高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第三章

第八章 解析几何第41讲 直线的斜率与方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·开封模拟)过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A. 3x ＋4y ＋15＝0B. 3x ＋4y ＋6＝0C. 3x ＋y ＋6＝0D. 3x －4y ＋10＝02. 直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ⎣⎡⎦⎤π6，π3 B. ⎣⎡⎦⎤π4，π3 C. ⎣⎡⎦⎤π4，π2 D. ⎣⎡⎦⎤π4，2π33. (2019·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ,则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π44. 如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2019·张家口模拟)若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3 x －y ＝33 的倾斜角的2倍,则( )A. m ＝－3 ,n ＝1B. m ＝－3 ,n ＝－3C. m ＝3 ,n ＝－3D. m ＝3 ,n ＝1二、 解答题6. 求过点A (1,3),斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．7. 求适合下列条件的直线方程．(1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；(2) 求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程．B巩固提升一、填空题1. 直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是________．2. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．3. 已知直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0,则直线l恒过定点________．4. (2019·江苏姜堰中学)已知△ABC的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________．二、解答题5. (2019·启东检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1) 求证：不论m为何实数,直线l过一定点M；(2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程．6. 如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时,求直线AB的方程．(第6题)第42讲两条直线的位置关系A应知应会一、选择题1. 若直线2x＋3y－1＝0与直线4x＋my＋11＝0平行,则m的值为()A. 83 B. －83 C. －6 D. 62. 若直线l过点(3,1)且与直线2x－y－2＝0平行,则直线l的方程为()A. 2x－y－5＝0B. 2x－y＋1＝0C. x＋2y－7＝0D. x＋2y－5＝03. (2019·石家庄模拟)若直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上,则k 的值为()A. －24B. 24C. 6D. ±64. 若直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(3,2),则过点A(a1,b1),B(a2,b2)的直线方程是()A. 2x＋3y－2＝0B. 3x＋2y－2＝0C. 3x＋2y＋2＝0D. 2x＋3y＋2＝05. 已知直线l1：(m－4)x－(2m＋4)y＋2m－4＝0与l2：(m－1)x＋(m＋2)y＋1＝0,则“m ＝－2”是“l1∥l2”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件二、解答题6. 已知三角形三边所在的直线方程分别为2x－y＋4＝0,x＋y－7＝0,2x－7y－14＝0,求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程．7. 已知△ABC的顶点B(2,1),C(－6,3),其垂心为H(－3,2),求顶点A的坐标．B 巩固提升一、 填空题1. 若三条直线y ＝2x ,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________．2. 如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行,则a ＝________．3. 已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ,若l 1⊥l 2,则a ＝________,此时点P 的坐标为________．4. (2019·南通中学)已知直线l 的倾斜角为3π4,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,－1),且l 1与l 垂直,直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行,则a ＋b ＝________．二、 解答题5. (2019·海门实验中学)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0,求α的值,使得：(1) l 1∥l 2；(2) l 1⊥l 2.6. 已知点P (a ,b )在x ,y 轴上的射影分别为点A ,B .(1) 求直线AB 的方程；(2) 求过点P 且垂直于AB 的直线m 的方程．第43讲 距离公式与对称问题A 应知应会一、 选择题1. 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( )A. 25B. 55C. 5D. 2552. 两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A. 235B. 2310C. 7D. 723. 已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ,设直线l 2经过点A ,则当点B (2,－1)到直线l 2的距离最大时,直线l 2的方程为( )A. 2x ＋3y ＋5＝0B. 3x －2y ＋5＝0C. 3x ＋2y ＋5＝0D. 2x －3y ＋5＝04. 已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0,c ＞0)恒过点P (1,m ),且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a ＋2c的最小值为( ) A. 92 B. 94C. 1D. 9 5. (多选)在平面直角坐标系中,定义d (P ,Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)之间的“折线距离”,则下列命题中为真命题的是( )A. 若点A (－1,3),B (1,0),则有d (A ,B )＝5B. 到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆C. 若点C 在线段AB 上,则有d (A ,C )＋d (C ,B )＝d (A ,B )D. 到M (－1,0),N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x ＝0二、 解答题6. (2019·江苏启东中学)已知直线l ：y ＝12x －1. (1) 求点P (3,4)关于l 对称的点Q ；(2) 求l 关于点(2,3)对称的直线方程．7. 已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4).(1) 证明：直线l 过某定点,并求该定点的坐标；(2) 当点P 到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. 已知点(a ,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a ＝________．2. 直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．3. 已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是________．4. “c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)二、 解答题5. 已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1) 若点A (5,0)到l 的距离为3,求l 的方程；(2) 求点A (5,0)到l 的距离的最大值．6. 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0,且l 1与l 2间的距离是7510. (1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ,使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2 ∶5 ？若能,求点P 的坐标；若不能,说明理由．第44讲 圆的方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·太原模拟)若两条直线y ＝x ＋2a ,y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部,则实数a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫－15，1B. ⎝⎛⎭⎫－∞，－15 ∪(1,＋∞) C. ⎣⎡⎭⎫－15，1 D. ⎝⎛⎦⎤－∞，－15 ∪[1,＋∞) 2. (2019·长沙模拟)已知三点A (1,0),B (0,3 ),C (2,3 ),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B. 213C. 253D. 433. 方程|x |－1＝1－（y －1）2 所表示的曲线是( )A. 一个圆B. 两个圆C. 半个圆D. 两个半圆4. (2019·邯郸一模)若x ,y 满足约束条件(x －1)2＋(y －1)2≤1,则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2 －1B. 3－22C. 2 ＋1D. 3＋225. (2019·黄冈调研)若长度为定值4的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动,P (x ,y )为△OAB 的外心轨迹上一点,则x ＋y 的最大值为( )A. 1B. 4C. 2D. 22二、 解答题6. 已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且CD ＝410 .(1) 求直线CD 的方程；(2) 求圆P 的方程．7. 已知圆经过点A (2,－3)和B (－2,－5).(1) 若圆的面积最小,求圆的方程；(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上,求圆的方程．B巩固提升一、填空题1. 若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心,则a＝________．2. 已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(－1,1),B(1,3),若M(m,6)在圆C内,则m的取值范围为________．3. (2019·南师附中)经过三点A(－1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S＝________．4. 已知点A(－2,0),B(0,2).若点M是圆x2＋y2－2x＋2y＝0上的动点,则△ABM面积的最小值为________．二、解答题5. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点．(1) 求线段AP中点的轨迹方程；(2) 若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．6. 如图,已知圆O的直径AB＝4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB,点P 是圆O上异于A,B的任意一点,直线P A,PB分别交l于M,N两点．(1) 若∠P AB＝30°,求以MN为直径的圆的方程；(2) 当点P变化时,求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．(第6题)第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系课时1直线与圆相关问题A应知应会一、选择题1. 以点(2,－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A. (x－2)2＋(y＋1)2＝3B. (x＋2)2＋(y－1)2＝3C. (x－2)2＋(y＋1)2＝9D. (x＋2)2＋(y－1)2＝92. (2019·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A,B两点(O 为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为()A. 6或－6B. 5或－5C. 6D. 53. “a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知圆C：x2＋y2＝4,若点P(x0,y0)在圆C外,则直线l：x0x＋y0y＝4与圆C的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定5. (多选)(2019·合肥模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|＝23,则直线l的方程为()A. 3x＋4y－12＝0B. 4x－3y＋9＝0C. x＝0D. 4x＋3y＋9＝0二、解答题6. (2019·启东模拟)已知直线l：kx－y＋k－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B 分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|＝43,求|CD|.7. 已知圆C经过点A(2,－1),与直线x＋y＝1相切,且圆心在直线y＝－2x上．(1) 求圆C的方程；(2) 已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·衡水调研)过M (－3,1),N (0,a )两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆x 2＋y 2＝1存在公共点,则实数a 的取值范围为________．2. (2019·扬州期末)已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ,Q 两点,则CP → ·CQ → ＝________．3. 已知过点P ⎝⎛⎭⎫32，32 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ,B 两点,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为________,∠ACB ＝________．4. (2019·启东考前卷)如图,已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |＝2,则圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．(第4题)二、 解答题5. 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0,点A (3,5).(1) 求过点A 的圆的切线方程；(2) 点O 是坐标原点,连接OA ,OC ,求△AOC 的面积S .6. 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4,点O 是坐标原点,直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ,N 两点．(1) 求k 的取值范围；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能,求出直线l 的方程；若不能,请说明理由．课时2圆与圆的位置关系A应知应会一、选择题1. 圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为()A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离2. 已知圆O1的方程为x2＋y2＝4,圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是()A. {1,－1}B. {3,－3}C. {1,－1,3,－3}D. {5,－5,3,－3}3. 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长,则a,b应满足的关系式是()A. a2－2a－2b－3＝0B. a2＋2a＋2b＋5＝0C. a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D. 3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝04. 两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直,则r等于()A. 5B. 4C. 3D. 225. 已知A＝{(x,y)|x2＋y2＝1},B＝{(x,y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4},则A∩B等于()A. ∅B. {(0,0)}C. {(5,5)}D. {(0,0),(5,5)}二、解答题6. 已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0,若圆B平分圆A的周长,且圆B的圆心在直线l：y ＝2x上,求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．7. 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4,圆O2的圆心坐标为(2,1).(1) 若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程；(2) 若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|＝22,求圆O2的方程．B 巩固提升一、 填空题1. 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切,则m ＝________．2. 已知线段AB 的长为2,动点C 满足CA → ·CB →＝λ(λ<0),且点C 总不在以点B 为圆心,12为半径的圆内,则负数λ的最大值是________．3. (2019·江苏天一中学)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是________．4. 如图,在平面四边形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,∠DAB ＝60°,AC ＝3BC ,则边CD 长的最小值为________．(第4题)二、 解答题 5. (2019·江苏准阴中学)已知点P (2,2),圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点．(1) 求M 的轨迹方程；(2) 当|OP |＝|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积．6. (2019·泰州中学)在平面直角坐标系xOy 中,过点P (0,1)且互相垂直的两条直线分別与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ,B ,与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ,D .(1) 若AB ＝327 ,求CD 的长；(2) 若CD 中点为E ,求△ABE 面积的取值范围．(第6题)第46讲 椭圆A 应知应会一、 选择题1. 过点A (3,－2)且与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A. x 215 ＋y 210 ＝1B. x 225 ＋y 220 ＝1 C. x 210 ＋y 215 ＝1 D. x 220 ＋y 215 ＝12. 设F 1,F 2分别是椭圆x 225 ＋y 216 ＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 53. (多选)已知P 为椭圆x 25 ＋y 24 ＝1上一点,以点P 及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积为S ,则( )A. 若S ＝1,则满足条件的点P 有4个B. 若S ＝2,则满足条件的点P 有2个C. 若S ＝5 ,则满足条件的点P 有2个D. 若S ＝12 ,则满足条件的点P 有4个4. 若中心为(0,0),一个焦点为F (0,52 )的椭圆,截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆的方程是( ) A. 2x 275 ＋2y 225 ＝1 B. x 275 ＋y 225 ＝1C. x 225 ＋y 275 ＝1D. 2x 225 ＋2y 275 ＝15. 已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ,B ,左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切,且该圆与y 轴的正半轴交于点C ,过点C 的直线交椭圆于M ,N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A. 35B. 12C. 23D. 34二、 解答题6 . 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1) 与椭圆x 24 ＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2,－3 )；(2) 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P 到两焦点的距离分别为5,3.7. (2019·厦门期中)如图,已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ,B ,右焦点为F ,一条准线方程是x ＝－4,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,点P ,Q 为椭圆C上异于A ,B 的两点,点R 为PQ 的中点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线PB 交直线x ＝－2于点M ,记直线P A 的斜率为k P A ,直线FM 的斜率为k FM ,求证：k FM ·k P A 为定值．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为________．2. 已知F 1,F 2分别为椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的左、右焦点,点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q 在椭圆上,则长轴长为________；若P 是椭圆上的一点,且PF 1·PF 2＝43 ,则S △F 1PF 2＝________．3. (2019·江苏海门中学)设F 1,F 2分别为椭圆x 24 ＋y 2＝1的左、右焦点,点P 在椭圆上,且|PF 1＋PF 2|＝23 ,则∠F 1PF 2＝________．4. (2019·淮北一模)在平面直角坐标系xOy 中,点P 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1(a ＞0)上一点,F为椭圆C 的右焦点,直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点Q ,若Q 恰为线段FP 的中点,则a ＝________．二、 解答题5. (2019·南昌一模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点M (0,－1),长轴长是短轴长的2倍．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 经过点N (2,1)且与椭圆C 相交于A ,B 两点(异于点M ),记直线MA 的斜率为k 1,直线MB 的斜率为k 2,求证：k 1＋k 2为定值．6. (2019·揭阳二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ,右焦点为F ,直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,且AP → ·AQ →＝0,试探究：直线l 是否过定点？若是,求该定点的坐标；若不是,请说明理由．第47讲 双曲线 A 应知应会一、 选择题1. (多选)下列各条件下求得的双曲线标准方程,正确的是( )A. 与x 轴交于两点A (－2,0),B (2,0),c ＝3,则方程为x 24 －y 25 ＝1B. a ＝25 ,过点A (2,－5),焦点在y 轴上,则方程为y 220 －x 216＝1C. 与椭圆x 227 ＋y 236 ＝1有相同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4,则方程为y 24 －x 25＝1D. 过P 1⎝⎛⎭⎫－2，352 ,P 2⎝⎛⎭⎫473，4 两点,则方程是y 29 －x 216 ＝12. 若双曲线E ：x 29 －y 216 ＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|＝3,则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 33. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点为F (－2,0),且双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的方程为( )A. x 23 －y 2＝1B. x 26 －y 22＝1C. x 23 －y 2＝1或x 2－y 23 ＝1 D. x 2－y 23 ＝1或x 26 －y 22＝1 4. (2019·济宁期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为E ,线段EF 被双曲线C 2：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的顶点三等分,且两曲线C 1,C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ,则双曲线C 2的离心率为( )A. 2B.322 C. 113 D. 2225. (2019·秦皇岛模拟)已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y＝2x ＋10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A. x 25 －y 220 ＝1B. x 220 －y 25 ＝1C. 3x 225 －3y 2100 ＝1D. 3x 2100 －3y 225 ＝1二、 解答题6. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 虚轴长为12,离心率为54 ；(2) 焦距为26,且经过点M (0,12)；(3) 经过两点P (－3,27 )和Q (－62 ,－7).7. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154 ,Q ⎝⎛⎭⎫－163，5 ； (2) c ＝6 ,经过点(－5,2),焦点在x 轴上．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－y 2b2 ＝1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________．2. (2019·晋中二模)过双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的下焦点F 1作y 轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2,则双曲线的离心率为________．3. 已知M (x 0,y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2＝1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1·MF 2<0,则y 0的取值范围是________．4. (2019·马鞍山一检)已知双曲线C ：x 24 －y 25 ＝1的焦点为F 1,F 2,P 为双曲线C 上的一点,且△F 1PF 2的内切圆半径为1,则△F 1PF 2的面积为________．二、 解答题5. 已知双曲线过点(3,－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1) 求双曲线的标准方程；(2) 若点M 在双曲线上,F 1,F 2为左、右焦点,且|MF 1|＋|MF 2|＝63 ,试判断△MF 1F 2的形状．6. 已知双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线方程为2x ＋y＝0,且焦点到这条渐近线的距离为1.(1) 求此双曲线的方程；(2) 若点M ⎝⎛⎭⎫55，m 在双曲线上,求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．第48讲 抛物线A 应知应会一、 选择题 1. (2019·南昌一模)已知抛物线方程为x 2＝－2y ,则其准线方程为( ) A. y ＝－1 B. y ＝1 C. y ＝12 D. y ＝－122. 过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( )A. 9B. 8C. 7D. 6 3. (2019·石家庄检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,过点F 和抛物线上一点M (2,22 )的直线l 交抛物线于另一点N ,则|NF |∶|FM |等于( )A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶3 4. (2019·武汉调研)已知A ,B 为抛物线y 2＝4x 上两点,O 为坐标原点,且OA ⊥OB ,则|AB |的最小值为( )A. 42B. 22C. 8D. 825. (多选)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)三点,F 是它的焦点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则( )A. x 1,x 2,x 3成等差数列B. x 1,x 2,x 3成等比数列C. y 21 ,y 22 ,y 23 成等差数列D. y 21 ,y 22 ,y 23 成等比数列 二、 解答题6. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ,B 两点,坐标原点为O ,且OA → ·OB → ＝12.(1) 求抛物线的方程；(2) 当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程．7. 一种高脚酒杯的轴截面近似一条抛物线如图所示,已知杯口宽4 cm,杯深8 cm.若将一些大小不等的玻璃球放入酒杯中,试问：半径为多大时,玻璃球触及酒杯底部？(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 若直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0),且与抛物线C 交于A ,B 两点,则p ＝________,1AF ＋1BF＝________．2. (2019·河南六市二联)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,其准线为直线l ,过点M (5,25 )作直线l 的垂线,垂足为H ,则∠FMH 的平分线所在直线的斜率是________．3. (2019·福州一模)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点,若AF → ＝5FB →,则直线l 的斜率为________．4. (2019·深圳二调)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点F 和到点(2,0)的距离之和的最小值为3,过点F 作斜率为3 的直线l 与抛物线C 及其准线从上到下依次交于点A ,B ,M ,则|AF ||BF | ＋|AF ||MF |＝________．二、 解答题 5. (2019·唐山摸底)斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线y ＝x 2交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,O 为坐标原点．(1) 当x 1＋x 2＝2时,求k ；(2) 若OB ⊥l ,且|AB |＝3|OB |,求|AB |.6. (2019·合肥二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m ,9)到其焦点F 的距离为10.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,且抛物线在A ,B 两点处的切线分别交x 轴于P ,Q 两点,求|AP |·|BQ |的取值范围．第49讲 解析几何的综合问题课时1 解析几何中的最值、范围问题A 应知应会一、 选择题1. 设A ,B 为椭圆C ：x 23 ＋y 2m＝1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°,则m 的取值范围是( )A. (0,1]∪[9,＋∞)B. (0,3 ]∪[9,＋∞)C. (0,1]∪[4,＋∞)D. (0,3 ]∪[4,＋∞)2. (2019·襄阳调研)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ,则离心率e 的取值范围是( ) A. [2 ,＋∞) B. (2 ,＋∞) C. (1,2 ) D. (1,2 ]3. (多选)已知O 是坐标原点,A ,B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点,OA ⊥OB ,则下列结论中正确的是( )A. OA ·OB ≥2B. OA ＋OB ≥22C. 直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点D. O 到直线AB 的距离小于等于1二、 解答题4. (2019·安庆二模)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且过点(2,2 ). (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A ,B 为椭圆C 的左、右顶点,过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ,N 两点,分别记△ABM ,△ABN 的面积为S 1,S 2,求|S 1－S 2|的最大值．5. (2019·荆州二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为13,点P 在椭圆C 上,且△PF 1F 2的面积的最大值为22 . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,若在x 轴上存在点G ,使得|GM |＝|GN |,求点G 的横坐标的取值范围．B 巩固提升一、 填空题1. (2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1,则双曲线x 2a 2 －y 2＝1的离心率的取值范围是________． 2. 已知线段|AB |＝4,|P A |＋|PB |＝6,M 是AB 的中点,当P 点在同一平面内运动时,PM 的长度的最小值为________．3. 已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P 满足PF 1·PF 2＝－a 2,则双曲线离心率的取值范围为________．二、 解答题4. (2019·新乡三模)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线与x 轴交于点K ,过点K 作圆C ：(x －5)2＋y 2＝9的两条切线,切点为M ,N ,|MN |＝33 .(1) 求抛物线E 的方程；(2) 若直线AB 是过定点Q (2,0)的一条直线,且与抛物线E 交于A ,B 两点,过定点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G ,D 两点,求四边形AGBD 面积的最小值．5. (2019·江西质检)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22,过点A (－m ,0),B (m ,0)(m ＞0)分别作两平行直线l 1,l 2,l 1与椭圆C 相交于M ,N 两点,l 2与椭圆C 相交于P ,Q两点,且当直线l 2过右焦点和上顶点时,四边形MNQP 的面积为163. (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若四边形MNQP 是菱形,求正数m 的取值范围．课时2 解析几何中的定点、定值问题A 应知应会一、 选择题1. (2019·武汉模拟)曲线x 225 ＋y 29 ＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k ＜9)的( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等2. 已知直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若直线OA ,OB 的斜率k 1,k 2满足k 1k 2＝23,则l 一定过点( ) A. (－3,0) B. (3,0) C. (－1,3) D. (－2,0)3. (2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249 ＋y 224＝1上一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,且△PF 1F 2的重心为点G ,若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4,那么△GPF 1的面积为( )A. 24B. 12C. 8D. 6二、 解答题4. (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ,N 两点．(1) 当k ＝0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2) y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．5. 已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1,圆O ：x 2＋y 2＝4上一点A (0,2). (1) 过点A 作两条直线l 1,l 2都与椭圆C 相切,求直线l 1,l 2的方程并判断其位置关系；(2) 同学甲：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终相互垂直； 同学乙：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终不垂直． 请判定两个同学观点是否正确,并证明．B 巩固提升一、 填空题1. 过抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作与直线x ＋2＝0相切的圆,这些圆必过一定点,则定点的坐标是________．2. 设A (x 1,y 1),B ⎝⎛⎭⎫4，95 ,C (x 2,y 2)是右焦点为F 的椭圆x 225 ＋y 29 ＝1上三个不同的点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则x 1＋x 2＝________．二、 解答题3. (2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的动直线交抛物线C 于A ,B 两点．当直线与x 轴垂直时,|AB |＝4.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 若直线AB 与抛物线的准线l 相交于点M ,在抛物线C 上是否存在点P ,使得直线P A ,PM ,PB 的斜率成等差数列？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．4. (2019·池州期末)已知定点A (－3,0),B (3,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为－19,记动点M 的轨迹为曲线C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 过点T (1,0)的直线l 与曲线C 交于P ,Q 两点,是否存在定点S (s ,0),使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值？若存在,求出S 的坐标；若不存在,请说明理由．微难点10 解析几何运算中的常用技巧一、 选择题1. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3 x ,它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A. x 236 －y 2108 ＝1B. x 29 －y 227＝1 C. x 2108 －y 236 ＝1 D. x 227 －y 29＝12. 已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的标准方程为( )A. x 245 ＋y 236 ＝1B. x 236 ＋y 227＝1 C. x 227 ＋y 218 ＝1 D. x 218 ＋y 29＝13. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0),P 为双曲线上任一点,且PF 1·PF 2最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34c 2，－12c 2 ,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A. (1,2 ] B. [2 ,2] C. (0,2 ] D. [2,＋∞)二、 填空题4. (2019·清江中学)已知F (2,0)为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点,过F 且垂直于x 轴的弦长为6,若A (－2,2 ),点M 为椭圆上任一点,则|MF |＋|MA |的最大值为________．5. 如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,F (－25 ,0)为C 的左焦点,P 为C 上一点,满足OP ＝OF ,且PF ＝4,则椭圆C 的方程为________．(第5题)三、 解答题6. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上的点到两个焦点的距离之和为23 ,短轴长为12,直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝125相切,求证：OM → ·ON → 为定值.7. 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e ＝12,且椭圆C 经过点P (2,3),过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ,B 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求△PF 1G 的面积S 的取值范围．8. 如图,O 为坐标原点,点F 为抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点,且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2＋y 2＝1相切于点Q .(1) 当直线PQ 的方程为x －y －2 ＝0时,求抛物线C 1的方程；(2) 当正数p 变化时,记S 1 ,S 2分别为△FPQ ,△FOQ 的面积,求S 1S 2的最小值．(第8题)。

第二章 基本初等函数第6讲 函数的概念及其表示方法A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·北京一模)已知函数f (x )＝x 3－2x ,则f (3)等于( )A. 1B. 19C. 21D. 352. (2019·石家庄二模)设集合M ＝{x |0≤x ≤2},N ＝{y |0≤y ≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )A BCD3. (2019·厦门质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫12x ，x >0， 则f (f (log 23))等于( ) A. －9 B. －1C. －13D. －1274. (2019·河南名校段测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f （x －4），x ＞9，则f (13)＋2f ⎝⎛⎭⎫13 的值为( ) A. 1 B. 0 C. －2 D. 25. (2019·河北衡水)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4 ,则实数m的取值范围是( )A. (0,4]B. ⎣⎡⎦⎤32，4C. ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D. ⎣⎡⎦⎤32，3二、 解答题6. (1) 已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,求f (x )的解析式．(2) 已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1,求f (x )的解析式．7. 已知f (x )＝x 2－1,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1) 求f (g (2))和g (f (2))的值；(2) 求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4 ,则函数y ＝f (x )的定义域为________,函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为________．2. (2019·南京三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f （x －2），x ＞0， 则f (log 23)＝________． 3. (2018·南阳一模)已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋3x ,则f (x )的解析式为________．4. (2018·郴州质量监测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则使f (a )＝－1成立的a 值是________．二、 解答题5. (1) 已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1,求f (x ).(2) 已知定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1),求f (x ).6. 对于每个实数x ,设f (x )取y ＝4x ＋1,y ＝x ＋2,y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值,用分段函数写出f (x )的解析式,并求f (x )的最大值．第7讲 函数的单调性与最值A 组 应知应会一、 选择题1. (多选)已知f (x )是定义在[0,＋∞)上的函数,根据下列条件可以断定f (x )为增函数的是( )A. 对任意x ≥0,都有f (x ＋1)＞f (x )B. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≥x 2,都有f (x 1)≥f (x 2)C. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1－x 2<0,都有f (x 1)－f (x 2)<0D. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0 2. 下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( )A. y ＝11－xB. y ＝cos xC. y ＝ln (x ＋1)D. y ＝2－x 3. 若函数y ＝2－x x ＋1,x ∈(m ,n ]的最小值为0,则m 的取值范围是( ) A. (1,2) B. (－1,2) C. [1,2) D. [－1,2)4. (2019·郑州调研)若函数f (x )＝x －1x 2 在x ∈[1,4]上的最大值为M ,最小值为m ,则M －m 的值是( )A. 3116B. 2C. 94D. 1145. (2019·武汉质检)若函数y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2,＋∞)上是减函数,则a 的取值范围为( )A. (－∞,－4)∪[2,＋∞)B. (－4,4]C. [－4,4)D. [－4,4]二、 解答题6. 已知f (x )＝x x 2＋1,判断并证明函数f (x )在区间[－1,0]上的单调性．7. 求下列函数的值域．(1) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x，x >1； (2) y ＝x －x .B 巩固提升一、填空题1. 函数f (x )＝1－2x ＋1的单调增区间是________． 2. (2019·太原期末)已知函数f (x )＝x ＋1x －1,x ∈[2,5],则f (x )的最大值是________． 3. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________．4. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1 满足对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 ＞0成立,那么实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0,x ＞0). (1) 求证：f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2) 若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ,求a 的值．6. 已知函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1) 求f (1)的值；(2) 判断f (x )的奇偶性并证明；(3) 如果f (4)＝1,f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3,且f (x )在(0,＋∞)上是增函数,求x 的取值范围．第8讲 函数的奇偶性与周期性课时1 函数奇偶性判定与周期性A 组 应知应会一、 选择题1. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,＋∞)上单调递减的函数是( )A. y ＝x 3B. y ＝ln 1|x |C. y ＝2|x |D. y ＝cos x 2. (2019·济宁二模)已知f (x )是定义在R 上的周期为4的奇函数,当x ∈(0,2)时,f (x )＝x 2＋ln x ,则f (2 019)等于( )A. －1B. 0C. 1D. 23. (2019·烟台一模)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,f ⎝⎛⎭⎫14 ＝1,当x <0时,f (x )＝log 2(－x )＋m ,则实数m 等于( )A. －1B. 0C. 1D. 24. 已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x ＋4)＝f (x ),当x ∈(－2,0)时,f (x )＝2x 2,则f (2 019)等于( )A. －2B. 2C. －98D. 985. (多选)设函数f (x )的定义域为R,且f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝0,f (0)≠0,若对于任意实数x ,y ,恒有f (x )＋f (y )＝2f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2 ·f ⎝⎛⎭⎫x －y 2 ,则下列说法正确的是( )A. f (0)＝1B. f (x )＝f (－x )C. f (x ＋2π)＝f (x )D. f (2x )＝2f (x )－1二、 解答题6. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(－∞,0)时,f (x )＝－x lg (2－x ),求函数f (x )的解析式．7. 已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数,且f (1)＝1,若a ,b ∈[－1,1],且a ＋b ≠0时,有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0恒成立． (1) 用定义证明函数f (x )在[－1,1]上是增函数；(2) 解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12 <f (1－x ).B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·日照一模)若函数f (x )＝x 2＋(3－a )x ＋1为偶函数,则a ＝________．2. 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )＝log 2(x ＋1),则当x ∈[1,2]时,f (x )＝________．3. (2019·苏州期初调查)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0 为奇函数,则实数a 的值为________．4. (2019·南通、泰州、扬州一调)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时,f (x )＝x 3－ax ＋1,则实数a 的值为________．二、 解答题5. 设f (x )是(－∞,＋∞)上的奇函数,f (x ＋2)＝－f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝x .(1) 求f (π)的值；(2) 当－4≤x ≤4时,求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x ),当x ∈[0,2]时,f (x )＝2x －x 2.(1) 求证：f (x )是周期函数；(2) 当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式；(3) 计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值．课时2 函数性质的应用A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·山西考前训练)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,1)内是增函数的是( )A. y ＝x ln xB. y ＝x 2＋xC. y ＝sin 2xD. y ＝e x －e －x2. (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于 ( )A. －50B. 0C. 2D. 503. (2019·九江二模)已知函数f (x )满足：①对任意x ∈R,f (x )＋f (－x )＝0,f (x ＋4)＋f (－x )＝0成立；②当x ∈(0,2]时,f (x )＝x (x －2),则f (2 019)等于( )A. 1B. 0C. 2D. －14. (多选)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )和偶函数y ＝g (x )满足f (x )＋g (x )＝4x ,下列结论正确的有( )A. f (x )＝4x －4－x 2,且0<f (1)<f (2) B. ∀x ∈R,总有[g (x )]2－[f (x )]2＝1C. ∀x ∈R,总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0D. ∃x 0∈R,使得f (2x 0)＞2f (x 0)g (x 0)5. (2019·临沂一模)已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数,当x ＞0时,函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称,则g (－1)＋g (－2)等于( )A. －7B. －9C. －11D. －13二、 解答题6. 若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数,且x ∈[0,1)时f (x )为增函数,求不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12 ＜0的解集．7. 已知函数f (x )是(－∞,＋∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x ＋2)＝－f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )＝log 2(x ＋1).(1) 求f (0)与f (2)的值；(2) 求f (3)的值；(3) 求f (2 021)＋f (－2 022)的值．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )同时满足条件：①偶函数；②值域为[0,＋∞)；③周期为2 020,请写出f (x )的一个解析式：______________．2. 已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1),b ＝g (20.8),c ＝g (3),则a ,b ,c 的大小关系是________．3. 设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2,则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________． 4. 函数f (x )＝x 3－3x 2的对称中心是________．二、 解答题5. 若f (x )和g (x )都是奇函数,且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0,＋∞)上有最大值8,求F (x )在(－∞,0)上的最小值．6. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1) 证明：y ＝f (x )是周期函数,并指出其周期；(2) 若f (1)＝2,求f (2)＋f (3)的值；(3) 若g (x )＝x 2＋ax ＋3,且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数,求实数a 的值．第9讲二次函数与幂函数A组应知应会一、选择题1. 若a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛,b＝3251⎪⎭⎫⎝⎛,c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛,则a,b,c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c2. 若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y＝f(x)的大致图象是()A BC D3. (2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a,x∈[0,1],若f(x)有最小值－2,则f(x)的最大值为()A. 1B. 0C. －1D. 24. 将进价为40元的商品按50元一件销售,一个月恰好卖500件,而价格每提高1元,就会少卖10个,商店为使该商品利润最大,应将每件商品定价为()A. 50元B. 60元C. 70元D. 100元5. (多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R),给出下列命题,其中是真命题的是()A. 若a2－b≤0,则f(x)在区间[a,＋∞)上是增函数B. 存在a∈R,使得f(x)为偶函数C. 若f(0)＝f(2),则f(x)的图象关于x＝1对称D. 若a2－b－2＞0,则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点二、解答题6. 已知二次函数f(x)同时满足条件：①对称轴方程是x＝1；②f(x)的最大值为15；③f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．7. 已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在(－∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t＋1],总有|f(x1)－f(x2)|≤2,求实数t的取值范围．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )＝ax 2－2x －3在区间为(－∞,4)上单调递减,则a 的取值范围是________．2. 若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1,一个零点大于3,则实数a 的取值范围是________．3. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，－2≤x <0，x 2－2x －3，0≤x ≤3 的值域是________． 4. 已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域为(－∞,1],则1a ＋4c的最大值是________．二、 解答题5. (1) 已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上具有单调性,求实数k 的取值范围．(2) 已知关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－kx ＋3.(1) 若f (x )在[－2,2]上存在单调减区间,求k 的取值范围；(2) 从下面三个函数中：①g (x )＝mx ＋5－m ；②h (x )＝2x －m ；③r (x )＝log 2(3－x )－m ,任选一个函数补充在下列问题中,若m 存在,求m 的取值范围；若不存在,请说明理由．问题：当k ＝0时,若对任意的x 1∈[1,2],总存在x 2∈[－1,2],使得f (2x 1)＝k (x 2)成立．(其中k (x )是你选择的函数)第10讲 指数式与指数函数A 组 应知应会一、 选择题1. (多选)下列结论中不正确的是( )A. 函数f (x )＝x x -⎪⎭⎫⎝⎛221的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，12 B. 函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数 C. 函数y ＝1x ＋1的单调减区间是(－∞,1)和(1,＋∞) D. 1x＞1是x <1的必要不充分条件 2. 已知a ＝243 ,b ＝425 ,c ＝2513,则( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b3. 若3x ＝a ,5x ＝b ,则45x 等于( )A. a 2bB. ab 2C. a 2＋bD. a 2＋b 24. (2019·东北三校联考)已知函数f (x )＝a x －1(a ＞0,a ≠1)的图象恒过点A ,下列函数中图象不经过点A 的是( )A. y ＝1－xB. y ＝|x －2|C. y ＝2x －1D. y ＝log 2(2x )5. (多选)已知函数f (x )＝e x －e －x 2 ,g (x )＝e x ＋e －x 2,则f (x ),g (x )满足( ) A. f (－x )＝－f (x ),g (－x )＝g (x )B. f (－2)<f (3)C. f (2x )＝2f (x )g (x )D. [f (x )]2－[g (x )]2＝1二、 解答题6. 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 ax ,a 为常数,且函数的图象过点(－1,2).(1) 求a 的值；(2) 若g (x )＝4－x －2,且g (x )＝f (x ),求满足条件的x 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝2x －1.(1) 求f (3)＋f (－1)；(2) 求f (x )在R 上的解析式；(3) 求不等式－7≤f (x )≤3的解集．B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·菏泽九校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增．若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3 ),则a 的最大值是________．2. (2019·石家庄二模)若函数f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f (x )＋2g (x )＝e x ,则g (－1),f (－2),f (－3)从大到小的顺序是________．3. (2018·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x <1，x ＋4x，x ≥1 (e 是自然对数的底).若函数y ＝f (x )的最小值是4,则实数a 的取值范围为________．4. (2019·聊城一模)设函数f (x )＝1e x －1＋a ,若f (x )为奇函数,则不等式f (x )＞1的解集为________．二、解答题5. 已知函数f (x )＝b ·a x (a ＞0,且a ≠1,b ∈R)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1) 设g (x )＝1f （x ）＋3 －16,确定函数g (x )的奇偶性； (2) 若对任意x ∈(－∞,1],不等式⎝⎛⎭⎫a b x≥2m ＋1恒成立,求实数m 的取值范围．6. 设f (x )＝a x ＋a －x 2 ,g (x )＝a x －a －x 2,其中a 为常数,且a ＞0,a ≠1. (1) 求证：g (5)＝g (2)f (3)＋f (2)g (3)；(2) 试写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式,使得第(1)问的结论是这个等式的一个特例,并证明它在f (x )和g (x )的公共定义域R 上恒成立；(3) 试再写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式．第11讲 对数与对数函数A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·全国卷Ⅰ) 已知a ＝log 20.2,b ＝20.2,c ＝0.20.3,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a2. (多选)已知函数f (x )＝ax 3－1x＋b (a ＞0,b ∈Z),选取a ,b 的一组值计算f (lg a )和f ⎝⎛⎭⎫lg 1a 所得出的结果可以是( )A. 3和4B. －2和5C. 6和2D. －2和23. (2019·枣庄一模)已知2x ＝5y ＝t ,1x ＋1y＝2,则t 等于( ) A. 110 B. 1100C. 10D. 100 4. (2019·汕头一模)已知当0<x ≤12时,不等式log a x <－2恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A. (2 ,2) B. (1,2 )C. ⎝⎛⎭⎫22，1 D. (0,2 ) 5. (2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg (10＋x )＋lg (10－x ),则( )A. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是增函数B. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是增函数C. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是减函数D. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是减函数二、 解答题6. 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3).(1) 若f (1)＝1,求f (x )的单调区间；(2) 若f (x )的最小值为0,求a 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (0)＝0,当x ＞0时,f (x )＝log 12x . (1) 求函数f (x )的解析式；(2) 解不等式f (x 2－1)＞－2.B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·南京、盐城一模)已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数,且当x ＞0时,f (x )＝e x ＋1,则f (－ln 2)的值为________．2. (2019·孝义二模)若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________．3. 若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a ＞0,a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 内恒有f (x )＞0,则f (x )的单调增区间为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12 ＝________, 方程f (f (x ))＝1的解集是________． 二、 解答题5. 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0,a ≠1)在区间[1,7]上的最大值比最小值大12,求a 的值．6. 已知函数f (x )＝ln (1＋x )＋ln (a －x )为偶函数,a ∈R ．(1) 求a 的值,并讨论f (x )的单调性；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫12 <f (lg x ),求x 的取值范围．第12讲函数的图象课时1图象变换及识别A组应知应会一、选择题1. (2019·黄山一模)已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x),则图(2)中的图象对应的函数为()(第1题)A. y＝f(|x|)B. y＝f(－|x|)C. y＝|f(x)|D. y＝－f(|x|)2. (2019·厦门质检)函数y＝cos x＋ln (|x|＋1)(x∈[－2π,2π])的图象大致为()A BC D3. (2019·泉州质检)函数f(x)＝e|x|2x的部分图象大致为()A BC D4. (2019·长沙月考)函数f(x)＝ln (x－1)＋ln (x＋1)＋cos x的大致图象是()A BC D5. (2019·济南一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a ＞0)在R 上为减函数,则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )A BC D二、解答题6. 如图,定义在[－1,＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,求f (x )的解析式．(第6题)7. 已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2). (1) 用分段函数的形式表示该函数；(2) 画出该函数的图象；(3) 写出该函数的值域．B 组 能力提升一、 填空题1. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ＜1，－x ＋3，x ≥1， 使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________． 2. 已知函数f (x )＝1x,则y ＝f (x －1)＋1的单调减区间为________． 3. 若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为________．4. (2019·龙岩质检)已知定义在R 上的可导函数f (x ),g (x )满足f (x )＋f (－x )＝6x 2＋3,f (1)－g (1)＝3,g ′(x )＝f ′(x )－6x ,如果g (x )的最大值为M ,最小值为N ,则M ＋N ＝________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝|x |(x －a ),a ＞0.(1) 作出函数f (x )的图象；(2) 写出函数f (x )的单调区间；(3) 当x ∈[0,1]时,由图象写出f (x )的最小值．6. 设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ,b 为常数),且方程f (x )＝32 x 的两个实根分别为x 1＝－1,x 2＝2.(1) 求y ＝f (x )的解析式；(2) 证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心．课时2以函数图象为背景的问题A组应知应会一、选择题1. (2019·合肥质检)函数f(x)＝x2＋x sin x的图象大致为()A BC D2. (2019·芜湖期末)函数f(x)＝ln |x＋1|x＋1的部分图象大致为()A BC D3. (2019·广州一模)如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h ＝f(t)的图象大致是()(第3题)ABCD4. (多选)函数f (x )＝|x |＋ax2 (其中a ∈R)的图象可能是( )ABCD二、 填空题5. 已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm＝________．6. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1 的图象如图所示,则f (－3)＝________．(第6题)7. 若函数f (x )＝x ＋1x 的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝________．8. (2019·长沙统测)已知f (x )＝|e x －1|＋1,若函数g (x )＝[f (x )]2＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点,则实数a 的取值范围是________．9. 不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －log 12x <0的整数解的个数为________．B 组 能力提升一、 选择题 1. (2019·潍坊模拟)函数y ＝4cos x －e |x |的图象可能是( )ABCD2. (2019·河南省六市联考)设实数a ,b ,c 分别满足a ＝5－12 ,b ln b ＝1,3c 3＋c ＝1,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. c ＞b ＞aB. b ＞c ＞aC. b ＞a ＞cD. a ＞b ＞c3. 已知函数f (2x ＋1)是奇函数,则函数y ＝f (2x )的图象成中心对称的点为( )A. (1,0)B. (－1,0)C. ⎝⎛⎭⎫12，0D. ⎝⎛⎭⎫－12，04. 若函数f (x )＝（2－m ）xx 2＋m的图象如图所示,则m 的取值范围为( )(第4题)A. (－∞,－1)B. (－1,2)C. (0,2)D. (1,2)二、 填空题 5. (2019·新余模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1),则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．6. (2019·荆州三模)已知偶函数f (x )和奇函数g (x )的图象如图所示,若关于x 的方程f (g (x ))＝1,g (f (x ))＝2的实根个数分别为m ,n ,则m ＋n ＝________．(第6题)7. 已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)和函数g (x )＝sin π2 x ,若f (x )与g (x )的图象有且只有3个交点,则a 的取值范围是________．8. 已知函数f (x )对于任意实数x ∈[a ,b ],当a ≤x 0≤b 时,记|f (x )－f (x 0)|的最大值为D [a ,b ](x 0). (1) 若f (x )＝(x －1)2,则D [0,3](2)＝________；(2) 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0， 则D [a ,a ＋2](－1)的取值范围是________．第13讲 函数与方程A 组 应知应会一、 选择题1. 若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (1,2)C. (0,3)D. (0,2)2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1， 则函数f (x )的零点为( )A. 12 ,0B. －2,0C. 12D. 0 3. 已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1,g (x )＝log 2x ＋x ＋1,h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ,b ,c ,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c4. 已知函数y ＝f (x )的周期为2,当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2,那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A. 10个B. 9个C. 8个D. 1个 5. (2019·九江模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a ＞0)的最小值为8,则实数a 的取值范围是( )A. (5,6)B. (7,8)C. (8,9)D. (9,10) 二、 解答题6. 若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a 的取值范围．7. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2,a ∈R ．(1) 若不等式f (x )≤0的解集为[1,2],求不等式f (x )≥1－x 2 的解集；(2) 若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a 的取值范围．B 组 能力提升一、 填空题1. 方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解集为________．2. 设f (x )是定义在R 上的偶函数,满足f (x )＝f (2－x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝－x 2＋1,方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 |x |在区间[－5,5]内实根的个数为________．3. 在平面直角坐标系xOy 中,若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点,则a 的值为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x <1，π（x －3a ）（x －2a ），x ≥1， 若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数,当x ∈[0,＋∞)时,f (x )＝x 2－2x . (1) 求函数y ＝f (x )的解析式；(2) 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解,求a 的取值范围．6. (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ,f ′(x )为f (x )的导数． (1) 求证：f ′(x )在区间(0,π)上存在唯一零点； (2) 若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围．第14讲数学建模——函数的模型及其应用A组应知应会一、选择题1. 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元,则这个人的稿费为()A. 3 000元B. 3 800元C. 3 818元D. 5 600元2. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年3. (2019·三明联考)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3 010)()A. 3B. 4C. 5D. 64. (2019·安庆二模)设甲、乙两地的距离为a(a＞0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()A BC D5. (多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,则下列叙述不正确的是()(第5题)A. 消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少C. 甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油D. 某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油二、解答题6. 网店销售某一品牌的商品,购买人数n是商品标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少．已知标价为每件300元时,购买人数为零；标价为每件225元时,购买人数为75人．若这种商品的成本价是100元/件,网店以高于成本价的相同价格(标价)出售．(1) 网店要获取最大利润,商品的标价应定为每件多少元？(2) 通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果网店要获得最大利润的75%,那么商品的标价为每件多少元？7. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2,其中3<x<6,a为常数．已知销售价格为5元/kg时,每日可售出该商品11 kg.(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/kg,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．B组能力提升一、填空题1. (2019·唐山联考)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A (a为常数),广告效应为D＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________．(用常数a表示)2. (2019·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(kg)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿________kg.(第2题）3. 某公司一年购买某种货物600 t,每次购买x t,运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________．4. 根据相关规定,机动车驾驶员血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升时属于醉酒驾车．假设饮酒后,血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升,经过x h,酒精含量降为p毫克/100毫升,且满足关系式p＝p0·e rx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2 h后,测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升,则此人饮酒后需经过________h方可驾车．(精确到h)二、解答题5. 某创业团队拟生产A、B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图(1)),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图(2)).(注：利润与投资额的单位均为万元)(1) 分别将A、B两种产品的利润f(x)、g(x)表示为投资额x的函数；(2) 该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A、B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A、B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？图(1)图(2)(第5题)6. 某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝1600x 2＋x ＋150(万元). (1) 若使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台？(2) 现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m 人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480，m ＞30(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问：引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之多少？(第6题)微难点2 分段函数的研究一、 选择题1. (2019·湖北四地联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，log 2（x ＋1），x ≥0， 若f (a )<1,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,－3)∪[0,1)B. (－3,0)∪(－1,1)C. (－3,1)D. (1,＋∞)2. (2019·开封一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2， 若f (a )≥1,则a 的取值范围是( )A. [1,2)B. [1,＋∞)C. [2,＋∞)D. (－∞,－2]3. (2019·廊坊三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 2x －2x ＋a ，x >0，ax ＋3a －2，x ≤0 在(－∞,＋∞)上是单调函数,且f (x )存在负的零点,则a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫23，1B. ⎝⎛⎦⎤23，32C. ⎝⎛⎦⎤0，32D. ⎝⎛⎭⎫23，＋∞4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3， 若存在实数a ,b ,c ,d ,满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d ),其中d ＞c ＞b ＞a ＞0,则abcd 的取值范围是( )A. (21,25)B. (21,24)C. (20,24)D. (20,25)5. (2019·驻马店期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax x >0 在[－2,2]上的最大值为3,则实数a 的取值范围是( )A. (ln 3,＋∞)B. ⎣⎡⎦⎤0，12ln 3C. ⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D. (－∞,ln 3]二、 填空题6. (2019·佛山二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－x 2＋2x ＋1，x <0 (其中e 是自然对数的底数),且函数y＝|f (x )|－mx 有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是________．7. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x，x ≤1，log a x ＋13，x >1. 若存在x 1,x 2∈R,x 1≠x 2,使得f (x 1)＝f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是________．8. (2019·滨州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 2x |，x >0.若方程f (x )＝a 恰有4个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23 x 4的取值范围为________．微难点3 由函数的性质求参数范围一、 填空题1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0， 若f (a －1)＋f (a )＞0,则实数a 的取值范围是________．2. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________．3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－mx ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－m 2x ＋2，x ≤1 是R 上的增函数,则实数m 的取值范围是________．4. 若函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ＋1在(－2,＋∞)上单调递增,则a 的取值范围是________．5. 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数,则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2 在区间(－2,＋∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0， 若f (2－a 2)<f (a ),则实数a 的取值范围是________．二、解答题8. 设定义在[－2,2]上的函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,且f(1－m)＜f(3m).(1) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是奇函数,求实数m的取值范围；(2) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是偶函数,求实数m的取值范围．。

[考案5]第五章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( D )A.a n ＝(－1)n·2n ＋12nB.a n ＝(－1)n ·2n ＋12nC.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n D.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n【试题解答】 该数列是分数形式，分子为奇数2n ＋1，分母是指数2n ，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D 选项正确.2.(2020·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( D )A.8B.2C.3D.7【试题解答】 由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，所以数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b 2 019的末位数字为7.故选D.3.(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( C ) A.14 B.21 C.28D.35【试题解答】 由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.4.(2020·山东潍坊期末)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，则数列{a n }的公比为( B )A.2B.3C.12D.13【试题解答】 设数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1，因为S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，所以1＋q m ＝28，q m ＝2m ＋21m －2，所以m ＝3，q ＝3.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14＜0，则S n 取最大值时n 的值为( B ) A.6 B.7 C.8D.13【试题解答】 根据S 13>0，S 14＜0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8＜0.所以a 7>0，a 8＜0，则S n 取最大值时n 的值为7.故选B.6.(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{a n }中，已知对任意的正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( A )A.13(4n －1) B.2n －1 C.13(2n －1) D.4n －1【试题解答】 通解：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m 对任意的正整数n 均成立，∴a 1＝2＋m ，a 2＝2，a 3＝4.∵{a n }是等比数列，∴m ＝－1，a 1＝1，q ＝2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A. 优解：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，∴当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2＋m ，满足上式，∴m ＝－1，即等比数列{a n }的首项为1，公比为2，∴a n ＝2n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A.7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A ，B ，C 为圆心，AC ，BA 1，CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，再以A 为圆心，AA 3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为( A )A.310πB.1103πC.58πD.110π【试题解答】 根据弧长公式知，弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －2A n －1，A n －1A n 的长度分别为23π，2×23π，3×23π，…，(n －1)×23π，n ×23π，该数列是首项为23π，公差为23π的等差数列，所以该数列的前n 项和S n ＝π3n (n ＋1)，所以所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为S 30＝π3×30×(30＋1)＝310π.故选A.8.(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( B ) A.3 B.4 C.23－2D.92【试题解答】 由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立.故选B. 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.等比数列{a n }的前三项和S 3＝14，若a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则公比q ＝( AD ) A.2 B.13 C.3D.12【试题解答】 由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，即2(1＋a 1q )＝a 1＋a 1q 2， 即a 1(q 2－2q ＋1)＝2，①又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝14，② ①÷②得：q 2－2q ＋11＋q ＋q 2＝214，解得q ＝2或q ＝12.另解：由2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，得3a 2＋2＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝14，解得a 2＝4， 则S 3＝4q ＋4＋4q ＝14，解得q ＝2或q ＝12.故选A 、D.10.若数列{a n }满足对任意n ≥2(n ∈N )都有(a n －a n －1－2)·(a n －2a n －1)＝0，则下面选项中正确的是( ABD )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差数列又是等比数列D.{a n }可以既不是等差数列又不是等比数列 【试题解答】 因为(a n －a n －1－2)(a n －2a n －1)＝0， 所以a n －a n －1－2＝0或a n －2a n －1＝0， 即a n －a n －1＝2或a n ＝2a n －1，当a n ≠0，a n －1≠0时，{a n }是等差数列或等比数列；当a n ＝0或a n －1＝0时，{a n }可以不是等差数列，也可以不是等比数列，比如数列，2,0,0,0，…….故选A 、B 、D.11.已知等比数列{x n }的公比为q ，若恒有|x n |>|x n ＋1|，且x 11＋q ＝12，则首项x 1的取值范围可以是( AC ) A.(12，1) B.(0,1) C.(0，12)D.(1,2)【试题解答】 由|x n |>|x n ＋1|，得1>|x n ＋1x n|＝|q |，故－1＜q ＜0或0＜q ＜1.0＜1＋q ＜1或1＜1＋q ＜2，又x 11＋q ＝12，所以x 1＝1＋q 2，所以x 1∈(0，12)∪(12，1).故选A 、C.12.(2020·山东十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论不正确的是( BCD )A.a 2>b 2B.a 3＜b 3C.a 5>b 5D.a 6>b 6【试题解答】 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3d ＝1，4q 3＝1，解得⎩⎨⎧d ＝－1，q ＝314，则a 2－b 2＝3－316>3－327＝0；故A 正确.同理，其余都错，故选B 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·云南师大附中月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝__85__. 【试题解答】 a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②，①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴S 4＝1－441－4＝85.或S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋4＋16＋64＝85.14.(2020·福建莆田月考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝__18__. 【试题解答】 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝__2n－1__.【试题解答】 因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.故填2n －1.16.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意的n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为 [23，＋∞) .【试题解答】 因为数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，则a n ＝22n －1，a 1＝2也适合，所以1a n ＝122n －1，数列{1a n }是首项为12，公比为14的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )＜23，则实数t 的取值范围为[23，＋∞).故填[23，＋∞). 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足. ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.18.(本小题满分12分)(2020·山东省济南第一中学期中考试)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .【试题解答】 (1)∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12， ∴3a 2＝12，所以a 2＝4， 又∵2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a 22＝2a 1·(a 3＋1)，即a 22＝2(a 2－d )·(a 2＋d ＋1)， 解得，d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2. (2)b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝(3n －2)·13n ，∴T n ＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n －2)×13n ，①①×13得13T n ＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n －5)×13n ＋(3n －2)×13n ＋1.②①－②得23T n ＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n －(3n －2)×13n ＋1＝13＋3×132(1－13n －1)1－13－(3n －2)×13n ＋1＝56－12×13n －1－(3n －2)×13n ＋1，∴T n ＝54－14×13n －2－3n －22×13n ＝54－6n ＋54×13n .19.(本小题满分12分)(2020·河南洛阳孟津二中月考)在数列{a n }中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{3a n －1}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝a n2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n－1,3a n －1＝3n ·2n －1－1.∴S n ＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n －1)×2n －2＋3n ×2n －1－n ， 两边同时乘以2，得2S n ＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n －1)×2n －1＋3n ×2n －2n ，两式相减，得－S n ＝3×(1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n )＋n ＝3×(2n －1－n ×2n )＋n ＝3(1－n )2n －3＋n ， ∴S n ＝3(n －1)2n ＋3－n .20.(本小题满分12分)(2020·河北衡水模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列b n 的通项公式.【试题解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ， 易知a 1＝2满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ≥2).又a 1＝b 13＋1＝2，即b 1＝8，也满足上式，所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).21.(本小题满分12分)(2020·广东广州一测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【试题解答】 (1)因为数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，所以S nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－2)－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝2a 1＝2.当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，①得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)(12)n －1.② ①－②，得a n b n ＝(4n －3)(12)n .因为a n ＝4n －3，所以b n ＝4n －3(4n －3)(12)n＝2n (当n ＝1时也符合)，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a 2n ＋2a n＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若b n1－T n≤λ(n ＋4)－1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【试题解答】 (1)由已知得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2.② ①－②得，4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n －13n ，则T n ＝1·13＋3·(13)2＋5·(13)3＋…＋(2n －3)·(13)n －1＋(2n －1)·(13)n .13T n ＝1·(13)2＋3·(13)3＋5·(13)4＋…＋(2n －3)·(13)n ＋(2n －1)·(13)n ＋1， 两式相减得23T n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n ]－(2n －1)(13)n ＋1＝23－2n ＋23·(13)n ，所以T n ＝1－n ＋13n .(3)由b n1－T n≤λ(n ＋4)－1得， 则λ≥3n (n ＋1)(n ＋4)＝3n ＋4n ＋5，因为n ＋4n≥2n ·4n＝4， 所以当且仅当n ＝2时，3n ＋4n ＋5有最大值13，即λ≥13.。

2021届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形学案理 2021届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形学案理第三章三角函数与三角形的求解第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1.推广角度概念(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．根据旋转方向的不同，可分为正角度、负角度和零角度(2)分类?根据最终边缘的位置可分为象限角和轴角(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合s＝{β|β＝α＋2kπ，k∈z}．2.弧度系统的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α弧度数公式|α|＝（L代表弧长）180？角度π和弧度的转换① 1°=rad；②1拉德=？？π? 180?? 弧长公式扇形面积公式3任意角度的三角函数（1）定义：集合α是一个任意角度，其端点在点P（x，y）处与单位圆相交，然后sinα＝y，cosα＝x，tanα＝x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段mp，om，at分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．lrl＝|α|rs＝lr＝|α|r21212yx1.判断以下结论是否正确（请勾选“√“或”×”（1）小于90°的角是锐角。

（）(2)三角形的内角必是第一、第二象限角．()(3)不相等的角终边一定不相同．()（4）如果点P（tan）α，cosα）位于第三象限，则其最终边缘的角度α位于第二象限×（2）×（3）×（4）√2．已知角α的终边过点p(－1,2)，则sinα＝()a.五555－2B25五c．－25d．－5+2=5（o是坐标原点），所以sinα＝02分析：选择b是因为| op＝225＝.553．若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定位于()a．第一象限c．第三象限b、第二象限D.第四象限解析：选d由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．四4．已知角α的终边过点p(8m,3)，且cosα＝－，则m的值为()51a.-2c.-321b.2d.32二解析：选a由题意得1解决方案是m=-。

第七章立体几何第34讲空间几何体的表面积和体积A应知应会一、选择题1. 如图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的()(第1题)A B C D2. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A. 122πB. 12πC. 82πD. 10π3. 如图,一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°,腰和上底长均为2的等腰梯形,则这个平面图形的面积是()(第3题)A. 2＋2B. 1＋2C. 4＋22D. 8＋424. 已知正方体外接球的体积是323 π,那么正方体的棱长等于( )A. 22B.233 C. 423 D. 4335. (2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术：置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ＝136 l 2h ,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V ≈25942 l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )A.227 B. 258 C. 15750 D. 355113二、 解答题6. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位：cm 2 )7. 如图,四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,∠ABD ＝60°,∠BDC ＝45°,△ADP ∽△BAD .(1) 求线段PD 的长；(2) 若PC ＝11 R ,求三棱锥P ABC 的体积．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则Rr＝________．(第1题)2. (2019·通州、海门、启东期末)已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2,点D在棱AA1上,则三棱锥D BB1C1的体积为________．(第2题)3. 如图,已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.(第3题)4. 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确的命题是________．(填序号)二、解答题5. 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积．6. 如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1) 求证：平面AEC⊥平面BED；(2) 若∠ABC＝120°,AE⊥EC,三棱锥E ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积．(第6题)第35讲空间点、线、面之间的位置关系A应知应会一、选择题1. 下列图形中不一定是平面图形的是()A. 三角形B. 菱形C. 梯形D. 四边相等的四边形2. 如图,ABCD A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()(第2题)A. A,M,O三点共线B. A,M,O,A1不共面C. A,M,C,O不共面D. B,B1,O,M共面3. 如图,平面α∩平面β＝l,A∈α,B∈α,AB∩l＝D,C∈β,C l,则平面ABC与平面β的交线是()(第3题)A. 直线ACB. 直线ABC. 直线CDD. 直线BC4. (多选)下列四个命题中正确的是()A. 存在与两条异面直线都平行的平面B. 过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行C. 过平面外一点可作无数条直线与该平面平行D. 过直线外一点可作无数个平面与该直线平行5. (2019·湖北八校联考)已知直三棱柱ABC A1B1C1中,∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33二、解答题6. 如图,在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1) 画出l的位置；(2) 设l∩A1B1＝P,求PB1的长．(第6题)7. 如图,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点．(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；(2) 若AC⊥BD,AC＝BD,求EF与BD所成的角．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 下列命题正确的是________．(填序号)①三个点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．2. 已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,给出下列四个命题：①l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3；②l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3；③l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面；④l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面．其中正确的命题是________．(填序号)3. (2019·深圳调研)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,给出四个命题：①过点P有且仅有一条直线与l,m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l,m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l,m都异面．其中正确的是________．(填序号)4. 设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,且AC＋BD＝a,AC·BD＝b,则EG2＋FH2＝________．二、解答题5. 已知a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证：a,b,c,d共面．6. 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心,如图所示．(1) 连接BC1,求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2) 连接A1C,A1B,求三棱锥C1-BCA1的体积．(第6题)第36讲直线、平面平行的判定与性质A应知应会一、选择题1. 已知平面α,β和直线m,若α⊥β,m⊥α,则()A. m⊥βB. m∥βC. m⊂βD. m∥β或m⊂β2. (2019·湘中名校联考)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,下列命题中正确的是()A. 若m∥α,n∥α,则m∥nB. 若m∥α,m∥β,则α∥βC. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD. 若m⊥α,n⊥α,则m∥n3. (2019·泰安调研)已知α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线．给出下列命题：①若l上两点到α的距离相等,则l∥α；②若l⊥α,l∥β,则α⊥β；③若α∥β,lβ,且l∥α,则l∥β.其中正确的命题是()A. ①②B. ①②③C. ①③D. ②③4. 设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不重合的平面,给出下列三个命题：①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α；②若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,则l∥m∥n；③若α∩β＝m,β∩γ＝l,γ∩α＝n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 35. (2019·深圳调研)在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4.又H,G分别为BC,CD的中点,则()A. BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B. EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C. HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D. EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形二、解答题6. 如图,四棱锥P ABCD的底面为平行四边形,PD⊥平面ABCD,M为PC的中点．求证：AP∥平面MBD.(第6题)7. (2019·南昌模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,∠ABC＝∠ACD＝90°,∠BAC＝∠CAD ＝60°,P A⊥平面ABCD,P A＝2,AB＝1.设M,N分别为PD,AD的中点．(1) 求证：平面CMN∥平面P AB；(2) 求三棱锥P-ABM的体积．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 若一直线上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是________．2. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,点E为AD的中点,点F在CD上．若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________．(第2题)3. 在空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列四个命题：①若a∥b,b∥c,则a∥c；②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c；③若a∥γ,b∥γ,则a∥b；④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题为________．(填序号)4. (2019·九江调研)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．(第4题)二、解答题5. 如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点．(1) 求证：BE∥平面DMF；(2) 求证：平面BDE∥平面MNG.(第5题)6. 如图,四棱锥P ABCD中,AB∥CD,AB＝2CD,E为PB的中点．(1) 求证：CE∥平面P AD；(2) 在线段AB上是否存在一点F,使得平面P AD∥平面CEF？若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由．(第6题)第37讲直线、平面垂直的判定与性质A应知应会一、选择题1. 已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m⊥n2. (2019·焦作期中)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,给出下列命题,正确的是()A. 若mβ,α⊥β,则m⊥αB. 若m∥α,m⊥β,则α⊥βC. 若α⊥β,α⊥γ,β⊥γD. 若α∩γ＝m,β∩γ＝n,m∥n,则α∥β3. (2019·合肥调研)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()(第3题)A. MN与CC1垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行D. MN与A1B1平行4. 如图,在斜三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC＝90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在()(第4题)A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. △ABC内部5. 如图,在四面体D ABC中,若AB＝CB,AD＝CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()(第5题)A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE二、解答题6. (2019·潍坊期末)如图,四棱锥E ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC＝60°,CD ＝2AD,EC⊥底面ABCD.(1) 求证：平面ADE⊥平面ACE；(2) 若AD＝CE＝2,求三棱锥C ADE的高．(第6题)7. (2019·蚌埠二模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,P A⊥平面ABCD,E,F 分别是线段AD,PB的中点,P A＝AB＝1.(1) 求证：EF∥平面PDC；(2) 求点F到平面PDC的距离．(第7题)B巩固提升一、填空题1. (2019·青岛调研)已知P为△ABC所在平面外一点,且P A,PB,PC两两垂直,有下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的有________．(填序号)2. 如图,在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线CC1的距离的最小值为________．(第2题)3. (2019·武汉调研)在矩形ABCD中,AB＜BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论：①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直．其中正确的结论是________．(填序号)4. (2019·滨州期末)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,点P是棱AA1的中点,则过点P且与直线BC1垂直的平面截正方体所得的截面的面积为________．二、解答题5. 如图,在正三棱柱ABC A1B1C1中,D为AB的中点．(1) 求证：BC1∥平面A1CD.(2) 请从图中所标点中,选择直线或平面将命题补充完整,并证明．求证：__________⊥平面ABB1A1.(第5题)6. (2019·漳州调研)在如图所示的五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB＝60°,EA＝ED＝AB＝2EF＝2,EF∥AB,M为BC的中点．(1) 求证：FM∥平面BDE；(2) 若平面ADE⊥平面ABCD,求点F到平面BDE的距离．(第6题)第38讲直线、平面平行与垂直的综合问题A应知应会一、选择题1. 若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是()A. b⊂αB. b∥αC. b⊂α或b∥αD. b与α相交或b⊂α或b∥α2. 设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题：①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β；②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m；③若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 04. (2019·深圳调研)已知a,b,c是空间中三条不同的直线,α,β,γ为空间三个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A. 若α⊥β,aα,a⊥β,则a∥αB. 若α⊥β,且α∩β＝a,b⊥a,则b⊥αC. 若α∩β＝a,β∩γ＝b,α∩γ＝c,则a∥b∥cD. 若α∩β＝a,b∥a,则b∥α5. (多选)已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ＝m,β∩γ＝l,下列结论中一定正确的是()A. β⊥γB. l⊥αC. m⊥βD. α⊥β二、解答题6. 如图,在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,DB＝BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点．(1) 求证：B1D1∥平面A1BD；(2) 求证：MD⊥AC；(3) 试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(第6题)7. 如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别是A1C1,BC的中点．(1) 求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2) 求证：C1F∥平面ABE；(3) 求三棱锥E ABC的体积．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. (多选)如图,正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱的长度均相等,D 为AA 1的中点,M ,N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点(含端点),且满足BM ＝C 1N ,当点M ,N 运动时,下列结论正确的是( )(第1题)A. 在△DMN 内总存在与平面ABC 平行的线段B. 平面DMN ⊥平面BCC 1B 1C. 三棱锥A 1 DMN 的体积为定值D. △DMN 可能为直角三角形2. (多选)如图,在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,P 为线段A 1B 上的动点,则下列结论中正确的是( )(第2题)A. 平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB. ∠APD 1的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2C. 三棱锥B 1 D 1PC 的体积为定值D. DC 1⊥D 1P3. (多选)如图,一张A4纸的长、宽分别为22 a ,2a ,A ,B ,C ,D 分别是其四条边的中点,现将其沿图中虚线折起,使得P 1,P 2,P 3,P 4四点重合为一点P ,从而得到一个多面体,下列关于该多面体的命题,正确的是( )(第3题)A. 该多面体是三棱锥B. 平面BAD⊥平面BCDC. 平面BAC⊥平面ACDD. 该多面体外接球的表面积为5πa2二、解答题4. 如图,在四棱锥P ABC中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,P A＝BC＝4,M 为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．(1) 求证：MN∥平面P AB；(2) 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．(第4题)5. 如图(1),在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).(1) 求证：DE∥平面A1CB；(2) 求证：A1F⊥BE；(3) 线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由．图(1)图(2)(第5题)第39讲 用向量法解决空间中的位置关系A 应知应会一、 选择题1. 已知a ＝(2,1,－3),b ＝(－1,2,3),c ＝(7,6,λ),若a,b,c 三向量共面,则λ等于( ) A. 9 B. －9 C. －3 D. 32. 若平面α,β的法向量分别为n 1＝(2,－3,5),n 2＝(－3,1,－4),则( ) A. α∥β B. α⊥βC. α,β相交但不垂直D. 以上均不正确3. 在空间四边形ABCD 中,AB → ·CD → ＋AC → ·DB → ＋AD → ·BC →等于( )A. －1B. 0C. 1D. 不确定4. 已知平面α内有一点M (1,－1,2),平面α的一个法向量为n ＝(6,－3,6),则下列点P 中,在平面α内的是( )A. P (2,3,3)B. P (－2,0,1)C. P (－4,4,0)D. P (3,－3,4)5. 如图,F 是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点,E 是BB 1上一点,若D 1F ⊥DE ,则有( )(第5题)A. B 1E ＝EBB. B 1E ＝2EBC. B 1E ＝12EB D. E 与B 重合二、 解答题6. 已知a ＝(1,－3,2),b ＝(－2,1,1),A (－3,－1,4),B (－2,－2,2). (1) 求|2a ＋b|；(2) 在直线AB 上,是否存在一点E ,使得OE →⊥b(O 为原点)?7. (2019·江西调研)如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直,M 为AA 1的中点,N 为BC 1的中点．(1) 求证：MN ∥平面A 1B 1C 1；(2) 求证：平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知法向量为n ＝(1,－1,1)的平面σ过点M (1,2,－1),则平面σ上任意一点P 的坐标(x ,y ,z )满足的方程为________．2. 已知a ＝(x ,4,1),b ＝(－2,y ,－1),c ＝(3,－2,z ),若a ∥b,b ⊥c,则c ＝________．3. 已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点,且VA ＝VB ＝VC ＝VD ,VP →＝13 VC → ,VM → ＝23VB → ,VN →＝23VD → ,则VA 与平面PMN 的位置关系是________．4. (2019·丽水调研)如图,圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM ⊥MP ,则点P 形成的轨迹长度为________．(第4题)二、 解答题5. 如图,正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,AB ＝AE ,F A ＝FE ,∠AEF ＝45°.(1) 求证：EF ⊥平面BCE ；(2) 设线段CD ,AE 的中点分别为P ,M ,求证：PM ∥平面BCE .(第5题)6. (2019·芜湖调研)如图,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AD ＝1,E 为CD 中点． (1) 求证：B 1E ⊥AD 1；(2) 在棱AA 1上是否存在一点P ,使得DP ∥平面B 1AE ？若存在,求AP 的长；若不存在,说明理由．(第6题)第40讲 空间角的计算课时1 线线角与线面角A 应知应会一、 选择题1. 已知A (－1,0,1),B (0,0,1),C (2,2,2),D (0,0,3),则sin 〈AB → ,CD →〉等于( ) A. －23 B. 23 C. 53 D. －532. (2019·江门调研)如图,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB ＝BC ＝AA 1,∠ABC＝90°,点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是( )(第2题)A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5).若|a|＝3 ,且a 分别与AB → ,AC →垂直,则向量a 为( )A. (1,1,1)B. (－1,－1,－1)C. (1,1,1)或(－1,－1,－1)D. (1,－1,1)或(－1,1,－1) 4. (2019·日照调研)如图,已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ＝AA 1＝1,AB ＝3,E 为线段AB 上一点,且AE ＝13AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535 B. 277 C. 33 D. 24(第4题)5.如图,正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC ＝BC ＝2,∠ACB ＝90°,F ,G 分别是线段AE ,BC 的中点．则AD 与GF 所成角的余弦值为( )(第5题)A.36 B. －36 C.33 D. －33二、解答题6. 如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是矩形,P A⊥底面ABCD,E是PC的中点．已知AB＝2,AD＝22,P A＝2.求异面直线BC与AE所成的角的大小．(第6题)7. (2019·宿迁调研)如图,在四棱锥P ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E为棱PC的中点．(1) 求证：BE⊥DC；(2) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知O 点为空间直角坐标系的原点,向量OA → ＝(1,2,3),OB → ＝(2,1,2),OP →＝(1,1,2),且点Q 在直线OP 上运动,当QA → ·QB → 取得最小值时,OQ →的坐标是________．2. 如图,已知正四面体ABCD 中,AE ＝14 AB ,CF ＝14 CD ,则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．(第2题)3. 在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ,则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．4. 如图,菱形ABCD 中,∠ABC ＝60°,AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥平面ABCD ,CF ∥AE ,AB ＝2,CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°,则AE ＝________．(第4题)二、解答题5. (2019·宁波调研)如图,在三棱锥P ABC中,P A⊥底面ABC,∠BAC＝90°.点D,E,N分别为棱P A,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,P A＝AC＝4,AB＝2.(1) 求证：MN∥平面BDE；(2) 已知点H在棱P A上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721,求线段AH的长．(第5题)6. (2019·洛阳二模)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD＝CD＝1,AA1＝AB＝2,E为棱AA1的中点．(1) 求证：B1C1⊥CE；(2) 设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26,求线段AM的长．(第6题)课时2二面角A应知应会一、解答题1. (2019·保定期末)如图,正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)ABC A1B1C1中,侧棱长AA1＝2,底面边长AB＝1,N是CC1的中点．(1) 求证：平面ANB1⊥平面AA1B1B；(2) 设M是线段AB1的中点,求直线C1M与平面ABC1所成的角的正弦值．(第1题)2. (2019·江苏天一中学)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB＝4,AC＝BC＝3,D为AB的中点．(1) 求点C到平面A1ABB1的距离；(2) 若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值．(第2题)3. (2019·临汾一模)在四棱锥P ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AD⊥PC且AB＝1,AD＝DC＝DP＝2,∠PDC＝120°.(1) 求证：AD⊥平面PDC；(2) 求二面角B-PD-C的余弦值．(第3题)4. (2019·如皋中学)如图,以正四棱锥V ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ,其中Ox ∥BC ,Oy ∥AB ,E 为VC 的中点．正四棱锥V-ABCD 的底面边长为2a ,高为h ,且有cos 〈BE → ,DE →〉＝－1549.(1) 求ha的值；(2) 求二面角B-VC-D 的余弦值．(第4题)B 巩固提升一、 填空题1. 如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1＝BC ＝AB ＝2,AB ⊥BC ,则二面角B 1-A 1C-C 1的大小是________．(第1题)2. 如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,且PD ＝AD ＝1,AB ＝2,点E 是AB 上一点,当AE ＝________时,二面角P-EC- D 的平面角为π4.(第2题)二、 解答题3. 如图,四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,P A ⊥底面ABCD ,P A ＝3,AD ＝2,AB ＝4,∠ABC ＝60°.(1) 求证：BC ⊥平面P AC ；(2) 若E 是侧棱PB 上一点,记PEPB ＝λ(0<λ<1),且________,求λ的值．①二面角E-AD-B 为30°； ②二面角E-AD-P 为60°；③二面角E-AD-B 与E-AD-P 相等．请从上面三个条件中任选一个,填入横线处,并完成．(第3题)4. (2019·合肥调研)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝CB ＝1,∠BCD ＝2π3 ,四边形BFED 为矩形,平面BFED ⊥平面ABCD ,BF ＝1.(1) 求证：AD ⊥平面BFED ；(2) 点P 在线段EF 上运动,设平面P AB 与平面ADE 所成锐二面角为θ,试求θ的最小值．(第4题)微难点8翻折问题一、填空题1. 如图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有______对．(第1题)2.如图所示是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB,CD所成角的余弦值为________．(第2题)3. 已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V＝________．(第3题)4. 如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD 为正方形,E ,F 分为P A ,PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线；②直线BE 与直线AF 是异面直线；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面P AD .其中正确的结论是________．(填序号)(第4题)二、 解答题5. 如图(1),四边形ABCD 为等腰梯形,AD ∥BC ,且AD ＝13 BC ＝a ,∠BAD ＝135°,AE ⊥BC于点E ,F 为BE 的中点．将△ABE 沿着AE 折起至△AB ′E 的位置,得到如图(2)所示的四棱锥B ′ ADCE .图(1)图(2) (第5题)(1) 求证：AF ∥平面B ′CD ；(2) 若平面AB ′E ⊥平面AECD ,求二面角B ′- CD-E 的余弦值．6. 如图,在平面四边形ABCD 中,△ABC 等边三角形,AC ⊥DC ,以AC 为折痕将△ABC 折起,使得平面ABC ⊥平面ACD .(1) 设E 为BC 的中点,求证：AE ⊥平面BCD .(2) 若BD 与平面ABC 所成角的正切值为32,求二面角A-BD-C 的余弦值．(第6题)7. 如图,已知等边三角形ABC 中,E ,F 分别为AB ,AC 边的中点,M 为EF 的中点,N 为BC 边上一点,且CN ＝14BC ,将△AEF 沿EF 折到△A ′EF 的位置,使平面A ′EF ⊥平面EFCB .(1) 求证：平面A ′MN ⊥平面A ′BF ； (2) 求二面角E-A ′F-B 的余弦值．(第7题)微难点9 球的相关问题一、 选择题1. 若球的表面积扩大为原来的2倍,则球的体积比原来增加了( )A. 2倍B. 4倍C. 2 2D. (2 2 －1)倍2. (2019·长沙调研)圆柱形容器的内壁底半径为5 cm,两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器内水面将下降( )A. 53 cmB. 103 cmC. 403 cmD. 56cm3. 在四面体S ABC 中,SA ⊥平面ABC ,∠BAC ＝120°,SA ＝AC ＝2,AB ＝1,则该四面体的外接球的表面积为( )A. 11πB. 7πC.103 π D. 4034. 已知某球半径为R ,则该球内接长方体的表面积的最大值是( ) A. 8R 2 B. 6R 2 C. 4R 2 D. 2R 25. 两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )A. (6－33 )πB. (8－43 )πC. (6＋33 )πD. (8＋43 )π二、 填空题6. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6,4,3,那么它的外接球的表面积是________．7. 将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起,得到四面体A BCD ,则四面体A BCD 的外接球的体积为________．8. 底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12 cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水________cm 3.9. 已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ,SA ＝AC ,SB ＝BC ,三棱锥S ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________．10. 已知一个四面体的一条边长为6 ,其余边长均为2,则此四面体的外接球的半径为________．三、解答题11. 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度．(第11题)。

多维层次练19[A级基础巩固]1．函数f(x)＝ln x＋a的导数为f′(x)，若方程f′(x)＝f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(0，1)C．(1，2) D．(1，3)解析：由函数f(x)＝ln x＋a可得f′(x)＝1 x，因为x0使f′(x)＝f(x)成立，所以1x0＝ln x0＋a，又0<x0<1，所以1x0>1，ln x0<0，所以a＝1x0－ln x0>1. 答案：A2．已知函数f(x)＝ax－1＋ln x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．a>2 B．a<3 C．a≤1 D．a≥3解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋ln x≤0有解，即a≤x－x ln x在(0，＋∞)上有解．令h(x)＝x－x ln x，则h′(x)＝－ln x，由h′(x)＝0，得x＝1.当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0.故当x＝1时，函数h(x)＝x－x ln x取得最大值1，所以要使不等式a≤x－x ln x在(0，＋∞)上有解，只要a小于或等于h(x)的最大值即可，即a≤1.答案：C3．(2020·济南一中联考)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－17(a，b，c∈R)的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122 B.13 C ．2 D ．5解析：易知f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}．所以a >0，且－2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c 3a， 则3a ＝－2b ，c ＝－18a ，依题意f (x )的极小值为f (3)＝27a ＋9b ＋3c －17＝－98.解得a ＝2，b ＝－3，c ＝－36.答案：C4．(2020·惠州调研)设x ∈R ，函数y ＝f (x )的导数存在，若f (x )＋f ′(x )>0恒成立，且a >0，则下列结论正确的是( )A ．f (a )<f (0)B ．f (a )>f (0)C ．e a ·f (a )<f (0)D ．e a ·f (a )>f (0)解析：设g (x )＝e x ·f (x )，则g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]>0，所以g (x )在R 上单调递增．由a >0，得g (a )>g (0)，即e a ·f (a )>f (0)．答案：D5．(2019·天津卷改编)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a ，0≤x ≤1，x －a ln x ，x >1，若关于x 的不等式f (x )≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，e]D ．[1，e]解析：当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2＋a ≥a ，由f(x)≥0恒成立，则a≥0，当x>1时，由f(x)＝x－a ln x≥0恒成立，即a≤xln x恒成立．设g(x)＝xln x(x>1)，则g′(x)＝ln x－1（ln x）2.令g′(x)＝0，得x＝e，且当1<x<e时，g′(x)<0，当x>e时，g′(x)>0，所以g(x)min＝g(e)＝e，所以a≤e.综上，a的取值范围是0≤a≤e，即[0，e]．答案：C6．若对任意的a，b满足0<a<b<t，都有b ln a<a ln b，则t的最大值为________．解析：因为0<a<b<t，b ln a<a ln b，所以ln aa<ln bb，令y＝ln xx，x∈(0，t)，则函数在(0，t)上单调递增，故y′＝1－ln xx2>0，解得0<x<e，故t的最大值是e. 答案：e7．已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝1e，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝f（x）e x，则不等式F(x)<1e2的解集为________．解析：F′(x)＝f′（x）e x－e x f（x）（e x）2＝f′（x）－f（x）e x，又f(x)－f′(x)>0，所以F′(x)<0. 即F(x)在定义域上单调递减．由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1. 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)8．函数f (x )＝x －2sin x ，对任意的x 1，x 2∈[0，π]，恒有|f (x 1)－f (x 2)|≤M ，则M 的最小值为________．解析：因为f (x )＝x －2sin x ，所以f ′(x )＝1－2cos x ，所以当0<x <π3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当π3<x <π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 所以当x ＝π3时，f (x )有极小值，即最小值， 且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝π3－2sin π3＝π3－ 3. 又f (0)＝0，f (π)＝π.所以f (x )max ＝π.由题意得|f (x 1)－f (x 2)|≤M 等价于M ≥|f (x )max －f (x )min |＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3＝2π3＋ 3. 所以M 的最小值为2π3＋ 3. 答案：2π3＋ 3 9．已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R)，g (x )＝－m x ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：依题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，所以mx <2ln x 在区间[1，e]上有解，即m 2<ln x x能成立．令h (x )＝ln x x ，x ∈[1，e]，则h ′(x )＝1－ln x x 2. 当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，h (x )在[1，e]上是增函数，所以h (x )的最大值为h (e)＝1e. 由题意m 2<1e ，即m <2e时，f (x )<g (x )在[1，e]上有解． 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e . 10．(2019·天津卷节选)设函数f (x )＝e x cos x ，g (x )为f (x )的导函数．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，证明f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0. (1)解：由已知，有f ′(x )＝e x (cos x －sin x )．因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)时， 有sin x >cos x ，得f ′(x )<0，则f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)时，有sin x <cos x ， 得f ′(x )>0，则f (x )单调递增．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)， f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)证明：记h (x )＝f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x . 依题意及(1)，有g (x )＝e x (cos x －sin x )，从而g ′(x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0，故h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋g (x )(－1)＝ g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x <0. 因此，h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减， 进而h (x )≥h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0. [B 级 能力提升]11．已知x ＝1是f (x )＝[x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3]e x 的极小值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，1)解析：f ′(x )＝[x 2－(a ＋1)x ＋a ]e x ，令f ′(x )＝0，得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0.设g (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a ＝(x －1)(x －a )，①当a ＝1时，g (x )≥0，f ′(x )≥0，f (x )没有极值．②当a >1时，若x >a 或x <1时，g (x )>0，f ′(x )>0；若1<x <a 时，g (x )<0，则f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极大值点，不合题意．③当a <1时，若x >1或x <a ，f ′(x )>0；若a <x <1时，f ′(x )<0. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．答案：D12．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R.(1)求f (x )的单调区间与极值．(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解：由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：↘↗故f(x[ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．(2)证明：设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，则g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意的x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意的x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意的x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.[C级素养升华]13．(2020·衡水中学检测)设函数f(x)＝1－a2x2＋ax－ln x(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；(2)若对任意a∈(4，5)及任意x1，x2∈[1，2]，恒有a－12·m＋ln 2>|f(x1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R)， 所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x， 当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以函数f (x )的极小值为f (1)＝1，无极大值．(2)因为函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R)， 所以f ′(x )＝(1－a )x ＋a －1x ＝（1－a ）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －1（x －1）x ，当a ∈(4，5)时，在区间[1，2]上，f ′(x )≤0，则f (x )单调递减，所以f (1)是f (x )的最大值，f (2)是f (x )的最小值，所以|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (2)＝a 2－32＋ln 2. 因为对任意a ∈(4，5)对任意x 1，x 2∈[1，2]，恒有a －12m ＋ln 2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，所以a －12m ＋ln 2>a 2－32＋ln 2，得m >a －3a －1. 因为a ∈(4，5)，所以a －3a －1＝1－2a －1<1－25－1＝12， 所以m ≥12，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 素养培育逻辑推理——两个经典不等式的活用(自主阅读)逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．(1)对数形式：x ≥1＋ln x (x >0)，当且仅当x ＝1时，等号成立．(2)指数形式：e x ≥x ＋1(x ∈R)，当且仅当x ＝0时，等号成立． 进一步可得到一组不等式链：e x >x ＋1>x >1＋ln x (x >0，且x ≠1)．[典例1] 已知函数f (x )＝1ln （x ＋1）－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：因为f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln （x ＋1）－x ≠0， 即{x |x >－1，且x ≠0}，所以排除选项D.当x >0时，由经典不等式x >1＋ln x (x >0)，以x ＋1代替x ，得x >ln(x ＋1)(x >－1，且x ≠0)，所以ln(x ＋1)－x <0(x >－1，且x ≠0)，易知B 正确． 答案：B[典例2] 已知函数f (x )＝e x ，x ∈R.证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点．证明：令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1＝e x －12x 2－x －1，x ∈R ，则g ′(x )＝e x －x －1，由经典不等式e x ≥x ＋1恒成立可知，g ′(x )≥0恒成立，所以g (x )在R 上为单调递增函数，且g (0)＝0.所以函数g (x )有唯一零点，即两曲线有唯一公共点．[典例3] (2017·全国卷Ⅲ改编)已知函数f (x )＝x －1－a ln x .(1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)证明：对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜e. (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2＜0， 所以不满足题意．②若a ＞0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x知， 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增，故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1.(2)证明：由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x ＞0.令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜12n . 从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜12＋122＋…＋12n ＝1－12n ＜1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜e. [典例4] 已知函数f (x )＝ax －ln x －1.(1)若f (x )≥0恒成立，求a 的最小值；(2)证明：e －x x＋x ＋ln x －1≥0. (1)解：由题意知x >0，所以f (x )≥0等价于a ≥ln x ＋1x .令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln x x 2， 所以当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，则g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝1，则a ≥1，所以a 的最小值为1.(2)证明：当a ＝1时，由(1)得x ≥ln x ＋1，即t ≥1＋ln t .令e －x x＝t ，则－x －ln x ＝ln t ， 所以e －x x ≥－x －ln x ＋1，即e －x x＋x ＋ln x －1≥0.。

第1节导数的概念及运算考试要求1。

通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2。

体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝错误!,y＝错误!的导数；5。

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f(ax＋b））的导数;6。

会使用导数公式表.知识梳理1。

导数的概念设函数y＝f(x）在区间(a，b）上有定义,且x0∈（a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导,并称该常数A为函数f(x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）。

若函数y＝f（x）在区间（a，b)内任意一点都可导，则f（x）在各点的导数也随着x的变化而变化,因而是自变量x的函数，该函数称作f（x）的导函数，记作f′（x）.2。

导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f（x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率，在点P的切线方程为y－y0＝f′（x0)(x－x0）。

3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x）＝xα(α∈Q＊)f′(x）＝αxα－1f（x)＝sin x f′(x）＝cos__x f（x)＝cos x f′（x）＝－4若f′（x)，g′(x)存在,则有：(1)[Cf（x)］′＝Cf′（x）（C为常数)；（2）［f（x）±g(x）]′＝f′（x）±g′（x);(3)[f(x)·g（x）]′＝f′（x)g(x）＋f(x）g′(x)；(4)错误!′＝错误!(g(x)≠0）.5.复合函数求导的运算法则若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y x′＝y u′·u x′，即y x′＝y u′·a.[常用结论与微点提醒］1。

⾼三数学南⽅凤凰台⾼2021届⾼2018级⾼三⼀轮数学提⾼版完整版学案第五章第五章平⾯向量与复数第26讲平⾯向量的概念与线性运算A 应知应会⼀、选择题1. (多选)如图,若D ,E ,F 分别是△ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则下列等式中正确的是( )(第1题)A. FD →＋DA →＋DE →＝0 B. AD →＋BE →＋CF →＝0C. FD →＋DE →＋AD →＝AB →D. AD →＋EC →＋FD →＝BD →2. 在平⾏四边形ABCD 中,对⾓线AC 与BD 交于点O ,若AB →＋AD →＝λAO →,则λ等于( )A. 1B. 2C. 4D. 63. 在等腰梯形ABCD 中,AB →＝－2CD → ,M 为BC 的中点,则AM →等于( ) A. 12 AB →＋12 AD → B. 34 AB →＋12 AD → C. 34 AB →＋14 AD → D. 12 AB →＋34AD → 4. 在△ABC 中,设三边AB ,BC ,CA 的中点分别为E ,F ,D ,则EC →＋F A →等于( ) A. BD → B. 12 BD → C. AC →D. 12AC →5. (2019·河北三市联考)已知e 1,e 2是不共线向量,a ＝m e 1＋2e 2,b ＝n e 1－e 2,且mn ≠0,若a ∥b,则mn等于( )A. －12B. 12 C. －2 D. 2⼆、解答题6. 设e 1,e 2是两个不共线向量,已知AB →＝2e 1－8e 2,CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2. (1) 求证：A ,B ,D 三点共线；(2) 若BF →＝3e 1－k e 2,且B ,D ,F 三点共线,求k 的值．7. 在△ABC 中,D ,E 分别为BC ,AC 边上的中点,G 为BE 上⼀点,且GB ＝2GE ,设AB →＝a,AC →＝b,试⽤a,b 表⽰AD → ,AG → .B 组能⼒提升⼀、填空题1. 在△ABC 中,若AD →＝2DB → ,CD →＝13 CA →＋λCB →,则λ＝________．2. (2019·⽆锡期末)在四边形 ABCD 中,已知AB →＝a ＋2b,BC →＝－4a －b,CD →＝－5a －3b,其中a,b 是不共线的向量,则四边形ABCD 的形状是________．3. (2019·潍坊⼀模改编)若M 是△ABC 内⼀点,且满⾜BA →＋BC →＝4BM → ,则△ABM 与△ACM 的⾯积之⽐为________.4. (2019·泰州期末)已知点P 为平⾏四边形ABCD 所在平⾯上⼀点,且满⾜P A →＋PB →＋2PD →＝0,λP A →＋µPB →＋PC →＝0,则λµ＝________．⼆、解答题5. 在直⾓梯形ABCD 中,∠A ＝90°,∠B ＝30°,AB ＝23 ,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE →＝AD →＋µAB →,求µ的取值范围．6. (1) 如图(1),在同⼀个平⾯内,向量OA → ,OB → ,OC →的模分别为1,1,2 ,OA →与OC →的夹⾓为α,且tan α＝7,OB →与OC →的夹⾓为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R),求m ＋n 的值．(2) 如图(2),在△ABC 中,AH ⊥BC 于点H ,M ∈AH ,AM ＝13 AH ,若AM →＝xAB →＋yAC →,求x＋y 的值．图(1)图(2)(第6题)第27讲平⾯向量的基本定理与坐标表⽰A 应知应会⼀、选择题1. 已知a ＝(3,－1),b ＝(－1,2),则－3a －2b 等于( )A. (7,1)B. (－7,－1)C. (－7,1)D. (7,－1)2. 已知A ,B ,C 三点共线,且A (3,－6),B (－5,2),若点C 的横坐标为6,则点C 的纵坐标为( )A. －13B. 9C. －9D. 133. 已知a ＝(1,2),b ＝(x ,1),若a ＋2b 与2a －b 平⾏,则x 等于( )A. 12B. 1C. －1D. 2 4. 在△ABC 中,P ,Q 分别是AB ,BC 的三等分点,且AP →＝13 AB → ,BQ →＝13 BC → .若AB →＝a,AC →＝b,则PQ →等于( )A. 13 a ＋13 bB. －13 a ＋13 bC. 13 a －13 bD. －13 a －13b5. (多选)设e 1,e 2为平⾯α上不共线的两个向量,则下列命题中正确的是( ) A. λe 1＋u e 2(λ,u ∈R)可以表⽰平⾯α内的所有向量B. 对于平⾯α内任⼀向量a,使a ＝λe 1＋u e 2的实数对(λ,u )有⽆穷多个C. 若向量λ1e 1＋u 1e 2与λ2e 1＋u 2e 2共线,则有且只有⼀个实数λ,使得λ1e 1＋u 1e 2＝λ(λ2e 1＋u 2e 2)D. 若实数λ,u 使得λe 1＋u e 2＝0,则λ＝u ＝0⼆、解答题6. 设OA →＝(1,－2),OB →＝(a ,－1),OC →＝(－b ,0),a ＞0,b ＞0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,求1a ＋2b的最⼩值．7. 如图,以向量OA →＝a,OB →＝b 为邻边作OADB ,BM →＝13 BC → ,CN →＝13 CD → ,⽤a,b 表⽰OM → ,ON → ,MN →.(第7题)B 组能⼒提升⼀、填空题1. 已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且DC ＝2AB ,若三个顶点分别为A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为________．2. 已知|OA → |＝1,|OB → |＝3 ,OA → ·OB →＝0,点C 在∠AOB 内,且OC →与OA →的夹⾓为30°,设OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R),则m n的值为________．3. (2019·南昌⼗校⼆模)已知向量a ＝(1,－2),b ＝(x ,3y －5),且a ∥b,若x ,y 均为正数,则xy 的最⼤值是________．4. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平⾯内第⼀象限内⼀点且∠AOC ＝π4,且|OC |＝2,若OC →＝λOA →＋µOB →,则λ＋µ＝________．⼆、解答题5. (2019·长沙模拟改编)在平⾯直⾓坐标系xOy 中,已知点A (3 ,0),B (1,2),动点P 满⾜OP →＝λOA →＋µOB →,其中λ,µ∈[0,1],λ＋µ∈[1,2],求所有点P 构成的图形的⾯积．6. 已知正三⾓形ABC 的边长为23 ,平⾯ABC 内的动点P ,M 满⾜|AP → |＝1,PM →＝MC →,求|BM →|2的最⼤值．第28讲平⾯向量数量积的应⽤A 应知应会⼀、选择题 1. (2019·深圳⼆调)已知向量a ＝(1,－1),b ＝(－2,3).若a ⊥(a ＋m b),则m 等于( ) A. 25 B. －25 C. 0 D. 15 2. (2019·芜湖期末)已知向量a,b 满⾜a ＝(cos α,sin α),α∈R,a·b ＝－1,则a·(2a －b)等于( )A. 3B. 2C. 1D. 03. (2019·太原期末)设向量a,b,c 都是单位向量,且2a ＝b －3 c,则a,b 的夹⾓为( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π34. (2019·长沙检测)在△ABC 中,AB ＝10,BC ＝6,CA ＝8,且O 是△ABC 的外⼼,则CA → ·AO →等于( )A. 16B. 32C. －16D. －325. (多选)给出下列四个命题,其中正确的选项有( )A. ⾮零向量a,b 满⾜|a|＝|b|＝|a －b|,则a 与a ＋b 的夹⾓是30°B. 若(AB →＋AC → )·(AB →－AC → )＝0,则△ABC 为等腰三⾓形C. 若单位向量a,b 的夹⾓为120°,则当|2a ＋x b|(x ∈R)取最⼩值时x ＝1D. 若OA →＝(3,－4),OB →＝(6,－3),OC →＝(5－m ,－3－m ),∠ABC 为锐⾓,则实数m 的取值范围是m ＞－34⼆、解答题6. 已知两向量e 1,e 2满⾜|e 1|＝2,|e 2|＝1,e 1,e 2所成的⾓为60°,若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2所成的⾓为钝⾓,求实数t 的取值范围．7. 已知|a|＝4,|b|＝3,(2a －3b)·(2a ＋b)＝61. (1) 求a 与b 的夹⾓θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB →＝a,BC →＝b,求△ABC 的⾯积．B 组能⼒提升⼀、填空题1. (2019·合肥检测)若⾮零向量a,b 满⾜a ⊥(a ＋2b),则|a ＋b||b|＝________．2. (2019·福州抽测改编)已知点O 是△ABC 内部⼀点,且满⾜OA →＋OB →＋OC →＝0,⼜AB → ·AC →＝23 ,∠BAC ＝60°,则△OBC 的⾯积为________．3. (2019·郑州模拟)已知平⾯向量a,b,c 满⾜|a|＝|b|＝|c|＝1,若a·b ＝12 ,则(a ＋b)·(2b －c)的最⼩值为________．4. (2019·江苏淮阴中学)在△ABC 中,∠A ＝60°,AB ＝3,AC ＝2.若BD →＝2DC → ,AE →＝λAC →－AB → (λ∈R),且AD → ·AE →＝－4,则λ的值为________．⼆、解答题5. 已知在△ABC 中,⾓A ,B ,C 的对边分别为a,b,c,向量m ＝(sin A ,sin B ),n ＝(cos B ,cos A ),m·n ＝sin 2C .(1) 求⾓C 的⼤⼩；(2) 若sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,且CA → ·(AB →－AC →)＝18,求边c 的长．6. (2019·⼭东德州模拟)在平⾯直⾓坐标系xOy 中,已知四边形OABC 是等腰梯形,A (6,0),C (1,3 ),点M 满⾜OM →＝12OA → ,点P 在线段BC 上运动(包括端点),如图所⽰．(1) 求∠OCM 的余弦值；(2) 是否存在实数λ,使(OA →－λOP → )⊥CM →若存在,求出满⾜条件的实数λ的取值范围；若不存在,请说明理由．(第6题)第29讲复数 A 应知应会⼀、选择题1. 若复数z 满⾜(2－i)z ＝|1＋2i|,则z 的虚部为( ) A.55 B. 55i C. 1 D. i 2. 已知复数z ＝|(3 －i)i|＋i 5(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数为( ) A. 2－i B. 2＋i C. 4－i D. 4＋i3. 设i 是虚数单位,如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等,那么实数a 的值为( )A. 13B. －13C. 3D. －3 4. 设复数z ＝lg (m 2－1)＋1－m i,则z 在复平⾯内对应的点( ) A. ⼀定不在第⼀、⼆象限 B. ⼀定不在第⼆、三象限 C. ⼀定不在第三、四象限D. ⼀定不在第⼆、三、四象限5. (多选)(2019·⼭东枣庄模拟改编)设z 1,z 2是复数,则下列命题中的真命题是( ) A. 若|z 1－z 2|＝0,则z 1＝z 2 B. 若z 1＝z 2,则z 1＝z 2 C. 若|z 1|＝|z 2|,则z 1·z 1＝z 2·z 2D. 若|z 1|＝|z 2|,则z 21 ＝z 22⼆、解答题6. 已知z 是复数,z ＋2i,z2－i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z ＋a i)2在复平⾯内对应的点在第⼀象限,求实数a 的取值范围．7. 设z 1是虚数,z 2＝z 1＋1z 1 是实数,且－1≤z 2≤1.(1) 求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2) 若ω＝1－z 11＋z 1,求证：ω为纯虚数．B 组能⼒提升⼀、填空题1. 设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表⽰z 1的共轭复数),已知z 2的实部是－1,则z 2的虚部为________．2. 已知i 是虚数单位,若? ??2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R),则m 的值为________．3. 定义：若z 2＝a ＋b i(a ,b ∈R,i 为虚数单位),则称复数z 是复数a ＋b i 的平⽅根．根据定义,复数－3＋4i 的平⽅根是________．4. 已知复数z ＝a 2－b 2＋(|a |＋a )i(a ,b ∈R),使复数z 为纯虚数的充要条件是________,写出⼀个使复数z 为纯虚数的充分不必要条件是________．⼆、解答题5. 已知O 为坐标原点,向量OZ 1,OZ 2分别对应的复数z 1,z 2,且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i,z 2＝21－a＋(2a －5)i(a ∈R),若z 1＋z 2是实数． (1) 求实数a 的值；(2) 求以OZ 1,OZ 2为邻边的平⾏四边形的⾯积．6. 已知复数z 和ω满⾜：zω＋2i z －2i ω＋1＝0. (1) 若ω－z ＝2i,求z 和ω；(2) 求证：若|z |＝3 ,则|ω－4i|的值是⼀个常数,并求出这个常数．。

§3.3导数与函数的极值、最值1.函数的极值与导数2.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f (x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x)在[a,b]上单调递增,则f (a)为函数的最小值,f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a,b]上单调递减,则f (a)为函数的最大值,f (b)为函数的最小值.概念方法微思考1.对于可导函数f (x),“f′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分2.函数的最大值一定是函数的极大值吗？提醒不一定,函数的最值可能在极值点或端点处取到.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大.(√)(2)函数的极小值一定是函数的最小值.(×)(3)开区间上的单调连续函数无最值.(√)题组二教材改编2.函数f (x)＝2x－x ln x的极值是()A.1eB.2e C.e D.e 2 答案 C解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ,当f ′(x )＞0时,解得0＜x ＜e ；当f ′(x )＜0时,解得x ＞e,所以x ＝e 时,f (x )取到极大值,f (x )极大值＝f (e)＝e.故选C. 3.当x ＞0时,ln x ,x ,e x 的大小关系是________. 答案 ln x ＜x ＜e x解析 构造函数f (x )＝ln x －x ,则f ′(x )＝1x －1,可得x ＝1为函数f (x )在(0,＋∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,故f (x )≤f (1)＝－1＜0,所以ln x ＜x .同理可得x ＜e x ,故ln x ＜x ＜e x . 4.现有一块边长为a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________. 答案227a 3 解析 容积V ＝(a －2x )2x,0＜x ＜a2,则V ′＝2(a －2x )×(－2x )＋(a －2x )2＝(a －2x )(a －6x ),由V ′＝0得x ＝a 6或x ＝a 2(舍去),则x ＝a6为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时V max＝227a 3. 题组三 易错自纠5.(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,以下命题错误的是( )A.－3是函数y ＝f (x )的极值点B.－1是函数y ＝f (x )的最小值点C.y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D.y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零答案 BD解析 根据导函数的图象可知当x ∈(－∞,－3)时,f ′(x )＜0,当x ∈(－3,＋∞)时,f ′(x )≥0, ∴函数y ＝f (x )在(－∞,－3)上单调递减,在(－3,＋∞)上单调递增,则－3是函数y ＝f (x )的极值点,∵函数y ＝f (x )在(－3,＋∞)上单调递增,∴－1不是函数y ＝f (x )的最小值点, ∵函数y ＝f (x )在x ＝0处的导数大于0,∴y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零. 故错误的命题为BD.6.若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4,m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4,x ∈[0,3],当x ∈[0,2)时,f ′(x )＜0,当x ∈(2,3]时,f ′(x )＞0,所以f (x )在[0,2)上是减函数,在(2,3]上是增函数.又f (0)＝m ,f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上,f (x )max ＝f (0)＝4,所以m ＝4.7.已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1,若函数 f (x )在(1,2)上有极值,则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，4解析 f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x ＝－1,则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数,因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32＜a ＜4,故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f (x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1)B.函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (1)C.函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D解析由题图可知,当x＜－2时,f′(x)＞0；当－2＜x＜1时,f′(x)＜0；当1＜x＜2时,f′(x)＜0；当x＞2时,f′(x)＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值, 在x ＝2处取得极小值. 命题点2 求已知函数的极值例2 已知函数f (x )＝x 2－1－2a ln x (a ≠0),求函数f (x )的极值. 解 因为f (x )＝x 2－1－2a ln x (x ＞0), 所以f ′(x )＝2x －2a x ＝2(x 2－a )x.①当a ＜0时,因为x ＞0,且x 2－a ＞0,所以f ′(x )＞0对x ＞0恒成立.所以f (x )在(0,＋∞)上单调递增,f (x )无极值.②当a ＞0时,令f ′(x )＝0,解得x 1＝a ,x 2＝－a (舍去). 所以当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以当x ＝a 时,f (x )取得极小值,且f (a )＝(a )2－1－2a ln a ＝a －1－a ln a .无极大值. 综上,当a ＜0时,函数f (x )在(0,＋∞)上无极值.当a ＞0时,函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a ,无极大值. 命题点3 已知极值点求参数例3 (1)(2020·江西八校联考)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在(1,＋∞)上有极值点,则实数a 的取值范围为________.(2)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ,k ≥1,k ∈Z ,已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点,则k ＝______.答案 (1)(－∞,－1) (2)1解析 (1)函数f (x )的定义域为(0,＋∞), f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋ax,由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解,且在(1,＋∞)上有解, 所以Δ＝1－8a ＞0,且2×12－1＋a ＜0, 所以a ∈(－∞,－1).(2)因为函数的导数为f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ,k ≥1,k ∈Z , 所以若k 是偶数,则x ＝k 不是极值点,则k 是奇数, 若k ＜52,由f ′(x )＞0,解得x ＞52或x ＜k ；由f ′(x )＜0,解得k ＜x ＜52,即当x ＝k 时,函数f (x )取得极大值. 因为k ≥1,k ∈Z ,所以k ＝1,若k ＞52,由f ′(x )＞0,解得x ＞k 或x ＜52；由f ′(x )＜0,解得52＜x ＜k ,即当x ＝k 时,函数f (x )取得极小值不满足条件. 思维升华 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f (x )极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域. ②求导数f ′(x ).③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根. ④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. ②验证:求解后验证根的合理性.跟踪训练1 (1)(2019·镇江模拟)已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a ),若f (x )在x ＝a 处取得极大值,则a 的取值范围是________. 答案 (－1,0)解析 若a ＝0,则f ′(x )＝0,函数f (x )不存在极值；若a ＝－1,则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0,函数f (x )不存在极值；若a ＞0,当x ∈(－1,a )时,f ′(x )＜0,当x ∈(a ,＋∞)时,f ′(x )＞0,所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值；若－1＜a ＜0,当x ∈(－1,a )时,f ′(x )＞0,当x ∈(a ,＋∞)时,f ′(x )＜0,所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a ＜－1,当x ∈(－∞,a )时,f ′(x )＜0,当x ∈(a ,－1)时,f ′(x )＞0,所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值.综上所述,a ∈(－1,0).(2)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ).讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数. 解 f (x )的定义域为(0,＋∞). f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x,当a ≤0时,f ′(x )＜0在(0,＋∞)上恒成立,函数f (x )在(0,＋∞)上单调递减, ∴f (x )在(0,＋∞)上没有极值点； 当a ＞0时,由f ′(x )＜0得0＜x ＜1a ,由f ′(x )＞0,得x ＞1a,∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减,在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增,即f (x )在x ＝1a 处有极小值,无极大值. 综上,当a ≤0时,f (x )在(0,＋∞)上没有极值点,当a ＞0时,f (x )在(0,＋∞)上有一个极值点.用导数求函数的最值例4 已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ,k ＜1e ,求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值. 解 f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2.①若k ≤0,则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0, 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减. ②若0＜k ＜1e ,则f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2,由k ＜1e ,得1k＞e,则x －1k ＜0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立, 所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立, 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减.综上,当k ＜1e 时,f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减, 所以f (x )min ＝f (e)＝1e ＋k －1,f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1.若本例条件中的“k ＜1e ”改为“k ≥1e”,则函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，e 上的最小值是多少？解 f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2,∵k ≥1e ,∴0＜1k≤e,若0＜1k ≤1e ,即k ≥e 时,f ′(x )≥0在⎣⎡⎭⎫1e ，e 上恒成立, f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，e 上为增函数,f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1. 若1e ＜1k ＜e,即1e ＜k ＜e 时,f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1k 上为减函数,在⎣⎡⎭⎫1k ，e 上为增函数,f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1k ＝k －1－k ln k .当k ＝1e时,f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，e 上为减函数,无最小值. 综上,当1e ＜k ＜e 时,f (x )min ＝k －1－k ln k ,当k ≥e 时,f (x )min ＝e －k －1,当k ＝1e 时,f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，e 上无最小值.思维升华 (1)若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上单调递增或单调递减,f (a )与f (b )一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数f (x )在闭区间[a ,b ]内有极值,要先求出[a ,b ]上的极值,与f (a ),f (b )比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.(3)函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极大(或极小)值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.跟踪训练2 (2020·福州检测)已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R ),求g (x )在区间[1,e]上的最小值h (a ).解 g (x )的定义域为(0,＋∞),g ′(x )＝ax ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x.①当a2≤1,即a ≤2时,g (x )在[1,e]上为增函数,h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a 2＜e,即2＜a ＜2e 时,g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上为减函数,在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上为增函数,h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e,即a ≥2e 时,g (x )在[1,e]上为减函数,h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上,h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.1.函数f (x )的定义域为R ,导函数f ′(x )的图象如图所示,则函数f (x )( )A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点 答案 C解析 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1,x 2,x 3,x 4.当x ＜x 1时,f ′(x )＞0,f (x )为增函数,当x 1＜x ＜x 2时,f ′(x )＜0,f (x )为减函数,则x ＝x 1为极大值点, 同理,x ＝x 3为极大值点,x ＝x 2,x ＝x 4为极小值点,故选C. 2.(2019·扬州模拟)设函数f (x )＝2x ＋ln x ,则( )A.x ＝12为f (x )的极大值点B.x ＝12为f (x )的极小值点C.x ＝2为f (x )的极大值点D.x ＝2为f (x )的极小值点 答案 D解析 因为f (x )＝2x ＋ln x ,所以f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2,x ＞0.当x ＞2时,f ′(x )＞0,f (x )为增函数；当0＜x ＜2时,f ′(x )＜0,f (x )为减函数,所以x ＝2为f (x )的极小值点,故选D. 3.已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点,则a 等于( ) A.－4 B.－2 C.4 D.2 答案 D解析 由题意得f ′(x )＝3x 2－12,由f ′(x )＝0得x ＝±2,当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＞0,函数f (x )单调递增,当x ∈(－2,2)时,f ′(x )＜0,函数f (x )单调递减,当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )＞0,函数f (x )单调递增,所以a ＝2.4.(2020·苏锡常镇调研)f (x )＝e x －x 在区间[－1,1]上的最大值是( ) A.1＋1eB.1C.e ＋1D.e －1答案 D解析 f ′(x )＝e x －1,令f ′(x )＝0,得x ＝0,令f ′(x )＞0,得x ＞0,令f ′(x )＜0,得x ＜0,则函数f (x )在(－1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,f (－1)＝e －1＋1,f (1)＝e －1,f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e ＜12＋2－e ＜0,所以f (1)＞f (－1).故选D. 5.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点,则实数c 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 答案 D解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点, 则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不等实根, 故Δ＝(－4c )2－12＞0,解得c ＞32或c ＜－32. 所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.6.若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立,则实数a 的取值范围为( ) A.[2,＋∞) B.[4,＋∞) C.{4} D.[2,4]答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3,当a ≤0时,对于x ∈[－1,1]总有f ′(x )＜0, 则f (x )在[－1,1]上为减函数, f (x )min ＝f (1)＝a －2＜0,不合题意； 当0＜a ≤1时,f ′(x )＝3ax 2－3＝3a⎝⎛⎭⎫x ＋1a ⎝⎛⎭⎫x －1a ,f (x )在[－1,1]上为减函数,f (x )min ＝f (1)＝a －2＜0,不合题意； 当a ＞1时,f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－1a 和⎝⎛⎭⎫1a ，1上为增函数,在⎝⎛⎭⎫－1a ，1a 上为减函数,所以有f (－1)＝－a ＋4≥0,且f ⎝⎛⎭⎫1 a ＝－2a ＋1≥0,解得a ＝4.综上所述,a ＝4.7.(多选)对于函数f (x )＝ln xx ,下列说法正确的有( )A.f (x )在x ＝e 处取得极大值1eB.f (x )有两个不同的零点C.f (2)＜f (π)＜f (3)D.若f (x )＜k －1x 在(0,＋∞)上恒成立,则k ＞1答案 ACD解析 函数的导数f ′(x )＝1－ln xx 2,x ＞0,令f ′(x )＝0得x ＝e,则当0＜x ＜e 时,f ′(x )＞0,函数f (x )为增函数, 当x ＞e 时,f ′(x )＜0,函数f (x )为减函数, 则当x ＝e 时,函数取得极大值, 极大值为f (e)＝1e ,故A 正确,当x →0,f (x )→－∞,x →＋∞,f (x )→0,则f (x )的图象如图所示,由f (x )＝0,得ln x ＝0,得x ＝1, 即函数f (x )只有一个零点,故B 错误, 因为f (4)＝ln 44＝ln 22＝f (2),f (3)＞f (π)＞f (4),故f (2)＜f (π)＜f (3)成立,故C 正确, 若f (x )＜k －1x 在(0,＋∞)上恒成立,则k ＞ln x x ＋1x ,设h (x )＝ln x x ＋1x,x ＞0,则h ′(x )＝－ln xx 2,当0＜x ＜1时,h ′(x )＞0,当x ＞1时,h ′(x )＜0,即当x ＝1时,函数h (x )取得极大值同时也是最大值h (1)＝1, ∴k ＞1成立,故D 正确.8.(多选)关于函数f (x )＝x 2(ln x －a )＋a ,以下4个结论中正确的是( ) A.∃a ＞0,∀x ＞0,f (x )≥0 B.∃a ＞0,∃x ＞0,f (x )≤0 C.∀a ＞0,∀x ＞0,f (x )≥0 D.∀a ＞0,∃x ＞0,f (x )≤0 答案 ABD解析 当a ＝12时,f (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫ln x －12＋12, 函数的定义域为(0,＋∞),此时函数的导数f ′(x )＝2x ⎝⎛⎭⎫ln x －12＋x 2·1x ＝2x ln x －x ＋x ＝2x ln x ,由f ′(x )＝0得,x ＝1,则当x ＞1时,则f ′(x )＞0,此时函数单调递增,当0＜x ＜1时,则f ′(x )＜0,此时函数单调递减,故当x ＝1时,函数f (x )取得极小值同时也是最小值f (1)＝－12＋12＝0,则对∀x ＞0,f (x )≥f (1)＝0；故A 正确,当a ＝5时,则f (x )＝x 2(ln x －5)＋5,则f (e)＝e 2(ln e －5)＋5＝－4e 2＋5＜0,故∃a ＞0,∃x ＞0,f (x )≤0,B 正确.当a ＝5时,∃x ＝e,满足e ＞0,但f (e)＜0,故∀a ＞0,∀x ＞0,f (x )≥0不成立,故C 错误. 函数的导数f ′(x )＝2x (ln x －a )＋x 2·1x ＝2x (ln x －a )＋x ＝2x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋12－a . 由f ′(x )＝0,则ln x ＋12－a ＝0,即ln x ＝a －12,即∀a ＞0,函数f (x )都存在极值点,即∃x ＞0,f (x )≤0成立,故D 正确.9.(2020·信阳调研)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10,则 f (2)的值为________. 答案 18 解析f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 经验证a ＝4,b ＝－11符合题意, 此时f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16,f (2)＝18.10.函数f (x )＝x 3－3x －1,若对于区间[－3,2]上的任意x 1,x 2,都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ,则实数t 的最小值是________. 答案 20解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1), 令f ′(x )＝0,得x ＝±1,可知－1,1为函数的极值点. 又f (－3)＝－19,f (－1)＝1,f (1)＝－3,f (2)＝1, 所以在区间[－3,2]上,f (x )max ＝1,f (x )min ＝－19. 由题设知在区间[－3,2]上,f (x )max －f (x )min ≤t , 从而t ≥20,所以t 的最小值是20.11.设函数f (x )＝a ln x －bx 2,若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求实数a ,b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值. 解 (1)f ′(x )＝ax－2bx ,x ＞0,∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12. (2)由(1)知,f (x )＝ln x －12x 2,x ＞0,f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x,当1e ≤x ≤e 时,令f ′(x )＞0,得1e ≤x ＜1, 令f ′(x )＜0,得1＜x ≤e, ∴f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增, 在(1,e]上单调递减, ∴f (x )max ＝f (1)＝－12.12.(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1),其中a ∈R ,求函数g (x )在区间[1,e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数).解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1,x ＞0, 由f ′(x )＝0,得x ＝1e.所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减,在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增. 所以x ＝1e 是函数f (x )的极小值点,极大值点不存在.(2)g (x )＝x ln x －a (x －1), 则g ′(x )＝ln x ＋1－a , 由g ′(x )＝0,得x ＝e a －1.所以在区间(0,e a －1)上,g (x )为减函数, 在区间(e a －1,＋∞)上,g (x )为增函数.当e a －1≤1,即a ≤1时,在区间[1,e]上,g (x )为增函数, 所以g (x )的最小值为g (1)＝0.当1＜e a －1＜e,即1＜a ＜2时,g (x )在区间[1,e a －1]上为减函数,在区间[e a －1,e]上为增函数,所以g (x )的最小值为g (e a －1)＝a －e a －1.当e a －1≥e,即a ≥2时,在区间[1,e]上,g (x )为减函数, 所以g (x )的最小值为g (e)＝a ＋e －a e. 综上,当a ≤1时,g (x )的最小值为0； 当1＜a ＜2时,g (x )的最小值为a －e a －1； 当a ≥2时,g (x )的最小值为a ＋e －a e.13.(2019·无锡质检)已知直线y ＝a 分别与函数y ＝e x ＋1和y ＝x －1的图象交于A ,B 两点,则A ,B 之间的最短距离是________. 答案5＋ln 22解析 由y ＝e x ＋1得x ＝ln y －1,由y ＝x －1得x ＝y 2＋1,所以设h (y )＝|AB |＝y 2＋1－(ln y －1)＝y 2－ln y ＋2,y ＞0,h ′(y )＝2y －1y ＝2⎝⎛⎭⎫y －22⎝⎛⎭⎫y ＋22y,当0＜y ＜22时,h ′(y )＜0,当y ＞22时,h ′(y )＞0, 即函数h (y )在区间⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减,在区间⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增, 所以h (y )min ＝h ⎝⎛⎭⎫22＝⎝⎛⎭⎫222－ln 22＋2＝5＋ln 22.14.当x ∈[－2,1]时,不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________.答案 [－6,－2]解析 当x ＝0时,ax 3－x 2＋4x ＋3≥0,变为3≥0恒成立,即a ∈R , 当x ∈(0,1]时,ax 3≥x 2－4x －3,a ≥x 2－4x －3x 3, ∴a ≥⎝⎛⎭⎫x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3.∴φ′(x )＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4,∴当x ∈(0,1]时,φ′(x )＞0,φ(x )在(0,1]上单调递增, φ(x )max ＝φ(1)＝－6.∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时,a ≤x 2－4x －3x 3,∴a ≤⎝⎛⎭⎫x 2－4x －3x 3min .同理可求得x ∈[－2,0)时,⎝⎛⎭⎫x 2－4x －3x 3min ＝φ(－1)＝－2,∴a ≤－2, 综上可得,－6≤a ≤－2.15.已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点,则实数m 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－1e ，0 解析f (x )＝x ln x ＋m e x (x ＞0),∴f ′(x )＝ln x ＋1＋m e x (x ＞0),令f ′(x )＝0,得－m ＝ln x ＋1e x ,设g (x )＝ln x ＋1e x,g ′(x )＝1x －ln x －1e x(x ＞0),令h (x )＝1x －ln x －1, 则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0(x ＞0),∴h (x )在(0,＋∞)上单调递减且h (1)＝0,∴当x ∈(0,1]时,h (x )≥0,即g ′(x )≥0,g (x )在(0,1]上单调递增,当x ∈(1,＋∞)时,h (x )＜0,即g ′(x )＜0,g (x )在(1,＋∞)上单调递减, 故g (x )max ＝g (1)＝1e,而当x →0时,g (x )→－∞,当x →＋∞时,g (x )→0,若f (x )在两极值点,只要y ＝－m 和g (x )的图象在(0,＋∞)上有两个交点, 只需0＜－m ＜1e ,故－1e＜m ＜0.16.已知f (x )＝ax －ln x ,当x ∈(0,e]时,是否存在实数a ,使得f (x )的最小值是3？若存在,求出a 的值；若不存在,请说明理由.解 假设存在实数a ,使得 f (x )＝ax －ln x (x ∈(0,e])的最小值为3,由题意知f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x. ①当a ≤0时,在(0,e]上恒有f ′(x )＜0,函数f (x )在(0,e]上单调递减, 所以f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3, 即a ＝4e,不满足a ≤0,舍去.②当0＜1a ＜e 时,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减,在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增, 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3,即a ＝e 2,满足条件.③当1a ≥e 时,f (x )在(0,e]上单调递减,f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3,即a ＝4e ,不满足1a ≥e,舍去.综上所述,当x ∈(0,e]时,存在实数a ＝e 2,使得f (x )的最小值为3.。

强化训练 导数在函数中的应用1.函数f (x )＝e x －e x ,x ∈R 的单调递增区间是( ) A.(0,＋∞) B.(－∞,0) C.(－∞,1) D.(1,＋∞)答案 D解析 由题意知,f ′(x )＝e x －e,令f ′(x )＞0,解得x ＞1,故选D. 2.函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增 答案 A解析 ∵f ′(x )＝1－cos x ＞0,∴f (x )在(0,2π)上是增函数.3.f (x )为定义在R 上的可导函数,且f ′(x )＞f (x ),对任意正实数a ,则下列式子成立的是( ) A.f (a )＜e a f (0) B.f (a )＞e a f (0) C.f (a )＜f (0)e aD.f (a )＞f (0)e a答案 B解析 令g (x )＝f (x )ex ,∴g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ＞0.∴g (x )在R 上为增函数,又∵a ＞0, ∴g (a )＞g (0),即f (a )e a ＞f (0)e 0,即f (a )＞e a f (0).4.函数y ＝xe x 在[0,2]上的最大值是( )A.1eB.2e 2C.0D.12e 答案 A解析 易知y ′＝1－x e x ,x ∈[0,2],令y ′＞0,得0＜x ＜1,令y ′＜0,得1＜x ＜2,所以函数y ＝x e x 在[0,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是1e,故选A.5.(2019·石家庄模拟)直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点,则实数a 的取值范围为( ) A.(－2,2) B.[－2,2] C.[2,＋∞) D.(－∞,－2]答案 A解析 考虑数形结合,y ＝x 3－3x 的导数y ′＝3x 2－3＝3(x －1)·(x ＋1),令y ′＞0可解得x ＜－1或x ＞1,故y ＝x 3－3x 在(－∞,－1),(1,＋∞)上单调递增,在(－1,1)上单调递减,函数的极大值为f (－1)＝2,极小值为f (1)＝－2,大致图象如图所示.而y ＝a 为一条水平直线,通过图象可得,y ＝a 介于极大值与极小值之间,则有三个相异交点.可得a ∈(－2,2).6.已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x ),满足f ′(x )＜f (x ),且f (0)＝12,则不等式f (x )－12e x ＜0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B.(0,＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.(－∞,0)答案 B解析 构造函数g (x )＝f (x )e x ,则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x,因为f ′(x )＜f (x ),所以g ′(x )＜0, 故函数g (x )在R 上为减函数, 又f (0)＝12,所以g (0)＝f (0)e 0＝12,则不等式f (x )－12e x ＜0可化为f (x )e x ＜12,即g (x )＜12＝g (0),所以x ＞0,即所求不等式的解集为(0,＋∞).7.(多选)如果函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示,则以下关于函数y ＝f (x )的判断正确的是( )A.在区间(2,4)内单调递减B.在区间(2,3)内单调递增C.x ＝－3是极小值点D.x ＝4是极大值点 答案 BD解析 A 项,函数y ＝f (x )在区间(2,4)内f ′(x )＞0,则函数f (x )在区间(2,4)上单调递增,故A 不正确；B 项,函数y ＝f (x )在区间(2,3)内的导数f ′(x )＞0, 则函数f (x )在区间(2,3)上单调递增,故B 正确；C 项,由图象知当x ＝－3时,函数f ′(x )取得极小值,但是函数y ＝f (x )没有取得极小值,故C 错误；D 项,当x ＝4时,f ′(x )＝0,当2＜x ＜4时,f ′(x )＞0,函数y ＝f (x )为增函数,当x ＞4时, f ′(x )＜0,函数y ＝f (x )为减函数,则x ＝4是函数f (x )的极大值点,故D 正确.8.(多选)已知函数f (x )＝x 3－2x 2－4x －7,其导函数为f ′(x ),下列命题中真命题的为( ) A.f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫23，2 B.f (x )的极小值是－15C.当a ＞2时,对任意的x ＞2且x ≠a ,恒有f (x )＞f (a )＋f ′(a )(x －a )D.函数f (x )有且只有一个零点 答案 BCD解析 f (x )＝x 3－2x 2－4x －7, 其导函数为f ′(x )＝3x 2－4x －4. 令f ′(x )＝0,解得x ＝－23,x ＝2,当f ′(x )＞0,即x ＜－23或x ＞2时,函数单调递增,当f ′(x )＜0,即－23＜x ＜2时,函数单调递减；故当x ＝2时,函数有极小值,极小值为f (2)＝－15, 当x ＝－23时,函数有极大值,极大值为f ⎝⎛⎭⎫－23＜0, 故函数只有一个零点,A 错误,BD 正确；当a ＞2时,对任意的x ＞2且x ≠a ,恒有f (x )＞f (a )＋f ′(a )(x －a ),即f (x )－f (a )－f ′(a )(x －a )＝x 3＋2a 3－2x 2－2a 2－3a 2x ＋4ax ＞0在x ＞2,a ＞2且x ≠a 上恒成立, 设g (x )＝f (x )－f (a )－f ′(a )(x －a ), g ′(x )＝3x 2－4x －3a 2＋4a , 令h (x )＝g ′(x ),h ′(x )＝6x －4,令h ′(x )＞0,x ＞23,∴g ′(x )在(2,＋∞)上单调递增,又因为g ′(a )＝0,所以当2＜x ＜a 时,g ′(x )＜0,当x ＞a 时,g ′(x )＞0,所以g (x )在(2,a )上单调递减,在(a ,＋∞)上单调递增,又x ≠a ,所以g (x )＞g (a )＝0,所以恒有f (x )＞f (a ′)＋f ′(a )·(x －a ).故C 正确.9.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减,则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫103，＋∞解析 f ′(x )＝x 2－ax ＋1,因为函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减,所以f ′(x )≤0在区间⎝⎛⎭⎫12，3上恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′⎝⎛⎭⎫12≤0，f ′(3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－a 2＋1≤0，9－3a ＋1≤0，解得a ≥103,所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，＋∞.10.已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点,则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－∞,2ln 2－2]解析 由原函数有零点,可将问题转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解问题,即方程a ＝2x －e x 有解. 令函数g (x )＝2x －e x ,则g ′(x )＝2－e x , 令g ′(x )＝0,得x ＝ln 2,所以g (x )在(－∞,ln 2)上是增函数,在(ln 2,＋∞)上是减函数, 所以g (x )的最大值为g (ln 2)＝2ln 2－2, 因此,a 的取值范围就是函数g (x )的值域, 所以a ∈(－∞,2ln 2－2].11.已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )在(2,＋∞)上为单调函数,求实数a 的取值范围. 解 方法一 f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝1x －a .若a ≤0,则f ′(x )＞0,f (x )在(0,＋∞)上单调递增； 若a ＞0,则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时,f ′(x )＞0, 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时,f ′(x )＜0,所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增,在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减, 所以当a ≤0时,f (x )在(0,＋∞)上单调递增,符合要求；当a ＞0时,f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减,则2≥1a ,即a ≥12.所以实数a 的取值范围是(－∞,0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 方法二 f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝1x－a .由题意得,当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立,即a ≤1x 恒成立或a ≥1x 恒成立.∵x ∈(2,＋∞),∴0＜1x ＜12,∴a ≤0或a ≥12,∴实数a 的取值范围是(－∞,0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 12.(2020·东北四校联考)已知f (x )＝1x ＋e x e －3,F (x )＝ln x ＋e xe －3x ＋2.(1)判断f (x )在(0,＋∞)上的单调性； (2)判断函数F (x )在(0,＋∞)上零点的个数. 解 (1)f ′(x )＝－1x 2＋e x e ＝x 2e x －ee x 2,令g (x )＝x 2e x －e,x ＞0, 则g ′(x )＝e x (x 2＋2x )＞0, 即g (x )在(0,＋∞)上单调递增,又g (1)＝0,所以当0＜x ＜1时,g (x )＜g (1)＝0,则f ′(x )＜0,当x ＞1时,g (x )＞0,则f ′(x )＞0, 所以f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增. (2)F ′(x )＝f (x )＝1x ＋e xe －3,且f (1)＝－1＜0,由(1)得∃x 1,x 2,满足0＜x 1＜1＜x 2,使得f (x )在(0,x 1)上大于0,在(x 1,x 2)上小于0,在(x 2,＋∞)上大于0, 即F (x )在(0,x 1)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在(x 2,＋∞)上单调递增, 而F (1)＝0,x →0时,F (x )→－∞, x →＋∞时,F (x )→＋∞,画出函数F (x )图象的草图,如图所示.故F (x )在(0,＋∞)上的零点有3个.13.已知函数f (x )＝sin x －13x ,x ∈[0,π],cos x 0＝13,x 0∈[0,π].①f (x )的最大值为f (x 0)； ②f (x )的最小值为f (x 0)； ③f (x )在[0,x 0]上是减函数； ④f (x )在[x 0,π]上是减函数.那么上面命题中真命题的序号是________. 答案 ①④解析 f ′(x )＝cos x －13,由f ′(x )＝0,得cos x ＝13,即x ＝x 0,因为x 0∈[0,π],当0＜x ＜x 0时,f ′(x )＞0；当x 0＜x ＜π时,f ′(x )＜0,所以f (x )的最大值为f (x 0),f (x )在[x 0,π]上是减函数.14.(2020·邢台模拟)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值,且此极值不小于1,则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ,x ＞0,因为函数存在唯一的极值,所以导函数存在唯一的零点,且零点大于0,故x ＝1是唯一的极值点,此时－a ≤0,且f (1)＝－12＋a ≥1,所以a ≥32.15.已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋e ＋1,g (x )＝ax ＋x ln x ,对任意的m ∈⎣⎡⎦⎤1e ，3,总存在n ∈⎣⎡⎦⎤1e ，3使得g (m )≥f (n )成立,则实数a 的取值范围为________. 答案 [1,＋∞)解析 对任意的m ∈⎣⎡⎦⎤1e ，3,总存在n ∈⎣⎡⎦⎤1e ，3使得g (m )≥f (n )成立, 即当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，3时,g (x )≥f (x )min 恒成立, ∵f (x )＝(x －2)e x ＋e ＋1,∴f ′(x )＝(x －1)e x , ∴当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1时,f ′(x )＜0,函数f (x )单调递减, ∴当x ∈(1,3]时,f ′(x )＞0,函数f (x )单调递增, ∴f (x )min ＝f (1)＝1,当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，3时,g (x )＝ax ＋x ln x ≥1, 则a ≥x －x 2ln x ,记h (x )＝x －x 2ln x ,h ′(x )＝1－2x ln x －x , h ′(1)＝0,令k (x )＝h ′(x ),则k ′(x )＝－3－2ln x , k ′(x )在⎣⎡⎦⎤1e ，3上单调递减,k ′(x )≤k ′⎝⎛⎭⎫1e ＝－1, ∴h ′(x )单调递减,∴当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1时,h ′(x )＞0,h (x )单调递增,当x ∈(1,3)时,h ′(x )＜0,h (x )单调递减,∴h (x )max ＝h (1)＝1,故当a ≥1时,g (x )≥1. 故实数a 的取值范围为[1,＋∞).16.已知f (x )＝ax 2(a ∈R ),g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2,e]上有两个不相等的解,求a 的取值范围. 解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x , 其定义域为(0,＋∞),所以F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x (x ＞0).①当a ＞0时,由ax 2－1＞0,得x ＞1a, 由ax 2－1＜0,得0＜x ＜1a, 故当a ＞0时,F (x )在区间⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增,在区间⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减.②当a ≤0时,F ′(x )＜0(x ＞0)恒成立. 故当a ≤0时,F (x )在(0,＋∞)上单调递减.综上,若a ≤0,F (x )在(0,＋∞)上单调递减；若a ＞0,F (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减,在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增.(2)方法一 方程f (x )＝g (x )在区间[2,e]上有两个不相等的根,等价于F (x )＝f (x )－g (x )在区间[2,e]上有两个不等的零点.由(1)知,若a ≤0,F (x )在(0,＋∞)上单调递减,最多有一个零点,所以a ＞0,F (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减,在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增,易知F (x )在其定义域上连续, 若F (x )在区间[2,e]上有两个不等零点,则⎩⎪⎨⎪⎧2<1a<e ，F ⎝⎛⎭⎫1a <0，F (2)≥0，F (e )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1e 2<a <12，1－122ln a -<0，2a －2ln 2≥0，e 2a －2ln e ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧1e 2<a <12，a <1e，a ≥ln 22，a ≥2e 2，由2e 2－ln 22＝4－e 2ln 22e 2＝24e 2ln e -ln 22e ＜ln 81－ln 272e 2＜0,可知2e 2＜ln 22,所以该不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ln 22≤a <1e ,即f (x )＝g (x )在[2,e]上有两个不相等的解时,a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫ln 22，1e . 方法二 原条件等价于方程a ＝2ln xx 2在区间[2,e]上有两个不相等的实数解.令φ(x )＝2ln xx2,2≤x ≤e,由φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4易知,φ(x )在(2,e)上为增函数,在(e,e)上为减函数,则φ(x )max ＝φ(e)＝1e, 而φ(e)＝2e 2,φ(2)＝ln 22.又φ(e)－φ(2)＝2e 2－ln 22＝4－e 2ln 22e 2＝ln e 4－ln 2e 22e 2＜ln 81－ln 272e 2＜0,所以φ(e)＜φ(2).所以φ(x )min ＝φ(e),如图可知φ(x )＝a 有两个不相等的解时,需ln 22≤a ＜1e.即f (x )＝g (x )在[2,e]上有两个不相等的解时,a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫ln 22，1e .。

第五章 平面向量与复数第26讲 平面向量的概念与线性运算A 应知应会一、 选择题1. (多选)如图,若D ,E ,F 分别是△ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则下列等式中正确的是( )(第1题)A. FD → ＋DA → ＋DE →＝0 B. AD → ＋BE → ＋CF →＝0C. FD → ＋DE → ＋AD → ＝AB →D. AD → ＋EC → ＋FD → ＝BD →2. 在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,若AB → ＋AD → ＝λAO →,则λ等于( )A. 1B. 2C. 4D. 63. 在等腰梯形ABCD 中,AB → ＝－2CD → ,M 为BC 的中点,则AM →等于( ) A. 12 AB → ＋12 AD → B. 34 AB → ＋12 AD → C. 34 AB → ＋14 AD → D. 12 AB → ＋34AD → 4. 在△ABC 中,设三边AB ,BC ,CA 的中点分别为E ,F ,D ,则EC → ＋F A →等于( ) A. BD → B. 12 BD → C. AC →D. 12AC →5. (2019·河北三市联考)已知e 1,e 2是不共线向量,a ＝m e 1＋2e 2,b ＝n e 1－e 2,且mn ≠0,若a ∥b,则mn等于( )A. －12B. 12 C. －2 D. 2二、 解答题6. 设e 1,e 2是两个不共线向量,已知AB → ＝2e 1－8e 2,CB → ＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2. (1) 求证：A ,B ,D 三点共线；(2) 若BF →＝3e 1－k e 2,且B ,D ,F 三点共线,求k 的值．7. 在△ABC 中,D ,E 分别为BC ,AC 边上的中点,G 为BE 上一点,且GB ＝2GE ,设AB →＝a,AC → ＝b,试用a,b 表示AD → ,AG → .B 组 能力提升一、 填空题1. 在△ABC 中,若AD → ＝2DB → ,CD → ＝13 CA → ＋λCB →,则λ＝________．2. (2019·无锡期末)在四边形 ABCD 中,已知AB → ＝a ＋2b,BC → ＝－4a －b,CD →＝－5a －3b,其中a,b 是不共线的向量,则四边形ABCD 的形状是________．3. (2019·潍坊一模改编)若M 是△ABC 内一点,且满足BA → ＋BC → ＝4BM → ,则△ABM 与△ACM 的面积之比为________.4. (2019·泰州期末)已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上一点,且满足P A → ＋PB → ＋2PD → ＝0,λP A → ＋μPB → ＋PC →＝0,则λμ＝________．二、 解答题5. 在直角梯形ABCD 中,∠A ＝90°,∠B ＝30°,AB ＝23 ,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE →＝AD → ＋μAB →,求μ的取值范围．6. (1) 如图(1),在同一个平面内,向量OA → ,OB → ,OC → 的模分别为1,1,2 ,OA → 与OC →的夹角为α,且tan α＝7,OB → 与OC → 的夹角为45°.若OC → ＝mOA → ＋nOB →(m ,n ∈R),求m ＋n 的值．(2) 如图(2),在△ABC 中,AH ⊥BC 于点H ,M ∈AH ,AM ＝13 AH ,若AM → ＝xAB → ＋yAC →,求x＋y 的值．图(1)图(2)(第6题)第27讲 平面向量的基本定理与坐标表示A 应知应会一、 选择题1. 已知a ＝(3,－1),b ＝(－1,2),则－3a －2b 等于( )A. (7,1)B. (－7,－1)C. (－7,1)D. (7,－1)2. 已知A ,B ,C 三点共线,且A (3,－6),B (－5,2),若点C 的横坐标为6,则点C 的纵坐标为( )A. －13B. 9C. －9D. 133. 已知a ＝(1,2),b ＝(x ,1),若a ＋2b 与2a －b 平行,则x 等于( )A. 12B. 1C. －1D. 2 4. 在△ABC 中,P ,Q 分别是AB ,BC 的三等分点,且AP → ＝13 AB → ,BQ → ＝13 BC → .若AB →＝a,AC → ＝b,则PQ →等于( )A. 13 a ＋13 bB. －13 a ＋13 bC. 13 a －13 bD. －13 a －13b5. (多选)设e 1,e 2为平面α上不共线的两个向量,则下列命题中正确的是( ) A. λe 1＋u e 2(λ,u ∈R)可以表示平面α内的所有向量B. 对于平面α内任一向量a,使a ＝λe 1＋u e 2的实数对(λ,u )有无穷多个C. 若向量λ1e 1＋u 1e 2与λ2e 1＋u 2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e 1＋u 1e 2＝λ(λ2e 1＋u 2e 2)D. 若实数λ,u 使得λe 1＋u e 2＝0,则λ＝u ＝0二、 解答题6. 设OA → ＝(1,－2),OB → ＝(a ,－1),OC →＝(－b ,0),a ＞0,b ＞0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,求1a ＋2b的最小值．7. 如图,以向量OA → ＝a,OB → ＝b 为邻边作OADB ,BM →＝13 BC → ,CN → ＝13 CD → ,用a,b 表示OM → ,ON → ,MN →.(第7题)B 组 能力提升一、 填空题1. 已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且DC ＝2AB ,若三个顶点分别为A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为________．2. 已知|OA → |＝1,|OB → |＝3 ,OA → ·OB → ＝0,点C 在∠AOB 内,且OC → 与OA →的夹角为30°,设OC → ＝mOA → ＋nOB →(m ,n ∈R),则m n的值为________．3. (2019·南昌十校二模)已知向量a ＝(1,－2),b ＝(x ,3y －5),且a ∥b,若x ,y 均为正数,则xy 的最大值是________．4. 在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4,且|OC |＝2,若OC → ＝λOA → ＋μOB →,则λ＋μ＝________．二、 解答题5. (2019·长沙模拟改编)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (3 ,0),B (1,2),动点P 满足OP → ＝λOA → ＋μOB →,其中λ,μ∈[0,1],λ＋μ∈[1,2],求所有点P 构成的图形的面积．6. 已知正三角形ABC 的边长为23 ,平面ABC 内的动点P ,M 满足|AP → |＝1,PM → ＝MC →,求|BM →|2的最大值．第28讲 平面向量数量积的应用A 应知应会一、 选择题 1. (2019·深圳二调)已知向量a ＝(1,－1),b ＝(－2,3).若a ⊥(a ＋m b),则m 等于( ) A. 25 B. －25 C. 0 D. 152. (2019·芜湖期末)已知向量a,b 满足a ＝(cos α,sin α),α∈R,a·b ＝－1,则a·(2a －b)等于( )A. 3B. 2C. 1D. 03. (2019·太原期末)设向量a,b,c 都是单位向量,且2a ＝b －3 c,则a,b 的夹角为( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π34. (2019·长沙检测)在△ABC 中,AB ＝10,BC ＝6,CA ＝8,且O 是△ABC 的外心,则CA → ·AO → 等于( )A. 16B. 32C. －16D. －325. (多选)给出下列四个命题,其中正确的选项有( )A. 非零向量a,b 满足|a|＝|b|＝|a －b|,则a 与a ＋b 的夹角是30°B. 若(AB → ＋AC → )·(AB → －AC → )＝0,则△ABC 为等腰三角形C. 若单位向量a,b 的夹角为120°,则当|2a ＋x b|(x ∈R)取最小值时x ＝1D. 若OA → ＝(3,－4),OB → ＝(6,－3),OC →＝(5－m ,－3－m ),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是m ＞－34二、 解答题6. 已知两向量e 1,e 2满足|e 1|＝2,|e 2|＝1,e 1,e 2所成的角为60°,若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2所成的角为钝角,求实数t 的取值范围．7. 已知|a|＝4,|b|＝3,(2a －3b)·(2a ＋b)＝61. (1) 求a 与b 的夹角θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB → ＝a,BC →＝b,求△ABC 的面积．B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·合肥检测)若非零向量a,b 满足a ⊥(a ＋2b),则|a ＋b||b|＝________．2. (2019·福州抽测改编)已知点O 是△ABC 内部一点,且满足OA → ＋OB → ＋OC →＝0,又AB → ·AC → ＝23 ,∠BAC ＝60°,则△OBC 的面积为________．3. (2019·郑州模拟)已知平面向量a,b,c 满足|a|＝|b|＝|c|＝1,若a·b ＝12 ,则(a ＋b)·(2b －c)的最小值为________．4. (2019·江苏淮阴中学)在△ABC 中,∠A ＝60°,AB ＝3,AC ＝2.若BD → ＝2DC → ,AE → ＝λAC →－AB → (λ∈R),且AD → ·AE → ＝－4,则λ的值为________．二、 解答题5. 已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c,向量m ＝(sin A ,sin B ),n ＝(cos B ,cos A ),m·n ＝sin 2C .(1) 求角C 的大小；(2) 若sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,且CA → ·(AB → －AC →)＝18,求边c 的长．6. (2019·山东德州模拟)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形OABC 是等腰梯形,A (6,0),C (1,3 ),点M 满足OM →＝12OA → ,点P 在线段BC 上运动(包括端点),如图所示．(1) 求∠OCM 的余弦值；(2) 是否存在实数λ,使(OA → －λOP → )⊥CM →？若存在,求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在,请说明理由．(第6题)第29讲 复 数 A 应知应会一、 选择题1. 若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|,则z 的虚部为( ) A.55 B. 55i C. 1 D. i 2. 已知复数z ＝|(3 －i)i|＋i 5(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数为( ) A. 2－i B. 2＋i C. 4－i D. 4＋i3. 设i 是虚数单位,如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等,那么实数a 的值为( )A. 13B. －13C. 3D. －3 4. 设复数z ＝lg (m 2－1)＋1－m i,则z 在复平面内对应的点( ) A. 一定不在第一、二象限 B. 一定不在第二、三象限 C. 一定不在第三、四象限D. 一定不在第二、三、四象限5. (多选)(2019·山东枣庄模拟改编)设z 1,z 2是复数,则下列命题中的真命题是( ) A. 若|z 1－z 2|＝0,则z 1＝z 2 B. 若z 1＝z 2,则z 1＝z 2 C. 若|z 1|＝|z 2|,则z 1·z 1＝z 2·z 2D. 若|z 1|＝|z 2|,则z 21 ＝z 22二、 解答题6. 已知z 是复数,z ＋2i,z2－i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围．7. 设z 1是虚数,z 2＝z 1＋1z 1 是实数,且－1≤z 2≤1.(1) 求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2) 若ω＝1－z 11＋z 1,求证：ω为纯虚数．B 组 能力提升一、 填空题1. 设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数),已知z 2的实部是－1,则z 2的虚部为________．2. 已知i 是虚数单位,若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R),则m 的值为________．3. 定义：若z 2＝a ＋b i(a ,b ∈R,i 为虚数单位),则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义,复数－3＋4i 的平方根是________．4. 已知复数z ＝a 2－b 2＋(|a |＋a )i(a ,b ∈R),使复数z 为纯虚数的充要条件是________,写出一个使复数z 为纯虚数的充分不必要条件是________．二、 解答题5. 已知O 为坐标原点,向量OZ 1,OZ 2分别对应的复数z 1,z 2,且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i,z 2＝21－a＋(2a －5)i(a ∈R),若z 1＋z 2是实数． (1) 求实数a 的值；(2) 求以OZ 1,OZ 2为邻边的平行四边形的面积．6. 已知复数z 和ω满足：zω＋2i z －2i ω＋1＝0. (1) 若ω －z ＝2i,求z 和ω；(2) 求证：若|z |＝3 ,则|ω－4i|的值是一个常数,并求出这个常数．。

第1讲 集合及其运算A 应知应会一、 选择题 1. (2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0},B ＝{x |x －1<0},则A ∩B 等于( ) A. (－∞,1) B. (－2,1) C. (－3,－1) D. (3,＋∞) 2. (2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1,0,1,2},B ＝{x |x 2≤1},则A ∩B 等于( ) A. {－1,0,1} B. {0,1} C. {－1,1} D. {0,1,2} 3. (2019·宁德质检)已知集合A ＝{x |x ≥1},B ＝{x |x 2－2x －3<0},则A ∪B 等于( ) A. {x |1≤x <3} B. {x |x ＞－1} C. {x |1<x <3} D. {x |x ≥1}4. (多选)设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0},B ＝{x |ax －1＝0},若A ∩B ＝B ,则实数a 的值可以为( )A. 15B. 0C. 3D. 135. (多选)给出下列关系,其中正确的选项是( ) A. ∈{{}} B. ⊆{{}} C. ∈{} D. ⊆{}二、 解答题6. 已知M ＝{2,a ,b },N ＝{2a ,2,b 2},且M ＝N ,求实数a ,b 的值．7. 若A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0},B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0},C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1) 若A ＝B ,求a 的值；(2) 若B ∩A ≠,C ∩A ＝,求a 的值．∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅B 巩固提升一、 填空题 1. (2018·南通模拟)已知集合A ＝{0,e x },B ＝{－1,0,1},若A ∪B ＝B ,则x ＝________． 2. (2018·青岛模拟)设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≤14 ,则(∁R A )∩B ＝________．3. (2019·张家口期末)已知全集U ＝Z,A ＝{x |x ＝3n －1,n ∈Z},B ＝{x ||x |＞3,x ∈Z},则A ∩(∁U B )中元素的个数为________．4. (2019·深圳调研)已知集合M ＝{x |x ＞0},N ＝{x |x 2－4≥0},则M ∪N ＝________． 二、 解答题5. 设集合U ＝{2,3,a 2＋2a －3},A ＝{|2a －1|,2},∁U A ＝{5},求实数a 的值．6. 已知全集S ＝{1,3,x 3＋3x 2＋2x },A ＝{1,|2x －1|},如果∁S A ＝{0},则这样的实数x 是否存在？若存在,请说明理由．第2讲 充分条件与必要条件A 应知应会一、 选择题1. 设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad ＝bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. (2019·淄博诊断)若a ,b ∈R,则“|a |＋|b |＞1”是“|a ＋b |＞1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知直线b 和平面α,则“b α”是b 与α平行的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. (2019·江西九校联考)已知命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0 ,命题q ：B ＝{x |x －a <0},若命题p 是命题q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A. (2,＋∞)B. [2,＋∞)C. (－∞,1)D. (－∞,1]5. “a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. (2019·烟台一模)已知a ,b ∈R,则“ab ＞0”是“b a ＋ab ＞2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. (2019·济宁一模)将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π6 个单位长度后,得到函数g (x )的图象,则“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8. (2019·枣庄一模)设a ,b 都是不等于1的正数,则“0<b <a <1”是“log a 3<log b 3”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件二、 解答题9. 已知p ：(x －m )2＞3(x －m ),q ：x 2＋3x －4<0.若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．⊂B巩固提升一、填空题1. (2019·合肥质检)若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件,则m的取值范围是________．2. “|x|<3”是“x2－x－6<0”的________条件．3. 设a∈R ,则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2 ：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．4. (2019·郴州三模)已知p：x2－3x－4≤0；q：x2－6x＋9－m2≤0,若非q是非p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________．二、解答题5. (2020·江苏八校联考)已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9),x∈R},B＝{x||x－m|≥1,x∈R}．(1) 求集合A；(2) 若p：x∈A,q：x∈B,且p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围．6. 已知数列{a n}的前n项和S n＝3n＋t(n∈N*).求证：数列{a n}是等比数列的充要条件是t＝－1.第3讲全称量词和存在量词A应知应会一、选择题1. (多选)下列命题中是全称命题并且是假命题的是()A. π是无理数B. 若2x为偶数,则任意x∈NC. 对任意x∈R,x2＋2x＋1＞0D. 所有菱形的四条边都相等2. (2019·南昌调研)下列命题中的假命题是( ) A. 存在x 0∈R,lg x 0＝1 B. 存在x 0∈R,sin x 0＝0 C. 任意x ∈R,x 3＞0 D. 任意x ∈R,2x ＞03. 命题“任意n ∈N *,f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A. 任意n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )＞n B. 任意n ∈N *,f (n )N *或f (n )＞n C. 存在n 0∈N *,f (n 0)N *且f (n 0)＞n 0 D. 存在n 0∈N *,f (n 0)N *或f (n 0)＞n 04. (2019·中原名校联盟)已知命题“x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14 ≤0”是假命题,则实数a 的取值范围为( )A. (－∞,0)B. [0,4]C. [4,＋∞)D. (0,4)5. 若命题p ：x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ,sin 2x 0＋cos 2x 0<a 是假命题,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,1]B. (－∞,2 ]C. [1,＋∞)D. [2 ,＋∞) 二、 解答题6. 判断下列命题的真假．(1) 已知a ,b ,c ,d ∈R,若a ≠c 或b ≠d ,则a ＋b ≠c ＋d ； (2) ∀x ∈N,x 3＞x 2；(3) 若m ＞1,则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根； (4) 存在一个三角形没有外接圆．7. 已知命题“∀x ∈R,x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题,求实数a 的取值范围．∉∉∉∃∃B 巩固提升一、 填空题1. 若命题p ：x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 ,使得2x 2－λx ＋1<0成立,则非p 为_______________． 2. 若命题p 的否定是“对所有正数x ,x ＞x ＋1”,则命题p 可写为________________． 3. 若命题“t ∈R, t 2－2t －a <0”是假命题,则实数a 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x ＋4x ,g (x )＝2x ＋a ,若任意x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1 ,存在x 2∈[2,3],使得f (x 1)≤g (x 2),则实数a 的取值范围是________． 二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1).若f (x )在区间(－∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a ＋1],总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1,g (x )＝ax,其中a ＞0,x ≠0.(1) 对任意x ∈[1,2],都有f (x )＞g (x )恒成立,求实数a 的取值范围；(2) 对任意x 1∈[1,2],x 2∈[2,4],都有f (x 1)＞g (x 2)恒成立,求实数a 的取值范围．∃∃第4讲 不等式的性质、一元二次不等式一、 选择题1. (2019·南昌模拟)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb (a ＞b ＞c ＞0)；③a ＋m b ＋m＞ab(a ,b ,m ＞0且a <b ),恒成立的个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 02. (多选)已知a ,b ,c ,d 均为实数,则下列命题中正确的是( ) A. 若ab ＞0,bc －ad ＞0,则c a －db ＞0B. 若ab ＞0,c a －db ＞0,则bc －ad ＞0C. 若bc －ad ＞0,c a －db＞0,则ab ＞0D. 若a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,则ac ＞bd3. (多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0),下列判断正确的是( ) A. 若不等式的解集为{x |x <－3或x ＞－2},则k ＝－25B. 若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠1k ,则k ＝66C. 若不等式的解集为R,则k <－66 D. 若不等式的解集为,则k ≥664. (2019·黄冈联考)若关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是(1,＋∞),则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A. (－∞,1)∪(2,＋∞)B. (－1,2)C. (1,2)D. (－∞,－1)∪(2,＋∞)5. (2019·合肥模拟)若不等式2kx 2＋kx －38 <0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A. (－3,0)B. [－3,0)C. [－3,0]D. (－3,0] 二、 解答题6. 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2<x <3},求不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集．7. 若对于满足0≤p ≤3的任意实数p ,不等式x 2＋2px ＞4x ＋p －3恒成立,求x 的取值范围．∅B 巩固提升一、 填空题1. 不等式4x －2x ＋2＞0的解集为________．2. 若关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8<0的解集为空集,则实数k 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ＞0时,f (x )＝x 2－4x ,则不等式f (x )＞x 的解集为________．4. 已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ,a ∈R},∃a ∈R,使得集合A 中所有整数的元素和为28,则a 的取值范围是________．二、 解答题5. 若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <2 .(1) 求实数a 的值；(2) 求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．6. 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R),当x ∈[－1,＋∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围．第5讲 基本不等式一、 选择题1. (多选)有下面四个不等式,其中恒成立的有( ) A.a ＋b2≥ab B. a (1－a )≤14C. a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋caD. b a ＋ab≥2 2. (多选)下列四个函数中,最小值为2的是( ) A. y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π2 B. y ＝ln x ＋1ln x (x ＞0,x ≠1)C. y ＝x 2＋6x 2＋5D. y ＝4x ＋4－x3. 已知a ＞0,b ＞0,若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立,则m 的最大值为( )A. 9B. 12C. 18D. 244. (2019·豫南九校一联)若a ＞0,b ＞0,且2a ＋b ＝4,则1ab 的最小值为( )A. 2B. 12C. 4D. 145. (2019·济宁期末)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点(a ,b ),且点P 在直线mx －ny －2＝0上,则mn 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，14B. ⎝⎛⎦⎤0，14C. ⎝⎛⎭⎫－∞，14D. ⎝⎛⎦⎤－∞，14 二、 解答题6. (2019·黄山质检)已知f (x )＝x 2＋3x ＋6x ＋1 (x ＞0),求f (x )的最小值．7. 已知lg 3x ＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1). (1) 求xy 的最小值； (2) 求x ＋y 的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. (2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0,b ＞0)过点(1,2),则2a ＋b 的最小值为________．2. (2017·天津卷)若a ,b ∈R,ab ＞0,则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．3. 若a ＞0,b ＞0,且12a ＋b ＋1b ＋1＝1,则a ＋2b 的最小值为________．4. 已知a ,b 均为正数,且ab －a －2b ＝0,则a 2 ＋b 的最小值为________,a 24 －2a ＋b 2－1b的最小值为________．二、 解答题5. (1) 设x 为正实数,且x 2＋y 22＝1,求x 1＋y 2 的最大值． (2) 若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝10,求lg a ·lg b 的最大值．6. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m ．设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角为θ(弧度).(1) 求y 关于x 的函数关系式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ,求y 关于x 的函数关系式,并求出x 为何值时,y 取得最大值．(第6题)微难点1 “三个二次”关系一、 选择题1. 若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,1)B. (1,＋∞)C. (－∞,1]D. [1,＋∞)2. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f (x )( )A. 在(－∞,2]上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增B. 在(－∞,3)上单调递增C. 在[1,3]上单调递增D. 单调性不能确定二、 填空题3. (2019·南昌质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0,则a ＋4b 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x 2＋abx ＋a ＋2b .若f (0)＝4,则f (1)的最大值为________．5. 已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0,＋∞),则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．6. 已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋4的定义域为[a ,b ],其中a <b ,值域为[3a ,3b ],则满足条件的数组(a ,b )为________．三、 解答题7. 对任意a ∈[－1,1],函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零,求x 的取值范围．8. 已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的零点为－13 ,12. (1) 试求a ＋c 的值；(2) 解不等式－cx 2＋2x －a ＞0.9. 设a ∈R,关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实数根x 1,x 2,且0<x 1<1<x 2<2,求a 的取值范围．10. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ,b ∈R 且a ≠0),x ∈R ．(1) 若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0,求f (x )的解析式,并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下,f (x )＞x ＋k 在区间[－3,－1]上恒成立,试求k 的取值范围．。