c ＝9时，AC →＝(6,8)＝－2AB →，三点共线，故c ≠9.课后练习区1．D [∵z ＝1＋2ii ＝1＋2i i－1＝2－i ，∴z ＝2＋i.]2．C [复数6＋5i 对应A 点的坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点的坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i.]3．B [由三角函数线知识适当θ∈(3π4，5π4)时，sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，应选B.] 4．C [方式一 ∵2＋i1－2i ＝2＋i1＋2i1－2i 1＋2i ＝2＋i ＋4i －25＝i ，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.方式二 ∵2＋i1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i 1－2i1－2i ＝i.∴2＋i1－2i 的共轭复数为－i.]5．A [(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不必然是共轭复数； (3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有标明x ，y 是不是是实数； (4)当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．] 6．－1解析 i ＋z 2z 1＝i ＋1－3i 2＋i ＝1－2i2－i5＝－i ，故虚部为－1. 7．－32解析z 1z 2＝m ＋2i 3－4i＝m ＋2i3＋4i25＝3m －8＋6＋4m i 25是实数，∴6＋4m ＝0，故m ＝－32.8．y 2＝2x －1解析 由|z －1|＝x 得|(x －1)＋y i|＝x ， 故(x －1)2＋y 2＝x 2，x ≥0，整理得y 2＝2x －1. 9．解 设z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )， 则a 2＋b 2－(a ＋b i)＝1－2i.(5分)由两复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－a ＝1，－b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝2，.(10分)因此所求复数为z ＝32＋2i.(12分)10．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.(4分)设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.(12分)11．解 (1)当z 为实数时，那么有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(2分)(2)当z 为纯虚数时，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ m m －2m －1＝0m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0，或m ＝2.∴当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(4分)(3)当z 对应的点位于复平面第二象限时，那么有，⎩⎪⎨⎪⎧ m m －2m －1<0.m 2＋2m －3>0解得m <－3或1<m <2，故当m <－3或1<m <2时，z 对应的点位于复平面的第二象限．(8分)(4)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，那么有m m －2m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0，得m m 2＋2m －4m －1＝0，解得m ＝0或m ＝－1± 5.∴当m ＝0或m ＝－1±5时， 点Z 在直线x ＋y ＋3＝0上．(14分)。