第2章2.3.2双曲线的几何性质(一)

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思考题 1 求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长、虚半轴 长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
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【解析】 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程形式y422－x322 ＝1.
由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，
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2．3.2 双曲线的几何性质(一) (几何性质)
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要点 1 双曲线的几何性质
标准方程 xa22－yb22＝1(a>0，b>0) ya22－xb22＝1(a>0，b>0) 图形
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焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴长
【解析】 因为 e＝ac＝ 所以ba22＝14，所以ba＝2.
1＋ba22＝ 25，
由双曲线方程可知，焦点在 y 轴上，
所以其渐近线方程为 y＝±2x.
【答案】 y＝±2x
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(2)求双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程． 【解析】 方法一：∵a＝2，b＝2 2， ∴双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x. 方法二：令x42－y82＝0， 即x2＋2y2＝0 或x2－2y2＝0. 即 y＝－ 2x 或 y＝ 2x.
离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±23x.作草图：
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探究 1 (1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤
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(2)画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a，2b 为 两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势， 就可画出双曲线的近似图形．
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2．双曲线的离心率对开口大小的影响 双曲线的离心率 e＝ac反映了双曲线开口的大小，e 越大，双 曲线的开口就越大，这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以 理解．(以双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)为例)
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互动 2 如何求双曲线的渐近线方程？ 【解析】 已知双曲线方程求渐近线方程，只需将方程xa22－by22＝ 1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”即可，即由xa22－yb22＝0 得出渐近线方程 是xa±yb＝0，即 y＝±bax.类似地，对于方程ya22－xb22＝1(a>0，b>0)，则 由ya22－bx22＝0 得渐近线方程是 y＝±bax.
【解析】 将 9y2－4x2＝－36 变形为x92－y42＝1， 即x322－2y22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13. 因此顶点为 A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4，
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授人以渔
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题型一 双曲线的简单几何性质 互动 1 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线xa22 －yb22＝1(a>0，b>0)的哪些简单性质？
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【解析】 (1)范围：x≥a 或 x≤－a； (2)对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的； (3)顶点：双曲线有两个顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)．
定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线
x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0 时，焦点在 x 轴上；λ<0 方程形式
时，焦点在 y 轴上
性质
① 离心率：e＝ 2 ②渐近线方程：y＝±x
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1．对双曲线渐近线的理解 双曲线的渐近线是两条直线．随着 x 和 y 趋向于无穷大，双 曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．由双曲线的渐近 线方程只能确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值，却无法确定双曲线焦点 在哪一坐标轴上．与双曲线xa22－by22＝1 有相同渐近线的双曲线系为 xa22－by22＝λ(λ≠0)，焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上．
∵ba＝
c2－a2 a＝
e2－1(e>1)，∴e 越大，渐近线 y＝±bax 斜
率的绝对值越大，即ba越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变
得开阔．
由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
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3．双曲线与椭圆的六点不同 (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线． (2)双曲线只有 2 个顶点，而椭圆有 4 个顶点． (3)双曲线有实轴、虚轴，而椭圆有长轴、短轴． (4)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的． (5)双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0， 1)． (6)双曲线中 a，b，c，e 的等量关系与椭圆中 a，b，c，e 的 等量关系有区别.
离心率
渐近线
(－c，0)，(c，0) (0百度文库－c)，(0，c)
2c
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
关于 x 轴，y 轴对称，关于原点对称
(－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
e＝ca>1
y＝±bax
y＝±bax
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要点 2 等轴双曲线
焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；离心率 e＝ca＝54； 渐近线方程为 y＝±43x.
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题型二 渐近线 例 2 (1)已知双曲线 C：ya22－bx22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25， 则 C 的渐近线方程为________．
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互动 3 尝试用 a，b 表示双曲线的离心率？ 【解析】 e＝ac＝ a2＋a2 b2＝ 1＋ba22.
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例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实 轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．