12.3角平分线的性质课件

角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等的两个角的射线叫做这个角的角
平分线。
B
C
O
A
B
C
O
A
∠AOC =∠BOC ∠AOB =2∠AOC =2∠BOC
= =
在△ADC和 △ABC中， AD= AB DC=BC AC=AC
∴△ADC ≌ △ABC （SSS） ∴ ∠DAE=∠DAE
4 PE=__________cm.
A
C
P
D B
E
O
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点 D到AB的距离为？
A E 线BM、CN相交 于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
F N
G
M
P
B
E
C
尺规作图
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
A
D
C
作法:
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 O 为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
EB
3.作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线， 且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足 为C，D，求证：AC=BD。
O
C
D
A
E
B
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 则PN=___2____。
N
A
C
0
P
MB
2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF，求证：CF=EB
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于
点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ
所在直线的距离相等．
HＤ
Ｃ
F ＰＥ
Ａ
ＢG
练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,
A
F
E
C
D
B
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
OP=OP ∴ △PDO≌△PEO（AAS）
EB
∴ PD＝PE
角平分线性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,
且PD⊥OA,PE⊥OB
O
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)
A D
C P
E B
1 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则
并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
P
D●
C●
O
A
知识拓展
如图，在△ABC中，
A
AC=BC，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求 AC的长；
E
（2）求证：AB=AC+CD C
D
B
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法 要确实掌握.
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的
长.将三次数据填入下表：
A
PD PE
D
C 第一次
p
第二次
第三次
O
E
B
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：___P_D_=_P__E____
结论：
角平分线的性质：角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
A
求证：PD=PE.
D
C
P
O
B
E
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E
求证: PD=PE
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△POD和△PEO中
A
D
C
P
∠ PDO＝∠PEO O ∠ AOC＝∠BOC