矩阵的标准型分解复习过程

2 1 2
2 1
2
1 [31(1)] 0
0
2 1 2
2
1
[21(21)] 0
2
[31( )]
0
0
2 2
0
2
1 0 0
1 0 0
[12(1)] 0 2
[来自百度文库,3] 0
2
0 2
0 2
1 0 0
1 0 0
[2(1)] 0
2
例1 求矩阵
1
A( )
2
1
2 1 2
2 1
2
的Smith标准形
解题思路：
经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角 的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有 的元素。
解:
1 A( )
2 1
2 1 2
2 1
1
[(13(1)] 0
2
1
P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k))-1=P(i(k-1))，P(i,j())-1=P(i,j(-))
相抵（等价）
定义5 设A(), B() P[] mn，若A()经有限次行、列初等 变换化为B(),称A()与B()相抵（等价） ，记为A()B()
定理2 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件 是存在m阶初等矩阵P1(), P2(),… Pl(),与n阶初等矩阵 Q1(), Q2(),… Qt(), ，使得
1. 矩阵的基本概念
定义1 元素为的多项式的矩阵称为-矩阵，记为A()。 即A()=(aij())mn(i=1,2,…m;j=1,2,..n),其中aij()是数域P 上的多项式。多项式aij()的最高次数称为A()的次数， 数域P上全体mn的-矩阵记为P[] mn.
注：数字矩阵是-矩阵的特例。 数字矩阵A的特征矩阵I-A是1次-矩阵。
c 2 c 3
( 1 ) 2
( 1)
( 2 ) r2 r3
( 2 ) 1
( 1)
r 3 r 2
3 22 3
0
( 2 ) 1
( 1)
( 2 ) c 3 c 2
( 1)2
1
1
( 1)
( 1 ) 2
设矩阵A()的Smith标准形为
d1 ( )
dr ( )
0
0
其中di() (i=1,2…r)是首项系数是1的不变因子，
则A()的各阶行列式因子如下：
D1() d1()
D2() Dr ()
d1()d2() d1()d2()dr
()
矩阵的标准型分解
预备知识：
➢若存在多项式h()，使得f() =d() h()， 称d()整除 f()，用d()| f()表示； ➢设f() 与g() 为数域P上的两个一元多项式，若存在 d()满足d()| f()，d()| g()，称d()为f()与g()的公因
式；
➢若f()与g()的任一公因式都是d() 的因式；称d()为 f()与g()的最大公因式，并用（f()，g()）表示f()与 g()的首项系数为1的最大公因式.
§2 矩阵及其在相抵下的标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退 而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出 了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标 准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1 或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上 以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也 大了。
rank(A())=r
➢ 数字矩阵A的特征矩阵I-A是的n次行列式，所以是
满秩的。
矩阵的逆
定义3 设A() P[] mn，如果存在一个n阶矩阵B()使得 A()B() =B() A()=I
则称A()可逆， B()为A()的逆矩阵记作A()-1。 定理1 设A() P[] mn，A()可逆的充要条件是|A() |是非
[32( )]
0
2
0 2
0 0 3
1 0 0
1 0 0
[32( )] 0
0
[3( 1)]
0
0
0
0
3
0
0
3
不变因子： d1()
d2 ( )
d3( )
例2
(1)
A()
(1)2
将其化成Smith标准形。
( 1)
解：
A(
)
( 1 ) 2
( 1)
A()=Pl()… P1()B() Q1()Q2()… Qt()
3. 矩阵在相抵下的标准型
定理 对任意一个秩为r的mn 阶-阵A()，都相抵于一个标
准型
d1()
d2()
0
A()
0
dr ()
0
di()为首项系数为1的多项式，且di() |di+1() 定义6 该标准型称为A()在相抵下的标准型或Smith标准型； 称smith标准型“主对角线”上非零元d1(),d2(),dr() 为A()的 不变因子
解 由于((+1)2,)=1,所以D1()=1
( 1) 0
0
2 ( 1) 1( ),
0 0 ( 1)2 ( 1)2 2( )
( 1) 0
0
( 1)2 ( 1)3 3 ( )
故D2( ) ( 1) 最后 D3() = det (A()) = 2(+1)3
行列式因子和不变因子的关系
零常数。
矩阵的初等变换
定义4 初等变换 (1)对换两行（列）； (2)某行（列）乘上非零的常数k；
(3) 某一行(列)的()倍加到另一行，其中()是的多项式
对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k)),P(i,j())
(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等 矩阵; (2)初等矩阵都是可逆的：
§3 矩阵的行列式因子和初等因子
定义1 设A() P[] mn，且rank(A())=r，对于正
整数k (1≤k ≤ r),A()中的全部k阶子式的最大公因
式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().
定理1 相抵的矩阵有相同的秩和相同的各阶行列
式因子
例1 求矩阵
(1)
A()
(1)2
的各阶行列式因子。
➢ 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵
的对应运算有相同的运算定律。
➢ 数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且性质
相同。
➢ n阶矩阵的行列式是的多项式，且满足 |A()B()|=|A() ||B()|
矩阵的秩
定义2 设A() P[] mn，如果A()中有一个r阶子式不 为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为