第三章 导数及其应用
第15讲 导数的几何意义和四则运算
A 应知应会
一、 选择题
1. 已知f (x )＝x (2 018＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 019,则x 0等于( )
A. e 2
B. 1
C. ln 2
D. e
2. 若函数f (x )＝33
x 3＋ln x －x ,则曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线的倾斜角是( ) A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
3. 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)·cos x －ax 在(0,f (0))处的切线倾斜角为45°,则a 等于( )
A. －2
B. －1
C. 0
D. 3
4. (2019·泰安一模)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 2 ＝x 3－3x ,则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率为( )
A. 0
B. 9
C. 18
D. 27
5. 已知曲线y ＝sin x 在点P (x 0,sin x 0)(0≤x 0≤π)处的切线为l ,则下列各点中不可能在直线l 上的是( )
A. (－1,－1)
B. (－2,0)
C. (1,－2)
D. (4,1)
二、 解答题
6. 求下列函数的导数．
(1) y ＝5x 3 ； (2) y ＝1x
4 ； (3) y ＝－2sin x 2 ⎝
⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .
7. 已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0,且点P 0在第三象限．
(1) 求P 0的坐标；
(2) 若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程．
B 巩固提升
一、 填空题
1. (2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．
2. 已知函数f (x )满足满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12
x 2,则f (x )的解析式为________________.
3. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y ＝ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(－e,－1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是________．
4. (2019·厦门一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知x 21 －ln x 1－y 1＝0,x 2－y 2－2＝0,则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为________．
二、 解答题
5. 已知曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0,y 1)处的切线为l 1,曲线y ＝1－x e x 在点B (x 0,y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎡⎦
⎤0，32 ,使得l 1⊥l 2,求实数a 的取值范围．
6. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11,g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9,且f ′(－1)＝0.
(1) 求a 的值；
(2) 是否存在k ,使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线,又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在,求出k 的值；如果不存在,请说明理由．
第16讲 导数与函数的单调性
A 应知应会
一、 选择题
1. (2019·福建四校二联)函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )
A B
C D
2. 若函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,则下列判断中正确的是 ( )
(第2题)
A. 在区间(－3,1)内f (x )是增函数
B. 在区间(1,3)内f (x )是增函数
C. 在区间(5,6)内f (x )是增函数
D. 在区间(－∞,1)内f (x )是增函数
3. (2019·宣城二调)若函数f (x )＝43
x 3－2ax 2－(a －2)x ＋5恰好有三个单调区间,则实数a 的取值范围为( )
A. [－1,2]
B. [－2,1]
C. (－∞,－1)∪(2,＋∞)
D. (－∞,－2)∪(1,＋∞)
4. 若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ,a ＋1]上单调递增,则实数a 的最大值为( )
A. －1＋52
B. 1＋52
C. 1－52
D. －1－52
5. (多选)已知函数f (x )＝e x －1,对于满足0 ( ) A. (x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0 B. x 2f (x 1)＞x 1f (x 2) C. f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1 D. f （x 1）＋f （x 2）2 ＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 二、 解答题 6. (2019·太原一模节选)已知函数f (x )＝x 3－ 32 ax 2(a ＞0),若函数h (x )＝f （x ）·e x x 在(0,1)上单调递减,求a 的取值范围． 7. (2019·南昌一模)已知函数f (x )＝(x ＋a )e x (x ＞－3),其中a ∈R ． (1) 若曲线y ＝f (x )在点A (0,a )处的切线l 与直线y ＝|2a －2|x 平行,求直线l 的方程； (2) 讨论函数y ＝f (x )的单调性．
