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三角函数图象的平移和伸缩
函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．
变换方法如下：先平移后伸缩
sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度
得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω
−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()
A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ϕ=++的图象．
先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)
得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω
<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位
得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象． 解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象．
（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移
π8
个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的
2
解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭． 对于复杂的变换，可引进参数求解．
例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的图象． 分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．
解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
． 根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8
a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的图象． 练习
1、将函数y=3sin （2x+θ）的图象F 1按向量
平移得到图象F 2，若图象F 2关于直线对称，则θ的一个可能取值是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 2、将函数
的图象按向量平移，得到y=f （x ）的图象，则f （x ）=（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、sin （2x ）+3 3、要得到函数y=cos()24
x π-的图象，只需将y=sin 2x 的图象（ ） A ．向左平移2π个单位 B.同右平移2
π个单位 C ．向左平移4π个单位 D.向右平移4
π个单位 4、若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1y= sin
x 2的图象则y=f(x)是（ ） A ． 1y=sin(2)122x π++ B. 1y=sin(2)122
x π-+ C. 1y=sin(2)124x π++ D. 1sin(2)124
y x π=-+ 5.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移
5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位
3
C ．向左平移5π6个长度单位
D ．向右平移5π6个长度单位
6.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫
=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）
A ．向右平移π6个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移π
3个单位 D ．向左平移π
6个单位
7.为了得到函数)62sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）
(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π
个单位长度
(C)向左平移6π
个单位长度 (D)向左平移3π
个单位长度
8.已知函数()sin()(,0)4f x x x R π
ϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数
()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A
A 向左平移8π
个单位长度 B 向右平移8π
个单位长度
C 向左平移4π个单位长度
D 向右平移4π
个单位长度
9.把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π
个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（
C ） A ．（1－y ）sin x +2y －3=0 B ．（y －1）sin x +2y －3=0 C ．（y +1）sin x +2y +1=0
D ．－(y +1)sin x +2y +1=0
