（易错题精选）初中数学命题与证明的难题汇编及答案
一、选择题
1．已知下列命题：
①若a＞b，则ac＞bc；
②若a=1；
③内错角相等；
④90°的圆周角所对的弦是直径．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．
【详解】
解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；
②若a=1是真命题，逆命题是假命题；
③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；
④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；
故选A．
点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．下列语句正确的个数是（）
①两个五次单项式的和是五次多项式
②两点之间，线段最短
③两点之间的距离是连接两点的线段
④延长射线AB，交直线CD于点P
⑤若小明家在小丽家的南偏东35︒方向，则小丽家在小明家的北偏西35︒方向
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质对各项进行分析即可．
【详解】
①两个五次单项式的和可能为零、五次单项式或五次多项式，错误；
②两点之间，线段最短，正确；
③两点之间的距离是连接两点的线段的长度，错误；
④延长射线AB ，交直线CD 于点P ，正确；
⑤若小明家在小丽家的南偏东35︒方向，则小丽家在小明家的北偏西35︒方向，正确； 故语句正确的个数有3个
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查语句是否正确的问题，掌握单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质是解题的关键．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A ．内错角相等
B ．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C ．相等的角是对顶角
D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】
命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．
【详解】
A 、内错角相等，是假命题，故此选项不合题意；
B 、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故此选项符合题意；
C 、相等的角是对顶角，是假命题，故此选项不合题意；
D 、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，故此选项不合题意； 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，关键是掌握要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A ．③④②①
B ．③④①②
C ．①②③④
D ．④③①②
【答案】B
【解析】
根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
【详解】
题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：(1)假设∠B ≥90°，
(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C ≥90°，即∠B+∠C ≥180°，
(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，
原题正确顺序为：③④①②，
故选B ．
【点睛】
本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.
5．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】B
【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．
【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；
②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确； ③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数，
所以逆命题成立的只有一个，
故选B.
【点睛】本题考查了互逆命题，真命题与假命题，真命题要运用相关知识进行推导，假命题要通过举反例来进行否定.
6．下列命题中，是假命题的是（ ）
A ．若a>b ，则-a<-b
B ．若a>b ，则a+3>b+3
C ．若a>b ，则
44
a b D ．若a>b ，则a 2>b 2
【答案】D
【解析】
【分析】 利用不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．
