-条件概率

名词解释条件概率的概念
条件概率是统计学家研究随机事件的必修课，也是概率统计的核心内容。

条件概率定义为考虑已经发生某种事件后，其他事件发生的概率。

它实际上就是一个简单条件下，某种情况发生的可能性。

一般来说，条件概率表达在形式上就是：条件概率 P (A | B) = P (A 交 B)/P (B)，其中P (A)表示事件A发生的概率，P (B)表示事件B发生的概率，而P (A 交 B)则是表示A与B同
时发生的概率。

也就是说，它表示在知道已经发生第一个事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率，最常用在概率分布中，多用来计算相关事件发生概率：也即一个给定的事件A，再加上一个直接说明事件A发生的前提条件B，按照该条件概率可以求出事件A发生的概率，也可以对另一个事件（D）比较事件A发生的概率及事件 D发生的概率。

相当于是让前提条件B作为研究被检验的指标，以此来研究和判断事件A与事件D发生的可能性。

也就是说，条件概率在研究中主要是来描述一个给定的前提条件后，其他事件可能发生的情况及概率，来考察研究中的特定结论发生的可能性。

常常使用这样的表达：知道已经发生的条件B，事件A的发生概率为P (A | B)。

它可以以较精确的方式描绘出某种事件的发
生概率，是描述随机事件的重要工具之一。

条件概率及其性质1．条件概率及其性质(1)条件概率的定义设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．(2)条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P(B|A)＝.(3)条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) ) ．2．事件的相互独立性(1)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立．(2)如果事件A与B相互独立，那么与，与，与也都相互独立．3．二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A 发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1, 2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p) ，并称_p_为成功概率．若X～B(n，p)，则E(X)＝np.1.区分条件概率P(B|A)与概率P(B)它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的．概率P(B)是指在整个样本空间Ω的条件下事件B发生的可能性大小，而条件概率P(B|A)是在事件A发生的条件下，事件B发生的可能性大小．2．求法：(1)利用定义分别求P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝P(AB) P(A)；(2)先求A含的基本事件数n(A)，再求在A发生的条件下B包含的事件数即n(AB)，得P(B|A)＝n(AB) n(A).1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23，P(B)＝1－P(B)＝13，(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵P(A|B)＝38＋1＝13，∴P(A)＝P(AB)＋P(A B)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝49×23＋13×13＝1127.2.(2011年湖南)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分内)，”则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝_____答案：(1)2π (2)141.相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生．2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，则A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A 、B 都发生的事件为AB ；A 、B 都不发生的事件为A B ；A 、B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B ∪A B ∪ A B .3．互斥事件与相互独立事件的区别：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生．3.(2012年山东)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．【解】(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)＝34，P(C)＝P(D)＝23，由于A＝B C D＋B C D＋B C D，根据事件的独立性和互斥性得P(A)＝P(B C D＋B C D＋B C D)＝P(B C D)＋P(B C D)＋P(B C D)＝P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＝34×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝136， P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝112，P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为所以E(X)＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.(1)注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率．(3)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．4.(2011年山东高考)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A，乙胜B，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F.则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ012 3P 0.10.350.40.15因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.1.判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点：(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生．2．在利用n次独立重复试验中，恰好发生k次的概率P(x＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，….要注意n，k，p的取值．3．遇到“至少”“至多”问题时，要考虑从对立事件入手计算．4．二项分布模型(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验．②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．(2)涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题时，由于产品数量很大，因而抽查时，抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．(3)若随机变量X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .5.(2012年天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ) 【解】 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎪⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎪⎫132 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎪⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781. 所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.6. 张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家到公司上班的路上有L 1，L 2两条路线(如图所示)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L 2路线，求遇到红灯的次数X 的数学期望；(3)按照“遇到红灯的平均次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．解：(1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×⎝⎛⎭⎪⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝12.所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－35＝110，P (X＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920.故随机变量X 的分布列为 X0 1 2P 110 920 9206.(1)设某种灯管使用了500 h 还能继续使用的概率是0.94，使用到700 h 后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500 h 的灯管还能继续使用到700 h 的概率是多少？(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．【正确解答】 (1)设A ＝“能使用到500 h ”，B ＝“能使用到700h ”，则P (A )＝0.94，P (B )＝0.87.而所求的概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝P (B )P (A )＝0.870.94＝8794. (2)据题意知P (A )＝0.9，P (B |A )＝0.8，故由P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )知P (A ∩B )＝P (A )·P (B |A )＝0.72，又由于B ⊆A ，故P (A ∩B )＝P (B )＝0.72即为这粒种子能成长为幼苗的概率．假定生男生女是等可能的，某家庭有3个孩子，其中有1名女孩，求其至少有1个男孩的概率．解：法一：此家庭共有3个孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)其中至少有1个女孩共有7种可能，其中至少有1个男孩有6种可能，故其概率为67法二：记事件A表示“其中有1名女孩”，B表示“至少有1个男孩”，P(B|A)＝6878＝67.。

条件概率知识点一、条件概率的定义。

1. 概念。

- 设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(BA)=(P(AB))/(P(A))为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

- 例如，扔一个骰子，事件A为“骰子的点数为偶数”，P(A)=(3)/(6)=(1)/(2)，事件B为“骰子的点数小于4”，AB表示“骰子的点数为2”，P(AB)=(1)/(6)。

那么在A发生的条件下B发生的条件概率P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(6)}{(1)/(2)}=(1)/(3)。

2. 性质。

- 非负性：对于任意事件B，A（P(A)>0），有P(BA)≥slant0。

- 规范性：P(ΩA) = 1，这里Ω是样本空间。

- 可列可加性：如果B_1,B_2,·s是两两互不相容的事件，则P(bigcup_i =1^∞B_iA)=∑_i = 1^∞P(B_iA)。

二、条件概率的计算方法。

1. 公式法。

- 直接根据定义P(BA)=(P(AB))/(P(A))计算。

- 例如，有一批产品共100件，其中次品10件，从中不放回地抽取两次，每次取一件。

设事件A为“第一次取到次品”，P(A)=(10)/(100)=(1)/(10)；事件B为“第二次取到次品”。

AB表示“第一次和第二次都取到次品”，P(AB)=(10)/(100)×(9)/(99)=(1)/(110)。

那么P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(110)}{(1)/(10)}=(1)/(11)。

2. 缩减样本空间法。

- 当直接计算P(AB)和P(A)比较复杂时，可以考虑缩减样本空间。

- 还是以上面抽取产品的例子，在A发生的条件下，即第一次已经取到了次品，此时样本空间就缩减为99件产品，其中次品还有9件，所以P(BA)=(9)/(99)=(1)/(11)。

三、条件概率的乘法公式。

1. 公式。

- 由P(BA)=(P(AB))/(P(A))可得P(AB)=P(A)P(BA)（P(A)>0）。

2.2.1 条件概率教学目标（一）知识目标在具体情境中，了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题.（二）情感目标创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质．（三）能力目标在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法．教学重点条件概率的概念，条件概率公式的简单应用.教学难点正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题.教学过程一、复习引入1、复习：(1)两个事件A、B的和事件（BABA或+):事件A、B中至少有一个发生，当事件A、B 互斥时，()()()P A B P A P B+=+(2)两个事件A、B的积事件（BAAB或）事件A、B同时发生，若AB为不可能事件,则说事件A与B互斥.(),(),()P AB P A P B有什么关系呢？2、引例1：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问题1：事件B:最后一名同学抽到中奖奖券的概率为多少？1 ()3 P B=问题2: 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？12 P=问题3：为什么两个问题的概率不一样？通过回答问题3:，引出课题条件概率：因为问题2中已知第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率：若记A:第一名同学没有抽到中奖使得，一般地，在已知另一事件A 发生的前提下，事件B 发生的可能性大小不一定再是P(B).我们将问题2的事件记为(|)P B A ，称为在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率 二、新授课：（一）条件概率的概念设A 和B 为两个事件，那么，在“A 已发生”的条件下，事件B 发生的概率叫做______________________. 用符号___________表示。

名词解释-条件概率
条件概率是指在一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

具体而言，如果事件A和事件B有关联，并且我们已知事件A已经发生，那么事件B发生的概率就是条件概率，通常表示为P(B|A)。

在数学上，条件概率的定义式为：
P(B|A) = P(A and B) / P(A)
其中，P(A and B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

条件概率在统计学和概率论中有着重要的应用。

例如，在医学研究中，我们可能会研究某个疾病发生的条件概率，即在某些特定条件下，某个疾病发生的概率。

或者在市场营销中，我们可能会考虑在某个产品已经销售的情况下，客户对该产品的满意度。

另外，条件概率也可以用于预测模型的评估中。

例如，如果我们想要评估一个模型的预测准确度，我们可以使用条件概率来计算在给定实际值和模型预测值的情况下，模型预测正确的概率。

总之，条件概率是一种在概率论和统计学中广泛应用的概念，它可以帮助我们更好地理解和评估事件发生的风险和可能性。

什么是条件概率举例说明条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

为了更好地理解条件概率的概念，下面将举例说明。

1. 假设某个班级有40个学生，其中20个是男生，20个是女生。

现在随机选择一个学生，已知选中的学生是男生，那么他是某个特定学生的概率是条件概率。

2. 在一批产品中，有10%的次品。

现从中随机抽取一个产品，已知抽中的产品是次品，那么它是某个特定次品的概率是条件概率。

3. 假设某个城市的天气情况有30%的可能是晴天，20%的可能是阴天，50%的可能是雨天。

现已知今天是雨天，那么明天也是雨天的概率是条件概率。

4. 在一批电视节目中，有60%的节目是娱乐类节目，30%的节目是新闻类节目，10%的节目是体育类节目。

现已知某个节目是体育类节目，那么下一个节目也是体育类节目的概率是条件概率。

5. 假设某个餐厅的顾客中，有40%的人喜欢吃牛肉，30%的人喜欢吃鸡肉，30%的人喜欢吃鱼肉。

现已知某个顾客喜欢吃鸡肉，那么他也喜欢吃鱼肉的概率是条件概率。

6. 在某个学校中，有60%的学生喜欢数学，40%的学生喜欢英语，30%的学生同时喜欢数学和英语。

现已知某个学生同时喜欢数学和英语，那么他是喜欢数学的概率是条件概率。

7. 假设某个地区的人群中，有70%的人喜欢看电影，50%的人喜欢看电视剧，20%的人同时喜欢看电影和电视剧。

现已知某个人同时喜欢看电影和电视剧，那么他是喜欢看电视剧的概率是条件概率。

8. 在某个公司中，有60%的员工是男性，40%的员工是女性。

现已知某个员工是男性，那么他是某个特定员工的概率是条件概率。

9. 假设某个市场上，有50%的产品是手机，30%的产品是电脑，20%的产品是平板电脑。

现已知某个产品是手机，那么下一个产品是平板电脑的概率是条件概率。

10. 在一批学生中，有70%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打足球，20%的学生同时喜欢打篮球和足球。

现已知某个学生同时喜欢打篮球和足球，那么他是喜欢打篮球的概率是条件概率。

名词解释-条件概率：
条件概率是概率论中的一个重要概念，它不单独表示一种事件发生的概率，而是一种与前一个发生的事件有关的概率。

因此，它被称为"条件概率"。

在定义上来讲，条件概率是事件A在事件B发生的条件下发生的概率，即P （A|B）。

这里A和B是事件，P（A|B）表示在B已经发生的条件之下，A发生的概率。

它比普通的概率更加精细，应用场景也更加广泛。

它不仅可以表示单一事件的发生概率，而且可以表示多个事件对自身发生可能性的影响。

条件概率的概念可以用于多种行业实际的应用，特别是在投资、保险、预测、统计和决策等领域。

例如，投资者可以根据股市的走势和市场波动等因素，分析股票的条件概率，作出最佳的买入和卖出决策；保险公司根据历史赔偿统计数据，计算未来不同的风险的条件概率，制定出恰当的赔偿方案等等。

条件概率是概率论中最常用的一种概念，它既可以表示单一事件发生的概率，又可以表示多个事件发生的概率及其之间的关系。

它能够更精细地测量不同行业内因素之间的关系，从而为业务决策提供更加科学而有效的分析支持，为公司节省更多财力，实现经济效益的最优化。

高二第11讲条件概率和全概率公式【知识要点】1．事件A 与事件B 互斥：()()()P A B P A P B +=+2．事件A 与事件B 对立：()()()1P A B P A P B +=+=3．事件A 与事件B 相互独立：()()()P AB P A P B =4．条件概率：在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率()(/)()P AB P B A P A =；5．全概率公式：设12,n A A A ⋅⋅⋅，,为一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋅⋅⋅⋃=Ω，且()0i P A >，(1,2,,i n =⋅⋅⋅)，则对任意事件B ⊆Ω，有1()()()ni i i P B P A P B A ==∑；6．若事件12,,,n A A A ⋅⋅⋅彼此互斥，它们至少有一个发生的概率1212()()()()n n P A A A P A P A P A ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.【古典概型】1．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为（）1313. . . . 771414A B C D 2．某路公交在某段路上有4个站点(如图)，分别记为0123,,,A A A A ，现有甲、乙两人同时从0A 站点上车，且他们中的每个人在站点i A (1,2,3i =)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()2331. . . . 3452A B C D 3．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连，不管人的顺序），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）1111. . . . 102040120A B C D 4．如图，电路从A 到B 上共连接着6个灯泡，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是()1044810040. . . . 2772924381A B C D【条件概率】5．从装有2个白球和2个黑球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）.A “至少有一个黑球”和“都是黑球”.B “至少有一个黑球”与“至少有一个白球”.C “恰好有一个黑球”和“恰好有两个黑球”..D “至少有一个黑球”和“都是白球”6．（2021新高考1卷8）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为7”，则（）.A 甲与丙相互独立.B 甲与丁相互独立..C 乙与丙相互独立.D 丙与丁相互独立7．（多选题）设,A B 是两个随机事件，则正确的是（）.A 若,A B 是互斥事件，1()3P A =，1()2P B =，则1()6P A B ⋃=.B 若,A B 是对立事件，则()1P A B ⋃=..C 若,A B 是独立事件，1()3P A =，2()3P B =，则1()9P AB =..D 若1(3P A =，1(4P B =，则1()4P AB =，则,A B 是独立事件.8．根据历年气象统计资料，某市5月份吹南风的概率是1031，下雨的概率是1231，既吹南风又下雨的概率是731，则在吹南风的条件下，下雨的概率是()57710. . . . 6101231A B C D 9．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠”，则概率(/)P B A =()1112. . . . 2345A B C D10．某篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球没投进则后一球投进的概率为14，若他第一球投进的概率为34，则他第二球投进的概率为()3579. . . . 481616A B C D 11．已知事件,,A B C 相互独立，()()()P A P B P C ==，26()27P A B C ⋃⋃=，则()P A =；12．盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是；13．人群中患肺癌的概率是0.1%，在人群中有15%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是；（用分数表示）（202304湖南名校联盟13）14．证明：(|)(|)(|)(|)(|)(|)(|)(|)P B A P B A P A B P A B P B A P A B P A B P B A ⋅=⋅ ；（2022高考卷20（2））15．在三棱锥A BCD -中，, BCD ACD ∆∆都是边长为2的正三角形，侧棱3AB =，对其四个顶点随机贴上写有数字1—8的8个标签中的4个，记对应的标号为()f η，（η的取值为,,,A B C D ），E 为侧棱AB 上一点。

条件概率名词解释条件概率：在某一给定的置信度上，事件发生的可能性与其所含的基本事件个数之间的关系。

简言之，条件概率就是当n个观察结果中的至少有一个或多个为真时，那么真的观察结果个数占所有观察结果个数的比例。

条件概率在理论物理中，我们经常用到它，而在生活中它却不怎么被人所熟知，但实际上，我们却离不开它。

现举两例。

例1：一个电视台正播放“百家讲坛”节目，一个学生回答说世界上有ufo，并举了很多科学依据。

然后节目主持人又问观众：如果世界上有外星人，你愿意跟谁去?大多数观众都选择了自己的亲人，但也有几位观众明确表示想跟着外星人走。

为什么观众没有选择跟随电视台一起去呢?条件概率在不确定性理论和随机过程的教学中，这样的例子不胜枚举。

如果把其中某些随机事件看作是概率为0的事件，则概率为0的条件概率就是指该随机事件在任何情况下必然发生的概率，即P=0。

，这时的条件概率P0称为必然发生的条件概率;(2)条件概率P ＝S(A)=P(A)-P(B)(B不等于0)P(A)-P(B)= P(A)P(B)这时的条件概率P0称为肯定发生的条件概率。

，其中表示同样的事件在a和b两次试验中发生的次数之差; p 为第i次试验中的结果，称为频率，又称为概率或概数; n为取值于一组数据的变量个数; S是n个随机变量取值于各个分布的数字的期望值。

下面我们来介绍条件概率的三个性质：(1)对任意相等的a， b 和p，有P(a≤b)和P(a>b)， P(a≤b)>P(a>b);(2)设X(t)表示事件A的发生的概率，则： P(X(t)>Y(t))且P(X(t)>Y(t))具有以下性质:(3) P(X(t)>Y(t))满足性质(1)和性质(2)，这是关于条件概率的全概率公式。

5。

已知Z={{(x， y， z)}={(x， y)， (x， z)， (x， y， z)}}，则Z的条件概率为《数理统计》期末试题一： 1、有一列三位数字，分别是： 1，7， 7， 1， 2， 7， 5， 10，请利用重点与难点进行命题。