二次函数与一元二次方程2

22.2 二次函数与一元二次方程1．二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( )A．a＞0，＞0 B．a＞0，＜0C．a＜0，＞0 D．a＜0，＜02．二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则其图象与x轴( )A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．可能有一个交点3．y＝x2＋kx＋1与y＝x2－x－k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为( )1A．0 B．－1 C．2 D．44.函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )A.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠05．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是( )A．无实根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根6.已知二次函数y=x2+x+m,当x取任意实数时,都有y>0,则m的取值范围是( )A.m≥错误!未找到引用源。

B.m>错误!未找到引用源。

C.m≤错误!未找到引用源。

D.m<错误!未找到引用源。

7．若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,则下列判断正确的是( )A.a>0B.b2-4ac≥0C.x1<x0<x2D.a(x0-x1)(x0-x2)<08.无论m为任何实数，二次函数y=x2+(2－m)x+m的图象总过的点是（）A.(－1，0);B.(1，0)C.(－1，3) ;D.(1，3)9.如果抛物线y=－x2+2(m－1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴正半轴上，B点在x轴的负半轴上，则m的取值范围应是（）A.m>1B.m>－1C.m<－1D.m<110．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点 B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧11．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＜0时，x1＜m＜x2 D．当n＞0时，m＜x1 12．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣213．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣14．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＜0时，x1＜m＜x2 D．当n＞0时，m＜x1 15．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a＞0 C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x216.若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是____.17．已知一抛物线与x轴的交点为A（－1， 0）、B（m，0），且过第四象限内的点C（1，n），而m+n=－1，mn=－12，则此抛物线关系式是__________．18．已知抛物线的顶点到x轴的距离为3，且与x轴两交点的横坐标为4、2，则该抛物线的关系式为__________________．19.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，由抛物线的特征你能得到含有a、b、c三个字母的等式或不等式为______(写出三个).。

二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。

当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。

⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。

抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x =2ab-,。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。

当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。

2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。

Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。

Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。

二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。

④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。

一元二次方程和二次函数的区别
一元二次方程和二次函数是微积分中重要的概念，它们是解决一元二次方程的有效方法。

尽管它们有很多共性，但也存在很多不同之处。

本文旨在对一元二次方程和二次函数的概念，定义，关系和区别进行探讨，以便更好地理解它们。

一元二次方程可以定义为一个变量的一元二次多项式，它的标准形式为ax2+bx+c=0，其中a，b，c都是常数。

它的解法是求平方根，当a，b，c都不为零时，它的解可以写成x=（-b±√b2-4ac）/2a。

而二次函数是在二维坐标系上表示一个函数图像的方式，它的定义为：y=ax2+bx+c，其中a，b，c都是常数，也可以写成y=f(x)，其中f(x)表示一元二次多项式。

一元二次方程和二次函数的最大的关系在于，一元二次多项式是二次函数的表达式，它们有着相同的解。

因此，一元二次方程和二次函数可以互相转换，从而更好地理解。

一元二次方程和二次函数之间存在一些不同之处。

首先，一元二次方程是一元二次多项式的形式，而二次函数是一元二次多项式在二维坐标系上表示的函数图像。

其次，解一元二次方程的方法是求平方根，而求解二次函数的过程是求一元二次多项式的根。

另外，一元二次方程可求出实数解，而二次函数可求出实数解和虚数解。

综上所述，一元二次方程和二次函数有共性，也有不同之处。

一元二次方程是一个一元二次多项式，而二次函数则是该多项式在二维坐标系上表示的函数图像。

它们可以相互转换，以便更好地理解它们，
但它们的解法也有所不同。

由此可见，以上两个概念具有各自的重要性，可以用于解决不同的问题。

二次函数与一元二次方程的联系二次函数和一元二次方程是高中数学中的重要概念，它们之间存在着密切的联系。

本文将从几何关系和代数关系两个方面来探讨二次函数与一元二次方程之间的联系。

一、几何关系1. 二次函数的几何意义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

它的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

对称轴为x = -b/2a，顶点的纵坐标为c - b^2/4a。

抛物线在对称轴上下方呈现关于对称轴对称的特点。

2. 一元二次方程的几何意义：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

它表示抛物线与x轴的交点位置，也就是方程的解。

如果方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个交点；如果方程有一个实数根，则抛物线与x轴有一个切点；如果方程没有实数根，则抛物线与x轴没有交点。

3. 二次函数与一元二次方程的联系：二次函数的图像与一元二次方程的解之间存在着密切的联系。

通过解一元二次方程可以确定二次函数的图像与x轴的交点位置，而通过分析二次函数的图像可以得到一元二次方程的解的情况。

二次函数与一元二次方程的解是一一对应的关系。

二、代数关系1. 二次函数的表达式与一元二次方程：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，将其与y = f(x)进行等价转化，可以得到一元二次方程ax^2 + bx + c = y。

这意味着，我们可以通过二次函数的表达式来推导出一元二次方程。

反过来，已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，将其与y = 0进行等价转化，可以得到二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。

这意味着，我们可以通过一元二次方程来确定二次函数的表达式。

2. 二次函数的性质与一元二次方程的解：二次函数的性质可以帮助我们判断一元二次方程的解的情况。

比如，当二次函数开口向上且顶点在x轴上方时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数开口向下且顶点在x轴下方时，一元二次方程无实数根；当二次函数开口向上且顶点在x轴上时，一元二次方程有一个实数根。

二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程是高中数学的重要内容之一。

本文将从概念解释、性质讨论以及实际应用等方面来探讨二次函数与一元二次方程的相关知识。

一、二次函数的定义和性质二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中，a决定了抛物线的开口方向及大小，a>0时抛物线开口向上，a<0时抛物线开口向下；b决定了抛物线在x轴的位置，负责平移抛物线；c决定了抛物线与y轴的截距，负责上下平移。

二次函数的图象一定是一个抛物线，还可以根据抛物线的顶点、焦点等性质进行分类和推导。

例如，顶点坐标为（h，k），则对称轴方程为x = h；当a>0时，抛物线的最小值为k，焦点坐标为（h，k+p）；当a<0时，抛物线的最大值为k，焦点坐标为（h，k-p）。

二、一元二次方程的定义和性质一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数且a≠0。

一元二次方程在数学中具有广泛的应用，解一元二次方程的过程就是求解方程的根，即方程等式两边相等的值。

一元二次方程的解可以分为三种情况：①当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根；②当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；③当b^2 - 4ac < 0时，方程无实数根，但有复数根。

三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程有着密切的联系。

对于任意给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以用x代入函数中，得到一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，即将二次函数转化为一元二次方程。

反之，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求解方程的根，得到二次函数的图象的相关信息。

例如，根据二次函数的顶点和焦点的性质，可以通过一元二次方程的解来确定抛物线的开口方向、抛物线与x轴的交点等。

四、二次函数与一元二次方程的应用二次函数与一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用。

22.2 二次函数与一元二次方程【知识与技能】理解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式实行判别，理解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.【过程与方法】通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.【情感态度】进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题水平.【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【教学难点】一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.一、情境导入，初步理解问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.假设不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具相关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行多长时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行多长时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？【教学说明】教师可通过教材的引例，引用其递进式的问题链，让学生在相互交流过程中，自不过然地感受到引用方程思想来解决函数问题的思想方法.教师巡视，即时释疑解惑，并尽量予以肯定和鼓励，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知通过对上述问题的思考，能够看出二次函数与一元二次方程之间存有着密切联系.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，能够看作解一元二次方程-x2+4x=3;反过来，解方程x2-4x+3=0又能够看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.问题1画出函数y=x2-4x+3的图象，根据图象回答以下问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2-4x+3=0有什么关系？（3）你能从中得到什么启示？问题2以下函数的图象与x轴有公共点吗？假设有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相对应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1.问题3一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？【教学说明】让学生在合作交流过程中完成问题1，2，并对问题3形成一个初步理解，达到从感性理解到理性思考的飞跃，从而理解新知.教师应巡视，对学生的交流成果给予积极评价，最后教师应在黑板上实行归纳总结.【归纳结论】一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：（1）假设抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0.那么当x=x0时，函数的值为0，所以x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.所以可通过方程的根的判别式Δ＜0，Δ=0和Δ＞0来判别抛物线与x轴的交点的个数（Δ=b2-4ac，其中a、b、c为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）.【试一试】1.若抛物线y=x2-mx+1与x轴没有公共点，则m的取值范围是.2.求证：抛物线y=x2+ax+a-2与x轴总有两个交点.【教学说明】让学生分组完成两个小题，使他们能体验成功的喜悦，对尚有困难的学生，应给予指导.三、使用新知，深化理解1.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：（1）方程x2-2x-3=0的解是什么？（2）x取什么值时，函数值大于0？（3）x取什么值时，函数值小于0？2.利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数解.【教学说明】题1可让学生自主完成，教师予以巡视，并作指导；题2的处理建议师生共同完成，这里涉及到逼近求值思想，应作为指导.评讲此题的目的是让学生能进一步体验函数与方程的密切联系，但不要求学生掌握，只要理解即可.【答案】1.图象如下列图：(1)当x1=3,x2=-1.(2)当x<-1或x>3时函数值大于0.（3）当-1<x<3时，函数值小于0.2.解：作y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.我们还能够通过持续缩小根所在的范围估计一元二次方程的根：观察函数y=x2-2x-2的图象能够发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴的下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴的上方），因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续持续的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2＜x＜3这个段经过x轴，也就是说当自变量取2，3之间的某个值时，函数的值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根.我们可通过取平均数的方法持续缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……能够看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而能够作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，因为｜2.6875-2.75｜=0.0625＜0.1，我们能够将2.6875作为根的近似值.四、师生互动，课堂小结1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而理解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能利用抛物线来确定相对应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？1.布置作业：教材习题22.2第1、2、3、4、6题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路，然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外，通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法，重在让学生自主体会.。

《22.2二次函数与一元二次方程》说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的教学内容.它既是一次函数与一元一次方程关系的延续.又为高中数学求一元二次不等式的解集以及三个“二次”的关系进一步探讨奠定基础.2、重难点的确点重点：从数和形两个角度理解二次函数与一元二次方程的关系；掌握二次函数与一元二次方程的互相转化问题.难点：灵活运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题；利用函数的图象求一元二次方程的近似解.二、目标分析知识与技能：掌握二次函数与一元二次方程的联系.数学思考：运用类比、猜想的数学方法解决实际问题.解决问题：经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，认识到事物的互相联系与转化.情感态度：让学生在合作探究中培养学生合作学习的良好意识和团结协作的精神.三、学情分析已形成的：1、能理解二次函数的性质、图象，有一定看图识图能力，并能画一次函数、二次函数的草图.2、能熟练求解一元一次方程与一元二次方程的根.有待形成、提升的：1、由特殊到一般的归纳总结能力.2、理解二次函数与一元二次方程的联系和研究时互相转化的数学思想及数形结合思想.3、用函数的观点解决问题的应用意识.四、教法学法分析1、教法分析在本节课中我采用情景教学法，观察发现法和探讨法为主，多媒体演示为辅的教学方法进行教学.以学生活动为主线，引导学生在观察、操作、合作、交流等具体过程中突破本节课的难点，在学习活动中，尽量让每一位学生积极参与，最终让他们学会学习.2、学法分析通过观察发现、合作交流、归纳总结完成本节课的教学.五、教学过程(一)复习引入活动1:问题1：一次函数与一元一次方程有怎样的联系？师生活动：老师引导，学生回答，最后分别从数与形这两个角度得出一次函数与一元一次方程的关系.问题2：类比猜想一下二次函数与一元二次方程的联系？师生活动：老师展示问题，学生回答.得出当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时，则得到了一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)；若把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的常量0变为变量y ，则得到二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0).设计的意图：在学生已有的数学基础上，采用类比的学习方法，探索新知.（二）探究新知活动2：问题：如图，以40m ／s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h= 20t-5t 2问：(1)小球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间?(2)小球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?（3）球的飞行高度能否达到20.5 m ？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？师生活动：第（1）问师生共同分析，先用代数的方法解答，然后引导学生用图象法对此问进行解释和分析.第（2）问由学生分析并展示过程，同时让学生用图象演示为什只有一个时间小球的飞行高度达到20m ？接着老师又引导学生从二次函数的性质（即二次函数的最大值）来说明为什么只有一个时间？剩下的学生独立完成，学生代表分析并展示过程.设计的意图：让学生用数与形这两种不同的方法解决实际问题.活动3：小组合作问题：根据刚才例题的讲解，类比一次函数与一元一次方程的联系，现在以小组为单位对二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系进行讨论，并请代表展示结果.二次函数的图象与x 轴交点横坐标与一元二次方程根的关系：（1）“数”：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的函数值y=0时相应的自变量的值即为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0)的根；（2）“形”：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标.即为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0)的根.设计的意图：通过学生合作交流，得出二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的关系，同时培养学生合作学习的能力.活动4：观察发现（1）观察二次函数①y=x 2+x-2，②y=x 2-6x+9，③y=x 2-x+1的图象，回答下列问题：函数与x 轴的交点的个数是：① 个② 个③ 个.函数与x 轴交点的横坐标为：① ② ③ .22y x x =+-21y x x =-+269y x x =-+（2）已知一元二次方程①x 2+x-2=0，②x 2-6x+9=0,③x 2-x+1=0，则一元二次方程根的情况：①Δ 0,有 根 ②Δ 0,有 根，③Δ 0,有 根. 一元二次方程的解是：① ，② ,③ .思考：二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)与x 轴交点情况与一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根0 的情况有怎样的联系？师生活动：老师展示问题，学生观察填空.通过观察（1）与（2）的结果，对思考问题进行合作讨论.设计意图：通过学生讨论、观察，得出判别式和二次函数与x 轴交点个数的情况的关系.并让学生掌握特殊到一般的学习方法.（三）归纳新知 二次函数与一元二次方程的关系：师生活动：通过以上环节的探究，教师指导学生思考归纳，并展示结果。

一元二次方程和二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系如下
二次函数式y=ax2+bx+c（a≠0），它是一元二次方程的图形表示，是一个可以用来研究一元二次方程的绘图工具。

因此，一元二次方程
与二次函数具有密切的关系。

从对数学方程的解释来看，一元二次方程表达式是指一个自变量
为x，变量系数a，b，c均为实数的方程。

当此方程满足一定的条件时，其可以采用二次函数的格式来表示，即y=ax2+bx+c（a≠0）。

由此，
可以看出，一元二次方程的各变量实际上对应着二次函数的系数，如a 对应着二次函数表达式中的a，b对应着二次函数表达式中的b，c对
应着二次函数表达式中的c。

由此可见，一元二次方程与二次函数具有极为密切的关系，人们
可以通过二次函数图像来分析一元二次方程。

首先，可以通过图形分
析求得方程的实解；其次，可以看出二次函数图像中的对称性，从而
推出一元二次方程的对称性；此外，利用二次函数图像，还可以看出
函数的单调性，并判断方程的解的实负性，以及确定极值的特征值等。

总之，一元二次方程与二次函数具有极为密切的关系，它们彼此
之间可以相互变换，从而帮助我们解决一些算法问题，获得正确的结果。

在研究解决一元二次方程时，可以利用二次函数图像来考虑更多
的问题。

一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容，掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。

本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

一、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的方程，其中x 表示未知数。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以通过将方程两边置零，将每个因子等于零来求解。

例如，对于方程x^2 -5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。

2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式，然后再进行求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将常数项进行拆分，得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0，进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0，再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -2)(x - 3) = 0，进而求得x = 2和x = 3两个解。

3. 求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。

其中，±表示两个相反的解，而√表示平方根。

这种方法适用于所有一元二次方程的求解，包括没有实数解的情况。

二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。

一元二次方程与二次函数的联系与区别一元二次方程和二次函数是高中数学中重要的概念，它们在数学领域有着广泛的应用和深远的意义。

本文将讨论一元二次方程和二次函数之间的联系与区别。

一、联系一元二次方程和二次函数都涉及到二次项、一次项和常数项，它们之间有很多联系。

1. 二次项系数代表抛物线的开口方向一元二次方程和二次函数的特点是二次项的系数。

在一元二次方程ax² + bx + c = 0 中，a 表示二次项的系数，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。

同样地，在二次函数 y = ax² + bx + c 中，a 表示二次项的系数，其符号与一元二次方程保持一致，也能描述抛物线的开口方向。

2. 判别式和判别式与图像的关系一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac 表示二次方程的根的性质。

当Δ>0 时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0 时，方程有两个相等的实根；当Δ<0 时，方程没有实根。

而对于二次函数 y = ax² + bx + c，判别式与函数的图像也有关系。

当Δ>0 时，函数的抛物线与 x 轴有两个交点；当Δ=0 时，函数的抛物线与 x 轴有一个切点；当Δ<0 时，函数的抛物线与 x 轴没有交点。

3. 解和零点一元二次方程是通过解方程来求得变量的值，方程的解即为方程的根。

而二次函数则是通过求函数的零点来求得变量的值，即函数在 x轴上的解。

一元二次方程和二次函数的解或零点有着一一对应的关系。

二、区别虽然一元二次方程和二次函数有很多联系，但它们之间也存在明显的区别。

1. 表达方式的不同一元二次方程的表达方式是通过等式来表示，例如 ax² + bx + c = 0。

而二次函数是通过方程 y = ax² + bx + c 来表示的，其中 y 表示函数的值，x 表示自变量的值。

2. 求解的对象不同一元二次方程的求解对象是方程中的变量，通过求解方程可以得到方程的根。

初中数学培优专题之一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是c bx ax y ++=2)0(≠a ，而一元二次方程的一般形式是02=++c bx ax )0(≠a .显然当二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 中0=y 时就能得到一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接 透彻理解数学概念，提升你的数学内涵 ！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：①当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）； ③当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·acx =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为： AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224aacb -=a ∆=（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线b kx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲 参与数学解题过程，品味数学内在魅力 ！例1 （2010年福州市中考题）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0分析：a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点情况，抛物线的对称轴由a 、b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a ＜0；抛物线与y 轴的交点（0，c ）在x 轴上方，因此c ＞0；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，所以x=－b2a＞0，所以b ＞0；由于抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0．a ＋b ＋c 是x ＝1时的函数值，而图像上点（1，a ＋b ＋c ）在x 轴上方，所以a ＋b ＋c ＞0．答案：D ．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a 、b 、c 、x ＝－b2a、a ＋b ＋c 、b 2－4ac 等与抛物线的位置特征之间的关系．例2 （2010年徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x 轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到．答案：B ．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3 （2010年镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最 大值为 .分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设k y x =+，则原方程可化为0322=-++k x x ，因为这个关于x 必有实数根，所以0)3(44≥--=∆k ，解得4≤k ，所以k （即x ＋y ）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x＋y”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数k 的取值范围问题来解决，有异曲同工之效．例4 （2010年日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3答案:－1＜x ＜3.技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象在 x 轴上（下）方的点所对应的 x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标．例5 （2010年咸宁市中考题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．（1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函数的关系来解决． 解：（1）证明：法一：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-．∴2b m =，23c m =， ∴224312c b m ==．法二：由题意得⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m ，①—②得0482=+-bm m ，因为0m ≠，所以m b 2=．代入①得0222=-+c m m ，所以23m c =，所以2124m c =，22123m b =，所以243b c =．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为2)3(2m m b x -+=-=，可得m b 2=（下同法二）．（2）解：法一：依题意，12b-=，∴2b =-． 由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=．∴2223(1)4y x x x =--=--． ∴二次函数的最小值为4-．法二：因为函数图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线m x -=，所以1=-m ，所以1-=m ，故抛物线与x 轴的两交点为)0,1(-、)0,3(，所以抛物线的解析式为32)3)(1(2--=-+=x x x x y ， 当1=x 时，4321-=--=最小y ，∴二次函数的最小值为4-．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6 （2010年杭州市中考题）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m , –1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(31，38)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为21x x -a ∆=mm 2)13(2+==m m 213+，当m ＞0时，21x x -=m m m 2123213+=+＞32，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－2b a＝122m m --⨯＝1144m-，∴在对称轴左侧，即当m x 4141-<时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当m x 4141->时，y 随x 的增大而减小.在∵14<1144m-,所以当x >41时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确．答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.例7 （2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：0402>-=∆a 、04402>-+-a a 、14402<-+-a a 、04402>---a a 、14402<---a a ，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，解法将简单得多．令522++=ax x y ，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知04>-a ，解得0<a ．再根据0402>-=∆a 可得102-<a ．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a ，可解得213->a ．这样就能得到a 的取值范围是102213-<<-a ．答案：102213-<<-a ． 技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8 （2010年潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y 解得⎩⎨⎧=-=4211y x 、⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32．答案：C ．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．例9 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．分析：要注意抛物线()233y x a x =+-+与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线()233y x a x =+-+与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式012)3(2=--=∆a 0∆=解得3a =±．当3a =+时，12x x ==3a =-12x x ==意．⑵抛物线()233y x a x =+-+与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB 上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （0,1x ）、D )0,(2x （21x x <），则321=x x ．若只有点D 在线段AB 上，则101<<x ，212≤≤x ，显然321<x x ，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则211≤≤x ，22>x ．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a ，解得112a -<<-．当当点D 与点A 重合时，由031)3(12=+⨯-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由032)3(22=+⨯-+a ，得12a =-，此时21=x ，232=x ，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1-≤12a <-，或者3a =-答案：1-≤12a <-，或者3a =-技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10 （2010年全国初中数学联合竞赛试题）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程04)1(2=-+++p k px x 的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -． （2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即41)1(=-++mk p m ②如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根． 综上所述，1=k ．技巧提升：由于方程两根之和为质数p ，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程04)1(2=-+++p k px x 的根应为216)1(42++-±-=p k p p x ，要使得其根为整数，根的判别式16)1(42++-p k p 的值必须是完全平方数．由于p 是质数，因此当16)1(42++-p k p 的值是完全平方数时，关于p 的二次三项式16)1(42++-p k p 必然等于2)(n p ±（n 为非负整数），也就是说16)1(42++-p k p 应成为关于p 的一个完全平方式，因此可得其064)1(162=-+=∆k ，可解得11=k ，32-=k （舍去）．三．学力训练1．选择题：2104（图10-8）.其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①③ （3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）A ．512 B ．49 C ．1736D ．12 （4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x 2＋6x －274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 2．填空题：（1）（2010年新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．（2）（2010年玉溪市中考题）如图10-9是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c ＞0；② a +b +c ＜0；③ 2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号） ．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y = x 2 -2006|x |+ 2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于__________．(4)（2010年全国初中数学联合竞赛题）二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3. （2010年佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数x x y 22-=的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程122=-x x 的根在图上近似的表示出来（描点）；（3）观察图象，直接写出方程122=-x x 的根．（精确到0.1）（图10-10）4.（2010年长沙市中考题）已知：二次函数22y ax bx =+-的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，求12||x x -的范围．5.（2010年肇庆市中考题）已知二次函数12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1）． （1）求证：42--=b c ；（2）求bc 的最大值；（3）若二次函数的图象与x 轴交于点1(x A ，)0，2(x B ，)0，ABP ∆的面积是43， 求b ．6． (2007年全国初中数学联合竞赛试题)设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mtx mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.8．（2010年全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.第10讲．一元二次方程与二次函数的关系 参考答案1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ； 2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2) ②、④；（3）0；(4) 19． 3.解：（1）如图所示；（2）如图所示，抛物线x x y 22-=与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程122=-x x 的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数；（3）方程的122=-x x 根为≈1x -0.4、≈2x 2.4. 4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k≠0) ．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ．∴一次函数的表达式为y ＝－bx ．（2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2由2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩得22(2)20ax a x +--=①∵△＝224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴122(2)24a a x x a a--+==122x x a -=∴12x x -== 或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2， ∴2>a>1 令函数24(1)3y a=-+， ∵在1<a<2时y 随a 增大而减小，∴244(1)312a<-+<，∴2<<∴122x x <-< 5.解：（1）∵12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1） ∴1241+++=c b ∴42--=b c（2）)42(--=b b bc 2)1(2)2(222++-=+-=b b b 当1-=b 时，2-=c此时，=∆)1(42+-c b 0541)12(4)1(2>=+=+---= ∴当1-=b 时，bc 有最大值，最大值为2。

一元二次方程和二次函数的区别一元二次方程与二次函数有着许多相似的地方，但同时它们也有着两者唯一的不同之处。

因此，在本文中，我们将介绍一元二次方程和二次函数的基本概念以及它们之间的显著差异。

什么是一元二次方程？一元二次方程是一种数学方程，它只有一个自变量，但具有二次项。

它的系数必须是实数，并且可以由常见的形式aX + bX + c = 0表示，其中，a≠0，b，c均为实数。

根据一元二次方程的系数a，b和c的取值，可以将一元二次方程分为三种类型：完全平方式、一元二次方程式和非完全平方式。

什么是二次函数？二次函数是一种具有两个自变量的函数，其标准形式可写为f (x) = ax + bx + c，其中a 0，b，c均为实数。

其曲线图也可以表示为y = ax + bx + c，它是一条以原点为中心的椭圆形，经历着上斜率、下斜率及无斜率三种状态。

一元二次方程与二次函数之间的区别是什么？一元二次方程和二次函数之间最显著的区别是它们所涉及的自变量：一元二次方程仅具有一个自变量，而二次函数具有两个自变量。

此外，一元二次方程的结果只有两个可能的根，而二次函数的结果可以是多个解，或者没有解。

此外，二次函数可以有正弦、余弦等多种形式，但一元二次方程只能采用统一的形式表示。

广义而言，一元二次方程是一种特殊的二次函数，它可以用正弦、余弦等形式表示出来，尽管它们之间存在显著的差异，但它们的基本概念是完全相同的。

因此，当讨论一元二次方程和二次函数时，可以灵活运用它们之间的联系。

综上所述，一元二次方程和二次函数之间的区别可归纳为以下几点：一、它们具有不同的自变量；二、一元二次方程只有两个根，而二次函数可能有多个解；三、一元二次方程只能采用一种统一标准形式，而二次函数可以有正弦、余弦等多种形式。

因此，本文详细讨论了一元二次方程和二次函数之间的区别。

鉴于它们在数学上之间的关系，当讨论它们时必须特别注意它们之间的各种区别，以便成功地解决数学问题。