§1.7 极限运算法则 极限的四则运算法则
(2)lim [f (x )⋅g (x )]=lim f (x )⋅lim g (x )=A ⋅B .
•推论1如果lim f (x )存在,而c 为常数,则
lim[c ⋅f (x )]=c ⋅lim f (x ).
•推论2如果lim f (x )存在,而n 是正整数,则
lim[f (x )]n =[lim f (x )]n .
•定理3
如果lim f (x )=A ,lim g (x )=B ,那么
极限的四则运算法则
(3)B
A x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim (
B ≠0).(1)lim[f (x )±g (x )]=lim f (x )±lim g (x )=A ±B .
数列极限的四则运算法则
•定理5如果ϕ(x )≥ψ(x ),而lim ϕ(x )=a ,lim ψ(x )=b ,那么a ≥b .
不等式
(1)B A y x n n n ±=±∞→)(lim ; (2)B A y x n n n ⋅=⋅∞→)(lim ;
(3)当0≠n y (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)且B ≠0时, B
A y x n n n =∞→lim .•定理4设有数列{x n }和{y n }.如果
A x n n =∞→lim ,
B y n n =∞
→lim ,那么
求极限举例
•讨论•提示求)12(lim
1-→x x . 例1解若n n n n a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110 )(, 则?)(lim 0
=→x P x x )()(lim 00x P x P x x =→. 351lim 23 2+--→x x x x 31021223+--=求3
51lim 23 2+--→x x x x .例2解
)35(lim )
1(lim 2232+--=→→x x x x x 37-=. )12(lim 1-→x x lim 2lim 1 1-=→→x x x lim 21
1-=→x x 11121=-⋅=.
解例3求9
3lim 2 3--→x x x .93lim 2 3--→x x x )3(lim 1lim
3 3+=→→x x x )3)(3(3lim 3+--=→x x x x 3
1lim 3+=→x x 61=.解例4求4
532lim 2 1+--→x x x x .3
245lim 2 1-+-→x x x x 4
532lim 2 1+--→x x x x =∞.根据无穷大与无穷小的关系得
031241512=-⋅+⋅-=,因为
有理函数的极限?)
()(lim 0=→x Q x P x x •讨论
•提示
当Q (x 0)=P (x 0)=0时,约去分子分母的公因式(x -x 0) . 当0)(0≠x Q 时, )
()()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)
()(lim 0x Q x P x x .
先用x 3去除分子及分母,然后取极限:
解先用x 3去除分子及分母,然后取极限:
例5求3
57lim 23-+∞→x x x .解:357243lim 2323-+++∞→x x x x x 357243lim 33-+++=∞→x
x x x x 73=.例6求5
2123lim 232+---∞→x x x x x .52123lim 232+---∞→x x x x x 512123lim 332+---=∞→x
x x x x x 020==.
•讨论
•提示求1
23lim 2--∞→x x x .例7解因为05
2123lim 232=+---∞→x x x x x , ∞=--+-∞→1
2352lim 223x x x x x .所以 有理函数的极限? lim 110110=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→m m m n n n x b x b x b a x a x a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→b x b x b a x a x a m m m n n n x lim 110110⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=m n m n b a m n
000.
解例8（计算8
1221lim 32---→x x x ）（8
1221lim 32---→x x x )
42)(2(12)42(lim 222++--++=→x x x x x x )
42)(2()4)(2(lim 22++-+-=→x x x x x x 424lim 22+++=→x x x x 2
1=
解当x →∞时,分子及分母的极限都不存在,故关于商的极限的运算法则不能应用.
例9求x
x x sin lim ∞→.所以 0sin lim =∞→x
x x . 因为x x
x x sin 1sin ⋅=,是无穷小与有界函数的乘积,
例10求.21lim 222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n Λ解本题考虑无穷多个无穷小之和.
先变形再求极限
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n Λ221lim n n n +++=∞→Λ2)1(21lim n
n n n +=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n 1121lim .2
1=
