二元一次方程判别式与韦达定理专题
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根的判别式与韦达定理专题一、导入:脑经急转弯(1)猪圈里的猪出来了,怎么办?{猜一个明星} (2)猪圈里的猪又出来了,怎么办?{猜一个明星} (3)猪圈里的猪出第3次来了,怎么办?{猜一个明星} 二、知识点回顾:1、一元二次方程及其根的含义2、一元二次方程的常用解法 三、知识点精讲1、判别式的意义及一元二次方程根的情况。
(1)定义:把 叫做一元二次方程)0(0c bx ax 2≠=++a 的根的判别式,通常用符号“ ”表示。
(2)一元二次方程。
当0>∆时, ; 当0=∆时, ; 当0<∆时, 。
2.∆的“来历”:任何一个一元二次方程)0a 0c bx ax 2≠=++(用配方法将其变形为04,044-2a b x 2222>∴≠=+a a aac b )( ,因此对于被开方数224a 4ac -b 来说,只需研究4ac -b 2 为如下几种情况的方程的根。
(1)当 4ac -b 2>0时,方程有两个不相等的实数根。
即(2)当 时,方程有两个相等的实数根,即 。
(3)当 时,方程没有实数根。
3.韦达定理:(1)=+21x x (2)=21x x 4.根的符号问题:(1)两根同为正: ; (2)两根同为负: ; (3)两根一正一负: 。
例1、不解方程,判别下列方程的根的情况:(1)22x +3x-4=0; (2)216y +9=24y ; (3)25x +1-7x=0()【变式训练1】:1.不解方程,判别下列方程的情况: (1) (5) ;例2、方程0232=+-x kx 有两个相等的实数根,则k= 。
【变式训练2】:1.若关于x 的一元二次方程0342=+-x kx 有实数根,则k 的非负整数值是 。
2.已知k>0且一元二次方程11232-=++k x kx 有两个相等的实数根,则k= 。
3.当k 不小于-14时,一元二次方程()()0x 12x 22=+---k k k 根的情况是 。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1:不解方程,判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2:证明一元二次方程根的情况求证:无论k 取何实数,关于x 的一元二次方程:2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3:已知一元二次方程根的情况..,求方程中未知系数的取值范围 1.( 2011·重庆)已知关于x 的一元二次方程......(a -1)x 2-2x +1=0有两个不相等的......实数根,则a 的取值范围是( )A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <-2· 变式1:(2010·安徽芜湖)关于x 的方程..(a -5)x 2-4x -1=0有实数根....,则a 满足() A .a ≥1 B .a >1且a ≠5 C .a ≥1且a ≠5 D .a ≠5注意:要特别注意二次项系数是否为0,即原方程是否“一定为一元二次方程”。
变式2:(2010 ·成都)若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根,求k 的取值范围及k 的非负整数....值.变式3:已知关于x 的一元二次方程(12)10k x k x --=有两个实数根,求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1:已知一元二次方程的一根,求另一根及未知系数k 的值 已知23-是方程210x kx ++=的一根,则方程的另一根是 ,k = 。
题型2:求与一元二次方程根有关的代数式的值; 1. 已知12,x x 是方程22430xx --=的两根,计算: (1)2212x x +; ⑵ 1211x x +;⑶212()x x -变式:已知,a b是方程2201230x x -+=的两实根,求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3:已知一元二次方程两根的关系.....,求方程中未知系数的取值 1. 关于x 的一元二次方程22(21)10xk x k +-+-=的两个实根的平方和等于9,求k 的值变式1: (2011·荆州)关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax有两个不相等的实根1x 、2x ,且有a x x x x -=+-12211,则a 的值是( )A .1B .-1C .1或-1D . 2注意:要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根,即原方程:△≥0。
专题复习二 根的判别式与韦达定理重点提示: (1)根的判别式ac b 42-主要应用于判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况时要注意方程是不是一元二次方程,如果方程的类型不确定还要进行分类讨论.(2)韦达定理主要反映一元二次方程根与系数的关系,利用韦达定理的前提条件是方程有解,即042≥-ac b .【夯实基础巩固】1. 已知x 1,x 2是方程x 2+2x ﹣5=0的两根,则的值为( B )A .﹣B .C .D .﹣2.已知x 2+px +q =0的两根是3,﹣4,则代数式x 2+px +q 分解因式的结果是( C )A . (x +3)(x +4)B . (x ﹣3)(x ﹣4)C . (x ﹣3)(x +4)D . (x +3)(x ﹣4)3.关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣1=0的根的情况是( A )A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 有两个实数根D . 没有实数根4.关于x 的方程x 2﹣(m ﹣1)x +m ﹣2=0的两根互为倒数,则m 的值是( C )A . 1B . 2C . 3D . 45.关于x 的方程x 2﹣(m ﹣3)x +m 2=0有两个不相等的实数根,则m 的最大整数值是( B )A . 2B . 1C . 0D . ﹣16.已知关于x 的一元二次方程x 2+kx +1=0有两个相等的实数根,则k = ±2 .7.已知x 1,x 2是方程的两根,则的值为 3 .8.已知a ,b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根,则代数式(a ﹣b )(a +b ﹣2)+ab 的值等于 ﹣1 .9.已知关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1=0.(1)不解方程,判别方程根的情况.(2)若方程有一个根为3,求m 的值.(1)∵∆=(2m )2﹣4×1×(m 2﹣1)=4>0,∴方程x 2+2mx +m 2﹣1=0有两个不相等的实数根.(2)∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3,∴32+2m×3+m2﹣1=0,解得m=﹣4或m=﹣2.10.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根.(1)求实数m的最大整数值.(2)在(1)的条件下,方程的实数根是x1,x2,求代数式x12+x22﹣x1x2的值.(1)∵x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,∴ =8﹣4m>0,解得m<2,∴m的最大整数值为1.(2)∵m=1,∴此一元二次方程为x2﹣2x+1=0.∴x1+x2=2,x1x2=1.∴x12+x22﹣x1x2=(x1+x2)2﹣3x1x2=8﹣3=5.【能力提升培优】11.若a,b,c为三角形三边,则关于x的一元二次方程x2+(a﹣b)x+c2=0的根的情况是(C)A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定12.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),给出下列命题:①若a+b+c=0,则b2﹣4ac≥0;②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2,则2a+c=0;③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根.其中真命题有(C)A.1个B.2个C.3个D.0个13.设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,则p,q的值分别为(A)A.﹣1,﹣3 B.1,3 C.1,﹣3 D.﹣1,3【解析】∵x1,x2是x2+px+q=0的两根,x1+1,x2+1是x2+qx+p=0的两根,∴x1+x2=-p,x1x2=q,x1+1+x2+1= x1+x2+2=-q,(x1+1)(x2+1)= x1x2+(x1+x2)+1=p.∴-p+2=-q,q-p+1=p.∴p=-1,q=-3.14.若一元二次方程x2﹣(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3,b,则a+b=5.15.已知m,n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根,且(7m2﹣14m+a)(3n2﹣6n﹣7)=8,则a的值等于﹣9.16.已知关于x的方程x2﹣(a+b)x+ab﹣1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2<ab;③.则正确结论的序号是①②.17.关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1,x2.(1)求实数k的取值范围.(2)若方程两实根x1,x2满足|x1|+|x2|=x1x2,求k的值.(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴∆=(2k+1)2﹣4(k2+1)=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3>0,解得k>.(2)∵k>,∴x1+x2=﹣(2k+1)<0.又∵x1x2=k2+1>0,∴x1<0,x2<0.∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣(x1+x2)=2k+1.∵|x1|+|x2|=x1x2,∴2k+1=k2+1.∴k1=0,k2=2.又∵k>,∴k=2.18.设m是不小于﹣1的实数,关于x的方程x2+2(m﹣2)x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)若+=1,求的值.(2)求+﹣m2的最大值.∵方程有两个不相等的实数根,∴∆= 4(m﹣2)2﹣4(m2﹣3m+3)=﹣4m+4>0,解得m<1.∴﹣1≤m<1.(1)∵x1+x2=﹣2(m﹣2),x1x2=m2﹣3m+3,∴+===1,解得m1=,m2=(不合题意,舍去).∴=﹣2.(2)+﹣m2=﹣m2=﹣2(m﹣1)﹣m2=﹣(m+1)2+3.当m=﹣1时,最大值为3.【中考实战演练】19.【烟台】等腰三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为(B)A.9B.10 C.9或10 D.8或10【解析】∵a,b,2是等腰三角形的三边长,∴a=2,b<4或a<4,b=2或a=b>1. ∵a,b是x2-6x+n-1=0的两根,∴a+b=6.∴a=b=3.∴ab=n-1=9.∴n=10.20.已知m,n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根,那么m+n的最大值是4.【开放应用探究】21.若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2﹣6x﹣27=0,x2﹣2x﹣8=0,x2+3x﹣=0,x2+6x ﹣27=0,x2+4x+4=0,都是“偶系二次方程”.(1)判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由.(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”?请说明理由.(1)不是.理由如下:解方程x2+x﹣12=0得x1=3,x2=﹣4.∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5.∵3.5不是整数,∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程.(2)存在.理由如下:∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程,∴假设c=mb2+n.当b=﹣6,c=﹣27时,﹣27=36m+n.∵x2=0是偶系二次方程,∴n=0,m=﹣.∴c=﹣b2.∴可设c=﹣b2.对于任意一个整数b,c=﹣b2时, =b2﹣4c=4b2.∴x1=﹣b,x2=b.∴|x1|+|x2|=2|b|,∵b是整数,∴对于任何一个整数b,当c=﹣b2时,关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”.。
一元二次方程的解法及韦达定理一元二次方程的解法及韦达定理编号:撰写人:审核:一、一元二次方程的解法:例题1:用配方法、因式分解、公式法解方程:x2-5x+6=0【一元二次方程的解法总结】1、直接法:对于形如—x2=a的方程,我们可以用直接法。
方程的解为x=推论:对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。
注意点:①二次项的系数为1,且a≥0②如果a为根式,注意化简。
例1:解方程:5x2=1例2:解方程:x2=4例3:解方程:4x 2+12x+9=122、配方法:对于形如:ax 2+bx+c=0(其中a ≠0)的方程,我们可以采用配方法的方法来解。
步骤:①把二次项的系数化为1.两边同时除以a ,可以得到:X 2+ b a x+ c a=0 ②配方:(x+ 2ba )2+c- 2()2b a =0③移项:(x+ 2ba )2=2()2b a -c ④用直接法求出方程的解。
X=-2b a注意点:解除方程的解后,要检查根号内是否要进一步化简。
例:解方程:x 2+x=13、公式法:对于形如:ax 2+bx+c=0(其中a ≠0)的方程,我们也可以采用公式法的方法来解。
根据配方法,我们可以得到方程的解为:X=-2b a进一步变形,就可以知道:形如:ax 2+bx+c=0(其中a ≠0)的方程的解为:x1x2注意点:①解除方程的解后,要检查根号内是否要进一步化简。
②解题步骤要规范。
例:解方程:x2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法,一元二次方程还有其他的解法。
4、换元法对于一个方程,如果在结构上有某种特殊的相似性,可以考虑用换元法;或者,当这个题目有比较复杂的根式,换元法也是可以考虑的解法。
例1:解方程:(x2+5x+2)2+(x2+5x+2)-2=0例2:=15、有理化方法:对于一个方程,如果含有两个根式,并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值,那就可以考虑用有理化的方法。
例:=46、主元法:对于一个方程,如果有两个未知数,那么,我们可以确定其中的一个为“主元“,将另一个未知数设定为常数,用公式法可以解出结果。
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠,用配方法将其变形为:2224()24b b ac x a a -+=,把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式,表示为:24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时,方程有两个不相等的实数根:x =(2) 当Δ=240b ac -=时,因此,方程有两个相等的实数根:1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时,因此,方程没有实数根.【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的范围:(1) 方程有两个不相等的实数根;(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根;(4) 方程无实数根.【解析】:2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<;(2) 141203k k -=⇒=;(3) 141203k k -≥⇒≥;(4) 141203k k -<⇒<.【变式1】((2022秋·重庆开州·八年级统考期中)使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解,且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为( )A .35B .30C .26D .21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集,根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围,再通过根的判别式确定a 的取值范围,最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可.【详解】解:整理不等式组得:6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得:x ≥a ―106,由②得:x<4∵不等式组有且只有4个整数解,∴不等式组的4个整数解是:3,2,1,0,∴―1<a―106≤0,解得:4<a≤10,∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根,∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得:a≤9,∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程,∴a≠5∴4<a≤9,且a≠5,满足条件的整数有:6、7、8、9;∴6+7+8+9=30,故选:B.【变式2】.已知关于x的一元二次方程:x2﹣(2k+1)x+4(k―12)=0.(1)求证:这个方程总有两个实数根;(2)若等腰△ABC的一边长a=4b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC 的周长.【解答】(1)证明:Δ=(2k+1)2﹣4×1×4(k―12)=4k2﹣12k+9=(2k﹣3)2,∵无论k取什么实数值,(2k﹣3)2≥0,∴△≥0,∴无论k取什么实数值,方程总有实数根;(2)解:∵x=2k+1±(2k―3)2,∴x1=2k﹣1,x2=2,∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k﹣1,c=2,当a 、b 为腰,则a =b =4,即2k ﹣1=4,解得k =52,此时三角形的周长=4+4+2=10;当b 、c 为腰时,b =c =2,此时b +c =a ,故此种情况不存在.综上所述,△ABC 的周长为10.【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=,试求x 、y 的值.【解析】:可以把所给方程看作为关于x 的方程,整理得:22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数,所以上述方程有实数根,因此:222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=,代入原方程得:22101x x x ++=⇒=-.综上知:1,0x y =-=【变式1】(2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末)已知a ,b ,c 满足a 2+6b =7,b 2―2c =―1,c 2―2a =―17,则a ―b +c 的值为( )A .―1B .5C .6D .―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7,b 2―2c =―1,c 2―2a =―17,两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0,分解因式,利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值,代入求得答案即可.【详解】解:∵a 2+6b =7,b 2―2c =―1,c 2―2a =―17,∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―,∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0,∴a =1,b =―3,c =1,∴a ―b +c =1+3+1=5.故选:B .【变式2】((2022秋·江苏扬州·八年级统考期中)新定义,若关于x 的一元二次方程:m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0,称为“同类方程”.如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”.现有关于x 的一元二次方程:2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”.那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________.【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义,可得出a ,b 的值,从而解得代数式的最大值.【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”,∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1,∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7,∴b +8=2(a +6)6=a +7 ,解得:a =―1b =2,∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时,a x 2+bx +2022取得最大值为2023.故答案为:2023.2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为:x x ==所以:12b x x a+==-,12244ac c x x a a⋅====韦达定理:如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ,那么:1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:(1) 2212x x +;(2) 1211x x +;(3) 12(5)(5)x x --;(4) 12||x x -.【解析】:由题意,根据根与系数的关系得:12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:222121212()2x x x x x x +=+-,12121211x x x x x x ++=,22121212()()4x x x x x x -=+-,12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+,33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等.韦达定理体现了整体思想.【例4】.已知关于x 的方程220x mx m -+=.(1)若2m =-,方程两根分别为1x ,2x ,求12x x -和3312x x +的值;(2)若方程有一正数,有一负数根,求实数m 的取值范围.【答案】.(14- (2)m <0【解析】(1)由22121212=()4x x x x x x -+-,33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-,借助韦达定理求解.(2)借助韦达定理表示方程有一正数,有一负数根的等价条件,进而求解.【详解】(1)当2m =-时,2222x x +-=即:210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此:2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-(2)220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ,b 满足222a a =-,222b b =-,求22b a a b +的值.【解析】:b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】(2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末)设m 是不小于﹣1的实数,使得关于x 的方程x 2+2(m ﹣2)x +m 2﹣3m +3=0有两个实数根x 1,x 2.(1)若x 21+x 22=2,求m 的值;(2)令T =mx 11―x 1+mx 21―x 2,求T 的取值范围.【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数,确定m 的取值范围,根据根与系数的关系,用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积.(1)变形x 12+x 22为(x 1+x 2)2-2x 1x 2,代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程,解方程根据m 的取值范围得到m 的值;(2)化简T ,用含m 的式子表示出T ,根据m 的取值范围,得到T 的取值范围.(1)∵关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2-3m +3=0有两个实数根,∴Δ=4(m -2)2-4(m 2-3m +3)≥0,解得m ≤1,∵m 是不小于-1的实数,∴-1≤m ≤1,∵方程x 2+2(m -2)x +m 2-3m +3=0x 1,x 2,∴x 1+x 2=-2(m -2)=4-2m ,x 1•x 2=m 2-3m +3.∵x 12+x 22=2,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=2,∴4(m -2)2-2(m 2-3m +3)=2,整理得m 2-5m +4=0,解得m 1=1,m 2=4(舍去),∴m 的值为1;(2)T =mx 11―x 1+mx 21―x 2,=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m .∵当x =1时,方程为1+2(m ﹣2)+m 2﹣3m +3=0,解得m =1或m =0.∴当m =1或m =0时,T 没有意义.∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2.即0<T ≤4且T ≠2.【变式3】.已知12x x ,是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ,使12123(2)(2)2x x x x --=-成立?若存在,求出k 的值,若不存在,请说明理由;(2)若k 是整数,求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值.【答案】(1)不存在k ;理由见解析;(2)235k =---,,.【详解】(1)假设存在实数k ,使()()12123222x x x x --=-成立.∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩,又1x ,2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=,但0k < .∴不存在实数k ,使()()12123222x x x x --=-成立.(2)∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数,只需1k +能整除4,∴11k +=±,2±,4±,注意到0k <,要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为-2,-3,-5.所以k 的值为235k =---,,【变式4】(2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习)设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ,b ,根据一元二次方程根与系数的关系可知:ab =1,记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100,那么S1+S2+S3+⋯+S100=______.【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100,代入计算即可.【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a,b,∴ab=1,∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100,∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1,S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1,S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1,∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100,故答案为:100.。
韦达定理与根的判别式这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习韦达定理与根的判别式知识点:1、根的判别式b24ac(1)b24ac 0 ,方程有两个不相等的实数根;(2)b2 4ac 0,方程有两个相等的实数根;(3)b2 4ac 0,方程没有实数根;2、韦达定理已知x1,x2是一元二次方程的两根,则有xb1 x2ax1x2ca例1:已知一元二次方程x22x m 1 0 (1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?(2)设x21,x2是方程的两个实数根,且满足x1 x1x2 1,求m的值练习:1、方程x23 0的根的情况是()A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知x2 1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根,则()A x331 x2 2 ,x1x2 2 B x1 x2 2 ,x1x2 2 C x1 x322,x1x2 2 D x31 x22,x1x2 23、已知方程x2 2 0,则此方程()A 无实数根B两根之和为C两根之积为2D有一根为2 1这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习4、已知x1,x2是方程2x 3x 1 0的两个根,则3221x11x2的值为()A 3B -3C D5、若将二次三项式x2 px 6因式分解,分解后的一个因式是x-3,则p的值是()A -5 B -1 C 1 D 56、已知x1,x2是方程x 4x 3 0的两个根,那么x1x2的值是() A - 4 B 4 C -3 D 37、在一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中,若a与c异号,则方程()A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为x1 3,x2 4,则这个方程为() A (x 3)(x 4) 0 B (x 3)(x 4) 0 C (x 3)(x 4) 0 D (x 3)(x 4) 09、关于x的一元二次方程3x 2x k 1 0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是() A k432243且k 1 C k2243D k4310、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为() A m43B m43C m43且m 2 D m43且m 22211、已知一直角三角形的三边为a、b、c,∠B=90 ,那么关于x的方程a(x 1) 2cx b(x 1) 0的根的情况为()A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设x1,x2是方程2x 4x 3 0的两个根,则2221x11x213、已知关于x的方程x 2(m 2)x m 0有两个实数根,且两根的平方和等于16,则m的值为14、已知方程x (12x20的两根为x1,x2,则x1 x2的值为2215、关于x的一元二次方程mx (3m 1)x m 0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根。
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式:
判别式是用来判别一元二次方程的根(解)是实根、重根还是无解的
一个实用公式,它是欧拉定理的重要应用。
判别式的表达式为:D=b²-4ac。
其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数:ax²+bx+c=0。
2. 韦达定理应用举例:
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理,可以用来证明几何图形的线
段关系。
举例说明:
假设有ABC三角形,设三点的坐标分别为A(2,3),B(-1,-4),C(1,-1),根据韦达定理可得:
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值,如果相等,证明该三角形
是等腰的。
3. 抛物线:
抛物线是第二次多项式函数的一类,表达式为:y=ax²+bx+c,其中a、b、c分别为常数,x为变量。
抛物线的性质:当a>0时,抛物线是一条开
口向上的“U”形线,当a<0时,抛物线是一条开口向下的“∩”形线。
二元一次方程判别式与韦达定理专题知识小结:1、对于一个一元二次方程ax2+ bx+ c= 0 (a^ 0) •我们把把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+ bx+ c= 0的根的判别式,通常用符号△ ”表示.当厶>0时,有两个不相等的实数根;当厶=0时,有两个相等的实数根;当△< 0时,没有实数根. 反之亦然.2、韦达定理:如果方程ax2+bx+c=0(a^0)的两个根是X i , X2 ,b c那么X i X2 —,X i?X2 -(能用韦达定理的前提条件为0 )a a巩固练习:一、填空题1 •已知2 、、5是一元二次方程x2 4x c 0的一个根,则方程的另一个根是________ .2. ___________________________________________________ 已知x i,X2是方程2x —7x+ 4= 0 的两根,则x i+ X2 = __________________________________________ ,x i ・X2=_______________________________________________________________________________________________________ ,(x i —X2) 2= ____ 。
3. 已知关于x的方程i0x2—(m+3)x+m- 7=0,若有一个根为0,则m ______ ,这3时方程的另一个根是______ ;若两根之和为一5,则m ________ ,这时方程的两个根为.4 .若关于x的方程(m2—2)x2—(m—2)x + i = 0的两个根互为倒数,则m=________________________________________________________________ 。
5. 方程2x(mx—4)=x2—6没有实数根,则最小的整数m= ;6. 已知方程2(x —i)(x —3m)=x(m— 4)两根的和与两根的积相等,则m=;7. 设关于x的方程x2—6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20则k值为;三、解答题8. 已知方程x2 x 1 0的两个实数根为x1, x2,求:(1) (2) (3) x i2+ x 1X2+2 x i一?k10.关于x的方程kx2(k 2)x 0有两个不相等的实数根.4(1)求k的取值范围。
专题02 韦达定理韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容,但因为考试没有要求,很多学校都没怎么系统的讲过,很多学生还不是很了解韦达定理,更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁,许多知识点都要结合韦达定理来做,希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理.韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系,韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.【例1】已知方程5x 2+kx -6=0的一个根是2,求它的另一个根及k 的值. 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k 的值,再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出k 的值.设方程的另一个根为1x,知识梳理知识结构模块一: 运用韦达定理,求方程中参数典例剖析则5621-=x ,531-=∴x .由52)53(k-=+-,得7-=k .所以,方程的另一个根为53-.k 的值为-7.1.1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根,并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ,则实数m 的值范围是 . 【难度】★★ 【答案】5132m -<≤2.0519998081999522=++=+-b b a a 及已知,求ba的值. 【难度】★★ 【答案】58 【解析】由方程的结构可知a 、b 1是方程08199952=+-x x 的两根,由韦达定理可得58=b a【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根. (1) 求|x 1-x 2|的值; (2) 求222111x x +的值; (3) 求31x +32x 的值. 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析:分别变形为可以利用x 1+x 2和x 1x 2来表示的形式.解:∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根,2521-=+∴x x ,2321-=x x .(1)∵|x 1-x 2|2=21x +22x -2x 1x 2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2)23(4)25(2-⨯--=6425+=449=, 27||21=-∴x x . 对点精练模块二:运用韦达定理,求代数式的值典例剖析(2)493425)23()23(2)25()(2)(112222121221222122212221+=--⨯--=-+=⋅+=+x x x x x x x x x x x x 937=. (3)31x +32x =(x 1+x 2)(21x -x 1x 2+22x )=(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2]8215)]23(3)25[()25(2-=-⨯--⨯-=.评析:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地,抛物线与x 轴两交点间的距离),为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律:设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根,则a acb b x 2421-+-=,aacb b x 2422---=,||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=. 于是有下面的结论:【例3】已知α、β是方程x 2+2x -5=0的两个实数根,则α2+αβ+2α的值为_______. 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析:运用根的意义和根与系数关系解题.解:由于α、β是方程x 2+2x -5=0的实数根,∴α2+2α-5=0,αβ=-5,∴α2+2α=5 ∴α2+αβ+2α=α2+2α+αβ =5-5=0评析:注意利用变形为可以用根系关系表示的形式.注:应用韦达定理的代数式的值,一般是关于1x 、2x 的对称式,这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧: (1) 恰当组合;(2) 根据根的定义降次; (3) 构造对称式.【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1,x 2满足| x 1-x 2|=2,求实数m 的值. 【难度】★★ 【答案】31.已知α、β是方程210x x --=的两个实数根,则代数式)2(22-+βαα的值为 . 【难度】★★ 【答案】02.设a ,b 是相异的两实数,满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值. 【难度】★★ 【答案】3100-3.设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值. 【难度】★★ 【答案】-5【例5】已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m 的值. 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析:本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程,从而解得m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此其根的判别式应大于等于零.解:设x 1,x 2是方程的两根,由韦达定理,得对点精练模块三:利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的情况典例剖析x 1+x 2=-2(m -2),x 1·x 2=m 2+4. ∵21x +22x -x 1·x 2=21, ∴(x 1+x 2)2-3x 1·x 2=21, 即[-2(m -2)]2-3(m 2+4)=21,化简,得m 2-16m -17=0,解得m =-1,或m =17. 当m =-1时,方程为x 2-6x +5=0,Δ>0,满足题意;当m =17时,方程为x 2+30x +293=0,Δ=302-4×1×293<0,不合题意,舍去. 综上,m = -1.评析:在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值,取满足条件的m 的值即可.在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0的两个非零实数根,问x 1和x 2能否同号?若能同号,请求出相应的m 的取值范围;若不能同号,请说明理由. 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析:利用判别式和根与系数关系共同解决本题. 解:由Δ=-32m +16≥0得21≤m .x 1+x 2=-m +1,041221≥=m x x . ∴x 1与x 2可能同号,分两种情况讨论:(1)若x 1>0,x 2>0,则⎩⎨⎧>>+002121x x x x ,解得m <1且m ≠0.21≤∴m 且m ≠0. (2)若x 1<0,x 2<0,则⎩⎨⎧><+002121x x x x ,解得m >1,与21≤m 相矛盾.综上所述:当21≤m 且m ≠0时,方程的两根同号.【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根,一个比3大,一个比3小,求a 的取值范围.【难度】★★ 【答案】【解析】构造二次函数()a x x x f +-=42,由()03<f 即可满足题意【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0,另一根大于2,求a 的取值范围. 【难度】★★ 【答案】【解析】构造二次函数()()659222+-+-+=a a x a x x f ,由()00<f 且()02<f 即可满足题意1.已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根,那么实数m 的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】m >72.设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根,当m 为何值时,2221x x + 有最小值?并求出这个最小值. 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】3<a 382<<a 对点精练3.已知关于x 的方程:04)2(22=---m x m x .(1) 求证:无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实根.(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ,求m 的值及相应的1x 、2x . 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析: 对于(2),先判定1x 、2x 的符号特征,并从分类讨论入手. 解:(1)△=2m 2-4m +4=2(m -1)2+2>0, ∴方程总有两个不相等的实数根;(2) ∵x 1·x 2=24m -≤0,∴1x 、2x 异号或其中一根为0,∴对212+=x x 可分两种情况讨论,去掉绝对值.当x 1≥0,x 2<0时,-x 2-x 1=2,即-(m -2)=2,解得m =0, 此时,方程为x 2+2x =0,解得x 1=0,x 2=-2; 当x 1≤0,x 2>0时,x 2+x 1=m -2=2,解得m =4, 当m =4时,x 2-2x -4=0,解得151x =-+,251x =+.4.若关于x 的方程20x x a ++=的两个根,一个大于1、另一根小于1,求实数a 的取值范围. 【难度】★★ 【答案】2a <-【例9】如果a 、b 都是质数,且0132=+-m a a ,0132=+-m b b ,那么baa b +的值为( ) A .22123 B .22125或2 C .22125 D .22123或2 【难度】★★模块四:利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等典例剖析【答案】B【解析】评析 可将两个等式相减,得到a 、b 的关系,由于两个等式结构相同,可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根,这样就为根与系数关系的应用创造了条件.【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x . 【难度】★★ 【答案】-1,-4,28952895-+,. 【解析】分析:观察方程左边两式的关系,用换元法,令t x x xx =-++4322代入求解.1.△ABC 的一边长为5,另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根,则m 的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】11182m <≤ 【解析】提示:根据两边之和、两边之差的关系及△≥0得到.2.已知:四边形ABCD 中,AB ∥CD ,且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根.(1) 当m =2和m >2时,四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由;(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点,线段MN 分别交AC 、BD 于点P ,Q ,PQ=1,且AB<CD ,求AB 、CD 的长;(3) 在(2)的条件下,AD=BC=2,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD . 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】(1)当m =2时,x 2-4x +4=0. ∵△=0,方程有两个相等的实数根.∴AB=CD ,此时AB ∥CD ,则该四边形是平行四边形; 当m >2时,△=m -2>0,对点精练又∵AB+CD=2m >0, AB•CD=217()24m -+ >0, ∴AB≠CD . 该四边形是梯形.(2) 根据三角形的中位线定理可以证明:连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半.则根据PQ=1,得CD -AB=2. 由CD -AB=||||21a x x ∆=-解得m =3 当m =3时,则有x 2-6x +8=0, ∴x =2或x =4, 即AB=2,CD=4(3)根据该梯形是等腰梯形,平移一腰,则得到等边△BEC . ∴∠BCD=60°,∠BDC=30°.∵tan ∠BDC+tan ∠BCD=tan ∠BDC•tan ∠BCD=1.∴所求作的方程是y 2-+1=0. 评析:对于(2),易建立含AC 、BD 及m 的关系式,要求出m 值,还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式.注:在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时,往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化,既要注意通过根的判别式的检验,又要考虑几何量的非负性.3.如图,已知在△ABC 中,∠ACB=90°,过C 作CD ⊥AB 于D ,且AD=m ,BD=n ,AC 2:BC 2=2:1;又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192,求:m ,n 为整数时,一次函数y =mx +n 的解析式.【难度】★★★【答案】见解析 【解析】解:易证△ABC ∽△ACD ,∴AC ABAD AC=,AC 2=AD•AB ,同理BC 2=BD•AB , ∵2221AC BC =,∴21m n = ∴m =2n …①, ∵关于x 的方程14x 2-2(n -1)x +m 2-12=0有两实数根, ∴△=[-2(n -1)]2-4×14×(m 2-12)≥0,∴4n 2-m 2-8n +16≥0,把①代入上式得n ≤2…②, 设关于x 的方程14x 2-2(n -1)x +m 2-12=0的两个实数根分别为x 1,x 2, 则x 1+x 2=8(n -1),x 1•x 2=4(m 2-2),依题意有(x 1-x 2)2<192,即[8(n -1)]2-16(m 2-12)<192, ∴4n 2-m 2-8n +4<0,把①式代入上式得n >12…③, 由②、③得12<n ≤2, ∵m 、n 为整数,∴n 的整数值为1,2,当n =1,m =2时,所求解析式为y =2x +1,当n =2,m =4时,解析式为y =4x +2.韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段,同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用.同学们要能掌握根与系数的关系,知道韦达定理的常见变式与常规题型,注重设而不解,注重整体,通过整体带入来解决问题.一、选择题1.设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根,1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根,则02=++p qx x 反思总结课后练习p 、q 的值分别等于( )A .1,-3B .1,3C .-1,-3D .-1,3 【难度】★★ 【答案】C2.在R t △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根,那么AB 边上的中线长是( ) A .23 B .25C .5D .2 【难度】★★ 【答案】B3.方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ,则)1)(1(21++x x p的值是 ( )A .1B .-lC .21-D .21 【难度】★★ 【答案】C4.两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根,则baa b +的值是 ( ) A .9413 B .1949413 C .999413 D .979413【难度】★★ 【答案】B5.设方程有一个正根1x ,一个负根2x ,则以1x 、2x 为根的一元二次方程为 ( ) A .0232=---m x x B .0232=--+m x x C .02412=---x m x D .02412=+--x m x 【难度】★★ 【答案】D6.如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m 的取值范围是( ) A .0≤m ≤1 B .m ≥43 C .143≤<m D .43≤m ≤1【答案】C二、填空题7.关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0,则m 的值为______ 【难度】★★ 【答案】-18.CD 是R t △ABC 斜边上的高线,AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根,则△ABC 的面积是 . 【难度】★★ 【答案】69.已知α、β是方程012=--x x 的两个根,则βα34+的值为 . 【难度】★★ 【答案】510.已知方程02=++q px x 的两根均为正整数,且28=+q p ,那么这个方程两根为 . 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解:设x 1,x 2是方程的两个根,则①x 1+x 2=-p ,②x 1x 2=q , ∵②-①得:p+q=28, ∴x 1x 2-x 1-x 2=28, ∴x 1x 2-x 1-x 2+1=28+1, ∴x 1(x 2-1)-(x 2-1)=29, 即(x 1-1)(x 2-1)=29, ∵两根均为正整数,∴x 1-1=1,x 2-1=29或x 1-1=29,x 2-1=1,∴方程的两个根是:x 1=2,x 2=30.或x 1=30,x 2=2. 故答案为:x 1=30,x 2=2.三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式:)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ,判断4)(2≤+b a 是否正确?【答案】见解析【解析】解:(a +b )2≤4正确.理由:原式可化为(x 1+x 2)2-=3x 1x 2+1, ∴(a +b )2=4ab +1,∵△=9(a +b )2-4×3×4ab ≥0, ∴3(a +b )2-4×4ab ≥0, ∴(a +b )2≥163ab ,即4ab +1≥163ab ∴4ab ≤3,∴4ab +1≤4,即(a +b )2≤4.12.已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x . (1) 当k 为何值时,此方程有实数根;(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x 满足:312=+x x ,求k 的值. 【难度】★★ 【答案】(1)512k ≤;(2) 0.13.设m 是不小于1-的实数,使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x . (1) 若62221=+x x ,求m 的值.(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值. 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解:∵方程有两个不相等的实数根,∴△=b 2-4ac =4(m -2)2-4(m 2-3m +3)=-4m +4>0,∴m <1, 结合题意知:-1≤m <1.(1)∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(m -2)2-2(m 2-3m +3)=2m 2-10m +10=6 ∴m=,∵-1≤m <1,∴m=∴当m =-1时,式子取最大值为10.14.设a 、b 、c 为三个不同的实数,使得方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根,并且使方程20xx a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根,试求a b c ++的值.【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】解:设x 12+ax 1+1=0,x 12+bx 1+c =0,两式相减,得(a -b )x 1+1-c =0,解得x 1=1c a b--, 同理,由x 22+x 2+a =0,x 22+cx 2+b =0,得x 2=(1)1a bc c -≠- ∴x 2=11x , 由韦达定理的两根之积的关系知,11x 是第一个方程的根, ∴x 2是方程x 2+ax +1=0和x 2+x +a =0的公共根, 因此两式相减有(a -1)(x 2-1)=0, 当a =1时,这两个方程无实根, 故x 2=1,从而x 1=1, 于是a =-2,b +c =-1, 所以a +b +c =-3.。
韦达定理的应用题_证明_公式(总8页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识,利用它们可进一步研究根的性质,也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1.判别式的应用例1 (1987年武汉等四市联赛题)已知实数a、b、c、R、P满足条件PR>1,Pc+2b+R a=0.求证:一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明△=(2b)2-4ac.①若一元二次方程有实根,必须证△≥0.由已知条件有2b=-(Pc+Ra),代入①,得△ =(Pc+Ra)2-4ac=(Pc)2+2PcRa+(Ra)2-4ac=(Pc-Ra)2+4ac(PR-1).∵(Pc-Ra)2≥0,又PR>1,a≠0,(1)当ac≥0时,有△≥0;(2)当ac<0时,有△=(2b)2-4ac>0.(1)、(2)证明了△≥0,故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2 (1985年宁波初中数学竞赛题)如图21-1,k是实数,O是数轴的原点,A是数轴上的点,它的坐标是正数是数轴上另一点,坐标是x,x<a,且OP2=k·PA·OA.(1) k为何值时,x有两个解x1,x2(设x1<x2);此处无图(2)若k>1,把x1,x2,0,a按从小到大的顺序排列,并用不等号“<”连接.解(1)由已知可得x2=k·(a-x)·a,即x2+kax-ka2=0,当判别式△>0时有两解,这时△ =k2a2+4ka2=a2k(k+4)>0.∵a>0,∴k(k+4)>0,故k<-4或k>0.(2)x1<0<x2<a.例3(1982年湖北初中数学竞赛题)证明不可能分解为两个一次因式之积. 分析若视原式为关于x的二次三项式,则可利用判别式求解.证明将此式看作关于x的二次三项式,则判别式△ =显然△不是一个完全平方式,故原式不能分解为两个一次因式之积.例3 (1957年北京中学生数学竞赛题)已知x,y,z是实数,且x+y+z=a,①②求证:0≤x≤0≤y≤0≤z≤分析将①代入②可消去一个字母,如消去z,然后整理成关于y的二次方程讨论.证明由①得z=a-x-y,代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程,据已知此方程有实根,故有△ =16(x-a)2-16(4x2-4ax+a2)≥0≥0≤x≤同理可证:0≤y≤,0≤z≤.例5设a1,a2,a3,b是满足不等式(a1+a2+a3)2≥2()+4b的实数.求证:a1a2+a2a3+a3a1≥3b.证明由已知可得≤0.设则∵a3是实数,故△≥0,即有(a1+a2)2≥()-2a1a2+4b+r≥2()-(a1+a2)2+4b.于是(a1+a2)2≥()+2b,∴a1a2≥b.同理有a2a3≥b,a3a1≥b.三式相加即得a1a2+a2a3+a3a1≥3b.例6 设a、b、c为实数,方程组与均无实数根.求证:对于一切实数x都有>证明由已知条件可以推出a≠0,因为若a=0,则方程组至少有一个有实数解.进一步可知,方程ax2+bx+c=±x无实根,因此判别式△=<0,于是(b-1)2+(b+1)-8ac<0.即 4ac-b2>1.∴>2.韦达定理的应用例7 (1899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题)假设x1、x2是方程x2-(a+d)x+ad-bc=0的根.证明这时是方程的根.证明由已知条件得∴=a3+d3+3abc+3bcd,由韦达定理逆定理可知,、是方程的根.例8已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0,①a2x2+b2x+c2=0,②都有两个实数根,求证:(1)这两个实数根都是负值;(2)方程 a1a2x2+b1b2x+c1c2=0 ③③也有两个负根.证明∵方程①有两个实数根,∴>0. ④同理>0. ⑤又a1、b1、c1都是正数,∴>0,<0.由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值.显然a1c1<4a1c1代入④,得>0,⑥由>0,得>⑦∴△=≥=>0,∴方程③也有两个实数根.又a1a2>0,b1b2>0,c1c2>0,∴>0,<0.由此可知方程③的两个根也是负值.例9(1983年上海初中数学竞赛题)对自然数n,作x的二次方程x2+(2n+1)x+n2=0,使它的根为αn和βn.求下式的值:+解由韦达定理得=而=(n≥3),∴原式=+=例10(1989年全国初中联赛试题)首项不相等的两个二次方程(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0 ①及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 ②(其中a,b为正整数)有一公共根,求的值.解由题得知,a,b为大于1的整数,且a≠b.设x0是方程①②的公共根,则x0≠1,否则将x=1代入①得a=1,矛盾.得x0代入原方程,并经变形得③及④所以a,b是关于t的方程相异的两根,因此于是 ab-(a+b)=2,即(a-1)(b-1)=3.由或解得或∴例11 (仿1986年全国高中联赛题)设实数a,b,c满足①②求证:1≤a≤9.证明由①得bc=a2-8a+7.①-②得 b+c=所以实数b,c可看成一元二次方程的两根,则有△≥0,即≥0,即(a-1)(a-9)≤0,∴1≤a≤9.例12 (1933年福建初中数学竞赛题)求证:对任一矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数k(k≥1).分析设矩形A及B的长度分别是a,b及x,y,为证明满足条件的矩形B存在,只须证明方程组(k,a,b为已知数)有正整数解即可.再由韦达定理,其解x,y可以看作是二次方程z2-k(a+b)z+kab=0的两根.∵k≥1,故判别式△ =k2(a+b)2-4kab≥k2(a+b)2-4k2ab=k2(a-b)2≥0,∴上述二次方程有两实根z1,z2.又z1+z2=k(a+b)>0,z1z2=kab>0,从而,z1>0,z2>0,即方程组恒有x>0,y>0的解,所以矩形B总是存在的.练习二十一1.填空题(1)设方程的两根为m,n(m>n),则代数式的值是_____ __;(2)若r和s是方程x2-px+q=0的两非零根,则以r2+和为根的方程是_____ _____;(3)已知方程x2-8x+15=0的两根可以写成a2+b2与a-b,其中a与b是方程x2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________.2.选择题(1)若p,q都是自然数,方程px2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p2+q的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程的较大根为r,的较小根为s,则r-s等于( ).(A) (B)1985 (C) (D)(3)x2+px+q2=0(p≠0)的两个根为相等的实数,则x2-qx+p2=0的两个根必为().(A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数(4)如果关于方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,那么关于x的方程(m-5)x2-2(m +2)x+m=0的实根个数为(A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3.(1983年杭州竞赛)设a1≠0,方程a1x2+b2x+c1=0的两个根是1-a1和1+a1;a1x2+b1x+c2=0的两个根是和;a1x2+b1x+c1=0的两根相等,求a1,b1,c1,b2,c2的值.4.常数a是满足1≤a≤50的自然数.若关于x的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x2的两根都是自然数,试求a的值.5.设x2、x2为正系数方程ax2+bx+c=0的两根,x1+x2=m,x1·x2=n2,且m,n.求证:(1) 如果m<n,那么方程有不等的实数根;(2) 如果m>n,那么方程没有实数根.6.求作一个以两正数α,β为根的二次方程,并设α,β满足7.(1987年全国初中竞赛题)当a,b为何值时,方程x2+(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实根?8.(1985年苏州初中数学竞赛题)试证:1986不能等于任何一个整系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式的值.9.(第20届全苏中学生数学竞赛题)方程x2+ax+1=b的根是自然数,证明a2+b2是合数.10.(1972年加拿大试题)不用辅助工具解答:(1)证满足的根在和197.…间;(2)同(1)证<1..练习二十一1.(1)(2)(3)3.B A.3.=a+2±由于x为自然数,可知a为完全平方数即a=1,4,9,16,25,36,49.5.略+2=0.7.因为方程有实根,所以判别式8.设1986=4k+2(其中k是自然数).令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b=2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.10.由,可得x2-198x+1=0,其根。
二元一次方程判别式与韦达定理专题
知识小结:
1、对于一个一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0).我们把把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式,通常用符号“△”表示. 当△>0时,有两个不相等的实数根; 当△=0时,有两个相等的实数根;
当△<0时,没有实数根. 反之亦然.
2、韦达定理:如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是X 1 , X 2 ,
那么a
c
x x a b x x =•-=+2121,(能用韦达定理的前提条件为△≥0 )
巩固练习: 一、填空题
1.已知2-240x x c -+=的一个根,则方程的另一个根是 . 2.已知x 1,x 2是方程2x 2-7x +4=0的两根,则x 1+x 2= ,x 1·x 2= ,
(x 1-x 2)2
= 。
3.已知关于x 的方程10x 2-(m+3)x+m -7=0,若有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是 ;若两根之和为-3
5 ,则m= ,这时方程的两
个根为 . 4.若关于x 的方程(m 2-2)x 2-(m -2)x +1=0的两个根互为倒数,则m = 。
5.方程2x(mx -4)=x 2-6没有实数根,则最小的整数m= ;
6.已知方程2(x -1)(x -3m)=x(m -4)两根的和与两根的积相等,则m= ;
7.设关于x 的方程x 2-6x+k=0的两根是m 和n ,且3m+2n=20,则k 值为 ; 三、解答题
8.已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ,求:
(1) (2) (3)x 12+ x 1x 2+2 x 1
10.关于x 的方程04
)2(2
=+
++k
x k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。
(2)是否存在实数k ,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由
11.已知关于x 的一元二次方程x 2+(m -1)x -2m 2+m=0(m 为实数)有两个实数根
1
x 、
2
x .(1)当m 为何值时,12x x ≠;(2)若22122x x += ,求m 的值.
12.已知
12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根,且1223x x +=
(1)求12,x x 及a 的值;(2)求32111232x x x x -++的值.
13.已知关于x 的方程222(1)230x m x m m -++--=的两个不相等的实数根中有一个根为0,是否存在实数k ,使关于x 的方程22()520x k m x k m m ----+-=的两个实数根1x 、2x 之差的绝对值为1?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由。
14.已知2x 2x 是关于x 的一元二次方程062=+-k x x 的两个实数根,且21x 2
2x —1x —2x =115 (1)求k 的值;(2)求21x +22x +8的值。