初中数学几何的动点问题专题练习
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一、选择题(每题5分,共50分)1. 下列关于动点的说法正确的是()A. 动点在平面直角坐标系中一定沿着直线运动B. 动点的运动轨迹可以是曲线C. 动点的速度和加速度都是不变的D. 动点的位置随时间变化而变化2. 设动点P的坐标为(x,y),则下列关于P点的运动轨迹方程正确的是()A. x+y=0B. x-y=0C. x^2+y^2=1D. x^2-y^2=13. 一个动点在平面直角坐标系中,从原点出发,先向x轴正方向运动2个单位,然后向y轴负方向运动3个单位,最后向x轴负方向运动4个单位。
则该动点的运动轨迹是()A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 双曲线4. 设动点P的坐标为(x,y),则下列关于P点的运动轨迹方程正确的是()A. x^2+y^2=1B. x^2+y^2=4C. x^2-y^2=1D. x^2-y^2=4然后向y轴负方向运动3个单位,最后向x轴负方向运动4个单位。
则该动点的运动轨迹是()A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 双曲线6. 设动点P的坐标为(x,y),则下列关于P点的运动轨迹方程正确的是()A. x^2+y^2=1B. x^2+y^2=4C. x^2-y^2=1D. x^2-y^2=47. 一个动点在平面直角坐标系中,从原点出发,先向x轴正方向运动2个单位,然后向y轴负方向运动3个单位,最后向x轴负方向运动4个单位。
则该动点的运动轨迹是()A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 双曲线8. 设动点P的坐标为(x,y),则下列关于P点的运动轨迹方程正确的是()A. x^2+y^2=1B. x^2+y^2=4C. x^2-y^2=1D. x^2-y^2=4然后向y轴负方向运动3个单位,最后向x轴负方向运动4个单位。
则该动点的运动轨迹是()A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 双曲线10. 设动点P的坐标为(x,y),则下列关于P点的运动轨迹方程正确的是()A. x^2+y^2=1B. x^2+y^2=4C. x^2-y^2=1D. x^2-y^2=4二、填空题(每题5分,共50分)1. 动点的运动轨迹可以是()、()、()等。
OECB DAα lO CBA(第3题图)动点问题一1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止.点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动. (1)直接写出A B 、两点的坐标;(2)设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式; (3)当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标.2、如图,在梯形ABCD 中,3545AD BC AD DC AB B ====︒∥,,,.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t 秒. (1)求BC 的长.(2)当MN AB ∥时,求t 的值.(3)试探究:t 为何值时,MNC △为等腰三角形.C(第2题图)3、如上图,在Rt ABC △中,9060ACB B ∠=∠=°,°,2BC =.点O 是AC 的中点,过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始,绕点O 作逆时针旋转,交AB 边于点D .过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ,设直线l 的旋转角为α.(1)①当α= 度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为 ;②当α= 度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为 ; (2)当90α=°时,判断四边形EDBC 是否为菱形,并说明理由.4、(09天津)已知一个直角三角形纸片OAB ,其中9024AOB OA OB ∠===°,,.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB 交于点C ,与边AB 交于点D .(Ⅰ)若折叠后使点B 与点A 重合,求点C 的坐标;(Ⅱ)若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ',设OB x '=,OC y =,试写出y 关于 的函数解析式,并确定y 的取值范围;(Ⅲ)若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ',且B D OB '∥,求此时点C 的坐标.5、如图1,在平面直角坐标系中,己知ΔAOB 是等边三角形,点A 的坐标是(0,4),点B 在第一象限,点P 是x 轴上的一个动点,连结AP ,并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD. (1)求直线AB 的解析式;(2)当点P 运动到点(3,0)时,求此时DP 的长及点D 的坐标;(3)是否存在点P ,使ΔOPD 的面积等于43,若存在,求出点P 坐标;若不存在说明理由.P。
初二数学动点练习题1. 直线上的动点问题- 题目:在直线AB上,点C是动点,当点C沿着直线AB移动时,求证∠ACB是一个恒定的角度。
2. 圆上的动点问题- 题目:圆O的半径为5,点P是圆上的动点。
求证:无论点P在圆上如何移动,OP的长度始终为5。
3. 动点与线段的关系- 题目:线段AB的长度为10,点C是线段AB上的动点。
当点C从A向B移动时,求线段AC的长度与线段BC的长度之和是否恒定。
4. 动点与三角形的面积- 题目:三角形ABC的面积为30平方单位,点D是边AB上的动点。
求证:无论点D在AB上如何移动,三角形ACD的面积始终是三角形ABC面积的一半。
5. 动点与平行四边形的对角线- 题目:平行四边形ABCD中,点E是边AB上的动点,点F是边CD 上的动点,且EF始终是平行四边形的对角线。
求证:无论点E和点F如何移动,EF的长度始终等于AB和CD的长度之和。
6. 动点与圆的切线- 题目:圆O的半径为6,点P是圆O外的一点,点Q是圆O上的动点。
当点Q沿着圆O移动时,求证:点P到圆O的切线长度始终等于点P到点Q的距离。
7. 动点与相似三角形- 题目:三角形ABC与三角形DEF相似,点G是三角形ABC的动点,点H是三角形DEF的动点,且GH始终是三角形ABC和三角形DEF的对应边的平行线。
求证:无论点G和点H如何移动,三角形AGH与三角形DEF始终相似。
8. 动点与坐标系- 题目:在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,3),点B的坐标为(5,6)。
点C是线段AB上的动点,其坐标为(x,y)。
求证:无论点C如何移动,x和y的和始终等于点A和点B坐标的和。
练习题答案提示:- 对于直线上的动点问题,可以利用角度的恒定性,结合直线的性质来证明。
- 对于圆上的动点问题,可以利用圆的半径性质来证明。
- 对于动点与线段的关系问题,可以利用线段长度的加法性质来证明。
- 对于动点与三角形的面积问题,可以利用三角形面积的计算公式来证明。
动点问题一.填空题(共2小题)1.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=.2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5cm,BC=3cm,点P从点A出发,沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动;同时,动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm 的速度向终点C运动.设点P运动的时间为t秒,当△PBQ是直角三角形时,t的值为.二.解答题(共18小题)3.如图,直线y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为一边,在第二象限内作正方形ABCD.(1)求线段AB的长;(2)求点D的坐标;(3)点E在x轴上,将点E沿x轴向右平移3个单位得到点F,连接DE,BF,请直接写出四边形BDEF周长的最小值.4.(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点E,F分别是边BC,AC上的点,且EF∥AB,线段CF与线段CE的数量关系为;(2)将图1中的△CEF绕点C逆时针旋转,旋转角为α,连接AF,BE,①若0°<α<90°,如图2,请判断线段AF与BE的数量关系并说明理;②若BC=3,CE=2,在旋转过程中,当点B,E,F三点在同一直线上时,直线BE与直线AC交于点M,请直接写出此时线段AM的长.5.已知,在矩形ABCD中,AB=6,BC=3,BD的垂直平分线EF分别交AB,CD于点E,F,垂足为O.(1)如图1,连接DE,BF.①求证:四边形DEBF为菱形;②直接写出AE的长.(2)如图2,动点P,Q分别从D,B两点同时出发,沿△DEA和△BCF各边匀速运动一周,即点P自D→E→A→D停止,点Q自B→C→F→B停止,在运动过程中,若点P,Q的运动路程分别为x,y(xy≠0),已知A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出x与y满足的数量关系式.6.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC在y轴上,OB在x轴上,A(0,4),OB=4,连接OC,∠COB=30°,点B作BD⊥OC,垂足为D,动点E从O点以每秒2个单位长度的速度沿OD方向匀速运动到D点为止:点F沿线段CA以每秒个单位长度的速度由点C向点A匀速运动,到点A为止,点E与点F同时出发,点F随点E停止而停止运动,设运动时间为t秒(t>0).(1)线段OD=;(2)连接EF和FD,当△DEF的面积为时,求点E的坐标;(3)在整个运动过程中,当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时,直接写出t的值.7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P从点A出发,以2cm/s 的速度沿边AB向终点B运动,过点P作PQ⊥AB交边AC于点Q,当点Q与点C重合时,点P停止运动,点D为PQ中点,以DQ为边作正方形DEFQ,使点E与点A分别在直线PQ两侧.点P的运动时间为x(s).(1)当点Q在边AC上且不与点A重合时,正方形DEFQ的边长为cm,AQ的长为cm(用含x的代数式表示);(2)当点F落在边BC上时,求x的值;(3)当正方形DEFQ与△ABC重合部分为五边形时,请用含x的代数式直接写出此时正方形DEFQ与△ABC重合部分的面积.8.如图1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4dm,BC=3dm.已知一点Q由点A 出发沿边AC向点C匀速运动,点P由点B出发沿边BA向点A匀速运动,两点的运动速度均为1dm/s.以AQ、PQ为邻边作平行四边形AQPD,连接DQ,交边AB于点E.假设P、Q两点运动的时间为t(单位:s)(0<t<4).(1)求AE的长度;(用含有t的代数式表示)(2)当t取何值时,平行四边形AQPD为矩形?(3)如图2所示,当t取何值时,AP⊥QD?9.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=2cm,点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动,同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动.当其中一个动点到达末端停止运动时,另一点也停止运动.(1)两动点运动几秒,使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的?(2)是否存在某一时刻,点P与点Q之间的距离为cm?若存在,直接写出运动所需的时间为;若不存在,请说明理由.(3)直接写出PQ长度的最小值.10.如图1.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,E、F分别是AB、BD的中点,连接EF,点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s,同时,点Q点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动,连接PQ,设运动时间为t(0<t<4)s,解答下列问题:(1)求证:△BEF∽△DCB;(2)当点Q在线段DF上运动时,若△PQF的面积为0.6cm2,则t的值为;(3)如图2,过点Q作QG⊥AB,垂足为G,当t=时,四边形EPQG为矩形;(4)当t=时,△PQF为等腰三角形.11.如图是4×4的正方形网格,△ABC的三个顶点均在格点上.(1)将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB1C1,在图①中作出△AB1C1;(2)在图②中作格点△A2B2C2,使△A2B2C2∽△ABC,且周长比为;(3)在图③中作一个与△ABC相似且面积最大的格点△A3B3C312.如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3,6),与x轴交于点A,与y轴交于点B.线段CD平行于x轴,交直线y=x于点D,连接OC,AD.(1)填空:k=,点A的坐标是(,);(2)求证:四边形OADC是平行四边形;(3)动点P从点O出发,沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动,直到点D为止;动点Q同时从点D出发,沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O 运动,直到点O为止,设两个点的运动时间均为t秒.①当t=1时,△CPQ的面积是.②当点P,Q运动至四边形CP AQ为矩形时,请直接写出此时t的值.13.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动,同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动,设它们的运动时间为t.(1)根据题意知:CQ=,CP=;(用含t的代数式表示)(2)t为何值时,△CPQ的面积等于△ABC面积的?(3)运动几秒时,△CPQ与△CBA相似?14.如图所示,在平面直角坐标系内,点A、B在x轴上,点C在y轴上,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,点Q在边AB上,且AQ=2,过Q作QR⊥AB,垂足为Q,QR交折线AC﹣CB于R(如图1),当点Q以每秒2个单位向终点B移动时,点P同时从A出发,以每秒6个单位的速度沿AB﹣BC﹣CA移动,设移动时间为t秒(如图2).(1)BQ=.(用含t的代数式表示)(2)t为何值时,QP∥AC?(3)t的值=秒时,直线QR经过点P.(4)当点P在边AB上运动时,以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC 内部,此时的取值范围是.15.如图,直线l1:y=﹣x+4与直线l2:y=2x﹣2的图象交于点A,与x轴交于点B.(1)填空:A的坐标;B的坐标;(2)过点A作AC⊥y轴于点C,动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度,沿O→C→A的路线向点A运动,同时动点Q从点B出发,以每秒个单位长度的速度.沿射线BA方向运动,过点Q作直线l∥y轴,交l2于点M.当点P到达点A时,点Q也停止运动,设动点P运动的时间为t秒,△PQM的面积为S.①当P在OC上运动时,求S与t的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);②若S=,请直接写出此时t的值.16.如图1,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A在x轴上,顶点C在正比例函数y=x上,顶点B的坐标为(m,n),且m、n满足=﹣(n﹣)2.(1)求点B、C的坐标;(2)在y轴上存在一点D,使得以O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形,求D点的坐标;(3)如图2,∠AOC的角平分线与BC相交于点E,在OE上有一点F,连接CF,动点P从点C出发,以1个单位每秒的速度匀速运动到点F,再以2个单位每秒的速度匀速运动到点O,且到点O之后停止运动,求点P走完全程所需的最少时间,及此时EF的长.17.在平面直角坐标系中,矩形AOCE的顶点E的坐标为(8,6),连接AC,动点P从点C出发,沿CA匀速运动,动点Q从点A出发沿AO匀速运动,两点同时出发,运动速度均为每秒1个单位长度,点Q到达点O时两点同时停止运动,设运动时间为t秒(t >0),连接PQ,过点P作PG⊥PQ交OC于点G,延长GP交EC或AE于点F.(1)如图1,当PQ垂直平分GF时,求证:P A=PC;(2)如图2,当FG⊥OC时,①求证:四边形AQPF是矩形;②直接写出此时的值;(3)当点F在边CE上时,①当点F与点E重合时,直接写出点P的坐标;②若,直接写出t的值.18.如图,已知:在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,点P从点B出发,沿BC方向匀速运动,速度为2cm/s;与点P同时,点Q从D点出发,沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s;过点Q作QE∥AC,交DC于点E.设运动时间为t(s),(0<t<4),解答下列问题:(1)当t=时,BP长为cm,AQ长为cm;(2)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使PQ平分∠APC?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(3)当0<t<时,是否存在某一时刻t,使△PQE是直角三角形?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.19.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm.点P从B出发沿BA向A运动,速度为每秒1cm,点E是点B以P为对称中心的对称点,点P运动的同时,点Q从A 出发沿AC向C运动,速度为每秒2cm,当点Q到达顶点C时,P,Q同时停止运动,设P,Q两点运动时间为t秒.(1)当t为何值时,PQ∥BC?(2)设四边形PQCB的面积为y,求y关于t的函数关系式;(3)四边形PQCB面积能否是△ABC面积的?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由;(4)当t为何值时,△AEQ为等腰三角形?(直接写出结果)20.如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发,点Q从点C向点D移动.(1)若点P从点A移动到点B停止,点P、Q分别从点A、C同时出发,问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm?(2)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,点P、Q分别从点A、C同时出发,问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?(3)若点P沿着AB→BC→CD移动,点P、Q分别从点A、C同时出发,点Q从点C 移动到点D停止时,点P随点Q的停止而停止移动,试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2?。
中考专题训练 动点问题例1. 如图, 在ABC ∆中,AB AC =,AD BC ⊥于点D ,10BC cm =,8AD cm =. 点P 从点B 出发, 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动, 与此同时, 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发, 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移, 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ,当点P 到达点C 时, 点P 与直线m 同时停止运动, 设运动时间为t 秒(0)t >.(1) 当2t =时, 连接DE 、DF ,求证: 四边形AEDF 为菱形;(2) 在整个运动过程中, 所形成的PEF ∆的面积存在最大值, 当PEF ∆的面积最大时, 求线段BP 的长;(3) 是否存在某一时刻t ,使PEF ∆为直角三角形?若存在, 请求出此时刻t 的值;若不存在, 请说明理由 .【解答】(1) 证明: 当2t =时,4DH AH ==,则H 为AD 的中点, 如答图 1 所示 . 又EF AD ⊥ ,EF ∴为AD 的垂直平分线,AE DE ∴=,AF DF =.AB AC = ,AD BC ⊥于点D ,AD BC ∴⊥,B C ∠=∠.//EF BC ∴,AEF B ∴∠=∠,AFE C ∠=∠,AEF AFE ∴∠=∠,AE AF ∴=,AE AF DE DF ∴===,即四边形AEDF 为菱形 .(2) 解: 如答图 2 所示, 由 (1) 知//EF BC ,AEF ABC ∴∆∆∽, ∴EF AH BC AD =,即82108EF t -=,解得:5102EF t =-. 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< , ∴当2t =秒时,PEF S ∆存在最大值, 最大值为210cm ,此时36BP t cm ==.(3) 解: 存在 . 理由如下:①若点E 为直角顶点, 如答图 3①所示,此时//PE AD ,2PE DH t ==,3BP t =.//PE AD ,∴PE BP AD BD =,即2385t t =,此比例式不成立, 故此种情形不存在; ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示,此时//PF AD ,2PF DH t ==,3BP t =,103CP t =-.//PF AD ,∴PF CP AD CD =,即210385t t -=,解得4017t =;③若点P 为直角顶点,如答图③所示 .过点E 作EM BC ⊥于点M ,过点F 作FN BC ⊥于点N ,则2EM FN DH t ===,////EM FN AD .//EM AD ,∴EM BM AD BD =,即285t BM =,解得54BM t =, 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=. 在Rt EMP ∆中, 由勾股定理得:2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=. //FN AD ,∴FN CN AD CD =,即285t CN =,解得54CN t =, 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-. 在Rt FNP ∆中, 由勾股定理得:22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+. 在Rt PEF ∆中, 由勾股定理得:222EF PE PF =+, 即:2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得:21833508t t -=, 解得:280183t =或0t =(舍 去) 280183t ∴=. 综上所述, 当4017t =秒或280183t =秒时,PEF ∆为直角三角形 .例2. 如图, 在同一平面上, 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起,使斜边AC 完全重合, 且顶点B ,D 分别在AC 的两旁,90ABC ADC ∠=∠=︒,30CAD ∠=︒,4AB BC cm ==(1) 填空:AD = )cm ,DC = ()cm(2) 点M ,N 分别从A 点,C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发, 且分别在AD ,CB 上沿A D →,C B →方向运动, 当N 点运动到B 点时,M 、N 两点同时停止运动, 连接MN ,求当M 、N 点运动了x 秒时, 点N 到AD 的距离 (用 含x 的式子表示)(3) 在 (2) 的条件下, 取DC 中点P ,连接MP ,NP ,设PMN ∆的面积为2()y cm ,在整个运动过程中,PMN ∆的面积y 存在最大值, 请求出y 的最大值 .(参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解: (1)90ABC ∠=︒ ,4AB BC cm ==,AC ∴===,90ADC ∠=︒ ,30CAD ∠=︒,12DC AC ∴==,AD ∴==;故答案为:,;(2) 过点N 作NE AD ⊥于E ,作NF DC ⊥,交DC 的延长线于F ,如图所示:则NE DF =,90ABC ADC ∠=∠=︒ ,AB BC =,30CAD ∠=︒,45ACB ∴∠=︒,60ACD ∠=︒,180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒,15FNC ∠=︒,sinFC FNCNC ∠=,NC x=,FC x∴=,NE DF x∴==+,∴点N到ADx+;(3)sinFN NCFNC ∠=,FN x∴=,P为DC的中点,PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+,即y是x的二次函数,0<,y∴有最大值,当x==时,y=.例3. 如图,BD 是正方形ABCD 的对角线,2BC =,边BC 在其所在的直线上平移, 将通过平移得到的线段记为PQ ,连接PA 、QD ,并过点Q 作QO BD ⊥,垂足为O ,连接OA 、OP .(1) 请直接写出线段BC 在平移过程中, 四边形APQD 是什么四边形?(2) 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系, 并加以证明;(3) 在平移变换过程中, 设OPB y S ∆=,(02)BP x x =……,求y 与x 之间的函数关系式,并求出y 的最大值 .【解答】(1) 四边形APQD 为平行四边形;(2)OA OP =,OA OP ⊥,理由如下:四边形ABCD 是正方形,AB BC PQ ∴==,45ABO OBQ ∠=∠=︒,OQ BD ⊥ ,45PQO ∴∠=︒,45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒,OB OQ ∴=,在AOB ∆和OPQ ∆中,AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆,OA OP ∴=,AOB POQ ∠=∠,90AOP BOQ ∴∠=∠=︒,OA OP ∴⊥;(3) 如图, 过O 作OE BC ⊥于E .①如图 1 ,当P 点在B 点右侧时,则2BQ x =+,22x OE +=, 1222x y x +∴=⨯,即211(1)44y x =+-, 又02x ……,∴当2x =时,y 有最大值为 2 ;②如图 2 ,当P 点在B 点左侧时,则2BQ x =-,22x OE -=, 1222x y x -∴=⨯ ,即211(1)44y x =--+, 又02x ……,∴当1x =时,y 有最大值为14; 综上所述,∴当2x =时,y 有最大值为 2 .例4. 如图, 在平面直角坐标系中,O 为原点, 四边形ABCO 是矩形, 点A ,C 的坐标分别是(0,2)A 和C ,0),点D 是对角线AC 上一动点 (不 与A ,C 重合) ,连结BD ,作DE DB ⊥,交x 轴于点E ,以线段DE ,DB 为邻边作矩形BDEF .(1) 填空: 点B 的坐标为 ;(2) 是否存在这样的点D ,使得DEC ∆是等腰三角形?若存在, 请求出AD 的长度;若不存在, 请说明理由;(3)①求证:DE DB =; ②设AD x =,矩形BDEF 的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式 (可 利用①的结论) ,并求出y 的最小值 .【解答】解: (1) 四边形AOCB 是矩形,2BC OA ∴==,OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒,B ∴2).故答案为2).(2) 存在 . 理由如下:2OA = ,OC =,tan AO ACO OC ∠== , 30ACO ∴∠=︒,60ACB ∠=︒①如图 1 中, 当E 在线段CO 上时,DEC ∆是等腰三角形, 观察图象可知, 只有ED EC =,30DCE EDC ∴∠=∠=︒,60DBC BCD ∴∠=∠=︒,DBC ∴∆是等边三角形,2DC BC ∴==,在Rt AOC ∆中,30ACO ∠=︒ ,2OA =,24AC AO ∴==,422AD AC CD ∴=-=-=.∴当2AD =时,DEC ∆是等腰三角形 .②如图 2 中, 当E 在OC 的延长线上时,DCE ∆是等腰三角形, 只有CD CE =,15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒,75ABD ADB ∴∠=∠=︒,AB AD ∴==,综上所述, 满足条件的AD 的值为 2 或(3)①如图 1 ,过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ,交OC 于N ,(0,2)A 和C ,0),∴直线AC 的解析式为2y x =+,设(,2)D a +,2DN ∴=+,BM a =90BDE ∠=︒ ,90BDM NDE ∴∠+∠=︒,90BDM DBM ∠+∠=︒,DBM EDN ∴∠=∠,90BMD DNE ∠=∠=︒ ,BMD DNE ∴∆∆∽,∴DE DN BD BM ===②如图 2 中, 作DH AB ⊥于H .在Rt ADH ∆中,AD x = ,30DAH ACO ∠=∠=︒,1122DH AD x ∴==,AH x ==,BH x ∴=, 在Rt BDH ∆中,BD ==,DE ∴==, ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+,即2y x =-+,23)y x ∴=-+,0>,3x ∴=时,y .例5. 已知Rt OAB ∆,90OAB ∠=︒,30ABO ∠=︒,斜边4OB =,将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒,如图 1 ,连接BC .(1) 填空:OBC ∠= 60 ︒;(2) 如图 1 ,连接AC ,作OP AC ⊥,垂足为P ,求OP 的长度;(3) 如图 2 ,点M ,N 同时从点O 出发, 在OCB ∆边上运动,M 沿O C B →→路径匀速运动,N 沿O B C →→路径匀速运动, 当两点相遇时运动停止, 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒, 点N 的运动速度为 1 单位/秒, 设运动时间为x 秒,OMN ∆的面积为y ,求当x 为何值时y 取得最大值?最大值为多少?【解答】解: (1) 由旋转性质可知:OB OC =,60BOC ∠=︒,OBC ∴∆是等边三角形,60OBC ∴∠=︒.故答案为 60 .(2) 如图 1 中,4OB = ,30ABO ∠=︒,122OA OB ∴==,AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形,60OBC ∴∠=︒,90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒,AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===.(3)①当803x <…时,M 在OC 上运动,N 在OB 上运动,此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E .则sin 60NE ON x =︒= ,11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ,2y x ∴=.83x ∴=时,y 有最大值, 最大值=. ②当843x <…时,M 在BC 上运动,N 在OB 上运动 .作MH OB ⊥于H . 则8 1.5BM x =-,sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ,212y ON MH x ∴=⨯⨯=+.当83x =时,y 取最大值,y < ③当4 4.8x <…时,M 、N 都在BC 上运动, 作OG BC ⊥于G .12 2.5MN x =-,OG AB ==,12y MN OG ∴== ,当4x =时,y 有最大值, 最大值=,综上所述,y 有最大值, .。
一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列关于动点的说法,正确的是()A. 动点在直线上的运动是直线运动B. 动点在平面内的运动是平面运动C. 动点在空间内的运动是空间运动D. 动点的运动轨迹可以是直线,也可以是曲线2. 一个动点在平面直角坐标系中,如果它的横坐标和纵坐标都随时间均匀增加,那么这个动点的运动轨迹是()A. 线性函数的图像B. 抛物线的图像C. 双曲线的图像D. 椭圆的图像3. 在平面直角坐标系中,动点P的坐标为(x,y),如果x=2t+1,y=t^2,那么动点P的运动轨迹是()A. 抛物线B. 直线C. 圆D. 双曲线4. 一个动点在平面直角坐标系中,从原点出发,先向x轴正方向运动2个单位,然后向上运动3个单位,最后向左运动4个单位,那么这个动点的运动轨迹是()A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 正方形5. 一个动点在平面直角坐标系中,如果它的横坐标和纵坐标的比值为常数k,那么这个动点的运动轨迹是()A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 双曲线二、填空题(每题5分,共25分)6. 在平面直角坐标系中,动点A的坐标为(2,3),如果动点A沿x轴正方向移动3个单位,那么它的新坐标是______。
7. 一个动点在平面直角坐标系中,如果它的横坐标是纵坐标的两倍,那么它的运动轨迹是______。
8. 一个动点在平面直角坐标系中,从原点出发,先向x轴负方向运动4个单位,然后向上运动5个单位,那么这个动点的运动轨迹是______。
9. 在平面直角坐标系中,动点P的坐标满足方程x^2+y^2=25,那么动点P的运动轨迹是______。
10. 一个动点在平面直角坐标系中,如果它的横坐标和纵坐标的和为常数,那么这个动点的运动轨迹是______。
三、解答题(每题10分,共30分)11. 在平面直角坐标系中,点A(1,2)为动点,求动点A在坐标系中运动的轨迹方程。
12. 动点P在平面直角坐标系中,满足方程x+y=5,求动点P的运动轨迹。
七年级数学动点题50道一、数轴上的动点问题(20道)1. 已知数轴上点A表示的数为 3,点B表示的数为1,点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发向左运动,同时点Q以每秒3个单位长度的速度从点B出发向右运动,设运动时间为t秒。
(1)当t = 1时,求PQ的长度。
(2)求经过多少秒后,PQ = 5。
解析:(1)当t = 1时,点P表示的数为公式,点Q表示的数为公式。
所以公式。
(2)运动t秒后,点P表示的数为公式,点Q表示的数为公式。
则公式。
当公式时,即公式。
则公式或公式。
当公式时,公式,公式(舍去,因为时间不能为负)。
当公式时,公式,公式。
2. 数轴上点A对应的数为 2,点B对应的数为4,点C对应的数为x,若点C在点A、B之间,且公式,求x的值。
解析:因为点C在点A、B之间,公式,公式。
又因为公式,所以公式。
去括号得公式。
移项得公式。
合并同类项得公式。
解得公式。
3. 数轴上有A、B两点,A表示的数为 1,B表示的数为3,点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发向右运动,设运动时间为t秒。
(1)当t为何值时,点P到点B的距离为2?(2)点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发向左运动,当公式时,求t的值。
解析:(1)点P表示的数为公式。
当点P到点B的距离为2时,公式。
则公式或公式。
解得公式或公式。
(2)点Q表示的数为公式,公式。
当公式时,公式。
即公式。
则公式或公式。
当公式时,公式,公式。
当公式时,公式,公式。
4. 数轴上点A表示的数为5,点B表示的数为 3,点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向左运动,点N从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒。
(1)求t秒后,点M表示的数和点N表示的数。
(2)当t为何值时,点M与点N相距4个单位长度?解析:(1)t秒后,点M表示的数为公式,点N表示的数为公式。
(2)当点M与点N相距4个单位长度时,公式。
则公式或公式。
当公式时,公式,公式。
当公式时,公式,公式。
(苏科版)八年级上册数学《第1章全等三角形》专题全等三角形中的动点运动问题(30题)1.(2023春•横山区期末)如图,AB=8cm,∠A=∠B,AC=BD=6cm,点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动.它们运动的时间为t (s).当△ACP与△BPQ全等时,x的值为.2.(2022春•普宁市期末)如图,∠A=∠B=90°,AB=60,E,F分别为线段AB和射线BD上的一点,若点E从点B出发向点A运动,同时点F从点B出发向点D运动,二者速度之比为3:7,运动到某时刻同时停止,在射线AC上取一点G,使△AEG与△BEF全等,则AG的长为.1、全等三角形中的动点运动问题,通过点的运动,用代数式表示线段的大小,从而寻找线段间的等量关系,建立方程,进而快速解题.2、解题策略:①明晰点的运动方向和速度;②根据已知和求证的目标,寻找线段或角之间的数量关系,进而解决问题;③有时要用到分类讨论的思想.典型题训练3.(2022秋•攸县期末)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AB=5cm,AD=BC=3cm,点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点F在线段BC上由点B向点C运动.设运动时间为t(s),当△ADE与以B,E,F为顶点的三角形全等时,则点F的运动速度为cm/s.4.(2023春•吴江区期末)如图,已知长方形ABCD中,AB=8cm,AD=12cm,点E在AB边上,BE=3cm,点F在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,到达点C后马上折返,向点B运动,点G在线段CD上以vcm/s的速度由C点向D点运动.点F,G同时出发,当一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动的时间为t秒.若以E,B,F为顶点的三角形和以F,C,G为顶点的三角形全等,则t=秒.5.如图,△ABC中,AB=AC=24cm,BC=16cm,AD=BD.如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动,那么当△BPD与△CQP 全等时,v=()A.3B.4C.2或4D.2或36.(2022秋•高邑县期中)如图,在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10.点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动,同时点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动,点P,Q都运动到各自的终点时停止.设运动时间为t(秒),直线l经过点C,且l∥AB,过点P,Q分别作直线l的垂线段,垂足为E,F.当△CPE与△CQF全等时,t的值不可能是()A.2B.2.8C.3D.67.(2022秋•浠水县校级期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BC=6cm,直线CM⊥BC,动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动,动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动,连接AD、AE,设运动时间为t秒.当△ABD≌△ACE时,t的值为()A.2B.4C.6D.2或68.(2023春•和平区校级期中)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,满足AC=7,BC=12,点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动:点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动;点P,Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动,两个点都要到达相应的终点时才能停止运动,分别过P,Q作PE⊥l于E,QF⊥l于F.设运动时间为t秒,当以P,E,C为顶点的三角形与以Q,F,C为顶点的三角形全等时,t的值为(不考虑两三角形重合的情况).9.如图,在△ABC中,BC=8cm,AG∥BC,AG=8cm,点F从点B出发,沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动,点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G,E、F两点同时出发,当点E到达点G时,E、F两点同时停止运动,EF与直线AC交于点D,设点E的运动时间为t(秒)(1)分别写出当0<t<2和2<t<4时段BF的长度(用含t的代数式表示)(2)当BF=AE时,求t的值;(3)当△ADE≌△CDF时,直接写出所有满足条件的t值.10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,P,Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,且PQ=AB,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QP A全等.11.(2022秋•昭阳区期中)如图,已知在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点,如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.(1)若点Q与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;(2)若点Q与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能使△BPD与△CQP全等?12.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=16.点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动,终点为B点;点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动,终点为A点.点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动,两点都要到相应的终点时才能停止运动,在某时刻,分别过P和Q作PE⊥l于E,QF⊥l于F.问:点P运动多少时间时,△PEC与QFC全等?请说明理由.13.(2022秋•苍溪县期末)如图,AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,点P从点出发,沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿D→E方向以lcm/s的速度运动,P、Q两点同时出发,当点P到达点A时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t(s).(1)求证:AB∥DE.(2)写出线段AP的长(用含t的式子表示).(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时,求t的值.14.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=6cm,BC=10cm,点P从点B出发,以2cm/s的速度沿BC向点C 运动,设点P的运动时间为ts.(1)PC=cm.(用t的代数式表示)(2)当点P从点B开始运动,同时,点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CA向点A运动,是否存在这样v的值,使得△ABP与△PQC全等?若存在,请求出v的值;若不存在,请说明理由.15.如图,已知△ABC中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向A运动,①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发,点P以1cm/s的运动速度从B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,则经过秒后,点P与点Q第一次在△ABC上相遇.(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)16.(2022秋•南召县期末)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C,AB=20cm,BC=15cm,E为AB的中点,若点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CD上由点C向点D运动.(1)若点Q运动的速度是5cm/s,经过1秒后,△BPE与△CQP是否全等,请说明理由;(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当△BPE与△CQP全等时,求出点Q的运动速度.17.(2022春•二七区校级期中)如图,点E在线段CD上,EA,EB分别平分∠DAB和∠CBA,点F在线段AB上运动,AD=4cm,BC=3cm,且AD∥BC.(1)当点F运动到离点A多少厘米时,△ADE和△AFE全等?为什么?(2)在(1)的情况下,此时BF=BC吗?为什么?求出AB的长.18.如图,在长方形ABCD中,AD=6cm,AB=4cm,点E为AD的中点.若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BC上由点B向点C运动.(注:长方形中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC)(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等:①经过1秒后,△AEP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系;②设运动时间为t秒时,△PEQ的面积为Scm2,请用t的代数式表示S.(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为cm/s时,能够使△AEP与△BPQ全等.19.(2023春•碑林区校级期末)如图,△ABC的两条高AD与BE交于点O,AD=BD,AC=6.(1)求BO的长;(2)F是射线BC上一点,且CF=AO,动点P从点O出发,沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,同时动点Q从点A出发,沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动,当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当△AOP与△FCQ全等时,求t的值.20.如图1,长方形ABCD中,AB=CD=7cm,AD=BC=5cm,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动,设运动的时间均为ts.(1)若点F的运动速度与点E的运动速度相等,当t=2时:①判断△BEF与△ADE是否全等?并说明理由;②求∠EDF的度数.(2)如图2,将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”,且∠A=∠B=70°,AB=7cm,AD=BC=5cm,其他条件不变.设点F的运动速度为xcm/s.是否存在x的值,使得△BEF与△ADE全等?若存在,直接写出相应的x及t的值;若不存在,请说明理由.21.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点D在AC上,且AD=6cm,过点A作射线AE⊥AC(AE与BC在AC同侧),若动点P从点A出发,沿射线AE匀速运动,运动速度为1cm/s,设点P运动时间为t秒.连接PD、BD.(1)如图①,当PD⊥BD时,求证:△PDA≌△DBC;(2)如图②,当PD⊥AB于点F时,求此时t的值.22.如图,在四边形ABCD中,AD=BC=10,AB=CD,BD=14,点E从点D出发,以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒5个单位的速度,沿C→B→C做匀速移动,点G 从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动,假设移动时间为t秒,G点的移动距离为y.(1)请用含t的代数式表示以下线段:ED=,当0<t≤2时,BF=,当2<t≤4时,BF=;(2)请猜想AD与BC的位置关系,并说明理由;(3)在移动过程中,请你探究当t取何值时,△DEG与△BFG全等?并求出此时G点的移动距离y.23.(2023春•渭滨区期末)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P,从点A出发,沿着三角形的边AC→CB→BA运动,回到点A停止,速度为3cm/s,设运动时间为ts.(1)如图(1),当t=时,△APC的面积等于△ABC面积的一半;(2)如图(2),在△DEF中,∠E=90°,DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC的边上,若另外有一个动点Q,与点P同时从点A出发,沿着边AB→BC→CA运动,回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好△APQ≌△DEF,求点Q的运动速度.24.(2022春•华容县期中)如图,已知正方形ABCD的边长为10cm,点E在AB边上,BE=6cm.(1)如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D 点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPE与△CQP是否全等.请说明理由.②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPE与△CQP全等?(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿正方形ABCD四边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇?相遇点在何处?25.(2022秋•红花岗区期中)如图1,直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA交AN于点C;动点E、D同时从A点出发,其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动,动点D以1cm/s的速度运动;已知AC=6cm,设动点D,E的运动时间为t.(1)当点D在射线AM上运动时满足S△ADB:S△BEC=2:1,试求点D,E的运动时间t的值;(2)当动点D在直线AM上运动,E在射线AN运动过程中,是否存在某个时间t,使得△ADB与△BEC 全等?若存在,请求出时间t的值;若不存在,请说出理由.26.如图,AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在射线AB上以1cm/s的速度由点A出发沿射线AB方向运动,同时,点Q在射线DB上由点D出发沿射线DB方向运动.它们运动的时间为t (s).(1)若点Q的运动速度是点P的运动速度的2倍,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;(2)设点Q的运动速度为xcm/s(x≠2),是否存在实数x,使△ACP与△BPQ全等?若存在,请画出示意图,将全等的三角形用符号表示出来,并直接写出相应的x,t的值;若不存在,请说明理由.27.(2022秋•沭阳县校级月考)如图①,线段BC=6,过点B、C分别作垂线,在其同侧取AB=4,另一条垂线上任取一点D.动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC向终点C运动;同时动点Q从点C出发,以每秒a个单位的速度沿射线CD运动,当点P停止时,点Q也随之停止运动.设点P的运动的时间为t(s).(1)当t=1,CP=,用含a的代数式表示CQ的长为;(2)当a=2,t=1时,①求证:△ABP≌△PCQ;②求证:AP⊥PQ;(3)如图②,将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段BC的同侧作∠ABC=∠DCB”,其它条件不变.若△ABP与△PCQ全等,直接写出对应的a的值.28.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,直线l过点C.(1)当AC=BC时,①如图1,分别过点A和B作AD⊥直线l于点D,BE⊥直线l于点E.求证:△ACD≌△CBE;②如图2,过点A作AD⊥直线l于点D,点B与点F关于直线l对称,连接BF交直线l于E,连接CF.求证:DE=AD+EF.(2)当AC=8cm,BC=6cm时,如图3,点B与点F关于直线l对称,连接BF、CF.点M从A点出发,以每秒1cm的速度沿A→C路径运动,终点为C,点N以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动,终点为F,分别过点M、N作MD⊥直线l于点D,NE⊥直线l于点E,点M、N同时开始运动,各自达到相应的终点时停止运动,设运动时间为t秒.当△MDC与△CEN全等时,求t的值.29.(2022秋•浠水县期中)已知,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,且DE=9cm,∠BDA=∠AEC=∠BAC(1)如图①,若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为,CE与AD的数量关系为;(2)如图②,判断并说明线段BD,CE与DE的数量关系;(3)如图③,若只保持∠BDA=∠AEC,BD=EF=7cm,点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动,同时,点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的时间为t(s).是否存在x,使得△ABD与△EAC全等?若存在,求出相应的t的值;若不存在,请说明理由.30.(2022秋•原平市校级期中)如图,在△ABC中,BC=5,高AD、BE相交于点O,BD=23CD,且AE=BE.(1)求线段AO的长;(2)动点P从点O出发,沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动,动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动,P、Q两点同时出发,当点P到达A点时,P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒,△POQ的面积为S,请用含t的式子表示S;(3)在(2)的条件下,点F是直线AC上的一点且CF=BO.是否存在t值,使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在,请直接写出符合条件的t值,若不存在,请说明理由.。
动点问题专题练习 【1 】1.如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点.(1)假如点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点活动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点活动.①若点Q 的活动速度与点P 的活动速度相等,经由1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请解释来由;②若点Q 的活动速度与点P 的活动速度不相等,当点Q 的活动速度为若干时,可以或许使BPD △与CQP △全等?(2)若点Q 以②中的活动速度从点C 动身,点P 以本来的活动速度从点B 同时动身,都逆时针沿ABC △三边活动,求经由多长时光点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇? 1.解:(1)①∵1t =秒, ∴313BP CQ ==⨯=厘米, ∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点, ∴5BD =厘米.又∵8PC BC BP BC =-=,厘米, ∴835PC =-=厘米, ∴PC BD =. 又∵AB AC =, ∴B C ∠=∠,∴BPD CQP △≌△. ············································································· (4分) ②∵P Q v v ≠, ∴BP CQ ≠,又∵BPD CQP △≌△,B C ∠=∠,则45BP PC CQ BD ====,, ∴点P ,点Q 活动的时光433BP t ==秒, ∴515443Q CQ v t===厘米/秒. ·································································· (7分)(2)设经由x 秒后点P 与点Q 第一次相遇,由题意,得1532104x x =+⨯, 解得803x =秒.∴点P 共活动了803803⨯=厘米.∵8022824=⨯+,∴点P .点Q 在AB 边上相遇,∴经由803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇. ········································· (12分) 2.直线364y x =-+与坐标轴分离交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点动身,同时到达A点,活动停滞.点Q 沿线段OA 活动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 活动.(1)直接写出A B 、两点的坐标;(2)设点Q 的活动时光为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式; (3)当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为极点的平行四边形的第四个极点M 的坐标. 2.解(1)A (8,0)B (0,6) ················· 1分 (2)86OA OB ==,10AB ∴=点Q 由O 到A 的时光是881=(秒) ∴点P 的速度是61028+=(单位/秒) ·1分 当P 在线段OB 上活动(或03t ≤≤)时,2OQ t OP t ==,2S t = ·········································································································· 1分当P 在线段BA 上活动(或38t <≤)时,6102162OQ t AP t t ==+-=-,, 如图,作PD OA ⊥于点D ,由PD AP BO AB =,得4865tPD -=, ······································· 1分21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ······································································· 1分 (自变量取值规模写对给1分,不然不给分.)(3)82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ···························································································· 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,,,, ···················································· 3分5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P 从点C 动身沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速活动,到达点A 后连忙以本来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 动身沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速活动.陪同着P.Q 的活动,DE 保持垂直等分PQ,且交PQ 于点D,交折线QB-BC-CP 于点E .点P.Q 同时动身,当点Q 到达点B 时停滞活动,点P 也随之停滞.设点P.Q 活动的时光是t 秒(t >0).(1)当t = 2时,AP =,点Q 到AC 的距离是;(2)在点P 从C 向A 活动的进程中,求△APQ 的面积S与t 的函数关系式;(不必写出t 的取值规模)(3)在点E 从B 向C 活动的进程中,四边形QBED 可否成为直角梯形?若能,求t 的值.若不克不及,请解释来由; (4)当DE 经由点C 时,请直接写出t 的值. 5.解:(1)1,85;(2)作QF ⊥AC 于点F,如图3, AQ = CP= t,∴3AP t =-. 由△AQF ∽△ABC,4BC =, 得45QF t =.∴45QF t =. ∴14(3)25S t t =-⋅, 即22655S t t =-+.(3)能.①当DE ∥QB 时,如图4.∵DE ⊥PQ,∴PQ ⊥QB,四边形QBED 是直角梯形. 此时∠AQP=90°.P图16P图4由△APQ ∽△ABC,得AQ APAC AB=, 即335t t -=. 解得98t =. ②如图5,当PQ ∥BC 时,DE ⊥BC,四边形QBED 是直角梯形. 此时∠APQ =90°. 由△AQP ∽△ABC,得AQ APAB AC=, 即353t t -=. 解得158t =.(4)52t =或4514t =. ①点P 由C 向A 活动,DE 经由点C . 衔接QC,作QG ⊥BC 于点G,如图6.PC t =,222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--.由22PC QC =,得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--,解得52t =.②点P 由A 向C 活动,DE 经由点C,如图7. 22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--,4514t =】6如图,在Rt ABC △中,9060ACB B ∠=∠=°,°,2BC =.点O 是AC 的中点,过点O 的直线l 从与AC 重合的地位开端,绕点O 作逆时针扭转,交AB 边于点D .过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ,设直线l 的扭转角为α.(1)①当α=度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为;②当α=度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为; (2)当90α=°时,断定四边形EDBC 是否为菱形,并解释来由.6.解(1)①30,1;②60,1.5; ……………………4分 (2)当∠α=900时,四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED.∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2,∴∠A=300.OE CDAα lOCA (备用图)ACBPQ E D 图5AC (E ) BPQD图6GA C (E )B PQD图7G∴∴AO=12AC. ……………………8分 在Rt △AOD 中,∠A=300,∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.又∵四边形EDBC 是平行四边形,∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7如图,在梯形ABCD 中,3545AD BC AD DC AB B ====︒∥,,,.动点M 从B 点动身沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 活动;动点N 同时从C 点动身沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 活动.设活动的时光为t 秒. (1)求BC 的长.(2)当MN AB ∥时,求t 的值.(3)试探讨:t 为何值时,MNC △为等腰三角形.7.解:(1)如图①,过A .D 分离作AK BC ⊥于K ,DH BC ⊥于H ,则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==. ················································································ 1分 在Rt ABK △中,sin 4542AK AB =︒==.2cos 454242BK AB =︒== ··························································2分 在Rt CDH △中,由勾股定理得,3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ················································· 3分(2)如图②,过D 作DG AB ∥交BC 于G 点,则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ CM ADCB KHAD CBG MN∴3BG AD ==∴1037GC =-= ············································································· 4分 由题意知,当M .N 活动到t 秒时,102CN t CM t ==-,. ∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG =··················································································· 5分 即10257t t -= 解得,5017t = ······················································································ 6分(3)分三种情形评论辩论:①当NC MC =时,如图③,即102t t =- ∴103t =·························································································· 7分②当MN NC =时,如图④,过N 作NE MC ⊥于E解法一:由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中,5cosEC t c NC t-== 又在Rt DHC △中,3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ······················································································· 8分解法二:∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠, ∴NEC DHC △∽△ ∴NC ECDC HC= ADCB MN(图③) (图④)AD CB M NH E即553t t-=∴258t = ·························································································· 8分③当MN MC =时,如图⑤,过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一:(办法同②中解法一)132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二:∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠, ∴MFC DHC △∽△∴FC MCHC DC =即1102235tt -= ∴6017t =综上所述,当103t =.258t =或6017t =时,MNC △为等腰三角形 ······················ 9分10数学课上,张先生出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.90AEF ∠=,且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F,求证:AE=EF .经由思虑,小明展现了一种准确的解题思绪:取AB 的中点M,衔接ME,则AM=EC,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =.在此基本上,同窗们作了进一步的研讨:(1)小颖提出:如图2,假如把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B,C 外)的随意率性一点”,其它前提不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你以为小颖的不雅点准确吗?假如准确,写出证实进程;假如不准确,请解释来由;(2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延伸线上(除C 点外)的随意率性一点,其他前提不变,结论“AE=EF”仍然成立.你以为小华的不雅点准确吗?假如准确,写出证实进程;假如不(图⑤)A DCBH N MF10.解:(1)准确. ················································· (1分) 证实:在AB 上取一点M ,使AM EC =,衔接ME . ···· (2分)BM BE ∴=.45BME ∴∠=°,135AME ∴∠=°. CF 是外角等分线, 45DCF ∴∠=°, 135ECF ∴∠=°. AME ECF ∴∠=∠.90AEB BAE ∠+∠=°,90AEB CEF ∠+∠=°,∴BAE CEF ∠=∠.AME BCF ∴△≌△(ASA ). ··································································· (5分) AE EF ∴=. ························································································· (6分) (2)准确. ····················································· (7分) 证实:在BA 的延伸线上取一点N .使AN CE =,衔接NE . ····································· (8分)BN BE ∴=.45N PCE ∴∠=∠=°.四边形ABCD 是正方形,AD BE ∴∥.DAE BEA ∴∠=∠. NAE CEF ∴∠=∠.ANE ECF ∴△≌△(ASA ). ································································· (10分) AE EF ∴=.(11分)11已知一个直角三角形纸片OAB ,个中9024AOB OA OB ∠===°,,.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB 交于点C ,与边AB 交于点D . A DF C GEBM ADFC GE BN则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >,. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中,由勾股定理,得222AC OC OA =+, 即()22242m m -=+,解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭,. ··················································································· 4分(Ⅱ)若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ',设OB x '=,OC y =,试写出y 关于x 的函数解析式,并肯定y 的取值规模;(Ⅱ)如图②,折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==,, 则4B C BC OB OC y '==-=-,在Rt B OC '△中,由勾股定理,得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+,即2128y x =-+ ···························································································· 6分 由点B '在边OA 上,有02x ≤≤,∴解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴当02x ≤≤时,y 随x 的增大而减小,y ∴的取值规模为322y ≤≤. ····································································· 7分 (Ⅲ)若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ',且使B D OB '∥,求此时点C 的坐标.(Ⅲ)如图③,折叠后点B 落在OA 边上的点为B '',且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠,,有CB BA ''∥.Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB''=,得2OC OB ''=. ····································································· 9分 在Rt B OC ''△中,设()00OB x x ''=>,则02OC x =. 由(Ⅱ)的结论,得2001228x x =-+, 解得000808x x x =-±>∴=-+,∴点C 的坐标为()016. ··································································· 10分 12如图(1),将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C ,D 重合),压平后得到折痕MN .当CE/CD=1/2时,求AM/BN 的值.类比归纳在图(1)中,若13CE CD =,则AM BN 的值等于;若14CE CD =,则AM BN 的值等于;若1CE CD n =(n 为整数),则AMBN的值等于.(用含n 的式子暗示) 接洽拓广如图(2),将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C D ,重合),压平后得到折痕MN ,设()111AB CE m BC m CD n =>=,,则AMBN的值等于.(用含m n ,的式子暗示)12解:办法一:如图(1-1),衔接BM EM BE ,,.由题设,得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称.∴MN 垂直等分BE .∴BM EM BN EN ==,. ··············································· 1分 ∵四边形ABCD 是正方形,∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,. ∵112CE CE DE CD =∴==,.设BN x =,则NE x =,2NC x =-. 在Rt CNE △中,222NE CN CE =+.∴()22221x x =-+.解得54x =,即54BN =. ······················································ 3分 在Rt ABM △和在Rt DEM △中, 办法指点: 为了求得AM BN 的值,可先求BN .AM 的长,无妨设:AB =2 图(2) NAB C D EFM图(1)A B CDEFMNN 图(1-1)A B C EFM222AM AB BM +=,222DM DE EM +=,∴2222AM AB DM DE +=+. ····························································· 5分 设AM y =,则2DM y =-,∴()2222221y y +=-+. 解得14y =,即14AM =. ····································································· 6分 ∴15AM BN =. ································································································ 7分 办法二:同办法一,54BN =. ·································································· 3分 如图(1-2),过点N 做NG CD ∥,交AD 于点G ,衔接BE .∵AD BC ∥,∴四边形GDCN是平行四边形. ∴NG CD BC ==. 同理,四边形ABNG 也是平行四边形.∴54AG BN ==. ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=,°. 90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠,°,.在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩,,°.∴BCE NGM EC MG =△≌△,. ·································· 5分 ∵114AM AG MG AM =--=5,=.4 ····················································· 6分 ∴15AM BN =. ··················································································· 7分 12..如图所示,在直角梯形ABCD 中,AD//BC,∠A =90°,AB =12,BC =21,AD=16.动点P 从点B 动身,沿射线BC 的偏向以每秒2个单位长的速度活动,动点Q 同时从点A 动身,在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 活动,当个中一个动点到达端点时另一个动点也随之停滞活动.设活动的时光为t (秒).(1)设△DPQ 的面积为S,求S 与t 之间的函数关系式;(2)当t 为何值时,四边形PCDQ 是平行四边形?(3)分离求出出当t 为何值时,① PD =PQ,② DQ =PQ ?类比归纳N 图(1-2) A B C D EF M G25(或410);917;()2211n n -+ ······································································ 10分 接洽拓广 2222211n m n n m -++ ······················································································· 12分 解1:依题意,得AQ=t,BP=2t,QD=16-t.过点Q 作QF ⊥BP,又∵AQ‖BF,∴∠ABP=90°∴四边形AQFB 是矩形∴AQ=BF=t ∵BP=2t ∴FP=t,∴在Rt △QFP 中,QP=√(12²+t²)又∵QD=QP=PD ∴√(12²+t²)=16-t ∴12²+t²=16²-2*16*t+t²∴解得:t=7/2解2:如图所示,:这P 作PE 垂直AD 于E,垂足为E 点,则ABPE 为矩形.PE=AB=12;AE=BP(1).s=1/2×AB×DQ=1/2×12×(AD-AQ)=6×(16-t)=96-6t;(2).当 BC-2t=21-2t=PC=DQ=AD-t=16-t,即t=5时,四边形PCDQO 为平形四边形.(3).①QE=AE-AQ=BP-AQ=2t-t=t,而ED=AD-AE=16-BP=16-2t;当QE=ED 时,PE 为QD 的垂直等分线时,PQ=PD,而此时t=16-2t; t=16/3;所以当t=16/3时,PD=PQ;.②在Rt △PEQ 中,PE=AB=12; EQ=AE-AQ=PB-AQ=2t-t=t; PQ²=QE²+PE²=t²+12²; QD²=(AD-AQ)²=(16-t)²; 所以当t²+12²=(16-t)²,即:t=3.5时,DQ=PQ;解:因为∠C=90°,∠CBA=30°,BC=20√3所以可求出AB =40如图,圆心从A 向B 的偏向活动时,共有三个地位能使此圆与直线AC 或直线BC 相切当圆心在O1点时,设切点为P显然PO1=6,∠APO1=90°,∠AO1P=30°所以AO1=4√3因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右活动所以当t1=4√3/2=2√3(秒)时,圆O与直线AC相切当圆心在O2点时,设切点为Q显然QO2=6,∠BQO2=90°,∠QBO2=30°所以BO2=12,AO2=40-12=28因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右活动所以当t2=28/2=14(秒)时,圆O与直线BC相切当圆心在O3点时,设切点为R显然RO3=6,∠BRO3=90°,∠RBO3=30°所以BO3=12,AO3=40+12=52因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右活动所以当t3=52/2=26(秒)时,圆O与直线BC相切综上所述,当圆O活动2√3秒.14秒.26秒时与△ABC的一边地点的直线相切.。
动点问题专题训练1、如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点.(1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动. ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由;②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP △全等?(2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC △三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇?1.解:(1)①∵1t =秒, ∴313BP CQ ==⨯=厘米,∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点, ∴5BD =厘米.又∵8PC BC BP BC =-=,厘米, ∴835PC =-=厘米, ∴PC BD =. 又∵AB AC =, ∴B C ∠=∠,∴BPD CQP △≌△. ········································································································ (4分) ②∵P Q v v ≠, ∴BP CQ ≠,又∵BPD CQP △≌△,B C ∠=∠,则45BP PC CQ BD ====,, ∴点P ,点Q 运动的时间433BP t ==秒,∴515443Q CQ v t===厘米/秒.······················································································ (7分) (2)设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇, 由题意,得1532104x x =+⨯, 解得803x =秒. ∴点P 共运动了803803⨯=厘米.∵8022824=⨯+,∴点P 、点Q 在AB 边上相遇, ∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇. ··················································· (12分)2、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止.点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动.(1)直接写出A B 、两点的坐标;(2)设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式; 顶点的平行(3)当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为四边形的第四个顶点M 的坐标.2。
初中数学动点题百题训练专题练习1.如图,P是直线m上一动点,A、B是直线n上的两个定点,且直线m//n;对于下列各值:①点P到直线n的距离;②△PAB的周长;③△PAB的面积;④∠APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是()A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2.直线AB上有一点O,OM⊥AB于O,另有直角∠COD在平角∠AOB内绕O点左右摆动(OC与OA、OD与OB不重合),在摆动时,始终与∠MOD保持相等的角是()A. ∠BODB. ∠AOCC. ∠COMD. 没有3.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(2,0),正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动,每旋转60∘为滚动1次,那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时,点F的坐标是()A. (2017,0)B. (201712,√32) C. (2018,√3) D. (2018,0)4.如图,直角坐标平面xOy内,动点P按图中箭头所示方向依次运动,第1次从点(−1,0)运动到点(0,1),第2次运动到点(1,0),第3次运动到点(2,−2),……,按这样的运动规律,动点P第2018次运动到点()A. (2018,0)B. (2017,0)C. (2018,1)D. (2017,−2)5.如图,等腰ΔABC中,AB=AC,MN是边BC上一条运动的线段(点M不与点B重合,点N不与点C重合),且MN=12BC,MD⊥BC交AB于点D,NE⊥BC交AC于点E,在MN从左至右的运动过程中,ΔBMD和ΔCNE的面积之和A. 保持不变B. 先变小后变大C. 先变大后变小D. 一直变大6.如图,矩形ABCD中,点R沿CD边从点C向点D运动,点M在BC边上运动,E、F分别是AM、MR的中点,则EF的长度随着点M、点R的运动()A. 变短B. 变长C. 不变D. 无法确定7.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=4,面积是14,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为()A. 6B. 8C. 9D. 108.如图,已知,,,点是线段上的一个动点,连接,动点始终与点关于直线对称,当点由点位置向右运动至点位置时,相应的点所经过的路程为()A.B.C.D.9.如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为()A. √5B. √6C. 1+√2D. 310.如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD交于点O,并且∠DAC=60∘,∠ADB=15∘.点E是AD边上一动点,延长EO交BC于点F.当点E从D点向A点移动过程中(点E与点D,A不重合),则四边形AFCE的变化是()A. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C. 平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D. 平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形11.如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点,点M,N分别为AB,BC边上的中点,则MP+NP的最小值是()A. 2B. 1C.D.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘,AC=4cm,BC=6cm,动点P从点C沿CA,以1cm/s的速度向点A运动,同时动点O从点C沿CB,以2cm/s的速度向点B运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动.则运动过程中所构成的△CPO的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是()A. B. C. D.13.如图,在△ABC中,∠B=90∘,tan∠C=34,AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是()A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm214.抛物线y=x2−2x−15,y=4x−23,交于A、B点(A在B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为( )A. 10√5B. 7√10C. 5√21D. 8√1015.如图,抛物线y=x2−12x−32与直线y=x−2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为()A. √292B. √293C. 52D. 5316.如图,在△ABC中,∠C=90∘,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值为()A. 19cm2B. 16cm2C. 15cm2D. 12cm217.如图,抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A,B两点,过点B的直线与抛物线在第二象限交于点C,且tan∠CBA=43,点D为线段BC上一点(不含端点).现有一动点P从点A出发,沿线段AD以每秒1个单位长度的速度运动到D点,再沿线段DC以每秒54个单位长度的速度运动到C点,则动点P运动到C点的最短时间需()秒.A. 7B. 649C. 10 D. 75818.如图,在△ABC中,∠B=90∘,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发,那么经过()秒,四边形APQC的面积最小.A. 1B. 2C. 3D. 419.如图,在钝角三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发到B点止,动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒,点E运动的速度为2cm/秒.如果两点同时运动,那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是()A. 4或4.8B. 3或4.8C. 2或4D. 1或620.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=10,点P为BC边上一动点,AP交BD于点Q.点P从B点出发沿BC边以每秒1个单位长度的速度向C点移动,移动时间为x秒.设S△AQD+S△PQB=y,写出y与x之间的函数关系式,并探究P点运动到第几秒与第几秒之间时,y取得最小值.()A. 3到4B. 4到5C. 5到6D. 6到721.在矩形ABCD中,BC=10cm、DC=6cm,点E、F分别为边AB、BC上的两个动点,E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动,F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动,设运动时间为t秒.若∠AFD=∠AED,则t的值为()A. √2−1B. 0.5C. 23D. 122.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=60∘,BC=4√3,当点P在B^C上由B点运动到C点时,弦AP的中点E运动的路径长为()A. 4√33πB. 43πC. 83πD. 2√323.如图,在平面直角坐标系中,M、N、C三点的坐标分别为(12,1),(3,1),(3,0),点A 为线段MN上的一个动点,连接AC,过点A作AB⊥AC交y轴于点B,当点A从M运动到N时,点B随之运动.设点B的坐标为(0,b),则b的取值范围是()A. −14≤b≤1 B. −54≤b≤1 C. −94≤b≤12D. −94≤b≤124.如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,∠A=30∘,BC=1.P是AB边上一动点,PD⊥AC于点D,点E在P的右侧,且PE=1,连结CE.P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动.在整个运动过程中,阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是()A. 一直不变B. 一直减小C. 一直增大D. 先减小后增大25.如图,在反比例函数y=32x的图象上有一动点A,连接AO并延长交图象的另一支于点B,在第二象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数y=kx的图象上运动,若tan∠CAB=2,则k的值为()A. −3B. −6C. −9D. −1226.如图,在点O处测得远处动点P作匀速直线运动,开始位置在A点,一分钟后到达B点,再过一分钟到达C点,测得∠AOB=90∘,∠BOC=30∘,则tan∠OAB=()A. 32B. √32C. 2√33D. 2327.如图,四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形,且A、B、E三点共线,正方形ABCD的边长为4,则S△ACF的面积为______ .28.20.如图,矩形ABCD中,点M是CD的中点,点P是AB上的一动点,若AD=1,AB=2,则PA+PB+PM的最小值是.29.如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…按这样的运动规律,经过第2017次运动后,动点P的坐标是______,经过第2018次运动后,动点P的坐标是______.30.15.如图1,在直角梯形ABCD中,动点P从B点出发,沿B→C→D→A匀速运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,若y与x的关系图象如图2所示,则AB的长为_______,梯形ABCD的面积为__________.31.18、正方形中,为上一动点,连接交于,过点作交于,。
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练1.如图1, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 3 ), B(9, 5 ), C(14, 0). 动点P与Q同时从O点出发, 运动时间为t秒, 点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动, 点Q沿折线OA-AB-BC运动, 在OA, AB, BC上运动的速度分别为3, , (单位长度/秒). 当P, Q中的一点到达C点时, 两点同时停止运动.(1)求AB所在直线的函数表达式.(2)如图2, 当点Q在AB上运动时, 求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.(3)在P, Q的运动过程中, 若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点, 求相应的t值.图1 图22.如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A, B两点(A在B的左侧), 与y轴交于点N, 过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C, 与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D, 已知A(-1, 0), D(5, -6), P 点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A, D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时, 过P点作PE∥x轴交直线l于点E, 作PF ∥y轴交直线l于点F, 求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点, 探究是否存在点M, 使得以点N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形.若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.3.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2, -4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点, 求AM+OM的最小值.4.设直线l1: y=k1x+b1与l2: y=k2x+b2, 若l1⊥l2, 垂足为H, 则称直线l1与l2是点H的直角线.(1)已知直线①;②;③;④和点C(0, 2), 则直线_______和_______是点C的直角线(填序号即可);(2)如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形OABC的顶点A(3, 0)、B(2, 7)、C(0, 7), P为线段OC上一点, 设过B、P两点的直线为l1, 过A、P两点的直线为l2, 若l1与l2是点P的直角线, 求直线l1与l2的解析式.5.如图①, 在平面直角坐标系xOy中, 已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C(0, -4).(1)点A的坐标为, 点B的坐标为, 线段AC的长为, 抛物线的解析式为.(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q, 使得以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形, 求点Q的坐标.①6.如图, 已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A.B(点A位于点B是左侧), 与y轴的正半轴交于点C.(1)点B的坐标为______, 点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P, 使得四边形PCOB的面积等于2b, 且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在, 求出点P的坐标;如果不存在, 请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q, 使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在, 求出点Q的坐标;如果不存在, 请说明理由.7.如图, 已知A.B是线段MN上的两点, , , . 以A为中心顺时针旋转点M, 以B为中心逆时针旋转点N, 使M、N两点重合成一点C, 构成△ABC, 设.(1)求x的取值范围;(2)若△ABC为直角三角形, 求x的值;(3)探究: △ABC的最大面积?8.如图, 已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)求tan∠ABO的值;(3)过点B作BC⊥x轴, 垂足为C, 在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N, 交抛物线于点M, 若四边形MNCB为平行四边形, 求点M的坐标.9.在平面直角坐标系中, 反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).(1)当k=-2时, 求反比例函数的解析式;(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大, 求k应满足的条件以及x的取值范围;(3)设二次函数的图象的顶点为Q, 当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时, 求k的值.10.如图, 已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)的对称轴为直线x=3, 抛物线与x轴相交于A, B两点, 与y轴相交于点C, 已知B点的坐标为(8, 0).(1)求抛物线的解析式;(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点, 点N为线段BC上的一点, 若MN∥y 轴, 求MN的最大值;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q, 使△ACQ为等腰三角形?若存在, 求出符合条件的Q点坐标;若不存在, 请说明理由.11.如图, 直线y=2x+6与反比例函数y=(k>0)的图象交于点A(m, 8), 与x轴交于点B, 平行于x轴的直线y=n(0<n<6)交反比例函数的图象于点M, 交AB于点N, 连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式;(2)观察图象, 直接写出当x>0时不等式2x+6->0的解集;(3)直线y=n沿y轴方向平移, 当n为何值时, △BMN的面积最大?最大值是多少?12.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B, AO=BO=2, ∠AOB=120°.(1)求这条抛物线的表达式;(2)连结OM, 求∠AOM的大小;(3)如果点C在x轴上, 且△ABC与△AOM相似, 求点C的坐标.13.在直角梯形OABC中, CB//OA, ∠COA=90°, CB=3, OA=6, BA=. 分别以OA.OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求点B的坐标;(2)已知D.E分别为线段OC.OB上的点, OD=5, OE=2EB, 直线DE交x轴于点F. 求直线DE的解析式;(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点, 在x轴上方的平面内是否存在另一点N, 使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在, 请求出点N的坐标;若不存在, 请说明理由.14.如图, 已知一次函数y=-x+7与正比例函数的图象交于点A, 且与x轴交于点B. (1)求点A和点B的坐标;(2)过点A作AC⊥y轴于点C, 过点B作直线l//y轴. 动点P从点O出发, 以每秒1个单位长的速度, 沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发, 以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线l交x轴于点R, 交线段BA或线段AO于点Q. 当点P到达点A时, 点P和直线l都停止运动. 在运动过程中, 设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时, 以A.P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在, 求t的值;若不存在, 请说明理由.15.如图, 二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a、m是常数, 且a>0, m>0)的图像与x轴分别交于A.B(点A位于点B的左侧), 与y轴交于点C(0,-3), 点D在二次函数的图像上, CD//AB, 联结AD. 过点A作射线AE交二次函数的图像于点E, AB平分∠DAE.(1)用含m的式子表示a;(2)求证: 为定值;(3)设该二次函数的图像的顶点为F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点G, 联结GF, 以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在, 只要找出一个满足要求的点G即可, 并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在, 请说明理由.16.如图, 二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D, 对称轴是直线l, 一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A, 且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C, N是线段DC上一点(不与点D, C重合), 点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA, DB分别交于点P, Q, 使得△DPQ与△DAB 相似.①当n= 时, 求DP的长;②若对于每一个确定的n的值, 有且只有一个△DPQ与△DAB相似, 请直接写出n的取值范围.17.已知直线y=3x-3分别与x轴、y轴交于点A, B, 抛物线y=ax2+2x+c经过点A, B. (1)求该抛物线的表达式, 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)记该抛物线的对称轴为直线l, 点B关于直线l的对称点为C, 若点D在y 轴的正半轴上, 且四边形ABCD为梯形.①求点D的坐标;②将此抛物线向右平移, 平移后抛物线的顶点为P, 其对称轴与直线y=3x-3交于点E, 若, 求四边形BDEP的面积.18.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y=-x2+2x+8的图象与一次函数y=-x+b的图象交于A.B两点, 点A在x轴上, 点B的纵坐标为-7.点P是二次函数图象上A.B两点之间的一个动点(不与点A.B重合), 设点P的横坐标为m, 过点P作x轴的垂线交AB于点C, 作PD ⊥AB于点D.(1)求b及sin∠ACP的值;(2)用含m的代数式表示线段PD的长;(3)连接PB, 线段PC把△PDB分成两个三角形, 是否存在适合的m值, 使这两个三角形的面积之比为1∶2?如果存在, 直接写出m的值;如果不存在, 请说明理由.19.如图, 抛物线与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C.(1)求点A.B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点, 当△ACD的面积等于△ACB 的面积时, 求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4, 0), M为直线l上的动点, 当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时, 求直线l的解析式.20.已知平面直角坐标系中两定点A(-1, 0)、B(4, 0), 抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)过点A.B, 顶点为C, 点P(m, n)(n<0)为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时, 求m的取值范围;(3)若m>, 当∠APB为直角时, 将该抛物线向左或向右平移t(0<t<)个单位, 点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′, 是否存在t, 使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短?若存在, 求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在, 请说明理由.2021中考数学压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题(本大题共20道小题)1.【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式, 将已知点A、B的坐标值代入求解即可;(2)S △CPQ=·CP·Qy, CP=14-t, 点Q在AB上, Qy即为当x=t时的y值, 代入化简得出S与t的函数关系式, 化为顶点式得出最值;(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论, 当Q在OA上时, 过点C;当Q在AB上时, 过点A;当Q在BC上时, 过点C和点B, 再列方程并求解.解图1解: (1)把A(3, 3 ), B(9, 5 )代入y=kx+b,得, 解得,∴y=33x+23;(3分)(2)在△PQC中, PC=14-t,∵OA==6且Q在OA上速度为3单位长度/s,AB==4 且Q点在AB上的速度为单位长度/s,∴Q在OA上时的横坐标为t, Q在AB上时的横坐标为t,PC边上的高线长为33t+2 3.(6分)所以S=(14-t)( t+2 )=-t2+t+14 (2≤t≤6).当t=5时, S有最大值为.(7分)解图2(3)①当0<t ≤2时, 线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1). 可得方程(332t )2+(14-32t )2=(14-t )2.解得t1= , t2=0(舍去), 此时t = .(8分)解图3②当2<t ≤6时, 线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2).可得方程(33)2+(t -3)2=[3(t -2)]2.解得t1= , ∵t2= (舍去), 此时t = .③当6<t ≤10时,(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3).可得方程14-t =25- t, 解得t = .(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4).可得方程(53)2+(t -9)2=[52(t -6)]2.解得t1= , t2= (舍去).此时t=38+2027.(11分)综上所述, t的值为, , , .(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论, 在不同阶段列方程求解.2.【答案】[分析] (1)将点A, D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式, 即可求解;(2)设出P点坐标, 用参数表示PE, PF的长, 利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况, 分别求解即可.解:(1)将点A, D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A, D的坐标代入抛物线表达式,得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1,∴C(0, -1), 则直线l与x轴的夹角为45°, 即∠OAC=45°,∵PE∥x轴, ∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴, ∴∠EPF=90°, ∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x, -x2+3x+4),则点F(x, -x-1),∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18,∵-2<0, ∴当x=2时, PE+PF有最大值, 其最大值为18.(3)由题意知N(0, 4), C(0, -1), ∴NC=5,①当NC是平行四边形的一条边时, 有NC∥PM, NC=PM.设点P坐标为(x, -x2+3x+4), 则点M的坐标为(x, -x-1),∴|yM-yP|=5, 即|-x2+3x+4+x+1|=5,解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0),则点M坐标为(2+ , -3- )或(2- , -3+ )或(4, -5);②当NC是平行四边形的对角线时, 线段NC与PM互相平分.由题意, NC的中点坐标为0, ,设点P坐标为(m, -m2+3m+4),则点M(n', -n'-1),∴0= = ,解得:n'=0或-4(舍去n'=0), 故点M(-4, 3).综上所述, 存在点M, 使得以N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形, 点M的坐标分别为:(2+ , -3- ), (2- , -3+ ), (4, -5), (-4, 3).3.【答案】(1)。
九年级中考数学几何动点问题专项训练1如图,已知△ABC 中,AB =10 cm ,AC =8 cm ,BC =6 cm.如果点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动,同时点Q 由A 出发沿AC 向点C 匀速运动,它们的速度均为2 cm/s.连接PQ ,设运动的时间为t (单位:s)(0≤t ≤4).第1题图(1)当t 为何值时,PQ ∥BC ;(2)设△AQP 的面积为S (单位:cm 2),当t 为何值时,S 取得最大值,并求出最大值;(3)是否存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分?若存在,求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意知BP =2t ,AP =10-2t ,AQ =2t ,∵PQ ∥BC ,∴△APQ ∽△ABC ,∴=,AP AB AQ AC即=,解得t =,10-2t 102t 8209即当t 为 s 时,PQ ∥BC ;209(2)∵AB =10 cm ,AC =8 cm ,BC =6 cm ,∴AB 2=AC 2+BC 2,∴△ABC 为直角三角形,∴∠C =90°,如解图,过点P 作PD ⊥AC 于点D,第1题解图则PD ∥BC ,∴△APD ∽△ABC ,∴=,AP AB PD BC∴=,10-2t 10PD 6∴PD =(10-2t ),35∴S =AQ ·PD = ·2t ·(10-2t )=-t 2+6t =-(t -)2+7.5,121235656552∵-<0,抛物线开口向下,有最大值,65∴当t = 秒时,S 有最大值,最大值是7.5 cm 2;52(3)不存在.理由如下:假设存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分,则S △AQP =S △ABC ,12即-t 2+6t =××8×6,651212整理得t 2-5t +10=0,∵b 2-4ac =(-5)2-4×10=-15<0,∴此方程无解,即不存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分.2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8,点D 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 匀速运动,到达B 点即停止运动.M ,N 分别是AD ,CD 的中点,连接MN .设点D 运动的时间为t .(1)判断MN 与AC 的位置关系;(2)求在点D 由点A 向点B 匀速运动的过程中,线段MN 所扫过区域的面积;(3)若△DMN 是等腰三角形,求t的值.第2题图解:(1)MN ∥AC .证明:在△ADC 中,M 是AD 的中点,N 是DC 的中点,∴MN ∥AC ;(2)如解图①,分别取△ABC 三边中点E ,F ,G 并连接EG ,FG ,第2题解图①根据题意,可知线段MN 扫过区域的面积就是▱AFGE 的面积.∵AC =6,BC =8,∴AE =3,GC =4,∵∠ACB =90°,∴S ▱AFGE =AE ·GC =12,∴线段MN 扫过区域的面积为12;(3)依题意可知,MD =AD ,DN =DC ,MN =AC =3.121212分三种情况讨论:(ⅰ)当MD =MN =3时,△DMN 为等腰三角形,此时AD =AC =6,∴t =6.(ⅱ)当MD =DN 时,AD =DC .如解图②,过点D 作DH ⊥AC 于点H ,则AH =AC =3,12第2题解图②∵cos A ==,AB =10,AH AD AC AB即=.3AD 610∴t =AD =5.(ⅲ)当DN =MN =3时,AC =DC ,如解图③,连接MC ,则CM ⊥AD.第2题解图③∵cos A ==,即=,AM AC AC AB AM 6610∴AM =,185∴t =AD =2AM =.365综上所述,当t =5或6或时,△DMN 为等腰三角形.3653.如图,在矩形ABCD 中,点E 在BC 边上,动点P 以2厘米/秒的速度从点A 出发,沿△AED 的边按照A →E →D →A 的顺序运动一周.设点P 从点A 出发经x (x >0)秒后,△ABP 的面积是y .(1)若AB =8厘米,BE =6厘米,当点P 在线段AE 上时,求y 关于x 的函数表达式;(2)已知点E 是BC 的中点,当点P 在线段ED 上时,y =x ;当点P 在线段AD 125上时,y =32-4x .求y 关于x的函数表达式.第3题图解:(1)∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABE =90°,又∵AB =8,BE =6,∴AE ===10,22BE AB +2268+如解图①,过点B 作BH ⊥AE 于点H,第3题解图①∵S △ABE =AE ·BH =AB ·BE ,1212∴BH =,245又∵AP =2x ,∴y =AP ·BH =x (0<x ≤5);12245(2) ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B =∠C =90°,AB =DC , AD =BC ,∵E 为BC 中点,∴BE =EC ,∴△ABE ≌△DCE (SAS),∴AE =DE ,∵y =x (P 在ED 上), y =32-4x (P 在AD 上),125当点P 运动至点D 时,可联立得,,{y =125x y =32-4x )解得x =5,∴AE +ED =2x =10,∴AE =ED =5,当点P 运动一周回到点A 时,y =0,∴y =32-4x =0, 解得x =8,∴AE +DE +AD =16,∴AD =BC =6,∴BE =3,在Rt △ABE 中,AB ==4,22-BE AE 如解图②,过点B 作BN ⊥AE 于N ,则BN =,125第3题解图②∴y =x (0<x ≤2.5),125∴y =.{125x (0<x ≤5)32-4x (5≤x ≤8))4.如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,点E 在AD 边上运动,且不与点A 和点D 重合,连接CE ,过点C 作CF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ,EF 交BC 于点G .(1)求证:△CDE ≌△CBF ;(2)当DE = 时,求CG 的长;12(3)连接AG ,在点E 运动过程中,四边形CEAG 能否为平行四边形?若能,求出此时DE的长;若不能,说明理由.第4题图(1)证明:如解图,在正方形ABCD 中,DC =BC ,∠D = ∠CBA = ∠CBF = ∠DCB = 90°,第4题解图∴∠1+∠2= 90°,∵CF ⊥CE ,∴∠2+∠3= 90°,∴∠1= ∠3,在△CDE 和△CBF 中,,{∠D = ∠CBFDC =BC ∠1= ∠3)∴△CDE ≌△CBF (ASA);(2)解:在正方形ABCD 中,AD ∥BC ,∴△GBF ∽△EAF ,∴= ,BG AE BF AF由(1)知,△CDE ≌△CBF ,∴BF = DE = ,12∵正方形的边长为1,∴AF =AB +BF = ,32AE =AD -DE = ,12∴=,BG 121232∴BG =,16∴CG =BC -BG = ;56(3)解:不能.理由:若四边形CEAG 是平行四边形,则必须满足AE ∥CG ,AE = CG ,∴AD -AE =BC -CG ,∴DE =BG ,由(1)知,△CDE ≌△CBF ,∴DE =BF ,CE =CF ,∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形,∴∠GFB = 45°,∠CFE = 45°,∴∠CFA = ∠GFB +∠CFE = 90°,此时点F 与点B 重合,点D 与点E 重合,与题目条件不符,∴点E 在运动过程中,四边形CEAG 不能是平行四边形.5. 如图,在正方形ABCD 中,点E ,G 分别是边AD ,BC 的中点,AF =AB .14(1)求证:EF ⊥AG ;(2)若点F ,G 分别在射线AB ,BC 上同时向右、向上运动,点G 运动速度是点F 运动速度的2倍,EF ⊥AG 是否成立(只写结果,不需说明理由)?(3)正方形ABCD 的边长为4,P 是正方形ABCD 内一点,当S △PAB =S △OAB 时,求△PAB周长的最小值.第5题图(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AD =AB =BC ,∠EAF =∠ABG =90°,∵点E ,G 分别是边AD ,BC 的中点,AF =AB ,14∴=,=,AE AB 12AF BG 12∴=,AE AB AF BG又∵∠EAF =∠ABC =90°,∴△AEF ∽△BAG ,∴∠AEF =∠BAG ,又∵∠BAG +∠EAO =90°,∴∠AEF +∠EAO =90°,∴∠EOA =90°,即EF ⊥AG ;(2)解:EF ⊥AG 仍然成立;(3)解:如解图,过点O 作MN ∥AB 分别交AD 、BC 于点M ,N ,连接PA,第5题解图∵P 是正方形ABCD 内一点,当S △PAB =S △OAB ,∴点P 在线段MN 上(不含端点),作点A 关于MN 的对称点A ′,连接BA ′交MN 于点P ,此时PA +PB =PA ′+PB =BA ′最小,即△PAB 的周长最小.∵正方形ABCD 的边长为4,∴AE =AD =2,AF =AB =1,1214∴EF ==,22AF AE 5OA ==,AE ·AF EF 255∵∠AMO =∠EOA ,∠EAO =∠EAO ,∴△EOA ∽△OMA ,∴=,AEOA OA AM ∴OA 2=AM ·AE ,∴AM ==,AE OA 225∴A ′A =2AM =,45∴BA ′==,22'AB A A 4265故△PAB 周长的最小值为4+.42656.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =45°,AB =4cm.点P 从点A 出发,以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 运动.过点P 作PQ ⊥AB 交折线ACB 于点Q ,D 为PQ 中点,以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ .设正方形DEFQ 与△ABC 重叠部分图形的面积是y (cm 2),点P 的运动时间为x (s).(1)当点P 不与点B 重合时,求点F 落在边BC 上时x 的值;(2)当0<x <2时,求y 关于x 的函数解析式;(3)直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围.第6题图解:(1)如解图①,延长FE 交AB 于点G ,由题意,得AP =2x ,∵D 为PQ 中点,∴DQ =DP =x ,∵四边形DEFQ 为正方形,∴DQ =DE =GP =x ,∵FG ⊥AB ,∠B =45°,∴△FGB 是等腰直角三角形,∴BG =FG =PQ =2x ,∴AP +PG +BG =AB ,即2x +x +2x =4,∴x =,45第6题解图①(2)当0<x ≤时,y =S 正方形DEFQ =DQ 2=x 2,45∴y =x 2,(0<x ≤)45如解图②,当<x ≤1时,设BC 交QF 于点M ,BC 交EF 于点N ,过点C 作CH 45⊥AB 于点H ,交FQ 于点K ,则CH =2,∵PQ =AP =2x ,∴CK =2-2x ,∴MQ =2CK =4-4x ,∴FM =x -(4-4x )=5x -4,∴y =S 正方形DEFQ -S △MNF =DQ 2-FM 2,12∴y =x 2-(5x -4)2=-x 2+20x -8,12232∴y =-x 2+20x -8 (<x ≤1) ,23245第6题解图②如解图③,当1<x <2时,PQ =PB =4-2x ,∴DQ =2-x ,∴y =S △DEQ =DQ 2,12∴y =(x -2)2,12∴y =x 2-2x +2(1<x <2),12第6题解图③(3)1<x <.32【解法提示】当Q 与C 重合时,E 为BC 的中点,2x =2,∴x =1;当Q 为BC的中点时,BQ =,PB =1,∴AP =3,∴2x =3,∴x =,∴x 的取值范围是2321<x <.327.如图,在平面直角坐标系中,直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两34点,点P 、Q 同时从点A 出发,运动时间为t 秒.其中点P 沿射线AB 运动,速度为每秒4个单位长度,点Q 沿射线AO 运动,速度为每秒5个单位长度.以点Q 为圆心,PQ 为半径作⊙Q .(1)求证:直线AB 是⊙Q 的切线;(2)过点A 左侧x 轴上的任意一点C (m ,0),作直线AB 的垂线CM ,垂足为点M ,若CM 与⊙Q 相切于点D ,求m 与t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围);(3)在(2)的条件下,是否存在点C ,直线AB 、CM 、y 轴与⊙Q 同时相切,若存在,请直接写出此时点C 的坐标,若不存在,请说明理由.第7题图(1)证明:如解图,连接QP ,∵y =-x +3交坐标轴于A ,B 两点,34∴A (4,0),B (0,3),∴OA =4,OB =3,AB ==5,22OB OA ∵AQ =5t ,AP =4t ,在△APQ 与△AOB 中,==t ,==t ,AQ AB 5t 5AP AO 4t 4∴=,AQ AB AP AO又∵∠PAQ =∠OAB ,∴△APQ ∽△AOB ,∴∠APQ =∠AOB =90°,又∵PQ 为⊙Q的半径,∴AB 为⊙Q 的切线;第7题解图①(2)解:①当直线CM 在⊙Q 的左侧与⊙Q 相切时,如解图①,连接DQ ,∵AP ⊥QP ,AP =4t ,AQ =5t ,∴PQ =3t ,∴易得四边形DQPM 为正方形,∴MP =DQ =QP =3t ,∴cos ∠BAO ===,MA AC PA QA 45又∵MA =MP +PA =3t +4t =7t ,AC =AO -CO =4-m ,∴=,∴m ==-t +4;7t 4-m 4516-35t 4354②当直线CM 在⊙Q 的右侧与⊙O 相切时,如解图②,连接DQ ,PQ ,由①易得MA =PA -PM =4t -3t =t,第7题解图②AC =4-m ,∴=,t 4-m 45∴m =-t +4;54综上所述,m 与t 的函数关系式为m =-t +4或m =-t +4;35454(3)解:存在,点C 的坐标为(-,0)或(,0)或(-,0)或(,0).3827827232【解法提示】①如解图③,当⊙Q 在y 轴的右侧与y 轴相切,∴OQ =QP =3t ,∴OA =OQ +QA =3t +5t =8t =4,∴t =,12第1题解图③则m =-t +4=-,35438∴C 1(-,0);38m =-t +4=,54278∴C 2(,0);278②如解图④,当⊙Q 在y 轴的左侧与y 轴相切,OA =AQ -OQ =5t -3t =2t =4,∴t =2,第7题解图④则m =-t +4=-,354272∴C 3(-,0);272m =-t +4=,5432∴C 4(,0).32综上所述,点C 的坐标为(-,0)或(,0)或(-,0)或(,0).38278272328.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,AB =8,∠BAD =60°.点E 从点A 出发,沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动.当点E 不与点A 重合时,过点E 作EF ⊥AD 于点F ,作EG ∥AD 交AC 于点G ,过点G 作GH ⊥AD 交AD (或AD 的延长线)于点H ,得到矩形EFHG .设点E 运动的时间为t 秒.(1)求线段EF 的长(用含t 的代数式表示);(2)求点H 与点D 重合时t 的值;(3)设矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S 平方单位,求S 与t 之间的函数关系式.第8题图解:(1)由题意可知AE =2t ,0≤t ≤4,∵EF ⊥AD ,∠BAD =60°,∴sin ∠BAD ==,EF AE 32∴EF =AE =t ;323(2)如解图①,∵点H 与点D 重合,菱形ABCD 中,∠DAC =∠BA =30°,AD 12=AB =8,∴在Rt △ADG 中,DG =AD ·tan30°=8×=,33833∴在矩形FEGD 中,EF =DG =,833由(1)知EF ==t ,8333∴t =;83第8题解图①(3)①当0<t ≤时,点H 在AD 上,83∵AE =2t ,∠BAD =60°,∠DAC =30°,∴EF =t ,AH =HG =EF =3t ,AF =t ,333∴FH =AH -AF =2t ,∴S =EF ·FH =t ·2t =2t 2;33②如解图②,当<t ≤4时,点H 在AD 的延长线上,83设GH 与CD 交于点M ,由(2)知∠DAC =30°,∴在菱形ABCD 中,∠BAC =30°,∵EG ∥AD ,∴∠AGE =∠DAC =30°,∴∠BAC =∠AGE ,∴AE =EG ,∵AE =2t ,EF =t ,∠BAD =60°,3∴在Rt △AFE 中,AF =AE ·cos60°=2t ×=t ,12∴DF =8-t ,∵AE =EG =FH =2t ,∴DH =2t -(8-t )=3t -8,∵AB ∥CD ,∴∠HDM =∠BAD =60°,∴在Rt △DHM 中,HM =DH ·tan60°=(3t -8),3则DH =3t -8,HM =(3t -8),3第8题解图②∴S =S 矩形HGEF -S △DHM =EF ·FH -DH ·HM =2t 2-(3t -8)·(3t -8)123123=2t 2-(9t 2-48t +64)332=2t 2-t 2+24t -32393233=-t 2+24t -32,53233∴S 与t 之间的函数关系为S=⎧<≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩2280383(4).3t t。
动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥O A,垂足为H,△OPH 的重心为G .(1)当点P在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设P Hx =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PG H是等腰三角形,试求出线段PH 的长.二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ABC 中,AB=AC =1,点D,E在直线B C上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠B AC=30°,∠DA E=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(2)如果∠B AC的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(2004年·上海)如图,在△A BC中,∠BAC =90°,AB=AC =22,⊙A 的半径为1.若点O在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A相切时, △AO C的面积.一、以动态几何为主线的压轴题 (一)点动问题.1.(09年徐汇区)如图,ABC ∆中,10==AC AB ,12=BC ,点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ,交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时,求AF 的长;(2)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; (3)当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长.AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二)线动问题2,在矩形A BCD 中,AB =3,点O 在对角线A C上,直线l过点O ,且与AC 垂直交AD于点E .(1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A BCD的对称中心A '重合,求BC 的长; (2)若直线l 与AB 相交于点F,且AO=41AC,设AD 的长为x ,五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式,并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.(三)面动问题3.如图,在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点(D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(1)试求ABC ∆的面积;(2)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4)当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例2:(2004年广州市中考题第11题)如图,⊙O 1和⊙O2内切于A,⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为2,点P为⊙O1上的任一点(与点A 不重合),直线PA 交⊙O2于点C,PB 切⊙O2于点B ,则PCBP的值为(A)2 (B)3 (C)23(D)26二、 动手实践,操作确认例4(2003年广州市中考试题)在⊙O中,C 为弧AB 的中点,D 为弧A C上任一点(与A 、C 不重合),则(A)A C+CB=AD+DB (B) A C+C B<AD+DB(C) AC+CB >A D+D B (D) AC+C B与AD+DB 的大小关系不确定例5:如图,过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ,延长CA 和C D与大圆分别交于点B 、E,则下列结论中正确的是( * ) (A)AB DE = (B )AB DE >(C)AB DE <(D )AB DE ,的大小不确定三、 建立联系,计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点M在边DC 上,且DM=1,N为对角线A C上任意一点,则DN +MN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重例1.在Rt ABC合),Q是BC边上的动点(与点B、C不重合),当PQ与AC不平行时,△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能,请求出线段CQ的长的取值范围;若不可能,请说明理由。
动点问题专题训练1、(09包头)如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点.(1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由; ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP △全等? (2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC △三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇?解:(1)①∵1t =秒, ∴313BP CQ ==⨯=厘米,∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点, ∴5BD =厘米.又∵8PC BC BP BC =-=,厘米, ∴835PC =-=厘米, ∴PC BD =. 又∵AB AC =, ∴B C ∠=∠,∴BPD CQP △≌△. ············································································· (4分) ②∵P Q v v ≠, ∴BP CQ ≠,又∵BPD CQP △≌△,B C ∠=∠,则45BP PC CQ BD ====,, ∴点P ,点Q 运动的时间433BP t ==秒, ∴515443Q CQ v t===厘米/秒. ·································································· (7分) (2)设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇, 由题意,得1532104x x =+⨯, 解得803x =秒.∴点P 共运动了803803⨯=厘米. ∵8022824=⨯+,∴点P 、点Q 在AB 边上相遇,∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇. ········································· (12分) 2、(09齐齐哈尔)直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止.点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动. (1)直接写出A B 、两点的坐标;(2)设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式;(3)当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标.解(1)A (8,0)B (0,6) ··············· 1分 (2)86OA OB ==, 10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=(秒)∴点P 的速度是61028+=(单位/秒) ·1分 当P 在线段OB 上运动(或03t ≤≤)时,2OQ t OP t ==,2S t = ·········································································································· 1分当P 在线段BA 上运动(或38t <≤)时,6102162OQ t AP t t ==+-=-,, 如图,作PD OA ⊥于点D ,由PD AP BO AB =,得4865tPD -=, ······························ 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ······································································· 1分(自变量取值范围写对给1分,否则不给分.)(3)82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ···························································································· 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,,,, ···················································· 3分3(09深圳)如图,在平面直角坐标系中,直线l :y =-2x -8分别与x 轴,y 轴相交于A ,B 两点,点P (0,k )是y 轴的负半轴上的一个动点,以P 为圆心,3为半径作⊙P .(1)连结PA ,若PA =PB ,试判断⊙P 与x 轴的位置关系,并说明理由; (2)当k 为何值时,以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形?解:(1)⊙P 与x 轴相切.∵直线y =-2x -8与x 轴交于A (4,0),与y 轴交于B (0,-8), ∴OA =4,OB =8. 由题意,OP =-k , ∴PB =P A =8+k .在Rt △AOP 中,k 2+42=(8+k )2, ∴k =-3,∴OP 等于⊙P 的半径, ∴⊙P 与x 轴相切.(2)设⊙P 与直线l 交于C ,D 两点,连结PC ,PD 当圆心P在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形,∴DE =12CD =32,PD =3, ∴PE =332. ∵∠AOB =∠PEB =90°, ∠ABO =∠PBE , ∴△AOB ∽△PEB ,∴3342,=45AO PE AB PB PB=即,∴315,2 PB=∴31582PO BO PB=-=-,∴315(0,8)2P-,∴31582k=-.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,-3152-8),∴k=-3152-8,∴当k=3152-8或k=-3152-8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4(09哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO 是菱形,点A的坐标为(-3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.(1)求直线AC的解析式;(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);(3)在(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.解:5(09河北)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC = 3,AB = 5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动.伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB -BC -CP 于点E .点P 、Q 同时出发,当点Q 到达点B 时停止运动,点P 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q 到AC 的距离是 ;(2)在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ的面积S 与 t 的函数关系式;(不必写出t 的取值范围)(3)在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成为直角梯形?若能,求t 的值.若不能,请说明理由; (4)当DE 经过点C 时,请直接..写出t 的值.解:(1)1,85;(2)作QF ⊥AC 于点F ,如图3, AQ = CP = t ,∴3AP t =-. 由△AQF ∽△ABC,4BC ==, 得45QF t =.∴45QF t =. ∴14(3)25S t t =-⋅, 即22655S t t =-+.(3)能.①当DE ∥QB 时,如图4.∵DE ⊥PQ ,∴PQ ⊥QB ,四边形QBED 是直角梯形. 此时∠AQP =90°. 由△APQ ∽△ABC ,得AQ AP AC AB=, 即335t t -=. 解得98t =. ②如图5,当PQ ∥BC 时,DE ⊥BC ,四边形QBED 是直角梯形.此时∠APQ =90°. 由△AQP ∽△ABC ,得AQ APAB AC=, 即353t t -=. 解得158t =.图16P图4P图5(4)52t =或4514t =. ①点P 由C 向A 运动,DE 经过点C .连接QC ,作QG ⊥BC 于点G ,如图6.PC t =,222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--.由22PC QC =,得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--,解得52t =. ②点P 由A 向C 运动,DE 经过点C ,如图7.22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--,4514t =】6(09河南))如图,在Rt ABC △中,9060ACB B ∠=∠=°,°,2BC =.点O 是AC 的中点,过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始,绕点O 作逆时针旋转,交AB 边于点D .过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ,设直线l 的旋转角为α.(1)①当α= 度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为 ;②当α= 度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为 ;(2)当90α=°时,判断四边形EDBC 是否为菱形,并说明理由.解(1)①30,1;②60,1.5; ……………………4分 (2)当∠α=900时,四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900,∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中,∠ACB =900,∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC 3. ∴AO =12AC 3……………………8分 在Rt △AOD 中,∠A =300,∴AD =2. ∴BD =2.O E CDA α lOCA (备用图)∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形,∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7(09济南)如图,在梯形ABCD 中,3545AD BC AD DC AB B ====︒∥,,,.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t 秒.(1)求BC 的长.(2)当MN AB ∥时,求t 的值. (3)试探究:t 为何值时,MNC △为等腰三角形.解:(1)如图①,过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ,DH BC ⊥于H ,则四边形ADHK是矩形∴3KH AD ==. ················································································ 1分 在Rt ABK △中,sin 4542AK AB =︒==.2cos 454242BK AB =︒== ·························································· 2分 在Rt CDH △中,由勾股定理得,3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ················································· 3分(2)如图②,过D 作DG AB ∥交BC 于G 点,则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= ············································································· 4分 由题意知,当M 、N 运动到t 秒时,102CN t CM t ==-,. ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△C M(图①) A D C B K H (图②) A D C B G MN∴CN CMCD CG =··················································································· 5分 即10257t t -= 解得,5017t = ···················································································· 6分(3)分三种情况讨论:①当NC MC =时,如图③,即102t t =- ∴103t =·························································································· 7分②当MN NC =时,如图④,过N 作NE MC ⊥于E 解法一:由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中,5cos EC tc NC t -==又在Rt DHC △中,3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ······················································································· 8分解法二:∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠, ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC =即553t t -= ∴258t = ·························································································· 8分③当MN MC =时,如图⑤,过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一:(方法同②中解法一)A DCB M N (图③) (图④) A D CB M NH E132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二:∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠, ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MCHC DC =即1102235tt -= ∴6017t =综上所述,当103t =、258t =或6017t =时,MNC △为等腰三角形 ··············· 9分8(09江西)如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,E 是AB 的中点,过点E 作EF BC ∥交CD 于点F .46AB BC ==,,60B =︒∠. (1)求点E 到BC 的距离;(2)点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ,过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时(如图2),PMN △的形状是否发生改变?若不变,求出PMN △的周长;若改变,请说明理由; ②当点N 在线段DC 上时(如图3),是否存在点P ,使PMN △为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x 的值;若不存在,请说明理由.(图⑤)A DCBH N MFA D E FADEF A D E BF C图1 图2A D EBF C PNM 图3A D EBFCPN M (第25题)解(1)如图1,过点E 作EG BC ⊥于点G . ······················ 1分∵E 为AB 的中点,∴122BE AB ==.在Rt EBG △中,60B =︒∠,∴30BEG =︒∠. ············ 2分∴112BG BE EG ====, 即点E 到BC····································· 3分(2)①当点N 在线段AD 上运动时,PMN △的形状不发生改变. ∵PM EF EG EF ⊥⊥,,∴PM EG ∥. ∵EF BC ∥,∴EP GM =,PM EG ==同理4MN AB ==. ·················································································· 4分 如图2,过点P 作PH MN ⊥于H ,∵MN AB ∥, ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠,∠.∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=.则35422NH MN MH =-=-=.在Rt PNH △中,PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=. ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时,PMN △的形状发生改变,但MNC △恒为等边三角形.当PM PN =时,如图3,作PR MN ⊥于R ,则MR NR =.类似①,32MR =. ∴23MN MR ==.··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形,∴3MC MN ==.此时,6132x EP GM BC BG MC ===--=--=. ··································· 8分图3A D E BFCPN M图4A D EBF CPM N 图5A D EBF (P ) CMN GGRG图1A D E BF CG图2A D EBF CPNMG H当MP MN =时,如图4,这时3MC MN MP ===.此时,61353x EP GM ===-=-.当NP NM =时,如图5,30NPM PMN ==︒∠∠.则120PMN =︒∠,又60MNC =︒∠, ∴180PNM MNC +=︒∠∠.因此点P 与F 重合,PMC △为直角三角形. ∴tan301MC PM =︒=.此时,6114x EP GM ===--=.综上所述,当2x =或4或(53时,PMN △为等腰三角形. ···················· 10分9(09兰州)如图①,正方形 ABCD 中,点A 、B 的坐标分别为(0,10),(8,4), 点C 在第一象限.动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动,同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当P 点到达D 点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒.(1)当P 点在边AB 上运动时,点Q 的横坐标x (长度单位)关于运动时间t (秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度;(2)求正方形边长及顶点C 的坐标;(3)在(1)中当t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时P 点的坐标; (4)如果点P 、Q 保持原速度不变,当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时,OP 与PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的t 的值;若不能,请说明理由.解:(1)Q (1,0) ······················································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度. ·········································································································· 2分 (2) 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,BE ⊥x 轴于点E ,则BF =8,4OF BE ==. ∴1046AF =-=.在Rt △AFB 中,228610AB + 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ,与FB 的延长线交于点H . ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH .A CDM Py∴6,8BH AF CH BF ====. ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=.∴所求C 点的坐标为(14,12). 4分 (3) 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ,PN ⊥x 轴于点N , 则△APM ∽△ABF . ∴AP AM MP AB AF BF ==. 1068t AM MP∴==. ∴3455AM t PM t ==,. ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==.设△OPQ 的面积为S (平方单位)∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-(0≤t ≤10) ················································· 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分.∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时, △OPQ 的面积最大. ························· 6分 此时P 的坐标为(9415,5310) . ····································································· 7分 (4) 当 53t =或29513t =时, OP 与PQ 相等. ················································· 9分10(09临沂)数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.90AEF ∠=,且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ,求证:AE =EF .经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =.在此基础上,同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;(2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =EF ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.ADFC GE B图1ADF C GE B 图2 ADFGE B图3解:(1)正确.····················································· (1分) 证明:在AB 上取一点M ,使AM EC =,连接ME . (2分)BM BE ∴=.45BME ∴∠=°,135AME ∴∠=°.CF 是外角平分线,45DCF ∴∠=°,135ECF ∴∠=°.AME ECF ∴∠=∠.90AEB BAE ∠+∠=°,90AEB CEF ∠+∠=°, ∴BAE CEF ∠=∠.AME BCF ∴△≌△(ASA ). ··································································· (5分) AE EF ∴=. ························································································· (6分) (2)正确. ····················································· (7分) 证明:在BA 的延长线上取一点N . 使AN CE =,连接NE . ··································· (8分)BN BE ∴=. 45N PCE ∴∠=∠=°. 四边形ABCD 是正方形, AD BE ∴∥.DAE BEA ∴∠=∠. NAE CEF ∴∠=∠.ANE ECF ∴△≌△(ASA ). ································································· (10分) AE EF ∴=. ······················································································· (11分) 11(09天津)已知一个直角三角形纸片OAB ,其中9024AOB OA OB ∠===°,,.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB 交于点C ,与边AB 交于点D . (Ⅰ)若折叠后使点B 与点A 重合,求点C(Ⅱ)若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ',设OB x '=,OC y =,试写出y 关于x 的函数解析式,并确定y 的取值范围;(Ⅲ)若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ',且使B D OB '∥,求此时点C 的坐标. AD F C G B M A D FC GE B N解(Ⅰ)如图①,折叠后点B 与点A 重合, 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >,. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中,由勾股定理,得222AC OC OA =+, 即()22242m m -=+,解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭,. ··················································································· 4分(Ⅱ)如图②,折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==,, 则4B C BC OB OC y '==-=-,在Rt B OC '△中,由勾股定理,得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+,即2128y x =-+ ···························································································· 6分 由点B '在边OA 上,有02x ≤≤,∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时,y 随x 的增大而减小,y ∴的取值范围为322y ≤≤. ····································································· 7分 (Ⅲ)如图③,折叠后点B 落在OA 边上的点为B '',且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠,,有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OCOA OB''=,得2OC OB ''=. ·································································· 9分 在Rt B OC ''△中,设()00OB x x ''=>,则02OC x =. 由(Ⅱ)的结论,得2001228x x =-+,解得000808x x x =-±>∴=-+,∴点C的坐标为()016. ··································································· 10分12(09太原)问题解决 如图(1),将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C ,D 重合),压平后得到折痕MN .当12CE CD =时,求AMBN 的值.类比归纳在图(1)中,若13CE CD =,则AM BN 的值等于 ;若14CE CD =,则AMBN 的值等于 ;若1CE CD n =(n 为整数),则AMBN的值等于 .(用含n 的式子表示) 联系拓广 如图(2),将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C D,重合),压平后得到折痕MN ,设()111AB CE m BC m CD n =>=,,则AMBN的值等于 .(用含m n ,的式子表示)解:方法一:如图(1-1),连接BM EM BE ,,.方法指导: 为了求得AM BN 的值,可先求BN 、AM 的长,不妨设:AB =2 图(2) N AB C D EF M 图(1)AB C D E FM NA BC EF M。