3.3.2简单的线性规划问题(第四课时)
一、设计问题,创设情境
练习1：(1)作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分),即可行域.
将z1=x+y变形为y=-x+z1,这是斜率为-1、随z1变化的一簇平行直线. z1是直线在y轴上的截距.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数z1=x+y取得最值.
由图可见,当直线z1=x+y经过可行域上的点B时,截距z1最小.
得B点的坐标为x=,y=.
所以z1的最小值为.
同理,当直线z1=x+y与可行域的边界x+y=6重合时,z1最大为6.
(2)同理将z2=3x+y化为y=-3x+z2,这是斜率为-3的一簇平行直线.如图所示,当它过可行域上的点A(0,6)时,z2最小为6.
(3)同理将z3=x+4y化为y=-x+,它是斜率为-的一簇直线.如图所示,当直线经过可行域上的点C时,最大,即z3最大.
解方程组
得点C的坐标为x=,y=.
所以z3的最小值为.
问题1：是目标函数对应的直线的斜率与可行域中边界对应的直线的斜率的大小关系不同导致的.
练习2：解：z=ax+y可化为y=-ax+z,
因为z=ax+y在可行域中的点B处取得最小值,
所以,直线z=ax+y与可行域只有一个公共点B或与边界AB重合,或与边界BC重合.
所以-2≤-a≤-.
所以实数a的取值范围是.
练习3：学生探究一：能够把可行域中的所有“整点”都求出来.求这些最优解时,可根据可行域对x的限制条件,先令x去整数,然后代入到可行域,求出y的范围,并进一步求出y的整数值.
学生探究二：因为x,y∈N,则必有x+y∈N.又因为当x=,y=时,z1的最小值为,且直线z1=x+y应该向上方(或右方,或右上方)移动,所以相对应的z1的值大于.
所以令z1=x+y=5,即y=-x+5,代入得
即1≤x≤3,所以当或时,z1取得最小值5.
问题2：结合等量关系,将“二元”问题转化为“一元”问题求解.当可行域范围较小,包含的整点个数很少时,方法一比较简洁;反之,方法二较为简洁.
二、使用规律,解决问题
【例题】解：设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则
用图形表示以上限制条件,得到如图所示的平面区域(阴影部分).
由题意,得目标函数为z=x+y.
可行域如图所示.
把z=x+y变形为y=-x+z,得到斜率为-1、在y轴上截距为z的一族平行直线.
由图能够看出,当直线z=x+y经过可行域上的点M时,截距z最小.
解方程组
得点M.而此问题中的x,y必须是整数,所以M不是最优解.经过可行域内整点且使截距z最小的直线是
y=-x+12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.
z min=12.
答：要解得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板张数最小的方法有两种,第一种截法是第一种钢板3张,第二种钢板9张;第二种截法是第一种钢板4张,第二种钢板8张.两种截法都最少要两种钢板12张.
问题3：规律：(1)找出实际问题中的数量关系,根据数量关系设出合理的两个变量x,y;
(2)用x,y表示实际问题中的数量关系,得到线性约束条件和目标函数;
(3)用图解法解答线性规划问题的最优解,必要时要探求“整点”;
(4)用最优解作答实际问题.
四、变式训练,深化提升
变式训练1：解：设每天食用x kg食物A,y kg食物B,总成本为z,那么
可化为目标函数为z=28x+21y.
作出不等式组表示的平面区域,即可行域.
平移直线z=28x+21y知,当直线经过表示的点时,
z min=28×+21×=16.
答：每天食用食物A约143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元.
问题4：条件中的不等式组对应平面区域;图形;数形结合;也和图形结合起来;表示可行域内
的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;表示可行域内的点(x,y)与点(0,3)的距离.
变式训练2：解析：如图所示,可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线是介于直线OC和y轴之间,根据斜率的变化规律,直线OC的斜率最小为,所以的最小值为表示可行域内的点(x,y)与点P(0,3)的距离,所以结合图形能够知道点P到直线AB的距离就是的最小值为.
答案：
五、反思小结,观点提炼
问题5：数形结合;平移直线时,要根据目标函数对应直线的斜率确定该直线与可行域边界直线的相对位置关系;在图形变化的过程中,寻求对应的斜率的变化范围,等等.
当堂检测：
1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是（）.
A．50402000
x y
+=B．50402000
x y
+≤
C．50402000
x y
+≥D．40502000
x y
+≤
2. 已知,x y满足约束条件
04
03
28
0,0
x
y
x y
x y
≤≤
⎧
⎪≤≤
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪≥≥
⎩
，则25
z x y
=+的最大值为（）.
A．19 B．18 C．17 D．16
3. 变量,x y满足约束条件
2324
212
2936
0,0
x y
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪+≥
⎪
⎨
+≥
⎪
⎪≥≥
⎩
则使得32
z x y
=+的值的最小的(,)
x y是（）.
A．（4，5）B．（3，6）C．（9，2）D．（6，4）
4.已知实数,x y满足约束条件
240
220
330
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪--≤
⎩
则目标函数2
z x y
=+的最大值为______________
5.设变量,x y满足约束条件
30
23
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪-≤≤
⎩
则目标函数2x y
+的最小值为______________
