1.1.2 弧度制 优秀课件

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[情境导学]
初中几何研究过角的度量，
规定周角的
1 360
作为1°的角．我们把用度做单
位来度量角的制度叫做角度制， 在角度制下，当两个带着度、分、秒各单
位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困
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(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° π ππ π π 弧度 0 180 6 4 3 2
度 120° 135° 150° 180°270° 360°
2π 弧度 3
3 5π 4π 6
3π π 2 2π
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思考3 除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容．
答 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角 的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值 是|α|＝rl. 这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
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②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角的弧度数是 零 ．
③角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝对值 是|α|＝ l .
r
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1
2r
顺时针方向
－2
－360° 1°
180 π
360 π
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规律：如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么 α 的弧度 数的绝对值是rl，即|α|＝rl.
难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十
进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来研究这种新单位制—弧度制．
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Hale Waihona Puke Baidu
思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你 能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
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思考 4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad 1°＝1π80 rad
π rad＝ 180° 1 rad＝1π80°
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例1 (1)把67°30′化成弧度； (2)把－71π2化成角度． 解 (1)∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad.
(2)－71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
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2．角度制与弧度制的换算
(1) 角度化弧度
360°＝ 2π rad 180°＝ π rad
1°＝
π 180
rad≈0.017 45 rad
弧度化角度
2π rad＝ 360°
π rad＝ 180°
1 rad＝
180 π
°≈57.30°
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3. 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类 α 为角度制
别
扇形的弧长
l＝
απR 180
α 为弧度制 l＝ α·R
扇形的面积
S＝ απR2 360
S＝ 12l·R＝ 21α·R2
第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制
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度
制
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探究点一 弧度制 探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形
面积公式 探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
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(
AB 的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数
0
没旋转
0
0°
π 2r
顺时针方向
－π2
πr
逆时针方向
π
－90° 180°
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2πr 顺时针方向
－2π
πr
逆时针方向
π
180
180
r
逆时针方向
1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，
∠AOB就是1弧度的角．
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思考 2 如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是 l，那么 α 的弧度 数与 l、r 之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
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1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
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1．度量角的单位制
(1)角度制
用
度
作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定
1
度的角等于周角的
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.
(2)弧度制
①弧度制的定义
长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读
作弧度．以 弧度 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
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