解三角形应用举例
一、测量距离问题
例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，
D，若测得CD＝
3
2km，∠ADB＝∠CDB
＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.
答案
6 4
解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝
3
2km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理，得BC＝DC
sin∠DBC
·sin∠BDC
＝
3
2
sin 45°·sin 30°＝
6
4(km).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2
＋BC2－2AC·BCcos 45°＝3
4＋3
8
－2×3
2
×
6
4×
2
2
＝3
8.
∴AB＝
6
4km.
∴A，B两点间的距离为
6
4km.
(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝
60°，则P，Q两点间的距离为m.
答案900
解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－
∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.
二、测量高度问题
例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为
m.
答案30＋30 3
解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－
cos 45°sin 30°＝
2
2×
3
2
－2
2×
1
2
＝
6－2 4
，
由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°
， 所以PB ＝12×606－2
4
＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋
2)×
22
＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题
例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－
2AB ·ACcos 120°，
所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.
又由正弦定理得
sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC
＝5×327＝5314
， 所以∠ABC ＝38°，
又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形
与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.
