The Inverse Eigenvalue Problem for Several Classes of Nonnegative MatricesA DissertationSubmitted for the Degree of MasterOn computational mathematicsby Tian YuUnder the Supervision ofProf. Wang Jinlin(College of Mathematics and Information Sciences)Nanchang Hangkong University, Nanchang, ChinaJune, 2011摘 要非负矩阵理论一直是矩阵理论中最活跃的研究领域之一，在数学、自然科学的其他分支以及社会科学中都广泛涉及到,例如博弈论、Markov链（随机矩阵）、概率论、概率算法、数值分析、离散分布、群论、matrix scaling、小振荡弹性系统（振荡矩阵）和经济学等等.近年来，特征值反问题是矩阵理论研究的热点，本文将就非负矩阵特征值反问题（NIEP）这一问题进行研究.文章主要研究几类特殊形式的非负矩阵特征值反问题，得到了相关问题的充分必要条件和一些充分条件，进而给出了这几类特殊形式的非负矩阵特征值反问题数值算法，并通过数值算例来验证相关定理的正确性以及算法的准确性.主要工作如下： 第一章是绪论部分，阐述了非负矩阵特征值反问题的重要意义和发展历程，介绍国内外研究现状.第二章，研究非负三对角矩阵特征值反问题.首先对三阶非负三对角矩阵特征值反问题，分几种情形进行讨论，解决了三阶非负三对角矩阵特征值反问题，得到了三阶非负三对角矩阵特征值反问题有解的充分必要条件.然后对n阶非负三对角矩阵特征值反问题，通过非负三对角矩阵截断矩阵特征多项式，并结合Jacobi 矩阵特征值的关系，得到了非负三对角矩阵的特征值的相关性质，并最终解决了非负三对角矩阵特征值反问题.第三章，研究非负五对角矩阵特征值反问题.三阶非负五对角矩阵，即是三阶非负矩阵，文中给出了其特征值反问题有解的充分必要条件，而对于n阶非负五对角矩阵特征值反问题，由于其复杂性，文中仅给出了它的一些充分条件.第四章，研究非负循环矩阵特征值反问题.首先总结了NIEP近些年来取得的研究成果，提出实循环矩阵特征值反问题，并成功解决了实循环矩阵特征值反问题，得到其充分必要条件.最后在实循环矩阵特征值反问题的基础上提出非负循环矩阵特征值反问题，得到了充分条件和相关推论.第五章，根据第二、三、四章的结论给出相关算法和实例.第六章，在总结全文的同时，提出了需要进一步研究的问题.关键词：特征值，反问题，非负三对角矩阵，非负五对角矩阵，非负循环矩阵AbstractThe theory of nonnegative matrices has always been one of the most active research areas in the matrix theory and has been widely applied in mathematics and other branches of natural and social sciences. There are, for example, game theory, Markov chains (stochastic martices), theory of probability, probabilistic algorithms, numerical analysis, discrete distribution, group theory, matrix scaling, theory of small osillations of elastic systems (oscillation marrices), economics and so on. In recent years, the inverse eigenvalue problem comes to be the focus of the matrix theory. This thesis will study the inverse eigenvalue problem for nonnegative matrices (NIEP). The major researches of this theisis focus on the inverse eigenvalue problem for several special classes of nonnegative matrices, the necessary and sufficient conditions and some sufficient conditions of which are derived. Moreover, the numerical algorithms of the inverse eigenvalue problem for these special classes of nonnegative matrices are given, the accuracy of which together with the correcteness of related theories is testified by several numerical examples. The main procedures of this theisis are as follows:In the first chapter, the significance and the development of the inverse eigenvalue problem for nonnegative matrices are addressed, and the research situation home and abroad is introduced.In the second chapter, the inverse eigenvalue problem for nonnegative tridiagonal matrices is studied. First, the inverse eigenvalue problem for 33⨯ nonnegative tridiagonal matrices is solved by discussion of a variety of situations. Moveover ，the necessary and sufficient conditions of the solutions of the inverse eigenvalue problem for 33⨯ nonnegative tridiagonal matrices are derived. Then, the properties of eigenvalue of n n ⨯ nonnegative tridiagonal matrices are derived by characteristic polynomial of truncated matrices of nonnegative tridiagonal matrices, with the combination of the relationship between eigenvalues of Jacobi matrix. Finally, the inverse eigenvalue problem for nonnegative tridiagonal matrices is solved.In the third chapter, the inverse eigenvalue problem for nonnegative five-diagonal matrices is studied. 33⨯ nonnegative five-diagonal matrices is also 33⨯ nonnegative matrices, the necessary and sufficient conditions of the solutions of the inverse eigenvalue problem for which are given in this thesis. For the inverseeigenvalue problem for n nnonnegative five-diagonal matrices, only some sufficient conditions are given because of its complexity.In the fourth chapter, the inverse eigenvalue problem for nonnegative circulant matrices is studied. First, some remarkable conclusions of the inverse eigenvalue problem for nonnegative matrices in recent years are summarized. Then, the inverse eigenvalue problem for real circulant matrices is advanced and successfully solved, the necessary and sufficient conditions of which are given also. Finally, the inverse eigenvalue problem for nonnegative circulant matrices is advanced based on the inverse eigenvalue problem for real circulant matrices, whose sufficient conditions and some relevant conclusions are given.In the fifth chapter, some algorithms and numerical examples are given based on the conclusions derived in the previous three chapters.In the sixth chapter, the summary of the paper is given and the future research work is put forward.Key words: eigenvalue, inverse problem, nonnegative tridiagonal matrices, nonnegative five-diagonal matrices, nonnegative circulant matrices目录第一章 绪论 (1)1.1选题的依据与意义 (1)1.2非负矩阵特征值反问题的研究现状 (2)1.3研究的主要内容 (3)第二章 非负三对角矩阵特征值反问题 (5)2.1引言 (5)2.2三阶非负三对角矩阵特征值反问题 (6)n阶非负三对角矩阵特征值反问题 (24)2.3第三章 非负五对角矩阵特征值反问题 (33)3.1引言 (33)3.2非负五对角矩阵特征值反问题相关结论 (33)第四章 非负循环矩阵特征值反问题 (38)4.1引言 (38)4.2一类特殊矩阵的特征值反问题 (40)4.3非负循环矩阵特征值反问题 (42)第五章 算法设计及实例 (45)5.1非负三对角矩阵特征值反问题算法 (45)5.2非负五对角矩阵特征值反问题算法 (47)5.3实循环矩阵特征值反问题算法 (49)5.4非负循环矩阵特征值反问题算法 (50)第六章 总结与展望 (53)6.1全文总结 (53)6.2工作展望 (53)参考文献 (54)攻读硕士学位期间发表的论文 (57)致 谢 (58)IV第一章 绪论1.1 选题的依据与意义反问题，顾名思义是相对于正问题而言的，它是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘.在数学中有着许多反问题，例如已知两个自然数的乘积，如何求这两个自然数；已知导数，如何求原函数；已知一个角的三角函数值，如何求这个角的度数，等等.近些年来，人们在生活、工业生产、科学探索中经常遇到反问题，对反问题的研究也越来越受到重视.事实上，对于一般问题来说，反问题要比正问题复杂.如前面提到的求角度数问题，已知一个角，求其三角函数值是唯一的，但如果只知道一个角的三角函数值而不对这个角加以约束，这样的角将会有无穷多个，因而反问题的解一般来说不唯一.另外，反问题的解也极不稳定.因此，对反问题的研究主要包括以下几个方面：存在性、唯一性、稳定性、数值方法和实际应用.矩阵特征值反问题（又称代数特征值反问题或逆特征值问题），就是根据已给定的特征值和/或特征向量等信息来确定一个矩阵，使得该矩阵满足所给的条件.矩阵特征值反问题的来源非常广泛.它不仅来自于数学物理反问题的离散化，而且来自固体力学、粒子物理、量子物理、结构设计、系统参数识别、自动控制等许多领域.由于矩阵特征值反问题的应用广泛性，因而自从此类问题被提出来的几十年里，受到了大量学者的深入研究，得到了一系列优秀成果.本文研究的非负矩阵特征值反问题正是在此期间提出来的，它作为矩阵特征值反问题的一个重要分支，尤其是在概率统计、随机分布、系统分析方面有着重要应用.所谓非负矩阵特征值反问题就是根据已给定的特征值信息来确定一个非负矩阵，使得该非负矩阵满足所给的条件.例如在概率统计中提出一类随机矩阵（矩阵的元素行和为1），这类矩阵在Markov链中有着重要应用，假如对矩阵的特征值有某些特殊要求，能否构造和如何构造出此类矩阵？非负矩阵特征值反问题从提出到现在的几十年间，虽然受到了大量学者的研究，但由于其复杂性，目前仍存在大量的疑难问题尚未解决，这也是它吸引众多学者研究的魅力所在.因而从以上可以看出对非负矩阵特征值的研究无论是对数学本身的发展还是对其它科学的发展都有着重要的意义及广阔的前景.1.2 非负矩阵特征值反问题的研究现状非负矩阵特征值反问题的提出始于上个世纪50年代，它是由矩阵特征值反问题抽离出来的一个子问题.1937年，Kolmogorov [1]首先提出了给定一个复数z 何时为某个非负矩阵特征值的问题.1949年，Suleimanova [2]扩展了Kolmogorov 提出的问题，称为非负矩阵特征值反问题（简称NIEP），即寻找以一组复数12{,,,}n σλλλ= 为特征值的n 阶非负矩阵A ，并且假若能够找到这样一个矩阵A ，就说矩阵A 实现了σ.Kolmogorov 问题显然很容易回答，Minc [3]给出了解答，即对于33⨯阶正循环矩阵，总可以找到一个这样的矩阵使得给定的复数z 作为它的特征值.然而NIEP 从提出至今仍未得到很好地解决，为此一些学者首先从NIEP 的必要条件开始研究.Loewy 和Londow [4]、Johnson [5]给出文献[6]中NIEP 的四个必要条件，其中最后一个条件称为JLL 条件.1998年，Laffey 和Meehan [7]又对奇数阶非负矩阵进行了讨论，给出了奇数阶非负矩阵迹为零的JLL 条件.由于一般的n 阶NIEP 无法直接解答，一批学者考虑了低阶矩阵的情形.1978年，Loewy 和Londow [4]完全解决3n =时的NIEP，给出了四个充分必要条件.45n =、时的NIEP，目前只解决了迹为零的情形.1996年，Reams [8]解决了4n =时迹为零的情形，即：令1234{,,,}σλλλλ=为一组复数，假若120,0,S S =≥30S ≥和2244S S ≤(这里的41k k i i S λ==∑)，则必存在一个4阶非负矩阵能够实现σ.1999年，Laffey 和Meehan [9]解决了5n =时迹为零的情形.上面介绍了6n <的情形，然而当6n ≥时，NIEP 却是一个极大地挑战，到目前为止，未见任何形式的解答.虽然NIEP 未曾从正面给出很好的解答，但却吸引大批学者对12{,,}n σλλλ= ，的特殊形式作出深入探讨，这其中包括H.Suleimanova、H.Perfect、R.Kellogg、Salzman、Guo Wuwen 等等.Suleimanova [2]证明0(2,3,,)i i n λ≤= 的σ可被实现的充分必要条件是10ni i λ=≥∑.Kellogg [10]对σ的序列进行分块研究，给出了某些符合要求的分块可被实现.Guo Wuwen [11-12]对已可实现的σ修正做了研究，其中修正后可被实现与σ中最大的数有着密切关系，文献[12]定理3.1的结论尤为重要，它在研究扩展σ可被实现中被广泛引用.另外值得一提的是Ricardo.Soto、Alberto.Borobia、Julio.Moro 三位近十年来在非负矩阵特征值反问题上做了大量深入的研究，文献[13-18]集中反映了他们在这一块的研究成果.上面介绍了NIEP，如果把上面的非负矩阵换成非负对称矩阵，则称为非负对称矩阵特征值反问题（简称SNIEP）；如果把上面的一组复数12{,,}n σλλλ= ，换成一组实数，则称为非负矩阵实特征值反问题（简称RNIEP）.SNIEP和RNIEP都是NIEP的子问题，它们是研究NIEP的重要组成部分，虽然两者研究的都是实特征值，但它们并不完全等价.一般地，当5n≥时，这是两个完全不同的问题.目前，当4n≤时，SNIEP已被完全解决，当5n=时，R.Loewy和J.J.Mcdonald在文献[9]中做了详细的讨论.而当6n≥时，尚无人解决.文献[19-21]给出了SNIEP的相关结论.4n=时的RNIEP已被解决，事实上，Loewy和Londow在文献[4]中给出的NIEP四个必要条件也是4阶RNIEP的充分条件.当5n≥时，目前尚未有所突破.另外，文献[2,10,22,23,24,25]给出了RNIEP的相关结论.随机矩阵和双随机矩阵作为非负矩阵的两种特殊形式，在研究NIEP中有着极为重要的应用，这里把它们归为一类问题，即随机和双随机矩阵特征值反问题.Johnson[26]证明了如果一个非负矩阵A有正Perron根ρ，则存在一个随机矩阵与1Aρ同谱.1981年，Soules[27]给出了一种构造对称双随机矩阵的方法并得到构造对称双随机矩阵的充分条件.以上是NIEP的主要研究的方向，由于NIEP的复杂性和作者的水平限度，可能衍生出更多的小问题，本文没有一一涉及到，在此后面将不再叙述.此外，由于NIEP研究不够成熟，关于它的数值计算目前研究的不多.Robert.Orsi[28]利用交错射影的思想构造出一种迭代方法来计算非负矩阵特征值反问题，但需指出的是这种迭代并不一定会能得出好的结果，仍需要找到好的判定条件.O.Rojo等在文献[29-30]中通过快速Fourier变化巧妙地得到一种构造对称非负矩阵的方法，大大节省计算时间，这种方法通过在Matlab上实现，证明效率是非常高的.目前，国内尚无对此方面的研究的相关文献.从以上可以看出，虽然非负矩阵特征值反问题的研究得到了一定的成果，但仍有大量的问题需要解决，本文将从几类特殊矩阵来探讨此类问题，进一步促进此方向的研究.例如：能否给出非负（对称）三对角矩阵的特征值反问题的充要条件以及如何实现？如何实现非负循环矩阵的特征值反问题？等等.1.3 研究的主要内容本文研究几类特殊形式的非负矩阵特征值反问题，得到了相关问题的充分必要条件和一些充分条件，进而给出这几种特殊形式的非负矩阵特征值反问题算法，并通过数值算例来验证相关定理的正确性以及算法的准确性.主要工作如下：第一章是绪论部分，阐述了非负矩阵特征值反问题的重要意义和发展历程，介绍国内外研究现状.第二章，研究非负三对角矩阵特征值反问题.首先对三阶非负三对角矩阵特征值反问题，分几种情形进行讨论，解决了三阶非负三对角矩阵特征值反问题，得到了三阶非负三对角矩阵特征值反问题有解的充分必要条件.然后对n阶非负三对角矩阵特征值反问题，通过非负三对角矩阵截断矩阵特征多项式，并结合Jacobi矩阵特征值的关系，得到了非负三对角矩阵的特征值的相关性质，并最终解决了非负三对角矩阵特征值反问题.第三章，研究非负五对角矩阵特征值反问题.三阶非负五对角矩阵，即是三阶非负矩阵，文中给出了其特征值反问题有解的充分必要条件，而对于n阶非负五对角矩阵特征值反问题，由于其复杂性，文中仅给出了它的一些充分条件.第四章，研究非负循环矩阵特征值反问题.首先总结了NIEP近些年来取得的研究成果，提出实循环矩阵特征值反问题，并成功解决了实循环矩阵特征值反问题，得到其充分必要条件.最后在实循环矩阵特征值反问题的基础上提出非负循环矩阵特征值反问题，得到了充分条件和相关推论.第五章，根据第二、三、四章的结论给出相关算法和实例.第六章，在总结全文的同时，提出了需要进一步研究的问题.南昌航空大学硕士学位论文 第二章 非负矩阵特征值反问题第二章 非负三对角矩阵特征值反问题2.1 引言在控制论、振动理论、结构设计中经常要求根据已给的特征值/或特征向量来构造矩阵，即是特征值反问题（或特征值逆问题）.三对角矩阵作为一类特殊矩阵，在实际问题中常出现，是研究矩阵理论的一个重要方面，因而有必要对其特征值反问题进行研究.文章的引言部分已给出了非负矩阵特征值反问题的研究现状，可以看出对于非负三对角矩阵的特征值反问题一直缺乏研究，本章将对这一问题进行研究.首先给出如下定义.定义 2.1.1 设n 阶实三对角矩阵形式如下：11112211100n n n n n n x y z x y T z x y z x ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （1）若0(1,2,,)i i y z i n =>= ，则称n T 为Jacobi 矩阵；（2）若0,0,0i i i x y z ≥≥≥，则称n T 为非负三对角矩阵；（3）若0,0i i i x y z ≥=≥，则称n T 为非负对称三对角矩阵；若0,0i i i x y z ≥=>，则称n T 为非负Jacobi 矩阵.非负三对角矩阵特征值反问题：给定一组复数12{,,,}n σλλλ= ，寻找非负三对角矩阵A 以σ为特征值，并且假设能够找到这样一个矩阵，就说矩阵A 实现了σ.下面再给出两个引理.引理 2.1.1[31](广义Perron 定理) 设A 是一个n n ⨯阶非负矩阵.定义Perron 根如下：()max{:()}A A ρλλσ=∈.则()A ρ为A 的特征值，并且其相应的特征向量0x ≥（即向量x 的每个元素均大于等于零）.引理 2.1.2[4] 设123{,,}σλλλ=是一个由复数构成的序列，并且假设σ满足如下条件： （i）13max{:}i i i λλσσ≤≤∈∈； （ii）σσ=；（iii）11230s λλλ=++≥； （iv）2123s s ≤.则σ能被一个非负矩阵A 实现.2.2 三阶非负三对角矩阵特征值反问题设12{,,,}n σλλλ= 是一个由n 个复数构成的序列，文献[6]给出由Loewy 和Londow [4]、Johnson [5]得到的NIEP 四个必要条件，显然这四个条件对非负三对角矩阵特征值反问题也适用，即（i）Perron 根max{:}i i ρλλσσ=∈∈； （ii）σσ=；（iii）定义1(1,2,)nk k i i s k λ===∑ ，则有0k s ≥；（iv）（JLL 条件）1(,1,2,)m m kk m s n s k m -≤= .二阶非负矩阵特征值反问题有如下结论.引理2.2.1 给定两个数12,λλ，则12{,}σλλ=可以被非负矩阵实现的充分必要条件是12,λλ均为实数（不妨设12λλ≥）并且12λλ≥.证明 首先可以证明这两个数是实数.实矩阵的特征值如果是复数（虚部不为零），则会以共轭对的形式出现，不妨将12,λλ设为,(x yi x yi i +-=.假设σ可以被实现，则存在一个非负矩阵A 以12,λλ为特征值.令非负矩阵a c A d b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（,,,a b c d 均大于等于零），则2()acI A a b ab cd d bλλλλλ---==-++---. （2-1） 由式（2-1）知，有1220a b x λλ+=+=≥， （2-2） 2212ab cd x y λλ=-=+. （2-3）由式（2-2）中20a b x +=≥，根据均值不等式的关系知ab 的最大值为2x .而由式（2-3）有222ab x y cd x =++≥，显然当12,λλ是复数时，20,y ab x ≠>，矛盾.故12,λλ不可能是复数.充分性.当12λλ≥时，可以分为两种情形讨论即20λ≥和20λ<.而120λλ==时，显然可以被零矩阵实现.当20λ≥时，σ可以被1200λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦实现.当20λ≤时，可以取定,a b 均大于等于零使得式（2-2）成立，这时120ab cd λλ=-≤，显然可以取无数个均大于等于零,c d 使得式（2-3）成立.这样就存在一个矩阵a c d b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦实现σ. 必要性.由于12λλ≥，故只需证12λλ<时，σ不能被现实即可.当12λλ<时，由式（2-2）有120a b λλ+=+<，而,a b 均大于等于零，矛盾.证毕.引理 2.2.2 给定三个实数123,,λλλ，如果123(2,3),i i λλλλ≥=≥和1230λλλ++≥，则123{,,}σλλλ=可被非负矩阵A 实现.证明 分三种情形讨论.当0(1,2,3)i i λ≥=时，令123000000A λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 可实现σ.当1230λλλ≥≥≥时，令13131313202202200A λλλλλλλλλ+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 可实现σ. 当1230λλλ≥≥≥时，令1231231231230A λλλλλλλλλλλλ⎡+++-⎢=+-++⎢⎢⎢⎥⎣⎦，则A 可实现σ.证毕.定理 2.2.3 给定一组实数12{,,,}n σλλλ= 12()n λλλ≥≥≥ ，1n 表示其中0(1,2,,)i i n λ>= 的个数，2n 表示0(1,2,,)i i n λ<= 的个数.如果12n n ≥且120(1,2,,)i n i i n λλ+-+≥= ，则12{,,,}n σλλλ= 可以被非负三对角矩阵实现.证明 由引理2.2.1知120(1,2,,)i n i i n λλ+-+≥= 时，1{,}(1,2,,i n i i σλλ+-==2)n 可以被一个二阶非负矩阵2(1,2,,)i A i n = 实现，而2210(1,2,,i i n n n λ≥=++)，则22112{,,,}n n n σλλλ++= 可以被非负三对角矩阵22112{,,,}n n n diag λλλ++ 实现.因而12{,,}n σλλλ= ，可以被非负三对角矩阵22211212{,,,,,,,,n n n n diag A A A λλλ++ 12}n n n --0实现，其中12n n n --0表示12n n n --阶零矩阵.证毕.推论 2.2.4 给定一组实数12{,,,}n σλλλ= 12()n λλλ≥≥≥ ，1n 表示其中0(1,2,,)i i n λ>= 的个数，2n 表示0(1,2,,)i i n λ<= 的个数，11{1,2,,}n Γ= 对应的正特征值112222,,,,{1,2,,}n n n n n n λλλΓ=-+-+ 对应的负特征值2212,,,n n n n n λλλ-+-+ .如果12n n ≥，对于2Γ中的每个数j 都能在1Γ中找到一个数i 使得1220(1,2,,,1,2,,)i j i n j n n n n n λλ+≥==-+-+ 且每个i 对应一个j ，则12{,,,}n σλλλ= 可以被非负三对角矩阵实现.推论 2.2.5 给定一组实数12{,,,}n σλλλ= 12()n λλλ≥≥≥ ，1n 表示其中0(1,2,,)i i n λ>= 的个数，2n 表示0(1,2,,)i i n λ<= 的个数，11{1,2,,}n Γ= 对应的正特征值112,,,n λλλ ，222{1,2,,}n n n n n Γ=-+-+ 对应的负特征值2212,,,n n n n n λλλ-+-+ .如果12n n ≥，对于2Γ中的每个数j 都能在1Γ中找到一个数i 使得1220(1,2,,,1,2,,)i j i n j n n n n n λλ+≥==-+-+ 且每个i 对应一个j ，则12{,,,}n σλλλ= 可以被非负对称三对角矩阵实现.定理2.2.6 给定一组实数123123{,,}()σλλλλλλ=≥≥，如果3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>，假若123{,,}σλλλ=能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现，则A 中的13,a a 均不能为零.证明 设非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=，即123,,λλλ是矩阵A 的三个特征值.首先给出矩阵A 的特征多项式.11122231232211133212312132312322111332123121323112212312231100()()()()()()()()()()()a b I A c a b c a a a a b c a b c a a a a a a a a a a a a a b c a b c a a a a a a a a a a b c b c a a a a b c a b c λλλλλλλλλλλλλλλλλ---=-----=-------=-+++++-----=-+++++---++.由根与系数的关系知，有下列成立，123123a a a λλλ++=++， （2-4） 1213231213231122a a a a a a b c b c λλλλλλ++=++--， （2-5）123123122311a a a a b c a b c λλλ=--. （2-6）令123112132321233111,,,d d d b c t λλλλλλλλλλλλ++=++===和222b c t =，显然由3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>知10,0(2,3),0(1,2)i i d d i t i ><=≥=，则式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）可改写成如下：1123d a a a =++， （2-7） 212132312d a a a a a a t t =++--， （2-8） 31231231d a a a a t a t =--. （2-9） 下面用反证法证明13,a a 均不能为零.显然13,a a 不能同时为零，否则式（2-9）不成立.由于式（2-7）、式（2-8）和式（2-9）中的13,a a 是一个对称的关系，故不妨假设10a =.当130,0a a =≠时，有12322312331d a a d a a t t d a t=+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩.（2-10） 由式（2-10）可得133223233//t d a t a a d d a =-⎧⎨=-+⎩. （2-11） 再来分析22313,,,,a a d d λ之间的关系.3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>，由123λλλ≥≥可知20λ>且1232λλλλ++≤.由式（2-10）有23120,a a d λ≤≤<和332d λ>.将213a d a =-带入式（2-11），有2133233()/t d a a d d a =--+. （2-12）将式（2-12）可以看做成2t 关于3a 的函数，对2t 关于3a 进行求导，可得'2213332/t d a d a =--. （2-13）显然'2t 在31(0,]a d ∈上有'20t >，而2t 又是关于31(0,]a d ∈上的连续函数，故2t在31a d =时取得最大值，这时3221d t d d =-+. （2-14） 将12311213232,d d λλλλλλλλλ++=++=和1233d λλλ=带入式（2-14）中，可得32211231213231231213231231231232221232133121231232212123123121232123312()()()()()()2()()()[(d t d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=-+=-+++++-+++++=++-+-+-+-=++-+-+-+=++-+++=1212312332312123132312123)]()[()()]()()()().λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+++-++++=++-+++=++ （2-15）由式（2-15）可知，当130,0a a =≠时，20t <.因为123{,,}σλλλ=能被非负三对角矩阵111222300a b c a b c a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现时，总有11122200t b c t b c =≥⎧⎨=≥⎩，矛盾.因而13,a a 均不能为零.证毕.定理 2.2.7 给定一组全不为零的实数123{,,}σλλλ=123()λλλ≥≥，如果3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++=，则123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现.证明 设非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=，即123,,λλλ是矩阵A 的三个特征值.同定理2.2.7的证明类似，可以给出矩阵A 的特征多项式，并由根与系数的关系可以得到式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）.对于式（2-4），当1230λλλ++=时，由于0,1,2,3i a i ≥=，可知123a a a ==0=.而123,,λλλ全不为零和3(1,2)i i λλ≥=可知0(1,2)i i λ>=和30λ<.对于式（2-6）左边=1230λλλ<，右边=1231223110a a a a b c a b c --=，左右不相等，矛盾.故123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现.证毕. 定理2.2.8 给定一组实数123123{,,}()σλλλλλλ=≥≥，如果3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>，则123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222000a b A c b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现. 证明 设非负三对角矩阵矩阵111222000a b A c b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=，即123,,λλλ是矩阵A 的三个特征值.首先给出矩阵A 的特征多项式.11122212221112321212221112321212112212221100()()()()()()()()().a b I A c b c a a a b c a b c a a a a a b c a b c a a a a a b c b c a b c a b c λλλλλλλλλλλλλλλλλ---=----=------=-++----=-++--++由根与系数的关系知，有下列成立：12312a a λλλ++=+， （2-16） 121323121122a a b c b c λλλλλλ++=--， （2-17） 123122211a b c a b c λλλ=--. （2-18）令123112132321233111,,,d d d b c t λλλλλλλλλλλλ++=++===和222b c t =，显然由3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>知10,0(2,3),0(1,2)i i d d i t i ><=≥=，则式（2-16） 、式（2-17）和式（2-18）可改写成如下：112d a a =+， （2-19） 21212d a a t t =--， （2-20） 31221d a t a t =--. （2-21）先讨论12a a =的情形.当12a a =时，由式（2-19）可知1122da a ==，则式（2-20）和式（2-21）可化为：21212/4t t d d +=-， （2-22）1123()2dt t d +=-. （2-23）这里式（2-22）和式（2-23）两式中的12t t +必须相等，因而有231212/4d d d d -=-. （2-24） 将123112132321233,,d d d λλλλλλλλλλλλ++=++==代入式（2-24）中可得到只关于123,,λλλ的方程，即2123123121323123312312132312312333322222123123123123233222221231231232332()/4(),()4()()80,3()3()143()4(()(3)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-++-++=++++-+++++=+++++++++-++++++22333222212312312323322222211232322331232222112323123)0,()()()0,(())()()0,(())()(())0.λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=++-+---+=--++-+--=---+--=上式最终可化为22123123()(())0λλλλλλ----=. （2-25）由式（2-25）知要使得式（2-22）和式（2-23）两式中的12t t +相等，就必须满足1230λλλ--=或22123()0λλλ--=，故可得123λλλ=+或123()λλλ=±-.已知1233,(1,2)i i λλλλλ≥≥≥=和1230λλλ++>，显然无论是123λλλ=+还是123()λλλ=±-均不满足已知条件，因而12a a ≠.下面讨论12a a ≠的情形.结合式（2-19）、式（2-20）和式（2-21）联解，可得 2111312111()2a d a d a d t a d -+-=-， （2-26）21113122111211()()2a d a d a d t a d a d a d -+-=----. （2-27）对于式（2-26）和式（2-27）可以看成12,t t 关于1111(0,)(,)22d da d ∈ 的函数，下面把式（2-26）和式（2-27）分在两个区间上讨论.（i）当11(0,2da ∈时，先讨论1t ，令21111312()H a d a d a d =-+-，实际上1H 就是1t 的分子部分.因为20d <，所以有21211113()2d dH a d a d <-+-.由式（2-14）3210d d d -+<知312d d d <，这样2121111()2d d H a d a <-+.令2122111()2d dH a d a =-+,则在11(0,]2d a ∈上有12H H <.对2H 关于1a 求导，可得'2211111123(23)H a d a a d a =-=-，显然在112(0,)3d a ∈上有'20H >，故在11(0,2d a ∈上有'20H >，因而2H 在11(0,2d a ∈上单调递增，又因2H 在112d a =处有定义，则当112da =时，2H 取得最大值，且22111212112(((4)2228d d d d dH d d d =-+=+. （2-28）由1233,(1,2)i i λλλλλ≥≥≥=和1230λλλ++>可知1232λλλλ++≤，则12d λ≤.将1231d λλλ++=和1213232d λλλλλλ++= 代入式（2-28）中，可得21212222121323222312312132321223121323(4)8[4()]8[()()3()]8[()()3()]80.d H d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=+≤+++=++++++=+++++< 这样，在11(0,)2d a ∈上就有20H <，故1H 在11(0,2da ∈上同样也有10H <.因为在11(0,)2d a ∈上1120a d -<，则有10t >. 下面再来讨论2t .将2t 通分化简，得3221111121232112()2a a d a d d d d d t a d -+-++-=-. （2-29）令32231111121232()H a a d a d d d d d =-+-++-，对3H 关于1a 进行求导，得到'2231111234H a a d d d =-+--.显然在11(0,2d a ∈上，'3H 单调递增，且当10a =时，'3H 取得最小值212d d --.将1231d λλλ++=和1213232d λλλλλλ++=代入212d d --中，前面已说明12d λ≤，因而可得到2212123121323221213232231231223()()()()()()()0.d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--=-++-++>--++=-+-+=-++>由上面可以看到'3H 在11(0,)2d a ∈上有'30H >.因此3H 在11(0,)2da ∈上单调递增，又3H 在10a =处有定义，3123(0)0H d d d =->，故3H 在11(0,2da ∈上有30H >，则2t 在区间11(0,2da ∈有20t <.（ii）当111(,)2da d ∈时，同样先分析1t ，直接对1H 求导可得，'21111223H a d a d =--2111122()()a d a a d =--+. （2-30） 对于式（2-30）中右边第二项有221222221213231223()()()()()0.a d d λλλλλλλλλλλλ-+>-+=-+++=-++>因而在111(,)2d a d ∈上有'10H >,故1H 在此区间上单调递增，又1H 在11a d =处有定义，则在11a d =处取得最大值，即11312()0H d d d d =-<.因此，在区间111(,)2d a d ∈上，有10H <，又1120a d ->，则10t <. 下面再来分析2t .对3H 求导，可得 '2231111234()H a a d d d =-+-+211111123()()a d a a d d d =-+-+. （2-31） 对于式（2-31）中右边第三项有221222()()0d d d λ-+>-+>.因而在111(,)2d a d ∈上有'30H >，故3H 在此区间上单调递增，又3H 在112d a =处取得最小值，即322111*********1121232112123()(2(()2222()24()20.d d d dH d d d d d d d d d d d d da d d d d =-+-++-=-++->-+++-> 因此，在区间111(,)2d a d ∈上，有30H >，又1120a d ->，则20t >. 通过对式（2-26）和式（2-27）在1111(0,)(,)22d da d ∈ 上的分析，可以得出当11(0,)2d a ∈时，120,0t t ><；当111(,)2da d ∈时，120,0t t <>.因而当12a a ≠时，12,t t 无法满足同时大于等于零.这样，以上的推导就证明了不存在非负三对角矩阵111222000a b A c b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=.证毕.定理2.2.9 给定一组实数123123{,,}()σλλλλλλ=≥≥，如果3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>，则123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现，其中123,,a a a 全不为零.证明 设非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=，其中123,,a a a 均不为零，即123,,λλλ是矩阵A 的三个特征值.首先给出矩阵A 的特征多项式.11122231232211133212312132312322111332123121323112212312231100()()()()()()()()()()()a b I A c a b c a a a a b c a b c a a a a a a a a a a a a a b c a b c a a a a a a a a a a b c b c a a a a b c a b c λλλλλλλλλλλλλλλλλ---=-----=-------=-+++++-----=-+++++---++.由根与系数的关系知，有式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）成立.令123112132321233111,,,d d d b c t λλλλλλλλλλλλ++=++===和222b c t =，由3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++>知10,0(2,3),0(1,2)i i d d i t i ><=≥=，则式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）可改写成式（2-7）、式（2-8）和式（2-9）.下面分两种情形讨论：13a a =和13a a ≠.（i）当13a a =时.由式（2-8）和（2-9）式分别得到212121323212122t t a a a a a a d a a a d +=++-=+-， （2-32） 2123121a a d t t a -+=. （2-33）显然式（2-32）和式（2-33）都有120t t +>，下面证明两式不可能相等.令23221231111231121211()2a a d a a d a d d f a a a a d a a --+-=+--=-.对于上式中的分子部分，令3241111123()H a a a d a d d =-+-.对4H 求导可得'24111232H a a d d =-+.令'40H =得1a =4H 的两个极值点分别在(,0)-∞和12(,)3d+∞上，因而4H 在区间1(0,2d 单调.因为1212a a d +=，则显然112d a <.当10a =时，43(0)0H d =->.当112d a =时，333111211243(0)()024282d d d d d d d H d =-+->-->.因此在区间1(0,)2d 内无法找到1a 满足41()0H a =，即找不到1a 使得1()0f a =，则式（2-32）和式（2-33）不相等.故当13a a =时，无法找到非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦满足条件. （ii）当13a a ≠时.由式（2-7）、式（2-8）和式（2-9）联解，得 21233231121323231()a a a d d a t a a a a a a d a a ++-=++---， （2-34） 2123323231()a a a d d a t a a ++-=-. （2-35） 将式（2-34）通分可得：2121323*********131()()()a a a a a a d a a a a a d d a t a a ++---+-+=-212332131()a a a d d a a a -+-+=-. （2-36） ①当13a a <时.由式（2-36）可知21233211312121131321121123131()2(2)422.a a a d d a t a a d d a d a a d d d d d d a a a a -+-+=--->----+>=--因为221221213231223222()()()0d d d λλλλλλλλλλλ+<+++=+++<，则10t >. 由式（2-35）有212332323121113231321121123131()42(2)4240.a a a d d a t a a d d d d d a a d d d d d d a a a a ++-=-+-<-++<=<--②当13a a >时.对于式（2-36）分子部分有2221121123321112()(2)0424d d d da a a d d a d d d -+-+>--=-+>.因而10t <.对于式（2-33）分子部分有322112112332312()(2)0424d d d d a a a d d a d d ++-<+=+<.因而20t >.由以上的分析可以得出无论123,,a a a 如何取值均不能满足12,t t 均大于等于零.这样，就证明了找不到一个非负三对角矩阵能够实现123{,,}σλλλ=.证毕.由定理2.2.6、定理2.2.7、定理2.2.8和定理2.2.9可以得出下面的结论. 推论2.2.10 给定一组实数123123{,,}()σλλλλλλ=≥≥，如果3(1,2)i i λλ≥=和1230λλλ++≥，则123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现. 推论2.2.11 推论2.2.3、定理2.2.6、定理2.2.7、定理2.2.8、定理2.2.9和推论2.2.10的结论中非负三对角矩阵均可改为非负对称三对角矩阵，结论依然成立.注：推论2.2.10和2.2.11实际上也是对广义Perron 定理[31]一种验证. 定理 2.2.12 给定三个实数123,,λλλ，如果132(2,3),0i i λλλλ≥=≤<，和1230λλλ++≥，则123{,,}σλλλ=不能被非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦实现. 证明 设非负三对角矩阵111222300a b A c a b c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦能够实现123{,,}σλλλ=，即123,,λλλ是矩阵A 的三个特征值.首先给出矩阵A 的特征多项式.11122231232211133212312132312322111332123121323112212312231100()()()()()()()()()()()a b I A c a b c a a a a b c a b c a a a a a a a a a a a a a b c a b c a a a a a a a a a a b c b c a a a a b c a b c λλλλλλλλλλλλλλλλλ---=-----=-------=-+++++-----=-+++++---++.由根与系数的关系知，有式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）成立.。
