第八节 抛物线
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；
(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y 2＝2px
(p ＞0)
y 2＝－2px
(p ＞0)
x 2＝2py
(p ＞0)
x 2＝－2py (p ＞
0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点 O (0,0)
对称轴 y ＝0 x ＝0
焦点 F ⎝
⎛⎭
⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2
，0 F ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－p 2
离心率 e ＝1
准线方程 x ＝－p
2
x ＝p 2
y ＝－p 2
y ＝p 2
范围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
y ≥0，x ∈R
y ≤0，x ∈R
开口方向 向右
向左 向上
向下
焦半径 (其中
P (x 0，y 0))
|PF |＝x 0＋p
2
|PF |＝
－x 0＋p
2
|PF |＝y 0＋p
2
|PF |＝－y 0＋p
2
1．(2018·杭州七校联考)抛物线C ：y ＝ax 2
的准线方程为y ＝
－1
4
，则其焦点坐标为________，实数a 的值为________． 解析：由题意得焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
0，14，抛物线
C 的方程可化为x 2
＝1a y ，由题意得－14a ＝－1
4
，解得a ＝1. 答案：⎝
⎛⎭⎪⎫0，14
1
2．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．
答案：y 2
＝－4x 或x 2
＝－8y
3．(教材习题改编)抛物线y ＝4x 2
的焦点坐标为__________；准线方程为____________．
解析：抛物线的标准方程为x 2
＝1
4y ，所以焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫0，116，
准线方程为y ＝－1
16
.
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫
0，116
y ＝－1
16
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．
3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．
[小题纠偏]
1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．一条直线
答案：D
2．抛物线8x 2
＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2
＋y ＝0，得x 2
＝－18
y .
∴2p ＝18，p ＝1
16，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫
0，－132
考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1．(2019·温州十校联考)设抛物线C ：y ＝14x 2
的焦点为F ，直
线l 交抛物线C 于A ，B 两点，|AF |＝3，线段AB 的中点到抛物线
C 的准线的距离为4，则|BF |＝( )
A.7
2 B ．5 C ．4
D ．3
解析：选B 抛物线C 的方程可化为x 2
＝4y ，由线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，可得|AF |＋|BF |＝8，又|AF |＝3，
所以|BF |＝5.
2．已知M 是抛物线x 2
＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2
＋(y －5)2
＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选B 依题意，由点M 向抛物线x 2
＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5，故选B.
[由题悟法]
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p
2
.
[即时应用]
1．如图，设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
A.|BF |－1|AF |－1
B.|BF |2
－1|AF |2
－1
