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基本原理—— 常见体系的态密度
微电子与固体电子学院 张继华
上一堂小结
三大力学
量子力学 （微观性质）
热力学
统计力学
（热力学函数）
（热力学与量子力学的联系）
如何进行统计 ？？？
宏观量与微观量
宏观物体的任何性质总是微观粒子运动的宏 观反映: 宏观量是微观量的统计平均值 微观量
质量 mi 动能 i 势能Ui 转动惯量Ii 振动频率vi 转动特征温度Θr 振动特征温度Θv
[例3] N个粒子组成的二态自旋系统的简并函数。
补：数学知识 Stirling公式
m! m e
m m
2m
取对数得：lnm!=m(lnm-1)+1/2ln(2m) 当m足够大， 1/2ln(2m)可忽略，即
lnm!=m(lnm-1) 或 m!=mme-m
[例4] N 分子在两个等容器中的分布情况
A观测 Ai i
i
统计力学问题归结为：对一个具体的系统，在满足 一定的条件下，由微观结构模型求出各微观态出现 的几率（分布函数），再由分布函数建立微观结构 与宏观量之间的联系。
最可几宏观态
出现几率最大的宏观态。 最可几宏观态对应于热力学的平衡态。 系统在最可几宏观态中的物理量值可作为系统的状态参量。
n百度文库
N-n
N! ( N , n ) C n!( N n)!
n N
= 2N
N = 10
最可几分布 (10,5) —— 简并度最大
体系 不平衡 平衡
简并度小 大
N 很大时， (N, N/2) (均匀分布) 与 十分接近
N! N! (N,N/2) = —————— = ———— (N/2)!(N/2)! [(N/2)!]2 Stirling 公式，N! = NN e-N (N 很大）
NN e-N (N,N/2) = ————————— = 2N = [ (N/2)N/2 e-N/2 ]2 ln (N,N/2) 与 ln 更接近
5.4 常见体系的态密度
1. 自由粒子的量子力学描述
一维 三维
准经典描述：粒子每个状态占有相空间 hr（h为普朗克常数，r为粒子自由度）
2. 求解方法
准经典方法
量子方法
【例5.4.1】三维经典自由粒子 两种解法 【例5.4.2】三维量子化自由粒子 两种解法
【例5.4.3】经典谐振子
【例5.4.4】量子化谐振子
宏观量
温度 T 压力 p 质量 m 熵 S 内能 U Gibbs 自由能G
统计 平均
统计热力学的目的就是从组成系统的微观性质出发, 用统 计的方法说明、计算或预言平衡系统的热力学性质, 从而 揭示物质的运动本质.
各态经历假设——当实验测定某种宏观性质时, 总是需
要一定的时间. 虽然时间很短, 但所有可能的微观态全部经 历过, 因此测得的数值是观察时间间隔内相应微观量对所有 微观态的平均值.
