初中数学分类讨论问题专题

专题复习二 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式． 解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）． 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ． 点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为my x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度； （3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

“分类讨论”专题练习1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝ ．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．4.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ） A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（ ） A.1 B.4 C.6 D.1或4或66. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－1 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，2）.（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值.（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值.8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。

例如一个边长2⨯4的矩形：可以分成三种情况： （1）（2）一个长宽为3⨯6的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。

9.已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．分成两个正方形，面积分别为4，4分成8个正方形，面积每个都是1分成5个正方形，1个面积为4，4个面积是110.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿x 轴匀速向点C 运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ． （1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线AP 的函数解析式； （3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．答案：1. 15°或105°2. 2、－1、0、－23. 腰长6底边9或腰长8底边54.C5.D6.C7. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC|＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾. ∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a≥0，∴a 3－4a 2＋4a －16≥0， 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于0，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0, 则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2， ∵ a ≥4，故2a －2≥6当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6． 8.分7种情况画图9.解：（1）由()332)1(+⋅=⋅-m m ，得m =-，因此k =（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此()()32323111=+-+-m m ，解之得1m =10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH =∠，设22(0)CH mm =>，则2DH =，由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此()323122=⋅+-m m ．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．如图3，当过点C 作AB 同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形． 综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D 或(2D --，． 图1图2 图310.解：（1）在矩形OABC 中，60OA =，80OC =，100OB AC ∴===PT OB ⊥，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t=，3y PT t ∴== 当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．所以，t 的取值范围是016t ≤≤．（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．AP OB ∴⊥，12∠=∠． Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，OP AOCB OC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式，得60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，， 不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）．过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE =可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+． 若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．（答图2）（答图1）（ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4）此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t -=<（舍去）．由于288162525>=，991722t +∴=>=．而此时916t <≤，所以92t +=也不符合题意，故舍去． 所以，当916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14． 综上所述，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．。

分类讨论有一类数学题，我们在解答时，需要根据研究对象性质的差异将它分为不同的情况加以分析考查．这一类试题，我们称之为分类讨论题．解决分类讨论题首先要弄清分类的方法和原则，分类时要考虑研究对象的相同点和差异点，将它划分为不同种类加以分析和研究．分类时必须遵循以下原则：（1） 分类中的每个分支是相互独立的，不能有重复情况出现；（2） 分类时标准要统一，不能有遗漏情况出现；（3） 分类讨论应逐级进行．解决分类讨论题的基本方法和步骤是：（1） 确定研究对象的全体范围；（2） 确定分类标准，合理地进行分类；（3） 逐级对所分类别进行讨论，获取阶段性结果；（4） 综合各级结果，得出最终结论．分类讨论的类型：1、 概念分类讨论① a ≥0 , ｜a ｜=a⑴ 绝对值② a ＜0 , ｜a ｜=-a【例1】（2009·孝感）若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ．⑵ 等腰三角形的底角和顶角 ⑶ 等腰三角形的底边和腰 ⑷ 直角三角形的直角边和斜边 ⑸ 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧（①优弧；②劣弧）⑹ 点与弦的位置关系2、 性质型分类有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论【例2】（2008·威海）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是 （ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【例3】（2008·株州）已知函数1y x=的图象如下，当1x ≥-时，y 的取值范围是（ ）A ．1y <-B ．1y ≤-C ．1y ≤- 或O -1-1X0y >D ．1y <-或0y ≥3、 参数型分类讨论解答含有字母系数（参数）的题目时，需要根据字母（参数）的不同取值范围进行讨论【例4】（2009·凉山州）若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）【例5】（2008·贵阳）对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【例6】（2009·荆门）关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为 ( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．4、 解集型分类讨论求一元二次不等式及分式不等式的解集时，可以利用有理的乘（除）法法则“两数相乘（除），同号得正，异号得负”来分类，把它们转化为几个一元一次不等式组来求解【例7】（2009·深圳）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式290x ->.解：∵29(3)(3)x x x -=+-，∴(3)(3)0x x +->.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）3030x x +>⎧⎨->⎩ （2）3030x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组（1），得3x >，解不等式组（2），得3x <-，故(3)(3)0x x +->的解集为3x >或3x <-，即一元二次不等式290x ->的解集为3x >或3x <-.问题：求分式不等式51023x x +<-的解集. 5、 统计型分类讨论有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时，由于题设的不确定性，往往需要分类讨论才能获得完整的答案．【例8】（2009·牡丹江）已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为 ．6、 方案设计型分类讨论在日常生活中，针对同一问题，借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案【例9】（2009·绥化）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有 ( ) y x O yx Oy x O y x O B ．。

例析初一数学中的分类讨论问题
分类讨论作为一种教学方式，是初中阶段数学教学中最重要的教学形式之一，其教学内容涉及几何、基本运算、有理数与无理数等。

分类讨论能让学生们深入地探究数学知识，例如，以几何中关于根据两个点之间的距离来推断出一条直线上的其他点，它其实是在分类讨论中被提出并进行更深入分析来加深学习的一个重点问题。

在初一数学中，分类讨论是学生将学习到的数学知识联系起来、思考回答问题的一种非常重要的教学方式。

通过分类讨论的方式，学生们可以将之前学习过的内容，按照类别联系起来，例如：初一数学中，物体绕着图形旋转时发生的变化情况，这种现象其实是多类问题的总称，包括椭圆、圆形、抛物线等，分类讨论是通过将其进行分类分析，再根据每类的特点来提出正确的结论的一个重点。

另外，也可以将初一数学学习的数与比联系起来，即“分式”，这一概念也是分类讨论的重点，学生们可以将概念分为一元分式、二元分式以及分式运算等几大类，根据不同类别的情况，来推断出正确的结果。

因此，分类讨论是学习初一数学最重要的教学设计之一，它涉及到从数学概念到数学应用的多个方面，有利于学生提升数学素养以及科学思维能力。

同时，分类讨论还可以激发学生们学习数学的兴趣，增强学生们对数学学科的钟爱之情，从而拥有一个深刻而系统的数学知识体系。

初中数学分类讨论专题
1. 哎呀呀，初中数学的分类讨论可太有意思啦！就说解不等式的时候吧，比如x²-5x+6＞0，我们是不是得考虑各种情况来求解呀！这就像走迷宫，
得找对每条路才行呢！
2. 嘿，你知道吗？图形的分类讨论也超有趣！像判断等腰三角形的时候，到底是哪两条边相等呢？这可得仔细琢磨呀，就如同在玩找不同的游戏一样！
3. 哇塞，分类讨论在函数问题中也常常出现呢！假如已知一个函数图像，要确定解析式，那可得把不同情况都考虑进去呀，这难道不是像拼凑一幅神秘的拼图吗？
4. 哟呵，在几何证明中，分类讨论也是必不可少的！比如点的位置不确定时，那证明的思路可能完全不同哦，这就好比在选择不同的冒险路线！
5. 嘿呀，计算概率的时候也得分类讨论呢！比如说扔骰子出现不同情况的概率，是不是得一种一种算呀，这多像在收集各种宝贝呀！
6. 哎呀，方程有时候也需要分类讨论呢！比如含绝对值的方程，得根据绝对值里面的正负情况来分别求解，这就像在解开一团乱麻！
7. 哇哦，角度的分类讨论可不能忽视呀！像三角形中锐角、直角、钝角的情况，都得考虑到呢，这多像在整理一个多彩的调色盘！
8. 嘿，动点问题更是分类讨论的典型啦！那个点动起来，情况可就复杂啦，就像在看一场刺激的赛车比赛！
9. 总之呀，初中数学的分类讨论专题真的超级重要呢！它能让我们的思维变得更加灵活，解题更加得心应手！就像是给我们的大脑加上了一对翅膀，能在数学的天空中自由翱翔！。

例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用分类讨论思想在解初中数学题中发挥了重要作用，它能够将问题分解为若干不同的情况，从而将原问题变得简单易解。

下面我就分别从代数式、方程、几何等多个角度来谈谈分类讨论思想在初中数学中的应用。

一、代数式在代数式的求值中，有时我们需要计算代数式在不同情况下的值。

例如，如何用有理数表示下列函数在特定点的值：f(x)=|2x+1|-|x-1|？我们可以采用分类讨论的思路，分别考虑f(x)在（-∞，-1/2）、[-1/2，1]和(1，+∞)三个区间的值。

在第一个区间中，f(x)=-(2x+1)-(x-1)= -3x-2; 在第二个区间中，f(x)=(2x+1)-(x-1)= x+2; 在第三个区间中，f(x)=2x+1-(x-1)=x+2。

从而我们得到了f(x)在不同区间的值，便可以用有理数表示出f(x)在特定点的值。

二、方程在解方程时，分类讨论思想同样可行。

例如，需要解方程2x+1=|x-1|+3，我们可以将它分解为以下两种情况，来逐一进行求解：（1）当x≥1时，方程可化为2x+1-x+1=3，解得x=1。

通过分类讨论的方式，我们得到了方程的所有解。

三、几何在解几何问题时，分类讨论思想更是不可或缺。

例如，在平面直角坐标系内，已知直线y=kx+1与x轴、y轴及直线x+y=2所构成的四个角度之和为90°，求k的取值范围。

我们可以分两种情况来讨论：（1）k＞0时，易得k≤1/2。

从而我们得到k的取值范围为-1≤k≤1/2。

综上所述，分类讨论思想在初中数学中的应用非常广泛，有时它甚至是解题的一种标准方法。

我们需要注意的是，在采用分类讨论的思路时，应把问题分解得尽可能清晰明了，以保证所得结果的准确性和完整性。

初一数学分类讨论题
（实用版）
目录
1.初一数学分类讨论题的概念和重要性
2.初一数学分类讨论题的解题技巧
3.初一数学分类讨论题的典型例题分析
正文
初一数学分类讨论题的概念和重要性：
初一数学分类讨论题是指在解决数学问题时，需要根据不同情况进行分类讨论的题目。

这种题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和分类讨论的技巧，是初中数学中非常重要的一类题目。

分类讨论题在初一数学教材中占有很大的比重，也是各类考试中的常考点。

因此，掌握好分类讨论题的解题方法对于初一学生来说至关重要。

初一数学分类讨论题的解题技巧：
1.仔细阅读题目，明确题目要求，确定需要分类讨论的条件。

2.分类讨论时，要根据题目条件进行合理分类，避免分类过多或过少。

3.对于每个分类，要按照题目要求，分别进行讨论，避免遗漏。

4.在讨论过程中，要善于运用数学公式、定理和性质，进行严密的推导和论证。

5.在得出结论后，要对各个分类的结论进行整合，得出最终答案。

初一数学分类讨论题的典型例题分析：
例题：一个正方形的对角线长是 10√2 厘米，求这个正方形的面积。

分析：此题需要根据正方形对角线的长度进行分类讨论。

当对角线长度为 10√2 厘米时，正方形的面积为 (10√2)/2=50 平方厘米；当对角
线长度不为 10√2 厘米时，正方形的面积为 (a+b)/2，其中 a、b 分别为正方形的两条边长。

因此，需要分别讨论这两种情况，得出最终答案。

分类讨论问题一、内容提要： 分类讨论的主要因素： （1）根据本身就是分类定义；（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论； （3）一些定义、定理、公式和法则有范围或条件限制； （4）题目的条件或结论不唯一时；（5）解含参数（字母系数）的题目时，必须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；（6）推理过程中，遇到数量的大小不确定，图形的位置或形状不确定的。

四个步骤： （1）确定分类对象 （2）进行合理分类 （3）逐类讨论，分级进行 （4）归纳并作出结论 二、例题精选 1．按图形的性质分类例1 如图1，⊙O 是等边ΔABC 的外接圆，D 是 BC上异于B 、C 的一点。

若 BD与 DC 的度数之比是1∶3，⊙O 的半径为1，取点F ，使ΔDCF 为等腰三角形，且顶角为钝角，试指出这时DF 的长或其取值范围。

分析：题目中，没有确定DC 是等腰三角形的底还是腰，所以要分为不同的情况讨论，在不同状态下求DF 。

解：因为 BC为120°， BD 与 DC 的度数的比是1∶3，所以 DC 为90°， DCB AO连结OC、OD，则=①以CD为底边时，如图2，DF可变化，若∠F为直角，则DF=1，而本题∠F为钝角，有<DF<1。

②以CF为底边时，如图3，DF确定，DF＝DC=。

③以DF为底边时，如图4，DF可变化，若∠C=90°，则DF=2，所以∠C为钝角时，DF>2。

又DF<2，所以2<DF<2。

说明：题目中的已知条件只是用来确定DC的长度，而后面的分类讨论内容与圆没有关系，是对等腰三角形的边进行计算，分类讨论注意全面，不要遗漏。

例2、抛物线y=m x2-(3m+)x+4与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若ΔABC是等腰三角形，求抛物线的解析式。

解：在y=mx2-(3m+)x+4中令x=0, 得到y=4，∴ c(0,4 )令y=0，则m x2-(3m+)x+4=0∵ m≠0, ∴ x1=3, x2=。

七上数学方程应用分类讨论
七年级上册的数学方程应用问题经常需要进行分类讨论，这是因为实际问题中存在多种可能的情况，需要根据不同的情况建立不同的方程或不等式。

以下是几个常见的分类讨论的例子：
1. 追及问题：这类问题中通常有两个物体在同一时刻开始运动，一个在另一个的前面。

我们需要根据两物体的速度和起始距离来分类讨论何时何地追上。

2. 相遇问题：这类问题中两个物体从不同的地点出发，朝着对方运动。

我们需要根据两物体的速度和起始距离来分类讨论何时何地相遇。

3. 行程问题：这类问题通常涉及一个或多个物体在一条直线上运动，我们需要根据物体的速度和运动时间来计算物体的位移。

4. 利润问题：这类问题通常涉及商品的价格、成本和利润之间的关系，我们需要根据商品的售价和成本来计算利润。

5. 溶液问题：这类问题通常涉及溶液的浓度、质量和体积之间的关系，我们需要根据溶液的浓度和质量来计算体积。

对于每个具体的问题，我们都需要仔细分析其背景和条件，根据不同的情况进行分类讨论，并建立合适的方程或不等式来解决问题。

同时，还需要注意方程或不等式的解的合理性和实际意义。

等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解：分类讨论求角度例1：等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个内角的度数为 .解：当50°角是顶角时，则底角为（180°-50°）÷2=65°，则其余两个角的度数为65°，65°；当50°角是底角时，则顶角为180°-50°×2=80°，则其余两个角的度数度数为50°，80°.所以，本题的答案为：65°，65°或50°，80°.总结：（1）在等腰三角形中求内角的度数时，要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；否则，要分类讨论，分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.（2）若等腰三角形中已知的角是直角或钝角，则此角必为顶角，不用再分类讨论.分类讨论求长度解：当3x-1= x+1时，解得x=1，此时三角形的三条边长分别为2，2，5，因为2+2<5，不符合三角形三边关系，所以x=1舍去；当3x-1= 5时，解得x=2，此时三角形的三条边长分别为5，3，5，因为5+3>5，符合三角形三边关系，所以x=2成立；当x+1=5时，解得x=4，此时三角形的三条边长分别为11，5，5，因为5+5<11，不符合三角形三边关系，所以x=4舍去.所以，本题答案为2.总结：利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时，当不确定哪两条边是腰时，要进行分类讨论，计算出结果后要验证，检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1．已知等腰三角形的两边长a，b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．12C．9或12D．92．如果等腰三角形两边长是6cm和12cm，那么它的周长是（）A．18cm B．24cm C．30cm D．24或30cm3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．150°C．60°或120°D．60°或150°4．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°或65°5．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为度．6．等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是．7．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为．8．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD是直角三角形，则∠DAC的度数是．9．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是．11．已知一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为．14．如图，△ABC中∠ABC＝40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB＝．15．等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．17．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．参考答案：1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．5． 65 ． 6． 30°或60° ． 7． 45°或72° ． 8． 10°或50° ．9． 22 ． 10． 80°或20° ． 11． 12 ． 12． 55cm 或35cm ．13． 67.5°或22.5° ． 14． 40°或100°或70°或20° ．15．解：（1）如图，设底边BC ＝a cm ，则AC ＝AB ＝3a cm ，∵等腰三角形的周长是21cm ，∴3a +3a +a ＝21，∴a ＝3，∴3a ＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm ，9cm ，9cm ；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm 时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm ）；则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm 时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm ，6cm 、9cm ，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ，7.5cm 或6cm 、9cm ．16．解：∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD=21AC ， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝CD=21AB ， 设AD ＝CD ＝x cm ，BC ＝y cm ，分两种情况：当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为10cm ，10cm ，7cm ；当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为14cm ，14cm ，11cm ；综上所述：△ABC 各边的长为10cm ，10cm ，7cm 或14cm ，14cm ，11cm ．17．解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范围为：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况：当AB＝AC＝20时，∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；当BC＝AC＝8时，∵8+8＝16＜20，∴不能组成三角形；综上所述，△ABC的周长为48．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴，由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，不符题意，舍去；综上所述，∠FBD＝30°或45°．。

初一几何分类讨论例题几何学是数学的重要组成部分，它探索、研究和描绘空间结构，在日常生活中也有重要作用。

尤其在初中学习中，几何学的知识是很重要的，而在学习几何学的过程中，讨论例题可以帮助学生更好地理解概念和方法。

本文将重点介绍初一学生讨论几何问题的例题，以帮助他们掌握几何知识。

一、分类讨论1.积问题初一几何分类讨论中，面积问题是一个重要的分类。

例题如下：（1）一块面积为10方厘米的矩形，把它切成两块，一块面积为4平方厘米，另一块面积为多少平方厘米？（2）两个矩形的宽相等，一块的面积是4平方厘米，另一块的面积是6平方厘米，那么这两个矩形的边长分别是多少？（3）一块圆形桌布的边缘有一个半径为3厘米的圆。

这块桌布的面积是多少？2.度问题初一几何分类讨论中，角度问题也是一个重要的分类。

例题如下：（1）一个正六边形，每个内角等于多少度？（2）一个六边形的内角之和等于1260度，那么每个内角等于多少度？（3）三角形的内角之和等于180度，三个内角的大小分别是多少度？3. 体积问题初一几何分类讨论中，体积问题也是一个重要的分类。

例题如下：（1）一个立方体的体积是14平方厘米，那么它的棱长是多少？（2）一个圆柱体的体积是54立方厘米，那么它的底面半径和高度分别是多少？（3）一个球体的体积是27立方厘米，那么球体的半径是多少？二、解决方法1.积问题（1）此题是一个减法问题，利用面积公式，即面积=长*宽，可以得出：一块面积为4平方厘米的矩形即为长为2厘米、宽也是2厘米；因此，另一块面积为：10-4=6方厘米。

（2）此题是一个方程问题，利用面积公式，即面积=长*宽，可得出：4=ax，6=bx，其中a和b是两个矩形的边长，即a=2厘米，b=3厘米。

（3）此题可以利用圆的面积公式求得，即面积=πr，其中r是半径，r=3厘米，因此面积为：π*3=28.274（保留小数点后两位）平方厘米2.度问题（1）此题可以利用多边形内角和公式求得，即内角和=（n-2）*180°，其中n是多边形的边数，即此处n=6，内角和=（6-2）*180°=720°，内角等于720°÷6=120°；（2）此处n=6，内角和=1260°，内角等于1260°÷6=210°；（3）此题可以利用三角形内角和公式求得，即内角和=180°，其中A B C分别是三角形的三个内角，由此可得A+B+C=180°，解得每个内角等于60°。

分类讨论初一例题摘要：一、引言二、初一数学分类讨论的重要性三、初一数学分类讨论例题解析1.相似三角形的判定2.平行线的性质3.四则运算法则4.因式分解四、总结与建议正文：【引言】在初中数学的学习过程中，分类讨论是一种重要的思维方式，能够帮助学生更好地理解和解决数学问题。

特别是在初一阶段，学生刚刚接触几何、代数等概念，学会分类讨论对于打下扎实的数学基础具有重要意义。

本文将结合初一数学的例题，对分类讨论的方法进行详细解析。

【初一数学分类讨论的重要性】分类讨论是一种逻辑严密、层次清晰的解题方法。

通过对问题进行分类，学生可以更好地抓住问题的本质，从而提高解题效率。

同时，分类讨论有助于培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，为今后的数学学习打下坚实基础。

【初一数学分类讨论例题解析】1.相似三角形的判定对于判定两个三角形是否相似，可以分为以下三种情况：（1）两角分别相等（2）两角和为180°，且一边分别相等（3）三边分别相等2.平行线的性质平行线的判定和性质问题可以分为以下几种情况：（1）同位角相等（2）内错角相等（3）同旁内角互补（4）平行线与横切线的性质3.四则运算法则在进行四则运算时，需要根据运算对象和运算符的性质进行分类：（1）纯数字运算（2）带分数运算（3）小数运算（4）百分数运算4.因式分解在进行因式分解时，需要根据多项式的性质进行分类：（1）提公因式法（2）公式法（3）分组分解法（4）十字相乘法【总结与建议】通过以上例题的解析，我们可以看出，分类讨论在初一数学中起到了至关重要的作用。

因此，建议学生在学习过程中，注重培养自己的分类讨论意识，养成对问题进行分类的习惯。