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a
证明
∥T
∥
≤
(∫ b
a
∫b
a
|k(t,
)1 s)|2dsdt 2
.
§ 第八章
一. 有界算子和连续算子.
1. 设 X, Y 是线性赋范空间, T : X → Y 是线性算子, 则 T 不是连续 的, 当且仅当 ∃xn ∈ X, 使得 xn → 0, 但 ||T xn|| → ∞. 2. 设 α(t) 是 [a, b] 上的实函数, 对 x(t) ∈ C[a, b], 令
三. 连续性.
1. 判断正误. (1) T 是度量空间 X 到度量空间 Y 的连续映射, 则 T 把开集映射为开
2
集. (
)
(2) T 是度量空间 X 到度量空间 Y 的连续映射, 则 T 把闭集映射为闭
集. (
)
四. 完备性.
1. 判断正误.
(1) 完备度量空间的闭子空间完备. (
)
(2) 任意度量空间可以完备化. (
点.
3.
设
|λ| < 1,
考虑
C[0, 1]
上的积分方程
x(s)
=
λ
∫1
0
sin
x(t)dt
+
y(s)
其中 y ∈ C[0, 1], 证明此方程存在唯一连续解.
4.
考虑
C[a, b]
上的非线性积分方程
x(s)
=
λ
∫b
a
K (t,
s,
x(t))dt
+
ϕ(s)
其中 ϕ ∈ C[a, b], K(t, s, ω(s)) 是 [a, b] × [a, b] × R 的连续函数, 满足
∫1
∫1
1
1
∥x∥1 = ( |x(t)|dt) 2 , ∥x∥2 = ( (1 + t)|x(t)|dt) 2 .
0
0
求证 ∥ · ∥1 和 ∥ · ∥2 是 C[0, 1] 中两个等价的范数.
七. Hölder 不等式和 Minkowski 不等式.
1. 判断正误.
(1) 若 1 ≤ p ≤ q, 则 lp ⊂ lq. (
)
2. 填空.
(1) 设 M 和 N 是线性空间 X 的两个子空间, 且 X = M ⊕ N . 则
M ∩N =
.
3. 设 Ck[a, b] 表示定义于 [a, b] 上 k 阶连续可微函数的全体, 按通常函
数的加法与数乘, 已知 Ck[a, b] 是线性空间. 对 x ∈ Ck[a, b], 定义
|K(t, s, ω1(s)) − K(t, s, ω2(s))| ≤ k||ω1 − ω2||.
证明当 |λ| 足够小时, 此方程存在唯一解 x0 ∈ C[a, b].
5. 设 {aij}(i, j = 1, 2, · · · , n) 是一组实数, 满足条件
∑n (aij − δij)2 < 1,
)
(3) 在实数 R 上定义度量 d. 如果从 (R, d) 到任意度量空间的任意函数
都是连续的, 则 (R, d) 完备. (
)
(4) [a, b] 上的多项式函数空间 P [a, b] 在度量 d(x(t), y(t)) = maxt∈[a,b] |x(t)−
y(t)| 下完备. (
)
2. 证明: 有界数列集合组成的空间 l∞ 是完备的.
1
泛函分析期中复习题
§ 第七章
一. 度量空间的概念.
1. 判断正误.
(1) 度量空间中任意有界序列有收敛子列. (
)
(2) [a, b] 上的多项式函数空间 P [a, b] 在度量 d(x(t), y(t)) = maxt∈[a,b] |x(t)−
y(t)| 下是 C[a, b] 中的闭集. (
)
(T x)(t) = α(t)x(t), t ∈ [a, b].
3
五. 压缩映射原理.
1. 填空.
(1)
设正数列
{xn}
对任意
n
≥
1
满足
xn则
limn→∞
xn
=
.
2. 在 C[0, b] 上定义算子 T 为
T (f )(x) = max{u(F (x) − y) + δ · f (y) : y ∈ [0, F (x)]},
其中 u(x) 和 F (x) 都是连续有界函数, 0 < δ < 1. 求证 T 有唯一不动
3. 记 C([a, b]) 是闭区间 [a, b] 上连续函数全体构成的集合, 在 C([a, b])
上定义距离如下:
∫b
d1(f, g) = |f (x) − g(x)|dx, ∀f, g ∈ C([a, b]),
a
C([a, b]) 按 d1 是否完备? 4. 设 X ̸= {0} 为线性赋范空间, 试证 X 是 Banach 空间当且仅当单位 球面 {x ∈ X : ||x|| = 1} 是完备的.
度量.
二. 可分性.
1. 判断正误.
(1) 连续函数空间 C[a, b] 是可分的. (
)
(2) [a, b] 上的多项式函数空间 P [a, b] 在度量 d(x(t), y(t)) = maxt∈[a,b] |x(t)−
y(t)| 下可分. (
)
2. 证明: lp(1 ≤ p < ∞) 是可分空间.
{ 其中 δij = 1,
0,
i,j=1
i = j, . 证明代数方程组 i ̸= j
∑n aijxj = bi, (i = 1, 2, · · · , n)
j=1
对任何 b = (b1, · · · , bn)T ∈ R 都存在唯一解.
4
六. 线性空间和范数的概念.
1. 判断正误.
(1) 线性空间上任意两种范数相互等价. (
)
(2) 设 [a, b] 是有界区间. 若 1 ≤ p ≤ q, 则 Lp[a, b] ⊂ Lq[a, b]. (
)
5
2. 设 k(t, s) ∈ L2([a, b] × [a, b]), 令 T : L2[a, b] → L2[a, b] 为
∫b (T x)(t) = k(t, s)x(s)ds.
∑k ∥x∥ = max x(i)(t) ,
a≤t≤b i=0
其中 x(0)(t) 表示 x(t), 求证 Ck[a, b] 成为赋范空间.
4. 设 k 是非负整数, 证明 [a, b] 上次数不超过 k 的多项式全体 Pk[a, b]
是 C[a, b] 的闭子空间.
5. 对 x(t) ∈ C[0, 1], 令
2. 在实数 R2 上, 对 x = (x1, x2), y = (y1, y2), 令 d(x, y) = ((x1 −
y1)2 + (x2 − y2)2)p, 当 p 为何值时, (R2, d) 是度量空间.
3.
若
(X, d)
是度量空间,
证明
d1
= min(d, 1),
d2
=
d 1+d
也是
X
上的
