-条件概率

35
100
PAB 30 ,
100
加工同一种零件共100个，结果如下
合格品数 次品数
第一台车床加工数 30
5
第二台车床加工数 50
15
总计 35 65
1-3-4
条件概率
类由似例地1可,可以以看定出义，在事事件件AA在发“生事的件条B件已下发事生件”B发这生附加
的条条件件的但概概有率率，与既不P有附A:加BP这B |个PAP条ABBP件PA的AB概率是不同的．
P( A1 A2 ) P( A1) P( A2)
(2) 规范性：P S A 1；
可列可加性
(3 ) 可列可加性：如果随机事件B 1，B 2 ， ，B n，
两 两 互 不 相 容 ，则
P
Bn
A
P
Bn
A
n1
n1
1-3-6
条件概率
说明： 1）条件概率是一事件的概率，满足公理化定义的 三条，则概率的性质可平推至此。
2）条件概率的计算或直接使用公式，或缩减样本空 间下计算。其计算公式利用古典概型证明之。n为样 本空间中的基本事件数，m为事件A中的基本事件 数，k事件AB中的基本事件数，于是
PB | A k k n P( AB)
m m n P( A)
1-3-7
条件概率
例 2 n 个人排成一队,已知甲前甲与面总乙与排地乙在位排乙相在同甲的的,前所前以面面甲,求的排概乙在率恰乙相的
n个事件的乘法公式．
1-3-11
条件概率
例 4 设A,B为两个互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,则 P(A|B)=0,P(B|A)=0.
提示:利用乘法公式 P(AB)=P(A).P(B|A)= P(B).P(A|B)=0.
1-3-12
条件概率
例 3 装有白球10只，黑球5只的袋中丢失一个球，但 不知是什么颜色，为了猜测其颜色，从中随机摸出一 球，结果是白色，问丢失是黑球的概率。
P(B A)P( A) P(B A)P( A)
0.667
P( A B) P( AB)
P(B)
P(B A)P( A)
0.357
P(B)
1-3-14
条件概率
例5 设箱中有a个白球，b个黑球，在其中连续取3次， 每次取一球，采取不放回式，问：取得三个均为白球 的概率。
解 设 Ai 表示“第i次取到白球”事件i。 1,2,3,
解：设A表示“第一次取到黑球”事件（将丢失的一 球看作是一次不放回地取一球。B表示“第二次取两
球均是白球”事件 问题转化为 PA | B
PA 515,
P
A
10 15
,
P
BA
C110 C114
1014 ,
P
BA
C91 C114
9 14
,
1-3-13
条件概率
而 B AB AB , 且 AB AB , 于是 P(B) P(AB AB) P( AB) P( AB)
a2 ab2
P( A1A2 A3 ) P( A3 A1 A2 )P( A2 A1)P( A1) a a1 a2 ab ab1 ab2
1-3-16
条件概率
设例某6 光书学上仪例器题厂P2制1;造例的4。透镜，第一次落下时打破的概率
为1/2,若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10 ,
等.
好紧跟在甲后面的概率. 解: 用A表示“甲总排在乙的前面”事件,B表示“乙 恰
P好(A紧)=跟1/在2, 甲后P面(A”B事)=件(n.-问1)!题/n转!, 化为P(B|A)
AB表示甲排在乙的前面且紧跟
P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/n 着甲,AB包含(n-1)!个基本事件,
1-3-8
由条件概率的定义
PB
A
PAB PA
我们得
PAB PAPB A
这就是两个事件的乘法公式．
1-3-10
条件概率
2 多个事件的乘法公式 设 A1， A2， ， An 为n个随机事件，且
PA1 A2 An1 0, 则有
PA1 A2 An PA1 P A2 A1 P A3 A1 A2 P An A1 A2 An1
1-3-2
条件概率
例 1 两台车床加工同一种零件共100个，结果如下
合格品数 次品数 总计
第一台车床加工数 30
5
35
第二台车床加工数 50
15
65பைடு நூலகம்
总计
80
20
100
计算概率 (1) 从100个零件中任取一个是合格品;
(2) 从100个零件中任取一个是第一台车床加工;
(3) 从100个零件中任取一个是第一台车床加工且为合格品;
条件概率
例 3 书上例题P15;例2 一盒子装有4只产品,其中3只一等品,1只二等品.从
中取产品两次,每次任取一只,做不放回式抽样.设事件 A表示“第一次取到的是一等品”的事件,B表示“第
二 次取到的是一等品”的事件,试求条件概率P(B|A)
1-3-9
条件概率
二、乘法公式
1 两个事件的乘法公式：
定义： 设A、B是随机试验E的两个事件，且
PB 0,
则
PA
B
PAB PB
称之为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，
简称为A在B之下的条件概率。
1-3-5
条件概率
10 0 P( A) ;
2 条件概率的2性0 质P：(S) 1 ;
非负性 规范性
(1) 非负性：对30任意若A事1, 件AB2 ,， 是有两P 两B 互A不相0 容事件,则
于是问题转化为 PA1A2A3 ,
根据公式有
P( A1A2 A3 ) P( A3 A1 A2 )P( A2 A1)P( A1)
P( A1 )
a, ab
P( A1 A2 )
Ca2 C2
ab
aa 1 (a b)a b 1
1-3-15
条件概率
P
A2 A1
a1 ab1
于是有
P
A3 A1 A2
§1.3 条 件 概 率
条件概率 乘法定理
全概率公式和贝叶斯公式
1-3-1
条件概率
一、条 件 概 率
1 条件概率的定义
设A、B是某随机试验中的两个事件，且 P(B) 0
则称事件A在“事件B已发生”这一附加条件下的 概率为在事件B已发生的条件下事件A的条件概率，
简称为A在B之下的条件概率，记为 P A B
(4) 从100个零件中任取一个是第一台车床加工的合格品.
1-3-3
条件概率
PA, P(B), PAB, P( A | B)
解：用A表示“从100个零件中任取一个是合格品”事件
B表示“从100个零件中任取一个是第一台车床加工”事件
PA 80 ,
100
PB 35 ,
100
PA B 30 PA 80 ,