习题10−1 一工字型钢梁，在跨中作用集中力F ，已知l =6m ，F =20kN ，工字钢的型号为20a ，求梁中的最大正应力。
解：梁内的最大弯矩发生在跨中 kN.m 30max =M查表知20a 工字钢 3cm 237=z W则 MPa 6.126Pa 106.126102371030663max max =⨯=⨯⨯==-z W M σ 10−2 一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l ，截面高度为h ，宽度为b ，材料的弹性模量为E ，试求梁下边缘的总伸长。
解：梁的弯矩方程为 ()22121qx qlx x M -=则曲率方程为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2212111qx qlx EI EI x M x z z ρ 梁下边缘的线应变 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2212122qx qlx EI hx h x zρε下边缘伸长为 ()23020221212Ebh ql dx qx qlx EI h dx x l lz l=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∆⎰⎰ε 10−3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。
解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。
中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。
10−4 一对称T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l =1.5m,q =8KN/m ，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。
bh解：1、设截面的形心到下边缘距离为y 1则有cm 33.741084104104841=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=y则形心到上边缘距离 cm 67.433.7122=-=y于是截面对中性轴的惯性距为42323cm 0.86467.24101241033.3841284=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=z I 2、作梁的弯矩图设最大正弯矩所在截面为D ，最大负弯矩所在截面为E ，则在D 截面MPa 08.15Pa 1008.15100.8641033.710778.168231max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ MPa 61.9Pa 1061.9100.8641067.410778.168232max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ 在E 截面上MPa 40.5Pa 1040.5100.8641067.4100.168232max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ MPa 48.8Pa 1048.8100.8641033.7100.168231max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ 所以梁内MPa 08.15max t,=σ，MPa61.9max c,=σ10−5 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F ，已知l =4m ，b =120mm ，h =180mm ，弯曲时材料的许用应力[Cσ]=10Mpa ，求梁能承受的最大荷载F max 。
解：梁内的最大弯矩发生在跨中 4maxFl M =矩形截面梁 62bh W z =则由 []σσ≤=z W M max max 得 []642bh Fl σ≤即 []N 64804318.012.021*******2=⨯⨯⨯⨯⨯=≤l bh F σ 10−6 由两个28a 号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa ，求梁的许可荷载[F ]。
解：作弯矩图梁内的最大弯矩发生在跨中 F M 4max=矩形截面梁 3'max'max cm 656.6802====z z z z W y I y I W则由 []σσ≤=zW M maxmax得 []z W F σ≤4 即 []N 28927410656.68010170466=⨯⨯⨯=≤-zW F σ10−7 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l =3m ，F =3kN ，q =3kN/m ，弯曲时木材的许用应力bh[σ]=10MPa ，试选择圆木的直径d 。
解：作弯矩图则由 []σσ≤=z W M max max得 []σmax MW z ≥ 即633101010332⨯⨯≤d π，得145mm m 145.0=≥d10−8 起重机连同配重等重P =50kN ，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。
起重机的起重量F =10kN ，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa ，试选择工字钢的型号。
设全部荷载平均分配在两根梁上。
解：设起重机左轮距A 端为x ，则有 2650x M C-=，803862++-=x x M D从而确定出 kN.m2.104max=C M ，kN.m2.140max=D M即梁内出现的最大弯矩为kN.m 2.140则由 []σσ≤=zW M max max 得 []3463max m 1025.810170102.140-⨯=⨯⨯=≥σM W z 又对于本题 'max'max 2z z z z W y I y I W ===所以3344'cm 5.412m 10125.421025.82=⨯=⨯==--z zW W2.042kN.m查表选 25b 号工字钢。
10−9 两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。
解：1、第一种情况梁内的最大弯矩发生在跨中 82max ql M =矩形截面梁 32632a bh W z ==则 3332max max 163283a ql a ql W M z =⨯⨯==σ2、第二种情况梁内的最大弯矩发生在跨中 162max ql M =矩形截面梁 6632a bh W z == 则 3332max max 83166a ql a ql W M z =⨯⨯==σ 10−10 直径d =0.6mm 的钢丝绕在直径D =600mm 的圆筒上，已知钢丝的弹性模量E =2×105MPa ，试求钢丝中的最大正应力。
解： 由zEI M =ρ1得N.m 1024115.4103.03.064106.01023312411---⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯==πρzEI M200MPa Pa 1020032106.01024115.43269333max =⨯=⨯⨯⨯===--ππσd M W M z或 200MPa Pa 10200103.03.0103.010263311maxmax=⨯=⨯+⨯⨯⨯==--ρσEy10−11 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。
已知F =5kN ，a =1.5m ，[σ]=10Mpa 。
试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比h :b ，以及梁所需木料的最小直径d 。
解：()66222b d b bh W z -==由06322=-=b d db dW z 得 d b 33=，又022<-=b db W d z 所以d b 33=时 z W 取极大值，所以弯曲截面系数最大时，d b33=，d h 36=，即 1:2:=bh梁内的最大弯矩 kN.m5.7max==Fa M矩形截面梁 322736d bh W z == 则由 []σσ≤=z W M max max 得 []σmax MW z ≥ 即[]σmax3273M d ≥[]227mm m 227.01010105.739393633max==⨯⨯⨯=≥σM d10−12 一铸铁梁如图所示。
已知材料的拉伸强度极限σb =150Mpa ，压缩强度极限σbc =630Mpa ，试求梁的安全因数。
解：1、设截面形心距离下边缘为y 1 则有mm33.532160104016021201601020401601=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=y则形心到上边缘距离m m 67.14633.532002=-=y于是截面对中性轴的惯性距为42323mm4.29013333267.6616010121601033.33401601240160=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=z I 2、作梁的弯矩图C 截面MPa 057.22Pa 10057.22104.290133331033.531012612331max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z C σ MPa 663.60Pa 10663.60104.290133331067.1461012612332max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z C σ B 截面上MPa 442.40Pa 10442.40104.290133331067.146108612332max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z B σ MPa 705.14Pa 10705.14104.290133331033.53108612331max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z B σ 所以有 709.3442.40150t==n ， t c 385.10663.60630n n >== ，取安全系数为3.709。
10−13 一简支工字型钢梁，工字钢的型号为28a ，梁上荷载如图所示，已知l =6m ，F 1=60kN ，F 2=40kN ，q =8kN/m ，钢材的许用应力[σ]=170Mpa ，[τ]=100Mpa ，试校核梁的强度。
解：作内力图则有 MPa 8.170Pa 108.1701015.508108.86663max max =⨯=⨯⨯==-z W M σ 而[][]%5%47.01701708.170max <=-=-σσσ][MPa 56.38Pa 1056.380085.01062.24107.80623max,max S,max ττ<=⨯=⨯⨯⨯==-bI S F z z 10−14 一简支工字型钢梁，梁上荷载如图所示，已知l =6m ，q =6kN/m ，F =20kN ，钢材的许用应力[σ]=170Mpa ，[τ]=100Mpa ，试选择工字钢的型号。
解：作内力图由 []σσ≤=zW M max max 得 []33463max cm 3.335m 10353.3101701057=⨯=⨯⨯=≥-σM W z 查表选25a （考虑5%误差可以选则22b ） 。
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为][MPa 21.16Pa 1021.16008.01058.211028623max,max S,max ττ<=⨯=⨯⨯⨯==-b I S F z z28kN57kN.m28kN（如为22b ，[]ττ<=MPa 8.15max ） 所以工字钢型号为25a （或22b ）。
10−15 由工字钢制成的简支梁受力如图所示。
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