练习一 多元正态分布的参数估计
1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
2.设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
3.已知随机向量1
2()X X '的联合密度函数为
12121222
2[()()()()2()()]
(,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=
--
其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。求
（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。 4.设12(,,)p X X X X '=服从正态分布，已知其协方差矩阵∑为对角阵，证明其分量是相互独立
的随机变量。
5. 影响粮食产量的因素很多, 大致可分为三个层次：第一层次是宏观因素。主要有三种，一是制度创新, 如20世纪50年代初的土地改革、60年代初的“ 三自一包”和 80年代初的联产承包责任制和现行的粮食直补及税费改革等。二是政策导向, 如收购政策及价格、市场政策结构调整、储备政策、财政投人、政府抓粮食生产的力度等。三是科技进步,如良种的培育、播种技术的改进、机械化程度的提高等等, 特别是杂交水稻的发明, 是粮食生产的一次绿色革命, 大大地提高了粮食单位面积产量。第二层次是中观因素。主要有粮食播种面积、单位面积产量、受灾面积等等, 这些因素是影响粮食产量的直接因素。第三层次是微观因素, 主要有有效灌溉面积、化肥施用量、农业机械化程度、财政三项投入等。为了分析粮食产量的影响因素及其影响程度,将用1978一2007年的统计数据进行分析。其中：Y 是粮食产量(万吨),X1是农业化肥试用量(万吨),X2是粮食播种面积(千公顷),X3是成灾面积(千公顷),X4是农业劳动力(万人),X5是农业机械总动力(万千瓦)。
假定变量服从，根据样本资料求出均值向量和协方差矩阵的似然估计。 6.均值向量和协方差矩阵的极大似然估计具有哪些优良性质？ 7.证明多元正态分布~(,)p N X μΣ样本均值向量~(,/)p N n X μΣ。 8.试证多元正态分布~(,)p N X μΣ的样本协方差矩阵
1
n -S
为Σ的无偏估计。 9.设(1)(2)()n X ,X ,...,X 是从多元正态分布~(,)p N X μΣ抽出的一个简单随机样本，试求
1
n -S
的分布。 10.设()i i X n p ⨯是来自(,)p i i N μΣ的简单随机样本，1,2,3,
,i k =，
（1）已知2...k ====1μμμμ且2...k ====1ΣΣΣΣ，求μ和Σ的估计。 （2）已知2...k ====1ΣΣΣΣ求2,,...,,k 1μμμ和Σ的估计。
