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连续型随机变量及其概率密度详解

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概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度

概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度

x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)

《概率论》第2章§4连续型随机变量及其密度函数

《概率论》第2章§4连续型随机变量及其密度函数
对于连续型随机变量，其取值充满某 一个区间，不能以列举的方式表示其 所有可能取值，因此引入密度函数的 概念。
密度函数是描述连续型随机变量取值 规律的工具，通常用大写字母f(x)表示 ，f(x)在x处的函数值表示随机变量在x 点附近取值的“概率密度”。
性质与定理
非负性
密度函数f(x)在整个实数范围 内都是非负的，即f(x)≥0。
正态分布
又称高斯分布，是一种连续概率分布。正态分布 是自然界中最常见的分布之一，许多自然现象和 社会现象都服从或近似服从正态分布。其密度函 数呈钟形曲线，关于均值对称。
指数分布
常用于描述某些随机事件发生之间的时间间隔， 如无线电通信中的信号到达间隔等，其密度函数 呈指数形式衰减。
其他分布
除了上述三种分布外，还有许多其他类型的连续 型随机变量分布，如t分布、F分布、贝塔分布等 。这些分布在实际问题中也有广泛的应用。
03 概率计算与应用
概率计算公式及方法
概率密度函数
常用的概率分布
对于连续型随机变量，其概率通过概率 密度函数进行描述，该函数表示随机变 量在某个取值点附近的概率分布情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如正态分布、均匀分布、指数分布等，这些 分布具有特定的概率密度函数和累积分布函 数形式，可用于描述不同类型的随机现象。
累积分布函数
性质
多维随机变量具有一维随机变量的一些基本性质，如分布函数性质、独立性等。此外， 多维随机变量还具有一些特殊的性质，如多维随机变量的每一个分量都是一维随机变量。
联合密度函数概念及性质
要点一
概念
对于多维连续型随机变量(X1, X2, ..., Xn)，如果存在非负可积 函数f(x1, x2, ..., xn)，使得对Rn中的任意区域D，有P{(X1, X2, ..., Xn) ∈ D} = ∫∫...∫f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn，则 称f(x1, x2, ..., xn)为(X1, X2, ..., Xn)的联合密度函数。

连续型随机变量及其概率密度

连续型随机变量及其概率密度

问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x

连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布与例题讲解
分析设学生考试成绩X~N( )，首先应求出 及 之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。
解设学生成绩X~N( )，由题设知应有
从而得
即
查表得 解之得
故知，X~N( )
又设该大学实录线为a，由题设知：
即
查表得
即是说该大学的实录线约为512分。
（三）对数正态分布
定义：若随机变量X的概率密度函数为
=2×=
引理若 则
证 的分布函数为
令 得 可知
基 本 内 容
备 注
于是，若 则它的分布函数 可写成：
对于任意区间 ，有
注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。
例如，设X~N(1,4)，则
例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,X~N(500,25),求:
1) f(x)≥0
2)
3)
特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 （但{X=x}并不一定是不可能事件）
因此P(a≤X≤b)= P(a<X<b)= P(a≤X<b) = P(a<X≤b)=F(b)-F(a)
4）若f(x)在点x处连续，则
分布函数性质
i) 0≤F(x)≤1；
ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；
记为 相应的概率密度函数和分布函数分别记为
易知 。
即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例3设随机变量X~N(0,1)，查表计算：
(1) P(X≤；(2) P(X>；(3) P(|X|<.
解(1)P(X≤=Φ=
(2)P(X> =1- P(X≤=1-Φ=

连续型随机变量的概率密度

连续型随机变量的概率密度

连续型随机变量的概率密度一、概念介绍连续型随机变量是指取值范围为无限个数的随机变量，它的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）可以用来描述该随机变量在某个取值范围内的概率分布情况。

二、概率密度函数的定义对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：1. f(x)≥0，即非负性；2. ∫f(x)dx=1，即归一性；3. 对于任意实数a和b（a<b），有P(a≤X≤b)=∫abf(x)dx。

三、常见的连续型分布及其概率密度函数1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内每一个点的概率相等的分布。

其概率密度函数为：f(x)=1/(b-a)，a≤x≤b2. 正态分布正态分布是一种常见的连续型随机变量分布，也称为高斯分布。

其概率密度函数为：f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。

3. 指数分布指数分布通常用来描述事件发生的时间间隔。

其概率密度函数为：f(x)=λe^(-λx)，x≥0其中，λ是事件发生率。

4. 伽马分布伽马分布是指一类连续型随机变量的分布，它经常用来描述风险事件的发生时间。

其概率密度函数为：f(x)=(1/Γ(α)β^α)x^(α-1)e^(-x/β)，x≥0其中，α和β是参数，Γ(α)是伽马函数。

四、概率密度函数的性质1. 概率密度函数f(x)的图像在x轴上方；2. 在任意一个区间内，概率密度函数f(x)所表示的面积即为该区间内随机变量X取值的概率；3. 对于任意实数a和b（a<b），有P(a<X≤b)=∫abf(x)dx；4. 对于任意实数c，有P(X=c)=0。

五、连续型随机变量的期望和方差1. 期望对于连续型随机变量X，其期望E(X)定义为：E(X)=∫xf(x)dx2. 方差对于连续型随机变量X，其方差Var(X)定义为：Var(X)=E((X-E(X))^2)=∫(x-E(X))^2f(x)dx六、总结连续型随机变量的概率密度函数是描述其概率分布情况的重要工具，常见的连续型分布包括均匀分布、正态分布、指数分布和伽马分布等。

第三节连续型随机变量及其概率密度

第三节连续型随机变量及其概率密度

则称X服从0 1分布.
这时X的分布函数为：
F(x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
2. 二项分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，，n，且分布律为：
P(X
k)
C
k n
pk qnk，k
0，1，，n，0
p
1，q
1
p，
则称X服从二项分布， 记为：X～B(n，p). 3. 泊松分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，2,，且分布律为：
2
Acos
xdx
2 A sin
x
2
0
2 A，
2A 1，
(2) (3)
P(0 X
当x
2
时4，) F
( x042)故12coAsxxdf12x(.t)d12t
sin
x
4
0
x
0dt
2 4
.
0.
当
2
x
2
时，
F
(
x)
2 0dt
x
2
1 2
cos
tdt
1 2
(sin
x
1).
当x
2
时，F
6
三、几种常见的连续型分布
1. 均匀分布：设X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b，
0， 其它.
则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为 X～U[a，b].
0， x a，
易求X的分布函数为
F
(
x
)
x b
a a
，a
1， x

w4-2-§4 连续型随机变量及其概率密度

w4-2-§4 连续型随机变量及其概率密度

练习1: 有一批晶体管，已知每只的使用寿命X为 连续型随机变量,其概率密度函数为
( c 为常数)
(1) 求常数 c； 解(1)
c = 1000
故
练习1: 有一批晶体管，已知每只的使用寿命X为 连续型随机变量,其概率密度函数为
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，每只 晶体管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500 小时只有一个损坏的概率。 解(2) 设事件A表示一只晶体管的寿命小于1500小时, 则
一、 连续型随机变量及其概率密度
理解： (1) 只有连续型随机变量才有概率密度函数。 (2) 如果将X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么 分布函数 F(x) 在 x 处的函数值就表示 X 落在区间 (-, x]上的概率。 (3) 连续型随机变量的分布函数是连续函数。
一、 连续型随机变量及其概率密度
a.
b. 对于任意区间（x1，x2］，有：
练习1：设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6) 解：
练习2 已知 求 P ( X < 0 ).
解一
且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
练习2 已知 求 P ( X < 0 ).
且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
P{ X 1} 2 (1) 1 = 0.6826 P{ X 2} 2 (2) 1 = 0.9544
P{ X 3} 2 (3) 1 = 0.9974
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3，3] 区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。
4. 计算概率
（1）ＸＮ(0，1) （2）ＸＮ(, 2)
理解：(3) 连续型随机变量的分布函数是连续函数。

连续型随机变量与概率密度函数

连续型随机变量与概率密度函数

连续型随机变量与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念之一，它描述了在一次试验中可能发生的不确定事件的数值结果。

随机变量分为离散型和连续型两种。

在本文中，我们将重点介绍连续型随机变量以及与之相关的概率密度函数。

连续型随机变量是指在一定区间内可能取任意实数值的随机变量，其结果可以是无限多的。

与离散型随机变量相比，连续型随机变量通常与测量、计量有关，例如时间、长度、重量等。

为了描述这种连续型随机变量的概率分布，我们引入了概率密度函数的概念。

概率密度函数是用来描述连续型随机变量的概率分布的函数。

它在某个取值点上的值并不代表概率，而是表示这个点附近的概率密度。

具体来说，对于概率密度函数f(x)而言，它满足以下两个条件：1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值非负；2. 在概率密度函数的取值范围内，其面积等于1，即∫f(x)dx = 1。

概率密度函数与概率的关系可以通过累积分布函数来进行描述。

累积分布函数F(x)定义为概率密度函数f(x)在某一取值点x及其左侧区间上的积分，即：F(x) = ∫[a,x]f(t)dt其中a表示概率密度函数f(x)的定义域起点。

连续型随机变量的期望值和方差也可以通过概率密度函数来计算。

对于一个随机变量X，其期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx方差Var(X)定义为：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx通过概率密度函数的求积分运算，我们可以计算出连续型随机变量的期望值和方差，从而更好地理解和描述随机变量的特征。

在实际应用中，连续型随机变量与概率密度函数经常用于模型建立、数据分析和统计推断等领域。

例如，在物理学中，速度、温度、能量等变量通常是连续型随机变量，通过概率密度函数的分析，可以研究其分布规律以及相应的统计特性。

在金融学中，股票价格的变化、利率的波动等也可以视为连续型随机变量，利用概率密度函数可以预测未来风险并制定相应的投资策略。

总结起来，连续型随机变量与概率密度函数的概念和应用在概率论和统计学中至关重要。

连续随机变量及其概率密度函数

连续随机变量及其概率密度函数

连续随机变量及其概率密度函数在概率论与数理统计中，随机变量是指在一个概率空间中取值的变量。

其中，连续随机变量是指在一定区间内可以取到无穷多个不同值的随机变量。

连续随机变量的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述连续随机变量概率分布的函数。

1. 连续随机变量的定义连续随机变量通常用大写字母表示，如X。

与离散随机变量不同的是，连续随机变量的取值范围通常是无穷多个实数值。

例如，一个连续随机变量可以表示一个人的身高，其取值可以是任意的实数。

2. 连续随机变量的概率密度函数对于连续随机变量X，其概率密度函数f(x)定义了在X取值等于x时的概率密度，即X落在x附近的概率。

概率密度函数需要满足以下两个条件：- f(x) ≥ 0，对于任意的x∈R；- ∫f(x)dx = 1，即概率密度函数的积分等于1。

3. 连续随机变量的性质连续随机变量的概率可以通过求取积分来计算。

具体而言，如果要求X在区间[a, b]的概率，即P(a ≤ X ≤ b)，可以使用概率密度函数进行计算：- P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。

4. 连续随机变量的期望和方差连续随机变量的期望和方差的计算方式与离散随机变量有所不同。

- 连续随机变量X的期望值E(X)可以通过积分的方式计算：E(X)= ∫xf(x)dx。

- 连续随机变量X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X)= E((X-E(X))^2) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx。

5. 常见的连续分布函数在概率论与数理统计中，有许多常见的连续分布函数可用来描述实际问题中的连续随机变量。

以下是一些常见的连续分布函数： - 正态分布（Normal Distribution）- 均匀分布（Uniform Distribution）- 指数分布（Exponential Distribution）- 伽马分布（Gamma Distribution）- β分布（Beta Distribution）- 正太分布（Chi-Square Distribution）总结起来，连续随机变量是指在一定区间内可以取到无穷多个不同值的随机变量。

连续型随机变量及其概率密度函数

连续型随机变量及其概率密度函数
§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )

连续型随机变量及其概率分布

连续型随机变量及其概率分布

解：由归一性可知
0Leabharlann 34xf ( x)dx 0dx kxdx (2 )dx 0dx
0
3
2
4
0 1 kx2 3 (2x 1 x2 ) 4 0 1
20
43
k1 6
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
0
例2
设连续型随机变量X
:
F
1、连续型随机变量与密度函数的概念
对于随机变量X，若存在非负可积函数f ( x)( x R)
使得随机变量X 取值任意区间 a, b的概率为
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称概率密度.
f(x) 几何定义
0a
x b
一、连续型随机变量及其密度函数
lim
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间 (x, x x] 上的概率与区间长度 x 之比的
极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于
线密度.
二、分布函数与概率密度函数
6、连续型随机变量密度函数的意义.
f ( x) F ( x) lim P( x X x x)
x x
lim
f (t )dt 0
x0 x
由此可以得到如下结论：
由P(A)=0, 不能推出
由P(B)=1, 不能推出 B=S
二、分布函数与概率密度函数
4、连续型随机变量任意区间内的概率求法 由于连续型随机变量X ,x R, P( X x) 0 a, b R, a b P(a X b) P(a X b) P(a X b)

概率论--连续型随机变量及其概率密度

概率论--连续型随机变量及其概率密度

P( X 2) F (2) f ( x)dx
0
2
2
0
1 2 dx 5 5
设ξ 在[-1，5]上服从均匀分布，求方程
x方程有实数根
即
4 4 0
2
1 而 的密度函数为 f ( ) 6 0
f ( x)



f ( x)dx 1
P{ x } 1
密度函数和分布函数的关系
积分关系
F ( x) P{ X x}
F ( x) f ( x)dx

x
导数关系

x

f ( x)dx
若f ( x)在x处连续，则F ( x) f ( x)
P(a X b) F (b) F (a) f ( x)dx
P( x X x x) f ( x)x.
用密度函数表示事件的概率
对于连续型随机变量X,它取任意指定实数值a 的概率为0,即:
P(X=a)=0
对于连续型随机变量X,有
P(a X< b)= P(a<Xb)=P(a X b)=P(a<X<b)
f ( x)dx
a
b
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x) 是一个随机事件，称
F ( x ) P( X x )
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个 普通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）；
值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
P（X<b）=F(b) P（X≥b）=1﹣ P（X<b） =1 - F(b) P（a≤X<b）=F(b) ﹣ F(a)

高等数学第三节连续型随机变量及其概率密度函数

高等数学第三节连续型随机变量及其概率密度函数

▲ P() 0 (不可能的事件的概率为0),但概率
为零的事不一定是不可能事件.
概率统计
2. 概率密度函数的性质
性质1 f ( x) 0
性质2
f ( x)dx 1
f (x)
这两条性质是判定 一个函数 f(x) 是否 为某随机变量 X 的 概率密度函数的充 要条件.
面积为1
o
x
概率统计
性质3
F ( x0 x) F ( x0 )
x0x f (t)dt x0
当 x 0时， 两边取极限：
0
P(X
x0 )
lim
x0
x0x f (t)dt
x0
0
P( X x0 ) 0
概率统计
注 ▲ 这个结论的意义:
(1). P( X x0 ) 0 从积分的几何意义上说，当 底边缩为一点时,曲边梯形面积退化为零。
(2).由此可知连续型随机量X 在某区间上取值的 概率只与区间长度有关，而与区间是闭、开、 半开半闭无关，即有:
P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 )
P( x1 X x2 )
x2 x1
f ( x)dx
F ( x2 ) F ( x1 )
概率统计
注 P( x X x x) F( x x) F(x)
不计高阶 无穷小
x x
x f (t) dt
f ( x)x
b
(相当于积分中值定理 f ( x)dx f ( x)(b a) ) a
这表示落在区间 ( x, x x] 上的概率近似等 于 f ( x)x ，称 f ( x)x 为概率微分。
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )

连续型随机变量及其概率密度

连续型随机变量及其概率密度
则 X 在 任 意 区 间G（G可 以 是 开 区 间,也 可 以 是 闭 区 间 ， 或 半 开 半 闭 区间 ； 可 以 是 有 限 区 间 ， 也 可 以 是 无 穷 区 间 ） 上取 值 的 概 率 为 ，
PX G f xdx (此公式非常重要)
G
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
1
( x )2
e , 2 2 x
2
6 f (x) 以 x 轴为渐近线
当x→ ∞时，f(x) → 0.
根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布 的概率密度曲线图.
正态分布N (, 2 ) 的图形特点
称为位置参数
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
由定义知道：连续型随机变量的分布函数是连续函数
2 概率密度的性质
1 非负性 f (x) 0
2 规范性

f (x)dx 1

利用概率密度可确 面积为1
定随机点落在某个
范围内的概率
这两个性质是判 断一个函数是否 为一个连续型 r.v.X的概率密度 的充要条件
f (x)
分布曲 线
o
x
3
0θ


x
x0
x
注意 1）无记忆性；
对于任意s,t 0有：PX s t X s PX t
PX

s
t
X

s

连续型随机变量分析

连续型随机变量分析

连续型随机变量分析连续型随机变量是概率论中一个重要的概念，它与离散型随机变量一样，是描述随机现象的一种数学模型。

在统计学中，我们常常需要对连续型随机变量进行分析，以便更好地理解和解释背后的规律。

本文将对连续型随机变量的分析方法进行详细探讨。

一、连续型随机变量的定义连续型随机变量是指在一定的取值范围内可以取得各种不同取值的随机变量。

与离散型随机变量相比，连续型随机变量可以取得无限个取值，通常用概率密度函数来描述其概率分布。

在实际应用中，连续型随机变量常常表示某种具体的物理量，比如长度、面积、体积等。

二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)定义为在某一范围内取到某个数值的概率密度。

概率密度函数满足以下两个性质：1）f(x) ≥ 0，即概率密度非负；2）∫f(x)dx = 1，即在整个样本空间范围内的概率总和为1。

常见的连续型随机变量概率密度函数包括均匀分布、正态分布、指数分布等，它们在不同领域具有不同的应用。

三、连续型随机变量的期望和方差对于连续型随机变量X，其期望值E(X)和方差Var(X)的定义分别为：E(X) = ∫xf(x)dx，Var(X) = E[(X-E(X))^2]。

期望值可以理解为随机变量X的平均值，方差可以反映随机变量取值的离散程度。

通过计算连续型随机变量的期望值和方差，可以更好地了解随机变量的分布特征，为后续的分析提供基础。

四、连续型随机变量的特征函数连续型随机变量的特征函数φ(t)定义为E(e^(itX))，其中i为虚数单位。

特征函数可以完全描述随机变量X的分布特征，包括其所有阶矩。

在实际应用中，通过特征函数可以方便地计算各种复杂的概率分布。

总结本文对连续型随机变量的分析方法进行了系统综述，包括定义、概率密度函数、期望和方差、特征函数等方面的内容。

通过对连续型随机变量的深入研究，我们可以更好地理解和应用概率论和统计学知识，为实际问题的解决提供理论依据和方法支持。

概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度讲解

概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度讲解
7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
例1 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)


x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
P{X

st
|
X

s}
P{( X
st)(X P{X s}

s)}

P{X s P{X
t} s}

1 F(s t) 1 F(s)

e(st ) e s

e t

P{ X

t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件
数，简称为概率密度或密度函数.
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)

f ( x)dx 1.

A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.
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x1 x 2
S1
x
(5) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x p( x)dx
证明
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
(3) 计算落入各子区间内观测值频数 ni 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, ···, m；
子区间 (127.5, 131.5) 频数 6 频率 0.06
(131.5, (135.5, (139.5, (143.5, (147.5, (151.5,
135.5) 139.5) 143.5) 147.5) 151.5) 155.5)
12 24 28 18 8 4
0.12 0.24 0.28 0.18 0.08 0.04
(4)
以小区间 [ti-1，ti] 为底，yi=fi / d ( i=1, 2, …, m) 为高作一系列小矩形，组成了频 率直方图，简称直方图。
由于概率可以由频率近似， 因此这个直 方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。 用上述直方图刻画随机变量 X的概率分布 情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画 X的概 率分布情况，应适当增加观测数据的个数, 同 时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分 组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来 越接近于某一条曲线, 这条曲线称为随机变量 X 的概率密度曲线，可用来准确地刻画 X 的概 率分布情况。
第4.3节
连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
连续型随机变量 X 所有可能取值充满若 干个区间。对这种随机变量，不能象离散型 随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给出概率分布。而是用“概率密度函数”表 示随机变量的概率分布。
一 频率直方图Leabharlann 这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1)先确定作图区间 [a, b] ; a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2)确定数据分组数 m = 7，组距 d = (b − a) / m， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, ···, m；
密度函数的性质
(1)
(2)
p( x ) 0 ；



p( x ) dx 1 ；
这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与 x 轴所围 面积等于1。
(3) 对 p(x)的进一步理解： 若x是 p(x)的连续点，则 x x p( t )dt P( x X x x) lim lim x x 0 x 0 x x = p (x ) ， 故, X的概率密度函数p (x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量, p(x)相当于物理学中的线密度。
P { X a } lim a
x 0
a x
p( x ) d x 0.
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有 P { X a } 0.
若 P{ X a } 0,
连 续 型
则不能确定{ X a } 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
{ X a } 是不可能事件 P{ X a } 0.
离 散 型
p( x )
S1 x p( x ) d x
1
x2
1
0
x2
1
例1 某工厂生产一种零件，由于生产过程中各 种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测 得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:
129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.
二
概率密度函数
设 X为 随 机 变 量 ，F ( x )为X 的 分 布 函 数 ,若 存 在 非负可积函数 p( x ), 使 对 于 任 意 实 数 x有 F ( x)
x
p( t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其 中 p( x ) 称 为 X 的 概 率密度函数 ,简 称 概 率 密 度 .
若不计高阶无穷小，有：
P{ x X x x } p( x )x .
表示随机变量 X 取值于(x , x +△ x]上的概率 近似等于 p(x) × △x 。 p(x) × △x 在连续型随机变量中所起的作用 与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作 用类似。
(4) 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的 概率等于零.即 P { X a } 0. 证明

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