解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？
一 真题链接
1.（2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个
根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1?x2=a c
把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．
（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．
2.（2010?娄底）阅读材料：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：
根据上述材料填空：
已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则
3.已知关于x 的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．
②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．
4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2
，则两根与方程系数之间有如下关系：
根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1?x2．则k 的值为
二 名词释义
一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程
方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解
根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值
例 若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2
2
12x x +；
(2)
12
11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-
(1) 2222
121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)
121212112220072007
x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-
(4) 12||x x -=
===说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-，
121212
11x x x x x x ++=，22
121212()()4x x x x x x -=+-，
12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．
（2）构造新方程 理论：以两个数
为根的一元二次方程是
。
例 解方程组 x+y=5
Xy=6
解：显然，x ，y 是方程z 2
-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3 x 2=3,y 2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 （3）定性判断字母系数的取值范围
例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 为的两根，则c=2
由题意知
△＝k 2
-4×2×2≥0，k ≥4或k ≤-4
∴
为所求。
三 典题示例
例1 已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴ 2
22121[(1)]4(1)034
,41215
4
k k k k x x k ??=-+-+≥???≥=±?
?=+=?? 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知：
①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3
02
k ?=?=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=?+=?+=?=-，由于
3
02
k
?>?>，故1k =-不合题意，舍去．
综上可得，3
2
k =
时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0?≥．
例2 已知12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根．
(1) 是否存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-
成立． ∵ 一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 2
40
0(4)44(1)160
k k k k k k ≠??
又12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 1212114x x k x x k +=???+=??
∴ 2
2
2
121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+- 93
9
425
k k k +=-
=-?=，但0k <．
∴不存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-
成立．
(2) ∵ 222121212211212()44224411
x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++
∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，
要使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
(2) 本题综合性较强，要学会对
4
1
k +为整数的分析方法．
四 巩固强化
1. （2011湖北潜江，17，6分）若关于x 的一元二次方程x 2—4x ＋k —3＝0的两个实数根为x 1、x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．
2. （2011?南充，18，8分）关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2． （1）求k 的取值范围；
（2）如果x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1且k 为整数，求k 的值． 3. （2011?湖南张家界，23，8）阅读材料：
如果x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么， 12b x x a +=-，12c
x x a
?=．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题： 已知m 与n 是方程2x 2﹣6x+3=0的两根 （1）填空：m+n= ，m?n= ； （2）计算
n
m 1
1+的值． 4. （2011湖北孝感，22，10分）已知关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2=0有两个实数根x 1，x 2．
（1）求k 的取值范围；
（2）若|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1，求k 的值．
5. （2011?玉林，20，6分）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1的两个实数根． 求：（x 1+x 2）2÷（
2
11
1x x +）的值． 6. （2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b 、c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字。 （1）用列表法求关于x 的方程02
=++c bx x 有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。
7.（2011广西防城港 20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x2－4x ＋1＝0的两个实数
根．求（x1＋x2）2÷)1
1(
21
x x +的值．
8. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，17，6分）若关于x 的一元二次方程
0342=-+-k x x 的两个实数根为1x 、2x ，且满足213x x =，试求出方程的两个实数根
及k 的值.
9. （2011江苏苏州，15，3分）巳知a 、b 是一元二次方程x2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a+b －2）+ab 的值等于____． 10. （2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x 的方程x2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m= ，另一个根是 ．
11. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 如：x2﹣5x+1=0 ．
12. （2011?德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x ﹣1=0的两个根，则x12+x22= ． 13.（2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为 ﹣1 ．
14. （2011四川泸州，16，3分）已知关于x 的方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为 ． 15. （2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x2﹣2x ﹣5=0的两根，则x12+x1x2+x22= ．
五 参考答案
真题链接答案： 1.
2.
3.①解：由△=4（a2-3）2-4（a2-7a-b+12）=0得：a+b-3=0， 又2a-b=0， ∴a=1，b=2．
设这个方程的解为x1、x2， 则x1+x2=-2（a-3）=4＞0， x1?x2=a2-7a-b+12）=4＞0， ∴x1、x2均为正根；
②∵a=1，b=2，
∴y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12可化为：y=x2-4x+4=（x-2）2， 将此图象向下移动3个单位，得：y=（x-2）2-3， 顶点（2，-3），对称轴为x=2． 4.
巩固强化答案
1.考点：根与系数的关系。 专题：方程思想。
分析：根据根与系数的关系（x 1＋x 2＝—
a b
，x 1?x 2＝a
c ）列出等式，再由已知条件“x 1＝3x 2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可． 解答：解：由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝4 ①， x 1?x 2＝k —3 ②（2分）
又∵x 1＝3x 2 ③， 联立①、③，解方程组得??
?==13
2
1x x （4分） ∴k ＝x 1·x 2＋3＝3×1＋3＝6（5分）
答：方程两根为x 1＝3，x 2＝1；k ＝6．（6分） 点评：此题主要考查了根与系数的关系：x 1＋x 2＝—a b ，x 1?x 2＝a
c
．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a 、b 、c 的意义．
2.考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组。 专题：代数综合题。
分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b 2﹣4ac≥0，从而求出实数k 的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=k+1．再代入不等式x 1+x 2
﹣x 1x 2＜﹣1，即可求得k 的取值范围，然后根据k 为整数，求出k 的值．
解答：解：（1）∵方程有实数根，
∴△=22﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0．
故K 的取值范围是k≤0．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=k+1
x 1+x 2﹣x 1x 2=﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k ＞﹣2． 又由（1）k≤0， ∴﹣2＜k≤0． ∵k 为整数， ∴k 的值为﹣1和0．
点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0． 3.考点：根与系数的关系。 专题：计算题。
分析：（1）直接根据韦达定理计算即可得到m+n 和mn ；
（2）先把变形，用m+n 和mn 表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可．
解答：解：（1）答案为3，3
2
． （2）
mn n m n m +=
+11==2
33
=2． 点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x 1，x 2，则12b x x a +=-
，12c x x a
?=． 4.考点：根与系数的关系；根的判别式。 专题：计算题。
分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b 2﹣4ac ≥0，代入可解出k 的取值范围；
（2）结合（1）中k 的取值范围，由题意可知，x 1+x 2=2（k ﹣1）＜0，去绝对值号结合等式关系，可得出k 的值．
解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得 △=b 2﹣4ac =4（k ﹣1）2﹣4k 2≥0， 解得，k ≤1
2
；
（2）依据题意可得，x 1+x 2=2（k ﹣1）， 由（1）可知k ≤
12
， ∴2（k ﹣1）＜0， ∴﹣2（k ﹣1）=k 2﹣1， 解得k 1=1（舍去），k 2=﹣3， ∴k 的值是﹣3．
答：（1）k 的取值范围是k ≤
1
2
；（2）k 的值是﹣3． 点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k 的取值范围是正确解答的关键． 5.考点：根与系数的关系。 专题：计算题。
分析：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x 1与x 2的两根之积与两根之和的值，再根据
2
111x x +=212
1x x x x +即可解答．
解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=4，x 1?x 2=1， ∴（x 1+x 2）2÷（
2
111x x +） =42÷
2
12
1x x x x + =42÷4 =4．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．
【点评】此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定．注意△＞0，有两个不相等的实数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0，没有实数根．
7.考点：一元二次方程的根与系数的关系
专题：一元二次方程
分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，确定出x 1与x 2的两根之积与两根之和的值，再根据
2
121211
1x x x x x x +=+即可解答． 解答：∵一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根是x 1、x 2
∴x 1＋x 2＝4，x 1?x 2＝1 ∴（x 1＋x 2）2÷)11(
21x x +＝42÷2121x x x x +＝42÷1
4
＝16÷4＝4．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型． 8.考点：根与系数的关系．
分析：根据根与系数的关系（x 1+x 2=－
，x 1?x 2
= ）列出等式，再由已知条件“x 1=3x 2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．
答案：.解:由根与系数的关系得:421=+x x ① ，=?21x x 3-k ②
又∵213x x =③，联立①、③，解方程组得???==13
2
1x x
∴6313321=+?=+=x x k 答：方程两根为12=3,=1;=6x x k .
点评：此题主要考查了根与系数的关系：x 1+x 2=－
，x 1?x 2
= ．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a 、b 、c 的意义．
9.考点：根与系数的关系．
专题：计算题． 分析：欲求（a －b ）（a+b －2）+ab 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
解答：解：∵a 、b 是一元二次方程x2－2x －1=0的两个实数根， ∴ab=－1，a+b=2，∴（a －b ）（a+b －2）+ab=（a －b ）（2－2）+ab=0+ab=－1， 故答案为：－1． 点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
10．考点：一元二次方程的解；根与系数的关系． 专题：方程思想．
分析：根据一元二次方程的解定义，将x =2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0，然后解关于m
的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣b
a
解出方程的另一个根．
解答：解：根据题意，得
4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，
解得，m=1；
由韦达定理，知
x1+x2=﹣m；
∴2+x2=﹣1，
解得，x2=﹣3．
故答案是：1．﹣3．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=
﹣b
a
．x1?x2=
c
a
来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．
11.考点：根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。
专题：开放型；数形结合。
分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，则可求得AC?BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．
解答：解：连接AD，BD，OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵四边形DCFE是正方形，
∴DC⊥AB，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=∠CDB，
∴△ACD∽△DCB，
∴
BC
DC
DC AC
， 又∵正方形CDEF 的边长为1， ∵AC?BC=DC 2=1， ∵AC+BC=AB ，
在Rt △OCD 中，OC 2+CD 2=OD 2， ∴OD=
2
5， ∴AC+BC=AB=5，
以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是x 2﹣5x+1=0． 故答案为：此题答案不唯一，如：x 2﹣5x+1=0．
点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用． 12.考点：根与系数的关系。 专题：计算题。
分析：先根据根与系数的关系求出x 1+x 2和x 1?x 2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变
形，然后把x 1+x 2和x 1?x 2的值整体代入计算即可．
解答：解：∵x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0的两个根，
∴x 1+x 2=﹣
b a =﹣1，x 1?x 2=c
a
=﹣1， ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1?x 2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3． 故答案是：3．
点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x 1+x 2和x 1?x 2的值． 13.考点：根与系数的关系。 专题：探究型。
分析：先根据一元二次方程y 2﹣3y +1=0的两个实数根分别为y 1、y 2，求出y 1+y 2及y 1?y 2的值，再代入（y 1﹣1）（y 2﹣1）进行计算即可．
解答：解：∵一元二次方程y 2﹣3y +1=0的两个实数根分别为y 1．y 2， ∴y 1+y 2=3，y 1?y 2=1， ∴（y 1﹣1）（y 2﹣1），
=y 1y 2﹣y 1﹣y 2+1， =y 1y 2﹣（y 1+y 2）+1， =1﹣3+1， =﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣a
b
，x 1x 2=a c ．
14.考点：根与系数的关系；解一元二次方程，因式分解法；根的判别式．
分析：由题意设方程x 2+（2k +1）x +k 2－2=0两根为x 1，x 2，得x 1+x 2=－（2k +1），x 1?x 2=k 2－2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k 值．
解答：解：设方程方程x 2+（2k +1）x +k 2－2=0设其两根为x 1，x 2，得x 1+x 2=－（2k+1），x 1?x 2=k 2－2，
△=（2k+1）2－4×（k 2－2）=4k+9＞0，∴k ＞－
4
9， ∵x 12+x 22=11，∴（x 1+x 2）2－2 x 1?x 2=11，∴（2k+1）2－2（k 2－2）=11， 解得k =1或－3；∵k ＞－
4
9
，故答案为k =1． 点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题． 15.考点：根与系数的关系。
分析：由于方程x 2﹣2x ﹣5=0的两个实数根为x 1，x 2，所以直接利用根与系数的关系即可得
到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出x 12+x 1x 2+x 22的值． 解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣2x ﹣5=0的两根，∴x 1+x 2=2，x 1?x 2=﹣5， x 12+x 1x 2+x 22=（x 1+x 2）
2
﹣x 1x 2=4+5=9．故答案为9．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种
经常使用的解题方法．
一元二次方程根与系数的关系培优训练 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121- =--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使 21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 .
例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长． 例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。
练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2 是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β， 若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
专题八 充满活力的韦达定理 姓名： 班别： 典例导析 类型一：直接运用公式 例1：若一元二次方程02)2(2=++-a x a x 的两个根分别为3，b ，则____=+b a [点拨] 运用公式a b x x = +21，a c x x =21 [解答] [变式] 已知一元二次方程0562=--x x 之两根为b a ,，则 _____11=+b a 类型二：求方程中的字母系数 例2： 关于x 的方程0122=+++k x x 有两实根21,x x ，如果12121-<-+x x x x ，求整数k 的值。 [点拨] 熟记特殊式子2121x x x x ++的变形式 [解答] [变式] 关于x 的一元二次方程0622=--k x x （k 为常数）之两根为21,x x ， 且14221=+x x 。求k 值及方程的两根。 类型三：利用已知根求未知数的值 例3：已知关于x 的方程02=+-n mx x 的两个根是0和－3，则m= ，n= 。 [点拨] 运用公式得方程 [解答]
[变式] 已知方程042=+-m x x 的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。 类型四：利用公式求有关根的代数式的值 例4：已知b a ,是一元二次方程0122=--x x 的两个实数根，求代数式ab b a b a +-+-)2)((的值。 [点拨] 转化成b a +，ab [解答] [变式] 设21,x x 是方程032=-+x x 的两根，求1942231+-x x 的值。 类型五：与判别式的综合运用 例5：已知关于x 的方程22)1(2m x m x --=的两实根为21,x x 。 ①求m 的取值范围。 ②设21x x y +=，当y 取最小值时，求m 值及y 的最小值。 [点拨] 得出y 的表达式，用函数增减性 [解答] [变式]若关于x 的方程012)2(222=++--k x k x 有实根βα,。 ①求实数k 的取值。 ②设k t βα+= ，求t 的最小值。
?韦达定理公式介绍及典型例题 ?韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。 ?这里讲一元二次方程两根之间的关系。 ?一元二次方程ａＸ+bX+C=0﹙a０﹚中，两根Ｘ1，X2有如下关系：X1+X２=-b/a，X1Ｘ2=ｃ／a ?【定理内容】 一元二次方程ａｘ＾2+bx＋c=0(ａ0 且△=ｂ^2－４ａc0)中,设两个根为x1，x2 则 ?X1+X２＝ -b/ａ ?X1Ｘ2＝c/a 1/Ｘ1+1/X２=X1+X2／X1X２ ?用韦达定理判断方程的根一元二次方程ａx+bｘ＋c＝０ (a0)中, 若b-4aｃ0则方程没有实数根 若ｂ－4aｃ=0 则方程有两个相等的实数根 ?若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根 【定理拓展】 ?(1)若两根互为相反数，则b=0 （2)若两根互为倒数，则a=c ?(３)若一根为0,则c=0 (4）若一根为１,则ａ+b+c=0 ?(5)若一根为-1,则a-b+c＝0 ?(6)若a、c异号,方程一定有两个实数根
【例题】 已知p＋q=１98，求方程x^２+pｘ+q=0的整数根.(94祖冲之杯数学邀请赛试题） 解:设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1ｘ2.由韦达定理，得?x1+ｘ2=－p,ｘ１x２=q. 于是ｘ1ｘ2-(x1+x2）=ｐ＋q=1９8, ?即ｘ1x2-x1－x２＋1=199. ?运用提取公因式法(x１-１)（ｘ2-1)=199. 注意到（x１-１)、（x２－1)均为整数， ?解得ｘ１＝2,x2=20０;x１=-198，x２=0．
初中数学竞赛：韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例3】 已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
韦达定理与整数根的问题专题 知识结构图 一．韦达定理与代数式求值 如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当 一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式进行变形，代入求值． 二．韦达定理与根的分布 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． 更一般的结论是： 若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地： ①， ②且， ③且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． 其他有用结论： ⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． ⑵若，则方程必有实数根． ⑶若，方程不一定有实数根． ⑷若，则必有一根． ⑸若，则必有一根． 三．整数根问题 对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件： 1. 为完全平方数； 2. 或，其中为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可． 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)． 题模一韦达定理与代数式求值 例1.1、设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（2）（3） （4）（5）（6） 例1.2、设实数分别满足，并且，求的值例1.3、已知，是一元二次方程的两个根，求的值 题模二韦达定理与根的分布 例2.1、已知一元二次方程． （1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根？ （2）此方程会有两个负根吗？为什么？ 例2.2、实数k为何值时，关于x的一元二次方程． （1）有两个正根？ （2）两根异号，且正根的绝对值较大？ （3）一根大于3，一根小于3？ 题模三整数根问题 例3.1、已知：关于的一元二次方程 (为实数) (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)求证：无论为何值，方程总有一个固定的根； (3)若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值及方程所有的根 例3.2、已知关于的方程的两根都是整数，求的值． 例3.3、求使关于x的方程的根均为整数的所有整数a．
充分条件与必要条件·典型例题 能力素养 例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x 1＋x2＝－5，则p是q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分不为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 讲明：判定命题为假命题能够通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价．
解对A．p：x＞1，q：x＜1，因此，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； D p q q p p q p q D ??? 对．且，即，是的充要条件．选． 讲明：当a＝0时，ax＝0有许多个解． 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D． 解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B 由①③得A C④ 由②④得A D． ∴D是A成立的必要条件．选B． 讲明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【中考攻略】专题 韦达定理应用探讨 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为―韦达定理‖）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为―代数学之父‖。 韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b c x +x =x x =a a -?，。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。其逆命题：如果12x x ，满足1212b c x +x =x x =a a -?，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。 韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0?-≥。 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。我们将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。 典型例题： 例1：（湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】 A ．－2 B ．2 C ．3 D ．1 【答案】C 。 【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3。故选C 。 例2：（湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】 A.4. B.3. C.－4. D.－3. 【答案】B 。 【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得12c 3x x ===3a 1 ?。故选B 。 例3：（山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】
一元二次方程根与系数的关系 培优训练 欧阳光明（2021.03.07） 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的 m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 . 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程 的两个实数根，求△ABC 的周长．
例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)- 3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求 的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两 实数根为α,β，若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面 积。
解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？ 一 真题链接 1.（2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个 根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1?x2=a c 把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为： 参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形． （1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．
1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:
中考数学专题八充满活力的韦达定理培优试题无答案姓名：班别： 典例导析 类型一：直接运用公式 例1：若一元二次方程的两个根分别为3，b，则 [点拨] 运用公式， [解答] [变式] 已知一元二次方程之两根为，则 类型二：求方程中的字母系数 例2：关于的方程有两实根，如果，求整数k的值。 [点拨] 熟记特殊式子的变形式 [解答] [变式] 关于的一元二次方程（k为常数）之两根为， 且。求k值及方程的两根。
类型三：利用已知根求未知数的值 例3：已知关于的方程的两个根是0和－3，则m= ，n= 。[点拨] 运用公式得方程 [解答] [变式] 已知方程的一个根是2，求方程的另一个根及m的值。 类型四：利用公式求有关根的代数式的值 例4：已知是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值。 [点拨] 转化成， [解答] [变式] 设是方程的两根，求的值。 类型五：与判别式的综合运用 例5：已知关于的方程的两实根为。
①求m 的取值范围。 ②设，当y 取最小值时，求m 值及y 的最小值。 [点拨] 得出y 的表达式，用函数增减性 [解答] [变式]若关于的方程012)2(222=++--k x k x 有实根。 ①求实数k 的取值。 ②设，求t 的最小值。 培优训练 1、已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式 2、已知关于的方程的两实根是，且，求k 值。 3、已知一元二次方程013)13(2=-++-x x 的两根为，求。
4、已知是方程的两个实数根，求的值。 5、关于的方程的一个根是另一个根的2倍，则m 值为 。 6、已知一元二次方程。 ①若方程有两个实数根，求m 的范围。 ②若方程的两个实数根为，且，求m 的值。 7、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且。求的值。 竞赛训练 1、关于的一元二次方程的两实根。 ①求P 的取值范围。 ②若9)]1(2)][1(2[2211=-+-+x x x x ，求P 的值。
韦达定理经典习题 一．选择题（共16小题） 1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（） A．﹣2B．2C．±2D．4 2．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（） A．﹣4B．2C．4D．﹣3 3．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A．2014B．2015C．2016D．2017 4．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根 B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大 5．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（） A．1B．3C．﹣5D．﹣9 6．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2 7．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+=（） A．B．1C．D． 8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（） A．k＞﹣1B．k＜0C．﹣1＜k＜0D．﹣1≤k＜ 9.已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 10.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（） A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0 11.设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A．2014B．2015C．2012D．2013 二．填空题（共30小题） 12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为． 13．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是． 14．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=． 15．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=． 16.已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为． 17.已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为． 18.已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是．19．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2﹣4a﹣b的值为．
韦达定理(常见经典题型)
一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平 方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 一元二次 定义：等号两边都是整式，只 含有一个未知数（一 解法直接开平方法 因式分解法 配方法 公式 法 22 240404b ac b ac b ac ?-??-???-?? ＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际 问题?? ? 步骤 实际问题的答案
①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理 一、 一元二次方程的基本概念及解法 1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的 值为 A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 2、 程时。 、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。 满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1 =+-++-x m x m m 3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和2 二 一元二次方程根的判别式 4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根 B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根 D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实
韦达定理经典例题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
一元二次方程根与系数的关系培优训练 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使2 3)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求 证：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，若，则. 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程的两个实数根，求△ABC 的周长． 例5．在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了 q ，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么 例6．已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程 x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；
解：∵α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2 -3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2是方程x 2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，那 么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少 4．已知关于x 的方程x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形 的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。 5．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程 y 2+5my+7=0的两个实数根，且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2，求m 、n 的值。 6．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程 x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。
韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用 方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定
理，得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 解（1）由韦达定理知 ，。 ， 。 所以，所求方程为。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q）=(0,0)，(1,0)，(1 -)。 -,1)或(0, 1 -,0)，(0,1)，(2,1)，(2 于是，得以下七个方程，，，，， 1 x2= -，其中0 1 x2= +无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。x2= +，0 x 1 + 2 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
韦达定理专项练习 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两 个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 记住下面公式： 专项练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .
7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: （1）2212x x += ； （2）2 111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题： 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4 2、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++12 21221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 3 1 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ） 0322=--x x （D ）0322=++x x 5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）
【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一. 选择题 1. 关于x 的方程x a a a a x a 2 2 2 2260++-+++=()的两实数根互为相反数，则a ＝_________。 A. -32 B. -12 C. 3 2 D. 1 2 2. m 为（ ）时，关于x 的方程3602 x x m ++=有两个负实数根 A. 1，2 B. 1，2，3 C. 2，3 D. 1，3 3. 关于x 的方程23502 x x m ++=的两实数根都小于1，则m （ ） A. -<< 1940m B. m >-1 C. -<≤ 1940m D. m ≤ 940 4. 已知实数a 、b 满足a a 222=-，b b 2 22=-，则b a a b 2 2 + （ ） A. 5 B. 13± C. 5或13- D. 5或13± 5. 某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年年初投入资金相加所得的总资金作为下一年年初投入资金继续进行经营，如果第一年的年获利率为P ，则第一年年终的总资金可用代数式表示为（ ）万元 A. 501()-p B. 501()+p C. 50 1+p D. 50 1-p 二. 填空 6. 商店里有种型号的电视机，每台售价1200元，可盈利20％，现有一客商以11500元总价购买了若干台这种型号的电视机，利润15％，若设客商买了x 台电视，则商店每台电视机进价为__________，由题列方程_______________，解得_______________。 7. 某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降了10％，该商场采取措施，销量大增，四月达129.6万元，则三、四月平均月销售额增长的百分率为_________。 8. 若三个方程x x a 24230-+-=，x x a 2 63120-++=，x x a 2 3254 +-+ =中 至少有一个方程有实数根，则a___________ 9. 已知x x 12，为4356022 x m x m ---=()的两实数根，且| |x x 1 2 3 2= ，则m________
二元一次方程判别式与韦达定理专题 知识小结： 1、对于一个一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．我们把把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示． 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根． 反之亦然． 2、韦达定理：如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是X 1 , X 2 , 那么a c x x a b x x =?-=+2121,（能用韦达定理的前提条件为△≥0 ） 巩固练习： 一、填空题 1．已知2-240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ． 2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2 ＝ 。 3.已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－3 5 ，则m= ，这时方程的两 个根为 . 4．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ 。 5.方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根，则最小的整数m= ; 6.已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等，则m= ; 7.设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ; 三、解答题 8.已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求： (1) (2) （3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 10.关于x 的方程04 )2(2 =+ ++k x k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由
韦达定理与习题Revised on November 25, 2020
一. 本周教学内容：韦达定理的应用 二. 重点、难点： 灵活应用韦达定理与推论(韦达定理的逆定理) 三.知识回顾 在初中数学的学习中，韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的，主要有如下的应用： 1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。 2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。 3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。 4. 一元二次方程的验根。 5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。 6. 与判别式的综合应用。 【典型例题】 例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。 解：设另一个根为x则相加，得x 例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x，x，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和 解：∵ 又
∴代入得， ∴新方程为 例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根解：∵二次实数方程实根共轭。 ∴若是，则另一根为 ∴，。 ∴以为根的一元二次方程即为. 例4：解方程组 解：设 ∴. ∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6. ∴解方程组
∴可解得 例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值 解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b。 则2。 又a，b为方程两根。 ∴ab=4m（m-2） ∴S 但a，b为实数且 ∴ ∴ ∴m=5或6 当m=6时， ∴m=5 ∴S. 例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根 ①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数
《根与系数关系（韦达定理）》专题 班级 姓名 忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 请根据以上的观察发现进一步猜想： 方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根x 1，x 2与a 、b 、c 之间的关系：____________． 我们尝试证明一下 若方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为1x ，2x 则1x = ，2x = 。 则12x x += 12.x x = 归纳 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系 ①2 0ax bx c ++= (0a ≠)的两个根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ?=______ . ② 方程20x px q ++=的两根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ?=_______. 注意事项:使用一元二次方程根与系数的关系时要注意两个问题: ①必须为一元二次方程(0a ≠); ②一定在有根的条件下(△≥0). 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）2310x x ++=；（2）23210x x --= （3）2230x -+=； （4）2250x x += 【类型一】已知方程一根,求另一根及未知系数的值. 例1 已知方程ax 2 -7x -6=0(a ≠0)一根为2,求方程的另一根及a 的值. 1.已知方程2230x x m --=的一个根是1 2 ，求它的另一个根和m 的值. 2.若一元二次方程 22(1)230m x m m -++-=的一根为零，求m 的值.
【类型二】已知方程两根的关系,求未知系数的值 例2若方程2380x x m -+=的两根之比为3:2,求m 的值. 1. 已知方程x 2-2(m +1)x +m 2 -2=0,m =___ _时,方程两根互为相反数; m = 时,方程两根互为负倒数. 2. 若方程20x px q ++=的一个根是另一个根的2倍,则p 、q 之间的关系是 【类型三】不解方程 求与根有关的代数式的值 例3 设1x 、2x 是一元二次方程 22510x x -+=的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）12(3)(3)x x --； （2）2212(1)(1)x x +++； （3）211211x x x x +++； （4）12x x -. 【类型四】根据题意，求方程中某些待定字母系数的值 例4 已知关于x 的方程 22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ． ⑴求k 的取值范围； ⑵k 为何值时，1x 与2x 互为倒数. 1.已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A ．－3或1 B ．－3 C ．1 D ．3 2.当m = 时，方程250x x m ++=的两根之差是7. 例5已知关于x 的方程2320x mx +-=的两根的平方和为13 9 ，求m 的值. 例6已知关于x 的一元二次方程2(21)10x k x k +---= （1）试判断此一元二次方程根的存在情况； （2）若方程有两个实数根21x x 和，且满足1112 1 =+x x ，求k 的值．