中考数学专题——全等三角形
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考点14 三角形及其全等一、三角形的基础知识1.三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形,叫做三角形.2.三角形的三边关系(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边.推论:三角形的两边之差小于第三边.(2)三角形三边关系定理及推论的作用:①判断三条已知线段能否组成三角形;②当已知两边时,可确定第三边的范围;③证明线段不等关系.3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°.推论:①直角三角形的两个锐角互余;②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4.三角形中的重要线段(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.(2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高).(4)连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.二、全等三角形1.三角形全等的判定定理:(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”);(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”);(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”);(4)对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”).2.全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应边相等,对应角相等;(2)全等三角形的周长相等,面积相等;学科-网(3)全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等.考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时,可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断.典例1 小芳有两根长度为6cm和9cm的木条,她想钉一个三角形木框,桌上有下列长度的几根木条,她应该选择长度为__________的木条.A.2cm B.3cmC.12cm D.15cm【答案】C【解析】设木条的长度为x cm,则9–6<x<9+6,即3<x<15,故她应该选择长度为12cm的木条.故选C.1.以下列各组线段为边,能组成三角形的是A.2cm,5cm,8cm B.3cm,3cm,6cmC.3cm,4cm,5cm D.1cm,2cm,3cm考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角.典例2 如图,下列有四个说法,正确的个数是①∠B >∠ACD ;②∠B +∠ACB =180°–∠A ;③∠A +∠B =∠ACD ;④∠HEC >∠ B .A .1个B .2个C .3个D .4个【解答】解:①∠B <∠ACD ,故①错误; ②∠B +∠ACB =180°–∠A ,故②正确; ③∠A +∠B =∠ACD ,故③正确;④∠HEC =∠AED >∠ACD >∠B ,则∠HEC >∠B ,故④正确. 故选C .2.如图,CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线,若3560,B ACE ∠=︒∠=︒,则A ∠=__________.3.如图,在△ABC 中,∠ACB =68°,若P 为△ABC 内一点,且∠1=∠2,则∠BPC =__________.考向三 三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段,由三角形的高可得90°的角,由三角形的中线可得线段之间的关系,由三角形的角平分线可得角之间的关系.另外,要注意区分三角形的中线和中位线.中线:连接三角形一个顶点和它对边中点的线段;中位线:连接三角形两条边中点的线段.典例3 在△ABC 中,AB =3,BC =4,AC =2,D ,E ,F 分别为AB ,BC ,AC 中点,连接DF ,FE ,则四边形DBEF 的周长是A .5B .7C .9D .11【答案】B典例4 如图,点G 为△ABC 的重心,则S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG 的值是A .1∶2∶3B .2∶1∶2C .1∶1∶1D .无法确定【答案】C【解析】如图,分别延长AG 、CG 、BG ,交BC 、AB 、AC 于点D 、F 、E ,根据三角形重心的定理得到AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线,根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形可得,ABD ACD BDG CDG S S S S ∆∆∆==,即可得ABG ACG S S ∆∆=,同理可得ABG BCG S S ∆∆=,所以=ABG BCG ACG S S S ∆∆∆=,即S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG =1∶1∶1,故选C .4.如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D 点,AB =4,BD =5,点P 是线段BC 上的一动点,则PD 的最小值是__________.考向四 全等三角形1.从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少有一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边(角)准确地确定要补充的边(角),有目的地完善三角形全等的条件,从而得到判定两个三角形全等的思路:(1)已知两边SAS HLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→ (2)已知一边、一角AAS SAS ASA AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→ (3)已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→ 2.若题中没有全等的三角形,则可根据题中条件合理地添加辅助线,如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目.典例5 如图,已知∠ADB =∠CBD ,下列所给条件不能证明△ABD ≌△CDB 的是A .∠A =∠CB .AD =BC C .∠ABD =∠CDB D .AB =CD【答案】D【解析】A .∵∠A =∠C ,∠ADB =∠CBD ,BD =BD ,∴△ABD ≌△CDB (AAS ),故正确;B .∵AD =BC ,∠ADB =∠CBD ,BD =DB ,∴△ABD ≌△CDB (SAS ),故正确;C .∵∠ABD =∠CDB ,∠ADB =∠CBD ,BD =DB ,∴△ABD ≌△CDB (ASA ),故正确;D .∵AB =CD ,BD =DB ,∠ADB =∠CBD,不符合全等三角形的判定方法,故不正确,故选D.【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法,①三边对应相等的两个三角形全等,简记为“SSS”;②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,简记为“SAS”;③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等,简记为“ASA”;④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为“AAS”;⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等,根据这几种判定方法解答即可.5.如图,OA=OB,∠A=∠B,有下列3个结论:①△AOD≌△BOC,②△ACE≌△BDE,③点E在∠O的平分线上,其中正确的结论个数是A.0 B.1C.2 D.36.如图,在△BCE中,AC⊥BE,AB=AC,点A、点F分别在BE、CE上,BF、AC相交于点D,BD=CE.求证:AD=AE.1.如图所示,其中三角形的个数是A.2个B.3个C.4个D.5个2.下列图形不具有稳定性的是A.正方形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形3.直角三角形中两锐角之差为20°,则较大锐角为A.45° B.55°C.65° D.50°4.若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等,则O为△ABC__________的交点.A.角平分线B.高线C.中线D.边的中垂线5.如图所示,AB=DB,BC=BE,欲证△ABE≌△DBC,则需补充的条件是A.∠A=∠D B.∠E=∠CC.∠A=∠C D.∠1=∠26.如图,∠1=∠2,∠C=∠D,AC、BD交于E点,下列结论中不正确的是A .∠DAE =∠CBEB .△DEA 不全等于△CEBC .CE =DED .△EAB 是等腰三角形7.如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1+∠2+∠3=__________度.8.如图所示,AB ⊥BE 于点B ,DE ⊥BE 于点E .(1)若∠A =∠D ,AB =DE ,则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________; (2)若∠A =∠D ,BC =EF ,则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________; (3)若AB =DE ,BC =EF ,则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________; (4)若AB =DE ,AC =DF ,则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________.学-科网9.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,BD 是中线,AF ⊥BD ,F 为垂足,过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E .求证:(1)∠ABD =∠FAD ;(2)AB =2CE .10.如图,,,于D ,于E ,且.求证:.AB AC =90BAC ∠= BD AE ⊥CE AE ⊥BD CE >BD EC ED =+11.如图,操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12m,小强同学从B点沿BA走向A,一定时间后他到达M 点,此时他测得CM和DM的夹角为90°,且CM=DM,已知旗杆AC的高为3m,小强同学行走的速度为0.5m/s,则:(1)请你求出另一旗杆BD的高度;(2)小强从M点到达A点还需要多长时间?1.(2018•柳州)如图,图中直角三角形共有A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2018•河北)下列图形具有稳定性的是A.B.C.D.3.(2017•河池)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是A.中线B.角平分线C.高D.中位线4.(2018•百色)顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的A.重心B.外心C.内心D.中心5.(2018•毕节市)已知一个三角形的两边长分别为8和2,则这个三角形的第三边长可能是A.4 B.6C.8 D.106.(2018•贵阳市)如图,在△ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是△ABC的中线,则该线段是A.线段DE B.线段BEC.线段EF D.线段FG7.(2018•昆明)在△AOC中,OB交AC于点D,量角器的摆放如图所示,则∠CDO的度数为A.90°B.95°C.100°D.120°8.(2018•青海)小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起,其中∠E=90°,∠C=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠1+∠2等于A.150°B.180°C.210°D.270°9.(2018•广西)如图,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACD,若∠A=60°,∠B=40°,则∠ECD等于A.40°B.45°C.50°D.55°10.(2018•聊城市)如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在△ABC外的A'处,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA'=γ,那么下列式子中正确的是A.γ=2α+βB.γ=α+2βC.γ=α+βD.γ=180°–α–β11.(2018•黔西南州市)下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙12.(2018•安顺市)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACDA.∠B=∠C B.AD=AEC.BD=CE D.BE=CD13.(2018•南京市)如图,AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥A D.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为A.a+c B.b+cC.a–b+c D.a+b–c14.(2018•辽阳市)如图,在∠MON中,以点O为圆心,任意长为半径作弧,交射线OM于点A,交射线ON于点B,再分别以A,B为圆心,OA的长为半径作弧,两弧在∠MON的内部交于点C,作射线OC.若OA=5,AB=6,则点B到AC的距离为A.5 B.24 5C.4 D.12 515.(2018•绵阳市)如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于O点,则AB=__________.16.(2018•泰州)已知三角形两边的长分别为1、5,第三边长为整数,则第三边的长为__________.17.(2018•陇南市)已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a–7|+(b–1)2=0,c为奇数,则c=__________.18.(2018•柳州)如图,AE和BD相交于点C,∠A=∠E,AC=EC.求证:△ABC≌△ED C.19.(2018•云南)如图,已知AC平分∠BAD,AB=A D.求证:△ABC≌△ADC.4.【答案】3【解析】由勾股定理知AD3=,BD平分∠ABC交AC于D点,所以PD=AD最小,PD=3,故答案为:3.5.【答案】D【解析】∵OA=OB,∠A=∠B,∠O=∠O,∴△AOD≌△BOC(ASA),故①正确;∴OD=CO,∴BD=AC,∴△ACE≌△BDE(AAS),故②正确;∴AE=BE,连接OE,∴△AOE≌△BOE(SSS),∴∠AOE =∠BOE ,∴点E 在∠O 的平分线上,故③正确, 故选D .6.【解析】∵AC ⊥BE ,∴∠BAD =∠CAE =90°,在Rt △ABD 和Rt △ACE 中,BD CEAB AC =⎧⎨=⎩,∴Rt △ABD ≌Rt △ACE (HL ),∴AD =AE .1.【答案】D【解析】图中的三角形有:△ABC ,△BCD ,△BCE ,△ABE ,△CDE 共5个.故选D . 2.【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知,只有选项A 不具有稳定性,故选A . 3.【答案】B【解析】设两个锐角分别为x 、y ,由题意得,,解得,所以最大锐角为55°.故选B . 4.【答案】A【解析】∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上, ∴这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A . 5.【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知,要证△ABE ≌△DBC 还需补充条件AB ,BE 与BC ,BD 的夹角相等,即∠ABE =∠CBD 或者∠1=∠2,故选D . 6.【答案】B【解析】∵∠1+∠C +∠ABC =∠2+∠D +∠DAB =180°,且∠1=∠2,∠C =∠D , ∴∠ABC =∠DAB ,∴∠ABC –∠2=∠DAB –∠1,∴∠DAE =∠CBE .故A 正确;∵∠1=∠2,∴AE =BE .在△DEA 和△CEB 中DAE CBE C D AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DEA ≌△CEB (AAS ),故B 错误;由△DEA ≌△CEB 可得CE =DE .故C 正确.∵∠1=∠2,∴BE =AE ,∴△EAB 是等腰三角形故D 正确;故选B .=90=20x y x y +︒-︒⎧⎨⎩=55=35x y ︒︒⎧⎨⎩7.【答案】135 【解析】如图所示:由题意可知△ABC ≌△EDC ,∴∠3=∠BAC , 又∵∠1+∠BAC =90°,∴∠1+∠3=90°,∵DF =DC ,∴∠2=45°,∴∠1+∠2+∠3=135度, 故答案是:135.8.【答案】ASA ,AAS ,SAS ,HL【解析】(1)在△ABC 和△DEF 中,因为∠B =∠E =90°, AB =DE ,∠A =∠D ,所以△ABC ≌△DEF (ASA); (2)在△ABC 和△DEF 中,因为∠B =∠E =90°, ∠A =∠D ,BC =EF ,所以△ABC ≌△DEF (AAS); (3)在△ABC 和△DEF 中,因为AB =DE ,∠B =∠E =90°, BC =EF ,所以△ABC ≌△DEF (SAS);(4)在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,因为AC =DF ,AB =DE , 所以Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL). 故答案为:ASA ;AAS ;SAS ;HL.10.【解析】,,,,,, ,90BAC ∠= CE AE ⊥BD AE ⊥90ABD BAD ∠∠∴+= 90BAD DAC ∠∠+= 90ADB AEC ∠∠== ABD DAC ∠∠∴=在和中,,∴≌(AAS ),,, ,∴BD =EC +ED .11.【解析】(1)如图,∵CM 和DM 的夹角为90°,∴∠1+∠2=90°,∵∠DBA =90°,∴∠2+∠D =90°,∴∠1=∠D ,在△CAM 和△MBD 中,,∴△CAM ≌△MBD (AAS ),∴AM =DB ,AC =MB , ∵AC =3m ,∴MB =3m ,∵AB =12m ,∴AM =9m ,∴DB =9m ; (2)9÷0.5=18(s ).学_科网答:小强从M 点到达A 点还需要18秒.1.【答案】CABD CAE ABD EAC BDA E AB AC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩ABD CAE BD AE ∴=EC AD =AE AD DE =+ 1A B D CM MD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩【解析】如图,图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC,共有3个,故选C.2.【答案】A【解析】三角形具有稳定性.故选A.3.【答案】A【解析】∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形,∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分.故选A.4.【答案】A【解析】三角形三条中线的交点是三角形的重心,故选A.5.【答案】C【解析】设第三边长为x,则8–2<x<2+8,6<x<10,故选C.6.【答案】B【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线,故选B.7.【答案】B【解析】∵CO=AO,∠AOC=130°,∴∠CAO=25°,又∵∠AOB=70°,∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°,故选B.8.【答案】C【解析】如图:∵∠1=∠D+∠DOA,∠2=∠E+∠EPB,∵∠DOA=∠COP,∠EPB=∠CPO,∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°–∠C=30°+90°+180°–90°=210°,故选C . 9.【答案】C【解析】∵∠A =60°,∠B =40°,∴∠ACD =∠A +∠B =100°, ∵CE 平分∠ACD ,∴∠ECD =12∠ACD =50°,故选C . 10.【答案】A【解析】由折叠得:∠A =∠A ',∵∠BDA '=∠A +∠AFD ,∠AFD =∠A '+∠CEA ', ∵∠A =α,∠CEA ′=β,∠BDA '=γ,∴∠BDA '=γ=α+α+β=2α+β,故选.11.【答案】B【解析】乙和△ABC 全等;理由如下:在△ABC 和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:SAS ,所以乙和△ABC 全等; 在△ABC 和图丙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:AAS ,所以丙和△ABC 全等; 不能判定甲与△ABC 全等;故选B .13.【答案】D【解析】∵AB ⊥CD ,CE ⊥AD ,BF ⊥AD ,∴∠AFB =∠CED =90°,∠A +∠D =90°,∠C +∠D =90°,∴∠A =∠C ,∵AB =CD ,∴△ABF ≌△CDE ,∴AF =CE =a ,BF =DE =b , ∵EF =c ,∴AD =AF +DF =a +(b –c )=a +b –c ,故选D . 14.【答案】B【解析】由题意可得,OC 为∠MON 的平分线, ∵OA =OB ,OC 平分∠AOB ,∴OC ⊥AB , 设OC 与AB 交于点D ,作BE ⊥AC 于点E ,∵AB =6,OA =5,AC =OA ,OC ⊥AB ,∴AC =5,∠ADC =90°,AD =3, ∴CD =4,∵2AB CD ⋅=2AC BE ⋅,∴642⨯=52BE ⨯,解得,BE =245,故选B . 15【解析】∵AD 、BE 为BC ,AC 边上的中线,∴BD =12BC =2,AE =12AC =32,点O 为△ABC 的重心,∴AO =2OD ,OB =2OE , ∵BE ⊥AD ,∴BO 2+OD 2=BD 2=4,OE 2+AO 2=AE 2=94,∴BO 2+14AO 2=4,14BO 2+AO 2=94,∴54BO 2+54AO 2=254,∴BO 2+AO 2=5,∴AB. 16.【答案】5【解析】根据三角形的三边关系,得4<第三边<6. 又第三条边长为整数,则第三边是5.故答案为:5. 17.【答案】7【解析】∵a ,b 满足|a –7|+(b –1)2=0,∴a –7=0,b –1=0,解得a =7,b =1, ∵7–1=6,7+1=8,∴6<c <8,又∵c 为奇数,∴c =7,故答案是:7.18.【解析】∵在△ABC 和△EDC 中,,∴△ABC ≌△EDC (ASA ).19.【解析】∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC =∠DAC ,在△ABC 和△ADC 中,,∴△ABC ≌△ADC .A EAC EC ACB ECD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩AB AD BAC DAC AC AC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩。
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1.下列选项中表示两个全等的图形的是()A.形状相同的两个图形B.周长相等的两个图形C.面积相等的两个图形D.能够完全重合的两个图形2.如图,点D、E分别在线段AB、AC上,BE、CD相交于点O,AE=AD,则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是()A.AB=AC B.∠B=∠CC.∠AEB=∠ADC D.CD=BE3.如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,则说明∠CAD=∠DAB的依据是()A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS4.如图△ABC≌△DEC,点A和点D是对应顶点,点B和点E是对应顶点,过点A作AF⊥CD,垂足为点F,若∠BCE=65°,则∠CAF的度数为()A.25°B.30°C.35°D.65°5.如图EF=CF,BF=DF则下列结论不一定正确的是()A.△BEF≌△DCF B.△ABC≌△ADEC.DC=AC D.AB=AD6.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.57.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,点E,BE、CD相交于点O.∠1=∠2,则图中全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对8.如图,AD 是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积为12,DE =2,AB = 7,则 AC 的长是()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题9.如图,∠ACD=∠BCE,BC=EC,要使△ABC≌△DEC,则可以添加的一个条件是.10.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=8,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=2,则△ABD的面积为.11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,若BD=4cm,CE=3cm则DE= cm.12.如图,把两根钢条AB,CD的中点连在一起做成卡钳,已知AC的长度是6cm,则工件内槽的宽BD是cm.13.如图,△ABC为等腰直角三角形AC=BC,若A(−3,0),C(0,2),则点B的坐标为.三、解答题14.如图所示,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°(1)求证:△ADE≌△CDE.(2)求∠BDC度数.15.如图,已知,EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E.(1)求证:BC=DC;(2)若∠A =25°,∠D =15°,求∠ACB 的度数.16.如图,AB =AC ,AD =AE ,∠BAC =∠DAE.(1)求证:△ABD ≌△ACE ;(2)若∠1=25°,∠2=30°,求∠3的度数.17.如图,在ABC 中90C ∠=︒,BD 是ABC ∠的平分线,DE AB ⊥于点E ,点F 在BC 上,连接DF ,且AD DF =. (1)求证:CF AE =;(2)若3AE =,BF=4,求AB 的长.18.如图,∠BAD =∠CAE =90°,AB =AD ,AE =AC ,AF ⊥CB ,垂足为F .(1)求证:△ABC ≌△ADE ;(2)求∠FAE 的度数;(3)求证:CD =2BF+DE .1.D2.D3.D4.A5.C6.B7.C8.C9.AC =DC (答案不唯一)10.811.712.613.(2,-1)14.(1)证明:∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ,AE=CE在△ADE 与△CDE 中:DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE (SSS );(2)解:∵△ADE ≌△CDE .∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15.(1)证明:∵∠BCE =∠DCA∴∠BCE +∠ACE =∠DCA +∠ECA即∠BCA =∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE (ASA )(2)解:∵△BCA ≌△DCE∴∠B =∠D =15°.∵∠A =25°∴∠ACB =180°−∠A −∠B =140°.16.(1)证明:∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC =∠DAE ﹣∠DAC∴∠1=∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE (SAS )(2)解:∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD =∠2=30°∵∠1=25°∴∠3=∠1+∠ABD =25°+30°=55°.17.(1)证明:(1)∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =.(2)解:由(1)可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10.18.(1)证明:∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△;(2)解:∵90CAE ∠=︒,AC=AE∴45E ∠=︒由(1)知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒;(3)证明:延长BF 到G ,使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+.。
全等三角形的判定专题1.如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:BC∥EF.2.如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.3.已知:如图,点A,F,E,C在同一直线上,AB∥DC,AB=CD,∠B=∠D.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若点E,G分别为线段FC,FD的中点,连接EG,且EG=5,求AB的长.4.如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC、DB相交于点O.求证:OB=OC.5.如图,已知∠1=∠2,∠B=∠D,求证:CB=CD.6.如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:∠C=∠E.7.如图,已知CA=CD,∠1=∠2(1)请你添加一个条件使△ABC≌△DEC,你添加的条件是;(2)添加条件后请证明△ABC≌△DEC.8.如图,AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证:∠A=∠C.9.如图,四边形ABCD是正方形,M为BC上一点,连接AM,延长AD至点E,使得AE=AM,过点E 作EF⊥AM,垂足为F,求证:AB=EF.10.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME ∥BC交AB于点E.求证:△ABC≌△MED.11.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E.(1)求证:△ACD≌△CBE;(2)已知AD=4,DE=1,求EF的长.12.如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点,若AE=DC=2ED,且EF⊥EC.(1)求证:点F为AB的中点;(2)延长EF与CB的延长线相交于点H,连结AH,已知ED=2,求AH的值.13.如图,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC.(1)求证:△ABE≌△ACF;(2)若∠BAE=30°,则∠ADC=°.14.如图,AB∥CD,E、F分别为AB、CD上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G,H,若AB=CD,求证:AG=DH.15.如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.(1)求证:△ABC≌△AED;(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.16.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知∠ABC=60°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)求证:△ABC≌△EAF;(2)试判断四边形EFDA的形状,并证明你的结论.17.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,点E,F分别在AC,BC上,求证:DE=DF.18.如图,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD=AE.求证:BE=CD.19.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.(1)求证:AB=AC;(2)若AD=2,∠DAC=30°,求AC的长.20.四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO.21.如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,F是CD的中点,过点C作AB的平行线交BF的延长线于点E,连接AE.(1)求证:EC=DA;(2)若AC⊥CB,试判断四边形AECD的形状,并证明你的结论.22.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E.AD⊥CE于点D.求证:△BEC≌△CDA.23.如图,在▱ABCD中,点E,F在AC上,且∠ABE=∠CDF,求证:BE=DF.24.如图,四边形ABCD、BEFG均为正方形,连接AG、CE.(1)求证:AG=CE;(2)求证:AG⊥CE.25.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△ABD≌△CAE;(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.26.如图,⊙O的直径为AB,点C在⊙O上,点D,E分别在AB,AC的延长线上,DE⊥AE,垂足为E,∠A=∠CDE.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AB=4,BD=3,求CD的长.27.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC,交AC于点E,AC的反向延长线交⊙O于点F.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若DE+EA=8,⊙O的半径为10,求△OAF的面积.。
2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________知识重点1、全等三角形的概念:(1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(2)把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
3、三角形全等的判定:(1)边边边(SSS):三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS):两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA):两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
一、选择题1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是()A.B.C.D.2.如图,△ABC≌△EDC,AC=3cm,DC=5cm,则BE=()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm3.如图,△ABC≌△ADE,∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为()A.40°B.30°C.35°D.25°4.小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案:先取一个可直接到达点A,B的点O,连接AO,BO,延长AO至点P,延长BO至点Q,使得OP=AO,OQ=BO再测出PQ的长度,即可知道A,B之间的距离.他设计方案的理由是()A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS5.如图,点F,E在AC上AD=CB,∠D=∠B添加一个条件,不一定能证明△ADE≌△CBF的是()A.AD∥BC B.DE∥FB C.DE=BF D.AE=CF6.如图所示∠E=∠D,CD⊥AC于点C,BE⊥AB于点B,AE交BC于点F,且BE=CD,则下列结论不一定正确的是()A.AB=AC B.BF=EF C.AE=AD D.∠BAE=∠CAD 7.如图,OD平分∠AOB,DE⊥AO于点E,DE=5 F是射线OB上的任意一点,则DF的长度不可能是()A.4 B.5 C.5.5 D.68.如图,AD是△BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=32,DE=4,AB=9,则AC的长是()A.5 B.6 C.7 D.8二、填空题9.如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF 相等,那么判定△ABC与△DEF全等的依据是.10.若△ABC≌△DEF,A与D,B与E分别是对应顶点∠A=50°,∠B=60°则∠F=. 11.如图,△ABC的面积为25cm2,BP平分∠ABC,过点A作AP⊥BP于点P,则△PBC的面积为;12.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,已知BC=8,DE=2则△BCE 的面积等于.13.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=7cm,CE=5cm,则DE= cm.三、解答题14.如图,点B,C,E,F在同一直线上,AB=DF,AC=DE,BE=CF.求证:AB∥DF.15.如图,在Rt△ABC中∠B=90°,CD∥AB,DE⊥AC于点E,且CE=AB.求证:△CED≅△ABC.16.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,AE平分∠DAB.求证:CD+AB=AD.17.已知:如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:(1)OD=OE;(2)OB=OC.18.如图,在△ABC中AC>AB,射线AD平分∠BAC,交BC于点E,点F在边AB的延长线上AF=AC,连接EF.(1)求证:△AEC≌△AEF.(2)若∠AEB=50°,求∠BEF的度数.19.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB.(1)求∠AOE得度数;(2)求证:AC=AE+CD.参考答案1.A2.B3.C4.A5.D6.B7.A8.C9.HL10.70°11.12.5cm212.813.1214.解:∵ BE=CF∴BE−CE=CF−CE∴BC=FE∵ AB=DF,AC=DE∴△ABC≌△DFE(SSS)∴∠B=∠F∴AB∥DF.15.证明:∵DE⊥AC,∠DEC=90°又∵∠B=90°∴∠DEC=∠B=90°∵CD∥AB,∴∠A=∠DCE在△CED和△ABC中{∠DCE=∠A CE=AB∠DEC=∠B∴△CED≅△ABC(ASA).16.证明:如图,过点E作EF⊥AD于F∵∠B=90°,AE平分∠DAB∴BE=EF在Rt△EFA和Rt△EBA中{EF=EBAE=AE∴Rt△EFA和≌Rt△EBA(HL).∴AF=AB∵E是BC的中点∴BE=CE=EF在Rt△EFD和Rt△ECD中{EF=ECDE=DE∴Rt△EFD和≌Rt△ECD(HL).∴DF=CD∴CD+AB=DF+AF=AD∴CD+AB=AD.17.(1)证明:∵AO平分∠BAC,CD⊥AB,BE⊥AC ∴OD=OE(2)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中{∠BDO=∠CEO DO=CO∠BOD=∠COE∴△BDO≌△CEO(ASA)∴OB=OC18.(1)证明:射线AD平分∠BAC∴∠CAE=∠FAE 在△AEC和△AEF中{AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE∴△AEC≌△AEF(SAS);(2)解:∵△AEC≌△AEF(SAS)∴∠AEC=∠AEF∵∠AEB=50°∴∠AEC=180°−∠AEB=180°−50°=130°∴∠AEF=∠AEC=130°∴∠BEF=∠AEF−∠AEB=80°∴∠BEF为80°.19.18.(1)解:∵∠BAC=90°,∠ABC=60°∴∠ACB=30°∵AD平分∠BAC,CE平分∠BAC∴∠CAD=12∠BAC=45°,∠ACE=12∠ACB=15°∵∠AOE是△AOC的外角∴∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°;(2)证明:在AC上截取CF=CD,连接OF∵CE平分∠ACB∴∠DCO=∠FCO在△DCO和△FCO中{CD=CF∠DCO=∠FCOOC=OC∴△DCO≌△FCO(SAS)∴∠COD=∠COF∵∠AOE=60°∴∠COD=∠COF=60°∴∠AOF=180°−∠AOE−∠COF==60°∴∠AOE=∠AOF∵AD平分∠BAC∴∠EAO=∠FAO在△EAO和△FAO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△EAO≌△FAO(ASA)∴AE=AF∵AC=AF+CF∴AC=AE+CD.。
中考数学专题复习全等三角形(公共角模型)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________评卷人得分 一、解答题1.在ABC 中,∠BAC =90°,AB AC =,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ,C 重合),以AD 为直角边在AD 右侧作等腰直角三角形ADE (90DAE ∠=︒,AD AE =),连接CE . (1)如图1,当点D 在线段BC 上时,猜想:BC 与CE 的位置关系,并说明理由; (2)如图2,当点D 在线段CB 的延长线上时,(1)题的结论是否仍然成立?说明理由;(3)如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,结论(1)题的结论是否仍然成立?不需要说明理由.2.在四边形ABCD 中,∠DAB +∠DCB =180°,AC 平分∠DAB .(1)如图1,求证:BC =CD ;(2)如图2,连接BD 交AC 于点E ,若∠ADB =90°,AE =2DE ,求∠ABD 的度数; (3)如图3,在(2)的条件下,过点C 作CH ∠AB 于点H ,∠BCH 沿BC 翻折,点H 的对应点为点F ,点G 在线段AB 上,连接FG ,若∠CGF =30°,S △CHG =9,求线段CG 的长.3.如图1,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点E,F分别为AB,AC的中点,H为线段EF上一动点(不与点E,F重合),过点A作AG∠AH且AG=AH,连接GC,HB.(1)证明:AHB∠AGC;(2)如图2,连接GF,HG,HG交AF于点Q.∠证明:在点H的运动过程中,总有∠HFG=90°;∠当AQG为等腰三角形时,求∠AHE的度数.4.如图,我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.(1)性质探究:如图1.己知四边形ABCD中,AC∠BD.垂足为O,求证:AB2+CD2=AD2+BC2;(2)解决问题:已知AB=52.BC=42,分别以∠ABC的边BC和AB向外作等腰Rt∠BCE和等腰Rt∠ABD;∠如图2,当∠ACB=90°,连接DE,求DE的长;∠如图3.当∠ACB≠90°,点G、H分别是AD、AC中点,连接GH.若GH=26,则S△ABC=.5.已知,∠ABC是边长为4cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发,沿线段AB,BC运动,且它们的速度均为1cm/s.当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).(1)如图1,连接AQ、CP,相交于点M,则点P,Q在运动的过程中,∠CMQ会变化吗?若变化,则说明理由;若不变,请求出它的度数.(2)如图2,当t为何值时,∠PBQ是直角三角形?(3)如图3,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP 交点为M,请直接写出∠CMQ度数.6.(1)如图(1)点P是正方形ABCD的边CD上一点(点P与点C,D不重合),点E在BC的延长线上,且CE=CP,连接BP,DE.求证:∠BCP∠∠DCE;(2)直线EP交AD于F,连接BF,FC.点G是FC与BP的交点.∠若CD=2PC时,求证:BP∠CF;∠若CD=n•PC(n是大于1的实数)时,记∠BPF的面积为S1,∠DPE的面积为S2.求证:S1=(n+1)S2.参考答案:1.(1)BC ∠CE ,见解析;(2)成立,见解析;(3)成立【解析】【分析】(1)先证∠2=∠3,再证∠ABD ∠∠ACE (SAS ),得出∠4=∠5,求出∠4=∠6=45°,∠5=45°即可;(2)先证∠2=∠3,再证∠ABD ∠∠ACE (SAS ),得出∠ABD =∠ACE ,求出∠ABC =∠ACB =45°,得出∠ABD =∠ACE =135°即可;(3)先证∠BAD =∠CAE ,再证∠ABD ∠∠ACE (SAS ),得出∠ABD =∠ACE ,再求∠ABC =∠ACB =45°,得出∠ABD =∠ACE =45°.【详解】解:(1)BC 与CE 的位置关系是BC ∠CE ,理由是:∠∠BAC =∠DAE =90°,∠∠BAC -∠1=∠DAE -∠1,即∠2=∠3,在△ABD 和△ACE 中,23AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∠△ABD ∠△ACE (SAS ),∠∠4=∠5,∠∠BAC =90°,AB =AC ,∠∠4=∠6=45°,∠∠5=45°,∠∠BCE =∠5+∠6=45°+45°=90°,即BC ∠CE ;(2)成立.理由是:∠∠BAC =∠DAE =90°,∠∠BAC-∠1=∠DAE-∠1,即∠2=∠3,在△ABD 和△ACE 中,23AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∠△ABD ∠△ACE (SAS ),∠∠ABD =∠ACE ,∠∠BAC =90°,AB =AC ,∠∠ABC =∠ACB =45°,∠∠ABD =∠ACE =135°,∠∠BCE =∠ACE -∠ACB =135°-45°=90°,即BC ∠CE ;(3)成立∠∠BAC =∠DAE =90°,∠∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ,即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∠∠ABD∠∠ACE(SAS),∠∠ABD=∠ACE,∠∠BAC=90°,AB=AC,∠∠ABC=∠ACB=45°,∠∠ABD=∠ACE=45°,∠∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°.【点睛】本题考查图形变换中结论问题,等腰直角三角形性质,三角形全等判定与性质,角的和差运用,直线位置关系,掌握等腰直角三角形性质,三角形全等判定与性质,角的和差运用,直线位置关系垂直的证法是解题关键.2.(1)证明见解析;(2)30ABD∠=;(3)CG=6【解析】【分析】(1)过点C作CP∠AB于点P,作CQ∠AD的延长线于点Q,证明∠CQD∠∠CPB,即可得到答案;(2)延长ED,让MD=ED,∠AME是等边三角形,然后利用等边三角形的性质和角平分线的定义即可求得答案;(3)延长GC,过点F作FK∠GC的延长线于点K,过点H作HL∠GF于点L,连接HF,通过证明∠CFK∠∠HFL,得到FK=FL,又有直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半,求得FK=12GF,根据等腰三角形的三线合一,进一步求得∠FGH=15,从求得到∠GCH=45,然后在直角三角形中利用勾股定理求解即可得答案.【详解】解:(1)过点C作CP∠AB于点P,作CQ∠AD的延长线于点Q,如下图:∠AC平分∠DAB,CP∠AB,CQ∠AD∠CQ=CP在四边形APCQ中,∠APC=∠AQC=90∠∠QAP+∠PCQ=180又∠∠DAB+∠DCB=180°∠∠PCQ=∠DCB∠∠QCD+∠DCP=∠DCP+∠PCB∠∠QCD=∠PCB又∠∠CQD=∠CPB=90∠∠CQD∠∠CPB(ASA)∠CD=CB(2)延长ED,让MD=ED,如下图:∠∠ADB=90°∠AD∠ME又∠MD=ED∠AM=AE,ME=2DE又∠AE=2DE∠ME=AE=AM∠∠AME是等边三角形∠60AED∠=又∠∠ADE=90°∠30DAE∠=∠AC平分∠DAB∠30EAB DAE∠=∠=又∠AED EAB ABD∠=∠+∠∠30ABD∠=(3)延长GC,过点F作FK∠GC的延长线于点K,过点H作HL∠GF于点L,连接HF,如下图:∠在Rt CHB中,90,60CHB CBH ABD CBD∠=∠=∠+∠=∠∠HCB=30又∠折叠∠CH=CF, ∠HCB=∠FCB=30∠∠HCF=60∠∠CHF是等边三角形∠∠CFH=∠CHF=60,CF=HF又∠在Rt GFK△中,∠CGF=30,∠GKF=90∠∠GFK=60∠∠CFH=∠GFK∠∠CFK +∠CFG =∠CFG +∠HFL ∠∠CFK =∠HFL又∠∠CKF =∠LHF =90,CF =HF∠∠CFK ∠∠HFL∠FK =FL又∠在Rt GFK △中,∠CGF =30∠FK =12GF∠FL =12GF∠GL =FL又∠HL ∠GF∠HG =HF∠∠FGH =∠GFH又∠∠CHF =60,∠CHB =90∠∠FHB =∠CHB -∠CHF =30∠∠FGH =15∠∠CGH =∠CGF +∠FGH =45又∠∠CHG =90∠∠GCH =45∠GH =CH ,∠GCH 是等腰直角三角形又∠9CHG S =△∠192GH CH ⋅= ∠2218GH CH ==在Rt CHG 中,由勾股定理得:22236CG GH CH =+=∠CG >0∠CG =6【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定,含30︒的直角三角形性质,等边三角形的性质和判定,直角三角形的勾股定理等知识点,能够熟练利用化归的思想和数形结合的思想去解题,是本题的重点.3.(1)见解析;(2)∠见解析;∠当∠AQG为等腰三角形时,∠AHE的度数为67.5°或90°.【解析】【分析】(1)根据SAS可证明∠AHB∠∠AGC;(2)∠证明∠AEH∠∠AFG(SAS),可得∠AFG=∠AEH=45°,从而根据两角的和可得结论;∠分两种情况:i)如图3,AQ=QG时,ii)如图4,当AG=QG时,分别根据等腰三角形的性质可得结论.【详解】(1)证明:如图1,由旋转得:AH=AG,∠HAG=90°,∠∠BAC=90°,∠∠BAH=∠CAG,∠AB=AC,∠∠ABH∠∠ACG(SAS);(2)∠证明:如图2,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,∠∠ABC=∠ACB=45°,∠点E,F分别为AB,AC的中点,∠EF是∠ABC的中位线,∠EF∠BC,AE=12AB,AF=12AC,∠AE=AF,∠AEF=∠ABC=45°,∠AFE=∠ACB=45°,∠∠EAH=∠F AG,AH=AG,∠∠AEH∠∠AFG(SAS),∠∠AFG=∠AEH=45°,∠∠HFG=45°+45°=90°;∠分两种情况:i)如图3,AQ=QG时,∠AQ=QG,∠∠QAG=∠AGQ,∠AG∠AH且AG=AH,∠∠AHG=∠AGH=45°,∠∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°,∠∠EAH=∠F AH=45°,∠AE=AF,AH=AH,∠∠AEH∠∠AFH(SAS),∠∠AHE=∠AHF,∠∠AHE+∠AHF=180°,∠∠AHE=∠AHF=90°;ii)如图4,当AG=QG时,∠GAQ=∠AQG,∠∠AEH=∠AGQ=45°,∠∠GAQ=∠AQG=180452︒-︒=67.5°,∠∠EAQ=∠HAG=90°,∠∠EAH=∠GAQ=67.5°,∠∠AHE=∠AQG=67.5°;∠H为线段EF上一动点(不与点E,F重合),∠不存在AG=AQ的情况.综上,当∠AQG为等腰三角形时,∠AHE的度数为67.5°或90°.【点睛】本题是三角形的综合题,考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,也考查了全等三角形的判定与性质,第二问要注意分类讨论,不要丢解.4.(1)见解析;(2)∠146;∠7 2【解析】【分析】(1)根据AC∠BD可以得到,AOB =∠COD=90°即可得到AB²=AO²+OB²,CD²=DO²+OC²即AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC² 同理可以得到AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC² 即可得到答案;(2)连DC、AE相交于点F,先证明∠ABE ∠∠DBC得到∠CDB=∠BAE 从而证得AE∠CD 再利用勾股定理和(1)中的结论求解即可得到答案;(3)连DC、AE相交于点F,作CP∠BD交DB延长线于点P,BP²+CP²=BC²=(42)²=32,DP²+PC²=DC²=(46)²=96,(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64,DP²-BP²=64从而求出BP=7210,再证明AB∠PC则S△ABC=12AB×BP.【详解】解:(1)证明:∠AC∠BD∠,AOB=90°在Rt∠AOB中AB²=AO²+OB²∠,COD=90°在Rt∠COD中CD² =DO²+OC²∠AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC² ∠ AB2+CD2=AD2+BC ²(2)∠解:连DC、AE相交于点F ∠Rt∠BCE和Rt∠ABD是等腰三角形∠BE=BC AB=BD∠CBE=∠ABD=90°∠∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC∠∠ABE ∠∠DBC∠∠CDB=∠BAE∠∠ABD=90°∠∠CDB+∠CDA+∠DAB=90°∠∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°∠∠AFD=90°∠AE∠CD∠AB=52,BC=42∠ACB=90° ∠AC=2232AB BC-=∠AB=52,BD=52∠ABD=90°∠AD=2210AB BD+=∠BC=42,BE=42∠CBE=90°∠CE=228BC BE+=由(1)中结论AD²+EC²=AC²+DE²∠(10)²+(8)²=(32)²+DE²∠DE=146∠连DC、AE相交于点F∠点G、H分别是AD、AC中点,GH=26∠ DC=2GH =46作CP∠BD交DB延长线于点PBP²+CP²=BC²=(42)²=32DP²+PC²=DC²=(46)²=96∠(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64∠DP²-BP²=64∠(BD+BP)²-BP²=64∠(52+BP)²-BP²=64∠BP=7210∠∠PBA=90°,∠P=90°,∠∠PBA+∠P=90°+90°=180°则S △ABC =12AB ×BP =12×52×772=102【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题,等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理,垂直的定义,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5.(1)不变,60°;(2)43或83;(3)120°. 【解析】【分析】(1)通过证∠ABQ ∠∠CAP 得到∠BAQ =∠ACP ,所以由三角形外角定理得到∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60°;(2)需要分类讨论:分∠PQB =90°和∠BPQ =90°两种情况;(3)通过证∠ABQ ∠∠CAP 得到∠BAQ =∠ACP ,所以由三角形外角定理得到∠CMQ =∠BAQ +∠APC =∠ACP +∠APC =180°-∠BAC =120°.【详解】(1)不变.在∠ABQ 与∠CAP 中,∠60AB AC B CAP AP BQ =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∠∠ABQ ∠∠CAP (SAS ),∠∠BAQ =∠ACP ,∠∠CMQ =∠ACP +∠CAM =∠BAQ +∠CAM =∠BAC =60°;(2)设时间为t ,则AP =BQ =t ,PB =4-t ,∠当∠PQB =90°时,∠∠B =60°,∠4-t =2t ,43t =; ∠当∠BPQ =90°时,∠∠B =60°,∠BQ =2BP ,∠ t =2(4-t ),t =83; ∠当第43秒或第83秒时,∠PBQ 为直角三角形; (3)在∠ABQ 与∠CAP 中,∠60AB AC B CAP AP BQ =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∠∠ABQ ∠∠CAP (SAS ),∠∠BAQ =∠ACP ,∠∠CMQ =∠BAQ +∠APC =∠ACP +∠APC =180°-∠BAC =120°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.6.(1)证明见解析;(2)∠证明见解析;∠证明见解析.【解析】【分析】(1)由SAS 即可证明∠BCP ∠∠DCE .(2)∠在(1)的基础上,再证明∠BCP ∠∠CDF ,进而得到∠FCD +∠BPC =90°,从而证明BP ⊥CF ;∠设CP =CE =1,则BC =CD =n ,DP =CD -CP =n -1,分别求出S 1与S 2的值,得()()11112S n n =+-,()2112S n =-,所以S 1=(n +1)S 2结论成立. 【详解】证明:(1)∠在∠BCP 与∠DCE 中,90BC CD BCP DCE CP CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠BCP ∠∠DCE (SAS ).(2)∠∠CP =CE ,∠PCE =90°,∠∠CPE =45°,∠∠FPD =∠CPE =45°,∠∠PFD =45°,∠FD =DP .∠CD =2PC ,∠DP =CP ,∠FD =CP .∠在∠BCP 与∠CDF 中,90BC CD BCP CDF CP FD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠BCP ∠∠CDF (SAS ),∠∠FCD =∠CBP .∠∠CBP +∠BPC =90°,∠∠FCD +∠BPC =90°,∠∠PGC =90°,即BP ⊥CF .∠设CP =CE =1,则BC =CD =n ,DP =CD -CP =n -1 易知∠FDP 为等腰直角三角形,∠FD =DP =n -1.∠()1111222BCDF BCP FDP S S S S BC FD CD BC CP FD DP ∆∆=--=+⋅-⋅-⋅梯形 ()()()()()221111111111122222n n n n n n n n =+-⋅-⋅--=-=+- ()()2111111222S DP CE n n =⋅=-⋅=- ∠S 1=(n +1)S 2.【点睛】本题是几何综合题,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点,试题的综合性强,难度较大.。
中考数学专题训练:全等三角形一、选择题(本大题共10道小题)1. 如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加一个条件是()A.∠A=∠C B.∠D=∠BC.AD∥BC D.DF∥BE2. 如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点.若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为()A.15°B.20°C.25°D.30°3. 如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC,不能添加的一组条件是()A.BC=EC,∠B=∠E B.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,∠A=∠D D.∠B=∠E,∠A=∠D4. 如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有()A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对5. 如图,若△ABE≌△ACF,且AB=5,AE=2,则EC的长为()图12-1-10A.2B.3C.5D.2.56. 如图所示,△ABD≌△CDB,下列四个结论中,不正确的是()A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC,AD=BC7. 如图,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE =a,BF=b,EF=c,则AD的长为()A.a+c B.b+cC.a-b+c D.a+b-c8. 如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是()9. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3等于() A.90°B.120 C.135°D.150°10. 如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上二、填空题(本大题共10道小题)11. 如图,△ABC≌△A′B′C′,其中∠A=36°,∠C′=24°,则∠B=________.12. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接BD.请添加一个适当的条件:______________,使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)13. 如图,已知在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,BF=CE,点B,F,C,E在同一条直线上,若使△ABC≌△DEF,则还需添加的一个条件是(只填一个即可).14. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件:________,使△AEH≌△CEB.15. 如图,已知AC=EC,∠ACB=∠ECD,要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC,应添加的条件是__________.16. 如图,AC与BD相交于点O,且AB=CD,请添加一个条件:________,使得△ABO≌△CDO.17. △ABC的周长为8,面积为10,若其内部一点O到三边的距离相等,则点O 到AB的距离为________.18. 如图,P A⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且P A=PB.若∠MON=50°,∠OPC =30°,则∠PCA的大小为________.19. 如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点,且AB=PQ,当AP=________时,△ABC与△APQ全等.20. 如图,P是△ABC外的一点,PD⊥AB交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC交BC的延长线于点F,连接PB,PC.若PD=PE=PF,∠BAC=64°,则∠BPC的度数为________.三、解答题(本大题共6道小题)21. 如图,∠A=∠D=90°,AB=DE,BF=EC.求证:Rt△ABC≌Rt△DEF.22. 如图,已知△ACF≌△DBE,且点A,B,C,D在同一条直线上.若AD=16,BC=10,求AB的长.23. 观察与类比(1)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°.点D在△ABC外,连接AD,作DE⊥AB于点E,交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF.求证:DF=BC +CF;(2)如图②,AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°,延长BC交DE于点F,写出DF,BC,CF之间的数量关系,并证明你的结论.24. 如图所示,已知在△ABC中,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点,点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA 上由点C向点A以a cm/s的速度运动,设运动的时间为t s(t>0).(1)求CP的长(用含t的式子表示);(2)若以C,P,Q为顶点的三角形和以B,D,P为顶点的三角形全等,且∠B和∠C是对应角,求a的值.25. △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,①求证:△BPE∽△CEQ;②当BP=2,CQ=9时,求BC的长.26. 已知:在等边△ABC中,D、E分别是AC、BC上的点,且∠BAE=∠CBD<60°,DH⊥AB,垂足为点H.(1)如图①,当点D、E分别在边AC、BC上时,求证:△ABE≌△BCD;(2)如图②,当点D、E分别在AC、CB延长线上时,探究线段AC、AH、BE的数量关系;(3)在(2)的条件下,如图③,作EK∥BD交射线AC于点K,连接HK,交BC于点G,交BD于点P,当AC=6,BE=2时,求线段BP的长.2021中考数学一轮专题训练:全等三角形-答案一、选择题(本大题共10道小题)1. 【答案】B[解析] 在△ADF和△CBE中,由AD=BC,∠D=∠B,DF=BE,根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,可以得到△ADF≌△CBE.故选B.2. 【答案】D[解析] 由条件可知∠ADB=∠EDB=∠EDC=60°,且∠DEB=∠DEC=90°,∴∠C=30°.3. 【答案】C4. 【答案】C【解析】由题意可知,△ABD≌△CBD,△MON≌△M′ON′,△DON ≌△BON′,△DOM≌△BOM′共4对.5. 【答案】B[解析] ∵△ABE≌△ACF,AB=5,∴AC=AB=5.∵AE=2,∴EC=AC-AE=5-2=3.6. 【答案】C[解析] A.∵△ABD≌△CDB,∴△ABD和△CDB的面积相等,故本选项不符合题意;B.∵△ABD≌△CDB,∴△ABD和△CDB的周长相等,故本选项不符合题意;C.∵△ABD≌△CDB,∴∠A=∠C,∠ABD=∠CDB.∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD,故本选项符合题意;D.∵△ABD≌△CDB,∴AD=BC,∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC,故本选项不符合题意.故选C.7. 【答案】D[解析] ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠CED=∠AFB=90°,∠A=∠C.又∵AB=CD,∴△CED≌△AFB.∴AF=CE=a,DE=BF=b,DF =DE-EF=b-c.∴AD=AF+DF=a+b-c.故选D.8. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项C中,如图①,∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF,而已知条件给的是BD=CF=3,故不能判定两个小三角形全等.选项D中,如图②,∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2,∠B=∠C,∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.9. 【答案】C[解析] 在图中容易发现全等三角形,将∠3转化为与其相等的对应角后可以看出∠3与∠1互余.故∠1+∠3=90°.易得∠2=45°,故∠1+∠2+∠3=135°.10. 【答案】D【解析】如解图,①当OM1=2时,点N1与点O重合,△PMN 是等边三角形;②当ON2=2时,点M2与点O重合,△PMN是等边三角形;③当点M3,N3分别是OM1,ON2的中点时,△PMN是等边三角形;④当取∠M1PM4=∠OPN4时,易证△M1PM4≌△OPN4(SAS),∴PM4=PN4,又∵∠M4PN4=60°,∴△PMN是等边三角形,此时点M,N有无数个,综上所述,故选D.二、填空题(本大题共10道小题)11. 【答案】120°【解析】由于△ABC≌△A′B′C′,∴∠C=∠C′=24°,在△ABC 中,∠B=180°-24°-36°=120°.12. 【答案】答案不唯一,如AB=CD[解析] 由已知AB∥CD可以得到一对角相等,还有BD=DB,根据全等三角形的判定,可添加夹这个角的另一边相等,或添加另一个角相等均可.13. 【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF[解析]已知条件已经具有一边一角对应相等,需要添加的条件要么是夹已知角的边,构造SAS全等,要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS,或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.14. 【答案】AH=CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D、E,∴∠BEC=∠AEC=90°,在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,在Rt△HDC中,∠ECB=90°-∠DHC,∵∠AHE=∠DHC,∴∠EAH=∠ECB,∴根据AAS添加AH=CB或EH=EB;根据ASA添加AE=CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为:AH=CB或EH=EB或AE=CE均可.15. 【答案】∠B=∠D16. 【答案】∠A =∠C 或∠B =∠D 或AB ∥CD(答案不唯一)[解析] 由题意可知∠AOB =∠COD ,AB =CD.∵AB 是∠AOB 的对边,CD 是∠COD 的对边,∴只能添加角相等,故可添加∠A =∠C 或∠B =∠D 或AB ∥CD.17. 【答案】2.5 [解析] 设点O 到AB ,BC ,AC 的距离均为h ,∴S △ABC =12×8·h =10,解得h =2.5,即点O 到AB 的距离为2.5.18. 【答案】55° [解析] ∵PA ⊥ON ,PB ⊥OM ,∴∠PAO =∠PBO =90°.在Rt △AOP 和Rt △BOP 中,⎩⎪⎨⎪⎧PA =PB ,OP =OP ,∴Rt △AOP ≌Rt △BOP(HL).∴∠AOP =∠BOP =12∠MON =25°.∴∠PCA =∠AOP +∠OPC =25°+30°=55°.19. 【答案】5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ,∴∠PAQ =90°.∴∠C =∠PAQ =90°. 分两种情况:①当AP =BC =5时,在Rt △ABC 和Rt △QPA 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =QP ,BC =PA ,∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL);②当AP =CA =10时,在Rt △ABC 和Rt △PQA 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =PQ ,AC =PA ,∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL).综上所述,当AP =5或10时,△ABC 与△APQ 全等.20. 【答案】32° [解析] ∵PD =PE =PF ,PD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ,PE ⊥AC 于点E ,PF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ,∴CP 平分∠ACF ,BP 平分∠ABC.∴∠PCF =12∠ACF ,∠PBF =12∠ABC.∴∠BPC =∠PCF -∠PBF =12(∠ACF -∠ABC)=12∠BAC =32°.三、解答题(本大题共6道小题)21. 【答案】证明:∵BF =EC ,∴BF +FC =FC +EC ,即BC =EF.∵∠A =∠D =90°,∴△ABC 和△DEF 都是直角三角形.在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =DE ,BC =EF , ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(HL).22. 【答案】解:∵△ACF ≌△DBE ,∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC ,即AB=CD.∵AD=16,BC=10,∴AB=CD=(AD-BC )=3.23. 【答案】解:(1)证明:∵DE ⊥AB ,∠ACB =90°,∴∠AED =∠AEF =∠ACB =90°.在Rt △ACF 和Rt △AEF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AC =AE ,AF =AF , ∴Rt △ACF ≌Rt △AEF(HL).∴CF =EF.在Rt △ADE 和Rt △ABC 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =AB ,AE =AC ,∴Rt △ADE ≌Rt △ABC(HL). ∴DE =BC.∵DF =DE +EF ,∴DF =BC +CF.(2)BC =CF +DF.证明:如图,连接AF.在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ,AC =AE , ∴Rt △ABC ≌Rt △ADE(HL).∴BC =DE.∵∠ACB =90°,∴∠ACF =90°=∠AED.在Rt △ACF 和 Rt △AEF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AC =AE ,AF =AF ,∴Rt △ACF ≌△AEF(HL).∴CF=EF.∵DE=EF+DF,∴BC=CF+DF.24. 【答案】解:(1)依题意得BP=3t cm,BC=8 cm,∴CP=(8-3t)cm.(2)∵∠B和∠C是对应角,∴分两种情况讨论:①若△BDP≌△CPQ,则BD=CP,BP=CQ.∵AB=10 cm,D为AB的中点,∴BD=5 cm.∴5=8-3t,解得t=1.∴CQ=BP=3 cm.∴a==3.②若△BDP≌△CQP,则BD=CQ,BP=CP.∵BP=3t cm,CP=(8-3t)cm,∴3t=8-3t,解得t=.∵BD=CQ,∴5=a,解得a=.综上所述,a的值为3或.25. 【答案】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∠B=∠C=45°,又∵AP=AQ,∴BP=CQ,∵E是BC的中点,∴BE=EC.∴在△BPE与△CQE中,∠∠BP CQ B C BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△BPE ≌△CQE (SAS);(2)①证明:∵∠BEF =∠C +∠CQE ,∠BEF =∠BEP +∠DEF , ∠C =∠DEF =45°,∴∠CQE =∠BEP ,∵∠B =∠C ,∴△BPE ∽△CEQ ;②解:由①知△BPE ∽△CEQ , ∴BE BP CQ CE=, ∴BE ·CE =BP ·CQ ,又∵BE =EC ,∴BE 2=BP ·CQ ,∵BP =2,CQ =9,∴BE 2=2×9=18,∴BE =32,∴BC =2BE =6 2.26. 【答案】(1)证明:∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABC =∠C =∠CAB =60°,AB =BC ,在△ABE 和△BCD 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE =∠CBD AB =BC∠ABE =∠BCD, ∴△ABE ≌△BCD (ASA);(2)解:∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABC =∠CAB =60°,AB =BC ,∴∠ABE =∠BCD =180°-60°=120°.∴在△ABE 和△BCD 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE =∠CBD AB =BC∠ABE =∠BCD, ∴△ABE ≌△BCD (ASA),∴BE =CD .∵DH ⊥AB ,∴∠DHA =90°,∵∠CAB =60°,∴∠ADH =30°,∴AD =2AH ,∴AC =AD -CD =2AH -BE ;(3)解:如解图,作DS ⊥BC 延长线于点S ,作HM ∥AC 交BC 于点M ,解图∵AC =6,BE =2,∴由(2)得AH =4,BH =2,与(1)同理可得BE =CD =2,CE =8,∵∠SCD =∠ACB =60°,∴∠CDS =30°,∴CS =1,SD =3,BS =7,∵BD 2=BS 2+SD 2=72+(3)2,∴BD =213,∵EK ∥BD ,∴△CBD ∽△CEK ,∴CB CE =CD CK =BD EK ,∴CK =CD ·CE CB =2×86=83,EK =CE ·BD CB =8×2136=8133. ∵HM ∥AC ,∴∠HMB =∠ACB =60°,∴△HMB 为等边三角形,BM =BH =HM =2, CM =CB -BM =4,又∵HM ∥AC ,∴△HMG ∽△KCG , ∴HM KC =MG CG ,即382=MG 4-MG,∴MG =127,BG =267,EG =407, ∵EK ∥BD ,∴△GBP ∽△GEK , ∴BP EK =GB GE ,∴BP =261315.。
30°ABOCl D 第1题图C A P B D三角形全等一、选择题1、(2022年安徽省模拟六)在△ABC 与△A ′B ′C ′中,已知AB = A ′B ′,∠A =∠A ′,要使△ABC ≌△A ′B ′C ′,还需要增加一个条件,这个条件不正确的是…………【 】 A .AC = A ′C ′ B.BC = B ′C ′ C.∠B =∠B ′ D.∠C =∠C ′.答案:B2、(2022年江苏南京一模)如图,直线上有三个正方形a b c ,,,若a c ,的面积分别为3和4,则b 的面积为( ) A .3 B .4 C .5 D .7 答案:D3.(2022郑州外国语预测卷)如图,两个等圆⊙A 、⊙B 分别与直线l 相切于点C 、D ,连接AB 与直线l 相交于点O ,∠AOB =30°,连接AC 、BD ,若AB =4,则这两个等圆的半径为( ) A .21B .1C .3D .2 答案:B4、(2022河南沁阳市九年级第一次质量检测) 如图,把△ABC 绕着点C 顺时针旋转30°,得到△A ′B ′C ,A ′B ′交AC 于点D ,若∠A ′DC =90°,则∠A 的度数是【 】A.30°B.50°C.60°D.80°C5、(2022年湖北省武汉市中考全真模拟)如图,等腰△ABC 中,AB=AC ,P 为其底角平分线的交点,将△BCP 沿CP 折叠,使B 点恰好落在AC 边上的点D 处,若DA=DP ,则∠A 的度数为( ).A.20°B.30°C.32°D.36°D6、 (2022年湖北宜昌调研)如图,AC ,BD 交于点E ,AE=CE ,添加以下四个条件中的一个,其中不能使△ABE ≌△CDE 的条件是( ) (A )BE=DE (B )AB ∥CD (C )∠A=∠C (D )AB=CDabclEABCD答案:D7、(2022年唐山市二模)在锐角△ABC 中,∠BAC =60°,BN 、CM 为高,P 为BC 的中点,连接MN 、MP 、NP ,则结论:①NP =MP ②当∠ABC =60°时,MN ∥BC ③ BN =2AN ④AN︰AB =AM ︰AC ,一定正确的有 ( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个答案:C8.(2022年上海闵行区二摸)在△ABC 与△A ′B ′C ′中,已知AB = A ′B ′,∠A =∠A ′,要使△ABC ≌△A ′B ′C ′,还需要增加一个条件,这个条件不正确的是 (A )AC = A ′C ′; (B )BC = B ′C ′; (C )∠B =∠B ′; (D )∠C =∠C ′.答案:B二、填空题1、(2022云南勐捧中学二模)如图,AB CD ,相交于点O ,AO=CO ,试添加一个条件使得AOD COB △≌△,你添加的条件是 (只需写一个). 【答案】∠A= ∠C 、∠D= ∠B 、OD=OB (答案不唯一)2.(2022年安徽初中毕业考试模拟卷一)如图,ABC ∆为等边三角形,AQ =PQ ,PR =PS ,PR ⊥AB 于R ,PS ⊥AC 于S ,则四个结论正确的是 .(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①AP 平分∠BAC ;②AS =AR ;③QP ∥AR ;④BRP ∆≌△QSP . 答案:①②③④三、解答题1、(2022年湖北荆州模拟5)(本题满分8分)将两块斜边长度相等的等腰直角三角纸板如图(1)摆放,若把图(1)中的△BCN 逆时针旋转90°,得到图(2),图(2)中除△ABC ≌△CED 、△BCN ≌△ACF 外,你还能找到一对全等的三角形吗?写出你的结论并说明理由.AC BDO第1题答案:解:△FCM ≌△NCM ,理由如下: ∵把图中的△BCN 逆时针旋转90°, ∴∠FCN=90°,CN=CF , ∵∠MCN=45°, ∴∠FCM=90°-45°=45°, 在△FCM 和△NCM 中∵CM=CM ,∠FCM=∠NCM , FC=CN∴△FCM ≌△NCM (SAS ).2、(2022年湖北荆州模拟6)(本题满分8分)如图,正方形ABCD 和BEFG 在直线AB 的同侧,连接AG 、EC ,易证AG=EC ,现在将正方形BEFG 顺时针旋转30°,那么AG=EC 还成立吗?请作出旋转后的图形,并证明你的结论. 答案:解:成立. 理由如下:在ΔABG 与ΔCBE 中,0120AB CB ABG CBE BG BE =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴ ΔABG ≌ΔCBE ∴ AG=CE3、(2022年江苏南京一模)(7分)如图, AB =AC ,CD ⊥AB 于D ,BE ⊥AC 于E ,BE 与CD 相交于点O . (1) 求证:AD =AE ;(2) 连接BC ,DE ,试判断BC 与DE 的位置关系并说明理由. 答案:(1)证明:在△ACD 与△ABE 中, ∵∠A =∠A ,∠ADC =∠AEB =90°,AB =AC , ∴ △ACD ≌△ABE .…………………… 2分 ∴ AD=AE . ……………………3分 (2) 互相平行 ……………………4分 在△ADE 与△ABC 中, ∵AD=AE ,AB=AC ,∴ ∠ADE=∠AED ,∠ABC=∠ACB ……………6分 且 ∠ADE =180-∠A =∠ABC.∴ DE ∥BC . ……………7分第1题图第2题图第2题解答CACBB第2题图14.(2022年北京房山区一模)如图,点C、B、E在同一条直线上,AB∥DE,∠ACB=∠CDE,AC=CD.求证:AB=CD .答案:证明:∵AB∥DE∴∠ABC=∠E ------------------------------1分∵∠ACB=∠CDE,AC=CD --------------------- --------3分∴△ABC≌△CED -------------------------4分∴AB=CD--------------------------5分5.(2022年北京房山区一模)(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE相交于点P,求证:BE = AD.(2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是(只填序号即可)①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°;(3)如图2,在(2)的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.答案:(1)证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD(SAS)∴BE=AD--------------1分(2)①②③都正确--------------4分(3)证明:在PE上截取PM=PC,联结CM由(1)可知,△BCE≌△ACD(SAS)EDC BA第1题图ADAB∴∠1=∠2设CD 与BE 交于点G ,,在△CGE 和△PGD 中 ∵∠1=∠2,∠CGE =∠PGD∴∠DPG =∠ECG =60°同理∠CPE =60° ∴△CPM 是等边三角形--------------5分 ∴CP =CM ,∠PMC =60° ∴∠CPD =∠CME =120°∵∠1=∠2,∴△CPD ≌△CME (AAS )---6分 ∴PD =ME∴BE =PB +PM +ME =PB +PC +PD . -------7分即PB+PC+PD=BE .6.(2022年北京龙文教育一模)已知:如图,AB ∥CD ,AB =CD ,点E 、F 在线段AD 上,且AF=DE .求证:BE =CF . 答案:证明: AF=DE , ∴ AF-EF=DE –EF . 即 AE=DF .………………1分AB ∥CD ,∴∠A =∠D .……2分在△ABE 和△DCF 中 , AB =CD , ∠A =∠D , AE=DF .∴△ABE ≌△DCF .……….4分 ∴ BE =CF .…………….5分7. (2022年北京龙文教育一模)阅读下面材料:问题:如图①,在△ABC 中, D 是BC 边上的一点,若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°,DC =2.求BD 的长.小明同学的解题思路是:利用轴对称,把△ADC 进行翻折,再经过推理、计算使问题得到解决.(1)请你回答:图中BD 的长为 ;(2)参考小明的思路,探究并解答问题:如图②,在△ABC 中,D 是BC 边上的一点,若∠BAD =∠C =2∠DAC =30°,DC =2,求BD 和AB 的长.FE ACDB第3题图答案:解:(1)22=BD . ……………………………… ………………………1分(2)把△ADC 沿AC 翻折,得△AEC ,连接DE , ∴△ADC ≌△AEC .∴∠DAC =∠EAC ,∠DCA =∠ECA , DC =EC . ∵∠BAD =∠BCA =2∠DAC =30°, ∴∠BAD =∠DAE =30°,∠DCE =60°.∴△CDE 为等边三角形. ……………………2分 ∴DC =DE .在AE 上截取AF =AB ,连接DF , ∴△ABD ≌△AFD . ∴BD =DF .在△ABD 中,∠ADB =∠DAC +∠DCA =45°, ∴∠ADE =∠AED =75°,∠ABD =105°. ∴∠AFD =105°. ∴∠DFE =75°. ∴∠DFE =∠DEF . ∴DF =DE .∴BD =DC =2. …………………………………………………………………3分 作BG ⊥AD 于点G , ∴在Rt △BDG 中, 2=BG . ……………………………………………4分∴在Rt △ABG 中,22=AB . ……………………………………………5分 8.(2022年北京平谷区一模)已知:如图,AB ∥CD ,AB =EC ,BC =CD . 求证:AC =ED .答案:证明:∵ AB //CD ,∴B DCE ∠=∠.………………… ………………………1分在△ABC 和△ECD 中,= =B DCE AB EC BC CD ∠∠⎧⎪=⎨⎪⎩,,, ∴ △ABC ≌△ECD . …………………… ………………4分∴ AC =ED .………………………… ……………………5分9.(2022年北京顺义区一模)已知:如图,CA 平分BCD ∠, 点E 在AC 上,BC EC =,AC DC =.求证:A D ∠=∠.答案:证明:∵CA 平分BCD∠∴ ACB DCE ∠=∠ ……………1分在ABC ∆和DEC ∆中∵BC EC ACB DCE AC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………3分 ∴ABC ∆≌DEC ∆ …………………………………………… 4分 ∴A D ∠=∠ ……………………………………………5分10.(2022年北京平谷区一模)(1)如图(1),△ABC 是等边三角形,D 、E 分别是 AB 、BC 上的点,且BD CE =,连接AE 、CD 相交于点P . 请你补全图形,并直接写出∠APD 的度数;= (2)如图(2),Rt △ABC 中,∠B =90°,M 、N 分别是 AB 、BC 上的点,且,AM BC =BM CN =,连接AN 、CM 相交于点P . 请你猜想∠APM = °,并写出你的推理过程.答案:解:(1)60° (2)45° ………………………………..2分 证明:作AE ⊥AB 且AE CN BM ==. 可证EAM MBC ∆≅∆. ……………………………..3分 ∴ ,.ME MC AME BCM =∠=∠∵ 90,CMB MCB ∠+∠=︒∴ 90.CMB AME ∠+∠=︒∴ 90.EMC ∠=︒∴ EMC ∆是等腰直角三角形,45.MCE ∠=︒ ……………….5分又△AEC ≌△CAN (s , a , s )∴ .ECA NAC ∠=∠ ∴ EC ∥AN.∴ 45.APM ECM ∠=∠=︒…………………………………………………………………..7分EDCBA第6题图第7题图11.(2022浙江东阳吴宇模拟题)(本题12分) 如图,平面直角坐标系中,点A (0,4),B (3,0),D 、E 在x 轴上,F 为平面上一点,且EF ⊥x 轴,直线DF 与直线AB 互相垂直,垂足为H ,△AOB ≌△DEF ,设BD =h 。
2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)知识回顾1.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定,这三角形就固定了,这是三角形具有稳定性。
2.三角形的内角和定理:三角形的三个内角之和等于180°。
3.三角形的外角定理:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。
大于它不相邻的任意一个内角。
4.全等三角形的性质:若两个三角形全等,则他们的对应边相等;对应角相等;对应边上的中线相等,高线相等,角平分线也相等;且这两个三角形的周长和面积均相等。
5.全等三角形的判定:①边边边(SSS):三条边分别对应性相等的两个三角形全等。
②边角边(SAS):两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。
③角边角(ASA):两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。
④角角边(AAS):两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
⑤直角三角形判定(HL):直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件。
在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形。
专项练习题(含答案解析)1.已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB=AD.【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB=∠ACD,利用ASA证明△ACB≌△ACD,根据全等三角形的性质即可得解.【解答】证明:∵∠3=∠4,∴∠ACB=∠ACD,在△ACB和△ACD中,,∴△ACB≌△ACD(ASA),∴AB=AD.2.如图,△ABC是等腰三角形,点D,E分别在腰AC,AB上,且BE=CD,连接BD,CE.求证:BD=CE.【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC=∠DCB,进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等,再利用全等三角形的性质解答即可.【解答】证明:∵△ABC∴∠EBC=∠DCB,在△EBC与△DCB中,,∴△EBC≌△DCB(SAS),∴BD=CE.3.如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小.【分析】由∠BAD=∠EAC可得∠BAC=∠EAD,根据SAS可证△BAC≌△EAD,再根据全等三角形的性质即可求解.【解答】解:∵∠BAD=∠EAC,∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,即∠BAC=∠EAD,在△BAC与△EAD中,,∴△BAC≌△EAD(SAS),∴∠D=∠C=50°.4.如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若AB=4,CD=3,求四边形的面积.【分析】(1)由AC平分∠BAD,得∠BAC=∠DAC,根据CB⊥AB,CD⊥AD,得∠B=90°=∠D,用AAS 可得△ABC≌△ADC;(2)由(1)△ABC≌△ADC,得BC=CD=3,S△ABC=S△ADC,求出S△ABC=AB•BC=6,即可得四边形ABCD的面积是12.【解答】(1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∵CB⊥AB,CD⊥AD,∴∠B=90°=∠D,在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(AAS);(2)解:由(1)知:△ABC≌△ADC,∴BC=CD=3,S△ABC=S△ADC,∴S△ABC=AB•BC=×4×3=6,∴S△ADC=6,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12,答:四边形ABCD的面积是12.5.如图,在△ABC中,点D在边BC上,CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证:DE=BC.【分析】利用平行线的性质得∠EDC=∠B,再利用ASA证明△CDE≌△ABC,可得结论.【解答】证明:∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B,在△CDE和△ABC中,,∴△CDE≌△ABC(ASA),∴DE=BC.6.如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.(1)求证:MP=NP;(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).【分析】(1)过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ=∠AQM=∠A=60°,可得△AMQ是等边三角形,易证△QMP≌△CNP(AAS),即可得证;(2)根据等边三角形的性质可知AH=HQ,根据全等三角形的性质可知QP=PC,即可表示出HP的长.【解答】(1)证明:过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,如图所示:在等边△ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°,∵MQ∥BC,∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,∴△AMQ是等边三角形,∴AM=QM,∵AM=CN,∴QM=CN,在△QMP和△CNP中,,∴△QMP≌△CNP(AAS),∴MP=NP;(2)解:∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,∴AH=HQ,∵△QMP≌△CNP,∴QP=CP,∴PH=HQ+QP=AC,∵AB=a,AB=AC,∴PH=a.7.如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF.有下列三个条件:①AC=DF,②∠ABC =∠DEF,③∠ACB=∠DFE.(1)请在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF.你选取的条件为(填写序号)(只需选一个条件,多选不得分),你判定△ABC≌△DEF的依据是(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”);(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证:AB∥DE.【分析】(1)根据SSS ABC≌△DEF,即可解决问题;(2)根据全等三角形的性质可得∠A=∠EDF,再根据平行线的判定即可解决问题.【解答】(1)解:在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SSS),∴在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF,选取的条件为①,判定△ABC≌△DEF的依据是SSS.故答案为:①,SSS;(答案不唯一).(2)证明:∵△ABC≌△DEF.∴∠A=∠EDF,∴AB∥DE.8.在△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF.若AF⊥EF,求证:BD⊥AF;(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明.【分析】(1)证明△BCD≌△FCE(SAS),由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC,证出BD∥EF,则可得出结论;(2)由题意画出图形,延长BC到F,使CF=BC,连接AF,EF,由(1)可知BD∥EF,BD=EF,证出∠AEF=90°,得出∠DHE=90°,由直角三角形的性质可得出结论.【解答】(1)证明:在△BCD和△FCE中,,∴△BCD≌△FCE(SAS),∴∠DBC=∠EFC,∴BD∥EF,∵AF⊥EF,∴BD⊥AF;(2)解:由题意补全图形如下:CD=CH.证明:延长BC到F,使CF=BC,连接AF,EF,∵AC⊥BF,BC=CF,∴AB=AF,由(1)可知BD∥EF,BD=EF,∵AB2=AE2+BD2,∴AF2=AE2+EF2,∴∠AEF=90°,∴AE⊥EF,∴BD⊥AE,∴∠DHE=90°,又∵CD=CE,∴CH=CD=CE.9.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且点D在线段BC上,连CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度数.【分析】(1)可利用SAS证明结论;(2)由全等三角形的性质可得∠ACE=∠ABD,利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE=∠ABD=∠AED =45°,再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数,进而可求可求解【解答】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)解:∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴∠ACE=∠ABD=∠AED=45°,∵∠EAC=60°,∴∠AEC=180°﹣∠ACE﹣∠EAC=180°﹣45°﹣60°=75°,∴∠CED=∠AEC﹣∠AED=75°﹣45°=30°.10.如图,在△ABC中(AB<BC),过点C作CD∥AB,在CD上截取CD=CB,CB上截取CE=AB,连接DE、DB.(1)求证:△ABC≌△ECD;(2)若∠A=90°,AB=3,BD=2,求△BCD的面积.【分析】(1)由CD∥AB得∠ABC=∠ECD,而CD=CB,CE=AB,即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD;(2))由∠A=90°,根据全等三角形的对应角相等证明∠BED=∠CED=∠A=90°,设BE=x,由BD2﹣BE2=CD2﹣EC2=DE2,列方程(2)2﹣x2=(3+x)2﹣32,解方程求得符合题意的x的值为2,则BC =5,再根据勾股定理求出DE的长,即可求出△BCD的面积.【解答】(1)证明:∵CD∥AB,CD=CB,CE=AB,∴∠ABC=∠ECD,在△ABC和△ECD中,,∴△ABC≌△ECD(SAS).(2)解:∵∠A=90°,∴∠CED=∠A=90°,∴∠BED=180°﹣∠CED=90°,设BE=x,∵EC=AB=3,BD=2,∴CD=BC=3+x,∵BD2﹣BE2=CD2﹣EC2=DE2,∴(2)2﹣x2=(3+x)2﹣32,整理得x2+3x﹣10=0,解得x1=2,x2=﹣5(不符合题意,舍去),∴BE=2,BC=3+2=5,∴DE===4,∴S△BCD=BC•DE=×5×4=10,∴△BCD的面积为10.11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt △ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)若∠BAD=22.5°时,求BD的长.【分析】(1)由“SAS”可证△ACE;(2)由等腰三角形三角形的性质可得BC的长,由角度关系可求∠ADC=67.5°=∠CAD,可得AC=CD =1,即可求解.【解答】(1)证明:∵∠BAC=90°=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)解:∵∠BAC=90°,AB=AC=1,∴BC=,∠B=∠ACB=45°,∵∠BAD=22.5°,∴∠ADC=67.5°=∠CAD,∴AC=CD=1,∴BD=﹣1.12.如图,已知矩形ABCD中,AB=8,BC=x(0<x<8),将△ACB沿AC对折到△ACE的位置,AE和CD交于点F.(1)求证:△CEF≌△ADF;(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示).【分析】(1)根据矩形的性质得到∠B=∠D=90°,BC=AD,根据折叠的性质得到BC=CE,∠E=∠B =90°,等量代换得到∠E=∠D=90°,AD=CE,根据AAS证明三角形全等即可;(2)设DF=a,则CF=8﹣a,根据矩形的性质和折叠的性质证明AF=CF=8﹣a,在Rt△ADF中,根据勾股定理表示出DF的长,根据正切的定义即可得出答案.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°,BC=AD,根据折叠的性质得:BC=CE,∠E=∠B=90°,∴∠E=∠D=90°,AD=CE,在△CEF与△ADF中,,∴△CEF≌△ADF(AAS);(2)解:设DF=a,则CF=8﹣a,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AD=BC=x,∴∠DCA=∠BAC,根据折叠的性质得:∠EAC=∠BAC,∴∠DCA=∠EAC,∴AF=CF=8﹣a,在Rt△ADF中,∵AD2+DF2=AF2,∴x2+a2=(8﹣a)2,∴a=,∴tan∠DAF==.13.如图,△ABC和△DEF,点E,F在直线BC上,AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F.如图①,易证:BC+BE =BF.请解答下列问题:(1)如图②,如图③,请猜想BC,BE,BF之间的数量关系,并直接写出猜想结论;(2)请选择(1)中任意一种结论进行证明;(3)若AB=6,CE=2,∠F=60°,S△ABC=123,则BC=,BF=.【分析】(1)根据图形分别得出答案;(2)利用AAS证明△ABC≌△DFE,得BC=EF,再根据图形可得结论;(3)首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长,从而得出BC,再对点E的位置进行分类即可.【解答】解:(1)图②:BC+BE=BF,图③:BE﹣BC=BF;(2)图②:∵AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F,∴△ABC≌△DFE(ASA),∴BC=EF,∵BE=BC+CE,∴BC+BE=EF+BC+CE=BF;图③:∵AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F,∴△ABC≌△DFE(ASA),∴BC=EF,∵BE=BF+EF,∴BE﹣BC=BF+EF﹣BC=BF+BC﹣BC=BF;(3)当点E在BC上时,如图,作AH⊥BC于H,∵∠B=∠F=60°,∴∠BAH=30°,∴BH=3,∴AH=3,∵S△ABC=12,∴=12,∴BC=8,∵CE=2,∴BF=BE+EF=8﹣2+8=14;同理,当点E在BC延长线上时,如图②,BF=BC+BE=8+10=18,故答案为:8,14或18.14.△ABC和△ADE都是等边三角形.(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有P A+PB =PC(或P A+PC=PB)成立(不需证明);(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接P A,猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系?并加以证明;(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接P A,猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.【分析】(2)证明△ABD≌△ACE(SAS)和△BAF≌△CAP(SAS),得AF=AP,∠BAF=∠CAP,再证明△AFP是等边三角形,最后由线段的和可得结论;(3)如图③,在PC上截取CM=PB,连接AM,同理可得结论.【解答】解:(2)PB=P A+PC,理由如下:如图②,在BP上截取BF=PC,连接AF,∵△ABC、△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠P AF=60°,∴△AFP是等边三角形,∴PF=P A,∴PB=BF+PF=PC+P A;(3)PC=P A+PB,理由如下:如图③,在PC上截取CM=PB,连接AM,同理得:△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,PB=CM,∴△AMC≌△APB(SAS),∴AM=AP,∠BAP=∠CAM,∴∠BAC=∠P AM=60°,∴△AMP是等边三角形,∴PM=P A,∴PC=PM+CM=P A+PB.15.【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处.将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置.按图②作出示意图,并连接AG,BH,如图③所示,AB交HO于E,AC 交OG于F,通过证明△OBE≌△OAF,可得OE=OF.请你证明:AG=BH.【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P,D,如图④,猜想并证明DG与BH的位置关系.【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤,按图⑤作出示意图,并连接HB,AG,如图⑥所示,其他条件不变,请你猜想并证明AG与BH的数量关系.【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF,得BE=AF,OE=OF,∠BEO=∠AFO,可证明△BHE≌△AGF (SAS),得BH=AG;【迁移应用】由△BHE≌△AGF,得∠BHE=∠AGF,可得∠AGF+∠GPO=90°,从而∠BHE+∠HPD=90°,∠HDP=90°,故DG⊥BH;【拓展延伸】设AB交OH于T,OG交AC于K,根据△ABC,△HOG是含30°角的直角三角形,AO⊥BC,可得OB=AO,∠OBA=∠OAC=30°,∠BOT=90°﹣∠AOT=∠AOK,即得△BOT∽△AOK,有===,∠BTO=∠AKO,又OH=GO,可得==,故△BTH∽△AKG,即得==,BH=AG.【解答】【情境再现】证明:由阅读材料知△OBE≌△OAF,∴BE=AF,OE=OF,∠BEO=∠AFO,∴∠BEH=∠AFG,∵OH=OG,∴OH﹣OE=OG﹣OF,即EH=GF,在△BHE和△AGF中,,∴△BHE≌△AGF(SAS),∴BH=AG;【迁移应用】解:猜想:DG⊥BH;证明如下:由【情境再现】知:△BHE≌△AGF,∴∠BHE=∠AGF,∵∠HOG=90°,∴∠AGF+∠GPO=90°,∴∠BHE+∠GPO=90°,∵∠GPO=∠HPD,∴∠BHE+∠HPD=90°,∴∠HDP=90°,∴DG⊥BH;【拓展延伸】解:猜想:BH=AG,证明如下:设AB交OH于T,OG交AC于K,如图:由已知得:△ABC,△HOG是含30°角的直角三角形,AO⊥BC,∴∠AOB=90°,∴OB=AO,∠OBA=∠OAC=30°,∠BOT=90°﹣∠AOT=∠AOK,∴△BOT∽△AOK,∴===,∠BTO=∠AKO,∴OT=OK,BT=AK,∠BTH=∠AKG,∵OH=GO,∴HT=OH﹣OT=GO﹣OK=(GO﹣OK)=KG,∴==,∴△BTH∽△AKG,∴==,∴BH=AG19。
中考数学专题练习:全等三角形(含答案)1.(·成都)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBCC.AC=DB D.AB=DC2.(·黔南州)下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是( )A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙3.(·南京)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF =c,则AD的长为( )A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c4.(·原创) 如图,△AOB≌△ADC,点B和点C是对应顶点,∠O=∠D=90°,当BC∥OA时,下列结论正确的是( )A.∠OAD=2∠ABOB.∠OAD=∠ABOC.∠OAD+2∠ABO=180°D.∠OAD+∠ABO=90°5.(·临沂)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1,则DE的长是( )A.32B.2 C.2 2 D.106.(·济宁)在△ABC中,点E、F分别是边AB、AC的中点,点D在BC边上,连接DE、DF、EF,请你添加一个条件____________________________,使△BED与△FED全等.7.(·原创)如图,已知△ABC≌△ADE,若AB=6,C为AD的中点,则AC的长为______.8.(·包河区二模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足分别为D,E,若BD=3,CE=2,则DE=______.9.(·宜宾)如图,已知∠1=∠2,∠B=∠D,求证:CB=CD.10.(·菏泽)如图,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的结论.11.(·泰州)如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC、DB相交于点O.求证:OB=OC.12.(·陕西)如图,AB∥CD,E、F分别为AB、CD上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H,若AB=CD,求证:AG=DH.13.(·镇江)如图,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC.(1)求证:△ABE≌△ACF;(2)若∠BAE=30°,则∠ADC=________°.14.(·温州) 如图,在四边形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,AD∥EC,∠AED=∠B.(1)求证:△AED≌△EBC;(2)当 AB=6 时,求 CD 的长.15.(·恩施)如图,点 B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交 BE于点O.求证:AD与BE互相平分.16.(·广东)如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E 处,AE交CD于点F,连接DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:△DEF是等腰三角形.1.(·阜阳模拟)如图,过等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上的一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC于点D,下列结论中不一定正确的是( )A.PD=DQB.DE=12 ACC.AE=12CQD.PQ⊥AB2.(·原创)如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则∠1的度数是( )A.76° B.62°C.42° D.76°、62°或42°都可以3.(·原创)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=50°,则∠DEF的度数是( )A.75° B.70° C.65° D.60°4.(·德阳)如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点,若AE=DC=2ED,且EF⊥EC.(1)求证:点F为AB的中点;(2)延长EF与CB的延长线相交于点H,连接AH,已知ED=2,求AH的值.5.(·合肥45中一模) 如图1,已知正方形ABCD,E是线段BC上一点,N是线段BC延长线上一点,以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG.(1)连接GD,求证:DG=BE;(2)连接FC,求∠FCN的度数;(3)如图2,将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=m,BC=n(m、n为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由点B向点C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变?若∠FCN的大小不变,请用含m、n的代数式表示tan∠FCN的值,若∠FCN的大小发生改变,请画图说明.参考答案【基础训练】1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.BD =EF(答案不唯一) 7.3 8.5 9.证明:∵∠1=∠2,∴180°-∠1=180°-∠2,即∠ACB=∠ACD.在△CDA 和△CBA 中,⎩⎨⎧∠B=∠D,∠ACB=∠ACD,AC =AC ,∴△CDA≌△CBA(AAS).∴CB=CD.10.解:DF =AE.证明:∵AB∥CD ,∴∠C=∠B. ∵CE=BF,∴CE-EF =BF -FE,∴CF=BE. 又∵CD=AB,∴△DCF≌△ABE(SAS), ∴DF=AE.11.证明:方法一:∵∠A=∠D=90°,AC =DB,BC =CB, ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), ∴∠OBC=∠OCB ,∴BO=CO.方法二:∵∠A=∠D=90°,AC =DB,BC =CB, ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), ∴AB=DC,又∵∠AOB=∠DOC , ∴△ABO≌△DCO(AAS ),∴BO =CO. 12.证明:∵AB∥CD ,∴∠A=∠D.又∵CE∥BF ,∴∠AHB=∠DGC.在△ABH 和△DCG 中,⎩⎨⎧∠A=∠D∠AHB=∠DGC AB =CD,∴△ABH≌△DCG(AAS), ∴AH=DG.又∵AH=AG +GH,DG =DH +GH,∴AG=DH. 13.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACF.在△ABE 和△ACF 中,⎩⎨⎧AB =AC ,∠B=∠ACF,BE =CF ,∴△ABE≌△ACF(SAS). (2)解:75.14.(1)证明:由AD∥EC 可知∠A =∠CEB, 又因为E 是 AB 的中点,所以AE =EB, 且∠AED=∠B ,所以△AED≌△EBC(ASA). (2)解:由(1)△AED≌△EBC 可知AD =EC, 又因为AD∥EC ,所以四边形AECD 为平行四边形, 又因为AB =6,则CD =AE =3. 15.证明:如解图,连接 BD ,AE . ∵AB∥ED ,∴∠ABC=∠DEF. ∵AC∥FD ,∴∠ACB=∠DFE. ∵ FB=CE, ∴BC=EF. 在△ACB 和 △DFE 中,⎩⎨⎧∠ABC=∠DEF,BC =EF ,∠ACB=∠DFE.∴△ACB ≌ △DFE(ASA). ∴ AB=DE.∵AB∥ED ,∴四边形ABDE 是平行四边形.∴AD 与BE 互相平分.16.证明:(1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴AD=BC, AB =DC.∵△AEC 是由△ABC 折叠而成的, ∴AD=BC =EC,AB =DC = AE.在△ADE 和△CED 中,⎩⎨⎧AD =CEDE =ED AE =CD,∴△ADE≌△CED(SSS);(2)由(1)△ADE≌△CED 可得∠AED=∠CDE , ∴FD=EF,∴△DEF 是等腰三角形. 【拔高训练】 1.D 2.B 3.C 4.(1)证明:∵EF⊥EC ,∴∠CEF=90°, ∴∠AEF+∠DEC=90°, ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠AEF+∠AFE=90°, ∠DEC+∠DCE=90°, ∴∠AEF=∠DCE ,∠AFE=∠DEC , ∵AE=DC,∴△AEF≌△DCE(AAS), ∴DE=AF,∵AE=DC =AB =2DE,∴AB=2AF, ∴F 为AB 的中点.(2)解:由(1)知AF =FB,且AE∥BH , ∴∠FBH=∠FAE=90°, ∠AEF=∠FHB , ∴△AEF≌△BHF(AAS),∴AE=HB, ∵DE=2, 且AE =2DE, ∴AE=4,∴HB=AB =AE =4,∴AH 2=AB 2+BH 2=16+16=32,∴AH=4 2.5.(1)证明:∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形,∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD,∴∠BAE=∠DAG,∴△BAE≌△DAG(SAS).∴DG=BE;(2)解:如解图1,过点F作FH⊥BN于点H.∵∠AEF=∠ABE=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°, ∴∠FEH=∠BAE,又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90°,∴△EFH≌△AEB(AA S),∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH,∴∠FCN=∠CFH=12(180°-∠FHC).∵∠FHC=90°, ∴∠FCN=45°.(3)解:当点E由点B向点C运动时,∠FCN的大小总保持不变,理由如下:如解图2,过点F 作FH⊥BN于点H,由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°, 结合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG,又∵G在射线CD上,∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°,∴△EFH≌△AGD(AAS),△EFH∽△AEB,∴EH=AD=BC=n, ∴CH=BE,∴EHAB=FHBE=FHCH;在Rt△FCH中,tan∠FCN=FHCH=EHAB=nm.∴当点E由点B向点C运动时,∠FCN的大小总保持不变,且tan∠FCN=n m .。
专题01 全等三角形一、单选题1.(2021·全国)在ABC V 中,B C ∠=∠,与ABC V 全等的三角形有一个角是100︒,那么在ABC V 中与这100︒角对应相等的角是( )A .A ∠B .BÐC .C ∠D .B Ð或C ∠2.(2021·山西襄汾县·七年级期末)如图,Rt △ABC 沿直角边BC 所在直线向右平移到Rt △DEF ,则下列结论中,错误的是( )A .BE EC =B .BC EF =C .AC DF =D .ABC DEF △≌△3.(2021·山西七年级期末)下列说法:①两个形状相同的图形称为全等图形;②边、角分别对应相等的两个多边形全等;③全等图形的形状、大小都相同;④面积相等的两个三角形全等.其中正确的是()A .①②③B .①②④C .①③D .②③4.(2021·哈尔滨市第四十七中学)如图,ABD BAC ∆∆≌,若AD BC =,则BAD ∠的对应角( )A .ADB ∠B .BCD ∠C .ABC ∠D .CDA ∠5.(2021·全国八年级课时练习)如图,,40,30ABD CDB ABD CBD ∠=︒∠=︒V V ≌,则C ∠等于( )A .20︒B .100︒C .110︒D .115︒6.(2021·重庆巴南区·)已知△ABC 的三边的长分别为3,5,7,△DEF 的三边的长分别为3,7,2x ﹣1,若这两个三角形全等,则x 的值是( )A .3B .5C .﹣3D .﹣57.(2021·大连市第三十四中学八年级月考)如图,ABC A B C '''≅V V ,其中36A ∠=︒,24C '∠=︒,则B ∠=( )A .150︒B .120︒C .90︒D .60︒8.(2021·全国七年级课时练习)如图,在ABC V 中,D ,E 分别是边AC ,BC 上的点,若ADB EDB EDC V V V ≌≌,则C ∠的度数为( )A .15︒B .20︒C .25︒D .30°9.(2021·甘肃榆中县·七年级期末)如图,90A B ∠=∠=︒,6AB =,E 、F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点,若点E 从点B 出发向点A 运动,同时点F 从点B 出发向点D 运动,二者速度之比为1:2,运动到某时刻同时停止,在射线AC 上取一点G ,使AEG △与BEF V 全等,则AG 的长为( )A .2B .3C .2或3D .2或610.(2021·全国)如图,锐角△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 边上的点,△ADC ≌△ADC ′,△AEB ≌△AEB ′,且C ′D //EB ′//BC ,BE 、CD 交于点F ,若∠BAC =α,∠BFC =β,则( )A .2α+β=180°B .2β﹣α=180°C .α+β=150°D .β﹣α=60°11.(2021·全国八年级课时练习)如图,AOB ADC △≌△,点B 和点C 是对应顶点,90O D ∠=∠=︒,记,,OAD ABO ABC ACB αβ∠=∠=∠=∠,当//BC OA 时,α与β之间的数量关系为( )A .αβ=B .2αβ=C .90αβ+=︒D .2180αβ+=︒12.(2021·河南川汇区·八年级期末)如图,点D ,E ,F 分别在ABC V 的边AB ,BC ,CA 上(不与顶点重合),设BAC α∠=,FED θ∠=.若BED CFE ≌△△,则α,θ满足的关系是( )A .90αθ+=︒B .2180αθ+=︒C .90αθ-=︒D .2180αθ+=︒第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13.(2021·吉林铁西区·八年级期中)如图所示,ABC ECD ≌△△,48A ∠=︒,62D ∠=︒,则图中B Ð的度数是______度.14.(2021·全国八年级课时练习)如图,ABE ACD △≌△,且D ∠与E ∠是对应角,顶点C 与顶点B 对应,若10cm BE =,则CD =__________.15.(2021·全国)如图,长方形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,AD =7cm ,DM =5cm ,∠DAM =39°,则△ANM ≌△ADM ,AN =_____cm ,NM =_____cm ,∠NAB =_______.17.(2021·浙江东阳市·七年级期末)如图,把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形,再把剩余部分(阴影部分)四周折起,恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒,纸盒底面长方形的长为3k cm,宽为2k cm,则(1)裁去的每个小长方形面积为___cm2;(用k的代数式表示)(2)若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍,则正整数k的值为___.18.(2021·山东莱州市·七年级期末)三个全等三角形按如图的形式摆放,则∠1+∠2+∠3的度数等于_______.19.(2021·辽宁本溪市·七年级期末)如图,∠A=∠B=90°,AB=80,点E和点F分别为线段AB和射线BD上的一点,若点E从点B出发向点A运动,同时点F从点B出发向点D运动,点E和点F运动速度之比为2:3,运动到某时刻点E和点F同时停止运动,在射线AC 上取一点G,使△AEG与△BEF全等,则AG的长为________.20.(2021·全国)如图,在△ABC中,AB=AC=24厘米,∠B=∠C,BC=16厘米,点D为AB的中点,点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.当点Q 的运动速度为________厘米/秒时,能够在某一时刻使△BPD 与△CQP 全等.三、解答题21.(2021·全国八年级课时练习)已知:如图,,8cm,5cm ABC DEF BC EC ==V V ≌,求线段CF 的长.22.(2020·铜陵市第二中学八年级月考)如图,ABF V ≌CDE △,已知30B ∠=︒,25DCF ∠=︒,求EFC ∠的度数.23.(2021·河南邓州市·七年级期末)我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转,这是图形的三种基本变换,图形经过这样的变换,虽然位置发生了改变,但图形的形状与大小都不发生变化,反映了图形之间的全等关系.这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法,是一种重要而且有效的方法.同学们学完了这些知识后,王老师在黑板上给大家出示了这样的一道题目:(1)如图,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A 、D 、E 在同一直线上,连接BE .试说明AD =BE ;聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法:请你帮小亮把说理过程补充完整.解:∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形,∴CA =CB ,CD =CE ,∠ACB =∠DCE =60°,(等边三角形的性质)∴∠ACD = (等式的性质)∴△ACD 绕点C 按逆时针方向旋转 度,能够与 重合∴△ACD ≌ (旋转变换的性质)∴AD =BE ( );(2)当同学们把这道题领会感悟后,王老师又在上题基础上追加了一问:试求∠AEB 的度数.聪明的同学们你会解决吗?请写出你的求解过程.(此题不用写推理依据即可). 24.(2021·全国八年级课时练习)如图,,ABF CDE B ∠V V ≌和D ∠是对应角,AF 和CE 是对应边.(1)写出ABF V 和CDE △的其他对应角和对应边;(2)若30,40B DCF ∠=︒∠=︒,求EFC ∠的度数;(3)若10,2BD EF ==,求BF 的长.25.(2021·河南伊川县·七年级期末)如图,点A、B、C、D在同一直线上,△ACE≌△DBF,AD =8,BC=2.(1)求AC的长;(2)求证:CE∥BF,AE∥DF.⊥于点B,26.(2021·辽宁铁西区·)如图,点B,C,E,F在同一直线上,AB BCCE=.BC=,3DEF ABCV V≌,且6(1)求CF的长;(2)判断DE与EF的位置关系,并说明理由.27.(2021·浙江浙江省·八年级期末)如图,已知正方形ABCD 边长为4cm ,动点M 从点C 出发,沿着射线CD 的方向运动,动点P 从点B 出发,沿着射线BC 的方向运动,连结,BM DP ,(1)若动点M 和P 都以每秒2cm 的速度运动,问t 为何值时DPC △和BCM V 全等?(2)若动点P 的速度是每秒3cm ,动点M 的速度是每秒1.5cm 问t 为何值时DPC △和BCM V 全等?28.(2020·浙江浙江省·)在56⨯的方格纸中,每格的边长为1,请按下列要求画图.(1)在图1中画一个格点ADE V ,使ADE V 与ABC V 全等,且所画格点三角形的顶点均不与点B ,C 重合.(2)在图2中画一个面积为7的格点四边形ABCD ,且BAD ∠为锐角.29.(2021·云南盘龙区·七年级期末)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,ABC V 的边BC 在x 轴上,A 、C 两点的坐标分别为()0,A m ,(),0C n ,()5,0B -,且()231230m n -+-=点P 从B 出发,以每秒1个单位的速度沿射线BO 匀速运动,设点P 运动时间为t .(1)点A 的坐标为 ;点C 的坐标为 ;(2)连接PA ,当POA V 的面积等于ABC V 的面积的一半时,求t 的值;(3)当P 在线段BO 上运动时,在y 轴上是否存在点Q ,使POQ △与AOC △全等?若存在,请直接写出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.30.(2021·江苏姑苏区·苏州草桥中学七年级期末)如图,将一副三角板按如图所示的方式放置,其中ABC V 中,90ACB ∠=︒,45BAC ∠=︒,ADE V 中,90ADE ∠=︒,30DAE ∠=︒,AB AD =,点C 在线段AE 上.射线AB '从AB 出发,绕点A 以5︒/秒的速度顺时针旋转;同时,射线DA '从DA 出发,绕点D 顺时针旋转.设射线AB '运动的时间为t 秒(09t <≤),AB '与BC 交于点M ,DA '与AB '交于点N .(1)若射线DA '旋转的速度为5︒/秒,则AND ∠=________︒;(2)设射线DA '旋转的速度为x ︒/秒,当射线AB '与DA '旋转到某处时,ABM V 与AND △全等,求相应的t 、x 的值.。
三角形及全等三角形姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________一、单选题1.(2021·湖南岳阳市·中考真题)下列命题是真命题的是( )A .五边形的内角和是720︒B .三角形的任意两边之和大于第三边C .内错角相等D .三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可.【详解】A 、五边形的内角和是540︒,故原命题为假命题,不符合题意;B 、三角形的任意两边之和大于第三边,原命题是真命题,符合题意;C 、两直线平行,内错角相等,故原命题为假命题,不符合题意;D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点,故原命题为假命题,不符合题意;故选:B .【点睛】本题考查命题判断,涉及多边形的内角和,三角形的三边关系,平行线的性质,以及三角形的重心等,熟记基本性质和定理是解题关键.2.(2021·山东临沂市·中考真题)如图,在//AB CD 中,40AEC ∠=︒,CB 平分DCE ∠,则ABC ∠的度数为( )A .10︒B .20︒C .30D .40︒【答案】B【分析】 根据平行线的性质得到∠ABC =∠BCD ,再根据角平分线的定义得到∠ABC =∠BCD ,再利用三角形外角的性质计算即可.【详解】解:∠AB ∠CD ,∠∠ABC =∠BCD ,∠CB 平分∠DCE ,∠∠BCE =∠BCD ,∠∠BCE =∠ABC ,∠∠AEC =∠BCE +∠ABC =40°,∠∠ABC =20°,故选B .【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义和外角的性质,掌握平行线的性质:两直线平行,内错角相等是解题的关键.3.(2021·陕西中考真题)如图,点D 、E 分别在线段BC 、AC 上,连接AD 、BE .若35A ∠=︒,25B ∠=︒,50C ∠=︒,则1∠的大小为( )A .60°B .70°C .75°D .85°【答案】B【分析】 由题意易得105BEC ∠=︒,然后根据三角形外角的性质可进行求解.【详解】解:∠25B ∠=︒,50C ∠=︒,∠在Rt ∠BEC 中,由三角形内角和可得105BEC ∠=︒,∠35A ∠=︒,∠170BEC A ∠=∠-∠=︒;故选B .【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质,熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键. 4.(2021·四川乐山市·中考真题)如图,已知直线1l 、2l 、3l 两两相交,且13l l ⊥.若50α=︒,则β的度数为( )A .120︒B .130︒C .140︒D .150︒【答案】C【分析】 由垂直的定义可得∠2=90°;根据对顶角相等可得510α∠=∠=︒,再根据三角形外角的性质即可求得140β∠=︒.【详解】∠13l l ⊥,∠∠2=90°;∠510α∠=∠=︒,∠125090140β∠=∠+∠=︒+︒=︒.故选C .【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质,熟练运用三角形外角的性质是解决问题的关键.5.(2021·安徽中考真题)两个直角三角板如图摆放,其中90BAC EDF ∠=∠=︒,45E ∠=︒,30C ∠=︒,AB 与DF 交于点M .若//BC EF ,则BMD ∠的大小为( )A .60︒B .67.5︒C .75︒D .82.5︒【答案】C【分析】根据//BC EF ,可得45FDB F ∠=∠=︒,再根据三角形内角和即可得出答案.【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒,,∠//BC EF ,∠45FDB F ∠=∠=︒,∠180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,故选:C .【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和,掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键. 6.(2021·江苏扬州市·中考真题)如图,点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内,连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ,若100BCD ∠=︒,则A B D E ∠+∠+∠+∠=( )A .220︒B .240︒C .260︒D .280︒【答案】D【分析】 连接BD ,根据三角形内角和求出∠CBD +∠CDB ,再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和,即可得到结果.【详解】解:连接BD ,∠∠BCD =100°,∠∠CBD +∠CDB =180°-100°=80°,∠∠A +∠ABC +∠E +∠CDE =360°-∠CBD -∠CDB =360°-80°=280°,故选D .【点睛】本题考查了三角形内角和,四边形内角和,解题的关键是添加辅助线,构造三角形和四边形. 7.(2021·河北中考真题)定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知:如图,ACD ∠是ABC 的外角.求证:ACD A B ∠=∠+∠.下列说法正确的是()A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整B.证法1用严谨的推理证明了该定理C.证法2用特殊到一般法证明了该定理D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B,利用理论与实践相结合可判断C与D.【详解】解:A. 证法1给出的证明过程是完整正确的,不需要分情况讨论,故A不符合题意;B. 证法1给出的证明过程是完整正确的,不需要分情况讨论,故选项B符合题意;C. 证法2用量角器度量两个内角和外角,只能验证该定理的正确性,用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程,故选项C不符合题意;D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证,验证的正确性更高,就能证明该定理还需用理论证明,故选项D不符合题意.故选择:.B【点睛】本题考查三角形外角的证明问题,命题的正确性需要严密推理证明,三角形外角分三种情形,锐角、直角、和钝角,证明中应分类才严谨.8.(2021·四川泸州市·中考真题)在锐角ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,有以下结论:2sinA sinB sinCa cb R ===(其中R为ABC 的外接圆半径)成立.在ABC 中,若∠A =75°,∠B =45°,c =4,则ABC 的外接圆面积为( )A .163πB .643πC .16πD .64π【答案】A【分析】方法一:先求出∠C ,根据题目所给的定理,2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π. 方法二:设∠ABC 的外心为O ,连结OA ,OB ,过O 作OD ∠AB 于D ,由三角形内角和可求∠C =60°,由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°,由等腰三角形性质,∠OAB =∠OBA =30,由垂径定理可求AD =BD =2,利用三角函数可求OAS 圆=163π. 【详解】解:方法一:∠∠A =75°,∠B =45°,∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°,有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒,∠3R =, ∠S 圆=2221633R OA ππππ⎛=== ⎝⎭.方法二:设∠ABC 的外心为O ,连结OA ,OB ,过O 作OD ∠AB 于D ,∠∠A =75°,∠B =45°,∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°,∠∠AOB =2∠C =2×60°=120°,∠OA =OB ,∠∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒, ∠OD ∠AB ,AB 为弦,∠AD =BD =122AB =,∠AD =OA cos30°,∠OA =343cos30223AD ÷︒=÷=, ∠S 圆=222431633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为A .【点睛】本题考查三角形的外接圆,三角形内角和,圆周角定理,等腰三角形性质,垂径定理,锐角三角函数,圆的面积公式,掌握三角形的外接圆,三角形内角和,圆周角定理,等腰三角形性质,垂径定理,锐角三角函数,圆的面积公式是解题关键.9.(2021·重庆中考真题)如图,在ABC 和DCB 中,ACB DBC ∠=∠ ,添加一个条件,不能..证明ABC 和DCB 全等的是( )A .ABC DCB ∠=∠B .AB DC = C .AC DB =D .A D ∠=∠【答案】B【分析】 根据已知条件和添加条件,结合全等三角形的判断方法即可解答.【详解】选项A ,添加ABC DCB ∠=∠,在ABC 和DCB 中,ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∠ABC ∠DCB (ASA ),选项B ,添加 AB DC =,在ABC 和DCB 中, AB DC =,BC CB =,ACB DBC ∠=∠,无法证明ABC ∠DCB ; 选项C ,添加AC DB =,在ABC 和DCB 中,BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∠ABC ∠DCB (SAS );选项D ,添加A D ∠=∠,在ABC 和DCB 中,A D ACB DBC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∠ABC ∠DCB (AAS );综上,只有选项B 符合题意.故选B .【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法,熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键.10.(2021·重庆中考真题)如图,点B ,F ,C ,E 共线,∠B =∠E ,BF =EC ,添加一个条件,不等判断∠ABC ∠∠DEF的是( )A .AB =DE B .∠A =∠DC .AC =DFD .AC ∠FD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题.【详解】 解:BF =EC ,BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ,又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意;B. 添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意;C. 添加一个条件AC =DF ,不能判断∠ABC ∠∠DEF ,故C 符合题意;D. 添加一个条件AC ∠FDACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意,故选:C .【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.11.(2021·浙江嘉兴市·中考真题)将一张三角形纸片按如图步骤∠至∠折叠两次得图∠,然后剪出图∠中的阴影部分,则阴影部分展开铺平后的图形是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .矩形D .菱形【答案】D【分析】 此题是有关剪纸的问题,此类问题应亲自动手折一折,剪一剪.【详解】解:由题可知,AD 平分BAC ∠,折叠后AEO △与AFO 重合,故全等,所以EO =OF ;又作了AD 的垂直平分线,即EO 垂直平分AD ,所以AO =DO ,且EO ∠AD ;由平行四边形的判定:对角线互相平分的四边形为平行四边形,所以AEDF 为平行四边形;又AD ∠EF ,所以平行四边形AEDF 为菱形.故选:.D【点睛】本题主要考察学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力,与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形,有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致,充分体现了实践操作性原则.12.(2021·四川遂宁市·中考真题)下列说法正确的是( )A .角平分线上的点到角两边的距离相等B .平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形C .在代数式1a ,2x ,x π,985,42b a +,13y +中,1a ,x π,42b a+是分式 D .若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3,则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质,平行四边形的对称性,分式的定义,平均数,中位数的性质分别进行判断即可.【详解】解:A.角平分线上的点到角两边的距离相等,故选项正确;B.平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故选项错误;C.在代数式1a ,2x ,x π,985,42b a +,13y +中,1a ,42b a +是分式,故选项错误; D.若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3,则这组数据的中位数是3,故选项错误;故选:A .【点睛】本题综合考查了角平分线的性质,平行四边形的对称性,分式的定义,平均数,中位数等知识点,熟悉相关性质是解题的关键.13.(2021·湖南娄底市·中考真题)2,5,m ) A .210m -B .102m -C .10D .4 【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围,再把二次根式进行化解,得出结论.【详解】解:2,3,m 是三角形的三边,5252m ∴-<<+,解得:37x ,374m m =-+-=,故选:D .【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简,解题的关键是:先根据题意求出m 的范围,再对二次根式化简. 14.(2021·山东泰安市·中考真题)如图,直线//m n ,三角尺的直角顶点在直线m 上,且三角尺的直角被直线m 平分,若160∠=︒,则下列结论错误的是( )A .275∠=︒B .345∠=︒C .4105∠=︒D .5130∠=︒【答案】D【分析】 根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数,再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3,∠8,∠2的度数,最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数.【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分,∠∠6=∠7=45°;A 、∠∠1=60°,∠6=45°,∠∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°,m∥n ,∠∠2=∠8=75°结论正确,选项不合题意;B 、∠∠7=45°,m ∠n ,∠∠3=∠7=45°,结论正确,选项不合题意;C 、∠∠8=75°,∠∠4=180-∠8=180-75°=105°,结论正确,选项不合题意;D 、∠∠7=45°,∠∠5=180-∠7=180-45°=135°,结论错误,选项符合题意.故选:D .【点睛】本题考查了角平分线的定义,平行线的性质,三角形内角和,邻补角互补,解答本题的关键是掌握平行线的性质:两直线平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.15.(2021·四川资阳市·中考真题)如图,已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒,则3∠的度数为()A .80︒B .70︒C .60︒D .50︒【答案】B【分析】如图,由题意易得∠4=∠1=40°,然后根据三角形外角的性质可进行求解.【详解】解:如图,∠//,140m n ∠=︒,∠∠4=∠1=40°,∠230∠=︒,∠34270∠=∠+∠=︒;故选B .【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质,熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键.16.(2021·海南中考真题)如图,已知//a b ,直线l 与直线a b 、分别交于点A B 、,分别以点A B 、为圆心,大于12AB 的长为半径画弧,两弧相交于点M N 、,作直线MN ,交直线b 于点C ,连接AC ,若140∠=︒,则ACB ∠的度数是( )A .90︒B .95︒C .100︒D .105︒【答案】C【分析】 根据题意可得直线MN 是线段AB 的垂直平分线,进而可得CB AC =,利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角,可得40CAB CBA ∠=∠=︒,所以可求得100ACB ∠=︒.【详解】∠已知分别以点A B 、为圆心,大于12AB 的长为半径画弧,两弧相交于点M N 、,作直线MN ,交直线b 于点C ,连接AC ,∠直线MN 垂直平分线段AB ,∠CB AC =,∠//a b ,140∠=︒,∠140CBA ∠=∠=︒,∠40CAB CBA ∠=∠=︒,∠180100ACB CBA CAB ∠=︒-∠-∠=︒.故选:C.【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等,根据题意得出直线MN垂直平分线段AB 是解题关键.17.(2021·四川广元市·中考真题)观察下列作图痕迹,所作线段CD为ABC的角平分线的是()A.B.C.D.【答案】C【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可.【详解】A:所作线段为AB边上的高,选项错误;B:做图痕迹为AB边上的中垂线,CD为AB边上的中线,选项错误;C:CD为ACB的角平分线,满足题意。
第17讲全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1•性质(1) _________________________ 全等三角形的对应边,对应角 。
(2) ________________________________ 全等三角形的对应边的中线 _______________________ ,对应角平分线 _____________________________________ ,对应边上的高 __________ ,全等三角 形的周长 _________ ,面积 _________ 。
2•判定定理(1)三边分别 _________ 的两个三角形全等(简写“边边边”或“ _______ ”)。
微拨炉:已知两边和一角判定三角形全等时,没有“ SSA ”定理,即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。
二、角的平分线1•性质:角的平分线上的点到角的两边的距离 ___________ 。
2•判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在 ____________ 。
3•三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离 微拨炉: 1•三角形的角平分线是一条线段,不是射线。
2•角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。
注意分清题设和结论。
高频考点1、全等三角形的判定与性质 【范例】如图,在△ ABC 中,AB=CB ,■ ABC =90,D 为AB 延长线上一点,点 E 在BC 边上, 且 BE 二 BD ,连接 AE 、DE 、DC 。
(2)两边和它们的夹角分别________ 的两个三角形全等(简写“边角边”或 ”) (3)两角和它们的夹边分别________ 的两个三角形全等(简写“角边角”或”)(4)斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写“斜边、直角边”或 ”)(1)求证:△ ABE ◎△ CBD(2)若• CAE =30 [求• BDC 的度数D得分要领:判定全等三角形的基本思路1•已知两边:(1)找夹角(SAS) ; (2)找直角(HL或SAS) ; (3)找第三边(SSS)。
中考数学一轮复习专题解析—全等三角形判定与性质定理复习目标1.掌握全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素;2.探索三角形全等的判定方法,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式;考点梳理一、基本概念1.全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等.特别提醒:全等三角形的周长、面积相等;对应的高线,中线,角平分线相等.3.全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS);(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).例1.如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:(1)AP=AQ;(2)AP△AQ.【答案】证明:(1)△BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,△△1+△CAE=90°,△2+△CAE=90°.△△1=△2,△在△AQC和△PAB中,△△AQC△△PAB.△ AP=AQ.(2)△ AP=AQ,△QAC=△P,△△PAD+△P=90°,△△PAD+△QAC=90°,即△PAQ=90°.△AP△AQ.二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等,角相等的最基本、最常用的方法,这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征,还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来.应用三角形全等的判别方法注意以下几点:1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时,常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分,只要认真观察图形,结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等.2. 条件不足,会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题,即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充三角形全等的条件.解这类问题的基本思路是:执果索因,逆向思维,即从求证入手,逐步分析,探索结论成立的条件,从而得出答案.3. 条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系,使条件由隐变显,从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等.例2.如图,已知AD为△ABC的中线,且△1=△2,△3=△4,求证:BE+CF>EF.【答案】证明:延长ED至M,使DM=DE,连接CM,MF,在△BDE和△CDM中,△△BDE△△CDM(SAS).△BE=CM.又△△1=△2,△3=△4 ,△1+△2+△3+△4=180°,△△3+△2=90°,即△EDF=90°,△△FDM=△EDF =90°.在△EDF和△MDF中△△EDF△△MDF(SAS),△EF=MF (全等三角形对应边相等),△在△CMF中,CF+CM>MF(三角形两边之和大于第三边),△BE+CF>EF.三、常见的几种辅助线添加△遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”;△遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”;△遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理;△过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”;△截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目.例3.如图所示,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF. 求证:AC=BF.【答案】证明:延长AD到H,使得DH=AD,连结BH,△ D为BC中点,△ BD=DC,在△ADC和△HDB中,△ △ADC△△HDB(SAS),△ AC=BH, △H=△HAC,△ EA=EF,△ △HAE=△AFE,又△ △BFH=△AFE,△ BH=BF,△ BF=AC.综合训练1.(2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考)如图,小明书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是()A.SSS B.SSA C.ASA D.SAS【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可.【详解】解:画一个三角形A′B′C′,使△A′=△A,A′B′=AB,△B′=△B,符合全等三角形的判定定理ASA,故选:C.2.(2022·全国九年级专题练习)如图G是△ABC的重心,直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点,直线BG与AC交于F点,则△AED 的面积:四边形ADGF的面积=()A.1:2B.2:1C.2:3D.3:2【答案】D【分析】根据重心的概念得出D,F分别是三角形边的中点.若设△ABC的面积是2,则△BCD的面积和△BCF的面积都是1.又因为BG:GF=CG:GD,可求得△CGF 的面积.则四边形ADGF的面积也可求出.根据ASA可以证明△ADE△△BDC,则△ADE的面积是1.则△AED的面积:四边形ADGF的面积可求.【详解】解:设三角形ABC的面积是2,△三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1,△BG:GF=CG:GD=2,△三角形CGF的面积是13,△四边形ADGF的面积是2−1−13=23,△//l BC,△EAD CBD∠=∠,△,=∠=∠,BD AD ADE BDC△△ADE△△BDC(ASA)△△ADE的面积是1△△AED的面积:四边形ADGF的面积=1:2=3:2.3故选:D.3.(2022·重庆实验外国语学校九年级月考)如图,在正方形ABCD中,210AB=﹐E,F分别为BC,CD的中点,连接AE、BF,AE交BF于点G,将BCF△沿BF△的面积是()翻折得到BPF△,延长FP交BA延长线于点Q,连接QG,则QGFA.25B.25C.20D.15 2【答案】D【分析】由已知可求QF=QB,在Rt△BPQ中,由勾股定理求得QB,可求出S△BQF=25,再证明△ABE△△BCF(SAS),△BGE△△BCF,由此得BF,GE,BG,过点G作GN△AB交AB于N,可证明△ANG△△ABE,再由GA=AE-GE,可求得GN,根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解.【详解】解:将BCF△,△沿BF翻折得到BPF∴PF =FC ,△PFB =△CFB ,四边形ABCD 是正方形∴△FPB =90°,CD △AB ,,90AB BC ABE BCF =∠=∠=︒△△CFB =△ABF , △△ABF =△PFB , △QF =QB ,△PF =FC =12CD 12AB =PB =AB 在Rt △BPQ 中,222QB BP PQ =+,△222(QB QB =+,△QB△S△BQF =1252=,△AB =BC ,BE =CF ,△ABE =△BCF =90°, △△ABE △△BCF (SAS ), △△AEB =△BFC , 又△△EBG =△CBF , △△BGE △△BCF ,GE BG BECF BC BF∴==, △CF,BC △BF△GEBG , 过点G 作GN △AB 交AB 于N ,△△GAN=△EAB,△ANG=△ABE=90°,△△ANG△△ABE,△GN GABE EA=△GA=AE-GE =42△GN=4105△S△BQG=12×QB×GN=1510410225⨯⨯=10,△S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15,故选:D.4.(2022·四川省宜宾市第二中学校九年级一模)如图,以ABC的三边为边分别作等边ACD△、ABE△、BCF△,则下列结论正确的是()A.EBF DFC≌B.四边形ADFE为矩形C.四边形ADFE为菱形D .当AB AC =,120BAC ∠=︒时,四边形ADFE 是正方形【答案】A【分析】利用SAS 得到△EBF 与△DFC 全等,利用全等三角形对应边相等得到EF =AC ,再由△ADC 为等边三角形得到三边相等,等量代换得到EF =AD ,AE =DF ,利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD 为平行四边形,若AB =AC ,△BAC =120°,只能得到AEFD 为菱形,不能为正方形,即可得到正确的选项.【详解】解:△△ABE 、△BCF 为等边三角形,△AB =BE =AE ,BC =CF =FB ,△ABE =△CBF =60°,△△ABE −△ABF =△FBC −△ABF ,即△CBA =△FBE ,在△ABC 和△EBF 中,AB EB CBA FBE BC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, △△ABC △△EBF (SAS ),△EF =AC ,又△△ADC 为等边三角形,△CD =AD =AC ,△EF =AD =DC ,同理可得△ABC △△DFC ,△DF =AB =AE =DF ,△四边形AEFD 是平行四边形,故B 、C 选项错误;△△FEA =△ADF ,△△FEA +△AEB =△ADF +△ADC ,即△FEB =△CDF ,在△FEB 和△CDF 中,EF DC FEB CDF EB FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩. △△FEB △△CDF (SAS ),故选项A 正确;若AB =AC ,△BAC =120°,则有AE =AD ,△EAD =120°,此时AEFD 为菱形,选项D 错误故选A .5.(2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试)如图在四边形ABEC 中,BEC ∠和BAC ∠都是直角,且AB AC =.现将BEC ∆沿BC 翻折,点E 的对应点为E ',BE '与AC 边相交于D 点,恰好BE '是ABC ∠的角平分线,若1CE =,则BD 的长为( )A .1.5B 2C .2D 3【答案】C【分析】 如图,延长CE '和BA 相交于点F ,根据翻折的性质可以证明△BE′C △△BE′F ,可得CF =2,再证明△FCA △△DBA ,可得BD =CF =2.【详解】解:如图,延长CE '和BA 相交于点F ,由翻折可知:90BE C E ∠'=∠=︒,1CE CE '==,BE '是ABC ∠的角平分线,CBE FBE ∴∠'=∠',BE BE '=',∴()BE C BE F ASA '≅',1E F CE ∴'='=,2CF ∴=,90FCA F ∠+∠=︒,90DBA F ∠+∠=︒,FCA DBA ∴∠=∠,90FAC DAB ∠=∠=︒,AB AC =,()FCA DBA ASA ∴≅,2BD CF ∴==.故选:C .6.(2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级三模)如图,在Rt ABC 中,90A ∠=︒,利用尺规在BA ,BC 上分别截取BD ,BE ,使BD BE =;分别以D ,E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧,两弧在ABC ∠内交于点F ;作射线BF 交AC于点H.若2HA=,P为BC上一动点,则HP的最小值是()A.12B.2C.1D.无法确定【答案】B【分析】根据作图过程可得BH平分△ABC,当HP△BC时,HP最小,根据角平分线的性质即可得HP的最小值.【详解】解:根据作图过程可知:BH平分△ABC,当HP△BC时,HP最小,△HP=HA=2.故选:B.7.(2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考)如图,在Rt ABC中,90C∠=︒,以点A为圆心,适当的长度为半径画弧,分别交AC、AB于点M、N,再分别以M、N为圆心,以大于12MN的长度为半径画弧,两弧交于点O,作射线AO交BC于点D,若54B∠=︒,则CDA∠=______度.【答案】72°利用三角形内角和180°,解得36CAB ∠=︒,由角平分线性质解得18CAD ∠=︒的度数,最后根据三角形外角性质解题即可.【详解】解:90,54C B ∠=︒∠=︒905436CAB ∴∠=︒-︒=︒ AD 平分CAB ∠ 1182CAD DAB CAB ∴∠=∠=∠=︒ 185472CDA DAB B ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为:72.8.(2022·广东深圳市南山外国语学校九年级二模)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 中,3OA =,6OC =,将ABC 沿对角线AC 翻折,使点B 落在B '处,AB '与y 轴交于点D ,则点D 的坐标为______.【答案】9(0,)4-【分析】设OD m =,则6CD m =-,由题意可以求证AOD CB D '△≌△,从而得到6AD CD m ==-,再根据勾股定理即可求解.解:由题意可知:3OA BC B C '===,6OC AB ==,90B B AOD '∠=∠=∠=︒ 设OD m =,则6CD m =-,又△B DC ADO '∠=∠△()AOD CB D AAS '△≌△△6AD CD m ==-在Rt AOD △中,222AD AO OD =+,即222(6)3m m -=+ 解得:94m =△点D 的坐标为9(0,)4-故答案为9(0,)4-9.(2022·广东实验中学九年级三模)已知,ABC DCB ∠=∠,ACB DBC ∠=∠,求证:ABC DCB △≌△.【答案】证明见解析【分析】由条件△ABC =△DCB ,△ACB =△DBC ,根据ASA 证明△ABC △△DCB 即可.【详解】证明:在△ABC 和△DCB 中,ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, △△ABC △△DCB (ASA );10.(2022·厦门市湖滨中学)如图,在△ABE 和△CDF 中,点C 、E 、F 、B 在同一直线上,BF =CE ,若AB △CD ,△A =△D .求证:AB =CD .【答案】见解析【分析】根据平行线的性质可得△B =△C ,根据已知条件可得BE =CD ,结合已知条件△A =△D ,即可证明△ABE △△DCF ,进而即可得证AB =CD .【详解】解:△AB △CD ,△△B =△C .△BF =CE ,△BF +EF =CE +EF ,即BE =CF .△△A =△D ,△B =△C ,BE =CF△△ABE △△DCF (AAS ).△AB =CD .。