2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型
基础巩固强化
一、选择题
1．已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析]
⎭⎪⎬⎪
⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错；
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题．
2．(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A.13
B.1
2 C.2
3 D.3
4 [答案] C
[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．
其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件， ∴所求概率为P ＝46＝23
.
(理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )
A.112
B.1
18 C.136 D.7108 [答案] A
[解析] 连续抛掷三次共有63＝216(种)情况，记三次点数分别为a 、b 、c ，则a ＋c ＝2b ，所以a ＋c 为偶数，则a 、c 的奇偶性相同，且a 、c 允许重复，一旦a 、c 确定，b 也唯一确定，故a ，c 共有2×32＝18(种)，所以所求概率为18216＝1
12
，故选A.
3．(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
A.12
B.13
C.14
D.25
[答案] A
[解析] P ＝2×2＋2×24×4
＝1
2.
(理)(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )
A.1
5 B.310 C.25
D.12
[答案] C
[解析] P ＝C 23＋C 2
2C 25
＝2
5.
4．(文)(2013·郑州第一次质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形的内切圆区域有豆4009颗，则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( )
A ．3.13
B ．3.14
C ．3.15
D ．3.16
[答案] A
[解析] 根据几何概型的定义有π·(1
2)2
1＝4009
5120
，得π≈3.13.
(理)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为( ) A.1
4 B.12 C.π4
D ．π
[答案] C
[解析] 由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|P A |<1，根据几何概型可知，动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为
S 扇形ABD S 正方形ABCD ＝π
4
，故选C.
5．(文)(2013·石家庄质检)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )
A.14
B.13
C.12
D.32
[答案] C
[解析] 如图，设圆的半径为r ，圆心为O ，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为M ，若CD 为圆内接正三角形的一条边，则O 到CD 的距离为r
2，设EF 为与CD 平行且到圆
心O 距离为r
2的弦，交直径AB 于点N ，所以当过AB 上的点且垂直于AB 的弦的长度超过CD 时，该
点在线段MN 上移动，所以所求概率P ＝r 2r ＝1
2
，选C.
(理)(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD
AB
＝( )
A.1
2 B.14
C.
32 D.74
[答案] D [解析]
由题意知AB >AD ，如图，当点P 与E (或F )重合时，△ABP 中，AB ＝BP (或AP )，当点P 在EF 上运动时，总有AB >AP ，AB >BP ，由题中事件发生的概率为1
2知，点P 的分界点E 、F 恰好是边CD
的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝AF 2＝(34AB )2＋AD 2，解得(AD AB )2＝716，即AD AB ＝7
4
，故选D.
6．(2013·武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为( ) A.1
8 B.78 C.14
D.34
[答案] C
[解析] 设这两个数分别为x ，y ，则由条件知02×2
＝1
4.
二、填空题
7．(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，设向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎤0，π
2的概率是________． [答案]
7
12
