【精选】八年级轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析）
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【分析】
定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；
（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；
（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.
【详解】
解：定理证明：
∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
又∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴PA＝PB．
定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．
∵直线m 是边BC 的垂直平分线，
∴OB ＝OC ，
∵直线n 是边AC 的垂直平分线，
∴OA ＝OC ，
∴OA ＝OB
∵OH ⊥AB ，
∴AH ＝BH ；
（2）如图③中，连接BD ，BE ．
∵BA ＝BC ，∠ABC ＝120°，
∴∠A ＝∠C ＝30°，
∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，边BC 的垂直平分线交AC 于点E ，
∴DA ＝DB ，EB ＝EC ，
∴∠A ＝∠DBA ＝30°，∠C ＝∠EBC ＝30°，
∴∠BDE ＝∠A +∠DBA ＝60°，∠BED ＝∠C +∠EBC ＝60°，
∴△BDE 是等边三角形，
∴AD ＝BD ＝DE ＝BE ＝EC ，
∵AC ＝15＝AD +DE +EC ＝3DE ，
∴DE ＝5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.
2．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和
△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.
【详解】
如图，延长AD 到点G ，延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接
BG ．
∵AD 是BC 边上的中线，
∴DC DB =． 在ADC 和GDB △中，
AD DG ADC GDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
（对顶角相等）， ∴ADC ≌GDB △（SAS ）．
∴CAD G ∠=∠，BG AC =．
又BE AC =，
∴BE BG =．
∴BED G ∠=∠．
∵BED AEF ∠=∠
∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠
∴AF EF =．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.
3．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点
E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）如图3，点E为
BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，
求ABF
ACF
S
S的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；
②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BN，
∴∠ADB＝90°，
