三角函数
阅读与思考
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：
1．理解同角三角函数间的关系． （1）平方关系：1cos sin 2
2
=+αα； （2）商数关系：αααcos sin tan =
，α
α
αsin cos cot =； （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα．
2．善于解直角三角形．
从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形， 关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许
多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：
例题与求解
【例1】在△ABC 中，BC ＝1992，AC ＝1993，AB ＝19931992+，则=C A cos sin ．
（河北省竞赛试题）
解题思路：通过计算，寻找BC 2，AC 2，AB 2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函
数的定义解题．
【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A ＝600，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝200m ，CD ＝100m ． 求AD ，BC 的长．（精确到1m ，732.13≈）
图2
图1
F E
A
E A
A
B
C
D
D
C B
D
C B
解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A ，所以连结AC 不行．延长AD 和BC 交于一点E （如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A ；或过点D 作矩形ABEF （如图2）来求解．
【例3】如图，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN ．若3
1
tan =∠AEN ，DC ＋CE ＝10． （1）求△ANE 的面积； （2）求ENB ∠sin 的值．
解题思路：将3
1
tan =∠AEN 与DC ＋CE ＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．
【例4】如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处．已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．
（1）选择：两船相遇之处E 点（ ）
A ．在线段A
B 上 B ．在线段B
C 上
C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）
（南京市中考试题）
解题思路：对于（2），过D 作DF ⊥CB 于F ，设DE =x ，建立关于x 的方程．
【例5】若直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦是方程02
=++q px x 的两个根． （1）那么，实数p ，q 应满足哪些条件？
（2）如果p ，q 满足这些条件，方程02
=++q px x 的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦？
（江苏省竞赛试题）
解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一元二次方程，三角函数的知识与方法． C
【例6】设a ，b ，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数n≥3．求证：n
n n c b a <+．
（福建省竞赛试题）
解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、余弦的有界性来证明．
能力训练
A 级
1．如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD ＝2AD ，AE ⊥BC 于E ．若BD ＝8，4
3
sin =∠CBD ，则AE ＝ ．
2．已知0
0900≤≤α，则ααsin sin 45+-=
y 的最大值是 ，最小值是 ．
（上海市理科实验班招生考试试题）
3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠BAC ＝300，BC ＝1，D 为BC 边上的一点，ADC ∠tan 是方程 2)1(5)1(322
=+-+
x
x x x 的一个较大的根，则CD ＝ ． 东
第5题图
第1题图
第3题图
B
A
C
A
O
4．已知△ABC 的两边长a ＝3，c ＝5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042
=+-m x x 的两个正整数根之一，则A sin 的值为 ． （哈尔滨中考试题） 5．如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在她家北偏东600距离500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ） A ．250m
B ．3250m
C ．
33
500
m
D ．2250m
6．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠ABC ＝300，D 是AC 的中点，则DBC ∠cot 的值是（ ） A ．3
B ．32
C ．
2
3
D ．
4
3 （大连市中考试题）
7．一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行．半小时后到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是
（ ） （黄冈市中考试题） A ．27海里
B ．214海里
C ．7海里
D ．14海里
8．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，AD ＝8，AB ＝7，则BC ＋CD 等于（ ） A ．36
B ．35
C ．34
D ．33
第7题图
第6题图
第8题图
东
北
B
A O
A
9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB ＝150厘米，∠BAC ＝300，另一根辅助支架DE ＝76厘米，∠CED ＝600． （1）求垂直支架CD 的长度（结果保留根号）；
（2）求水箱半径OD 的长度（结果保留三位有效数字，参考数据：73.13,41.12≈≈）．
（扬州市中考试题）
图2
图1
A
