河北衡水中学衡水金卷数学二答案及解析

2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,x y y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数)则M N ⋂=（ ） A. {|1x x <} B. {1x x }C. {|01x x <<}D. ∅【答案】C 【解析】 试题分析：{|ln(1)}{|1}x y x x x =-=<，，故＝．考点：集合的运算．2.已知直线,m n 分别在两个不同的平面,αβ内，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】将直线,m n 放入正方体1111ABCD A B C D -中,进而判断即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中,设1m AD =,n AB =,若m n ⊥,即1AD AB ⊥, 但平面1ABD 和平面ABCD 不垂直,即α与β不垂直,故充分性不成立 ；设m BC =,11n A D =,若αβ⊥,则平面ABCD ⊥平面11A ADD ,但BC 和11A D 不垂直,即m 与n 不垂直,故必要性不成立. 故选:D.【点睛】本题考查两命题的充分性和必要性的判断,考查直线间,平面间的空间的位置关系.3.已知向量,a b r r不共线，若()()3//a b ka b +-r r r r ，则实数k =（ ）A. 13-B. 12-C.13D.12【分析】由向量共线的性质得()3ka b a b λ-=+r r r r，由此能求出实数k 的值．【详解】由于()()3//a b ka b +-r r r r ，所以存在实数λ，使得()3ka b a b λ-=+r r r r，因此k λ=且31λ=-，解得13k =-. 故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 9636π+B. 7248π+C. 4896π+D. 2448π+【答案】D 【解析】 【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.． 【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积V 左=211π6843⨯⨯n =24π，右半部分是三棱锥，其体积1166832V =⨯⨯⨯⨯右=48，所以该几何体的体积2448V 总π=+.故选D.【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力． 5.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（ ） A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【分析】先求出从五个节日中随机选取两个节日的所有基本事件数，再求出春节和端午节至少有一个被选中的基本事件数，然后根据古典概型概率公式求解即可．【详解】由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有2510C =种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为123227C C +=．由古典概型概率公式可得12322527()0.710C C P A C +===． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：一是判断出所求概率的类型，本题中结合题意可得属于古典概型；二是正确求出所有的基本事件数和所求概率的事件包含的基本事件数．求事件的个数时可根据排列组合的知识求解，本题考查分析判断能力和计算能力，属于基础题． 6.对于函数()21x f x e =+的图象，下列说法正确的是（ ） A. 关于点()1,0对称 B. 关于点()0,1对称 C. 关于直线1x =对称 D. 关于直线y x =对称【答案】B 【解析】 【分析】整理()f x 为()111x x e f x e -=++,设()()11xx e g x x R e -=∈+,可判断()g x 是奇函数,进而利用图象变换得到()f x 的图象性质.【详解】∵()2111111xx x e f x e e -=-+=+++,令()()11xx e g x x R e -=∈+,则()()1111x x x xe e g x g x e e -----===-++,∴()g x 为奇函数,则其图象关于原点对称.将其图象向上平移1个单位长度可得()f x 图象,所以()f x 图象关于()0,1对称. 故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查判断函数的对称性.7.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 的中点在直线1y =上，则直线l 的方程为（ ） A. 22y x =- B. 1y x =- C. 22y x =-+ D. 1y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】由,A B 在抛物线上可得2114y x =①,2224y x =②,由AB 的中点在直线1y =上,可得1212y y +=,利用①-②可得直线AB 的斜率为2,即可设:2AB y x b =+,将焦点坐标代入求解即可.【详解】由题,设()()1122,,,A x y B x y ,则2114y x =①,2224y x =②,且1212y y +=, ①-②得()()()1212124y y y y x x -+=-,即121212124222y y y y x x y y -===+-+, 即直线AB 的斜率为2,设:2AB y x b =+,把()1,0F 代入直线方程得2b =-, ∴直线:22l y x =- 故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查求直线方程.8.已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A. 关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B. 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线12x π=-对称D. 关于直线12x π=对称【答案】B 【解析】 【分析】先根据相邻两条对称轴的距离可得周期为T π=，从而2ω=，再根据平移变换得到新图像对应的解析式，根据其对称性可计算φ，从而可确定()f x 图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案．【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±，所以2sin 13πφ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确． 综上，选D ．【点睛】一般地，我们研究()sin y A ωx φ=+的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定u x ωϕ=+的单调性，再函数的单调性确定外函数sin y u =的单调区间后求出x 的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由sin y u =的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.9.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则(0,2)A ．设点P 的坐标为(,)x y ，则(,2),(,)PA x y PO x y =--=--u u u v u u u v， 故22()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222[(1)]22x y =+--≥-，当且仅当0,1x y ==时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为2-．选C ．10.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A. 10πB. 4πC. 16πD. 8π【答案】D 【解析】【详解】因为PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==,故,则点到平面ABCD 的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形ABCD 的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D ．11.设12,F F 分别为双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形,,,A B C D的面积相等，双曲线E的离心率为（）【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义和勾股定理可求得2122PF PF b⨯=，从而可得四边形12PFQF的面积，然后求出点圆O与E的渐近线在第一象限的交点为(),a b，可求出四边形ABCD的面积，然后可得答案.【详解】由双曲线的定义及平面几何知识可知122PF PF a-=，①222124PF PF c+=，②2-②①得2122PF PF b⨯=，∴四边形12PFQF的面积为21121222S PF PF b=⨯⨯=，由222x y cby xa⎧+=⎪⎨=⎪⎩，当0,0x y>>，解得,x a y b==，∴圆O与E的渐近线在第一象限的交点为(),a b.∴四边形ABCD的面积24S ab=，∵224b ab=，∴2ba=，即2224,c a cea a-===故选：C【点睛】本题考查双曲线定义渐进性的简单应用，属于中档题.12.对任意实数()222,,22a aa b e b e a a b-+++的最小值是（）A.14B.12C.34D. 1【答案】B【解析】【分析】整理条件可得()()()2222222a a a e b e a a b a b e b-+++=-+-,设()(),,,aM a eN b b ,则M 为函数x y e =图象上任意一点,N 为函数y x =图象上任意一点,则()22222a a e b e a a b -+++的最小值等价于2MN 的最小值,进而利用导函数的几何意义求解即可.【详解】由于()()()2222222a a a e b e a a b a b e b -+++=-+-,设()(),,,aM a e N b b ,则M 为函数xy e=图象上任意一点,N 为函数y x =图象上任意一点,则()22222aa eb e a a b -+++的最小值等价于2MN 的最小值,令1x y e '==,∴0x =,因此,点()0,1到直线y x =的距离最小,其值为2,故所求最小值为12.故选:B.【点睛】本题考查曲线上一点到直线上一点的距离最值问题,考查导函数的几何意义的应用,考查转化思想.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.53)x的展开式的常数项为__________． 【答案】15- 【解析】 【分析】在53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求出r 的值，即可求出展开式的常数项．【详解】解：由于53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为55415·(1)?3?r r r r r T C x -+=-， 令550r -=，解得1r =，故展开式的常数项是15-， 故答案为15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 14.某次考试后，对全班同学数学成绩进行整理，得到表：将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是__________． 【答案】115 【解析】 【分析】由表格中数据可知各分数段的学生数学成绩的频率,即直方图中每个矩形的面积,而中位数左侧的所有小矩形的面积之和应为0.5,进而求解即可.【详解】由题意可知,直方图每个矩形的面积表示对应的频率,直方图四个矩形的面积从左向右依次为0.1,0.3,0.4,0.2,由于中位数左侧的矩形面积之和为0.5,故中位数位于第3个矩形处,而前2个矩形面积之和为0.4,故第3个矩形在中位数左侧的面积为0.1, 故中位数为区间[)110,130的最靠左的四等分点处,故中位数为115.故答案为:115.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求中位数,考查数据处理能力.15.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 【答案】 (1). 43π (2). 25π 【解析】 【分析】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,假设以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体,则体积为()2211333V a b a a ππ==-,利用导函数即可求得最值；设外接球的半径为R ,则满足()22212R R =-+,进而求解即可.【详解】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为()2211333V a b a a ππ==-()03a <<, 则()21633V a a π'=-,令0V '=,解得0a =或2a =,所以当02a <<时,0V '>；当23a <<时,0V '<, 所以当2a =时,体积最大,最大值为43π,此时圆锥的底面半径为2,高为1, 设外接球的半径为R ,则()22212R R =-+,所以外接球的半径为52,其表面积为25π故答案为:43π；25π 【点睛】本题考查旋转体的体积,考查外接球的表面积,考查利用导函数求最值.16.已知变量m 的取值完全由变量a b c d ,,,的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好a b c d ,,,四个变量的取值，然后记录相应的变量m 的值，得到表：则m 关于a b c d ,,,的表达式可能是______________. 【答案】()2a b m cd +=或()8m a b cd =+或223a b m cd+=或其他符合条件的解析式【解析】 【分析】本题为开放题,答案并不唯一,对比试验数据,进而求解即可.【详解】本题为开放题,答案并不唯一,例如,考生可对比试验①②推断m 与d 成反比, 对比试验②③推断m 与c 成反比,对比③④推断m 与+a b 成反比,由此可得a bm k cd+=, 代入试验①的数据,解得2k =,故()2a b m cd+=是一种可能的表达式， 此外,答案中列举的其他解析式均符合题意,故答案为:()2a b m cd+=或()8m a b cd =+或223a b m cd +=或其他符合条件的解析式. 【点睛】本题考查求解析式,考查数据处理能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且对任意n ∈+N ，均有2423n n n S a a =+-.（1）求n a ； （2）求数列(){}1nn a -的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；（2）()()111nn T n =-+-【解析】 【分析】（1）由题,当2n ≥时,2111423n n n S a a ---=+-,与条件作差可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-,即()()1120n n n n a a a a --+--=,由{}n a 为正项数列知10n n a a ->+,则120n n a a ---=,进而求解即可；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）由2423n n n S a a =+-①可知,当2n ≥时,2111423n n n S a a ---=+-②,①-②得,2211422n n n n n a a a a a --=-+-,整理得()()1120n n n n a a a a --+--=,由{}n a 为正项数列知10n n a a ->+,故120n n a a ---=, 故{}n a 是以2为公差的等差数列,又①中,当1n =时,可解得13a =或11a =-（舍）, 所以21n a n =+（2）根据题意,()()357121nn T n =-+-++-+L ③③⨯()1-,则()()()()135121121nn n T n n +-=-++--+-+L ④③-④,得()()()1232212121nn n T n +=-+-++---+L ()()()()1113212111n nn ---=-+⨯+-+-- ()()2122nn =-+-+则()()111nn T n =-+-【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力.18.已知12,A A 分别为椭圆222:12x y C b+=的左右顶点，P 为C 上异于12,A A 的点，且直线1PA 与2PA 的斜率乘积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 为椭圆C 的上顶点，F 为C 的右焦点，PBF ∆的面积为1，求直线PB 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）0x =或220x y -+=【解析】 【分析】（1）由题可得左右顶点为())12,A A ,设()00,P x y ,则22222x y b -=⋅,利用斜率公式处理1212PA PA k k ⋅=-,可求得2b ,即可求得椭圆方程； （2）分别讨论直线PB 斜率不存在与存在的情况,利用弦长公式和点到直线距离求三角形面积,进而求解即可.【详解】（1）由题意知())12,A A ,设()00,P x y ,则22222x y b -=⋅,因为12220201222PA PA y b k k x ⋅===-=--,解得21b =，故椭圆方程为2212x y +=（2）由题,上顶点为()0,1B ,右焦点为()1,0F ,当直线BP 斜率不存在时,BP 方程为0x =,易知此时BPF ∆面积为1,符合题意； 当直线BP 斜率存在时,设BP 方程为1y kx =+,联立22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()221240k x kx ++=,解得1224,012k x x k =-=+,∴122412k BP x k=-=+,点F 到直线BP,由24112BPF k S k ∆==+,解得12k =, 此时112y x =+,即220x y -+= 故直线BP 的方程为0x =或220x y -+=【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查椭圆内的三角形面积的应用,考查运算能力.19.如图,在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，1AB BC PA ===，2AD =，90PAD DAB ABC ∠=∠=∠=︒，点E 在棱PC上，且CE CP λ=.（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得二面角C AE D --的余弦值为10？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10. 【解析】【详解】试题分析：(1)由边长和勾股定理得CD AC ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，由定理证得CD ⊥平面PAC CD AE ∴⊥ (2) 建立空间直角坐标系, 得出平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD u u u v v ==-，设平面AED 的一个法向量为m v，由题意计算得出结果解析：（Ⅰ）过点C 作CF AB ∥交AD 于D ，1AB BC ==Q ，2AD =，90DAB ABC o ∠=∠=四边形ABCF 为正方形，且1AF FD ==，2AC =在Rt CFD △中，2CD =，在ACD V 中，2224CD AC AD +==CD AC ∴⊥ 90,PAD PA AD o Q ∠=∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥ ,PA AC ⊂Q 平面PAC ，且PA AC A =ICD \^平面PAC CD AE ∴⊥（Ⅱ）90PAD PA AD ∠=∴⊥o Q又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥，PA AB ⊥以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，()()()()()()0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,2,0,1,1,0,0,2,0A P C D CD AD =-=u u u v u u u v假设存在实数λ使得二面角C AE D --的余弦值为10，令CE CP λ=u u u v u u u v Q 点E 在棱PC 上，[]0,1λ∴∈设()()(),,,1,1,1,1,1E x y z CE CP x y z λλ=∴--=--u u u v u u u vQ()1,1,E λλλ∴--则()1,1,AE u u u vλλλ=--，CD ⊥Q 平面PAC ，∴平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD u u uv v ==-设平面AED 的一个法向量为()111,,m x y z =v由00m AE m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得()()11111100x y z y λλλ⎧-+-+=⎨=⎩令1z =得()1,0,1,0,111m λλλλλ-⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭v 取(),0,1m λλ=--v()2210cos ,12m n m n m n λλ⋅∴===+-⨯v vv vv v 化简得23840λλ-+=又[]0,1λ∈ 23λ∴= 存在实数23λ=使得二面角C AE D --的余弦值为10. 20.某人某天的工作是：驾车从A 地出发，到B C 、两地办事，最后返回A 地，,,A B C 三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如表：若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时，现有如下两个方案： 方案甲：上午从A 地出发到B 地办事，然后到达C 地，下午在C 地办事后返回A 地； 方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地， 办事后返回A 地.（1）设此人8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A 地？ 【答案】（1）0.598；（2）甲方案 【解析】 【分析】（1）若各路段均不会遇到降水,则返回A 地的时间为17点,则若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是降水的路段数不超过1,进而求解即可；（2）设某路段正常行驶时间为x ,降水概率为p ,则()()11EX x p x p x p =-++=+,进而讨论每一路段行驶时间的期望,再得到方案甲、乙的总行驶时间的期望,比较即可.【详解】（1）由题意可知,若各路段均不会遇到降水,则返回A 地的时间为17点, 因此若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是降水的路段数不超过1,记事件123,,M M M 分别表示在上午AB 路段降水,上午BC 降水,下午CA 路段降水,则所求概率()()()()123123123123P P M M M P M M M P M M M P M M M =+++0.70.80.10.30.80.10.70.20.10.70.80.90.598=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）设某路段正常行驶时间为x ,降水概率为p ,则该路段行驶时间X 的分布列为:故()()11EX x p x p x p =-++=+设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为,Y Z ,则2.3 2.23.98.4EY =++=, 2.6 2.7 3.38.6EZ =++=,8.48.6<,因此采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A 地.【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查两点分布的分别列和期望,考查数据处理能力.21.已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）； （2）证明：当1x >时，()()f x g x <. 【答案】（1）最大值为3；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先求导可得()21ln 1ln x x f x x--'=,设()1ln 1F x x x=--,由()F x '可判断()F x 在()1,+∞上为增函数,由()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->可得()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,则()()0min f x f x =,进而求解即可；（2）要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->,设()21ln x x h x x e -=-,利用导函数判断()h x 的单调性,由()10h =,进而求解即可.【详解】（1）当1x >时,()21ln 1ln x x f x x--'=,令()1ln 1F x x x =--,则()2110F x x x'=+>,因此()F x 在()1,+∞上为增函数, 又()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->, ∴()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,即001ln 1x x =+, 当01x x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数；当0x x >时,()0f x '>,()f x 为增函数；∴()()()0000min 00113,41ln 1x x f x f x x x x ++====∈+,所以整数m 的最大值为3（2）法一：要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->, 令()21ln xx h x x e -=-,则()2321212x x xx x e x x xh x x e xe -++--'=-=, 令()322xx e x x x ϕ=+--,则()2341xx e x x ϕ'=+--,()()64,6x xx e x x e ϕϕ'''''=+-=+,∵()0x ϕ'''>,∴()x ϕ''在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ''=-,∴()0x ϕ''>, ∴()x ϕ'在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ'=-,∴()0x ϕ'>,∴()x ϕ在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ=-,∴()0x ϕ>,即()0h x '>, ∴()h x 在()1,+∞上为增函数,∴()()10h x h >=,故()()f x g x <.【点睛】本题考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查利用导函数证明不等式,考查利用导函数判断函数的单调性.（二）选考题：共10分22.在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+.以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化成直角坐标方程；（2）过曲线C 上动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值.【答案】（1）224936x y +=；（2）max 9S =+【解析】 【分析】(1)由直角坐标方程与极坐标方程的互化的公式，直接得出答案.(2)由条件可设()3cos ,2sin P θθ，则矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，然后用换元法可求矩形面积的最大值.【详解】解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得 直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==， 曲线C 的方程为224936x y +=；（2）由（1）知曲线22:194x y C +=，故可设()3cos ,2sin P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，∴矩形的面积()()()33cos 22sin 61sin cos sin cos S θθθθθθ=--=--+，令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，则21sin cos 2t θθ-=，2363,S t t t ⎡=-+∈⎣，当t =max 9S =+.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、椭圆的参数方程以及换元法求最值，属于中档题. 23.已知()215f x x ax =-+-(a 是常数，a R ∈)． (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{x |4x ≤-或2x ≥}；（2）(2,2)-【解析】【分析】（1）当a=1时，f（x）14,21 36,2 x xx x⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，把1240xx⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360xx⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩的解集取并集，即得所求；②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．【详解】(1)当1a=时，()215f x x ax=-+-=14,2136,2x xx x⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，由()0f x≥，得1240xx⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360xx⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得4x≤-或2x≥，故不等式()0f x≥的解集为{x|4x≤-或2x≥}．(2)令()f x=0，得215x ax-=-，则函数()f x恰有两个不同的零点转化为21y x=-与5y ax=-+的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当22a-<<时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当22a-<<时，函数()f x恰有两个不同的零点，故实数a的取值范围为()2,2-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩(∁RB)=()A. {x|0<x≤1}B. {x|0<x<1}C. {x|1≤x<2}D. {x|0<x<2}【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，∴∁RB={x|x<1}，∴A∩(∁RB)={x|0<x<1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.已知0<a<1，则a2、2a、log2a的大小关系是()A. a2>2a>log2a B. 2a>a2>log2a C. log2a>a2>2a D. 2a>log2a>a2【答案】B【解析】解：∵0<a<1，∴0<a2<1，1<2a<2，log2a<0，∴2a>a2>log2a，故选：B．根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数，幂函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3.已知sin(π+θ)=3sin(3π2−θ)，则tan(θ+π4)的值为()A. −2B. 2C. 12D. −12【答案】A【解析】解：由sin(π+θ)=3sin(3π2−θ)，得−sinθ=−3cosθ，∴tanθ=3．∴tan(θ+π4)=tanθ+tanπ41−tanθtanπ4=3+11−3×1=−2．故选：A．由已知求得tanθ，然后展开两角和的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和的正切，是基础题．4.等差数列{an}的前n项和为S n，且a1+a5+a9=15，则S9=() A. 5 B. 10 C. 15 D. 45【答案】D【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为S n，且a1+a5+a9=15，∴a1+a5+a9=3a5=15，解得a5=5，∴S9=9(a1+a9)=9a5=45．故选：D ．由等差数列通项公式得a 1+a 5+a 9=3a 5=15，求出a 5=5，由此能求出S 9的值．本题考查等差数列的前9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.在平行四边形ABCD 中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13a ⃗ +16b ⃗ B. 13a ⃗ −b ⃗ C. −12a ⃗ +13b ⃗ D. 12a ⃗ −16b ⃗ 【答案】A【解析】解：EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ +16b ⃗ ， 故选：A ．由向量的线性运算得：EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ +16b ⃗ ，得解． 本题考查了向量的线性运算，属简单题．6. 若在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n ，n ∈N ∗，则a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=( )A. 84B. 340C. 670D. 1364【答案】B【解析】解：根据题意，数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n ，n ∈N ∗， 则数列{a n }为等比数列，且a 1=1，公比q =2， 则a n =2n−1，则a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=a 22+a 32+a 42+a 52=22+42+82+162=340． 故选：B ． 根据题意，由等比数列的定义可得数列{a n }为等比数列，且a 1=1，公比q =2，进而可得a n =2n−1，则a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=a 22+a 32+a 42+a 52，计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式的计算，关键是求出数列{a n }的通项公式．7. 在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −15B. −9C. −6D. 0【答案】C【解析】解：解法Ⅰ，由题意，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BM MA=CN NA=2，∴BC//MN ，且BC =3MN ，又MN 2=OM 2+ON 2−2OM ⋅ON ⋅cos120∘=1+4−2×1×2×(−12)=7，∴MN =√7； ∴BC =3√7，∴cos∠OMN =OM 2+MN 2−ON 22OM⋅MN=2×1×√7=√7，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−∠OMN)=3√7×1×(−2√7)=−6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN 是平行四边形，由OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3×12+3×2×1×cos120∘=−6． 故选：C ．解法Ⅰ，由题意判断BC//MN ，且BC =3MN ，再利用余弦定理求出MN 和∠OMN 的余弦值，计算BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN 是平行四边形， 由题意求得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{y =3+3sinϕx=3cosϕ(φ为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2ρsin(θ−π6)=4√3，射线OM ：θ=5π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，则线段PQ 的长为( )A. 12B. √22C. 1D. 2【答案】C【解析】解：∵圆C 的参数方程为{y =3+3sinϕx=3cosϕ(φ为参数)．∴圆C 的普通方程为x 2+(y −3)2=9， ∴圆C 的极坐标方程为ρ=6sinθ，直线l 的极坐标方程是2ρsin(θ−π6)=4√3， 射线OM ：θ=5π6圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，设P(ρ1,θ1)，由{ρ=6sinθθ=5π6，解得ρ1=3,θ1=5π6，设Q(ρ2,θ2)，由{2ρsin(θ−π6)θ=5π6，解得ρ2=4,θ2=5π6，∴线段PQ 的长为|PQ|=|ρ2−ρ1|=1．故选：C ．由圆C 的参数方程求出圆C 的普通方程，进而求出圆C 的极坐标方程，设P(ρ1,θ1)，由{ρ=6sinθθ=5π6，解得ρ1=3,θ1=5π6，设Q(ρ2,θ2)，由{2ρsin(θ−π6)θ=5π6，解得ρ2=4,θ2=5π6，线段PQ 的长为|PQ|=|ρ2−ρ1|，由此能求出结果．本题考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.将函数y =sin(2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y =g(x)的图象，则下列选项不成立的是( )A. 函数g(x)的最小正周期为πB. 函数g(x)的图象关于直线x =π4对称C. 函数g(x)为奇函数D. 函数g(x)在区间[π4,π]上单调递减 【答案】D【解析】解：将函数y =sin(2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y =g(x)=sin2x 的图象， 则g(x)的最小正周期为2π2=π，故A 成立；当x=π4时，g(x)=1为最大值，故函数g(x)的图象关于直线x=π4对称，故B正确；显然，g(x)为奇函数，故C正确；在区间[π4,π]上，2x∈[π2,2π]，g(x)没有单调性，故D错误，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得到g(x)的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的性质，属于基础题．10.已知函数f(x)={−xe x,x<0xe x,x≥0(e是自然对数底数)，方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根，则t的取值范围为()A. (e+1e ,+∞) B. (−∞,−e−1e) C. (−e−1e,−2) D. (2,e+1e)【答案】B【解析】解：函数f(x)={−xe x,x<0xe x,x≥0(e是自然对数底数)，易知f(x)在[0,+∞)上是增函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=−xe x，f′(x)=−e x(x+1)，故f(x)在(−∞,−1)上是增函数，在(−1,0)上是减函数；作出函数图象如下；且f(−1)=1e；若方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根，则方程x2+tx+1=0(t∈R)有两个不同的实根，且x1∈(0,1e )，x2∈(1e,+∞)∪{0}，∴{0+0+1>01e2+t⋅1e+1<0，或1=0；解得，t<−e−1e，∴t的取值范围是(−∞,−e−1e).故选：B．根据f(x)的解析式，利用导数确定函数的单调性，作出函数的简图，根据函数的图象与性质求得t的取值范围．本题考查了分段函数的应用和导数的综合应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是中档题．11.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A. (0,512] B. (0,512]∪[56,1112) C. (0,56] D. (0,512]∪[56,1112]【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π6)，T=2πω，由题意可得，πω≥π，则0<ω≤1，又f(x)在区间(π,2π)内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：{ωπ+π6≥02ωπ+π6≤π或{ωπ+π6≥π2ωπ+π6≤2π，解得ω∈(0,512]∪[56,1112].故选：D．利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力，是中档题．12.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则()A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a4【答案】B【解析】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1>1，设公比为q，当q>0时，a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，不成立，即：a1>a3，a2>a4，a1<a3，a2<a4，不成立，排除A、D．当q=−1时，a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3)>0，等式不成立，所以q≠−1；当q<−1时，a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3)>0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，当q∈(−1,0)时，a1>a3>0，a2<a4<0，并且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，能够成立，故选：B．利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cosα=35，且α∈(0,π2)，则tanα2=______．【答案】12【解析】解：∵cosα=1−tan 2α21+tan2α2，且α∈(0,π2)，∴tan α2=√1−cosα1+cosα=√1−351+35=12．故答案为12．由余弦的万能公式变形即可． 本题考查余弦的万能公式．14.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,t ∈R.当|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时，t =______．【答案】12【解析】解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,t ∈R ， 可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2t,2t)， 即有|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(2−2t)2+(2t)2=8t 2−8t +4 =8(t −12)2+2，当t =12时，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，且为2，∴t =12，故答案为：12．运用向量的加减运算，求得向量OC 的坐标，再由向量模的公式，结合二次函数的最值求法，可得所求值．本题考查向量的坐标运算和模的计算，运用二次函数的最值求法是解题的关键，属于中档题．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsinA =asin2C ，C ∈(π3,π2)，a =√6，sinB =√53，则b =______．【答案】2【解析】解：∵bsinA =asin2C ，sinB =√53，∴a sinA=b sin2C，由a sinA =bsinB ，可得：sinB =sin2C =√53，∴sinA >0，cosB =±√1−sin 2B =±23， ∵C ∈(π3,π2)，2C ∈(2π3,π)，可得：cos2C =−√1−sin 22C =−23=2cos 2C −1， ∴解得：cosC =√66，sinC =√1−cos 2C =√306， ∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√53×√66+(±23)×√306=√306或−√3018(舍去)，∵a =√6，∴由正弦定理可得：b =a⋅sinB sinA=√6×√53√306=2．故答案为：2．由已知及正弦定理可求sin2C =√53，利用同角三角函数基本关系式可求cosB ，cos2C ，利用二倍角的余弦函数公式可求cosC ，可求sinC 的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA ，进而利用正弦定理可求b 的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16. 已知[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]=2，[−1.5]=−2.在数列{a n }中，a n =[1gn]，n ∈N +，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018=______．【答案】4947【解析】解：∵an=[1gn]，∴a1=[1g1]=0，a2=[1g2]=0，…，a9=[1g9]=0，a 10=[1g10]=1，a11=[1g11]=1，…，a99=[1g99]=1，a 100=[1g100]=2，a101=[1g101]=2，…，a999=[1g999]=2，a 1000=[1g1000]=3，a1001=[1g1001]=3，…，a2018=[1g2018]=3，∴S2018=9×0+90×1+900×2+1019×3=4947故答案为：4947根据题意，归纳可以得到a1=[1g1]=0，a2=[1g2]=0，…，a9=[1g9]=0，a10=[1g10]=1，a11=[1g11]=1，…，a 99=[1g99]=1，a100=[1g100]=2，a101=[1g101]=2，…，a999=[1g999]=2，a 1000=[1g1000]=3，a1001=[1g1001]=3，…，a2018=[1g2018]=3，求和即可本题考查数列的项数n的求法、新定义、对数性质，考查了猜想归纳、分析问题和解决问题的能力，考察了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=√3cos2x+2sin(x−π4)cos(x+π4)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值，并求出相应x的值．【答案】解：(1)f(x)=√3cos2x+2sin(x−π4)cos(x+π4)=√3cos2x+sin2x−1=2sin(2x+π3)−1．令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z；令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2k∈Z，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)，单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k∈Z)．(2)当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，当2x+π3=4π3，即x=π2时，f(x)的最小值为−√3−1；当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)的最大值为1．【解析】(1)利用辅助角公式以及两角和差的公式进行化简即可．(2)求出角在[0,π2]上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出函数f(x)的表达式是解决本题的关键．18.各项均为正数的数列{an}的前n项和为S n，满足a2=4，a n+12=6S n+9n+1，n∈N∗.各项均为正数的等比数列{bn }满足b1=a1，b3=a2．(1)求数列{an }和{bn}的通项公式；(2)若∁n =an⋅bn，数列{∁n}的前n项和为T n，求T n．【答案】解：(1)∵an+12=6S n+9n+1，∴当n≥2时，an2=6S n−1+9(n−1)+1，两式相减得an+12−a n2=6a n+9，即a n+12=(a n+3)2，又各项均为正数，∴an+1=an+3(n≥2)．又当n=1时，a22=6a1+9+1=16，解得a1=1，∴a2−a1=3满足上式，∴{an}为首项为1，公差为3的等差数列，∴an=3n−2，n∈N∗．又b1=1，b3=4，可得公比为2，∴bn=2n−1，n∈N∗．(2)由(1)知，cn =an⋅bn=(3n−2)×2n−1，∴Tn=1+4×21+7×22+⋯+(3n−2)×2n−1，∴2Tn=1×2+4×22+7×23+⋯+(3n−2)×2n，两式相减得−Tn=1+3×(21+22+⋯+2n−1)−(3n−2)×2n=(5−3n)×2n−5，∴Tn=(3n−5)×2n+5，n∈N∗．【解析】(1)运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式可得所求通项公式；(2)求得cn =an⋅bn=(3n−2)×2n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinA=acos(B−π6)．(1)求角B的大小；(2)设b=√7，a=2，D为AC上一点，若S△ABD=√3，求AD的长．【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA =bsinB，可得bsinA=asinB，又由bsinA=acos(B−π6)，得asinB=acos(B−π6)，即sinB=cos(B−π6)，化简可得tanB=√3，又因为B∈(0,π)，所以B=π3．(2)在△ABC中，由余弦定理及b=√7，a=2，B=π3，得b2=a2+c2−2accosB，解得c=3，又S△ABC =12acsinB=3√32，所以S△ABDS△ABC =ADAC=√33√32=23，所以AD=23b=2√73．【解析】(1)由正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=√3，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．(2)在△ABC中，由余弦定理可得c的值，利用三角形面积公式可求△ABC的面积，根据三角形面积公式即可解得AD=2 3b=2√73．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.设函数f(x)=lnx−12ax2−bx(1)当a=b=12时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a=0，b=−1时，方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0,+∞)，当a=b=12时，f(x)=lnx−14x2−12x，∴f′(x)=−(x+2)(x−1)2x，令f′(x)=0，解得：x=1或x=−2(舍去)，经检验，x=1是方程的根．当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,+∞)．(2)当a =0，b =−1时，f(x)=lnx +x ，由f(x)=mx 得mx =lnx +x ， 又因为x >0，所以m =1+lnx x，要使方程f(x)=mx 在区间[1,e 2]内有唯一实数解，只需m =1+lnxx 有唯一实数解，令g(x)=1+lnx x(x >0)，∴g′(x)=1−lnx x 2(x >0)，由g′(x)>0，得：0<x <e ，由g′(x)<0，得x >e ，所以g(x)在区间[1,e]上是增函数，在区间[e,e 2]上是减函数，g(1)=1+ln11=1，g(e 2)=1+lne 2e 2=1+2e 2，g(e)=1+lne e=1+1e，所以m =1+1e 或1≤m <1+2e 2．【解析】(1)将a ，b 的值代入，求出函数f(x)的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；(2)将a ，b 的值代入函数的表达式，问题转化为只需m =1+lnx x有唯一实数解，求出函数y =g(x)=1+lnx x的单调性，从而求出m 的范围．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．21.设正数列{a n }的前{a n }项和为n ，且2√S n =a n +1．(1)求数列{a n }的通项公式． (2)若数列b n =a n +32，设T n 为数列{1b nb n+1}的前n 项的和，求T n ．(3)若T n ≤λb n+1对一切n ∈N ∗恒成立，求实数λ的最小值．【答案】解：(1)∵正数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =2√S n −1，∴S n =S n−1+a n =S n−1+2√S n −1，∴S n−1=(√S n −1)2， ∴√S n −√S n−1=1， ∵a 1=2√a 1+1，解得a 1=1， ∴√S n =1+n −1=n ，∴S n =n 2，∴a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，当n =1时，2n −1=1=a 1，∴a n =2n −1．(2)b n =a n +32=2n−1+32=n +1，∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴T n =12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2n+4(3)T n ≤λb n+1对一切n ∈N ∗恒成立，∴n2n+4≤λ(n +2)，∴λ≥n 2(n 2+4n+4)=12⋅1n+4n+4≥122√n⋅4n2√n⋅4n+4=116，当且仅当n =2时取等号，故实数λ的最小值为116【解析】(1)由已知条件，利用数列的性质，推导出√S n −√S n−1=1，a 1=1，从而得到S n =n 2，由此能求出数列{a n }的通项公式．(2)求出b n 的通项公式，再根据列项求和即可求出求T n ．(3)将λ分离出来得λ≥n2(n 2+4n+4)，利用基本不等式即可求出．本题主要考查了恒成立问题，以及等比数列的通项和裂项求和法，属于中档题．22.已知f(x)=2xlnx，g(x)=x3+ax2−x+2．(1)如果函数g(x)的单调递减区间为(−13,1)，求函数g(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数y=g(x)的图象在点P(−1,g(−1))处的切线方程；(3)已知不等式恒成立，若方程ae a−m=0恰有两个不等实根，求m的取值范围．【答案】解：，由题意3x2+2ax−1<0的解集为(−13,1)，即3x2+2ax−1=0的两根分别是−13，1，代入得a=−1，∴g(x)=x3−x2−x+2.….(3分)(2)由(1)知，g(−1)=1，，，∴点P(−1,1)处的切线斜率，∴函数y=g(x)的图象在点P(−1,1)处的切线方程为y−1=4(x+1)，即4x−y+5=0.…(6分)(3)由题意知2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈(0,+∞)上恒成立，可得a≥lnx−32x−12x对x∈(0,+∞)上恒成立，…(7分)设ℎ(x)=lnx−3x2−12x，则ℎ′(x)=1x −32+12x2=−(x−1)(3x+1)2x2，令，得x=1，x=−13(舍)，当0<x<1时， 0'/>；当x>1时，，∴当x=1时，ℎ(x)取得最大值，ℎ(x)max=−2，∴a≥−2.…(10分)令φ(a)=ae a，则，所以φ(a)在[−2,−1]递减，在(−1,+∞)递增，∵φ(−2)=−2e−2=−2e2，φ(−1)=−e−1=−1e，当x→+∞时，φ(x)→+∞，所以要把方程ae a−m=0恰有两个不等实根，只需−1e <m≤−2e2.…(12分)【解析】(1)求出函数的导数，根据不等式和方程的根的关系求出a的值，求出函数的解析式即可；(2)求出函数的导数，计算g′(−1)和g(−1)的值，求出切线方程即可；(3)问题转化为a≥lnx−32x−12x对x∈(0,+∞)上恒成立，设ℎ(x)=lnx−3x2−12x，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，从而求出a的范围，再求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。

2020年河北省衡水中学高考数学二调试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−16<0}，B ={−5,0，1}，则( )A. A ∩B =⌀B. B ⊆AC. A ∩B ={0,1}D. A ⊆B2. 若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 的共轭复数是( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1+2i 3. 下列函数中，x =0是极值点的函数是( )A. y =−x 3B. y =cos 2xC. y =tanx −xD. y =1x4. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y −1≤03x −y +1≥0x −y −1≤0，则z =3y −2x 的最小值为( )A. 1B. 2C. −3D. −45. 执行如图所示的程序框图，若输入的n =4，则输出的j =A. 1B. 3C. 5D. 7 6. 一个等差数列第9项为9，则它的前17项和为( )A. 153B. 144C. 17D. 1627. 在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(90,σ2)，若ξ在(80,100)内的概率为0.6，则任意选取一名参加本次数学测试的学生，该生成绩不低于100分的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.35D. 0.48. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f(π2)的值为( )A. 1B. −1C. √22D. −√229. 若(x 2+1)(x −3)9=a 0+a 1(x −2)+a 2(x −2)2+a 3(x −2)3+⋯+a 11(x −2)11，则a 1+a 2+⋯+a 11的值为( )A. 0B. −5C. 5D. 25510. 椭圆x 212+y 28=1与曲线x 28−k −y 2k−12=1(k <8)的( )A. 焦距相等B. 离心率相等C. 焦点相同D. 准线相同11. 已知函数f(x)={3(a −3)x +2,x ≤1,−4a −lnx,x >1,对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1−x 2)[f(x 2)−f(x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,3]B. (−∞,3)C. (3,+∞)D. [1,3)12. 四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥面ABC ，AD =√7，AB =3，BC =4，此四面体的外接球的表面积为( )A. 28πB. 32πC. 36πD. 48π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(如图)为某四棱锥的三视图，则该几何体体积为______14. 已知向量a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ |=____________． 15. 已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，则双曲线的离心率e 为______ ．16.设数列{a n}的前n项和为S n，满足：S n+a n=n−1，n=1，2，…，n，则S2019=________．n(n+1)三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=√3a.(1)求角B的大小；(2)若a+c=5，且a>c，b=√7，求边a，c．18.某公司开发一新产品有甲、乙两种型号，现分别对这两种型号产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次(数值越大产品质量越好)，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5(Ⅰ)画出甲、乙两产品数据的茎叶图；(Ⅱ)现要从甲、乙中选一种型号产品投入生产，从统计学角度，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；(Ⅲ)若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．19.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，将△ADP沿DP向上折起到△A1DP的位置，使平面A1DP⊥平面BCDP．(1)求证：A1D⊥CP；(2)求二面角B−A1C−P的余弦值．20.设椭圆C:x2+y2=1的右焦点为F，过点(m,0)(|m|≥1)作直线l与椭圆C交于A，B两点，且4坐标原点O(0,0)到直线l的距离为1．(1)当m=1时，求直线AF的方程；(2)求ΔABF面积的最大值．ax2+lnx，g(x)=−bx，设ℎ(x)=f(x)−g(x)．21.已知函数f(x)=12(1)若f(x)在x=√2处取得极值，且f′(1)=g(−1)−2，求函数ℎ(x)的单调区间；2(2)若a=0时函数ℎ(x)有两个不同的零点x1、x2．①求b的取值范围；>1．②求证：x1x2e222.如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE//CA交BA的延长线于点E．(I)求证：DE2=AE⋅BE；(Ⅱ)若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．23.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．24.求y=3sin x+2√2+2cos2x的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−16<0}={x|−4<x<4}，B={−5,0，1}，则A∩B={0,1}，故选：C．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：解：由题意可得z=2+i．复数的共轭复数为：2−i．故选：B．利用表格写出复数z，然后求解共轭复数即可．本题考查复数的几何意义，是基础题．3.答案：B解析：A.y=−x3，∵y′=(−x3)′=−3x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x=0不是极值点.B．y= cos2x，y′=(cos2x)′=2cosx(−sinx)=−sin2x，当x<0时，−sin2x>0，y′>0；当x>0时，−sin2x<0，y′<0，所以x=0是y=cos2x的极大值点.C．y=tanx−x，y′=(tanx−x)′=1cos2x−1，当x<0或x>0时，0<cos2x<1，y′>0，∴x=0不是极值点.D．y=1x ，y′=(1x)′=−1x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x=0不是极值点．4.答案：D解析：【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC)，由z =3y −2x 得y =23x +z3，平移直线y =23x ，由图象可知当直线y =23x +z3经过点A 时，直线y =23x +z3的截距最小，此时z 最小，由{x −y −1=03x −y +1=0，解得A(−1,−2)， 将A(−1,−2)的坐标代入目标函数z =3y −2x ，得z =3×(−2)−2×(−1)=−4， 即z =3y −2x 的最小值为−4． 故选D ．5.答案：C解析： 【分析】本题考查程序框图，属基础题． 模拟算法，可得输出的j 的值． 【解答】解： 框图的执行过程如下表：i 1 2 3 4 j 1 3 3 5 5． 故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的性质，根据前n项和与通项的关系即可求解．【解答】解：S17=17×(a1+a17)2=17a9=17×9=153．故选A．7.答案：A解析：【分析】本题考查正态曲线的性质，利用对称性求解．【解答】解：ξ服从正态分布N(90,σ2)，所以正态曲线关于直线x=90对称，由若ξ在(80,100)内的概率为0.6，得ξ在(90,100)内的概率为0.3，所以该生成绩不低于100分的概率为0.5−0.3=0.2，故选A．8.答案：D解析：解：根据函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得T2=3π4−5π12=πω，∴ω=3，将(7π12,−1)代入，可得sin(7π4+φ)=−1，故，又|φ|<π2，∴φ=−π4，∴f(x)=sin(3x−π4)，∴f(π2)=sin5π4=−√22，故选D．由周期求出ω的值，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f(x)的解析式，从而求得f(π2)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．9.答案：C解析：解：在(x2+1)(x−3)9=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+a3(x−2)3+⋯+a11(x−2)11中，令x=2，得a0=(4+1)×(−1)=−5；令x=3，得a0+a1+a2+a3+⋯+a11=(9+1)×0=0；∴a1+a2+a3+⋯+a11=5．故选：C．在所给的等式中，令x=2求得a0的值，令x=3求得a0+a1+a2+a3+⋯+a11，从而求得结果．本题考查二项式定理的应用问题，利用赋值法求出结果，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】利用椭圆方程以及双曲线方程，求出c，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：因为椭圆方程为x212+y28=1，所以a=2√3，b=2√2，c=2，焦点在x轴上．曲线x28−k −y2k−12=1(k<8)，因为k<8，所以8−k>0，k−12<0，曲线方程可写为：x28−k +y212−k=1(k<8)，12−k>8−k，所以曲线为焦点在y轴上的椭圆，a=√12−k，b=√8−k，c=2，所以焦距相等正确．故选：A．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性的判断和应用，考查不等式的解法和运算能力，属于中档题．【解答】解：由(x1−x2)[f(x2)−f(x1)]>0对任意x1≠x2成立，得(x 1−x 2)·[f(x 1)−f(x 2)]<0，所以函数f(x)为R 上的单调递减函数对任意x 1≠x 2成立， 则{a −3<0,3(a −3)+2≥−4a,解得1≤a <3． 故选D ．12.答案：B解析： 【分析】本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD 的外接球的半径是关键，属于基础题．由正弦定理可得△ABC 外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体ABCD 的外接球的半径，即可求出球O 的表面积． 【解答】 解：由题意，由AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，可得△ABC 外接圆的半径为52， ∵AD ⊥平面ABC ，AD =√7，∴四面体ABCD 的外接球的半径为12DC =12√7+25=2√2， ∴球O 的表面积为4π×8=32π． 故选：B ．13.答案：83解析： 【分析】根据四棱锥的三视图知，四棱锥是侧放的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题． 【解答】解：根据四棱锥的三视图知，则四棱锥是侧放的直四棱锥，且底面四边形是边长为2的正方形，高为2；所以该四棱锥的体积为V 四棱锥=13×22×2=83． 故答案为：83．14.答案：103解析： ↵ 【分析】考查向量数量积运算，以及向量垂直的充要条件及向量模的求法．根据条件a ⃗ 与b ⃗ 垂直，从而得出a ⃗ ⋅b ⃗ =0，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于λ的方程，求出λ的值即可． 【解答】解：a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =8−3λ=0， ∴λ=83，则|a ⃗ |=√22+(83)2=103，故答案为103．15.答案：2解析： 【分析】求出y 2=4x 的准线l ：x =−1，由抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，从而得出A 、B 的坐标，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程结合a ，b ，c 的关系式得出出a ，c 的关系，即可求得离心率．本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 【解答】解：∵y 2=4x 的准线l ：x =−1，∵抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2√3，∴A(−1,√3)，B(−1,−√3)，将A点坐标代入双曲线渐近线方程得ba=√3，∴b2=3a2，又b2=c2−a2∴3a2=c2−a2，即4a2=c2，∴e=ca=2．则双曲线的离心率e为2．故答案为：2．16.答案：12020−(12)2019解析：解：数列{a n}的前n项和为S n满足：S n+a n=n−1n(n+1)，n=1，2，…，n．则：当n=1时，S1=0，当n≥2时，S n+S n−S n−1=2S n−S n−1=1n+1−(1n−1n+1)，所以：S n−1n+1=12(S n−1−1n)=(12)n−1(S1−12)=−(12)n，故：S n=1n+1−(12)n故：S2019=12020−(12)2019，故答案为：12020−(12)2019首先利用关系式的恒等变换求出数列的和的关系式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.答案：解：(1)在锐角△ABC中，∵2bsinA=√3a，∴2sinBsinA=√3sinA，sinA≠0，∴sinB=√32，B∈(0,π2)，∴B=π3．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，∴7=(a+c)2−2ac−2accosπ3，化为：ac=6，与a+c=5，a>c，联立解得：a=3，c=2．解析：(1)由2bsinA=√3a，利用正弦定理可得：2sinBsinA=√3sinA，sinA≠0，化简整理即可得出．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，代入化简解出即可．本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由已知作出甲、乙两产品数据的茎叶图如图：(Ⅱ)x 甲=18(8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3)=8.5， x 乙=18(9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5)=8.5，S 甲2=18[(8.3−8.5)2+(9.0−8.5)2+(7.9−8.5)2+(7.8−8.5)2+(9.4−8.5)2+(8.9−8.5)2+(8.4−8.5)2+(8.3−8.5)2]=0.27，S 乙2=18[(9.2−8.5)2+(9.5−8.5)2+(8.0−8.5)2+(7.5−8.5)2+(8.2−8.5)2+(8.1−8.5)2+(9.0−8.5)2+(8.5−8.5)2]=0.405，∵x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小， 说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适． (Ⅲ)依题意，乙不低于8.5分的频率为12， ξ的可能取值为0，1，2，3， 则ξ～B(3,12)，∴P(ξ=0)=C 30(12)3=18，P(ξ=1)=C 31(12)(12)2=38， P(ξ=2)=C 32(12)2(12)=38， P(ξ=3)=C 33(12)3=18，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P18383818×18+×38+×38+×18=32．解析：(Ⅰ)由已知数据能作出甲、乙两产品数据的茎叶图．(Ⅱ)分别求出x 甲，x 乙，S 甲2，S 乙2，得到x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，这说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．(Ⅲ)依题意，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,12)，由此能求 本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19.答案：证明：(1)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，P 是AB 的中点，∴DP =√AD 2+AP 2=√2，CP =√BP 2+BC 2=√2， ∴CD 2=4=DP 2+CP 2，∴CP ⊥DP ，∵平面A 1DP ⊥平面BCDP ，平面A 1DP ∩平面BCDP =PD ， CP ⊂平面BCDP ，∴CP ⊥平面A 1DP ， ∵A 1D ⊂平面A 1DP ，∴A 1D ⊥CP ．解：(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ， 则A 1E =12DP =√22，P(1,1，0)，B(1,2，0)，C(0,2，0)，E(12,12,0)，A 1(12,12,√22)，从而CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−32,√22)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面A 1BC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0，取z =3，得m ⃗⃗⃗ =(0,√2,3)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面A 1CP 的法向量， 则{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0n ⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0，取z =√2，得n⃗ =(1,1，√2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√22√11=2√2211， ∴二面角B −A 1C −P 的余弦值为2√2211．解析：(1)推导出CP ⊥DP ，从而CP ⊥平面A 1DP ，由此能证明A 1D ⊥CP ．(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ，利用向量法能求出二面角B −A 1C −P 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)焦点F(√3,0)，当m =1时，直线l:x =1，点A(1,±√32)，k AF =√32−01−√3或−√32−01−√3，∴直线AF 的方程为：y =−√3+34(x −√3)或y =√3+34(x −√3)；(2)当直线l 的斜率不存在时，m =±1， S ΔABF =3−√32或3+√32．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −m)，联立方程{x 24+y 2=1y =k(x −m)，得(1+4k 2)x 2−8mk 2x +4m 2k 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8mk 21+4k 2，x 1⋅x 2=4m 2k 2−41+4k 2．由题意知|km|√1+k 2=1，即k 2m 2=k 2+1 ①，，利用①式，消去k ，得|y 1−y 2|=4√3m 2+3， ∴，当m <−1或1<m <√3时，S ΔABF =2√3(√3−m)m 2+3， 令t =√3−m ，t ∈(0,√3−1)∪(√3+1,+∞) ， 则；当m >√3时，S ΔABF =2√3(m−√3)m 2+3， 令t =m −√3，，则；∴当m =−1时，ΔABF 面积的最大值为3+√32．解析：本题考查直线与椭圆的综合问题．(1)当m =1时，直线l ：x =1，点A(1,±√32)，从而直线AF 有两个，利用点斜式方程即可;(2)当直线的斜率不存在时，m =±1，此时S ▵AFB =3√32；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −m)，联立方程组，用点A 、B 的坐标表示出S ▵ABF =12|m −√3|⋅|y 1−y 2|=2√3|m−√3|m +3，通过换元用 基本不等式解决．21.答案： 解：(1)因为f ′(x)=ax +1x ，所以f ′(1)=a +1，由f′(1)=g(−1)−2可得a =b −3，又因为f(x)在x =√22处取得极值，所以f′(√22)=√22a +√2=0，所以a =−2，b =1， 所以，其定义域为，ℎ′(x)=−2x +1x+1=−2x 2+x+1x=−(2x+1)(x−1)x令ℎ′(x)=0得x 1=−12，x 2=1， 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)>0， 当ℎ′(x)<0，所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为；(2)当a =0时，，其定义域为，①ℎ′(x)=1x +b ，当b ⩾0，则ℎ′(x)>0，ℎ(x)在上单调递增，不合题意，当b <0时，ℎ(x)在(0,−1b )上单调递增，在上单调递减，因为ℎ(x)有2个不同零点，所以ℎ(−1b )>0，即b ∈(−1e ,0)， 此时存在1<−1b <4b 2 ，使得ℎ(1)=b <0，ℎ(4b 2)<0， 又ℎ(x)在(0,−1b )和都连续， 所以ℎ(x)在(0,−1b )和各有一个零点，所以b 的取值范围为(−1e ,0)． ②由题意得，，所以，，所以，不妨设x 1<x 2， 要证x 1x 2>e 2，只需要证，即证，设t=x2x1(t>1)，则，因为F(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，所以函数F(t)在上单调增，而F(1)=0，所以F(t)>0即，所以x1x2>e2，所以x1x2e2>1．解析：【分析】本题考查函数的综合应用问题，属于较难题，应用导数解决函数的极值，零点，单调区间以及利用不等式求解参数的取值范围和证明相关问题．(1)利用导数解决极值，由导函数与0的关系，求单调区间；(2)利用导数，利用函数与方程，利用函数的零点求出b的范围，构造函数证明不等式．22.答案：证明：(Ⅰ)∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE//CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴DEBE =AEDE，∴DE2=AE⋅BE．解：(Ⅱ)∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA⋅EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB−EA=6，由(Ⅰ)知DE2=AE⋅BE，∴DE=4，∵DE//CA，∴△BAC∽△BED，∴BABE =ACED，∴AC=BA⋅EDBE =6×48=3．解析：(Ⅰ)推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE⋅BE．(Ⅱ)由切割线定理得EF2=EA⋅EB，由DE//CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0， 联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0， 解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)． (2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0，得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0， 设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4． 易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外， 所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题． (1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．24.答案：解：y =3sinx +2√2+2cos2x =3sinx +4√cos 2x ．由柯西不等式得：y 2=(3sinx +4√cos 2x)2≤(32+42)(sin 2x +cos 2x )=25， 所以y max =5，此时sinx =35， 所以函数的最大值为5．解析：本题考查利用柯西不等式求函数的最值，由柯西不等式得到y2=(3sinx+4√cos2x)2≤(32+42)(sin2x+cos2x)=25，即可求出答案．。

3.函数fIn 2x 1的定义域为（1,2C .1 2D .1,2 122’2的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利衡水金卷高考模拟卷（二）数学（文）试题 Word 版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）文数二第I 卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限)4.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善 用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内垂直，且焦点在圆图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为 （）（LU 是虚数单位）已知复数H 满足z 1 i，则复数LZ 在复平面内对应的点所在象限为2. ・2018i~ 2图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）2 22 22 2 x i B. x 乂 1C. x乂 19 1616 93 46.执行如图所示的程序框图，若输入的 |t 0.05］，则输出的为（7. 已知数列邑|的前［n 项和为 囱，3,寻！ 2不，则口（） A.閭 B .閭 C .団 D .団8. 已知将函数f x sin 2 x —0的图象向左平移6A JB .1_,0C .1D□L61 1L±__ 1 1121112 19.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出部分叫 榫，凹进部分叫卯,A. 3 B4 C .5 D . 6个单位长度得到函数 |g x 的图 象，若函数|g x 图象的两条相邻的对称轴间的距离为 （）l g x的一个对称中心为~ 2榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，女口图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A. 8 12 B . 8 16 C9 12 D . 9 16当且仅当x y 1时,10.已知实数竺满足约束条件目标函数z kx y取大值，则实数卜的取值范围是（）A. ,1 B 1 C . 1, D 1,11.已知a 0 命题［p：函数f x lg ax22x 3的值域为［R，命题［q］函数区间1,内单调递增.若p q是真命题，则实数回的取值范围是（）y轴对称的点，则实数的取值范围是（）A J_R|B e, D .口第U卷（共90分）、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知在ABC中, I D I为BC边上的点,uuu our 亠———2BD CD 0，若AD mAB nAC m,n R，则uctr non un14.已知焦点在因轴上的椭圆一2心率为2 2x y2 m2m 11的一个焦点在直线忌y 2 0上，则椭圆的离15. 在锐角丨ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若si n Ceos A sin B 1 cosC，且A 3,b V1 2 3，贝y i_c_____________ .316. 如图，在矩形| ABCD ］中，| AD 2|,囘为两边上的点，项将| ADE|沿［5目翻折至| A DE |,使得点区在平面|EBCD上的投影在［CD上，且直线込可与平面［EBCD ］所成角为西，则线段AE的长为___________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知等差数列_aj的前丄项和为0,(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足18.如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB平面ABCD占:叵I是而的中点，棱两与平面［BCE交于点眉.1求证：|AD //EF ;2若匚PAB］是正三角形，求三棱锥|P BEF|的体积.19. 某市统计局就某地居民的收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1000,1500 )a-i 5,3a5 a g & .（1） 求居民收入在 3000,3500的频率；（2） 根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数； （3） 为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在2500,3000内应抽取多少人？20. 已知点F 为抛物线|c ：y 2 2px p 刁的焦点，过［F 的直线0交抛物线于 区回两点• （1）若直线0的斜率为1, || AB| 8，求抛物线 回的方程；,__, ----------- ------------------------------- ---- uur uui|（2） 若抛物线 回的准线与門轴交于点P 1,0 ， S A PF ：S BPF 2 V 3 :1，求| PA P B |的值•21. 已知函数 f x ln x x 2 ax,a R .（1） 当|a 11时，求曲线 匚打在区二处的切线方程；（2） 若xix 为X 2是函数的导函数f x 的两个零点，当a , 3时，求证：3f x 1 f x 2一 In 2 .4请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 :坐标系与参数方程（凶为参数），以原点LO 为 极点，凶轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 直的极坐标方程为（1） 求曲线 回的普通方程与 哇的直角坐标方程； （2） 判断曲线［GG ］是否相交，若相交，求出相交弦长 23. 选修4-5 :不等式选讲 已知函数rnx —.(1)求不等式f x 0的解集;(2)若对任意的x m,，都有f x x m 成立，求实数四的取值范围x 2t 1 y 4t 3在平面直角坐标系|xOy 中，已知曲线 匕的参数方程为试卷答案一、选择题1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11 、12：DC二、填空题13. - 14. - 15. [73 16.3| |3|三、解答题17.解：（1）设等差数列匕i的公差为同，由a1 5,3a5 a S6 ,6 5得 3 5 4d 5 8d 6 5 匕上d，______________________________________________解得|d 2 .所以a n a1n 1 d 5 2 n 1 2n 3 n N* .（2）由（1）得，ib—a^ —.又因为b n i an &所以当 n 2 时，b n a n a n 1 2n 3 2n 1 当In 1时，b i 5 3 15，符合上式, 所以 b n2n 3 2n 11 1 1 11 b n2n 3 2n 1 2 2n 1 2n 318. 解：（1 ）因为底面 ABCD 是边长为2的正方形, 所以BC//AD所以BC//平面PADB ,C ,E ,F 四点共面，且平面 BCEF平面 PAD EF所以BC//EF 又因为 |BC //AD ，所以 |AD //EF . （2）因为|AD //EF |，点E 是［PD ］的中点, 所以点回为画的中点，EF 丄AD 1 .— 2PAB 平面 ABCD ，平面 PAB 平面 ABCD AB, AD AB所以|AD |平面|PAB |，所以| EF |平面|PAB19.解：（1）由题知，月收入在 3000,3500的频率为0.0003 500 0.15（2）从左数第一组的频率为 0.0002 500 0.1，第二组的频率为 0.0004 500 0.2•••中位数在第三组, 设中位数为|2000 x 则| x 0.0005 0.5 0.10.2，解得 |x 400所以 T n11111——_ _ _ L 2 3 5 5 71 1 2n 1 2n 31 1 1 n 232n 33 2n 3又因为BC平面PAD ，AD 平面PAD第三组的频率为|0.0005 500 0.25•••中位数为2400.由 1250 0.1 1750 0.2 2250 0.25 2750 0.25 3250 0.15 3750 0.05 2400得样本数据的平均数为2400.（3）月收入在 2500,3000 的频数为 0.25 10000 2500 （人），•••抽取的样本容量为 100,设［AB ］两点的坐标分别为 | X A , y A , X B 』B 则 X A X B 3p由抛物线的性质，可得I AB |FA| |F B X A X BX A X B P 4p 8解得—2, 所以抛物线回的方程为y 2 4x (2)由题意，得F 1,0，抛物线C ：y 2 4x 设直线［］的方程为 ［x ―my —1, A X 1, y 1 , B X 2, y 2 联立x ? my 1,得y 2厶口丫 4。

已知集合,（D.，然后再求出【详解】由题意得．复数满足∵，，，．前三个路口遇到红灯的概率均为第四个路口遇到红灯的概率为则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为（【答案】前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为．．已知双曲线方程为,为双曲线的左、右焦点为渐近线上一点且在第一象限若,则双曲线的离心率为（C. D.为直角三角形，又得所以故得的倾斜角为，即，由此可得离心率．【详解】设为正三角形，直线的倾斜角为，离心率将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量利用和则B. C. D.【答案】D，进而可得，然后再根据两角和的正弦公式求解即可．∵，又为锐角，故选D．A. B. C. D.第一次：第二次：第三次：第四次：第五次：第六次：第七次：时，的值为（C. D.运用赋值法求解，令，得，．故选C．B.D.故几何体的表面积为,B.【答案】D可得，，然后对给出的四个选项分别进行判断即可得到结论．∵整理得．，解得，所以，由于，解得，，所以C成立．，所以【点睛】本题考查对数、指数的转化及基本不定式的变形及其应用，解题时注意不等式10.若函数在区间则B.D.【答案】在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间的单调区间为，．函数在区间内没有最值，在区间内单调，，解得．，得时，得；时，得，又，故的取值范围是函数在区间的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化过抛物线上两点若两切线垂直且交于点则直线【答案】B并结合点的坐标求得．再根据两切线垂直可得抛物线的方程为，设出直线方程，联立消元后根据二次方程根与系数的关系可求得直线的斜率及截距，于是可得直线方程．【详解】由，得，则抛物线在点处的切线方程为，点处的切线方程为，解得又两切线交于点，，故得．∵过两点的切线垂直，，故，故得抛物线的方程为．的斜率存在，可设直线方程为整理得和可得的方程为中，正三菱锥的内切球与三个侧面切点分别为与底面切于点的体积之比为（【答案】B，由题意可得．，．，解得．把面单独拿出来分析，如图．的中心，，．D作于，则，为等边三角形，故选B．【点睛】解答本题时注意：中,与【答案】【解析】与分别用表示，通过求【详解】设，，．，．与的夹角为【点睛】求向量夹角时，可先由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积，并求得两向量的模，然后根,组成的区域为作关于直线,和点内的任一点,则的最小值为【答案】，求出区域内的点到直线的最小距离，由题意得的最小值为表示的区域，如下图阴影部分所示．由题意得三个交点的坐标分别为．结合图形可得区域内的点到直线的距离最小，且最小值为．由题意得的最小值为因此所求的最小值为【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确画出不等式组表示的平面区域，并根据数形结合解题；二是将和内的两点间的距离的最小值转化为点到直线的距离处理，满足,当,且斜率为的直线与个交点【答案】【解析】为偶函数且图象的对称轴为，由此得到函数的周期为∵，即的周期为时，，结合函数的周期性，画出函数且斜率为的直线方程为．结合图象可得：联立消去整理得，，得(舍去)时，点与点，此时直线与有两个交点，又，相切，将两式联立消去整理得，得(所以当时有三个交点．综上可得的取值范围为．【点睛】已知函数有零点(方程有根中,【答案】【解析】中由题意可得，故得．过点，交的延长线于点，根据平行线，且．然后在中，由正弦定理得【详解】在中，，，．过点作，交的延长线于点，如下图，，．中，由正弦定理得【点睛】本题考查正弦定理在几何中的应用，同时也考查三角变换的应用，解题时要注意平面几何知识的利用，并由此寻求解三角形所需要的条件，然后再根据正弦（余弦）定理求解．在数列已知,求数列或，可得由以上两式消去的公比为，，整理得，解得或）得，当，此时数列为等比数列，，此时数列【点睛】本题考查定比数列的定义及其通项公式的求法，解题时要根据所给出的条件并结合等比数列的有平面平面平面四边形为正方形，,在棱为的中点为平面平面,使得平面平面?使得平面平面平面可得平面，从而有，结合条件可得四边形平行四边形，于是，可得平面．又可根据条件得到平面的判定定理可得结论．（2）在中，由余弦定理得，于是，所以，又两两垂直，故可建立空间直角坐标系，根据空间向量的知识求解．【详解】(1)∵平面平面平面平面平面.平面，∴四边形为平行四边形，．平面平面平面．，又平面平面平面．平面平面，平面平面）在中，由余弦定理得，，∴为直角三角形，且，平面可得两两垂直.依次为则的一个法向量为，即，解得，．设平面的一个法向量为，，得，平面化简得，，故此方程无解，平面【点睛】立体几何中，对于“是否存在”型问题的解答方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步，期中在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系后与临界值表对照可得结论．；设获得某高校自主招生通过的人数为，则可得的分布列．结合可得通过的人数为因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．②设获得某高校自主招生通过的人数为，则，∴的分布列为．列联表；②根据公式计算的值；③比较的值可以确定在多大程度上认为“两个分类变量有关系”；的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握越大．已知椭圆的方程为其离心率且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为作轴的垂线,垂足为,点满足,的轨迹为曲线.求曲线）若直线与曲线且交椭圆于,的面积为的面积为，设，，得根据代入法可得曲线的方程为设直线的方程为，由与圆相切可得．将与，从而得到，求得，，.，，得代人椭圆方程得曲线的方程为由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，，即.消整理得又直线与椭圆交于，故得，，.，.，当且仅当，即时，等号成立．的最大值为．【点睛】求解解析几何中的范围（最值）问题时，可先建立目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数知函数与在交点的解析式；已知若函数的取值范围(1)。

2020年河北省衡水二中高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={x∈Z|x2−2x−3<0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0}2.i是虚数单位，z=4i则|z|=()1−iA. 2B. 2√2C. 4D. 4√23.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A1B1=A0B0−B0B1，A2B2=A1B1−B1B2，A3B3=A2B2−B2B3，…，A n B n=A n−1B n−1−B n−1B n，其中B n−1B n=⋯=B2B3=B1B2=B0B1，n∈N∗.根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0=8m，B0B1=0.5m，则这五层正六边形的周长总和为()A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m4.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A. l⊂α，m⊂β，且l⊥mB. l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC. m⊂α，n⊂β，且l⊥m，l⊥nD. l⊂α，l//m，且m⊥β5.下图可能是下列哪个函数的图象()A. y=x2(x−2)x−1B. y=x(x−2)ln|x−1|C. y=x2ln|x−1|D. y=tanx⋅ln(x+1)6.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 27.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么至多有一名女生参加的概率是()A. 110B. 310C. 35D. 9108.条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“EAN−13”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字(用a1，a2，…，a13表示)组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中a13是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性．图(1)是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号[m]表示不超过m的最大整数(例如[365.8]=365).现有一条形码如图(2)所示(97a37107202551)，其中第3个数被污损，那么这个被污损数字a3是A. 9B. 8C. 7D. 69.如图是1990年−2017年我国劳动年龄(15−64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%10. 设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为k(k >0)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ，若|MF |=3，则直线l 的方程为( )A. y =2√2x +1B. y =√3x +1C. y =√2x +1D. y =2√3x +211. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 和AA 1的中点，则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 12. 若函数在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是( ) A.B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，则双曲线C 的焦距为_______．14. 在等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+⋯+a n =2n −1，则a 12+a 22+⋯+a n 2=______．15. 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f(x)={x 2+2,x ∈[0,1),2−x 2,x ∈[−1,0),且f(x +2)=f(x)，g(x)=2x+5x+2，则方程f (x )=g (x )在区间[−5,1]上的所有实根之和为____．16. 在三棱锥D − ABC 中，AB = BC = DB = DC = 1，当三棱锥D – ABC 的体积最大时，其外接球的表面积为 ____________ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，BC =CD =2，△BCD 的面积是2．(1)求∠BCD 的大小(2)若∠ABD =2∠ACB =60°，求线段AD 的长．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知PA=AC=2，，CE⊥AD与E．(1)求证：AD⊥PC；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且AD=3，求二面角C−PD−A的余弦值．19.已知F1(−1,0)，F2(1,0)为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，△F1AB的周长为8．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)已知P(x0,y0)(y0≠0)是直线l：x=4上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点M(x M,0)，N(x N,0)，则1x M−1+1x N−1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．20.已知函数f(x)=x2−aln x有两个零点x1，x2(x1<x2)，有一个极值点x0．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1+3x2>4x0．21.在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．下表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E 的教师和学生的测评成绩(单位：分)：(1)建立y关于x的回归方程ŷ=b̂x+â；(2)现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．附：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n ，a ̂=y −b ̂x ．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (II)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23. 已知函数f(x)=|x +2a|+|x −a|．(1)当a =1时，求不等式f(x)≥4−|x +2|的解集；(2)设a >0，b >0，f(x)的最小值为t ，若t +3b =3，求1a +2b 的最小值。

2023年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）　一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中．只有一项是符合题目要求地．1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）},N={x|x=2n﹣1,n∈Z},则{1,3,5,7}=（ ）A．∁R（M∩N）B．（∁R M）∩N C．（∁R M）∩（∁R N）D．M∩（∁R N）2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,则|z|=（ ）A．B．C．3D．23．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x地图象向左平移个单位,所得地图象其中地一条对称轴方程为（ ）A．x=0B．x=C．x=D．x=4．已知等差数列{a n},S n为数列{a n}地前n项和,若S n=an2+4n+a﹣4（a∈R）,记数列{}地前n项和为T n,则T10=（ ）A．B．C．D．5．执行如下图所示地程序框图,若输出地s=86,则判断框内地正整数n地所有可能地值为（ ）A．7B．6,7C．6,7,8D．8,96．已知夹角为地两个向量,,,向量满足（）•（）=0,则||地取值范围为（ ）A．[1,]B．[0,2]C．[1,]D．[0,2]7．若实数x、y满足不等式组,且z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,则a地取值范围为（ ）A．0＜a＜1B．a＞1C．a≥1D．a≤08．已知双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地左焦点为F1,P为左支上一点,|PF1|=a,P0与P关于原点对称,且=0．则双曲线地渐近线方程为（ ）A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x9．设函数f（x）=,其中对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立,且g（0）=1,若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）地解集为D,且2e∈D（e为自然对数地底数）,则a地最小值为（ ）A．0B．1C．e D．2e10．某几何体地三视图如下图所示,且该几何体地体积为,则正视图中x地值为（ ）A．B．2C．D．11．已知正项数列{a n}地前n项和为S n,a1=2,且对于任意地正整数n≥2, +=1,设数列{b n}满足b n=a sin,其前4n项和为T4n,则满足T4n≤﹣36地最小正整数n地值为（ ）A．1B．2C．3D．412．若二次函数f（x）=x2+1地图象与曲线C:g（x）=ae x+1（a＞0）存在公共切线,则实数a 地取值范围为（ ）A．（0,]B．（0,]C．[,+∞）D．[,+∞）二．填空题:本大题共4小题．每小题5分．13．数列{a n}地前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n（n≥1）,则S n=_______．14．已知α∈（0,）,若cos（α+）=,则tan（2α+）=_______．15．已知点A、F分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0）地上顶点和左焦点,若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A地三等分点,则椭圆C地标准方程为_______．16．将三项式（x 2+x +1）n 展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:（x 2+x +1）0=1（x 2+x +1）1=x 2+x +1（x 2+x +1）2=x 4+2x 3+3x 2+2x +1（x 2+x +1）3=x 6+3x 5+6x 4+7x 3+6x 2+3x +1…观察多项式系数之间地关系,可以仿照杨辉三角构造如下图所示地广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数地,缺少地数计为0）之和,第k 行共有2k +1个数．若在（1+ax ）（x 2+x +1）5地展开式中,x 7项地系数为75,则实数a 地值为_______．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,设△ABC 地个内角A 、B 、C 对应地三条边分别为a 、b 、c,且角A 、B 、C 成等差数列,a=2,线段AC 地垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点．（1）若△BCD 地面积为,求线段CD 地长；（2）若DE=,求角A 地值．18．如图,已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,CA=CB,侧面AA 1B 1B 是菱形,且∠ABB 1=60°．（I ）求证:AB ⊥B 1C ；（Ⅱ）若AB=B 1C=2,BC=,求二面角B ﹣AB 1﹣C 1地正弦值．19．2023年10月十八届五中全会决定全面放开二胎,这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2023年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对"全面二胎"地赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样地方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表:居民编号28问3577110771024778957755卷得分62806028040880457385（注:表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高）（Ⅰ）列出该地得分为100分地居民编号；（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样地方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对"全面二胎"地赞同程度（不要求算出具体数值,给出结论即可）；（Ⅲ）将得分不低于70分地调查对象称为"持赞同态度"．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民"持赞同态度"居民地更多信息,将调查所得地频率视为概率,从大量地居民中采用随机抽样地方法每次抽取1人,共抽取了4次．（i ）求每次抽取1人,抽到"持赞同态度"居民地概率；（ii ）若设被抽到地4人"持赞同态度"地人数为ξ．每次抽取结果相互独立,求ξ地分布列、期望E （ξ）及其方差D （ξ）．20．已知点M 是抛物线C 1:y 2=2px （p ＞0）地准线与x 轴地交点,点P 是抛物线C 1上地动点,点A 、B 在y 轴上,△APB 地内切圆为圆C 2,（x 一1）2+y 2=1,且|MC 2|=3|OM |为坐标原点．（I ）求抛物线C 1地标准方程；（Ⅱ）求△APB 面积地最小值．21．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+ax +2,g （x ）=lnx ﹣bx,且曲线y=f （x ）在点（0,2）处地切线与x 轴地交点地横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a 地值；（Ⅱ）若m 、n 是函数g （x ）地两个不同零点,求证:f （mn ）＞f （e 2）（其中e 为自然对数地底数）．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图,直线ED与圆相切于点D,且平行于弦BC,连接EC 并延长,交圆于点A,弦BC 和AD 相交于点F ．（I ）求证:AB •FC=AC •FB ；（Ⅱ）若D 、E 、C 、F 四点共圆,且∠ABC=∠CAB,求∠BAC ．[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中,直线l地参数方程为（t为参数,φ∈[0,]）,以坐标原点O为极点,x轴地非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C地圆心C地极坐标为（2,）,半径为2,直线l与圆C相交于M,N两点．（I）求圆C地极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时,弦长|MN|地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．（I）当a=1时,解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）当a=3时,若f（x）≥m恒成立,求实数m地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）参考解析与试卷解析一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中．只有一项是符合题目要求地．1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）},N={x|x=2n﹣1,n∈Z},则{1,3,5,7}=（ ）A．∁R（M∩N）B．（∁R M）∩N C．（∁R M）∩（∁R N）D．M∩（∁R N）【考点】交、并、补集地混合运算．【分析】先化简集合M,根据N={x|x=2n﹣1,n∈Z},和{1,3,5,7}可得解析．【解答】解:∵x2﹣8x＞0,解得x＜0或x＞8,∴M=（﹣∞,0）∪（8,+∞）,∴∁R M=[0,8],∵N={x|x=2n﹣1,n∈Z},∴（∁R M）∩N={1,3,5,7}．故选:B．2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,则|z|=（ ）A．B．C．3D．2【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式地乘除运算求得,再由求得解析．【解答】解:由（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,得=,∴．故选:C．3．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x地图象向左平移个单位,所得地图象其中地一条对称轴方程为（ ）A．x=0B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换．【分析】利用两角差地正弦函数公式可求f（x）=2sin（2x﹣）,根据函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+）,利用正弦函数地对称性即可得解．【解答】解:f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）,将函数地图象向左平移个单位得到函数g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+）,由2x+=kπ+,k∈Z,可得所得地图象地对称轴方程为:x=+,k∈Z,当k=0时,可知函数g（x）图象关于直线x=对称．故选:B．4．已知等差数列{a n},S n为数列{a n}地前n项和,若S n=an2+4n+a﹣4（a∈R）,记数列{}地前n项和为T n,则T10=（ ）A．B．C．D．【考点】数列地求和．【分析】由等差数列{a n}地前n项和地性质及其S n=an2+4n+a﹣4,可得a﹣4=0,a=4．于是S n=4n2+4n.=．利用"裂项求和"方法即可得出．【解答】解:由等差数列{a n}地前n项和地性质及其S n=an2+4n+a﹣4,可得a﹣4=0,解得a=4．∴S n=4n2+4n．∴=．∴T10=+…+==．故选:D．5．执行如下图所示地程序框图,若输出地s=86,则判断框内地正整数n地所有可能地值为（ ）A．7B．6,7C．6,7,8D．8,9【考点】程序框图．【分析】由已知中地程序框图可知:该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量s地值,模拟程序地运行过程,分析循环中各变量值地变化情况,可得解析．【解答】解:模拟执行程序,可得s=1,k=0执行循环体,s=2,k=2不满足条件2＞n,执行循环体,s=6,k=4不满足条件4＞n,执行循环体,s=22,k=6不满足条件6＞n,执行循环体,s=86,k=8此时,应该满足条件8＞n,执行循环体,退出循环,输出s地值为86,所以,判断框内n地值满足条件:6≤n＜8,则判断框内地正整数n地所有可能地值为6,7．故选:B．6．已知夹角为地两个向量,,,向量满足（）•（）=0,则||地取值范围为（ ）A．[1,]B．[0,2]C．[1,]D．[0,2]【考点】平面向量数量积地运算．【分析】由向量垂直地条件可得•=0,运用向量地平方即为模地平方,可得|+|=2,再化简运用向量地数量积地定义,结合余弦函数地值域,即可得到所求最大值,进而得到所求范围．【解答】解:由题意可得•=0,可得|+|==2,（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜+,＞=0,即为||=2cos＜+,＞,当cos＜+,＞=1即+,同向时,||地最大值是2．则||地取值范围为[0,2]．故选:B．7．若实数x、y满足不等式组,且z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,则a地取值范围为（ ）A．0＜a＜1B．a＞1C．a≥1D．a≤0【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域,化z=ax+y为y=﹣ax+z,从而可得﹣a＜﹣1,从而解得．【解答】解:由题意作平面区域如下,,z=ax+y可化为y=﹣ax+z,∵z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,∴﹣a＜﹣1,∴a＞1,故选:B．8．已知双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地左焦点为F1,P为左支上一点,|PF1|=a,P0与P关于原点对称,且=0．则双曲线地渐近线方程为（ ）A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x【考点】双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地定义结合直角三角形地边角关系进行求解即可．【解答】解:设双曲线地右焦点为F2,则由对称性知,|P0F2|=|PF1|=a,则|P0F1|﹣|P0F2|=2a,即|P0F1|=3a,∵=0,∴P0F1⊥PF1,即P0F1⊥P0F2,则4c2=（3a）2+a2=10a2=4（a2+b2）即3a2=4b2,则,即=,即双曲线地渐近线方程为y=x,故选:C．9．设函数f（x）=,其中对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立,且g（0）=1,若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）地解集为D,且2e∈D（e为自然对数地底数）,则a地最小值为（ ）A．0B．1C．e D．2e【考点】函数地图象．【分析】根据函数地单调性地定义可得g（x）在（﹣∞,0]内单调递增,根据题意作出函数f （x）地简图,利用树形结合地思想即可求出．【解答】解:对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）,∴[g（x2）﹣g（x1）]（x2﹣x1）＞0,∴g（x）在（﹣∞,0]内单调递增,根据题意作出函数f（x）地简图,如图所述,令f（x）≤1,由f（x）地图象可知x≤e,若f（x﹣a）≤1,则x≤e+a,∴D=（﹣∞,e+a],又2e∈D,∴2e≤a+e,∴a≥e,则a地最小值是e,故选:C．10．某几何体地三视图如下图所示,且该几何体地体积为,则正视图中x地值为（ ）A．B．2C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分,画出直观图求出几何体地棱,结合几何体地体积和柱体地体积公式列出方程,求出x即可．【解答】解:根据三视图知几何体是:直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分,直观图如下图所示:其中AB=x,且BC=2,长方体底面地宽是,∵该几何体地体积为,∴=,解得x=,故选:D．11．已知正项数列{a n}地前n项和为S n,a1=2,且对于任意地正整数n≥2, +=1,设数列{b n}满足b n=a sin,其前4n项和为T4n,则满足T4n≤﹣36地最小正整数n地值为（ ）A．1B．2C．3D．4【考点】数列递推式．【分析】先由递推公式得到数列{a n}是以2为首项吗,以1为公差地等差数列,再求出b n,分别计算前4项和,5﹣8项和,9﹣12项和,找到规律得到T4n递减,当n=2时,满足,问题得以解决．【解答】解:由题意可得,当n=2时, +=1,∴=1,即a22﹣a2﹣6=0,解得a2=3或a2=﹣2（舍去）,当n≥2, +=1,∴2（S n+1）+S n﹣1•a n=a n（S n+1）,∴2（S n+1）+（S n﹣a n）a n=a n（S n+1）,∴2S n+2=a n2+a n,当n≥3时,2S n﹣1+2=a n﹣12+an﹣1,两式相减得2a n=a n2+a n﹣a n﹣12﹣an﹣1,∴a n+a n﹣1=a n2﹣a n﹣12,∵正项数列{a n},∴a n﹣a n﹣1=1,（n≥3）,∵a2﹣a1=1,∴数列{a n}是以2为首项吗,以1为公差地等差数列,∴a n=2+（n﹣1）=n+1,∴b n=（n+1）2sin,∴当n=1时,sin=1,n=2时,sinπ=0,n=3时,sin=﹣1,n=4时,sin2π=0,∴b1+b2+b3+b4=4+0﹣16+0=﹣12,b5+b6+b7+b8=36+0﹣64+0=﹣28,b9+b10+b11+b12=102+0﹣122+0=﹣44,…b4n﹣3+b4n﹣2+b4n﹣1+b n=（4n﹣2）2﹣（4n）2=﹣2（8n﹣2）=4﹣16n＜0,∴T4n递减,当n=2时,满足,故选:B12．若二次函数f（x）=x2+1地图象与曲线C:g（x）=ae x+1（a＞0）存在公共切线,则实数a 地取值范围为（ ）A．（0,]B．（0,]C．[,+∞）D．[,+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设公切线与f（x）、g（x）地切点坐标,由导数几何意义、斜率公式列出方程化简,分离出a后构造函数,利用导数求出函数地单调区间、最值,即可求出实数a地取值范围．【解答】解:设公切线与f（x）=x2+1地图象切于点（x1,）,与曲线C:g（x）=ae x+1切于点（x2,）,∴2x1===,化简可得,2x1=,得x1=0或2x2=x1+2,∵2x1=,且a＞0,∴x1＞0,则2x2=x1+2＞2,即x2＞1,由2x1=得a==,设h（x）=（x＞1）,则h′（x）=,∴h（x）在（1,2）上递增,在（2,+∞）上递减,∴h（x）max=h（2）=,∴实数a地取值范围为（0,],故选:A．二．填空题:本大题共4小题．每小题5分．13．数列{a n}地前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n（n≥1）,则S n=3n．【考点】数列递推式．【分析】由a n+1=2S n（n≥1）,可得S n+1﹣S n=2S n,即S n+1=3S n利用等比数列地通项公式即可得出．【解答】解:∵a n+1=2S n（n≥1）,∴S n+1﹣S n=2S n,即S n+1=3S n,∴数列{S n}是等比数列,首项为S1=3,公比为q=3,∴S n=3•3n﹣1=3n．故解析为:3n．14．已知α∈（0,）,若cos（α+）=,则tan（2α+）=．【考点】三角函数中地恒等变换应用．【分析】由同角三角函数关系得sin（α+）=,由二倍角公式得tan[2（α+）]=,由两角差地正切公式得结果．【解答】解:∵cos（α+）=,α∈（0,）,∵cos2（α+）+sin2（α+）=1,α+∈（,）∴sin（α+）=,∴tan（α+）=,∴tan[2（α+）]==,∴tan（2α+）=tan（2α+﹣）=tan[2（α+）﹣]=．15．已知点A、F分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0）地上顶点和左焦点,若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A地三等分点,则椭圆C地标准方程为=1．【考点】椭圆地简单性质；椭圆地标准方程．【分析】如下图所示,设|AT|=m,|FT|=2m,即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT,可得:|OT|2=|TF||AT|,解得m．又|OT|=2,可得b2=2+m2．c2=9m2﹣b2=12．可得a2=b2+c2,即可得出．【解答】解:如下图所示,设|AT|=m,|FT|=2m,即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT,可得:|OT|2=|TF||AT|,∴4=2m2,解得m=．又|OT|=2,∴b2=2+22=6．c2=9m2﹣b2=12．∴a2=b2+c2=18．∴椭圆C地标准方程为=1．故解析为:=1．16．将三项式（x2+x+1）n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间地关系,可以仿照杨辉三角构造如下图所示地广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数地,缺少地数计为0）之和,第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为75,则实数a 地值为1．【考点】归纳推理．【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为30+45a=75,即可求出实数a地值．【解答】解:由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为30+45a=75,所以a=1．故解析为:1．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,设△ABC地个内角A、B、C对应地三条边分别为a、b、c,且角A、B、C成等差数列,a=2,线段AC地垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．（1）若△BCD地面积为,求线段CD地长；（2）若DE=,求角A地值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）先根据三角形地内角A,B,C成等差数列,求出B地度数,再根据三角地面积公式求出BD,再根据余弦定理即可求出,（2）根据垂直平分线地性质得到AC=2AE=,再根据正弦定理,即可求出解析．【解答】解:（1）三角形地内角A,B,C成等差数列,则有2B=A+C．又A+B+C=180°,∴B=60°,∵△BCD地面积为,a=2∴BD•BC•sin60°=,∴BD=,由余弦定理,CD2=BD2+BC2+2BD•BC•cos60°=+4+2××2×=,∴CD=,（2）∵线段AC地垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点,DE=,∴AE=,∴AC=2AE=2×=,由正弦定理可得=,即=,∴cosA=,∵0＜A＜180°,∴A=45°18．如图,已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,侧面AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．（I）求证:AB⊥B1C；（Ⅱ）若AB=B1C=2,BC=,求二面角B﹣AB1﹣C1地正弦值．【考点】二面角地平面角及求法；直线与平面垂直地性质．【分析】（1）取AB中点,连接OC,OB1,证明AB⊥平面OCB1,即可证明．AB⊥B1C；（2）建立空间坐标系,求出平面地法向量,利用向量法先求出二面角地余弦值,然后求正弦值即可．【解答】解:（1）∵四边形AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．∴△ABB1是等边三角形,取AB中点,连接OC,OB1,则AB⊥OB1,∵CA=CB,∴AB⊥OC,∵OC∩OB1=O,OB1,OC⊂平面OB1C,∴AB⊥平面OCB1,∴AB⊥B1C；（2）∵△ABB1是等边三角形,AB=2,∴OB1=,∵在△ABC中,AB=2,BC=AC=,O为AB地中点,∴OC=1,∵B1C=2,0B1=,∴OB12+OC2=B1C2,∴OB1⊥OC,∵OB1⊥AB,∴OB1⊥平面ABC,以O为坐标原点,OB,OC,OB1地方向为x,y,z轴地正向,建立如下图所示地坐标系,可得A（﹣1,0,0）,B1（0,0,）,B（1,0,0）,C（0,1,0）,则=+=+=（﹣1,1,）,则C（﹣1,1,）,=（1,0,）,=（0,1,）,则平面BAB1地一个法向量为=（0,1,0）,设=（x,y,z）为平面AB1C1地法向量,则:•=x+z=0,•=y+z=0,令z=﹣1,则x=y=,可得=（,,﹣1）,故cos＜,＞==,则sin＜,＞==,即二面角B﹣AB1﹣C1地正弦值是．19．2023年10月十八届五中全会决定全面放开二胎,这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2023年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对"全面二胎"地赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样地方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表:居民编号2 8问卷得分3652787161072781024478788945577735 855（注:表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高）（Ⅰ）列出该地得分为100分地居民编号；（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样地方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对"全面二胎"地赞同程度（不要求算出具体数值,给出结论即可）；（Ⅲ）将得分不低于70分地调查对象称为"持赞同态度"．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民"持赞同态度"居民地更多信息,将调查所得地频率视为概率,从大量地居民中采用随机抽样地方法每次抽取1人,共抽取了4次．（i）求每次抽取1人,抽到"持赞同态度"居民地概率；（ii）若设被抽到地4人"持赞同态度"地人数为ξ．每次抽取结果相互独立,求ξ地分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生地概率；离散型随机变量地期望与方差．【分析】（Ⅰ）数列{a n}为由小到大排列居民编号,依题意知数列{a n}为等差数列,即可求出解析；（Ⅱ）根据茎叶图和平均数中位数即可判断农村居民"全面二胎"地赞同程度要高于城市居民；（Ⅲ）（i）城市居民"持赞同态度"地居民有12人,即可求出解析,（ii）由题意知ξ～B（4,）,故ξ地分步列如下表,根据数学期望和方差地计算公式计算即可．【解答】解:（Ⅰ）记数列{a n}为由小到大排列居民编号,依题意知数列{a n}为等差数列,公差d=10,且a3=28,得到为100分地居民编号分别对应为a6,a9,则a6=a3+3d=58,a9=a3+6d=88,所以得分为100分地居民编号分别为58,88,（Ⅱ）通过茎叶图可以看出,该地区农村居民问卷得分地平均值明显高于城市居民问卷得分地平均值,农村居民问卷得分地中位数为（94+96）=95,城市居民问卷得分地中位数为（72+73）=72.5,农村居民问卷得分地中位数明显高于城市居民问卷得分地中位数,所以农村居民"全面二胎"地赞同程度要高于城市居民；（Ⅲ）（i）城市居民"持赞同态度"地居民有12人,每次抽到"持赞同态度"居民地概率为=,（ii）由题意知ξ～B（4,）,故ξ地分步列如下表,ξ01234PE（ξ）=4×=所以D（ξ）=np（1﹣p）=4××=20．已知点M是抛物线C1:y2=2px（p＞0）地准线与x轴地交点,点P是抛物线C1上地动点,点A、B在y轴上,△APB地内切圆为圆C2,（x一1）2+y2=1,且|MC2|=3|OM|为坐标原点．（I）求抛物线C1地标准方程；（Ⅱ）求△APB面积地最小值．【考点】抛物线地简单性质；抛物线地标准方程．【分析】（I）求出M（﹣,0）,可得=,即可求抛物线C1地标准方程；（Ⅱ）设P（x0,y0）,A（0,b）,B（0,c）,求得直线PA地方程,运用直线和圆相切地条件:d=r,求得b,c地关系,求得△PAB地面积,结合基本不等式,即可得到最小值．【解答】解:（I）由题意,C2（1,0）,∵|MC2|=3|OM|,∴M（﹣,0）,∴=,∴p=1,∴抛物线C1地标准方程是y2=2x；（Ⅱ）设P（x0,y0）,A（0,b）,B（0,c）,直线PA地方程为:（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0,又圆心（1,0）到PA地距离为1,即=1,整理得:（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0,同理可得:（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0,所以,可知b,c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0地两根,所以b+c=,bc=,依题意bc＜0,即x0＞2,则（c﹣b）2=,因为y02=2x0,所以:|b﹣c|=||所以S=|b﹣c|•|x0|=（x0﹣2）++4≥8当x0=4时上式取得等号,所以△PAB面积最小值为8．21．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+2,g（x）=lnx﹣bx,且曲线y=f（x）在点（0,2）处地切线与x轴地交点地横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a地值；（Ⅱ）若m、n是函数g（x）地两个不同零点,求证:f（mn）＞f（e2）（其中e为自然对数地底数）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点地判定定理．【分析】（Ⅰ）求出f（x）地导数,可得切线地斜率,运用两点地斜率公式可得a=3:（Ⅱ）求出f（x）地导数,可得f（x）在R上递增,要证f（mn）＞f（e2）,只需证mn＞e2,m、n是函数g（x）地两个不同零点,可得lnm=bm,lnn=bn,相加减,可得ln（mn）=ln•=ln•,设m＞n＞0,令t=＞1,则h（t）=lnt•,只需证得当t＞1时,h（t）＞2．设φ（t）=lnt+﹣2,求得导数,判断单调性,即可得证．【解答】解:（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣x2+ax+2地导数为f′（x）=x2﹣2x+a,可得曲线y=f（x）在点（0,2）处地切线斜率为k=a,由两点地斜率可得=a,解得a=3；（Ⅱ）证明:f（x）=x3﹣x2+x+2地导数为f′（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0,即有f（x）在R上递增,要证f（mn）＞f（e2）,只需证mn＞e2,m、n是函数g（x）地两个不同零点,可得lnm=bm,lnn=bn,相减可得lnm﹣lnn=b（m﹣n）,相加可得lnm+lnn=b（m+n）,可得b==,即有ln（mn）=ln•=ln•,设m＞n＞0,令t=＞1,则h（t）=lnt•,下证当t＞1时,h（t）＞2．即当t＞1时,lnt•＞2,即lnt＞=2（1﹣）,只需证t＞1时,lnt+﹣2＞0,设φ（t）=lnt+﹣2,则φ′（t）=﹣=＞0,即φ（t）在（1,+∞）递增,可得φ（t）＞φ（1）=0,即ln（mn）＞2,故f（mn）＞f（e2）．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图,直线ED与圆相切于点D,且平行于弦BC,连接EC并延长,交圆于点A,弦BC和AD 相交于点F．（I）求证:AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆,且∠ABC=∠CAB,求∠BAC．【考点】与圆有关地比例线段；圆內接多边形地性质与判定．【分析】（I）连接CD,证明:△CFD∽△ACD,得到,即可证明AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）证明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB,即可求∠BAC．【解答】（I）证明:连接CD,∵直线ED与圆相切于点D,∴∠EDC=∠EAD,∵ED∥BC,∴∠EDC=∠DCB,∴∠EAD=∠DCB,∴∠CAD=∠DCF,∵∠CDF=∠ADC,∴△CFD∽△ACD,∴,∴AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）解:∵D、E、C、F四点共圆,∴∠CFA=∠CED,∵ED∥BC,∴∠ACF=∠CED,∴∠ACF=∠CFA．由（I）可知∠EAD=∠DCB,∠DCB=∠DAB,∴∠EAD=∠DAB,设∠EAD=∠DAB=x,则∠ABC=∠CAB=2x,∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x,在等腰△ACF中,∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x,∴x=∴∠BAC=2x=．[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy 中,直线l 地参数方程为（t 为参数,φ∈[0,]）,以坐标原点O 为极点,x 轴地非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,半径为2,直线l 与圆C 相交于M,N 两点．（I ）求圆C 地极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时,弦长|MN |地取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线地极坐标方程．【分析】（I ）由圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,即,半径为2,可得圆地标准方程为: =4,展开 利用互化公式即可化为极坐标方程．（II ）把直线l 地参数方程代入圆C 地方程可得:t 2+2tcos φ﹣3=0,利用根与系数地关系可得:|MN |=|t 1﹣t 2|=,再利用三角函数地单调性与值域即可得出．【解答】解:（I ）由圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,即,半径为2,可得圆地标准方程为:=4,展开可得:x 2+y 2﹣2x ﹣2y=0,化为极坐标方程:ρ2﹣2ρcos θ﹣2ρsin θ=0,即ρ=2cos θ+2sin θ=4cos ．（II ）把直线l 地参数方程代入圆C 地方程可得:t 2+2tcos φ﹣3=0,∴t 1+t 2=﹣2cos φ,t 1t 2=﹣3．∴|MN |=|t 1﹣t 2|==2,∵φ∈[0,],∴cos φ∈,cos 2φ∈．∴|MN |∈．[选修4-5:不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣a |．（I）当a=1时,解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）当a=3时,若f（x）≥m恒成立,求实数m地取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式地解法．【分析】（Ⅰ）a=1时,通过讨论x地范围,求出各个区间上地不等式地解集,取并集即可；（Ⅱ）a=3时,通过讨论x地范围,求出f（x）地最小值,从而求出m地范围即可．【解答】解:（Ⅰ）a=1时,f（x）=2|x﹣1|+|x﹣2|=,x≤1时,4﹣3x≤2,解得:≤x≤1,1＜x＜2时,x≤2,∴1＜x＜2,x≥2时,3x﹣4≤2,∴x=2,综上,不等式地解集是{x|≤x≤2}；（Ⅱ）a=3时,f（x）=,x≤1时,6﹣3x≥3,∴f（x）≥3,1＜x≤2时,2≤4﹣x＜3,∴2≤f（x）＜3,2＜x≤3时,2＜f（x）≤3,x＞3时,3x﹣6＞3,∴f（x）＞3,综上,x=2时,f（x）地最小值是2,若f（x）≥m恒成立,则m≤2,故实数m地范围是（﹣∞,2]．2023年9月8日。

河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.已知，则、、的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，，，故选：B．根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数，幂函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3.已知，则的值为A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】解：由，得，．．故选：A．由已知求得，然后展开两角和的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和的正切，是基础题．4.等差数列的前n项和为，且，则A. 5B. 10C. 15D. 45【答案】D【解析】解：等差数列的前n项和为，且，，解得，．故选：D．由等差数列通项公式得，求出，由此能求出的值．本题考查等差数列的前9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.在平行四边形ABCD中，设，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，故选：A．由向量的线性运算得：，得解．本题考查了向量的线性运算，属简单题．6.若在数列中，，，，则A. 84B. 340C. 670D. 1364【答案】B【解析】解：根据题意，数列中，，，，则数列为等比数列，且，公比，则，则．故选：B．根据题意，由等比数列的定义可得数列为等比数列，且，公比，进而可得，则，计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式的计算，关键是求出数列的通项公式．7.在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】解：解法Ⅰ，由题意，，，，，且，又，；，，．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由，，，，，知，．故选：C．解法Ⅰ，由题意判断，且，再利用余弦定理求出MN和的余弦值，计算即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，由题意求得的值．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．8.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，则线段PQ的长为A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】解：圆C的参数方程为为参数．圆C的普通方程为，圆C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程是，射线OM：圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，设，由，解得，设，由，解得，线段PQ的长为．故选：C．由圆C的参数方程求出圆C的普通方程，进而求出圆C的极坐标方程，设，由，解得，设，由，解得，线段PQ的长为，由此能求出结果．本题考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列选项不成立的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数为奇函数D. 函数在区间上单调递减【答案】D【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则的最小正周期为，故A成立；当时，为最大值，故函数的图象关于直线对称，故B正确；显然，为奇函数，故C正确；在区间上，，没有单调性，故D错误，故选：D．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的性质，属于基础题．10.已知函数是自然对数底数，方程有四个实数根，则t的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数是自然对数底数，易知在上是增函数，当时，，，故在上是增函数，在上是减函数；作出函数图象如下；且；若方程有四个实数根，则方程有两个不同的实根，且，，，或；解得，，的取值范围是故选：B．根据的解析式，利用导数确定函数的单调性，作出函数的简图，根据函数的图象与性质求得t的取值范围．本题考查了分段函数的应用和导数的综合应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是中档题．11.已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数，，由题意可得，，则，又在区间内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：或，解得故选：D．利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力，是中档题．12.已知，，，成等比数列，且，若，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：，，，成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，，设公比为q，当时，，，不成立，即：，，，，不成立，排除A、D．当时，，，等式不成立，所以；当时，，，不成立，当时，，，并且，能够成立，故选：B．利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，且，则______．【答案】【解析】解：，且，．故答案为．由余弦的万能公式变形即可．本题考查余弦的万能公式．14.已知，当最小时，______．【答案】【解析】解：，，可得，可得，即有，当时，最小，且为2，，故答案为：．运用向量的加减运算，求得向量OC的坐标，再由向量模的公式，结合二次函数的最值求法，可得所求值．本题考查向量的坐标运算和模的计算，运用二次函数的最值求法是解题的关键，属于中档题．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，，则______．【答案】2【解析】解：，，，由，可得：，，，，，可得：，解得：，，或舍去，，由正弦定理可得：．故答案为：2．由已知及正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，，利用二倍角的余弦函数公式可求，可求的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求，进而利用正弦定理可求b的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知表示不超过x的最大整数，例如：，在数列中，，，记为数列的前n项和，则______．【答案】4947【解析】解：，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：4947根据题意，归纳可以得到，，，，，，，，，，，，，，，，求和即可本题考查数列的项数n的求法、新定义、对数性质，考查了猜想归纳、分析问题和解决问题的能力，考察了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．求函数的单调区间；求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应x的值．【答案】解：．令，，解得，；令，解得，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，，当，即时，的最小值为；当，即时，的最大值为1．【解析】利用辅助角公式以及两角和差的公式进行化简即可．求出角在上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出函数的表达式是解决本题的关键．18.各项均为正数的数列的前n项和为，满足，，各项均为正数的等比数列满足，．求数列和的通项公式；若，数列的前n项和为，求．【答案】解：，当时，，两式相减得，即，又各项均为正数，．又当时，，解得，满足上式，为首项为1，公差为3的等差数列，，．又，，可得公比为2，，．由知，，，，两式相减得，，．【解析】运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式可得所求通项公式；求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角B的大小；设，，D为AC上一点，若，求AD的长．【答案】解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，化简可得，又因为，所以．在中，由余弦定理及，，，得，解得，又，所以，所以．【解析】由正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可求B的值．在中，由余弦定理可得c的值，利用三角形面积公式可求的面积，根据三角形面积公式即可解得．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.设函数当时，求函数的单调区间；当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【答案】解：依题意，知的定义域为，当时，，，令，解得：或舍去，经检验，是方程的根．当时，，当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．当，时，，由得，又因为，所以，要使方程在区间内有唯一实数解，只需有唯一实数解，令，，由，得：，由，得，所以在区间上是增函数，在区间上是减函数，，，，所以或．【解析】将a，b的值代入，求出函数的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；将a，b的值代入函数的表达式，问题转化为只需有唯一实数解，求出函数的单调性，从而求出m的范围．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．21.设正数列的前项和为n，且．求数列的通项公式．若数列，设为数列的前n项的和，求．若对一切恒成立，求实数的最小值．【答案】解：正数列的前n项和为，且，，，，，解得，，，，当时，，．，，对一切恒成立，，，当且仅当时取等号，故实数的最小值为【解析】由已知条件，利用数列的性质，推导出，，从而得到，由此能求出数列的通项公式．求出的通项公式，再根据列项求和即可求出求．将分离出来得，利用基本不等式即可求出．本题主要考查了恒成立问题，以及等比数列的通项和裂项求和法，属于中档题．22.已知，．如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；在的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；已知不等式恒成立，若方程恰有两个不等实根，求m的取值范围．【答案】解：，由题意的解集为，即的两根分别是，1，代入得，分由知，，，，点处的切线斜率，函数的图象在点处的切线方程为，即分由题意知对上恒成立，可得对上恒成立，分设，则，令，得，舍，当时，0'/>；当时，，当时，取得最大值，，分令，则，所以在递减，在递增，，，当时，，所以要把方程恰有两个不等实根，只需分【解析】求出函数的导数，根据不等式和方程的根的关系求出a的值，求出函数的解析式即可；求出函数的导数，计算和的值，求出切线方程即可；问题转化为对上恒成立，设，根据函数的单调性求出的最大值，从而求出a的范围，再求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．14．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．101112．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b二、填空题（共4小题）.13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5}解：由题意得∁U B＝{1，3，5}，所以A∩∁U B＝{5}．故选：A．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．解：由sinα＞0，cosα＜0，可得α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，对于A，可得sin2α＝2sinαcosα＜0，错误；对于B，当α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z时，cosα∈（﹣1，0），此时cos2α＝2cos2α﹣1∈（﹣1，1），错误；对于C，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，可得，正确；对于D，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，当k为偶数时，可得sin＞0，错误；故选：C．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．1解：因为z＝a+（a﹣1）i，所以，所以|z|的最小值为，故选：B．4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或解：过点（0，1）和（2，1），半径为的圆的圆心（1，﹣1）或（1，3）．过点（0，1），（2，1）且半径为的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，则圆心到直线y＝2x﹣1的距离为或，则弦长＝．故选：B．5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：设该四棱锥为P﹣ABCD，则由题意可知四棱锥P﹣ABCD满足底面ABCD为矩形，则：平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD 所成的角，则，，所以．故选：C．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：双曲线的焦点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为，解得，所以．又c2＝a2+b2，所以b2＝3a2．因为点在双曲线上，所以，所以a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为．故选：D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13解：由12∧m＝1100∧n＝0001，可得n＝1101，表示成十进制为13，所以m＝13．故选：D．8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（4+x）＝f（﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（8+x）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，故②正确；由f（8+x）＝f（x）可得f（8﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（8﹣x）+f（x）＝0，故①正确；为奇函数满足f（x）+f（﹣x）＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故③正确；由f（x）为奇函数且定义域为R知，f（0）＝0，又f（x）为周期函数，所以f（x）有无数个零点，故④正确．故选：D．9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．解：设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．因为三棱锥P﹣ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC．在Rt△AO1O中，由，且OO1＝R﹣h＝1，得．因为△ABC为等边三角形，所以，所以．故选：C．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第n﹣1由甲掷，第n次由甲掷，概率为，二是第n﹣1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．1011解：由题意得a1＝﹣1，a2＝0，a3＝3，a4＝﹣2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝﹣2，a9＝﹣7，a10＝0，a11＝﹣1，a12＝0，…∴数列{a n}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202+（﹣1）＝1009，故选：C．12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b解：因为，所以a＜b．因为函数f（x）＝e x ln|x|在区间（0，+∞）上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g（x）＝x﹣elnx，则，当x≥e时，g'（x）≥0，所以g（x）在区间[e，+∞）上单调递增，所以g（3）＝3﹣eln3＞g（e）＝0，所以3＞eln3．所以e3＞3e，所以d＞c，所以d＞c＞b＞a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为[0，4]．解：，，设与的夹角为α，则：，∵α∈[0，π]，∴0≤8﹣8cosα≤16，∴，∴的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为48．解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A21A22＝4种，乙第三个到达有A21A21A22＝8种，乙第四个到达有A32A22＝12种，乙最后到达有A44＝24种，所以不同的情况种数为4+8+12+24＝48．故答案为：48．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为3n或（3n2+3n）．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，可得a1+d＝3，①由a3是a1与a9的等比中项，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为da1＝d2，②由①②可得a1＝d＝或a1＝3，d＝0，当a1＝3，d＝0时，＝a2+a4+…+a2n＝3+3+…+3＝3n；当a1＝d＝时，＝a2+a4+…+a2n＝3+6+…+3n＝（3n2+3n）．故答案为：3n或（3n2+3n）．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为②③④．解：对于①，当长方体为正方体时，BD1⊥AC，故①错误；对于②，如图，设AD＝x，则AA1＝2﹣x（0＜x＜2），所以，当x＝1时，BD1的最小值为，即长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为3π，故②正确；对于③，设点E到平面A1B1D的距离为h，如图，由，可得，所以由②可知，，其中，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，所以，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为S＝2x+2x（2﹣x）+2（2﹣x）＝4+4x﹣2x2＝﹣2（x﹣1）2+6，当x＝1时，S的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．解：（1）在△ABC中，，由余弦定理得．因为0＜∠ABC＜π，所以，所以．（2）由知，BC∥AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．解：用A i表示第i位同学选择A组合，用B i表示第i位同学选择B组合，用∁i表示第i 位同学选择C组合，i＝1，2，3．由题意可知，A i，B i，∁i互相独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η~B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η0123P所以．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接PQ，AQ．因为P，Q为CF，BF的中点，所以PQ∥BC，且．又因为AD∥BC，BC＝2AD，所以PQ∥AD，且PQ＝AD，所以四边形ADPQ为平行四边形，所以DP∥AQ．又AQ⊂平面ABFE，DP⊄平面ABFE，所以DP∥平面ABFE．（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD∩平面BAEF＝AB，FB⊥AB，FB⊂平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，所以FB⊥BC．又AB⊥FB，AB⊥BC，所以以B为坐标原点，分别以BA，BC，BF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则．设平面DEF的一个法向量为，则，令z＝1，得．易知平面BCF的一个法向量为，所以．所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．【解答】（1）解：由可知，点（x，y）到点（﹣1，0），（1，0）的距离之和为4，且4＞2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝4，2c＝2，所以曲线C的离心率为．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得b2＝a2﹣c2＝3，所以曲线C的方程为，则F（1，0）．由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由,得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，所以．设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以，＝＝，所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，．综上，为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝x+alnx，a∈R，所以，①当a≥0时，f'（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＞﹣a，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；综上：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；（2）方程g（x）＝mf（x）有两个实根，即关于x的方程x2e x﹣m（x+2lnx）＝0有两个实根，即函数h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）有两个零点，又h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）＝e x+2lnx﹣m（x+2lnx），令t＝x+2lnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且t∈R，所以只需函数u（t）＝e t﹣mt有两个零点，令u（t）＝0，得，令，则，易知当t∈（﹣∞，1）时，φ（t）单调递增，当t∈（1，+∞）时，φ（t）单调递减，所以当t＝1时，φ（t）取得最大值，又因为当t＜0时，φ（t）＜0，当t＞0时，φ（t）＞0，φ（0）＝0，则函数的图象如图所示：所以当，即m∈（e，+∞）时，函数h（x）有两个零点，所以实数m的取值范围为（e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4,由，得，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x﹣y＝b，所以曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．（2）设P（1+2cosα，1﹣2sinα），因为点P到直线x﹣y﹣b＝0的距离为1，所以，化简得①．若关于α的方程①有解，则曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，所以②，或③由②得，由③得，所以b的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．【解答】（1）解：由题意得f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，当x≥2时，原不等式可化为3x﹣3≤9，解得x≤4，故2≤x≤4；（1分）当﹣1≤x＜2时，原不等式可化为5﹣x≤9，解得x≥﹣4，故﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x+3≤9，解得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1．综上，不等式f（x）≤9的解集为[﹣2，4]．（2）证明：因为≥＝，且ab＞0，高中数学资料群734924357所以，当且仅当或时等号成立，高中数学资料群734924357。

河北省衡⽔⼆中2020届⾼考数学⼆模试卷2（含答案解析）河北省衡⽔⼆中2020届⾼考数学⼆模试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共36.0分）1.已知集合A={x|x2<4}，B={0,1，2，4}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1，2}C. {1,2}D. {0,1，2，4}|=√2(i为虚数单位)，则a=()2.若实数a满⾜|1+iaiA. 1B. ±1C. ?2D. ±23.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若⼲个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f(n)．由f(1)=1，f(2)=7，f(3)=19，…，可推出f(10)=()A. 271B. 272C. 273D. 2744.对于平⾯α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是()A. 如果m?α，n//α，m、n共⾯，那么m//nB. 如果m?α，n与α相交，那么m、n是异⾯直线C. 如果m?α，n?α，m、n是异⾯直线，那么n//αD. 如果m⊥α，n⊥m，那么n//α5.下图可能是下列哪个函数的图像()A. y=x2(x?2)x?1B. y=x(x?2)ln|x?1|C. y=x2ln|x?1|D. y=tanx?ln(x+1)6.设a?，b? ，c?为单位向量，且a??b? =0，则c??(a?+b? )的最⼤值为()A. 2B. √2C. 1D. 07.5名同学中有且只有3名同学会说外语，从中任意选取2⼈，则这2⼈都会说外语的概率为()A. 110B. 310C. 710D. 9108.⽤a1、a2、…，a10表⽰某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85，68，95，75，88，92，90，80，78，87.执⾏如图所⽰的程序框图，若分别输⼊a的10个值，则输出的ni?1的值为()A. 35B. 13C. 710D. 799.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收⼊占⽐和净利润占⽐统计表：空调类冰箱类⼩家电类其他类营业收⼊占⽐90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占⽐95.80%?0.48% 3.82%0.86%则下列判断中不正确的是()A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度⼩家电类电器营业收⼊和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占⽐将会降低10.设抛物线x2=4y的焦点为F，过点F作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M，若|MF|=3，则直线l的⽅程为()A. y=2√2x+1B. y=√3x+1C. y=√2x+1D. y=2√3x+211.如图，在三棱锥O?ABC中，OA=OB=OC=1，∠AOB=90°，OC⊥平⾯AOB，D为AB中点，则OD与平⾯OBC所成的⾓为()A. π4B. π3C. π2D. 3π412. 若函数f(x)=e x (e x ?4ax)存在两个极值点，则实数a 的取值范围为( )A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共12.0分）13. 双曲线y 29?x 2b 2=1的离⼼率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是______ ． 14. 已知等⽐数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 2+a 3=7，S 6=63，b n =log 2a n+1，则数列{1b n b n+1}的前2019项的和为______．15. 已知定义在R 上的函数f (x )满⾜：f (x )={x 2+2,x ∈[0,1),2?x 2,x ∈[?1,0),且f (x +2)=f (x ),g (x )=2x+5x+2，则⽅程f (x )=g (x )在区间[?5,1]上的所有实根之和为________．16. 已知在三棱锥S ?ABC 中，SA ⊥平⾯SBC ，∠BSC =90°，SC =1，⼆⾯A ?BC ?S 为45°，⼆⾯⾓B ?AC ?S 为60°，则三棱锥S ?ABC 外接球的表⾯积为______ ．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =π3，AB ：BC =2：3，AC =√7．(1)求sin∠ACB 的值； (2)若∠BCD =3π4，CD =1，求△ACD 的⾯积．18. 如图，在四棱锥S ?ABCD 中，SA ⊥底⾯ABCD ，ABCD 是边长为1的正⽅形，且SA =1，点M是SD 的中点．(1)求证：SC⊥AM；(2)求平⾯SAB与平⾯SCD所成锐⼆⾯⾓的⼤⼩．19.已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的⽅程；(2)过F的直线l交C于A,B两点，交直线x=8于点M.判定直线PA,PM,PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20.已知函数f(x)=12x2+bx+alnx的极⼤值点是1．(1)求实数a的取值范围；(2)若f(x0)=f(1)(x0≠1)，证明：a21. 某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件)908483807568(Ⅰ)若90≤x +y <100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X ，求X 的数学期望；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收⼊?成本)附：线性回归⽅程y ?=b ?x +a ?中系数计算公式：b ?=i ?x?)(?y i ?y?)ni=1∑(?x ?x?)2n ，a ?=y ?b ??x ，其中x 、y 表⽰样本均值．∑(x i ?x )2n i=1=0.7,∑(x i ?x )n i=1(y i ?y )=?14.22. 在直⾓坐标系xOy 中，直线l 1的参数⽅程为{x =?4t +2y =kt?(t 为参数)，直线l 2的参数⽅程为{x =m ?2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，求曲线C 的极坐标⽅程；(II)设曲线C 上的点A 的极⾓为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)?2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23.已知函数f(x)=|x+1|?|4?2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x?1)的解集；(2)若函数f(x)的最⼤值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最⼩值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：考查描交集的运算．可求出集合A，然后进⾏交集的运算即可．解：A={x|?2∴A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：B解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：∵1+iai =?i(1+i)ai2=1?ia=1a1ai，∴|1+iai |=|1a1ai|=√(1a)2+(?1a)2=√2，解得a=±1．故选：B．3.答案：A解析：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和是数列的重要内容之⼀，出等差数列和等⽐数列外，⼤部分的数列求和都需要⼀定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和等根据图象的规律可得f(4)和f(5)的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f(n)?f(n?1)=6(n?1)，进⽽根据合并求和的⽅法求得f(n)的表达式，即可求得f(10)的值．解：由于：f(4)=37，f(5)=61．由于：f(2)?f(1)=7?1=6，f(3)?f(2)=19?7=2×6，f(4)?f(3)=37?19=3×6，f(5)?f(4)=61?37=4×6，因此：当n≥2时，有f(n)?f(n?1)=6(n?1)，所以：f(n)=[f(n)?f(n?1)]+[f(n?1)?f(n?2)]+?+[f(2)?f(1)]+f(1)=6[(n?1)+(n?2)+?+2+1]+1=3n2?3n+1．⼜：f(1)=1=3×12?3×1+1，所以：f(n)=3n2?3n+1．所以：f(10)=3×102?3×10+1=271．故选A．4.答案：A解析：解：A答案中：如果m?α，n//α，则m//n或m与n异⾯，⼜由m、n共⾯，那么m//n，故A正确；B答案中：如果m?α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异⾯直线，故B答案错误；C答案中：如果m?α，n?α，当m、n是异⾯直线时，则n与α可能平⾏，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果m⊥α，n⊥m，那么n//α或n?α故D答案错误；故选：A．本题考查的知识点是空间中直线与平⾯之间的位置关系，如果m?α，n//α，则m//n或m与n异⾯，⼜由m、n共⾯，那么m//n；如果m?α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异⾯直线；如果m?α，n?α，当m、n是异⾯直线时，则n与α可能平⾏，也可能相交；如果m⊥α，n⊥m，那么n//α或n?α.分析后即可得到正确的答案．要判断空间中直线与平⾯的位置关系，有良好的空间想像能⼒，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏或垂直的判定定理及性质定理，并能利⽤教室、三棱锥、长⽅体等实例举出满⾜条件的例⼦或反例是解决问题的重要条件．5.答案：C解析：。

2025届衡水中学高三第二次诊断性检测数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A ．1322i -+ B ．3122i -+ C ．1322i -- D ．3122i -- 2．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．143．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α4．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位5．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．7D ．26．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B C D7．设函数()(1x g x e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．)+∞C ．)+∞D ．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭8．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ）A ．1B C ．±1D ．9．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B C ．73D 10．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种11．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝16，a 3a 4＝﹣32，则S 8＝（ ） A ．﹣21B ．﹣24C ．85D ．﹣8512．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|c ﹣a|﹣|a+b|的值等于（ ）A ．c+bB ．b ﹣cC ．c ﹣2a+bD ．c ﹣2a ﹣b2．某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为（ ）A ．5.035×10﹣6B ．50.35×10﹣5C ．5.035×106D ．5.035×10﹣53．如图，点E 是四边形ABCD 的边BC 延长线上的一点，则下列条件中不能判定AD ∥BE 的是（ ）A ．12∠=∠B ．34∠=∠C ．D 5∠∠= D ．B BAD 180∠∠+=o 4．如果一组数据6、7、x 、9、5的平均数是2x ，那么这组数据的方差为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( )A ．1000(1+x)2=1000+500B ．1000(1+x)2=500C ．500(1+x)2=1000D ．1000(1+2x)=1000+500622783-的结果是（ ） A 3 B ．43 C ．533 D ．37．4的平方根是( )A ．4B ．±4C ．±2D ．28．下列函数中，y 关于x 的二次函数是( )A ．y ＝ax 2+bx+cB ．y ＝x(x ﹣1)C ．y=21x D ．y ＝(x ﹣1)2﹣x 2 9．计算(x －l)(x －2)的结果为（ ）A ．x 2＋2B ．x 2－3x ＋2C ．x 2－3x －3D ．x 2－2x ＋210．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有()个．A．4 B．3 C．2 D．111．关于x的不等式组312(1)x mx x-<⎧⎨->-⎩无解，那么m的取值范围为( )A．m≤－1 B．m<－1 C．－1<m≤0D．－1≤m<012．方程(2)0x x+=的根是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．将数字37000000用科学记数法表示为_____．14．若a+b=5，ab=3，则a2+b2=_____．15．计算：18-2=________.16．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为_____．17．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．18．如图，在四个小正方体搭成的几何体中，每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的三视图的面积之和是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=1．（1）如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ．i ）求证：△CAE ∽△CBF ；ii ）若BE=1，AE=2，求CE 的长；（2）如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB EF k BC FC==时，若BE ＝1，AE=2，CE=3，求k 的值；（3）如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m ，AE=n ，CE=p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）20．（6分）如图，已知：正方形ABCD ，点E 在CB 的延长线上，连接AE 、DE ，DE 与边AB 交于点F ，FG ∥BE 交AE 于点G ．（1）求证：GF=BF ；（2）若EB=1，BC=4，求AG 的长；（3）在BC 边上取点M ，使得BM=BE ，连接AM 交DE 于点O ．求证：FO•ED=OD•EF ．21．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，过点D 作AE 的垂线交AE 于点G ，交AB 延长线于点F ，连接EF ，ED .求证：EF ED =； 若60ABC ∠=︒，6AD =， 2CE =，求EF 的长.22．（8分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A 型丝绸的件数与用8000元采购B 型丝绸的件数相等，一件A 型丝绸进价比一件B 型丝绸进价多100元．（1）求一件A 型、B 型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进A 型、B 型丝绸共50件，其中A 型的件数不大于B 型的件数，且不少于16件，设购进A 型丝绸m 件．①求m 的取值范围．②已知A 型的售价是800元/件，销售成本为2n 元/件；B 型的售价为600元/件，销售成本为n 元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w （元）与n （元）的函数关系式.23．（8分）如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，且BF 是⊙O 的切线，BF 交AC 的延长线于F ．（1）求证：∠CBF=12∠CAB ． （2）若AB=5，sin ∠CBF=5，求BC 和BF 的长． 24．（10分）如图，二次函数y ＝﹣212x +mx+4﹣m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与），轴交于点C ．抛物线的对称轴是直线x ＝﹣2，D 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）当﹣12＜x ＜1时，请求出y 的取值范围； （3）连接AD ，线段OC 上有一点E ，点E 关于直线x ＝﹣2的对称点E'恰好在线段AD 上，求点E 的坐标．25．（10分）如图，在ABC ∆中，AB ＝AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.（1）∠EDB ＝_____︒（用含α的式子表示）（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N.①根据条件补全图形；②写出DM与DN的数量关系并证明；③用等式表示线段BM、CN与BC之间的数量关系，（用含 的锐角三角函数表示）并写出解题思路. 26．（12分）甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量(件)与时间(时)的函数图象如图所示．（1）求甲组加工零件的数量y与时间之间的函数关系式．（2）求乙组加工零件总量a的值．（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？27．（12分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】根据数轴得到b＜a＜0＜c，根据有理数的加法法则，减法法则得到c-a＞0，a+b＜0，根据绝对值的性质化简计算．【详解】由数轴可知，b＜a＜0＜c，∴c-a＞0，a+b＜0，则|c-a|-|a+b|=c-a+a+b=c+b，故选A．【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的性质，能够根据数轴比较实数的大小，掌握绝对值的性质是解题的关键．2．A【解析】试题分析：0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A．考点：科学记数法—表示较小的数．3．A【解析】【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】∵∠1=∠2，∴AB∥CD，选项A符合题意；∵∠3=∠4，∴AD∥BC，选项B不合题意；∵∠D=∠5，∴AD∥BC，选项C不合题意；∵∠B+∠BAD=180°，∴AD∥BC，选项D不合题意，故选A．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．4．A【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．详解：根据题意，得：67955x++++=2x解得：x=3，则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，所以这组数据的方差为15[（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4， 故选A ． 点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．5．A【解析】【分析】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x ，5月份投放科研经费为1000（1+x ），6月份投放科研经费为1000（1+x ）（1+x ），即可得答案.【详解】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x ，则6月份投放科研经费1000（1+x ）2=1000+500，故选A.【点睛】考查一元二次方程的应用，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 6．C【解析】【分析】化简二次根式，并进行二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式即可.【详解】原式·33=3. 故选C.【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.7．C【解析】【分析】根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x ，使得x 1=a ，则x 就是a 的平方根，由此即可解决问题．【详解】∵（±1）1=4，∴4的平方根是±1．故选D ．【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．8．B【解析】【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.【详解】A.当a=0时， y=ax 2+bx+c= bx+c ，不是二次函数，故不符合题意；B. y=x （x ﹣1）=x 2-x ，是二次函数，故符合题意；C. 21y x的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意； D. y=（x ﹣1）2﹣x 2=-2x+1，不是二次函数，故不符合题意；故选B.【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.9．B【解析】【分析】根据多项式的乘法法则计算即可.【详解】(x －l)(x －2)= x 2－2x －x ＋2= x 2－3x ＋2.故选B.【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.10．C【解析】【详解】∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确； 其中正确的有2个，故选C ．考点：中点四边形；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定．11．A【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集，然后再根据不等式组无解得到有关m 的不等式，就可以求出m 的取值范围了.【详解】()03121x m x x -<⎧⎪⎨->-⎪⎩①②， 解不等式①得：x<m ，解不等式②得：x>-1，由于原不等式组无解，所以m≤-1，故选A.【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解问题，熟知一元一次不等式组解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.12．C【解析】试题解析：x （x+1）=0，⇒x=0或x+1=0，解得x 1=0，x 1=-1．故选C ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．3.7×107【解析】【分析】根据科学记数法即可得到答案.【详解】数字37000000用科学记数法表示为3.7×107. 【点睛】本题主要考查了科学记数法的基本概念，解本题的要点在于熟知科学记数法的相关知识.14．1【解析】试题分析：首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解．解：∵a+b=5，∴a2+2ab+b2=25，∵ab=3，∴a2+b2=1．故答案为1．考点：完全平方公式．15．22【解析】试题解析：原式3222 2.=-=故答案为2 2.16．5.5×1．【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：5.5亿=5 5000 0000=5.5×1，故答案为5.5×1．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．17．40°【解析】【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°， ∴∠6+∠7=140°，∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°． 故答案为40°． 【点睛】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键． 18．1 【解析】 【分析】根据三视图的定义求解即可． 【详解】主视图是第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，主视图的面积是4， 俯视图是三个小正方形，俯视图的面积是3，左视图是下边一个小正方形，第二层一个小正方形，左视图的面积是2， 几何体的三视图的面积之和是4+3+2=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）i ）证明见试题解析；ii ；（2；（3）222(2p n m -=+． 【解析】 【分析】（1）i ）由∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，得到∠ACE=∠BCF ，又由于AC CEBC CF==故△CAE ∽△CBF ；ii ）由AEBF=，再由△CAE ∽△CBF ，得到∠CAE=∠CBF ，进一步可得到∠EBF=1°，从而有222222()6CE EF BE BF ==+=，解得CE =（2）连接BF ，同理可得：∠EBF=1°，由AB EFk BC FC==，得到::1:BC AB AC k =::1:CF EF EC k =，故AC AEBC BF==BF =2222222211()k k CE EF BE BF k k++=⨯=+，代入解方程即可；（3）连接BF ，同理可得：∠EBF=1°，过C 作CH ⊥AB 延长线于H ，可得：222::1:1:(22)AB BC AC =+，222::1:1:(22)EF FC EC =+，故22222222(22)(22)()(22)()(22)22p EF BE BF m m n =+=++=++=+++， 从而有222(22)p n m -=+． 【详解】解：（1）i ）∵∠ACE+∠ECB=45°，∠ BCF+∠ECB=45°，∴∠ACE=∠BCF ，又∵2AC CEBC CF==，∴△CAE ∽△CBF ； ii ）∵2AEBF=，∴BF=2，∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE=∠CBF ，又∵∠CAE+∠CBE=1°，∴∠CBF+∠CBE=1°，即∠EBF=1°，∴222222()6CE EF BE BF ==+=，解得6CE =；（2）连接BF ，同理可得：∠EBF=1°，∵AB EFk BC FC==，∴2::1::1BC AB AC k k =+，2::1::1CF EF EC k k =+，∴21AC AE k BC BF==+，∴21BF k =+，2221AE BF k =+，∴2222222211()k k CE EF BE BF k k ++=⨯=+，∴222222123(1)1k k k +=++，解得104k =； （3）连接BF ，同理可得：∠EBF=1°，过C 作CH ⊥AB 延长线于H ，可得：222::1:1:(22)AB BC AC =+，222::1:1:(22)EF FC EC =+，∴22222222(22)(22)()(22)()(22)22p EF BE BF m m n =+=++=++=+++， ∴222(22)p n m -=+．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质；正方形的性质；矩形的性质；菱形的性质．20．（1）证明见解析；（2）AG=4175；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD，根据相似三角形的性质列出比例式，等量代换即可；（2）根据勾股定理求出AE，根据相似三角形的性质计算即可；（3）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到GF FHBE BM=，由于BM＝BE，得到GF＝FH，由GF∥AD，得到EF GFED AD=，FH FOAD OD=等量代换得到EF FHED AD=，即EF GFED AD=，于是得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，∵GF∥BE，∴GF∥BC，∴GF∥AD，∴GF EF AD ED=，∵AB∥CD，BF EFCD ED=，∵AD=CD，∴GF=BF；（2）∵EB=1，BC=4，∴DF BCFE EB==4，AE=2217EB AB+=，∴AG DFGE FE==4，∴AG=417；（3）延长GF交AM于H，∵GF ∥BC ， ∴FH ∥BC ，∴GF AFBE AB =， ∴GF FHBE BM=， ∵BM=BE ， ∴GF=FH ， ∵GF ∥AD ，∴EF GF ED AD =，FH FOAD OD =， ∴EF FHED AD =， ∴EF GFED AD=， ∴FO•ED=OD•EF ． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等．21．（1）详见解析；（2）EF =【解析】 【分析】（1）根据题意AB 平分BAD ∠可得90AGF AGD ∠=∠=︒，从而证明()FAG DAG ASA ∆≅∆即可解答 （2）由（1）可知6AF AD ==，再根据四边形ABCD 是平行四边形可得642BF AF AB =-=-=，过点F 作FH EB ⊥延长线于点H ，再根据勾股定理即可解答 【详解】（1）证明：Q AB 平分BAD ∠FAG DAG ∴∠=∠ DG AE ⊥Q90AGF AGD ∴∠=∠=︒又AG AG =Q()FAG DAG ASA ∴∆≅∆ GF GD ∴=又DF AE ⊥QEF ED ∴=（2）FAG DAG ∆≅∆Q6AF AD∴==Q四边形ABCD是平行四边形//AD BC∴，6BC AD==180******** BAD ABC∴∠=︒-∠=︒-︒=︒1602FAE BAD∴∠=∠=︒60FAE B∴∠=∠=︒ABE∴∆为等边三角形624AB AE BE BC CE∴===-=-=642BF AF AB=-=-=过点F作FH EB⊥延长线于点H.在Rt BFH∆中，60HBF ABC∠=∠=︒30HFB∴∠=︒112BH BF∴==2222213HF BF BH=--=415EH BE BH=+=+=()22223527EF FH EH=+=+=【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题关键在于作好辅助线22．（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元；（2）①1625m≤≤，②7512500(50100)5000(100)6611600(100150)n nw nn n-+≤<⎧⎪==⎨⎪-+<≤⎩．【解析】【分析】（1）根据题意应用分式方程即可；（2）①根据条件中可以列出关于m的不等式组，求m的取值范围；②本问中，首先根据题意，可以先列出销售利润y与m的函数关系，通过讨论所含字母n的取值范围，得到w与n的函数关系．【详解】（1）设B型丝绸的进价为x元，则A型丝绸的进价为()100x+元,根据题意得：100008000100x x=+，解得400x =，经检验，400x =为原方程的解，100500x ∴+=，答：一件A 型、B 型丝绸的进价分别为500元，400元． （2）①根据题意得：5016m m m -⎧⎨⎩„…， m ∴的取值范围为：1625m 剟，②设销售这批丝绸的利润为y ， 根据题意得：()()()8005002600400?50y n m n m =--+---， ()1001000050n m n =-+- 50150n Q 剟，∴（Ⅰ）当50100n <„时，1000n ->，25m =时，销售这批丝绸的最大利润()2510010000507512500w n n n =-+-=-+； （Ⅱ）当100n =时，1000n -=， 销售这批丝绸的最大利润5000w =； （Ⅲ）当100150n <„时，1000n -< 当16m =时，销售这批丝绸的最大利润6611600w n =-+．综上所述：7512500(50100)50001006611600(100150)n n w n n n -+<⎧⎪==⎨⎪-+<⎩„„． 【点睛】本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）问②中，进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题． 23．（1）证明略；（2）BC=52，BF=320. 【解析】试题分析：（1）连结AE.有AB 是⊙O 的直径可得∠AEB=90°再有BF 是⊙O 的切线可得BF ⊥AB ，利用同角的余角相等即可证明；（2）在Rt △ABE 中有三角函数可以求出BE ，又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,过点C 作CG ⊥AB 于点G .可求出AE,再在Rt △ABE 中，求出sin ∠2，cos ∠2.然后再在Rt △CGB 中求出CG ，最后证出△AGC ∽△ABF 有相似的性质求出BF 即可. 试题解析：（1）证明：连结AE.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°. ∵BF 是⊙O 的切线，∴BF ⊥AB ， ∴∠CBF +∠2=90°.∴∠CBF =∠1. ∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴∠1=21∠CAB. ∴∠CBF=21∠CAB.（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G .∵sin ∠CBF=55，∠1=∠CBF ， ∴sin ∠1=55. ∵∠AEB=90°，AB=5. ∴BE=AB·sin ∠1=5. ∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=52.在Rt △ABE 中，由勾股定理得5222=-=BE AB AE . ∴sin ∠2=552，cos ∠2=55.在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2. ∴AG=3. ∵GC ∥BF ， ∴△AGC ∽△ABF. ∴ABAGBF GC =， ∴320=⋅=AG AB GC BF . 考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理. 24．（1）y=﹣12x 1﹣1x+6；（1）72＜y ＜558；（3）（0，4）． 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式求出m 的值，即可确定出解析式；（1）根据x 的范围，利用二次函数的增减性确定出y 的范围即可；（3）根据题意确定出D 与A 坐标，进而求出直线AD 解析式，设出E 坐标，利用对称性确定出E 坐标即可． 【详解】（1）∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，∴﹣122m⨯-（）=﹣1，即m=﹣1，则二次函数解析式为y=﹣12x 1﹣1x+6； （1）当x=﹣12时，y=558；当x=1时，y=72． ∵﹣12＜x ＜1位于对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，∴72＜y ＜558； （3）当x=﹣1时，y=8，∴顶点D 的坐标是（﹣1，8），令y=0，得到：﹣12x 1﹣1x+6=0，解得：x=﹣6或x=1．∵点A 在点B 的左侧，∴点A 坐标为（﹣6，0）． 设直线AD 解析式为y=kx+b ，可得：2860k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：212k b =⎧⎨=⎩，即直线AD 解析式为y=1x+11．设E （0，n ），则有E′（﹣4，n ），代入y=1x+11中得：n=4，则点E 坐标为（0，4）． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 25．（1）α；（2）（2）①见解析；②DM ＝DN ，理由见解析；③数量关系：sin BM CN BC α+=⋅ 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=∠C=90°﹣α，然后利用互余可得到∠EDB=α； （2）①如图，利用∠EDF=180°﹣2α画图；②先利用等腰三角形的性质得到DA 平分∠BAC ，再根据角平分线性质得到DE=DF ，根据四边形内角和得到∠EDF=180°﹣2α，所以∠MDE=∠NDF ，然后证明△MDE ≌△NDF 得到DM=DN ； ③先由△MDE ≌△NDF 可得EM=FN ，再证明△BDE ≌△CDF 得BE=CF ，利用等量代换得到BM+CN=2BE ，然后根据正弦定义得到BE=BDsinα，从而有BM+CN=BC•sinα． 【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C 12=（180°﹣∠A ）=90°﹣α． ∵DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°，∴∠EDB=90°﹣∠B=90°﹣（90°﹣α）=α． 故答案为：α； （2）①如图：②DM=DN ．理由如下：∵AB=AC ，BD=DC ，∴DA 平分∠BAC ． ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE=DF ，∠MED=∠NFD=90°． ∵∠A=2α，∴∠EDF=180°﹣2α． ∵∠MDN=180°﹣2α，∴∠MDE=∠NDF ．在△MDE 和△NDF 中，∵MED NFDDE DF MDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△MDE ≌△NDF ，∴DM=DN ；③数量关系：BM+CN=BC•sinα．证明思路为：先由△MDE ≌△NDF 可得EM=FN ，再证明△BDE ≌△CDF 得BE=CF ，所以BM+CN=BE+EM+CF ﹣FN=2BE ，接着在Rt △BDE 可得BE=BDsinα，从而有BM+CN=BC•sinα． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质． 26． (1)见解析（2）300（3）2小时 【解析】 【分析】 【详解】解：（1）设甲组加工的零件数量y 与时间x 的函数关系式为y kx =． 根据题意，得6360k =，解得60k =．所以，甲组加工的零件数量y 与时间x 的函数关系式为:60y x =. （2）当2x =时，100y =．因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍， 所以，10010024.8 2.82a -=⨯-．解得300a =．（3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y 与时间x 的函数关系式为100100( 2.8)100180y x x =+-=-．当0≤x≤2时，6050300x x +=．解得3011x =．舍去． 当2<x≤2.8时，10060300x +=．解得103x =．舍去．当2.8<x≤4.8时，60100180300x x +-=．解得3x =． 所以，经过3小时恰好装满第1箱．当3<x≤4.8时，601001803002x x +-=⨯．解得398x =．舍去． 当4.8<x≤6时．603003002x +=⨯．解得5x =． 因为5－3=2，所以，再经过2小时恰好装满第2箱．27．（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励． 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x ，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可． 【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意， 得：1280（1+x ）2=1280+1600， 解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%； （2）设今年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意， 得：1000×8×400+（a ﹣1000）×5×400≥5000000， 解得：a≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励． 考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.。

1．A 【解析】因为集合A=｛x ｜39x>｝{}=|2x x >，B=｛x ｜－4＜x ＜3｝，所以A∩B =（2，3）．2．B 【解析】因为1,z i =-所以221221z i i z i+=++=+-，所以选B ．3．C 【解析】A 中，“若24x <，则22x -<<”的逆否命题为“若2x ≥或2x ≤-，则24x ≥”,正确；B 中，p ：存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则非p ：任意x R ∈，都有210x x ++≥，正确；C 中，若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题；D 中，如果22log log a b >，则a b >,故22a b >；当22a b >时，a b >，如果,a b 非正数，22log ,log a b 无意义，所以“22log log a b >”是“22a b >”的充分不必要条件，所以D 正确，故选C. 4．C6．B 【解析】由图可知该几何体是底面是上底长是2，下底长为32的四． 7．A 【解析】函数1()sin 2f x x x =-是奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B,D ，又因为 /1()cos 2f x x =-，当33x ππ-<<时，1cos 2x >，所以当33x ππ-<<时，/()0f x <，所以函数/()f x 在33x ππ-<<上是减函数，所以排除C ，故选A ．8．D 【解析】将点（1,1）代入不等式组221mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩得：221m n n m n +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，画出（m,n ）表示的平面区域，已知不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部（含边界），22m n +表示的是此区域内点（m ，n ）到原点距离的平方，从图中可知这个距离的最小值是1，最大值是2，所以22m n +取值范围是[1,4]．9．D 【解析】由题意，2n ≥时，1122(),n n n n nS S a a a -=+=+所以212.10,n n n a S a -+-=1n n a S -∴=-±0n a >，得：1n n a S -=-，1n n n S a S -=+=，2211n n S S -∴-=，即数列2{}n S 是公差为1的等差数列，又1111122S a a a ==+，解得：1a =1，即11,S =211,S =所以2n S n =，所以2014S=或：由题意可知：1112()n n n n n S S S S S --=-+-，整理得：2112()()1n n n n n S S S S S ---=-+，即：2211n n S S --=，211,S =所以2n S n =，所以2014S=10．C11．B 【解析】对于①：因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，故①不成立；对于②：设点D 的在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时，就有BD ⊥FC ，而AD ：BC ：AB=2：3：4可使条件满足，故②正确；对于③：当点P 落在BF 上时，DP ⊂平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，故③正确．对于④：因为点D 的射影不可能在FC 上，故④不成立．故选B ．12．C 【解析】函数()|ln |f x x =的图象如图所示：当a≤0时，显然，不合题意，当a ＞0时，如图所示，当x ∈（0，1]时，存在一个零点，当x ＞1时，f （x ）=lnx ，可得g （x ）=lnx ﹣ax ，（x ∈（1，2]），g ′（x ）=11axa x x--=，若g ′（x ）＜0，可得x ＞1a ，g （x ）为减函数，若g ′（x ）＞0，可得x ＜1a，g （x ）为增函数，此时f （x ）必须在[1，2]解得，ln 212a e ≤<，在区间（0，2]上有三个零点时，ln 212a e ≤<，故选C ．13．12【解析】因为2456820406070805,5455x y ++++++++====，所以，这组数据的样本中心点是（5，54），把样本中心点代入回归直线方程^10.5,10.55, 1.5y x a a a a =+∴=⨯+∴=，所以加工一个零件所用时间是：10.51 1.512.⨯+=14． 35n a n =-+【解析】首项为正数的等差数列{}n a 中，122a a =-，设公差为d ，则11()2a a d +=-,∴d=112a a --，∴a3=a 1+2d=114()4a a -+≤--，，当且仅当a 1=2时，等号成立，此时，d=112a a --=﹣1﹣2=﹣3．即当d=﹣3时，a 3取最大值．所以数列{}n a 的通项公式是：1(1)2(1)(3)n a a n d n =+-=+-⨯-=35n -+．15．1或32【解析】∵C 为抛物线，方程为：y 2=4x ，∴抛物线的焦点坐标为（1，0），∵△OPF 是等腰三角形，∴OP=OF 或OP=PF 或OF=PF （舍去，因抛物线上点不可能满足），当OP=OF 时，|PO|=|OF|=1；当OP=PF 时，点P 在OF 的垂直平分线上，则点P 的横坐标为12，点P 在抛物线上，则纵坐标为∴32=，综上所述：|PO|= 1或32．16．[4,6] 【解析】设2,,,03AB a AC b BD BC λλ===≤≤，则()AD a b a λ=+-，∵DE=13BC ，∴1()3BE BC λ=+，∴1()()3AE a b a λ=++-，∴AD AE ⋅=(()).a b a λ+- 1(()())3a b a λ++-=((1))a b λλ-+⋅21(()())33a b λλ-++，∵b a ⊥，且||||3b a ==，∴上式可化简为：AD AE ⋅218126λλ=-+ =2118[()43λ-+，∴当13λ=时，AD AE ⋅取最小值为4．当203λλ==或时，AD AE ⋅取最大值为6，∴AD AE ⋅的取值范围是[4,6]．17．解：（1）由题意已知2b cos B=a cos C+c cos A ，由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC ， （3分） 所以2sinBcosB=sin(A+C)=sinB ,在ABC ∆中，sinB ,0≠3,21cos π==B B 所以． （6分）（2） 由b=3，及b 2=a 2+c 2-2accosB 得3=a 2+c 2-ac ≥ac ，当且仅当a=c 时取到等号．所以ac ≤3 （9分） 所以433ABC ,433sin 21的面积的最大值为即∆≤=∆B ac s ABC . （12分） 18．解：（1）1(78912)94x =+++=乙 （2分） 2222217[(7-9)(8-9)(9-9)(12-9)]42s =+++=乙（6分） （2）设个数大于8的共有6棵，设为,,,,,a b c d e f ，从中任选两棵，则={(,),(,),(,,(,e),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,))a b a c a d a a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f Ω），共有15个事件,设A=“两棵西瓜恰好分别在两块土地且个数和大于20”,则A={(9,12),(11,12),(12,9),(12,12)}，共4个事件， （11分） 所以4()15P A =（12分） 19．解：（1）因为△ABC 是等边三角形，所以,BD AC ⊥又因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BD,根据线面垂直的判定定理得11BD A ACC ⊥平面. （2分）又因为1BD BDC ⊂平面,所以平面C 111.BD A ACC ⊥平面 （3分） （2）证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于O ，连接OD ， ∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点．∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB1C 的中位线，∴OD ∥B 1A ．（5分） OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D ． （7分） （3）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，∴侧棱CC 1∥AA 1， 又∵AA 1底面ABC ，∴侧棱CC 1⊥面ABC ，故CC 1为三棱锥C 1﹣BCD 的高，A 1A=CC 1=2，∴0111=(sin 60222BCD S S BC AB =⨯⨯△△ABC ， （10分）∴11111233D BCC C BCD BCD V V CC S --∆==⋅=⨯=． （12分）20．解：（13分） 所以A （2，0），B （0，1）．直线AB ，EF 的方程分别为x+2y=2，y=kx （k ＞0）． 如图，设D （x 0，kx 0），E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程（1+4k 2）x 2=4，故21x x =-=．①由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，得0212x k=+．所以212k =+， 化简得24k 2﹣25k+6=0，解得23k =或38k =． （7分）（2）由题设，|BO|=1，|AO|=2．由（1）知，E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2）， 不妨设y 1=kx 1，y 2=kx 2，由①得x 2＞0，根据E 与F 关于原点对称可知y 2=﹣y 1＞0， 故四边形AEBF 的面积为S=S △OBE +S △OBF +S △OAE +S △OAF=12211111||()||||||()2222OB x OB x OA y OA y ⋅-+⋅+⋅+⋅- =212111||()||()22OB x x OA y y ⋅-+⋅-（9分）=x 2+2y= （12分）21．解：（1）1()g x k x'=+ （1分） 0k ≥时'()0g x >在(0,)+∞恒成立，则()g x 的增区间是(0,)+∞. （2分）0k <时11'()00g x k x x k >⇒>-⇒<<-， 则()g x 的增区间是1(0,)k -； 11'()0g x k x x k <⇒<-⇒>- ，则()g x 的减区间是1(,)k-+∞. （4分）（2）若()()f x g x ≥恒成立，即1ln xaxe x x -≥+ 则ln 1xx x a xe++≥恒成立 （5分） 设ln 1()x x x h x xe ++=，()()()22(1)(ln 1)(1)(ln )'()x x x x x x x e xe e x x x e x x h x xe xe +-++++--== （6分） '()0(ln )0ln 0h x x x x x >⇒-+>⇒+<，令/1()ln ,()10x x x x xμμ=+=+>， 则()x μ在(0,)+∞上递增，且11(1)10,()10e eμμ=>=-+<，所以(0,1)t ∃∈，使得()ln 0t t t μ=+=， （9分）/(0,),()0()>0,()(0,)x t x h x h x t μ∴∈<即在上递增，同理，()(+)h x t ∞在，上递减， 所以max ln ln 111()=h(t)=11.t tt t h x te te t t-++===，所以 1.a ≥ （12分）22．解：（1）证明：连接BP ，因为ABADAP AB AD AP AB =∴⋅=,2， 又因为APB ABD PAB BAD ∆∆∴∠=∠~,，所以,APB ABC ∠=∠ （3分） 因为APB ACB ∠=∠，所以ACB ABC ∠=∠，所以AB=AC ． （5分）（2）由（1）知AB=AC ，因为060=∠ABC ，所以△ABC 是等边三角形，所以060=∠BAC ． 因为P 为弧AC 的中点，所以03021=∠=∠=∠ABC PAC ABP ，所以090=∠BAP ， （7分） 所以BP 是⊙O 的直径，所以BP=2，所以121==BP AP ． 在Rt △PAB 中，由勾股定理得3=AB ，所以23AB AD AP==． （10分） 23．解：（1）利用曲线C 的参数方程得普通方程是：22143x y +=，轨迹是椭圆，其焦点坐标分别是：12(1,0),(1,0)F F -，故2AF K =A 2F 的方程是：1)y x =-． （2分）所以sin()3πρθ+=． （5分）（2）P 是椭圆上任一点（2cos αα），α∈R ，所以1(12cos ,),PF αα=-- 2(12cos ,)PF αα=-， 所以12||.||(PF PF =-==24cos α- （7分）因为α∈R ，所以cos2α∈[0，1]，所以24cos α-∈[3，4]． 所以12||.||PF PF 的取值范围是[3,4]. （10分）24．解：（1）3,2()|1||2|21,213.1x f x x x x x x <-⎧⎪=--+=---≤<⎨⎪-≥⎩（3分） 函数()f x 的图像为：通过图像可以看出函数的最大值是3，最小值是-3．（5分）（2）由（1）知，函数()f x 的最小值是-3，，若关于x 的不等式()||4f x m ≥-恒成立，则3||4m -≥-，即1||m ≥，解得11m -≤≤，故实数m 的取值范围是[-1,1]． （10分）。

2023年5月河北衡水九年级中考数学二模试题卷试卷总分120分，考试时间120分钟.一、选择题.（本大题有16个小题.1~10小题各3分；11~16小题各2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，在同一平面内，经过直线a 外一点O 的4条直线中有一条直线与a 平行，该直线是（）A.OAB.OBC.OCD.OD2.2733=□，则“□”内使等式恒成立的运算符号是（）A.＋B.－C.×D.÷3.将两个相同的立方体按如图所示的方式放置，则左视图为（）A.B.C. D.4.若3?7393⨯=，则“？”表示（）A.1B.2C.3D.45.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和的变化情况是（）A.都不变B.都增加180︒C.内角和增加180︒，外角和减少180︒D.内角和增加180︒，外角和不变6.已知a ，b （0a ≠）互为相反数，下列各组数中，互为相反数的一组为（）A.2a 与2bB.3a 与5bC.2n a 与2nb（n 为正整数）D.21n a+与21n b+（n 为正整数）7.已知5万粒芝麻的总质量约为200克，用科学记数法表示1粒芝麻的质量约为（）A.2410-⨯克B.3410-⨯克C.4410-⨯克D.5410-⨯克8.公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”.若现在已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N 和0.5m ，则动力F （单位：N ）关于动力臂l （单位：m ）的函数图象大致是（）A.B.C.D.9.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD .其中一张纸条在转动过程中（保持重合部分始终是四边形），下列结论一．定．成立的是（）A.四边形ABCD 的周长不变B.AD CD =C.四边形ABCD 的面积不变D.AD BC=10.如图，锐角三角形ABC 中，点D 在BC 上，B BAD CAD ∠=∠=∠.甲、乙二人想在AD 上找一点P ，使得APC ADB ∠=∠，做法分别如下.对于甲、乙二人的做法，下列判断正确的是（）甲的做法作AC 的垂直平分线，交AD 于点P ，则P 即为所求乙的做法以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AD 于点P ，则P 即为所求A.甲、乙皆正确B.甲、乙皆错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确11.长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长为（）A.4B.5C.6D.712.已知m ，n 为实数，且m n ≠，0mn ≠.若11n m m n n m -=-，则m ，n 满足的关系是（）A.1m n +=- B.1m n += C.1m n -= D.1m n -=-13.一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙二人等可能地坐到①，②，③中的2个座位上.设事件1和事件2的概率分别为1P 和2P ，下列正确的是（）事件1：乙坐在②号座位上；事件2：甲与乙不．相邻而坐A.12P P =B.122P P =C.12P P >D.121P P +=14.文艺复兴时期，意大利艺术大师达·芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题.下图称为达·芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为A ，B ，C ，D ，中间两条劣弧 BD所在圆的圆心为点A 和点C .若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A.2B.2C.1π- D.42π-15.数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A ，B ，C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A 同学拿出两张扑克牌给B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学.经过上面三步操作后，若B 同学手中的扑克牌数是A ，C 同学手中扑克牌数的平均数，则最开始发给每个同学的扑克牌数为（）A.7B.8C.9D.1016.题目：“如图，已知30AOB ∠=︒，点M ，N 在边OA 上，OM x =，2MN =，P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有3个，求x 的取值范围.”对于其答案，甲答：0x =，乙答：02x <<，丙答：24x <<，则正确的是（）A.只有甲答得对B.甲、丙答案合在一起才完整C.乙、丙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整二、填空题.（本大题共3个小题，每小题3分，共9分.其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分）17.已知甲、乙两班成绩的方差分别为19.3，5.8，则成绩较为稳定的是______班.18.下图是用12个相似的直角三角形组成的图案.（1）与AOB △位似的三角形是______；（2）已知OKL △的面积是3，则OLM △的面积为______.19.如图9-1，一个玩具火车AB 放置在数轴上作为起始位置，将火车在数轴上水平移动时发现，当点A 移动到点B 时，点B 所对应的数为24；当点B 移动到点A 时，点A 所对应的数为6.（1）玩具火车AB 的长为______个单位长度；（2）数轴上火车AB 的右边相距10个单位长度处有一个隧道MN ，火车AB 以0.5个单位长度/秒的速度向右运动，从出发到完全驶离隧道恰好用了t 秒，则可得隧道MN 的长为______个单位长度（用含t 的代数式表示）；（3）如图9-2，在数轴上放置与AB 大小相同的玩具火车CD ，使原点O 与点C 重合，AB 位于起始位置，两列玩具火车同时在数轴上向右运动（假设两车能并排行驶）.已知CD 的速度为2个单位长度/秒，AB 的速度为1个单位长度/秒.当两车并排行驶，且重叠部分的长度是车身长度的一半时，两车的运动时间为______秒.三、解答题.（本大题共7个小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.（本小题满分9分）已知25A mn n =--.（1）当1m =，2n =-时，求A 的值；（2）当m ，n 互为倒数，且A 的值小于1时，求n 的最小整数值.21.（本小题满分9分）某篮球训练营在一次投篮训练中，有20名学员参加训练，训练方式为每人定点投篮10次，以命中次数作为训练成绩.据统计，此次投篮训练的成绩如图所示.（1）这20名学员此次训练成绩的中位数是______次，众数是______次；（2）求这20名学员此次训练成绩的平均数；（3）若此次训练中，某学员的实际训练成绩为7次，统计时被记录员记少了1次，则此次训练成绩的统计数据中不受．．影响的是______.（填“平均数”“中位数”或“众数”）22.（本小题满分9分）发现任意两个相邻偶数，较大偶数的平方减去较小偶数的平方的差，等于这两个相邻偶数中间的奇数的4倍.验证如，4和2中间的数为3，22421243-==⨯.请你换两个相邻偶数再试试.探究设“发现”中的两个相邻偶数为22n +，2n （n 为整数），请论证“发现”中的结论正确.23.（本小题满分10分）如图11-1，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，假设列车匀速行驶.图11-2是列车离乙地的路程y （千米）与列车从甲地出发后的行驶时间x （小时）之间的函数关系图象.（1）甲、丙两地间的路程为______千米，列车从甲地到丙地共用______小时；（2）求高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）直接．．写出高速列车离乙地的路程不超过100千米的时长.24.（本小题满分10分）如图，O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，且B 是 DF的中点，连接BD ，BF ，EF .（1）判断EBD △与EBF △是否全等，并说明理由；（2）连接OD .已知1AE =，5EB =，30DEB ∠=︒，求CD 的长.25.（本小题满分10分）已知直线l ：()10y ax a a =+≠与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线L ：()2230y ax bx a a =+-≠经过点A ，且与x 轴的另一个交点为点C .（1）点A 的坐标为______；（2）若1a =，求抛物线的解析式和顶点坐标；（3）①点C 的坐标为______；②规定抛物线L 与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点.若抛物线L ：()2230y ax bx a a =+-≠在“G 区域”内有4个整点，请直接．．写出a 的取值范围.26.（本小题满分12分）如图13-1，在矩形ABCD 中，23BC =，6AB =.在Rt EOF △中，90EOF ∠=︒，4EO =，8EF =，点E 在CB 的延长线上，点O 与点B 重合.现将Rt EOF △绕点O 以15︒/秒的速度按顺时针方向旋转，OF 与边AD 交于点P （如图13-2所示），当点P 到达点D 时，Rt EOF △停止旋转，立即改为沿边BC 3个单位长度的速度向点C 平移，当点O 到达点C 时，停止运动.（1）当点P 到达点D 时，求Rt EOF △的运动时间；（2）从EOF △旋转开始，到平移结束，求点F 经过的路径长度；（3）如图13-2，H 是AB 的中点，在EOF △运动的过程中，求点H 在EOF △区域（含边界）内的时长；（4）如图13-3，在EOF △平移的过程中，当EOF △位于矩形ABCD 外的左右两边图形（阴影部分）的面积相等时，直接．．写出EOF △的平移距离.2023年河北省初中毕业生升学文化课考试数学模拟试卷（二）参考答案评分说明：1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分.2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分.一、（1-10小题各3分，11-16小题各2分，共42分）题号12345678910111213141516答案CDCBDDBADABAABAB二、（每小题3分，共9分.其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分）17.乙18.（1）GOH △；（2）419.（1）6；（2）()0.516t -；（3）9或15三、20.解：（1）A 的值是－7；……（4分）（2）由题意得251n --<，解得4n >-，……（7分）∴n 的最小整数值是－3.……（9分）21.解：（1）6，7；……（4分）（2）平均数为()1425465768291 6.2520⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（次）；……（7分）（3）众数.……（9分）22.解：验证22642045-==⨯（答案不唯一，正确即可）；……（3分）探究两个相邻偶数22n +，2n 中间的奇数为21n +，()()()2222284421n n n n +-=+=+.……（9分）23.解：（1）1050，3.5；……（4分）（2）当03x ≤≤时，设函数解析式为11y k x b =+，将()0,900，()3,0代入，得11190030b k b =⎧⎨+=⎩，解得11300900k b =-⎧⎨=⎩，∴300900y x =-+；……（6分）当3 3.5x <≤时，设函数解析式为22y k x b =+，将()3,0，()3.5,150代入，得2222303.5150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得22300900k b =⎧⎨=-⎩，∴300900y x =-.……（8分）综上，当03x ≤≤时，300900y x =-+；当3 3.5x <≤时，300900y x =-；（3）高速列车离乙地的路程不超过100千米的时长是23小时.……（10分）24.解：（1）EBD △与EBF △全等；理由：∵B 是 DF 的中点，∴ BD BF =，∴BD BF =， AD AF =，∴DBE FBE ∠=∠.又∵BE BE =，∴()EBD EBF SAS △≌△；……（5分）（2）∵1AE =，5EB =，∴6AB =.∵AB 是O 的直径，∴132OD OA AB ===，312OE =-=.如图，过点O 作OG CD ⊥于点G ，连接OD ，则2CD DG =.∵30DEB ∠=︒，90EGO ∠=︒，∴112OG OE ==.由勾股定理得222DG OD OG =-=，∴242CD DG ==……（10分）25.解：（1）()1,0-；……（2分）（2）将1a =，()1,0A -代入223y ax bx a =+-，∴2b =-，∴2223y x x =--.……（4分）∵()2222314y x x x =--=--，∴顶点坐标为()1,4-；……（6分）（3）①()3,0；……（8分）②a 的取值范围为2132a -≤<-或1223a <≤.……（10分）【精思博考：∵抛物线L 恒过()1,0A -，∴2b a =-，∴2223y ax ax a =--，顶点坐标为()1,4a -，与y 轴的交点坐标为()0,3a -.当0a <时，如图1所示，∴243132a a <-≤⎧⎨<-≤⎩，解得2132a -≤<-；当0a >时，如图2所示，∴342231a a -≤-<-⎧⎨-≤-<-⎩，解得1223a <≤】26.解：（1）连接BD .∵23AD BC ==，6AB =，四边形ABCD 为矩形，∴33tan 63AD ABD AB ∠===，∴30ABD ∠=︒，∴当点P 到达点D 时，EOF △旋转的角度为30︒，∴Rt EOF △的运动时间为30152÷=（秒）；……（3分）（2）∵4EO =，8EF =，90EOF ∠=︒，∴43FO =.∴点F 经过的路径长度为30332331803π⨯+=+；……（6分）（3）∵23AD =6AB =，∴43BD =，∴FO BD =，即旋转结束时，点F 与点D 重合.设EOF △在旋转过程中，EF 与AB 交于点Q .如图1，当点F 与点D 重合时，∵30ABD ∠=︒，∴60ADB ∠=︒.∵90EOF ∠=︒，4EO =，8EF =，∴30EFO ∠=︒，∴30ADQ ∠=︒，∴tan 302AQ AD =⋅︒=.∵3AH =，∴点H 在线段BQ 上.当EOF △平移到点H 在EF 上时，如图2，33tan 30AFAF ==︒3DF AF AD =-=∴EOF △331÷=（秒），∴点H 在EOF △区域（含边界）内的时长为213+=（秒）；……（10分）（4）EOF △3.……（12分）【精思博考：如图3，易得EKT △是等边三角形，设DF d =.∵60AFO ∠=︒，30AFE ∠=︒，∴3DN d =，33DM d =，()33tan 303233AK AF d =⋅︒==+，∴33MN DN DM =-=，∴21233233FMN S d =⨯=△.∵BO d =，30BOE ∠=︒，∴33BT d =，∴3323624333KT d d d ⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴233443EKTS ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭△，∴223334343d ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，解得3d =】。

2020届河北省衡水金卷新高考冲刺模拟考试（二)数学（理科）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的．1.设集合{}{}2160A x x B x x x =>=--≤，，则A B =I （ ）A. [)3-+∞，B. [)2-+∞，C. (]12，D. (]13，【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得集合B ，再根据交集定义求结果. 【详解】{}260[2,3]B x x x =--≤=-Q(1,3]A B ∴=I故选：D【点睛】本题考查交集定义以及解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知0a bc d >>>，，则下列不等式成立的是（ ）A. 22a b >B. a d b c ->-C.a b c d> D. ac bd >【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质得B 正确，举反例说明A,C,D 错误.【详解】0a b c d d c a d b c >>>∴->-∴->-Q ，.故B 正确；221214a b a b =>-==<=，，故A 错误； 21210,a b c d =>==>=>，1a bc d==，故C 错误； 12210,a b c d =->-==>=>，2ac bd =-=，故D 错误；故选：B【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.3.已知()()0cos a ππα∈+=，，，则tan α的值为（ ） A. -2 B. 12-C.12D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简，再根据同角三角函数关系求结果.【详解】()cos cos πααα+===Q()0sin tan 2a παα∈∴==-Q ，， 故选：A【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）A. 221362x y +=B. 2211816x y +=C. 221126x y +=D.22198x y += 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义以及条件列关于,,a b c 方程组，解得结果.【详解】由题意得31,3,2323ab ab c c a b a c a cπ⎧⎧==⎪⎪∴⋅====⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩即标准方程可以为22198x y +=故选：D【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.5.在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是（ ） A. 60 B. 70C. 80D. 90【答案】A 【解析】 【分析】根据方差含义列不等式，解得结果.【详解】设甲同学的数学成绩为x ，则2(82)50862102x x -４\<< 故选：A【点睛】本题考查方差公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），需要淘汰两人，一人胜出．现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是（ ） A.127B.19C.13D.23【答案】C【解析】 【分析】先确定总事件数，再确定游戏只进行一回合就结束的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】三人同时随机出拳，共有33327⨯⨯=种基本事件； 其中游戏只进行一回合就结束的事件数为3319⨯⨯=； 所以所求概率为91273=； 故选：C【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7.在边长为2的菱形ABCD 中，3DAB BM MC π∠==u u u ur u u u u r ，，则AC DM ⋅=u u u r u u u u r（ ）A. 1B.3C. 3D.33【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积坐标表示得结果. 【详解】以AC,BD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，则31(3,0),(0,1),(3,0),(0,1)()2A B C D M --∴- 33(23,0),)322AC DM ∴⋅=⋅-=u u u r u u u u r ；故选：C【点睛】本题考查向量数量积坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知直线l 与平面α所成角为45°，l 在α内的射影为m ，直线n ⊂α，且n 与m 所成角为45°，则l 与n 所成角为（ ） A. 30° B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C 【解析】 【分析】根据三余弦定理列方程解得结果.【详解】设l 与n 所成角为θ，所以1cos cos cos 4423πππθ==∴θ= 故选：C【点睛】本题考查三余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0π，上的值域为32⎡⎢⎣，，则实数ω的取值范围是（ ）A. 1163⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 1162⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. 3211⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】A 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质由值域确定自变量确诊范围，解不等式得结果. 【详解】()3sin cos cos )623f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭ []0[,]333x x ππππωωπ∈∴+∈+Q ， 因为()f x 在[]0π，上的值域为32⎡⎢⎣，，所以21123363πππωπω≤+≤∴≤≤故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.10.地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强．地震预警是指在地震发生后，利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点，地震发生地提前对地震波尚未到达的地方进行预警．通过地震预警能在地震到达之前，为民众争取到更多逃生时间．2019年6月17日22时55分四川省宜宾市长宁县发生6.0级地震，震源深度约16千米，震中长宁县探测到纵波后4秒内通过电波向成都等地发出地震警报．已知纵波传播速度约为5.5~7千米/秒，横波传播速度约为3.2~4千米／秒，长宁县距成都约261千米，则成都预警时间（电波与横波到达的时间差）可能为（ ） A. 51秒 B. 56秒C. 61秒D. 80秒【答案】C 【解析】 【分析】先求长宁县探测到纵波时间，再求横波到达成都时间，最后根据定义求预警时间.【详解】长宁县探测到纵波时间1616[,]7 5.5,横波到达成都时间为261261[,]4 3.2所以预警时间为2611626116[4,4](58.3,75.3)4 5.5 3.27----≈ 故选：C【点睛】本题考查新定义，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知函数()()e sin 'xf x x f x =，是()f x 的导函数，有下述四个结论①()f x 是奇函数 ②()f x 在()1010ππ-，内有21个极值点 ③()'f x 在区间04π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数 ④()f x ax ≥在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立的充要条件是1a ≤其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③ B. ①④C. ①③④D. ②③④【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义判定①成立；根据导数符号判定③成立；根据导函数零点确定②错误；根据恒成立以及对应函数最值确定④正确. 【详解】()(),e sin()()xx R f x x f x f x -∈-=-=-∴Q ，是奇函数 ; 即①成立；当[0,10)x π∈时()()e sin '(sin cos )0(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x x f x x f x e x x x k k ππ=∴=+=∴=-+=，当(10,0)x π∈-时()()e sin '(sin cos )0x x f x x f x e x x --=∴=-+=，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ∴=+=----------因此()f x 在()1010ππ-，内至多有20个极值点；即②错误； 当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时()()e sin '(sin cos )0xxf x x f x e x x =∴=+>，，()'f x 在区间04π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，即③成立；当0x =时()00f x ax a R =≥=∴∈当(0,]4x π∈时()sin x e xf x ax a x ≥⇔≤设2sin (sin cos sin )x x e x e x x x x x y y x x +-'=∴=令sin cos sin sin (cos sin )0(0)0,0t x x x x x t x x x x t t y ''=+-∴=+->∴>=>因为当0x →时0sin (sin cos )111x x x e x e x x y a x =+=→=∴≤，即④正确.故选：C【点睛】本题考查奇函数定义、函数极值、利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.12.已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ--=>>，右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（ ）A.17 B.32C.53D.10 【答案】D 【解析】 【分析】先根据双曲线定义以及勾股定理解得FB a =，再根据勾股定理求离心率.【详解】解：记双曲线的左、右焦点分别为'F F 、，设双曲线的实半轴长为a ，半焦距为c ．连接'''AF BF CF 、、．∵AF FB ⊥，结合双曲线的对称性可知四边形'AFBF 是矩形，∴'2F BF π∠=．设FB x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'23CF a x =+．在'Rt CBF V 中，222''BF BC CF =+，即()()22221623a x x a x ++=+可得x a =， 从而'23BF a x a =+=，FB a =，在'Rt BFF △中，222''BF FB FF =+，即()()22232a a c +=， ∴22104a c =，∴10e ， 故选：D【点睛】本题考查双曲线离心率，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知z C ∈，i 是虚数单位，121zi i=+-，则z =__________________． 【答案】3i + 【解析】 【分析】根据复数乘法法则求解得结果. 【详解】12(12)(1)31zi z i i i i=+∴=+-=+-Q故答案为：3i +【点睛】本题考查复数乘法运算，考查基本分析求解能力，属基础题.14.某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：由表中的数据得线性回归方程为$$8y x a=+．投入的广告费6x =时，销售额的预报值为_______百万元． 【答案】66 【解析】 【分析】先求平均值，再代入线性回归方程得$a，最后利用线性回归方程估计结果. 【详解】因为0123415303540502,3455x y ++++++++====，所以$$3482=18a a =⨯+∴因此6x =时，$861866y =⨯+= 故答案为：66【点睛】本题考查求线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.15.一个各面封闭的直三棱柱，底面是直角三角形，其内部有一个半径为1的球，则该直三棱柱的体积最小值为___________．【答案】6+ 【解析】 【分析】先确定体积最小时球与各面都相切，再求底面面积最小值，最后计算对应棱柱体积. 【详解】体积取最小时，半径为1的球与各面都相切， 此时直三棱柱的高为2，底面内切圆半径为1，根据对称性可得当底面为等腰直角三角形时，底面面积最小，设直角边长为a ，由22111()123222a a a a S a +⨯=∴=+==+体积为2(36⨯+=+故答案为：6+【点睛】本题考查棱柱体积以及球与多面体相切问题，考查基本分析求解能力，属中档题.16.ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，角A 的平分线AD 交BC 于D 点．23AD a ==，，()sin cos 2cos sin c A C b c A C =-，则A =___________，ABC V 的面积为__________．【答案】 (1). 3π (2). 2【解析】 【分析】先根据正弦定理以及三角形内角关系化简条件即得1cos 2A =，解得3A π=； 再利用正弦定理解得1sin BD B =， 1sin CD C=，利用3BC BD CD =+=列方程，解得角B C ，，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】()sin cos 2cos sin c A C b c A C =-Q()sin sin cos 2sin sin cos sin C A C B C A C ∴=- sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A ∴+=1sin()2sin cos ,cos 023A CB A A A A ππ∴+==∈∴=Q ，（，），由正弦定理可知：23sin sin sin 3c b a C B A ====2323c C b B ==，，1sin sin sin BD AD BD BAD B B =⇒=∠，同理1sin CD C=，113sin sin 3sin sin sin sin BC BD CD B C B C B C=+=+=⇒+=⋅，sin sin 3sin sin 33B B B B ππ⎛⎫⎛⎫++=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233sin 0664B B ππ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭或sin 623B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（舍）， ∴26B C ππ==，，或26C B ππ==，，∴3,3a c ==3,3a b ==133332ABC S ∴=⨯△． 故答案为：3π ; 33【点睛】本题考查利用正弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.等比数列{}n a 中，12a =且2，231a a +，，成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足1232nb n a a a a =…，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【答案】（1）()*2n n a n N =∈ （2）n S =21nn + 【解析】 【分析】（1）根据条件列关于公比的方程，解得结果，再代入等比数列通项公式；（2）先根据条件解得()12n n n b +=，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为()0q q ≠．因为2321a a +，，成等差数列，所以()23212a a +=+，即()211212a q a q +=+， 所以220q q -=，解得2q =或0q =（舍去），所以数列{}n a 的通项公式()*2n n a n N =∈．（2）因为()11232123222222n n n b nna a a a +⋅⋅=⋅⋅==…………，所以()12n n n b +=，从而()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111*********n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (122111)n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列和数列求和，考查运算求解能力，考查化归转化思想、函数方程思想渗透数学运算的核心素养．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，BC PBC =V ，是等边三角形，PAD △是直角三角形，O 为AD 中点．（1）求证：BC OP ⊥；（2）求二面角A PB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）3- 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点M ，根据等边三角形性质得BC PM ⊥，根据矩形性质得OM BC ⊥，最好根据线面垂直判定定理与性质定理得结果；（2）法一：建立空间直角坐标系，利用向量数量积求各面方向量 ，再根据二面角与法向量夹角关系求结果；法二：取PB 的中点N ，证明ANC ∠为二面角A PB C --的平面角，再根据解三角形得结果. 【详解】（1）取BC 的中点M ，连接OM PM ，，在等边三角形PBC 中，BC PM ⊥；在矩形ABCD 中，OM AB P ，则OM BC ⊥． ∵PM OM M =I ，∴BC ⊥平面POM ． ∵OP ⊂平面POM ，∴BC OP ⊥．（2）法一：设2AB =，则23BC PM ==，，∵PO AD ⊥且点O 为AD 的中点，（三线合一） ∴PAD △为等腰直角三角形且1PO =． ∵222PO OM PM +=，∴PO OM ⊥． ∴OA OM OP 、、两两垂直以O 为原点，OA 为x 轴，OM 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则()()()()00110022P A B C -，，，，，，，，，，，， ()()()0212200AB BP BC ==--=-u u u r u u u r u u u r ，，，，，，，，．设平面PAB 的一个法向量为的()111n x y z =r ，，，由00AB n PA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v ，，得11112020y x z ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩，，令11x =得()101n =r，，．（注：也可证明PD uuu r为平面PAB 的一个法向量）设平面PBC 的一个法向量为()222m x y z =u r ，，，由00BP m PC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v ，，得22222020x z x ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩，，令21y =得(02m =u r，，．()222223cos 1112n m <>=+⋅+r u r ，．由图知，二面角A PB C --为钝角，则二面角A PB C --的余弦值为3-． （2）法二：设2AB =2AD BC ==，∵PO AD ⊥且点O 为AD 的中点，（三线合一） ∴PAD △为等腰直角三角形，∴2PA =，∴PAB △为等腰三角形，取PB 的中点N ，连接AN ，∵AN PB ⊥，∴221AN AP PN -=．在等边三角形PBC 中，连接CN ，则CN PB ⊥，3CN =则ANC ∠为二面角A PB C--的平面角．连接AC ，在ANC V 中，由余弦定理，2223cos 23213AN NC AC ANC AN NC +-∠===-⋅⨯⨯． 则二面角A PB C --的余弦值为3【点睛】本题主要考查空间线线、线面垂直的判定与性质，二面角的定义以及二面角的求法，考查空间想象能力推理论证能力、运算求解能力．19.已知抛物线()220y px p =>，过点()10，的直线l 与抛物线交于A B ，两点，3OA OB ⋅=-u u u r u u u r． （1）求抛物线的方程；（2）以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，当点C 在y 轴上时，求ABC V 的面积．【答案】（1）24y x = （2）=ABC S V 【解析】 【分析】（1）设直线l 方程为1x my =+，与抛物线方程联立，根据向量数量积坐标表示，结合韦达定理求得2p =（2）设线段AB 中点为M ，根据2AB CM =列方程解得M 坐标，再代入三角形面积公式求结果.【详解】（1）依題意，设直线l 方程为()()11221x my A x y B x y =+，，，，． 联立22y px =，得：2220y pmy p --=．由韦达定理：121222y y pm y y p +==-，，又221212122y y x x p p=⋅=， 1212121123OA OB x x y y y y p ⋅=+=+=-=-u u u r u u u r，所以2p =．故抛物线方程为24y x =．（2）设线段AB 中点为()()0M M C M x y C y ，，，由（1）知2221M M y m x m ==+，． 2122244M AB x x p x m =++=+=+，)221M C CM x m =-=+．依题意：2AB CM =，即())224121m m +=+．整理得22m =．所以()2211147244ABCS AB CM AB =⋅===+V【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，数量积运算，考查弦长问题，面积问题，考查运算求解能力考查数形结合思想，转化与化归思想．20.习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”的新格局．同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X （单位：吨）的分布列如下：紫长茄今年的平均统一收购价格Y （单位：万元／吨）的分布列如下：（1）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚1亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于34吨的概率；（2）紫长茄今年每亩种植成本约1.5万元，设Z 表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单位：万元），求Z 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.5 （2）() 4.22E Z =万元，分布列见解析 【解析】 【分析】（1）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布概率公式求结果；（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率,列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.【详解】（1）设事件A 表示一个大棚亩产量为12吨，事件A 发生的次数为ξ，因为每个大棚产量相互独立，所以()~305B ξ，． 这三个大棚总产量不低于34吨的概率()()()223333230510.5050.5P P P C C ξξ==+==⨯⨯-+⨯=．．（2）设事件B 表示亩产量为10吨，事件C 表示市场价格为0.5万元／吨，则()()0508P B P C ==．，．， 每亩利润Z 所有可能取值为：100515351006151205154512061557⨯-=⨯-=⨯-=⨯-=．．．，．．．．．，．．．，()()()35050804P Z P B P C ===⨯=．．．．，()()()()()450502050805P Z P B P C P B P C ==+=⨯+⨯=．．．．．．， ()()()57050201P Z P B P C ===⨯=．．．．，所以Z 的分布列为 .利润Z 的数学期望() 3.50.4 4.50.5 5.70.1 4.22E Z =⨯+⨯+⨯=（万元）．【点睛】本题主要考查独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识；考查运算求解能力、数学建模能力与应用意识；考查转化与化归、概率与统计思想.21.函数()()log 01a f x x x a a =->≠，且． （1）当3a =时，求方程()1f x =的根的个数； （2）若()ef x a≥恒成立，求a 的取值范围． 注：e 2.71828=… 为自然对数的底数 【答案】（1）两个 （2）a e ≥ 【解析】 【分析】（1）转化为研究函数()3log 1g x x x =--零点问题，利用导数研究其单调性，再根据零点存在定理确定零点个数；（2）先转化为对应函数最值问题：()min ef x a ≥，再令ln 0t a =>，转化为解不等式11ln t t t e-+≥，最后根据导数研究新函数单调性，根据单调性解不等式得结果.【详解】（1）当3a =时，构造函数()3log 1g x x x =--，求导得：()11ln 3'1ln 3x g x x x-=-=， 当10ln 3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0g x <，()g x 在10ln 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；当1ln 3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，时，()'0g x >，()g x 在1ln 3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+上单调递增； ∵()10g =． 又∵()11101033ln 3g g g ⎛⎫⎛⎫=><= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ∴011ln 33x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，，使()00g x =，即()g x 存在两个零点01x ，， ∴方程()1f x =存在两个根．（2）()11ln '1ln x a f x x ax-=-=， i ）当01a <<时，()10f a a =-<，不合题意，舍去； ii ）当1a >时，由()'0f x =可得1x =，列表：据表可得，()()min 111ln ln ln ln ln f x f a a a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，依题意有()11ln ln ln ln e a a a a +≥ 令ln 0t a =>，则上式等价于()1ln te t e t +≥，等价于11ln t t t e -+≥，构造函数()()12111111ln 't t t t tt e t t t t t e t e teϕϕ------+=+-=-=，， 记函数()()11'1t t u t et u t e --=-=-，，易证得()u t 在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，∴()()10u t u ≥=，∴()121'0t t e t t t teϕ--++=≥，∴()t ϕ在()0+∞，上单调递增，注意到()10ϕ=， ∴()()()011t t t a e ϕϕϕ≥⇔≥⇔≥⇔≥． 综上所述，a e ≥．【点睛】本题主要考查函数的零点、导数在研究函数性质中的应用等基础知识：考查推理论证、运算求解能力：考查转化与化归、函数与方程、数形结合思想.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过点()10P -，作倾斜角为α的直线1l 交2C 于A B ，两点，过O 作与1l 平行的直线2l 交1C 于Q 点，若4PA PB OQ +=，求α．【答案】（1）1C 的普通方程为()101x y x +-=≠-；2C 的直角方程为()2211x y +-=； （2）4πα=【解析】 【分析】（1）根据加减消元得曲线1C 的普通方程，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程； （2）先写出直线1l ，2l 参数方程，代入2C ，1C ，再根据参数几何意义化简条件解得结果.【详解】（1）①：∵1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m为参数），∴12121111m m m m x y m m m --++=+==+++，又∵()121211111m m x m m m-++-===-+≠-+++， ∴曲线1C 的普通方程为()101x y x +-=≠-；②∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴222x y y +=，即()2211x y +-=，∴曲线2C 的直角方程为()2211x y +-=； （2）由题意，设11cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）， 依题意，02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 1l 与2C 联立得()22sin cos 10t t αα-++=，2l 与1C 联立得()sin cos 1t αα+=，设点AB Q ，，对应的参数分别为A B Q t t t ，，，则 ()12sin cos A B A Bt t t t αα⋅=⎧⎨+=+⎩，1sin cos Q t αα=+， 由4PA PB OQ +=且0A B Q t t t >，，，得()12sin cos 4sin cos αααα+=⋅+． ∴()2sin cos 2αα+=，即1sin 22α+=，故sin21α=，又∵02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴4πα=． 【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等基础知识：考查运算求解能力：考查数形结合、函数与方程思想.［选修4-5：不等式选讲］23.已知函数()2f x x a x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()5f x >的解集；（2）若[]()013x f x x a ∈=+，，恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()423⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，， （2）(][)11-∞-+∞U ，， 【解析】【分析】（1）先化分段函数形式，再根据分段函数性质分类解不等式，最后求并集得结果； （2）先根据绝对值三角不等式确定方程成立条件：()()220x a x a +⋅-≤在[]01，上恒成立，再根据不等式恒成立条件得结果.【详解】（1）当a =1时，()311211311131x x f x x x x x x x +>⎧⎪=++-=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，，，， 当1x <-时，135x -->，解得2x <-；当1x >时，135x +>，解得43x >； 当11x -≤≤时，35x +>，解得2x >(舍)；综上，原不等式的解集为()423⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，，． （2）∵()23f x x a x a x a =++-=+恒成立， ∵()()2223x a x a x a x a x a +-≥+--=++由绝对值不等式等号成立条件可知：()()220x a x a +⋅-≤在[]01，上恒成立．∵220x a -≤，∴22x a ≤，∴21a ≥，∴1a ≥或1a ≤-．∴a 的取值范围为(][)11-∞-+∞U ，， 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等基础知识：考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想．。