必修5教案(苏教版普通高中数学)

第 1 课时：§2.1 数列（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。

【关键字】高中第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题．如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.【解析】结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.【答案】0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a＝1.【答案】 12．在等比数列{an}中，a2＝3，a6＝27，则a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]在等比数列(1)若a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a6＝32，求log1＋log2＋…＋log8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log1＋log2＋…＋log8＝log1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.【解】(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】 法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q2，a q，a ，aq ，aq 2. [再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：】【解】 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用探究n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n可知． 探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？ 【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18， (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n . 【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n . 【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0， ∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列．2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列． [再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？ 【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *， ∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)． 由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×23＋12＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________．①a 1，a 3，a 9成等比数列；②a 2，a 3，a 6成等比数列；③a 2，a 4，a 8成等比数列；④a 3，a 6，a 9成等比数列．【解析】 ∵3＋9＝2×6，∴a 26＝a 3·a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列． 【答案】 ④2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50， ∴a 4a 5a 6＝±52， 又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】 依题意可设这四个数分别为：4－d24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，4－d 24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14.∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a，即a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.【答案】 －74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：】【解析】 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4. 【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】 由题意知a ＋c ＝2b ， ∴5b ＝10，b ＝2， ∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ， ∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4. 【答案】 －47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， ∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 【解析】 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列． 【解析】 a ，b ，c 成等比数列，则b a ＝cb， 即b 2＝ac,2log x b ＝log x a ＋log x c ，即2log b x ＝1log a x ＋1log c x， 即1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列． 【答案】 ③2．(2016·启东高二检测)设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论： ①0<q <1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确的编号为________．【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1a 100－1<0，可知a 99，a 100一个大于1，一个小于1，因为a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q <1，而且a 99>1，a 100<1，又a 99·a 101＝a 2100<1，①③正确；T 198＝a 1a 2…a 99a 100…a 197·a 198＝(a 99a 100)99>1，②不正确；T 199＝a 1a 2…a 100…a 198a 199＝(a 100)199<1，故④正确．【答案】 ①③④3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 ∵b n ＝a n ＋1， ∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1， ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1， 代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

苏教版高中必修5数学教案
课题：一元二次方程的应用
教学目标：
1.了解一元二次方程的基本概念和性质；
2.掌握一元二次方程的解法和应用；
3.能够运用一元二次方程解决生活中的实际问题。

教学重点和难点：
1.掌握一元二次方程的解法；
2.能够灵活运用一元二次方程解决实际问题。

教学过程：
一、导入：通过实际生活中的问题引入一元二次方程的概念和应用。

二、讲解：介绍一元二次方程的定义、标准形式以及解法。

三、练习：让学生通过一些简单的例题进行练习，巩固知识点。

四、拓展：给学生提供一些更复杂的应用题，让他们运用所学知识解决问题。

五、总结：总结本节课的内容，强调一元二次方程的重要性和实际应用。

教学评价：通过课堂练习和作业，检测学生对一元二次方程的掌握程度。

课后作业：完成指定的练习题和实际应用题，加深对一元二次方程的理解。

教学反思：根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学方法，确保学生的学习效果。

第2课时正弦定理(2)1．利用正弦定理判断三角形的形状，计算三角形的面积．(重点) 2．正弦定理与三角恒等变换的综合应用．(难点)3．利用正弦定理解题时，忽略隐含条件而致误．(易错点)[基础·初探]教材整理正弦定理的应用阅读教材P9～P12，完成下列问题．1．正弦定理的深化与变形(1)asin A＝bsin B＝csin C＝________＝________.(2)a＝________，b＝________，c＝________.(3)ab＝________，ac＝________，bc＝________.(4)a∶b∶c＝________：________：________.【答案】(1)2Ra＋b＋csin A＋sin B＋sin C(2)2R sin A2R sin B2R sin C(3)sin Asin Bsin Asin Csin Bsin C(4)sin A sin B sinC2．三角形面积公式S△ABC＝________＝________＝________.【答案】12ab sin C12bc sin A12ac sin B判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在有些三角形中，a ＝sin A ，b ＝sin B ，c ＝sin C ．( ) (2)在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C.( )(3)在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，C ＝30°，则S △ABC ＝1.( )【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 可知(1)，(2)正确；又S △ABC ＝12×2×1×sin 30°＝12，故(3)错误．【答案】 (1)√ (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]在△c ，且B ＝30°，c ＝23，b ＝2，求△ABC 的面积S .【精彩点拨】 先求C ，再求A ，最后利用S △ABC ＝12bc sin A 求解． 【自主解答】 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝23sin 30°2＝32.又∵c >b ，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，∴S＝12bc sin A＝23；当C＝120°时，A＝30°，∴S＝12bc sin A＝3，∴△ABC的面积S为23或3.求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．[再练一题]1．在△ABC中，cos A＝－513，cos B＝35.(1)求sin C的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积.【导学号：91730004】【解】(1)在△ABC中，0<A<π，0<B<π，A＋B＋C＝π，由cos A＝－513，得sin A＝1213，由cos B＝35，得sin B＝45，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝1213×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)在△ABC中，由正弦定理得，AC＝BC×sin Bsin A＝5×451213＝133，∴S△ABC＝12×BC×AC×sin C＝12×5×133×1665＝83.在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状． 【精彩点拨】 根据正弦定理可以把问题转化为角的问题，借助三角恒等变换知识化简得到角与角的等量关系，再进一步判断．【自主解答】 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A . 由正弦定理得sin 2 A sin B cos B ＝sin 2 B sin Acos A ， 即sin A cos A ＝sin B cos B ，亦即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＝π2－B ，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．根据边角关系判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦定理实施边、角转换．[再练一题]2．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．【解】 法一：在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12，∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二：在△ABC 中，根据正弦定理： sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°. ∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，∴B －C ＝0，即B ＝C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形．[探究共研型]图1-1-1【提示】 如图，在B 侧选一条基线BC ，测得BC ＝a ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则由正弦定理可知 AB sin β＝BCsin (α＋β)，即AB＝BC sin βsin(α＋β).探究2你能画出下列各角吗？(1)南偏西30°；(2)仰角30°，俯角45°.【提示】如图1-1-2，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.图1-1-2【精彩点拨】先求出∠CBD，利用正弦定理求BC，再在△ABC中，求AB.【自主解答】在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsin β＝ssin[180°－(α＋β)]，即BCsin β＝ssin(α＋β)，∴BC＝sin βsin(α＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tan θ，∴AB＝BC·tan θ＝sin β·tan θsin(α＋β)·s.解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．[再练一题]3．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，0.5 h后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．【解】如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(n mile)．由正弦定理，得AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB，∴AC＝AB sin∠ABCsin∠ACB＝15×sin 120°sin 15°＝32＋62×15(n mile)．在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝2AC＝15(3＋3)(n mile)．∴A，D两处之间的距离是15(3＋3)n mile. 答：A，D两处的距离为15(3＋3)n mile.[构建·体系]1．在△ABC中，AB＝3，BC＝1，B＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________.【解析】S△ABC ＝12×AB×BC×sin B＝12×3×1×12＝34.【答案】3 42．在△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC是________三角形．【解析】由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R可知a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.由acos A＝bcos B＝ccos C可知tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．【答案】等边3．如图1-1-3所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________ m.【导学号：91730005】图1-1-3【解析】 由题意可知∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，得AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．【答案】 50 24．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C ＝________. 【解析】 由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 故2a sin A －b sin B －csin C ＝0. 【答案】 05．如图1-1-4，A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ．在A 点测得山顶C 的仰角为30°，∠BAD ＝105°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C到水平面的垂足．求山高CD .图1-1-4【解】 在△ABD 中，由正弦定理，得 AD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ADB ＝800sin 45°sin (180°－105°－45°)＝8002，在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan 30°＝8002×33＝80063(m)． 答：山高CD 为80063 m.我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知△ABC的面积为3且b＝2，c＝2，则A＝______.【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A，b＝2，c＝2，∴12×2×2sin A＝3，∴sin A＝3 2.又A∈(0，π)，∴A＝π3或2π3.【答案】π3或2π32．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________ n mile.【解析】如图所示，易知C ＝45°，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ， ∴BC ＝AB sin Asin C ＝5 6. 【答案】 5 63．(2016·苏州高二检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________.【导学号：91730006】【解析】 由正弦定理知，b sin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B ＝2 2. 又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1. 【答案】3＋14．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0，∴cos A ＝32. 又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，即△ABC 为直角三角形， 由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2 B －sin 2 Asin 2A的值为________．【解析】 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72.【答案】 726．(2016·泰州高二检测)在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．【解析】 由a ＝2b cos C 可知 sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0， ∴B ＝C ，∴b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形． 【答案】 等腰7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B ·cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________.【解析】 根据正弦定理将边化角后约去sin B ，得sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12，又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6.【答案】 π68．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．【解析】 设最小角为α，则最大角为120°－α， ∴sin (120°－α)sin α＝3＋12，∴2sin(120°－α)＝(3＋1)sin α， ∴sin α＝cos α，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°. 【答案】 75° 二、解答题9．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．【解】 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴∠ABC ＝45°，AC ＝60.根据正弦定理， 得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC＝60sin 30°sin 45°＝302(km)．10．在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，用正弦定理证明：AB AC ＝BDDC . 【证明】 如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，在△ABD 中，由正弦定理得 AB sin ∠3＝BDsin ∠1，① 在△ADC 中，由正弦定理得 AC sin ∠4＝DCsin ∠2，②又sin ∠1＝sin ∠2，sin ∠3＝sin ∠4， 故①②得AB AC ＝BD DC. [能力提升]1．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 的形状一定是________． 【解析】 在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A ，∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理， 得2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【答案】 等腰或直角三角形或等腰直角三角形2．(2016·南京高二检测)在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则ab 的取值范围为________．【解析】 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 均小于90°， 即⎩⎨⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ∈(2，3)， 故ab 的取值范围是(2，3)． 【答案】 (2，3)3．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为________(用B 表示).【导学号：91730007】【解析】 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π可知C ＝2π3－B . 由正弦定理得3sin π3＝AB sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ACsin B ，∴AB ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，AC ＝23sin B ，∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝23·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋3＝3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.【答案】 3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π64．(2016·如东高二检测)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝33. 又B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2 A －1＝13， 所以sin B ＝1－cos 2 B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539， 所以c ＝a sin Csin A ＝5.。

高中数学必修5《不等关系与不等式》教案一、教学内容不等关系与不等式二、教学目标1. 理解不等关系和不等式的概念；2. 掌握表示不等式的方法；3. 掌握一元一次不等式的解法；4. 掌握二元一次不等式的解法；5. 能够应用不等式解决实际问题。

三、教学重点1. 不等关系与不等式的概念；2. 一元一次不等式的解法；3. 能够应用不等式解决实际问题。

四、教学难点1. 二元一次不等式的解法；2. 能够应用不等式解决实际问题。

五、教学方法1. 讲授法；2. 举例法；3. 练习法。

六、教学过程1. 引入（10分钟）教师先用几道小学的例题，考察学生的知识储备，比如：“如果a>b，b>c，那么a>c吗？”，“a+b+b+c>c+c+a，a+b的大小关系是什么？”，建议让学生互相出题。

2. 讲授（40分钟）(1) 不等关系与不等式- 定义：如果两个数x、y之间存在大小关系，那么我们就称它们之间是一种关系，叫做不等关系。

而$x>y$、$x\geqslanty$等代数形式表示的关系就叫做不等式。

- 内容：不等关系的分类（大于、小于、大于等于、小于等于、等于），不等式的基本性质（两侧都加或减同一个有理数，符号不变；两侧都乘或除同一个正数，符号不变；两侧都乘或除同一个负数，符号不变反）（2）表示不等式的方法- 直观法：把不等式中的数相对数线上表示出来，即可得到不等式的关系。

- 求解法：对于 $a \space \Delta \space b$型的不等式，可以将它化为$a-b\space \Delta \space 0$型的不等式，即将不等式移到一个边上，然后求解。

（3）一元一次不等式的解法- 一元一次不等式：$ax+b\space \Delta \space0(ax+b\geqslant0\text{或} ax+b>0)$- 思路：先将不等式移到一个边上，然后根据系数a的正负以及$b\neq 0$的情况分类讨论解不等式。

数列●三维目标1.知识与技术(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方式(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数，熟悉数列是反映自然规律的大体数学模型；(2)了解数列的分类，明白得数列通项公式的概念，会依照通项公式写出数列的前几项，会依照简单数列的前几项写出数列的通项公式；(3)培育学生认真观看的适应，培育学生从特殊到一样的归纳能力，提高观看、抽象的能力．2.进程与方式(1)通过对具体例子的观看分析得出数列的概念，培育学生由特殊到一样的归纳能力；(2)通过对一列数的观看、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培育学生的观看能力和抽象归纳能力；(3)通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方式(列表、图象、通项公式)．3．情感、态度与价值观(1)体会数列是一种特殊的函数，借助函数的背景和研究方式来研究有关数列的问题，能够进一步让学生体会数学知识间的联系，培育用已知去研究未知的能力．(2)在参与问题讨论和解决进程中，培育观看、归纳的思维品质，养成自主探讨的学习适应；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的爱好．●重点、难点重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：熟悉数列的本质是一类离散函数.关于数列概念那个重点内容的教学，教师应该强挪用函数的背景和研究方式来熟悉、研究数列，如此能够加深学生对函数概念和性质的明白得，有利于对数列本质的把握．建构数列的概念第一要经历大量的实例观看与分析，关键是让学生明白得数列的顺序性；第二教师启发学生对几个不同数列的共性进行探讨，通过度组讨论，慢慢完善，然后揭露出数列的概念．如何明白得数列的本质是一类离散函数呢？教师第一能够从分析一个简单的数列入手，启发学生发觉数列的函数解析式，进而能够用列表法、图象法来表示，由此发觉数列的图象是一系列孤立的点，可谓瓜熟蒂落；然后因势利导，进行一样化的抽象，通过数列的概念域与值域之间的一一对应关系的列表，深化对数列是一种特殊函数即离散函数的熟悉．●教学建议1．对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的大体数学模型；另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有一直观熟悉，感受数列研究的现实意义，以激发学生的学习爱好．2．对数列概念的把握，教学中应注意：(1)数列是依照必然顺序排列着的一列数，教学中要注意留给学生回味、试探的空间和余地；(2)数列是一种特殊函数，其概念域是正整数集N*(或它的有限子集)，值域是当自变量按序从小到大依次取值时的对应值．3．重视对学生学习数列的概念及表示法的进程的评判，关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是不是充满爱好；在学习进程中，可否发觉数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式或递推公式．4．正确评判学生的数学基础知识和基础技术可否类比函数的性质，正确明白得数列的概念，正确利用通项公式、列表、图象等方式表示数列，了解数列是一种特殊的函数，了解递推公式也是数列的一种表示方式．●教学流程创设问题情境，引入数列等概念及数列的一般形式.⇒引导学生从生活实际感受数列概念，并给出数列的分类.⇒通过引导学生回答所提问题理解数列的通项公式.⇒结合具体事例总结数列的各种表示方法.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握已知数列前几项求通项公式的方法技巧.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握数列通项的应用技巧.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握求数列最大项与最小项的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第17页)(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是________．(2)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂依次是________．(3)关于函数y ＝3x ，当自变量x 依次取－2，－1,1,2,3时，其函数值依次是________． (4)“一尺之棰，日取其半，万世不褐”，若是将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”……如此下去，即得一列数________．那么，以上问题的结果，有什么一起特点？【提示】 一起特点是：都是一列数；都有必然的顺序． 1．数列依照必然顺序排列的一列数称为数列． 2．项数列中的每一个数都叫做那个数列的项． 3．数列的一样形式可写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }.数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无穷的数列叫做无穷数列.数列的通项公式【问题导思】1．数列1，－12，13，－14，…的第n 项与序号n 之间有何关系？【提示】 第n 项是序号n 的倒数，且奇数项为正，偶数项为负． 2．数列2,4,6,8,10，…与函数y ＝2x 有何关系？【提示】 该数列是函数y ＝2x 的自变量x 依次取1,2,3,4，…时所取得的一列函数值． 若是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系能够用一个公式来表示，那么那个公式叫做那个数列的通项公式.数列的表示法数列能够用通项公式、列表或图象来表示.利用观察法求数列的通项公式写出以下数列的一个通项公式．(1)23，415，635，863，…；(2)－1，32，－54，78，－916，…；(3)3，3，15，21，33，…；(4)9,99,999,9999，….【思路探讨】 观看→归纳a n 与n 的关系→验证结论→得出答案【自主解答】 (1)依照题意分析可知：分子为2的倍数，即为2n ，分母比分子的平方小1，因此a n ＝2n 2n2－1.(2)该数列的各项符号是负正交替转变，而各项的绝对值为11，32，54，78，916，….因此a n＝(－1)n2n －12n －1. (3)该数列的各项都能够写成根式3，9，15，21，27，….即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，….因此a n ＝32n －1＝6n －3.(4)因为9＝101－1,99＝102－1,999＝103－1,9 999＝104－1，…，因此a n ＝10n －1. 1．本例中探访数列中的项与项数n 之间的关系时应注意： (1)关于分式应分母分子别离考虑，各个击破； (2)正负项交替显现时要引入操纵符号的因式(－1)n .2．此类问题要紧靠观看(观看规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方式，将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系，具体方式为：(1)分式中分子、分母的特点； (2)相邻项的转变特点； (3)拆项后的特点；(4)各项的符号特点和绝对值特点．依照数列的前几项，写出以下数列的一个通项公式． (1)45，12，411，414，…；(4)12，－34，58，－716，…； 【解】 (1)注意前四项中有三项的分子为4，不妨把分子统一为4，即45，48，411，414，…，因此有a n ＝43n ＋2(n ∈N *)．(2)6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因此有a n ＝n n ＋12(n ∈N *)． (3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘9，得9,99,999，…，因此有a n ＝79(10n －1)(n∈N *)．(4)通过观看符号为一正一负：(－1)n ＋1，分子为2n －1，分母为2n ，因此a n ＝(－1)n＋12n －12n. 通项公式的应用已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n，(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？若是是，是第几项？【思路探讨】 (1)别离把n ＝1,2,3代入通项公式即可．(2)令a n 别离等于110和1627，解方程求n ，再查验n 是不是为正整数．【自主解答】 (1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，那么n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8. 又n ∈N *，故n ＝－8舍去，因此110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，那么4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92.又n ∈N *，因此1627不是数列{a n }的项．1．若是已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就能够够写出数列中的指定项．2．判定某数是不是为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n 的方程；(3)假设n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；假设n 不是正整数，那么不是该数列的项．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？假设是，是第几项？假设不是，请说明理由．【解】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ，∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)． ∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0，∴n ＝－2或n ＝343. ∵－2∉N *，343∉N *， ∴68不是该数列的项.数列的最大项、最小项问题已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3，求它的最大项．【思路探讨】 数列是特殊的函数，可将问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的知识求解．【自主解答】 已知－2n 2＋9n ＋3＝－2(n －94)2＋1058.由于函数f (x )＝－2(x －94)2＋1058在(0，94)上是增函数，在[94，＋∞)上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，因此数列{a n }的最大项为a 2＝13.1．解决此题的关键是转化为二次函数的最值问题，并注意n ∈N *.2．数列的项与项数之间组成特殊的函数关系，故可用函数的有关知识解决数列问题，但要注意函数的概念域．关于通项公式为二次函数的数列，其最值不必然是在对称轴上取得，当对称轴不是正整数时，最值应是离对称轴最近的项的值，且对应的值可能是一项或两项．假设例题中通项公式改成“a n ＝－2n 2＋29n ＋3”，结果是什么？【解】 由题意得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818， 又∵n ∈N *，∴当n ＝7时，a n 有最大值108.∴数列a n 中的最大项为a 7＝108.忽略数列的函数特性而致误已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－3n ＋4，求a n 的最小值．【错解】 因为a n ＝n 2－3n ＋4＝(n －32)2＋74， 因此a n 的最小值为74. 【错因分析】 将a n ＝n 2－3n ＋4看成关于n 的二次函数，当n ＝32时，取得最小值为74，而数列中n ∈N *，故n 取不到32，最小值并非是在极点处取得． 【防范方法】 解题时不要把数列当做一样的二次函数，数列是特殊的函数，其概念域为正整数集N *(或它的有限子集)，图象不持续，是一群孤立的点．【正解】 因为a n ＝n 2－3n ＋4＝(n －32)2＋74， 可知图象的对称轴方程为n ＝32，又n ∈N *，故当n ＝1或n ＝2时，a n 取得最小值．其最小值为22－3×2＋4＝2.1．基础知识：(1)数列的概念；(2)数列的分类；(3)数列的通项公式；(4)数列的表示法．2．大体技术：(1)利用观观点求数列的通项公式；(2)运用通项公式研究数列的项；(3)求数列的最大项与最小项．3．思想方式：(1)函数思想；(2)转化思想.1．假设数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋n ＋1n ＋1，那么它的前4项为________．【解析】 把n ＝1,2,3,4一一代入即可．【答案】 32，73，134，2152．数列12，－45，910，－1617，…的一个通项公式是a n ＝________. 【解析】 偶数项均为负，奇数项均为正，故应用(－1)n ＋1操纵符号，分子显然为序号的平方，分母均比相应分子大1.【答案】 (－1)n ＋1n 2n 2＋13．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，那么35是该数列的第________项．【解析】令2n－1＝35，那么2n－1＝45，∴n＝23.【答案】 234．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．(1)求{a n }的通项公式；(2)88是不是是数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n ＝kn ＋b ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2，∴a n ＝4n －2. (2)令a n ＝88，解得n ＝452∉N *， ∴88不是{a n }中的项.一、填空题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(n 2＋1)，那么a 3等于________．【解析】 a 3＝(－1)3＋1(32＋1)＝10.【答案】 102．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x 的值是________．【解析】 观看数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的不同离为2,3,4，…，依次增加1，故x 为15.【答案】 153．数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是________． 【解析】 数列中奇数项均为负，偶数项均为正，要用(－1)n 操纵符号，除首项为1外其余各项均为分式，故把1改写成11，从而分母依次为1,3,5,7，…，通项为2n －1，分子依次为1,4,9,16，…，通项为n2.【答案】a n＝(－1)nn2 2n－14．已知数3，3，15，21，…，那么9是数列的第______项．【解析】依照观看可知，通项公式为a n＝32n－1，令32n －1＝9，解得n ＝14.∴9是数列的第14项．【答案】 145．依照图2－1－1中的5个图形，及相应点的个数转变规律，试猜想第n 个图中有________个点．(1) (2) (3) (4) (5)图2－1－1【解析】 设第i 个图形中有a i 个点(i ＝1,2，…，n )，那么a 1＝1，a 2＝1＋1×2，a 3＝1＋2×3，a 4＝1＋3×4，a 5＝1＋4×5，…，a n ＝1＋(n －1)n .【答案】 1＋(n －1)n6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋17n ＋8，那么数列的最大项的值为________．【解析】 由a n ＝－n 2＋17n ＋8＝－(n －172)2＋3214得，n ＝8或9时，a n 最大，把8或9代入得a 8＝a 9＝80.【答案】 807．已知数列{a n }知足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n (n 为正整数)，且a 2＝6，那么数列{a n }的一个通项公式为________．【解析】 令n ＝1得a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，∴a 1＝1＝1×1；令n ＝2得a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，∴a 3＝15＝3×5；令n ＝3得a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，∴a 4＝28＝4×7，又a 2＝6＝2×3∴a n ＝n (2n －1)【答案】 a n ＝n (2n －1)8．数列{a n }知足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0＜a n ＜12，2a n －1，12＜a n ＜1，若a 1＝67，那么a 20的值为________．【解析】慢慢计算，可得a 1＝67，a 2＝127－1＝57，a 3＝107－1＝37，a 4＝67，a 5＝127－1＝57，…，这说明数列{a n }是周期数列，T ＝3，而20＝3×6＋2，因此a 20＝a 2＝57. 【答案】 57二、解答题9．数列{a n }中，已知a n ＝n 2＋n －13(n ∈N *)． (1)写出a 2，a 10；(2)7923是不是该数列中的项？假设是，是第几项？ 【解】 (1)在a n 的表达式中，令n ＝2,10，即得a 2＝22＋2－13＝53，a 10＝102＋10－13＝1093. (2)由n 2＋n －13＝7923，即n 2＋n －240＝0， 得n ＝15或n ＝－16.∵n ∈N *，∴n ＝15，即7923是该数列中的项，是第15项． 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．【解】 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，可知对称轴方程为n ＝52＝. 又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2(或32－5×3＋4＝－2)．11．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 是项数n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 012；(2)假设b n 由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)a n 是项数n 的一次函数，故可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 012＝2×2 012＋1＝4 025.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *).依照如下图的5个图形及相应点的个数的转变规律，试猜想第(n )个图中有________个点．(1) (2) (3) (4) (5)【解析】 此题关键看每增加一个分支后，各分支点数多了多少个．序号n 决定了每一个图的分支数，而每一个分支有(n －1)个点，中心再加一点，故有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点．【答案】 n 2－n ＋1有些数列的关系以图形的方式给出，要从图形中擅长观看总结出规律，即归纳归纳．另外信息包括在图中，因此要具有较强的信息整合能力．如下图的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski )三角形．在图中的4个三角形中，着色三角形的个数依次组成一个数列的前4项，请写出那个数列的一个通项公式，并在平面直角坐标系中画出它的图象．(1) (2) (3) (4)【解】 这4个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，那么所求数列的前4项都是3的指数幂，且指数等于相应的序号减1，因此那个数列的一个通项公式是a n ＝3n －1(n ∈N *)．在平面直角坐标系中的图象如下图．拓展数列是如何显现的呢？我国最先的数学起源，当为结绳和刻划，表现了数的顺序性．这有可能是数列的一个起源吗？1953年春，我国第一次发觉西安半坡遗址(距今5 600～6 700年之间).1954－1957年，中国科学院考古研究所进行了5次规模较大的科学挖掘，取得了大量宝贵的科学资料，其中发觉了半坡先民利用的指甲纹壶(如图)与陶器工艺品中的图案(如图)后者每边都是八个孔的等边三角形，反映了半坡人已经有了数量和几何形状的概念，这与“三角形数”何其相似！这说明半坡人已经有了数列的初步概念，遗憾的是在半坡文明中尚未发觉对数列进行理论研究的足够证据.。

第11课时：基本不等式（2）一、学习目标1.进一步掌握基本不等式；２.３.基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、学法指导1.利用基本不等式求最值时要注意一正二定三相等。

2.当运用基本不等式时条件不满足时，有时可以运用拆分和配凑的方法变成和式和积式,使条件满足。

三．课前预习：1.重要不等式：________________________________2.基本不等式：________________________________四、课堂探究最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 五．例题讲解：例1.已知函数()+∞-∈++=,2,216x x x y ，求此函数的最小值。

变式：将()+∞-∈,2x 改为[)+∞∈,4x ，求此函数的最小值。

点评：例2求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求此时的x 的值变式1：求(42)(04)y x x x =-<<的最大值，并求此时的x 的值变式2:0,0,2520,lg lg x y x y x y >>+=+已知且求的最大值例3、0,0,1,a b a b >>+=≤已知五、巩固训练(选做)1.求函数2294x x y +=的最小值，并求函数取最小值时x 的值。

2. 求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值。

3.已知02x <<，求函数()f x =x 值。

六、反思总结七、课后作业1、若x>0,y>0且281x y+=，则xy 的最小值是； 2、设a ，b R +∈，a+2b=3，则11a b +最小值是； 3、当x>1时，则y=x+21161x x x ++的最小值是； 4、若数列{n a }的通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项；。

1.2解三角形应用举例 第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

3、 新课讲授（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。

求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。

高中数学必修五教案（精选5篇）高中数学必修五教案篇一教学目标A、知识目标：掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。

B、能力目标：（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

C、情感目标：（数学文化价值）（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。

（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的。

心理体验，产生热爱数学的情感。

教学重点：等差数列前n项和的公式。

教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。

教学方法：启发、讨论、引导式。

教具：现代教育多媒体技术。

教学过程一、创设情景，导入新课。

师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。

提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题："把从1到100的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。

（教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。

我们来看这样一道一例题。

例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。

这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。

第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？ 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数． 【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列． 设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

第三章 不等式1 比较实数大小的方法实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，广泛灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考． 1．利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法．例1 已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小． 解 a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2) ＝(a 2b －ab 2)＋(b 2c －bc 2)＋(c 2a －ca 2) ＝ab (a －b )＋bc (b －c )＋ca (c －a )＝ab (a －b )＋bc [(b －a )＋(a －c )]＋ca (c －a ) ＝ab (a －b )＋bc (b －a )＋bc (a －c )＋ca (c －a ) ＝b (a －b )(a －c )＋c (a －c )(b －a ) ＝(a －b )(a －c )(b －c )．∵a <b <c ，∴a －b <0，a －c <0，b －c <0， ∴(a －b )(a －c )(b －c )<0. ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. 2．利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下： (1)若a ，b 都是正数，则a >b ⇔a b>1；a <b ⇔a b <1；a ＝b ⇔ab＝1.(2)若a ，b 都是负数，则a >b ⇔ab<1.a <b ⇔a b >1；a ＝b ⇔ab＝1.作商比较法的基本步骤：①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论． 例2 设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b，a b b a，(ab )a ＋b2三者的大小．解a ab b aba ＋b 2＝aa －a ＋b 2·bb －a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2. 当a >b >0时，a b>1，a －b >0，a －b2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.当0<a <b 时，0<ab<1，a －b <0，a －b2<0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.∴不论a >b >0还是0<a <b ，总有a a b b>(ab )a ＋b2.同理：(ab )a ＋b2>a b b a.综上所述，a a b b>(ab )a ＋b2>a b b a.3．构造中间值比较实数大小方法链接：由传递性知a >b ，b >c ⇒a >c ，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较．例3 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系为________． 解析 a ＝log 3π>log 33＝1，∴a >1，b ＝log 23＝12log 23<12log 24＝1，∴b <1，c ＝log 32＝12log 32<12，∴a >b ，a >c .又b ＝log 23＝12log 23>12，∴b >c ，∴a >b >c . 答案 a >b >c4．特殊值法比较实数大小方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案．这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解．一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向．例4 若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式： ①a 1b 1＋a 2b 2； ②a 1a 2＋b 1b 2； ③a 1b 2＋a 2b 1； ④12. 其中最大的值是________．(填序号) 解析 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. (注：本题还可以利用作差法比较大小，此答从略) 答案 ①5．利用函数单调性比较实数大小方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断．例5 当0<a <b <1时，下列不等式中正确的是________．(填序号) ①(1－a )1b>(1－a )b ；②(1＋a )a >(1＋b )b；③(1－a )b>(1－a )b2；④(1－a )a >(1－b )b.解析 对于①，∵0<a <b <1，∴函数y ＝(1－a )x为R 上的单调递减函数，∵1b >b ，∴(1－a )1b<(1－a )b，①错误；对于②，∵函数y ＝(1＋a )x为R 上的单调递增函数， ∴(1＋a )a<(1＋a )b，又函数y ＝x b 在(0，＋∞)上为单调递增函数， ∴(1＋a )b<(1＋b )b，从而(1＋a )a<(1＋b )b，②错误；对于③，∵函数y ＝(1－a )x为R 上的单调递减函数，且b >b2，∴(1－a )b<(1－a )b2，③错误；对于④，∵函数y ＝(1－a )x为R 上的单调递减函数，且a <b ，∴(1－a )a>(1－a )b，又函数y ＝x b为(0，＋∞)上的单调递增函数，且1－a >1－b >0，从而(1－a )b>(1－b )b， ∴(1－a )a>(1－b )b，④正确． 答案 ④6．借助函数的图象比较实数大小方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论．例6 设a 、b 、c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析 由函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝log 2x ，y ＝log 12x 的图象(如图所示)知0<a <b <1<c .答案 a <b <c2 解一元二次不等式需“三看”不少同学解一元二次不等式时常出错，感到无法可依．鉴于此，本文从教学过程中，总结了切实可行的“三看”法． 一看：二次项系数若二次项系数是实数时，对于二次项系数是负数的不等式，先将其化为正数．如解不等式－x 2－2x ＋8≥0时，可先将原不等式化为x 2＋2x －8≤0，此时，要注意改变不等号的方向，若二次项系数是代数式f (m )，一般要分f (m )＝0，f (m )≠0两种情况讨论． 二看：判别式Δ的符号将不等式视作一元二次方程，利用方程的判别式Δ判断方程根的情况．如上例中，Δ>0，方程x 2＋2x －8＝0有两个根x 1＝2，x 2＝－4.我们对此法熟练时，可将“二看”归纳为(x －2)(x ＋4)≤0.三看：口诀“大于取两边，小于取中间”“大于取两边”指“一看”中转化后的不等式符号为大于时，其解集取根的两边：①有两不等实根x 1，x 2(x 1>x 2)，其解集为{x |x >x 1或x <x 2}；②有两相等实根x 1＝x 2，其解集为{x |x ≠x 1}；③没有实根，其解集为R .“小于取中间”指“一看”中转化后的不等式符号为小于时，其解集取根的中间：①有两不等实根x 1，x 2(x 1>x 2)，其解集为{x |x 2<x <x 1}；②有两相等实根或没有实根，其解集为∅.如上例的解集为{x |－4≤x ≤2}． 例 解不等式－x 2－3x ＋2<－6x －2. 解 整理得x 2－3x －4>0，(一看) 所以(x －4)(x ＋1)>0，(二看)故不等式的解集是{x |x >4或x <－1}．(三看)点评 运用“三看”法的关键是“二看”，上例中能对其因式分解，说明有两个根，就不必考虑判别式了.3 解含参不等式的利器——分类讨论解含参数的一元二次不等式，要把握分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数与0的关系；其次根据根是否存在，即根据Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小关系进行讨论．分类时要保证“不重不漏”，按同一标准进行划分后，不等式的解集的表达式是确定的． 1．对判别式“Δ”进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时，需要对判别式“Δ”进行讨论． 例1 解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a ∈R )． 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，易知此时原不等式的解集为R . 2．对方程的解的大小进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程一定有两解，但不知道两个解的大小时，需要对解的大小进行讨论．例2 解关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1>0(a ∈R ，且a ≠0)．解 原不等式可变形为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，易求得方程(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个解分别为x 1＝a和x 2＝1a，所以(1)当a >1a ，即a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为{x |x <1a或x >a }；(2)当a ＝1a，即a ＝±1时，①若a ＝1，则原不等式的解集为{x |x ≠1}； ②若a ＝－1，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}；(3)当a <1a ，即a ∈(－∞，－1)∪(0,1)时， 原不等式的解集为{x |x <a 或x >1a}．3．对二次项系数进行讨论当含参数的不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论；其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行讨论． 例3 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0. (1)当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}； (2)当a ≠0时，原不等式可变形为(ax －2)(x ＋1)≥0，方程(ax －2)(x ＋1)＝0的解为x 1＝2a，x 2＝－1.①当a >0时，2a>－1，所以原不等式的解集为{x |x ≥2a或x ≤－1}；②当a <0时，a ．当－2<a <0时，2a<－1，所以原不等式的解集为{x |2a≤x ≤－1}；b ．当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}；c ．当a <－2时，2a>－1，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2a}．综上：当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a >0时，原不等式的解集为{x |x ≥2a或x ≤－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为{x |2a≤x ≤－1}；当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2a}．4．对含参的分式不等式转化后再讨论对含有参数的分式不等式，利用不等式的同解原理等价转化为一元二次不等式的形式后，再按照上面的方法分类讨论，逐类求解． 例4 解不等式：x －k x ＋3x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0，当k ＝0时，原不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0， 因为3k ＋2k ＝3＋2k>3>2，所以－3k ＋2k<－2.所以x <－3k ＋2k或x >－2.故不等式的解集为{x |x >－2或x <－3k ＋2k}．当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3k ＋2k <0， 由于(－2)－⎝⎛⎭⎪⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k. 所以当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k， 不等式的解集为{x |－2<x <－3k ＋2k}；当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0，不等式的解集为∅； 当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k. 不等式的解集为{x |－3k ＋2k<x <－2}．综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为{x |x <－3k ＋2k或x >－2}；当－2<k <0时，不等式的解集为 {x |－2<x <－3k ＋2k}；当k ＝－2时，不等式的解集为∅；当k <－2时，不等式的解集为{x |－3k ＋2k<x <－2}．回顾与提升 含有参数的一元二次不等式，问题看似简单，但因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：①讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．②讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决． ③考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论.4 一元二次不等式恒成立问题的求解策略含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题，是研究恒成立问题的典型素材，也是近几年高考考查的热点之一．下面结合例子，介绍几种常用的求解策略：1．利用一元二次不等式的判别式求解 代数式ax 2＋bx ＋c >0的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.例1 已知不等式kx 2＋kx ＋6x 2＋x ＋2>2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围．解 ∵x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0.∴原不等式等价于kx 2＋kx ＋6>2x 2＋2x ＋4， 即(k －2)x 2＋(k －2)x ＋2>0. 当k ＝2时，2>0，结论显然成立； 当k ≠2时，k 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，Δ＝k －22－4×2k －2<0，解得2<k <10.综上所述，k 的取值范围是2≤k <10.2．转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解一般地，f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立；f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立．例2 已知不等式sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2>0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 设f (x )＝sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2， 则f (x )＝(sin x －a )2＋2－2a .当a <－1时，f (x )在sin x ＝－1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2＋3，a 2＋3>0显然成立，∴a <－1.当－1≤a ≤1时，f (x )在sin x ＝a 时取到最小值，且f (x )min ＝2－2a ，由2－2a >0，解得a <1， ∵－1≤a ≤1，∴－1≤a <1.当a >1时，f (x )在sin x ＝1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2－4a ＋3，由a 2－4a ＋3>0，解得a <1或a >3，∵a >1，∴a >3.综上所述，a 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 3．利用直线型函数图象的保号性求解函数f (x )＝kx ＋b ，x ∈[α，β]的图象是一条线段，此线段恒在x 轴上方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧f α>0fβ>0；此线段恒在x轴下方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧fα<0fβ<0；此线段与x 轴有交点的等价条件是f (α)·f (β)≤0.例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1<x (m 2－1)恒成立，试求m 的取值范围． 解 设f (x )＝(m 2－1)x ＋(1－2m )，则原不等式恒成立 ⇔f (x )>0，x ∈[0,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f0>0，f 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－2m >0，m 2－2m >0⇔m <0.即m 的取值范围为(－∞，0)． 4．分离参数后，利用基本不等式求解如果直接求参数的范围比较困难，而且参数容易从式子中分离出来，可以考虑分离参数后，再利用等价条件f (x )≥a ⇔a ≤f (x )min 或f (x )≤a ⇔a ≥f (x )max 求解．例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．解 不等式f (x )>a ⇔x 2＋ax ＋3>a ⇔x 2＋3>a (1－x )，x ∈[－1,1]．∵－1≤x ≤1，∴0≤1－x ≤2.当x ＝1时，1－x ＝0，x 2＋3>a (1－x )对一切a ∈R 恒成立；当x ≠1时，0<1－x ≤2，则a <x 2＋31－x .∵x 2＋31－x＝1－x 2－21－x ＋41－x＝(1－x )＋41－x －2≥2 1－x ·41－x－2＝2.当且仅当1－x ＝41－x ，即x ＝－1时，取到等号．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋31－x min＝2.从而a <2. 综上所述，a 的取值范围为(－∞，2).5 线性规划中的一题多变求解线性规划问题的一般步骤：先把线性目标函数z ＝ax ＋by 变形为ax ＋by －z ＝0，确定z 是直线ax ＋by －z ＝0在坐标轴上的截距或与截距相关的量，然后结合图形求出z 的最值．其中关键是确定z 的几何意义，在不同的问题中，z 呈现不同的几何意义，但都与斜率相关，下面就通过一个例题及其变式，给同学们展示一下z .例 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析 作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为2x ＋y －z ＝0，它表示斜率为－2的一族平行线，z 是直线在y 轴上的截距． 当直线过点M 时，z 取得最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＝0，得M (1,1)，代入z ＝2x ＋y ，得z min ＝3. 答案 3点评 确定了z 的几何意义后，一般先作出一族平行线中过原点的直线，然后平移该直线，结合图象直观确定最优解．变式1 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．解析 作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为x ＋2y －z ＝0，它表示斜率为－12的一族平行线，z 是直线在x 轴上的截距．当直线过点N 时，z 取得最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －y －6＝0，得N (2,0)，代入z ＝x ＋2y ，得z min ＝2. 答案 2点评 确定z 的几何意义的原则：越简单越直接越好．变式2 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为________．解析 作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为2x －y －z ＝0，它表示斜率为2的一族平行线，－z 是直线在y 轴上的截距．当直线过点M 时，－z 取得最大值，此时z 的值最小． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0，得M (1,1)，代入z ＝2x －y ，得z min ＝1. 答案 1点评 当z 不是直线在坐标轴上的截距时，往往先求截距取得相应最值的最优解，再求目标函数的最值．变式3 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．解析 作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为2x ＋3y －z ＝0，它表示斜率为－23的一族平行线，z3是直线在y 轴上的截距，当z3取得最小值时，此时z 的值最小．当直线过点N 时，z3取得最小值，此时z 的值也最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －y －6＝0，得N (2,0)，代入z ＝2x ＋3y ，得z min ＝4. 答案 4点评 求直线在坐标轴上的截距mz 的最值时，要注意m 的符号.6 求最优解为整点的方法处理实际问题中的最优解时，有时需满足x ，y ∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面举例探讨整点最优解的方法． 1．平移法在可行域内找整点最优解，一般采用平移法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解．先按“平移法”求出非整点最优解及最值，再调整最值，最后筛选出整点最优解．例1 某中学准备组织学生去“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，才能使总费用最少？分析 可以填表理解题意．这样便于列约束条件和目标函数．辆数 载人数 往返次数每次成本大巴 小巴解 设每天派出小巴x 辆、大巴y 辆，总运费为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧5×16x ＋3×32y ≥480，0≤x ≤7，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，目标函数z ＝240x ＋180y .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分的整点．作出直线l ：240x ＋180y ＝0，即4x ＋3y ＝0，把直线l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使其在y 轴上的截距最小．观察图象，可知当直线l 经过点B (2,4)时，满足上述要求．此时，z ＝240x ＋180y 取得最小值， 即当x ＝2，y ＝4时，z min ＝240×2＋180×4＝1 200(元)．答 每天派2辆小巴、4辆大巴时总费用最少．点评 用平移法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f (x ，y )＝t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网格法”先作出可行域中的各整点． 2．检验法由于作图难免有误差，所以仅靠图象不一定能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一检验．例2 现有一根长4 000 mm 的条形高新材料，需要将其截成长分别为518 mm 与698 mm 的甲、乙两种零件毛坯，求高新材料的最大利用率．解 设甲种毛坯截x 根，乙种毛坯截y 根，高新材料的利用率为P ，则线性约束条件为518x ＋698y ≤4 000，其中x 、y ∈N ，目标函数为P ＝518x ＋698y4 000×100%，可行域是图中阴影部分的整点，目标函数表示与直线518x ＋698y ＝4 000平行的直线系．所以使P 取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x ＋698y ＝4 000的整点坐标．如图可得点(0,5)，(1,4)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,2)，(6,1)，(7,0)都可能是最优解，逐一代入目标函数，可知当x ＝5，y ＝2时，P max ＝99.65%.答 当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根时，高新材料的利用率最大，且最大为99.65%. 点评 解线性规划问题作图时应尽可能精确，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优解并不十分明显时，不妨将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一进行检验，确定整点最优解． 基本不等式的推广“a 2＋b 2≥±2ab ”是一个简单而公认的不等式，但是利用它，通过变形、引申可以方便地证明一些已有定理．如：定理1：若a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，则有a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，式中等号成立， 由基本不等式a 2＋b 2≥2ab 有2a 2＋2b 2≥2ab ＋a 2＋b 2a 2＋b 22≥a ＋b24＝(a ＋b2)2①我们猜想会不会有下式成立a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c3)2②∵(a ＋b ＋c )2＋(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝3(a 2＋b 2＋c 2) ∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2∴a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c3)2③仿③式证明定理1证明 ∵(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )2＋(a 1－a 2)2＋(a 1－a 3)2＋…＋(a 1－a n )2＋(a 2－a 3)2＋(a 2－a 4)2＋…＋(a 2－a n )2＋(a 3－a 4)2＋…＋(a n －1－a n )2＝n (a 21＋a 22＋a 23＋a 2n )， ∴n (a 21＋a 22＋a 23＋a 24…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n )2，即a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2，定理1成立，定理1的另一种形式是：|a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn |≤a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2nn.定理2：若a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ≥n na 1a 2a 3…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等式成立．设a ，b 是正实数，从最简不等式a 2＋b 2≥2ab 降次，则有a ＋b ≥2ab ，设a ，b ，c 是正实数，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立吗？ 证明 ∵a ，b ，c 是正实数，∴(a 3＋b 3)＋(c 3＋abc )≥2a 3b 3＋2c 3abc ≥4a 3b 3c 3abc ＝4abc ，∴a 3＋b 3＋c 2≥3abc .上述不等式降次则有a ，b ，c 是正实数，a ＋b ＋c ≥33abc .实际上，基本不等式还有很多角度不同的推广，也有不少巧妙的应用，有兴趣的同学不妨搜一搜，或者自己做些尝试．7 例析以线性规划为载体的交汇问题1．线性规划与函数交汇例 1 设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是________． 解析 作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A (1,9)，C (3,8)．当y ＝a x过A (1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9； 当y ＝a x 过C (3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2， ∴2≤a ≤9. 答案 [2,9]点评 准确作出可行域，熟知指数函数y ＝a x的图象特征是解决本题的关键． 2．线性规划与概率交汇例2 两人约定下午4点到5点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人20分钟，过时就离去．请问这两个人能见面的概率有多大？解 用x 、y 分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|x －y |≤20，又0≤x ≤60,0≤y ≤60，即有⎩⎪⎨⎪⎧x －y －20≤0，x －y ＋20≥0，0≤x ≤60，0≤y ≤60，作出点(x ，y )的可行域如图中阴影部分，由图知，两人能见面的概率为阴影部分的面积与大正方形的面积之比，所以所求概率为P ＝602－40×40602＝59. 点评 这是一道几何概型的题目，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了．3．线性规划与一元二次方程交汇例3 已知方程x 2＋(2＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，则ba的取值范围是__________．解析 令f (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1＋a ＋b ，并且0<x 1<1<x 2，则由题意知函数f (x )在(0,1)及(1，＋∞)内各有一个零点，得⎩⎪⎨⎪⎧f0>0，f 1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋4<0.作出可行域，如图所示．而令k ＝ba，则表示可行域内的点与原点连线的斜率． 设M (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0＋4＝0，得M (－3,2)，k OM ＝－23，结合图可知－2<k <－23，故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23点评 本题以一元二次方程的根的范围为背景，并通过与二次函数的联系转化为关于a 、b 的线性约束条件来求解．其中理解ba表示可行域内的点与原点连线的斜率是解题的关键． 4．线性规划与圆交汇例4 若{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B ，得m ≥PO ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即P (3,4)，∴PO ＝5，即m ≥5.点评 集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}的几何含义是以原点(0,0)为圆心，m 为半径的圆及其内部区域．5．线性规划与平面向量交汇例5 已知O 为坐标原点，定点A (3,4)，动点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ＋1≥xx ＋y ≤3，则向量OP →在OA →上的投影的取值范围是________．解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ＋1≥xx ＋y ≤3所表示的平面区域，如图所示，向量OP →在向量OA →上的投影为 |OP →|cos∠AOP ＝|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋4y5，令z ＝3x ＋4y ，易知直线3x ＋4y ＝z 过点G (1,0)时，z min ＝3； 直线3x ＋4y ＝z 过点N (1,2)时，z max ＝11. ∴⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 5min ＝35，⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 5max ＝115.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115点评 向量OP →在OA →上的投影：|OP →|·cos〈OP →，OA →〉＝|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋4y 5.清楚这一点对解答本题至关重要．8 a 2＋b 2≥2ab 的四“变”如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．该结论利用作差法极易证明．下面给出其四个重要的变式及应用．变式1 如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．证明 见教材证明．例1 若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是________． 解析 3a＋3b≥23a×3b＝23a ＋b＝232＝6.当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 答案 6变式2 如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 证明 因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |， 所以a 2＋b 2≥2|ab |，当且仅当|a |＝|b |时，等号成立． 例2 若实数x ，y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5，设S ＝x 2＋y 2，则1S max ＋1S min＝________.解析 由x 2＋y 2≥2|xy |，得－x 2＋y 22≤xy ≤x 2＋y 22，则－5x 2＋y 22≤－5xy ≤5x 2＋y22，当且仅当|x |＝|y |时，等号成立． 则3x 2＋y 22≤4x 2－5xy ＋4y 2≤13x 2＋y 22，即32S ≤5≤132S ， 所以1013≤S ≤103，于是S max ＝103，S min ＝1013，故1S max ＋1S min ＝85.答案 85变式3 若a ，b ∈R ，那么(a ＋b )2≥4ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． 证明 因为a 2＋b 2≥2ab ，所以a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ， 即(a ＋b )2≥4ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．例3 若正数a ，b 满足ab －8＝a ＋b ，则ab 的最小值为____________________________． 解析 由条件，得ab －8＝a ＋b >0，则(ab )2－16ab ＋64＝(a ＋b )2，又因为(a ＋b )2≥4ab ，则(ab )2－20ab ＋64≥0，又ab >8，解得ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝4时，等号成立，所以ab 的最小值为16. 答案 16变式4 若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥a ＋b22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．证明 a 2＋b 2－a ＋b22＝a －b22≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a 2＋b 2≥a ＋b22.例4 若a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2的最小值是________． 解析 由变式4，得a 2＋b 2≥22(a ＋b )， b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )， 所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )＝22×2＝ 2.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．故最小值为 2. 答案29 运用基本不等式求最值的7种常见技巧在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要作一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明． 1．凑和为定值例1 若a 、b 、c >0，且2a ＋b ＋c ＝6，则a (a ＋b ＋c )＋bc 的最大值为________． 分析 注意a (a ＋b ＋c )＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用基本不等式求最值． 解析 ∵a (a ＋b ＋c )＋bc ＝a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a 2＋ac )＋(ab ＋bc )＝a (a ＋c )＋b (a ＋c ) ＝(a ＋b )(a ＋c )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b ＋a ＋c 22＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ＝62时，取“＝”， ∴a (a ＋b ＋c )＋bc 的最大值为32.答案 322．凑积为定值例2 设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a a －b －10ac ＋25c 2的最小值是________．分析 注意到2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝a 2－ab ＋1aa －b ＋ab ＋1ab＋a 2－10ac ＋25c 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤aa －b ＋1a a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋(a －5c )2然后分别利用基本不等式和平方数的性质求最值．由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件． 解析 ∵a >b >c >0，∴原式＝a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＋a 2＝a 2－ab ＋1aa －b＋ab＋1ab＋(a －5c )2≥2＋2＋0＝4，当且仅当a (a －b )＝1，ab ＝1，a －5c ＝0时取等号．即当a＝2，b ＝22，c ＝25时，所求代数式的最小值为4. 答案 43．化负为正例3 已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值．分析 因为4x －5<0，所以要先“调整”符号，又(4x －2)·14x －5不是常数，所以对4x －2要添项“配凑”． 解 ∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. 4．和积互“化”例4 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则2x ＋y 的最小值是________．分析 可以利用基本不等式的变形形式ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22进行和或积的代换，这种代换目的是消除等式两端的差异，属不等量代换，带有放缩的性质． 解析 方法一 ∵x >0，y >0， ∴xy ＝12·(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，∴2x ＋y ＋6＝(2x ＋y )＋6≤18(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2－8(2x ＋y )－48≥0， 令2x ＋y ＝t ，t >0， 则t 2－8t －48≥0， ∴(t －12)(t ＋4)≥0， ∴t ≥12，即2x ＋y ≥12.方法二 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18，∵2x ＋y ＝xy －6，∴2x ＋y 的最小值为12. 答案 12 5．消元法例5 若正实数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________．分析 从ab ＝a ＋b ＋3中解出b ，即用a 的代数式表示b ，则ab 可以用a 来表示，再求关于a 的代数式的最值即可．解析 ∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b (a －1)＝a ＋3. ∵a >0，b >0，∴a －1>0，∴a >1.∴b ＝a ＋3a －1. ∴ab ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3a －1＝a 2＋3a a －1＝a －12＋5a －1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5. ∵a >1，∴a －1＋4a －1≥2 a －1·4a －1＝4，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号， 此时b ＝3，∴ab ≥9. ∴ab 的最小值为9. 答案 9 6．平方法例6 若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，求x 6＋2y 2的最大值．分析 仔细观察题目已知式中x 与y 都是二次的，而所求式中x 是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把x 6＋2y 2平方，则豁然开朗，思路就在眼前了．解 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 23 ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫922.当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为932.7．换元法例7 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105x －402，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？解 设销售价格定为每件x 元(50<x ≤80)，每天获得的利润为y 元，则y ＝(x －50)·P ＝105x －50x －402.令x －50＝t ，∴y ＝105tt ＋102＝105tt 2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500.当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500. 答 销售价格每件应定为60元．10 不等式易错备忘录1．多次非同解变形，导致所求范围扩大而致错例1 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的范围是________．[错解] 由于f (－2)＝4a －2b ，要求f (－2)的范围，可先求a 与b 的范围．由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ②两式相加得32≤a ≤3，又－2≤b －a ≤－1，③②式与③式相加得0≤b ≤32.∴6≤4a ≤12，－3≤－2b ≤0.∴3≤4a －2b ≤12. 即3≤f (－2)≤12.[点拨] 这种解法看似正确，实则使f (－2)的范围扩大了，事实上，这里f (－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12.由上述解题过程可知，当a ＝32且b ＝32时才能使4a －2b ＝3，而此时a －b ＝0，不满足①式．同理可验证4a －2b 也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a ，b 的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．[正解] 方法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝a －b f 1＝a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f 1＋f －1]b ＝12[f1－f －1]，∴f (－2)＝4a －2b＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)] ＝3f (－1)＋f (1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤f (－2)≤10. 方法二 数形结合法在坐标平面aOb 上，作出直线a ＋b ＝2，a ＋b ＝4，a －b ＝1，a －b ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ＋b ≤41≤a －b ≤2表示平面上的阴影部分(包括边界)，如图所示． 令m ＝4a －2b ， 则b ＝2a －m2.显然m 为直线系4a －2b ＝m 在b 轴上截距2倍的相反数．当直线b ＝2a －m 2过阴影部分中点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，m 取得最小值5；过点C (3,1)时，m 取得最大值10.∴f (－2)∈[5,10]．温馨点评 利用不等式的变换求取值范围时，要使变换符合等价性.像此类题一般是运用待定系数法或线性规划中最优解方法求解.切勿像误区中解法那样先求a 、b 的范围，再求f －2的范围，这样求出的范围会扩大. 2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04－4a 2<0，∴a >1.[错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0，∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的． [正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ，a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，则代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1a≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.温馨点评 函数的定义域为R 与函数的值域为R 是两个不同的问题，处理方法截然不同，在学习中要注意区分这类“貌似而实质迥异”的问题.3．忽略截距与目标函数值的关系而致错例3 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值． [错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14；z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；。

2.2 .1等差数列的概念七、教学过程（一）创设情景，引入概念（设计意图：通过对实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程）情景1：把班上学生学号从小到大排成一列：如：1，2，3，4，…，63，64.问题1：请学生归纳出上一个数列的通项公式),521(,+∈≤≤=N n n n a n 。

问题2：把上面的数列各项依次记为64321,,,,a a a a ，学生填空：()()()1,,1,163642312+=+=+=a a a a a a问题3：上面的数列有什么特点，你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？(教师引导，学生完成）11+=-n n a a （2≥n ），或者写成 11=--n n a a （2≥n ）.注：强调2≥n ，原因在于1-n 有意义。

问题4：提问学生，能用普通语言概括上面的规律吗？数列后一项等于前一项加“1”，或者 数列后一项与前一项的差为“1”. 上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。

情景2：看幻灯片上的实例（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg ）： 48，53，58，63.（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。

如果一个水库的水位18m ，自然放水每天水位下降2.5m ，最低降至5m 。

那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m ）：18，15.5，13，10.5，8，5.5.（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。

按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。

如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是：10072， 10144， 10216， 10288， 10360.（4）全国统一鞋号中，成年女鞋的尺码最小的是21码，相邻两个鞋号间隔0.5码，最大的是25码，组成的数列：21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25.问题5：请学生写出上面的数列，观察这些数列的特点，并用数学语言（符号）描述这些特点:（1）51=--n n a a ，2≥n ，+∈N n ；（2）5.21-=--n n a a ，2≥n ，+∈N n（3）721=--n n a a ，2≥n ，+∈N n ；（4）5.01=--n n a a ，2≥n ，+∈N n 问题6：观察并归纳上面这些数列的共同特征，用数学语言（符号）描述这些特点:1n n a a d --=（d 是常数），（2≥n ，+∈N n ）满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？）--等差数列。

高中数学必修5《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案一、教学内容分析本小节是普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)第三章第3小节,主要内容是利用平面区域体现二元一次不等式(组)的解集;借助图解法解决在线性约束条件下的二元线性目标函数的最值与最优解问题;运用线性规划知识解决一些简单的实际问题(如资源利用,人力调配,生产安排等)。

突出体现了优化思想，与数形结合的思想。

本小节是利用数学知识解决实际问题的典例,它体现了数学源于生活而用于生活的特性。

二、学生学习情况分析本小节内容建立在学生学习了一元不等式(组)及其应用、直线与方程的基础之上，学生对于将实际问题转化为数学问题,数形结合思想有所了解. 但从数学知识上看学生对于涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系的知识接触尚少，从数学方法上看，学生对于图解法还缺少认识，对数形结合的思想方法的掌握还需时日，而这些都将成为学生学习中的难点。

三、设计思想以问题为载体，以学生为主体，以探究归纳为主要手段，以问题解决为目的，以多媒体为重要工具，激发学生的动手、观察、思考、猜想探究的兴趣。

注重引导学生充分体验“从实际问题到数学问题”的数学建模过程，体会“从具体到一般”的抽象思维过程，从“特殊到一般”的探究新知的过程;提高学生应用“数形结合”的思想方法解题的能力;培养学生的分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标1、知识与技能:了解二元一次不等式(组)的概念,掌握用平面区域刻画二元一次不等式(组)的方法;了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念;理解线性规划问题的图解法;会利用图解法求线性目标函数的最值与相应最优解;2、过程与方法:从实际问题中抽象出简单的线性规划问题,提高学生的数学建模能力;在探究的过程中让学生体验到数学活动中充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、化归能力、探索能力、合情推理能力;3、情态与价值:在应用图解法解题的过程中,培养学生的化归能力与运用数形结合思想的能力;体会线性规划的基本思想，培养学生的数学应用意识;体验数学来源于生活而服务于生活的特性.五、教学重点和难点重点:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),用平面区域刻画二元一次不等式组的解集及用图解法解简单的二元线性规划问题;难点:二元一次不等式所表示的平面区域的探究,从实际情境中抽象出数学问题的过程探究,简单的二元线性规划问题的图解法的探究.六、教学基本流程第一课时,利用生动的情景激起学生求知的欲望,从中抽象出数学问题,引出二元一次不等式(组)的基本概念,并为线性规划问题的引出埋下伏笔.通过学生的自主探究,分类讨论,大胆猜想,细心求证,得出二元一次不等式所表示的平面区域,从而突破本小节的第一个难点;通过例1、例2的讨论与求解引导学生归纳出画二元一次不等式(组)所表示的平面区域的具体解答步骤(直线定界,特殊点定域);最后通过练习加以巩固。

苏教版高中必修五数学教案
一、教学目标：
1. 掌握函数及其应用的基本概念；
2. 能够用函数的方法解决实际问题；
3. 理解函数的性质和图像。

二、教学内容：
1. 函数的定义及性质；
2. 函数的图像及性质；
3. 函数的应用。

三、教学重点：
1. 函数的定义及性质；
2. 函数的图像及性质。

四、教学难点：
1. 函数的性质的理解和运用；
2. 函数的图像的绘制和分析。

五、教学准备：
1. 教学PPT；
2. 教学实例；
3. 教学练习题。

六、教学过程：
1. 导入：通过实际问题引入函数的概念；
2. 讲解函数的定义及性质；
3. 展示函数的图像及性质；
4. 实例练习：根据实际问题解决函数的应用；
5. 总结：回顾本节课的内容，强调函数的重要性。

七、课后作业：
1. 完成课后作业练习题；
2. 总结本节课的重点知识点。

八、教学反思：
本节课通过实际问题引入函数的概念，让学生能够更好地理解和应用函数的知识。

但在教学过程中，需要更多的实例来帮助学生加深对函数的理解和掌握。

下节课将更加注重实例练习，提高学生对函数的应用能力。

高中数学必修5教案等比数列第2课时第一篇：高中数学必修5教案等比数列第2课时等比数列第２课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点等比中项的理解与应用●教学难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠an0），即：=q（q≠0）an-12.等比数列的通项公式:an=a1⋅q3．｛an｝成等比数列⇔列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列Ⅱ.讲授新课1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则n-1(a1⋅q≠0)，an=am⋅qn-m(am⋅q≠0)an+1+=q（n∈N,q≠0）“an≠0”是数列｛an｝成等比数anGb=⇒G2=ab⇒G=±ab，aG反之，若G=ab,则≠0）[范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;{bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an⋅bn}的第n项与第n+1项分别为：2Gb2=，即a,G,b成等比数列。

∴a,G,b成等比数列⇔G=ab（a·baGa1⋅q1n-1⋅b1⋅q2与a1⋅q1⋅b1⋅q2即为a1b1(q1q2)n-1与a1b1(q1q2)nn-1nnan+1⋅bn+1a1b1(q1q2)nΘ==q1q2.n-1an⋅bna1 b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以{an⋅bn}是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{an}也一定是等比数列吗？ bnana，则cn+1=n+1 bnbn+1探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cn=∴cn+1bn+1abqa==(n+1)γ(n+1)=1，所以，数列{n}也一定是等比数列。

苏教版高中高三数学必修5《解三角形》教案及教学反思一、教学背景《解三角形》是高中数学必修5中的重要章节，这一章的重点是如何通过已知角度或边求解三角形的其他未知角度和边长。

在这一章中，学生需要掌握三角函数的基本概念和运用，特别是正弦、余弦和正切，同时还需要掌握三角函数的运算法则和三角三边的关系。

本节课程旨在帮助学生深刻理解三角函数的概念和应用，掌握几何意义和图形意义，同时加强学生的数学思维和推理能力。

二、教学目标1.理解三角函数的基本概念，特别是正弦、余弦和正切。

2.掌握三角函数的运算法则和三角三边的关系。

3.能够运用所学的知识，解决实际问题。

4.提高学生的数学思维和推理能力。

三、教学内容1. 三角函数的基本概念正弦、余弦和正切•正弦函数：$\\sin A = \\frac{a}{c}$•余弦函数：$\\cos A = \\frac{b}{c}$•正切函数：$\\tan A = \\frac{a}{b}$其中，a、b、c分别表示三角形的三条边，A表示对应的内角。

2. 三角函数的运算法则和三角三边的关系三角函数的运算法则•$\\sin (A \\pm B) = \\sin A \\cos B \\pm \\cos A \\sin B$•$\\cos (A \\pm B) = \\cos A \\cos B \\mp \\sin A \\sin B$•$\\tan (A \\pm B) = \\frac{\\tan A \\pm \\tan B}{1 \\mp \\tan A \\tan B}$三角三边的关系•正弦定理：$\\frac{a}{\\sin A} =\\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2R$•余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \\cos A$•正切定理：$\\tan \\frac{A}{2} = \\frac{r}{s - a}$其中，R表示三角形外接圆半径，r表示三角形内切圆半径，s表示三角形半周长。

关于三角形的“四心”与平面向量的结合[关键字]高中|数学|平面向量|内心|外心|重心|垂心[内容摘要]每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的“四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述，对有关三角形的“四心”的相关知识进行复习.特别体现出它们之间的结合,不当疏漏之处,恳请读者批评指正.一、基础知识复习1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、典型例题分析[例]已知点G是ABCV所在平面内一点.试V内任意一点,点M是ABC根据下列条件判断G点可能通过ABCV的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出问题](1)若存在常数λ,满足()(0)AB AC MG MA AB ACλλ=++≠u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点G 可能通过ABC V 的__________.(2)若点D 是ABC V 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ,则点G可能通过ABC V 的__________.(3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC Cλλ=++≠u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g g ,则点G 可能通过ABC V 的__________.(4)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC Cλλ=++≠u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g g ,则点G 可能通过ABC V 的__________.[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.[解答过程](1)记12,AB AC e e AB AC==u u u r u u u r u r u u r u u u r u u u r ,则12()AG e e λ=+u u u r u r u u r .由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G 是角平分线上的点,故应填内心.(2)简单的变形后发现点G 是BC 边中垂线上的点,故应填外心. (3)sin sin ,AB B AC C =∴u u u r u u u r Q g g 记sin sin AB B AC C h ==u u u r u u u r g g , 则''()()AG AB AC hλλλ=+=u u u r u u u r u u u r .由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G 是BC 边的中线上的点,故应填重心.(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量积的充分利用.由()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC Cλλ=++≠u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g g , 得()(0)cos cos AB AC AG AB B AC Cλλ=+≠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g , (关键点) ()(0)cos cos AB AC AG BC BC AB B AC Cλλ=+≠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r g g 于是()(0)cos cos )()0AB BC AC BC AG BC AB B AC C BC B BC B BC BC λλλπλ=+≠=+-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r g g （cos(-cos ）=. 从而AG BC ⊥u u u r u u u r ,点G 是高线上的点,故应填垂心.[教师点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.三、 综合运用[提出问题]若O 点是ABC V 的外心, H 点是ABC V 的垂心, 且()OH m OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ,求实数m 的值.[思路分析]许多学生在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质解题.[解答过程]由()OH m OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ,得()OH OA m OA OB OC OA -=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,于是(1)()HA m OA m OB OC =-++u u u r u u u r u u u r u u u r g ,(关键点) (1)()HA BC m OA BC m OB OC BC =-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g即(1)()()HA BC m OA BC m OB OC OC OB =-++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ,由题意,知0HA BC =u u u r u u u r g ,及()()0OB OC OC OB +-=u u u r u u u r u u u r u u u r g ,从而(1)0m OA BC -=u u u r u u u r g ,其中0OA BC ≠u u u r u u u r g ,因此10,1m m -==即.[教师点评]请读者特别注意解题中的关键点,解这类问题时的技巧也应熟练掌握.[举一反三]通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P 点为ABC V 内任意一点，若P 点满足:1．(),0()0AB AC AP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r V u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 为的内心，; 2.D E 、两点分别是ABC V 的边BC CA 、上的中点,且DP PB DP PC P ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r g g V u u u r u u u r u u u r u u u r g g 为的外心; 3. 1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩u u u r u u u r u u u r V u u u r u u u r u u u r 为的重心，; 4. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩u u u r u u u r g V u u u r u u u r g 为的垂心.。