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勒根定理和互易定理等。
网络的基本表征量
基本变量
u(t )
i (t ) q(t ) (t )
( )
高阶基本变量 基本复合变量
x
（k ）
u
i
( )
p(t ) w(t )
（ x k）
x x ( ) ( ) u i
（） 0
d x k dt
k
x t dt dt （）dt
t t t T
di(t ) p (t ) i (t )u(t )＝i (t )L dt
T T
因L对称正定，所以W(t)≥0，并且只 有在i = 0时，W(t)=0.因此，L为对称 正定矩阵时，该双口电感元件一定为 无源元件。
ˆ ˆ 设 U p , I p 和 U p , I p 是多口网络端口的任 意两组容许信号偶，相应的两组内部支路 ˆ ˆ 容许信号偶为 Ub , Ib 和 Ub , Ib 。设多口网 络由 l个元件组成，每个元件相应的容许 ˆ ˆ 信号偶为 Uk , Ik 和 Uk , Ik (k=1,2,…,l)，则 由特勒根定理得 l l Tˆ Tˆ Tˆ ˆ ˆ UT I p UT I b U k I k U p I p Ub Ib Uk Ik ˆ p b
R2 / 2 i1 R1 i1 i2 i i1 i2 R i R2 2 R2 / 2 2
次型
当 R1 R2 ( R2 ) 2 / 4 时，R是对称正定的， p(t)≥0，该双口电阻元件是无源的。
例3 证明仅由无源元件组成的多口 网络是无源的，并且这只是一个充 分条件。（无源封闭性）
-
ˆ u p1
ˆ u pn
-
+
ˆ Tp i p uT i b 0 (2) ˆb -u
ˆ ˆb (1) (2)得： uTp i p - uTp ˆ p uT i b uT ˆb (3) i i b
共讲了10道例题！
再看几道题！
练习题1（10%）电感元件的韦安特性：
i - 3 5 试判断其是有源还是无源元件。
T b b
b
ˆ ˆT u 0 uT i b iT ub 0 ˆb u i ib b b ˆ
ˆ uk ik 0
k 1
ˆ u i
k 1
b
k k
0
3.特勒根定理的多端口形式
uTp i p uT i b - u p i p u b ib 0 b ˆ i ˆ i - uT ˆ p uT ˆb 0 uT ˆ p uT ˆb ˆ i ˆ i
u R i
则该网络为线性（ 互易 ）一端口网络
互感元件的受控源等效电路
Mkj
Ik
+
Mkj
Ij
+
+ Ik Uk
U k Lk
Lj U j
Lk
+
+ L j Uj Ij
+ -
jM kj I j
jM kj I k
-
•对图示含互感电路求出 互感支路支路阻抗阵
U 2 jL2 I 2 jM I 3 U 3 jM I 2 jL3 I 3 jL2 jM Z (2,3) jM jL3
t
（1）先说明M 12 M 21 件是有源的。
假定 M 12 M 21
取 i1
2 sin t
t
2
可得 i1 (
2
t 2 t sin i2 2 0
t [0,
电流是 任意 的 2
则 W(
2
) 0, i2 (
2
2
其它
]
) ( M 12 M 21 ) ( M 12 M 21 ) 3
p（t） u（t）i（t），W（t） p（t）dt
t
狭义关系
u
电 容 元 件
电阻元件
i
电 感 元 件
q
忆阻元件
广义关系
A
KCL Ai=0
Bf i = BfT il
Qf
T t l
it B i
i t Ql i l
Qf i=0
KVL u = ATun
T t 1 t l
T T
p
u
ˆ u
j 1
n
b
j 1 n
pj pj
i uk ik
k 1 b
b
p
b
+ up1 -
ip1 N(共b条支路)
ipn
+ upn -
pj pj
ˆ ˆ ˆ i uk ik
k 1
+
ˆ i p1
ˆ i pn
ˆ N(共b条支路)
- uTp ˆ p uT ˆb 0 (1) i i b
t
t
t
, 取任意整数
基本变量（表征量）之间存在的 与“网络元件”无关的普遍关系
dq(t ) （1 ） i（t） ，q（t） i i（t）dt dt t d (t ) （1 ） u（t） ， (t ) u （t） u（t）dt
dt
t
该元件在时刻t吸收的能量为
W (t ) (u1i1 u2i2 )d t di1 di2 di1 di2 [( L1 M12 )i1 ( M 21 L2 )i2 ]d d d d d
t t di1 di2 di2 di1 L1i1 d L2i2 d ( M 12i1 M 21i2 )d d d d d i1 ( t ) i2 ( t ) i1i2 t di1 L1i1di1 L2i2 di2 M 12 d (i1i2 ) ( M 12 M 21 ) i2 d 0 0 0 d t di1 1 2 1 2 L1i1 L2i2 M 12i1i2 (M 12 M 21 ) i2 d 2 2 d t
p（t） uk ik u1i1 u2i2 i1r1i1 i2 i1）r2i2 （
k 1
2
[i1，i2 ] 1 2 r2 r1
1 r2 i1 2 0 r2 i2
2 2 2
r 0 ，r r2 4 r 0 ， 1 1
k 1
例6 证明仅由互易元件组成的多口 网络一定是互易封闭性的；但互易 多口网络可含有非互易元件。
k 1
ˆ ˆ p U T I b U T I k UT I UT I ˆ ˆ ˆ U I b k p p b b
T p k 1
l
ˆ U k Ik
k 1
l
由于所有元件都是互易的，所 以，对于所有k
t
u i d 0
T k k
t
而t时刻多口网络吸收的功率为
u i u i u i
T p p T b b k 1
l
T k k
到t时刻多口网络吸收的能量为
t
u i d u i d 0
T p p t k 1 T k k
l
这表明该多口是无源的。这种 特性称为封闭性。
因此
ˆ UT Ik ˆk U I ˆ UT I ˆ U I p p
T k k T p p
根据定义，该多口网络是互易的。
图示电路含有非线性（非互易元件） 但仍为线性（互易）一端口网路。
设二极管D的模型为正向电阻 R 和 反向电阻 R ，它们都是常数。 列出相应的KCL和KVL方程
+
i i1
例2
u1 R1 已知一双口电阻元件的伏安关系为 u 2 R2
0 i1 R2 i2
式中R1和R2均为正值。试求该元件为无源元件的条件。
解
i1
该元件吸收的功率为 重排二
2 11
p(t ) u1i1 u2i2 R i R2 (i2 i1 )i2
练习题2（10%）电容元件的库伏特性：
u -q q 试判断其是有源还是无源元件。
3 5
练习题3（10%某加法器的约束条件是： y ax1 bx2 其中x是输入，y是输出，
a、b是常数，它们可以是N端口的电流或 电压。试判断：该加法器是否为线性？
10道例题！
例1 试说明受控源是有源元件 。
p（t） uk ik u1i1 u2i2 i1r1i1 i2 i1）r2i2 （
r1 [i1，i2 ] 1 2 r2 1 r2 i1 2 0 r2 i2
注意：由Z阵可知该网络为非互易双口网络， 在判断网络的有源性时要重排二次型！
i2 R
u
_
R
i i1 i2 i1R i1R u i2 R i2 R u
u u i1 i2 RR RR
1 1 )u i i1 i2 ( RR RR
1 1 令： R ( ) constant RR RR
0 2
sin 2 sin cos d
2 2 2 2 sin (cos 1)d
)0
0
( M 12 M 21 ) 0
这表明,当 M 12 M 21 时，双口电感元件是有源 元件。因此，元件无源时，L为对称矩阵。 （2）当 M12＝M 21＝M 时
Bf u=0
ul = - Btut
u =Qf T ut
ul Q ut
T l
B A A，
P A , PAt At P 1t
1 t
Ql B
T t
Q f PA，
特勒根定理
1.功率守恒定律
u i i ub 0
T b b T b
u i
k 1
b
k k
0
2. 拟功率守恒定理
解 以VCVS为例说明，其它受控源可作类似讨论。
将VCVS的控制支路 加一电压源，受控支 路接一正值电阻。
＋ ＋ us － u1 －
＋
u1
－
＋ u2 R －
u 2 p(t ) u1i1 u2i2 u2i2 u1 0 R2 R2 故VCVS是有源元件。
2 2 2
t 时刻受控源吸收的功率为
r1 2 ，无源 ， r2
r1 2 ，有源，可能为负 有源 r2
例5 设双口电感元件的电感矩阵为
L1 L M 21 M 12 L2
证明该元件是无源元件的充分必 要条件是对称正定。
证明： 1°必要性的证明 双口电感元件 的伏安关系为
di1 di2 u1 L1 M 12 dt dt di1 di2 u2 M 21 L2 dt dt
证明
设多口网络由个无源元件组成，这些元 件可以是二端的，也可以是多端的。令 ｛uk，ik｝表示第k个元件的容许信号偶 (k＝1，2，…，l)，则对于网络内部的 容许信号偶｛ub，ib｝，有 l T T ub i b uk i k
k 1
u i u i
T b b k 1
l
T k k
特勒根定理的多端口形式 由于元件是无源的，对于所 有k，都有
第一章 网络理论基础
重 点 网络及其元件的基本概念 基本代数二端元件，高 阶二端代数元件，代数 多口元件
网络及其元件的基本性质!!
集中性与分布性、线性、非线 性；时变、非时变 ；因果、非 因果；互易、反互易、非互易； 有源、无源 ；有损、无损，非 能 。
网络图论基础知识
Q G，A，T ，P， f ，B f ; KCL、KVL的矩阵形式；特
例4试判断图示电路β取值对网络有无源性的影响。 i1 i2 解：列出相应的电路方程
r2 0 r1 H 1 / r2
2 k 1
u1 r1i1 1 i2 i1 u2
+ u1
r1
i1
r2
+ u2
r1 Z r2
0 r2
必要性
L1 L2 M 2 2 1 M 2 W (t ) L1 (i1 i2 ) i2 2 L1 2L1 要使 W (t ) 0，应有
Hale Waihona Puke Baidu
L1 0, L2 0, L1L2 M 0
2
2° 充 分 性 的 证 明
di( ) 1 T 1 T W (t ) p( )d i ( )L d＝ i Li i Li d 2 2
