最新高考数学二轮精品复习资料-专题-三角函数(教师版)

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

江苏省高三数学二轮复习内部资料（第2版）1专题1 三角函数班级 学号 姓名【高考趋势】三角函数的图象与性质所涉及的内容，在高考中主要以填空题的形式出现，有时也会在高考的解答题中出现。

解决这类问题要注意三角函数图象的性质：正弦函数、余弦函数的有界性，正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、奇偶性、周期性。

另外，由于新课程中增加了三角函数的导数，所以我们有时也可以利用导数研究三角函数的性质。

【考点展示】1. 设α为锐角，若54)6cos(=+πα，则)122sin(πα+的值为 . 2. 函数x x x f cos )tan 31()(+=的最大值为 . 3. 为得到函数)3sin(π+=x y 的图象，可将函数x y sin =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（n m ,均为正数），则n m -的最小值是 . 4. 定义在区间)2,0(π上的函数x y cos 6=的图象与x y tan 5=的图象的交点为P ，过点P 作x PP ⊥1轴于点1P ，直线1PP 与x y sin =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为 . 5. 若函数)10(sin 2)(<<=w wx x f 在区间]3,0[π上的最大值是2，则=w .6. 若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当1212172,,,123x x x x ππ⎛⎫∈--≠⎪⎝⎭时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于 . 【样题剖析】题型一 与函数s i n()(0,y A x A ωϕω=+＞＞图像有关的问题例1 已知函数.2sin 211)(),12(cos )(2x x g x x f +=+=π（1）设0x x =是函数)(x f y =的图象的一条对称轴，求)(0x g 的值 （2）求函数)()()(x g x f x h +=的单调递增区间例 2 已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图象关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ϕω,的值 （2）若),326(43)2(παπα<<=f 求)23cos(πα+的值题型二 化简求值 例3 求下列各式的值：（1）cos 43cos77sin 43cos167oooo+; （2【变式】计算：0210sin 110sin 8+的值为 .例4 已知4sin ,52πθθπ=，（1）求tan θ的值； （2）求222sin 2sin cos 3sin cos θθθθθ++的值；题型三 给值求角例5 若tanα＝17，tanβ＝13，且α，β∈(0，π)，求α+2β的值．【变式】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则2αβ-=______________.例6 ,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 2βα⎛⎫- ⎪⎝⎭，1sin 22αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求αβ+的值．题型四 综合应用例7 在ABC ∆中，已知.32,3==BC A π设x B =,ABC ∆的周长为y ，面积为S.(1)求函数)(x f y =的解析式和定义域，并求y 的最大值； (2)求函数)(x g S =的解析式和定义域，并求S 的最大值例8 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两个端点M ，N 分别位于边AB ，BC 上.设EMN l MN MNB ∆==∠,,θ的面积为S （1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围 （2）求l 的最小值及此时θsin 的值（3）当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值【总结提炼】三角函数的性质主要涉及正弦函数、余弦函数的有界性，正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、奇偶性、周期性。

题型专题(十一) 三角函数的图象与性质[师说考点]1．三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x(其中r ＝x 2＋y 2)． 2．利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)3．基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin x cos x.[典例] (1)(2016·广州模拟)已知cos(θ＋π)＝－13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝________. [解析] 因为cos(θ＋π)＝－13，所以cos θ＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝－79.[答案] －79(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4，3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．[解析] 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.[答案] －34[类题通法]应用三角函数的定义和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．[演练冲关]1．已知点P⎝⎛⎭⎪⎫sin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( ) A.π4B.3π4C.5π4D.7π4解析：选D tan θ＝cos3π4sin3π4＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π4>0，cos3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0，2π)，所以θ＝7π4.2．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin（π＋θ）sin⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________.解析：因为1－2sin（π＋θ）sin⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝（sin θ－cos θ）2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.答案：sin θ－cos θ[师说考点]函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换[典例] (1)(2016·全国甲卷)函数y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 [解析] 选A 由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)(2016·全国乙卷)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 [解析] 选D 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期，即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.[类题通法]解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(如例(1))(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(如例(2))[演练冲关]1．(2016·西安质检)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π12B ．x ＝π12C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：选D 将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin(12x ＋π6)的图象，由12x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，∴当k ＝0时，函数图象的对称轴为x ＝2π3.2．(2016·贵州模拟)将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则φ＝( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：选A 将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ≤π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0<φ≤π2，所以φ＝π6，选项A 正确．3.(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，取k ＝0，则φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 3[师说考点]1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．三角函数的奇偶性、对称轴方程y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．[典例] (2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x ·sin(π2－x )·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．[类题通法]三角函数的单调性、周期性及最值的求法(1)三角函数单调性的求法求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间的一般思路：令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)三角函数周期性的求法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期为T ＝π|ω|.(3)三角函数最值的求法在求最值时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f (x )的最值．[演练冲关]1．(2016·全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.2．(2016·兰州模拟)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称解析：选B 由题意可得将f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位得到g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos(π2－2x )＝sin 2x 的图象，因为函数g (x )为奇函数，所以排除C ，又当x＝π2时函数值为0，当x ＝3π8时，函数值为22，所以A 和D 中对称的说法不正确，选B. 3．(2016·重庆模拟)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6解析：选A 依题意得，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，选A.三角函数与其他知识的交汇三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．[典例] (1)已知方程|cos x |x＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α<β)，则下列的四个命题正确的是( )A ．sin 2α＝2αcos 2α B ．cos 2α＝2αsin 2α C ．sin 2β＝－2βsin 2β D ．cos 2β＝－2βsin 2β[解析] 选C 依题意y ＝|cos x |与y ＝kx 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，如图，设直线y ＝kx 与y ＝－cos x 的切点B (β，－cos β)，与y ＝cos x 的一个交点为A (α，cos α)，又y ′＝(－cos x )′＝sin x ，依题意y ′|x ＝β＝sin β，∴k ＝sin β，又－cos β＝kβ， ∴cos β＝－βsin β， ∴2sin βcos β＝－2βsin 2β， 即sin 2β＝－2βsin 2β.(2)(2016·合肥质检)存在实数φ，使得圆面x 2＋y 2≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πkx ＋φ图象的最高或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________．[解析] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πkx ＋φ的图象的最高点或最低点一定在直线y ＝±1上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±1，x 2＋y 2≤4，解得－3≤x ≤3，由题意可得：T ＝2ππk＝2k ，T ≤23<2T ，解得正数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3. [答案] ⎝⎛⎦⎥⎤32，3 [类题通法]解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质，如本例(2)，可利用三角函数的周期性结合x 的范围列出不等关系求解，而本例(1)应利用数形结合思想．[演练冲关]1．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选D 当1≤n ≤24时，a n >0，当26≤n ≤49时，a n <0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值；当51≤n ≤74时，a n >0；当76≤n ≤99时，a n <0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值．故当1≤n ≤100时，均有S n >0.2．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0，2π]上的零点个数为________．解析：由已知得f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的周期为π，即2πω＝π，得ω＝2，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当f (x )＝0时，2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，则当x ∈[0，2π]时f (x )有4个零点．答案：4一、选择题1．(2016·合肥质检)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.2．(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1 D.1625解析：选A 因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425.故选A.3．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解析：选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.故选B.4．(2016·湖南东部六校联考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3解析：选A 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，结合各选项知函数的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π3，π6.5．(2016·山西质检)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|<π2)的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32 D ．1 解析：选C 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴2x 1＋π3∈(0，π)，2x 2＋π3∈(0，π)，∴2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选C.6．(2016·河北三市联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，|φ|≤π2)，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π，若f (x )>1，对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 解析：选B 由已知得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ，2π3＋φ，∵f (x )>1，|φ|≤π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－π6＋φ≥0，2π3＋φ≤π，解得π6≤φ≤π3.二、填空题7．已知α为第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－33，则tan α的值为________．解析：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，∴sin α＝33，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－63，∴tan α＝sin αcos α＝－22.答案：－228．(2016·重庆模拟)将函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再向上平移1个单位后，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，则φ的最小值为________． 解析：依题意，将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向右平移φ个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －φ＋π3的图象，再向上平移1个单位得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ＋π3＋1的图象，又该图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，于是有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ＋π3＋1＝1，即sin(7π12－φ)＝0，φ－7π12＝k π，k ∈Z ，φ＝k π＋7π12，k ∈Z ，因此正数φ的最小值是7π12. 答案：7π129．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤12·2πω，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案：π2三、解答题10．(2016·合肥质检)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ，即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.11．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域． 解：(1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． (2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝ －33cos 2x 的图象，即g (x )＝－33cos 2x . 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，可得cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以g (x )＝－33cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36，即函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36. 12．(2016·湖北七市联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )．(1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x ＝22(12sin x ＋32cos x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22， 即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z . 于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12. (2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z .由于y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，k ∈Z ，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。

专题1 三角函数与平面向量三角函数与平面向量是高考的一个重点；三角函数高考题 型大致事分为：三角函数的单调性、三角函数图象、同角变换与诱导 公式、求三角函数的值与化简，与周期性和对性有关的问题；解三角形问题。

向量作为一项工具将广泛应用，特别是与解析几何、函数、三角、立体几何的有机结合，向量与平面几何结合的选择题 、填空题是高考的一个亮点。

第一课时 三角变换学习目标：掌握同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式，会利用概念进行求值与化简。

考题领路：1．已知：tan 3α=，则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+=-+-____________（ ）2． 已知cos()sin 6παα-+=则7sin()6πα+的值为：（ ） (A)15 (B)15- (C)135 (D) 135-3．（2008某某）若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54典例探索：【例1】已知1tan 2θ=-，则222sin 3sin cos 5cos θθθθ--的值是。

A ．1B ．125-C ．－1或1D ．1、解析：2、变式：πα1已知tan(+)=42. (1) 求tan α的值； (2) 求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值。

【例2】已知α为第二象限角，且cos sin222αα+=-，求sincos22αα-和sin 2cos2αα+的值。

1、解析：2、变式：（2008某某）已知3cos()(,)41024x x πππ-=∈. （1） 求sin x 的值； （2） 求sin(2)3x π+的值。

整合提升1、三角函数的求值一般有三种类型：①“给角求值”，②“给值求值”，③“给值求角”，因此在求值过程中，要依据条件与求的式子中角、名、结构形式的差异找到化简、求值的突破口。

高三数学第二轮三角函数专题复习资料考点一：三角函数的概念例1、若角α的终边经过点P (12),则 2α的值为 . 解：222tan 4tan 2,tan 2.11tan 3αααα-==-∴==- 点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。

考点二：同角三角函数的关系例２、若cos 2sin αα+=则tan α=( ) （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 解：由cos 2sin αα+=cos 2sin αα=， 又由22sincos 1αα+=，可得：2sin α＋（2sin α）2＝1可得αsin ＝－552，cos 2sin αα=＝－55，所以，tan α＝ααcos sin ＝2。

例3、）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-解：由5tan 12α=-，所以，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1cos sin 125cos sin 22αααα，α是第四象限角，解得：sin α=513- 考点三： 诱导公式 例4、若==+θθπ2cos ,53)2sin(则 . 解：由3sin()25πθ+=可知，3cos 5θ=；而2237cos 22cos 12()1525θθ=-=⨯-=-。

考点四：三角函数的图象和性质例5、设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<解：2sin 7a π=，因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 7772πππ<<<<，选D ．例6、函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）解： ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos x 的值域可以确定.因此本题应选A.例7、把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 解：sin x3π−−−−−−→向左平移个单位sin()3y x π=+12−−−−−−−→横坐标缩短到原来的倍sin(2)3y x π=+，故选（C ）。

专题一三角函数与平面向量建知识网络明内在联系高考点拨] 三角函数与平面向量是高考高频考点，常以“两小一大〞形式呈现，两小题主要考察三角函数图象与性质与平面向量内容，一大题常考察解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题〞“解三角形〞“平面向量〞三条主线分门别类进展备考．突破点1 三角函数问题(1)函数y ＝A 低点确定A ，利用周期确定ω，利用图象某一点坐标确定φ.(2)三角函数图象两种常见变换(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得，对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π，(k ∈Z )解得．(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得，对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )解得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )解得，无对称轴.(1)cos 2θ＝tan 45°等．(2)项分拆与角配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦.(1)y ＝a sin x y 转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 其中tan φ＝ba形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数最值问题转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 最值问题，然后利用三角函数图象与性质求解．(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数最值：可利用降幂公式sin 2x ＝1－cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，将y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 转化整理为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C ，这样就可将其转化为(1)类型来求最值．回访1 三角函数图象问题1．(2021·全国甲卷)假设将函数y ＝2sin 2x 图象向左平移π12个单位长度，那么平移后图象对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )B 将函数y ＝2sin 2x 图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6图象．由2x ＋π6＝kx ＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．]2．(2021·全国卷Ⅰ)图1­1如图1­1，圆O 半径为1，A 是圆上定点，P 是圆上动点，角x 始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 距离表示成x 函数f (x )，那么y ＝f (x )在0，π]图象大致为( )B 如下图，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2时，那么P (cos x ，sin x )，M (cos x,0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，那么|MM ′||OM |＝sin x ，∴f xcos x ＝sin x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，那么当x ＝π4时，f (x )max ＝12；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π时，有f x |cos x |＝sin(π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项图象符合．] 回访2 三角函数性质问题3．(2021 ·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)局部图象如图1­2所示，那么f (x )单调递减区间为( )图1­2A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D 由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .应选D.] 4．(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π18，5π36上单调，那么ω最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5B 因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图象对称轴，所以T4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫π18，5π36上单调， 所以π12≤12×2πω，即ω≤12.假设ω＝11，又|φ|≤π2，那么ω＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件．假设ω＝9，又|φ|≤π2，那么φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫π18，5π36上单调条件．应选B.] 5．(2021·全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，那么cos θ＝________.－255 ∵f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎪⎫15sin x －25cos x ， 设15＝cos α，25＝sin α，那么y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)． ∵x ∈R ，∴x －α∈R ，∴y max ＝ 5. 又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.]回访3 三角恒等变换6．(2021 ·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32B.32C ．－12D.12D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，应选D.]7．(2021·全国甲卷)假设cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35，那么sin 2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15D ．－725D 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.]热点题型1 三角函数图象问题题型分析：高考对该热点考察方式主要表达在以下两方面：一是考察三角函数解析式求法；二是考察三角函数图象平移变换，常以选择、填空题形式考察，难度较低.(1)(2021·山西四校联考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到图象关于y 轴对称，那么m 最小值是( )A.π6 B.π12C.π3D.5π6(2)(2021·衡水中学四调)A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内图象上四个点，如图1­3所示，A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上点，C 为图象上最低点，E 为该图象一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上投影为π12，那么( )图1­3A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6(1)A(2)A(1)设f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3＋x ，向左平移m 个单位长度得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋m ＋π3.∵g (x )图象关于y 轴对称，∴g (x )为偶函数，∴π3＋m ＝π2＋k π(k ∈Z )，∴m ＝π6＋k π(k ∈Z )，又m ＞0，∴m 最小值为π6.(2)由题意可知T 4＝π6＋π12＝π4，∴T ＝π，ω＝2ππ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＋φ＝0,0＜φ＜π2，∴φ＝π3，应选A.]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2；(2)ω由周期确定；(3)φ由图象上特殊点确定．提醒：根据“五点法〞中零点求φ时，一般先依据图象升降分清零点类型．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中自变量x 而言，如果x 系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换单位长度与方向．变式训练1] (1)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6图象，可以将函数y ＝cos 2x 图象( )【导学号：85952021】A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度(2)(2021·江西八校联考)函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)局部图象如图1­4所示，那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)值为( )图1­4A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－2(1)B (2)A (1)∵y ＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2，∴y ＝cos 2x 图象向右平移π3个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6图象．应选B.(2)由题图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x .∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 016＝8×252，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝0.]等，是高考重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等.(2021·天津高考)函数f (x )＝4tanx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4上单调性． 解] (1)f (x )定义域为xx ≠π2＋k π，k ∈Z .1分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3.4分 所以f (x )最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，那么函数y ＝2sin z 单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4，B ＝x －π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，π4.10分 所以当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，－π12 研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质“两种〞意识1．转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 形式．2．整体意识：类比于研究y ＝sin x 性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中“ωx ＋φ〞看成y ＝sin x 中“x 〞代入求解便可．变式训练2] (1)(名师押题)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )图象．关于函数g (x )，以下说法正确是( )A ．在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2上是增函数B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，23π时，函数g (x )值域是－2,1] (2)函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，假设⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π5，5π8是f (x )一个单调递增区间，那么φ取值范围为( )【导学号：85952021】A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π10，－9π10 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9π10，4π4 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π10，π4 D.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，π10∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，＋∞ (1)D (2)C (1)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )图象沿x轴向左平移π6个单位，得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 对于A ，由x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2可知2x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π，故g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2上是减函数，故A 错；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＝0，故x ＝－π4不是g (x )对称轴，故B 错；又g (－x )＝2cos 2x ＝g (x )，故C 错；又当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，4π3，故g (x )值域为－2,1]，D 正确． (2)令2k π＋π2＜2x ＋φ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4－φ2≤x ≤k π＋3π4－φ2，k ∈Z ，所以函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π4－φ2，k π＋3π4－φ2上单调递增． 因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π5，5π8是f (x )一个单调递增区间， 所以5π8≤k π＋3π4－φ2，且k π＋π4－φ2≤π5，k ∈Z ，解得2k π＋π10≤φ≤2k π＋π4，k ∈Z ，又|φ|＜π，所以π10≤φ≤π4.应选C.]热点题型3 三角恒等变换题型分析：高考对该热点考察方式主要表达在以下两个方面：一是直接利用与、差、倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考察y ＝A sin ωx ＋φ有关性质.(1)(2021·江西八校联考)如图1­5，圆O 与x 轴正半轴交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α，假设|BC |＝1，那么3cos 2α2－sin α2cos α2－32值为________．图1­5(2)函数f (x )＝sin 25x 6－cos 25x 6＋23sin 5x 6·cos 5x 6＋λ图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，0，那么函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，3π10上最大值为________． (1)513(2)3－2 (1)由题意可知|OB |＝|BC |＝1，∴△OBC 为正三角形．由三角函数定义可知，sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α＝513，∴3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝31＋cos α2－sin α2－32＝32cos α－12sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α＝513.(2)f (x )＝sin 25x 6－cos 25x 6＋23sin 5x 6·cos 5x 6＋λ＝－cos5x 3＋3sin 5x 3＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x 3－π6＋λ. 由f (x )图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，0，得λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53×π4－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫53x －π6－ 2.因为0≤x ≤3π10，所以－π6≤5x 3－π6≤π3.因为y ＝sin x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π3上单调递增， 所以f (x )最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π10＝2sin π3－2＝3－ 2.]1．解决三角函数式化简求值要坚持“三看〞原那么：一看“角〞，通过看角之间差异与联系，把角进展合理拆分；二是“函数名称〞，是需进展“切化弦〞还是“弦化切〞等，从而确定使用公式；三看“构造特征〞，了解变式或化简方向．2．在研究形如f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx 函数性质时，通常利用辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)把函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)形式，通过对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质研究得到f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx 性质．变式训练3] (1)(2021·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，那么( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋2π3等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(1)B (2)C (1)法一：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， ∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， 由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ， ∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2，应选B.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.]。

高三数学第二轮三角函数专题复习资料【基础自测】1．已知21cos cos ,31sin sin =--=-βαβα，求)cos(βα-的值. 2．已知1312)4sin(,53)sin(),,43(,=--=+∈πββαππβα，求)4cos(πα+的值. 3．求000098tan 22tan 98tan 22tan 3--⋅ 的值. 4．已知,0cos 2sin =+αα求下列各式的值 （1）αααα22cos 5cos sin 3sin 2-- (2)ααααcos sin cos sin -+5．已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 3cos sin 2sin 22 (1) 求函数的单调递增区间（2）该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 考点一：三角函数的概念例1．若角α的终边经过点),2,1(-P 则tan 2α的值为 . 考点二：同角三角函数的关系例2．若cos 2sin αα+=则tan α=( )（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 例3．α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ）A ．15B ．15-C ．513D ．513-考点三： 诱导公式 例4．若==+θθπ2cos ,53)2sin(则 .例5．计算00000015sin 8sin 7cos 15cos 8sin 7sin -+例6．计算)10tan 31(50sin 00+ 考点四：三角函数的图象和性质例7．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<例8．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）例9．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 例10．已知⎪⎭⎫⎝⎛3∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4,2,1024cos πππx x .（Ⅰ）求x sin 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πx 的值. 例11．已知函数2π()sinsin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．例12．已知函数()tan(2),4f x x π=+，（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小． 考点五：三角恒等变换例13．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-=（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0)(πx x f 在的值域. 例14．已知向量a ＝(cos 23x ，sin 23x )，b ＝(2sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，2π]．（1）求ba + （2）设函数b a x f +=)(+b a⋅，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。

专题06 三角函数的图像与性质1.三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)( A >0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．1．任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)弧长公式：l ＝|α|r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．诱导公式公式一sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α公式二sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α公式三sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α4.同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x ＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)． 对称轴：x ＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0、π2、π、3π2、2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点连线可得．考点一 三角函数图象及其变换例1、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3【答案】A且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.优解：代入特殊点检验排除． 当x ＝π3，y ＝2时，排除B ，D.当x ＝－π6，y ＝－2时，排除C ，故选A.(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．【答案】23π【解析】通解：化简后平移函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【方法规律】1．已知图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的方法 (1)求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，已知函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)，或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.2．三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点； (2)看左右移动方向，左“＋”右“－”；(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.【变式探究】1．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z，故选D.考点二 三角函数性质及应用例2、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) 【答案】B【解析】通解：写出解析式求对称轴．函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，令2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，故选B.优解：由对称轴平移得对称轴．y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位长度得x ＝π4－π12＋k 2π＝k π2＋π6.(k ∈Z)，故选B.(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】B【方法技巧】 求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 1．求单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．三角函数的周期的求法 (1)定义法；(2)公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (3)利用图象．【变式探究】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增考点三 三角函数的图象与性质的综合应用例3、已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，32. (1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期；(2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝536，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3的值．解：(1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＋32【方法技巧】三角函数解析式化简的基本思路1．将“sin x cos x ”化为12sin 2x ，将sin 2x 或cos 2x 降幂．2．函数解析式成为“a sin x ＋b cos x ”后，利用辅助角公式化为a 2＋b 2sin(x ＋φ)，⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2.3．利用整体思想，对于a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的三角函数． 视“ωx ＋φ”为整体，利用sin x 的性质来求解．【变式探究】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调增区间．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b ＞0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋1112π＝5912π.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15【解析】选A.解法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65.所以选A.1.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A ）31010 （B ）1010（C ）1010 （D ）31010【答案】C2.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.3.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.【2016年高考四川文数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π5.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 6.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B7.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 8.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 9.【2016高考浙江文数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B10.【2016高考山东文数】函数f （x ）=3sin x +cos x ）3x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 11.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 12.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B13.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 14.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 15.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A 310 （B 10（C ）1010 （D ）31010【答案】C16.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.17.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【2015高考新课标1，文2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）3-（B 3（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =osin30=12，故选D. 【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 【2015高考福建，文19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,．（1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos )1.5m ( 【答案】(Ⅰ) f()2sin x x ，(kZ).2xk；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到当1m<5时，+=2(),2();2当5<m<1时, 3+=2(),32();2所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m m (【2015高考山东，文16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆ 23+ 【解析】（I ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【2015高考重庆，文9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C . 【2015高考山东，文3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【2015高考新课标1，文8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 【答案】A【考点定位】三角函数图像、辅助角公式2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角． 3. 【2014辽宁高考文第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B【考点定位】函数sin()yA x ωϕ=+的性质.4. 【2014四川高考文第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A.【考点定位】三角函数图象的变换.5. 【2014全国1高考文第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）POAM【答案】CPOAMD POAM D【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象．6. 【2014高考北卷文第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .【答案】π【解析】由)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且)6()2(ππf f -=知，函数)(x f 的对称中心为)0,3(π，由)32()2(ππf f =知函数)(x f 的对称轴为直线127)322(21πππ=+=x ，设函数)(x f 的最小正周期为T ，所以，6221ππ-≥T ，即32π≥T ，所以43127T =-ππ，解得π=T . 【考点定位】函数)sin()(ϕω+=x A x f 的对称性、周期性， 7. 【2014高考安徽卷文第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.【答案】83π【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质.8. 【2014浙江高考文第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】Ｄ【解析】sin 3cos3234y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故只需将23y x =向左平移4π个单位．【考点定位】三角函数化简,图像平移.9. 【2014陕西高考文第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】B【解析】由周期公式2T w π=，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ==，故选B . 【考点定位】三角函数的最小正周期.10. 【2014大纲高考文第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .【答案】(],2-∞．【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫'=-+=-+=-+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【考点定位】三角函数的单调性11. 【2014高考江西文第16题】已知函数()sin()cos(2)f xx a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈-（1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.【答案】（1最小值为-1. （2）1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩【考点定位】三角函数性质12. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝2cos x(sin x ＋cos x)． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间．【解析】思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f(x)＝2sin xcos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.[]由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得k π－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.13. (2014·北京卷)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0、y 0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．。

高考数学第二轮专题复习三角函数教案一、本章知识结构：应用一．理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

二．掌握三角函数公式的运用〔即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式〕三．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

四．会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法〞画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A、ω、 的物理意义。

五．会由三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示角。

三、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题〔1〕与三角函数单调性有关的问题；〔2〕与三角函数图象有关的问题；〔3〕应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；〔4〕与周期有关的问题3.基本的解题规律为：观察差异〔或角，或函数，或运算〕，寻找联系〔借助于熟知的公式、方法或技巧〕，分析综合〔由因导果或执果索因〕，实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4.立足课本、抓好基础.从前面表达可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。

高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)一、基础知识回顾三角函数是高中数学中的重要内容之一。

在这个专题中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、性质以及相互之间的关系。

1. 三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三角函数的概念。

对于一个角A，定义了三个比值：正弦函数sinA=对边/斜边，余弦函数cosA=邻边/斜边，正切函数tanA=对边/邻边。

2. 三角函数的周期性我们知道，三角函数具有周期性。

例如，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。

这意味着在一个周期内，三角函数的值是重复的。

这种周期性使得三角函数在实际问题中具有广泛的应用。

3. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质。

例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，即f(x)=f(-x)；正切函数是奇函数，即f(x)=-f(-x)。

此外，三角函数还具有增减性和界值性质。

二、三角函数的图像与性质下面我们将进一步讨论三角函数的图像与性质。

通过对三角函数图像的分析，我们能够更好地理解三角函数的特点和性质。

1. 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振动范围在[-1,1]之间。

正弦函数的图像关于y轴对称，且在0点处取得最小值。

我们可以通过调整系数来改变正弦函数的振幅和周期。

2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振动范围也在[-1,1]之间。

与正弦函数不同的是，余弦函数的图像关于x轴对称，且在0点处取得最大值。

同样地，我们可以通过系数调整来改变余弦函数的振幅和周期。

3. 正切函数的图像与性质正切函数的图像是一条连续的曲线，其值在整个实数轴上变化。

正切函数在某些点上没有定义，这些点是函数的奇点。

我们可以通过系数调整来改变正切函数的振幅和周期。

三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用。

在这一部分，我们将介绍一些常见的三角函数应用，并通过例题来加深理解。

三角函数 [诱导公式]1. Sin(-1050°)=_______；cos(-780°)=________2. ______)330cos(480-sin 315sin 的值为）（︒-+︒+︒3. _______-23sin 35)-2cos(=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααπ，则π4. _______-45sin 234-sin ）的值为π（，则）π（已知αα=5.已知角α终边上有一点P(1，2),则_________-cos 23cos -2sin -)-2sin(=++）（π）π（）π（παααα6.若_______-sin 0,2-35-2cos(=∈=）（π），则π（，且）πααα7.已知_______tan 23253)2cos(=∈=+ααα），则π，π（，且π8.已知α是第二象限的角，________sin 125)-tan(==αα，则π9._______tan 51)45tan(==-αα，则π[正弦函数]1.利用正弦线可以作出y ＝s in x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R )的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线.2.“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0).3.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期. 4.正弦函数的性质习题1.函数y ＝sin|x |的图象是( )2.求下列函数的单调区间、对称轴、对称中心和周期： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (2)y ＝|sin x |.3.已知函数f (x )＝sin x －1. (1)写出f (x )的单调区间；(2)求f (x )的最大值和最小值及取得最值时x 的集合； (3)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12的大小.4.求函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 的值域5.比较大小：(1)sin 250°与sin 260°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.[正弦型函数]1．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π，初相为φ，值域为[－|A |，|A |]，|A |也称为振幅，|A |的大小反映了y ＝A sin(ωx ＋φ)的波动幅度的大小.3．A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响 （1）φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响：（2）ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的影响：（3）A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响：（4）用“变换法”作图：y ＝sin x 的图象――→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.7.要得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将y ＝3sin 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π8个单位D.向右平移π8个单位8.sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，则所得图象的解析式为( )A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 B.y ＝－sin 2xC.y ＝cos 2xD.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π410.为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象上所有的点：∈向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)； ∈向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)； ∈向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)； ∈向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)， 其中正确的是________.11.函数2sin(4)3y x π=-的最小正周期是（ ）．A ．πB ．2πC ．2πD ．4π12.函数)32sin(3π-=x y 的图象为C ，：∈图象C 关于直线π1211=x 对称;∈函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数;∈由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中正确论断的个数为A ．0B ．1C ．2D ．313.如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则它的一个解析式为( )A ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4C ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3D ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π314.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的部分函数图象如图所示，求此函数的解析式.15.以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A.在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同B.关于x 轴对称C.介于直线y ＝1和y ＝－1之间D.与y 轴仅有一个交点16.下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )17.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A.0B.1C.－1D.218.将函数y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C.y ＝sin 12x D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π619.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的表达式是( )A.y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7x －π6B.y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7x ＋π6C.y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7x ＋π42D.y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7x －π4220.已知函数15()sin(2)264f x x π=++（1）求()f x 的最小正周期及单调区间；（2）求()f x 的图像的对称轴和对称中心．21.已知函数f(x)= Asin(ωx+φ)(x∈R, ω>0，0<φ<π2)的部分图像如图所示.(1)求函数f（x)的解析式；(2)求f（x)在区间[-π2,0]上的值域.[余弦函数]1．余弦函数的图象把正弦函数y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度就得到余弦函数y＝cos x的图象，该图象叫做余弦曲线.2．余弦函数的性质：3＞0)的周期T ＝2πω.1.求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递减区间.2.已知函数y 1＝a －b cos x 的最大值是32，最小值是－12,求函数y ＝－4a sin 3bx 的最大值和对称中心.[正切函数]1．正切函数的图象：y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图象，2．正切函数的图象叫做正切曲线.3．正切函数的图象特征：正切曲线是由通过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈Z )且与y 轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成.4．函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质表：⎧⎫ π5．函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是π|ω|. 习题1.求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间2.比较tan 1，tan 2，tan 3的大小.。

1．高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题．2．解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉．一、三角函数1．公式（1）扇形的弧长和面积公式如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是l rα=．相关公式：①l =|α|r②21122S lr r α==（2）诱导公式：正弦余弦正切α+k ⋅2πsin αcos αtan αα+π―sin α―cos αtan α―α―sin αcos α―tan απ―αsin α―cos α―tan α2πα+cos α―sin α2πα-cos αsin α32πα+―cos αsin α32πα-―cos α―sin α（3）同角三角函数关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin tan cos ααα=（4）两角和与差的三角函数：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α―β)=sin αcos β―cos αsin βcos(α+β)=cos αcos β―sin αsin βcos(α―β)=cos αcos β+sin αsin βtan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（5）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-（6）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=2．三角函数性质性质y =sin x ，x ∈Ry =cos x ，x ∈R奇偶性奇函数偶函数单调性在区间()2,222k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是增函数，在区间()32,222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是减函数在区间[―π+2kπ，2kπ](k ∈Z )上是增函数，在区间[2kπ，π+2kπ](k ∈Z )上是减函数最值在()22x k k ππ=+∈Z 时，y max ；在()22x k k ππ=-∈Z 时，y min在x =2kπ(k ∈Z )时，y max ；在x =2kπ+π(k ∈Z )时，y min对称中心(kπ，0)(k ∈Z )(),02k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z x =kπ(k ∈Z )正切函数的性质图象特点定义域为{|,}2x x k k ππ≠+∈Z 图象与直线2x k k ππ=+∈Z ，没有交点最小正周期为π在区间,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，上图象完全一样在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是增函数图象在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是上升的对称中心为,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，图象关于点,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，成中心对称3．函数y =A sin(ωx +φ)的图象及变换（1）φ对函数y =sin(x +φ)的图象的影响（2）ω(ω>0)对y =sin(ωx +φ)的图象的影响（3）A(A >0)对y =A sin(ωx +φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义（2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；；变形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在中，已知，和角时，解得情况如下：为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，，无解．为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos 356πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则x 0=（ ）ABCD【答案】C【解析】∵,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴,636πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又3cos 65πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以,063ππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴0cos cos cos cos sin sin 666666x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=-⨯=，故选C ．【点评】本题容易忽视6πα+的范围，而导致sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭出错．2．已知 tan 2θ―4tan θ+1=0，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C（70分钟）经典训练题【解析】由 tan 2θ―4tan θ+1=0，可得1tan 4tan θθ+=，所以sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4cos sin θθθθ+=⋅，即1cos sin 4θθ⋅=，211cos 2121sin 212sin cos 124cos 422224πθπθθθθ⎛⎫++-⨯⎪--⎛⎫⎝⎭+===== ⎪⎝⎭，故选C ．【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有1tan 4tan θθ+=，从而可得1cos sin 4θθ⋅=，由21cos 21sin 22cos 422πθπθθ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭12sin cos 2θθ-=可解，属于中档题．3．已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)，(0,2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫⎪⎝⎭，5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．―2B ．2C ．―3D ．―1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π，则1ω=，∴f (x )=2sin(x +φ)，将点,14A π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-，则()2sin 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=，故选A ．【点评】本题主要考了三角函数图象，以及三角函数的性质和三角函数图象的变换，属于中档题．4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，sin cos sin CA B<变形为sin C <sin B cos A ，由内角和定理可得sin(A +B)<cos A sin B ，化简可得：sin A cos B <0，∴cos B <0，所以2B π>，所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．5．（多选）已知函数f(x)=3sin x +sin 3x ，则（ ）A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数且最小正周期为2πC ．f(x)的值域是[―4，4]D ．当x ∈(0，π)时，f(x)>0【答案】ABD【解析】A ．f (―x )=3sin(―x )+sin(―3x )=―3sin x ―sin 3x =―f (x )，故f(x)是奇函数，故A 正确；B ．因为y =sin x 的最小正周期是2π，y =sin 3x 的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是f(x)的最小正周期，故B 正确；C ．分析f(x)的最大值，因为3sin x ≤3，sin 3x ≤1，所以f(x)≤4，等号成立的条件是sin x =1和sin 3x =1同时成立，而当sin x =1，即()22x k k ππ=+∈Z 时，()3362x k k ππ=+∈Z ，sin 3x =―1，故C 错误；D ．展开整理可得()2()3sin sin cos 2cos sin 2sin 4cos 2f x x x x x x x x =++=+，易知当x ∈(0，π)时，f(x)>0，故D 正确，故选ABD ．【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．二、解答题．6．已知m =(2sin x ，sin x ―cos x )，n =(3cos x ，sin x +cos x )，函数f(x)=m ⋅n ．求函数f(x)的最大值以及取最大值时x 的取值集合．【答案】f(x)的最大值为2，,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【解析】()()()cos sin cos sin cos f x x x x x x x =⋅=+-+m n2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数f(x)的最大值为2，当2262x k πππ-=+，即,3x k k ππ=+∈Z 取得，即集合为,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【点评】本题与向量的坐标运算结合，考查三角函数的最值，属于基础题．7．已知函数2()cos 222x x x f x =+-．（1）求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．【答案】（1）[―2，2]；（2）5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）()2cos 2sin(2224x x x f x x x x π=+-==+，令4U x π=+，∵x ∈[0，π]，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知，sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数f(x)的值域为[―2，2]．（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>，∵f(ωx)=3，2sin(4x πω∴+=，即sin()4x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ，由于方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为f(x)=A sin(ωx +φ)，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．8．已知函数f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥．【解析】（1）f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1cos 21133212cos 2sin 222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，∴f(x)的为最小正周期22T ππ==，值域为()15,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）记f(x)=t ，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由f 2(x)―k ⋅f(x)―2≤0恒成立，知t 2―kt ―2≤0恒成立，即kt ≥t 2―2恒成立，∵t >0，∴222t k t t t-≥=-．∵()2g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，max 5541722510g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴k 的取值范围是1710k ≥．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ．（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为，求a +b +c 的最小值．【答案】（1）13；（2）4+．【解析】（1）由3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ，∵A +B +C =π，所以228(sin sin )sin sin sin 3B C A B C +=+，由正弦定理可得228()3b c a bc +=+，则22223b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 23b c a A bc +-==．（2）由1cos 3A =，得sin A =，∵1sin 2ABC S bc A ==△，∴bc =12，由22223b c a bc +-=，得222224216333a b c bc bc bc bc =+-≥-==，∴a ≥4，当且仅当b =c =23时，等号成立．又b +c ≥2bc =43，当且仅当b =c =23时，等号成立．∴a +b +c ≥4+43，当且仅当b =c =23时，等号成立．即a +b +c 的最小值为4+．【点评】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a +b ，ab ，a 2+b 2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．10．设函数f(x)=12cos 2x ―43sin x cos x ―5．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=―5，a =3，求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π，[―43+1，43+1]（2）(3+3，33]．【解析】（1）f (x )=12cos 2x ―43sin x cos x ―5=12cos 2x ―23sin 2x ―56cos 221216x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，T π∴=，值域为[―43+1，43+1]．（2）由f(A)=―5，可得212cos cos A A A =，因为三角形为锐角△ABCsin A A =，即tan A =，3A π=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，22sin 2sin()3c C B π==-，所以212sin sin()2(sin sin )32a b c B B B B B π⎡⎤++=++-=++⎢⎥⎣⎦32(sin ))26B B B π==++，因为△ABC 为锐角三角形，所以02B π<<，02C π<<，即022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin(16B π<+≤，即36B π+<+≤，所以周长的取值范围为区间(3+3，33]．【点评】在解三角形的周长范围时，将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域，求周长的取值范围，是常用解法．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b )(sin A ―sin B )=(b +c )sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若点D 是BC 的中点，且AD =2，求△ABC 的面积的最大值．【答案】（1）23π；（2）23．【解析】（1）由题意得(a +b)(a ―b)=(b +c)c ，∴b 2+c 2―a 2=―bc ，1cos 2A ∴=-，()0,A π∈，23A π∴=．（2）1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，()()2222211244AD AB AC AB AC AB AC AB AC =++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()1224AB AC AB AC ∴≥⋅-⋅，当且仅当AB =AC 时，等号成立，∴AB ⋅AC ≤8，11sin120822S AB AC =⋅︒≤⨯=故△ABC 的面积的最大值是23．【点评】用三角形中线向量进行转化是解题关键．12．如图，在△ABC 中，AB =2AC ，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ．（1）求ABD ADCS S △△的值；（2）若AC =1，BD =2，求AD 的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，即sin ∠BAD =sin ∠CAD，∴1sin 21sin 2ABDADC AB AD B AB AD S S AC AD A ACC D ⋅∠∠==⋅V V ，又∵AB =2AC ，∴2ABD ADC S S =△△．（2）由（1）知2ABD ADC S AB S AC ==△△，而1212ABDADC BC h S BC S CDCD h ⋅==⋅△△，2AB BD AC CD ∴==且AC =1，BD =2，∴2AB =，CD =∵∠BAD =∠CAD ，∴cos ∠BAD =cos ∠CAD ，在△ABD 中，22222422cos 2224AB AD BD AD AD BAD AB AD AD AD+-+-+∠===⋅⨯⨯，在△ACD 中，2222211122cos 2212AD AD AC AD CD CAD AC AD AD AD +-++-∠===⋅⨯⨯，∴2212242AD AD AD AD ++=，∴AD =1．【点评】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，解题的关键在于对角平分线的性质的理解和运用，考查解题和运用能力．13．在ΔABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ．（1）求角C 的值；（2）若c =2，且ΔABC 为锐角三角形，求a +b 的取值范围．【答案】（1）3C π=；（2）(23，4]．【解析】（1）由题意知(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵C ∈(0，π)，∴3C π=．（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===a A =，b B =，∴)2sin sin sin sin 3a b A B A A π⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos 4sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又∵ΔABC 为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上a +b 的取值范围为(23，4]．【点评】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．一、选择题．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“b cos A ―c <0”，是“△ABC 为锐角三角形”的（ ）条件．A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【答案】C高频易错题即sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A >sin B cos A ，∴sin A cos B >0，因为sin A >0，∴cos B >0，所以B 为锐角．当B 为锐角时，△ABC 不一定为锐角三角形；当△ABC 为锐角三角形时，B 一定为锐角，所以“b cos A ―c <0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要非充分条件，故选C ．【点评】判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法．我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________．【答案】(22，23)【解析】由sin2sin b a A A=，得4cos b A =，由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒，01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos A A ︒<<︒⇒<<cos A <<b =4cos A ∈(22，23)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．三、解答题．3．已知a >0，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，―5≤f (x )≤1．（1）求常数a ，b 的值；（2）设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【答案】（1）2a =，5b =-；（2）递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【解析】（1）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(2)2,6a x a a π-+∈-，所以f (x )∈[b ，3a +b]，又因为―5≤f (x )≤1，可得531b a b =-⎧⎨+=⎩，解得2a =，5b =-．（2）由（1）得()4sin(2)16f x x π=-+-，则()74sin(214sin(21266g x f x x x πππ⎛⎫=+=-+-=+- ⎪⎝⎭，又由lg g (x )>0，可得g (x )>1，所以4sin(2116x π+->，即1sin(2)62x π+>，所以5222666k x k k πππππ+<+<+∈Z ，，当222662k x k k πππππ+<+≤+∈Z ，时，解得6k x k k πππ<≤+∈Z ，，此时函数g (x )单调递增，即g (x )的递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；当5222266k x k k πππππ+<+<+∈Z 时，解得63k x k k ππππ+<<+∈Z ，，此时函数g (x )单调递减，即g (x )的递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力．一、选择题．1．如图所示，扇形OQP 的半径为2，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则S ABCD 的最大值是（）AB．CD ．23【答案】A【解析】如图，记∠COP =α，在Rt △OPC 中，2cos OB α=，2sin BC α=，在Rt △OAD中，OA DA BC α===，所以2cos AB OB OA αα=-=，设矩形ABCD 的面积为S，(2cos )2sin S AB BC ααα=⋅=⋅精准预测题24sin cos 2sin 22ααααα==+-)6πα=+，由03πα<<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S =，故选A ．【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行求解．2．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为（ ）A ．221124x y +=B ．sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移12π个单位得2sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin[ω(x +φ)]=sin(ωx +ωφ)，而不是y =sin(ωx +)，考查运算求解能力，是基础题．3．（多选）如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（ ）A ．ω=2B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数，f (x )的一个对称中心C ．23πϕ=D ．函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数【答案】ACD【解析】由题知，A =2，函数f (x )的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==，故A 正确；因为1111112sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得423k πϕπ=-，k ∈Z ，又|φ|<π，所以23πϕ=，故C 正确；函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为22sin 22sin 06633f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+==≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以,06π⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数f (x )的一个对称中心，故B 错误；令23222232m x m πππππ+≤+≤+，m ∈Z ，得51212m x mx πππ-≤≤+，m ∈Z ，当m =―1时，1371212x ππ-≤≤-，因为4137,,51212ππππ⎡⎤⎡⎤--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故D 正确，故选ACD ．【点评】已知()(sin 0,0)()f x A x A ωϕω+>>=的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）由2Tπω=，即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=(或0x ωϕπ+=)，即可求出φ．（2）代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．二、解答题．4．已知函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数()()0,42g x x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，的值域；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()12f A =-，△ABC 的面积为33，b ―c =2，求a 的值．【答案】（1）ω=2，值域为[―1，2]；（2）4．【解析】（1）因为函数f(x)=cos(ωx)的最小正周期为π，由2T ππω==，2ω=，又因为ω>0，所以ω=2．此时f(x)=cos 2x ，则得()2cos 24g x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即g(x)=3sin 2x ―cos 2x ，即()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]2sin 21,26x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以所求函数的值域为[―1，2]．（2）由题意得1cos 22A =-，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则得2A ∈(0，π)，所以223A π=，解得3A π=，因为△ABC 的面积为33，则得1sin 2bc A =，即1sin 23bc π=，即bc =12．又因为b ―c =2，由余弦定理，得a =b 2+c 2―2bc cos A =b 2+c 2―bc =(b ―c )2+bc =22+12=4，所以a =4．【点评】本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式．三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是f(x)=A sin(ωx +ϕ)+k 形式），然后利用正弦函数性质确定求解．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A +B ―C )=c sin(B +C )．（1）求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．【答案】（1）3C π=；（2）6+23．【解析】（1）∵a sin(A +B ―C)=c sin(B +C)，∴sin A sin(π―2C)=sin C sin A ，∴2sin A sin C cos C =sin C sin A ，∵sin A sin C ≠0，1cos 2C ∴=，0C π<<，3C π∴=．（2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得，c 2=12，c =23，此时周长为6+23．【点评】本题主要考查了三角形的内角和诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．6．如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=．记∠EPM =θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（2）求S 的最小值．【答案】（1）4sin cos PM θθ=+，PN =，30arctan 34πθ≤≤-；（2）8(2―1)平方米．【解析】（1）在△PME 中，∠EPM =θ，4PE AE AP =-=米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 4sin sin cos PE PEM PM PME θθ⨯∠===∠+；同理在PNE △中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin PE PEN PN PNE ⨯∠===∠当M 与E 重合时，θ=0；当N 与D 重合时，tan ∠APD =3，即∠APD =arctan 3，3πarctan 3arctan 344πθπ=--=-，所以30arctan 34πθ≤≤-．（2）△PMN 的面积214sin 2cos sin cos S PM PN MPN θθθ=⨯⨯∠=+481cos 21sin 2cos 21sin 222θθθθ===++++，因为30arctan 34πθ≤≤-，所以当242ππθ+=，即30,arctan 384ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S)81=-，所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2―1)平方米．【点评】本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值．7．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos 2A =0，且△ABC 为锐角三角形，a =7，c =6，求b 的值；（2）若a =3，3A π=，求b +c 的取值范围．【答案】（1）5b =；（2）b +c ∈(3，23]．【解析】（1）22223cos cos 223cos 2cos 10A A A A +=+-=Q ，∴21cos 25A =，又∵A 为锐角，1cos 5A =，而a 2=b 2+c 2―2bc cos A ，即2121305b b --=，解得b =5或135b =-（舍去），∴b =5．（2）由正弦定理可得()22sin sin 2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<Q ，∴5666B πππ<+<，∴1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴b +c ∈(3，23]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．。

高三数学第二轮三角函数复习资料 一、三角函数的概念及运算【基础自测】1.设θ为第二象限的角，则必有（A ）。

（A ）tg2θ>c tg 2θ （B ）tg 2θ<c tg 2θ （C ）sin 2θ>cos 2θ （D ）cos 2θ>sin 2θ2.设角α是第二象限的角，且2cos 2cos α-=α，试问2α是第 三 象限的角3．在半径为2米的圆中，120°的圆心角所对的弧长为34π米. 4．角α的终边上有一点P (a , a )，a ∈R ,且a ≠0, 则sin α的值是（C ）。

（A ）22 （B ）－22 （C ）＋22或－22（D ）1 5.【07江西】．若tan()34πα-=，则cot α等于（ A ）A ．2-B ．12-C ．12 D ．2 6【07江苏】．若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则=βαtan tan __21___7．若sin x ＝5m 3m +-，cos x ＝5m m 24+-, 则m 的值是（ C ）。

（A ）0 （B ）8 （C ）0或8 （D ）3<m <98．化简︒-1180sin 12的结果是（B ）。

（A ）cos100° （B ）cos80° （C ）sin80° （D ）cos20° 9．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ A ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97 10、已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则)(ctg )2)(cos 2cos()2(tg )23sin()23sin(2α-πα+πα-πα-πα-ππ-α-的值 是 43±。

【题例分析】例1．化简：(1) sin(－107︒1)·sin ︒99＋sin(－︒171)·sin(－︒261)－ctg ︒1089·ctg(－︒630); (2)︒+︒+︒︒⋅⋅︒⋅︒89sin 2sin 1sin 89tg 2tg 1tg 222 ; (3) α-α++α+α-sin 1sin 1sin 1sin 1.解：(1) 原式＝sin ︒9sin ︒81－sin ︒9sin ︒81＋ctg ︒9ctg ︒270＝0;(2) ∵ tg1°tg2°·……·tg89°＝1, sin 21°＋sin 22°＋……＋sin 289°＝44＋21＝289, ∴ 原式＝892.(3)α-α++α+α-sin 1sin 1sin 1sin 1＝|cos |sin 1|cos |sin 1αα++αα-＝|cos |2α 例2．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求xx xx x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.思路分析：将sin x -cos x =51平方，求出sin x cos x 的值，进而求出（sin x -cos x ）2，然后由角的范围确定sin x -cos x 的符号.解法：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x （Ⅱ）x x x x x x xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力. 例3.已知11tan(),tan ,27αββ+==-且,(0,),αβπ∈求2αβ-的值. 解：4tan 2(),3αβ-=[]tan(2)tan 2() 1.αβαββ-=-+=由1tan 7β=->知5.6πβπ<<由1tan tan[()]3ααββ=-+=<知0.6πα<<32(,).2.24ππαβπαβ∴-∈--∴-=-如果要求解的角是由一些表达式给出的，则一是考虑所求解的角与已知条件中的角的关系，尽量将所求解的角用已知条件中的角表示出来；二是考虑求该角的某个三角函数值，具体哪个三角公式，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正切函数值，选正切函数.已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数。

高三数学第二轮专题复习资料学生自学讲义（三角函数）课时安排 共２课时 第一课时 课前练习1. 若函数f （x ）=)(21sin 2R x x ∈-,则f （x ）是（ A ） A. 最小正周期为π的偶函数 Ｂ． 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为２π的偶函数 D. 最小正周期为21π的奇函数 ２ 已知函数f （x ）=sin （3x πϖ+） （ϖ>0 ）的最小正周期为π，则该函数的图像（ A ）A. 关于点（0,3π）对称 Ｂ． 关于直线4π=x 对称Ｃ． 关于点（0,4π）对称 Ｄ． 关于直线3π=x 对称３． 若22)4sin(2cos -=-παα，则cos α＋sin α的值为（ C ） Ａ． —27 Ｂ． —21 Ｃ． 21Ｄ． 27 ４． 已知47cos()sin 3,()656ππααα-+=+则sin 的值是 （ C ）A. 23B. 23C. 45-D. 45５、在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若（a ２+c ２—b ２）tan B 3ac ,则角B 的值为（ D ）Ａ． 6π Ｂ．3πＣ．6π或56πＤ．3π或23π例题举例例1. 已知2π＜β＜α＜4π3,cos （α—β）=1312,sin （α+β）=—53,求sin ２α的值.解法一：∵2π＜β＜α＜4π3,∴0＜α—β＜4π.π＜α+β＜4π3,∴sin （α—β）=.54)βα(sin 1)βαcos(,135)βα(cos 122-=+--=+=--∴sin ２α=sin ［（α—β）+（α+β）］=sin （α—β）cos （α+β）+cos （α—β）sin （α+β）.6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin （α—β）=135,cos （α+β）=—54,∴sin ２α+sin ２β=２sin （α+β）cos （α—β）=—6572sin ２α—sin ２β=２cos （α+β）sin （α—β）=—6540 ∴sin ２α=6556)65406572(21-=--例２． 已知tan （α—β）=21,tan β=—71, 且α,β ∈()π,0,求２α—β的值。

三角函数专题高三数学二轮复习资料三角函数专题高三数学二轮复习资料南京高三第二轮数学专题复习讲稿第一课时高三数学第二轮复习材料三角函数专题一南京市高三数学二轮专题复习讲义例1已知sin2（？），余弦？价值。

23?? 3.解决方案：因为，所以2.因为Cos2是1，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2。

1?tanx，)，求的值。

413441? 坦克斯？5.3.X呢？（，）那么？十、解决方案：因为sin（？X）？4134424例2.已知sin(??x)?5，且x?(?3?所以cos(?4?x)??1213，?tanxπ4?tan(tanx所以1?tanx1?tanxtan?π4π4?x)?cot(π4?x)??125。

1.棕褐色的例3.已知sin??cos??解：因为sin??cos??2323，??(0，?)，求sin?、cos?及sin??cos?的值。

?(1)平方得sin?cos518，又因为??(0，?)，33那么罪呢？？0个原因因此，332sin？？2.614，因为？？22? 6142327sin？？余弦？？（罪过（罪？罪？因？因？）例4.已知cos(?4??)?35，?23?242，求cos(2??7253?4,因为?3?2?4)的值。

解决方案：Cos2（？）还有COS（？4）？2cos（35？0？）？1.2，45，4)744，从而sin(??2425，4) 那么sin2（±4）？2sin（？4）cos（？4）？二南京市高三数学二轮专题复习讲义cos（24）？cos[2（？4）？4]？22[cos2（？4）？sin2（？4）]31502。

备用题1.22问谭？价值。

已知的罪？（1？婴儿床？）？余弦？（1？晒黑？）？2.(0，2?)。