初一至初三数学全部知识点!!
轴对称图形
轴对称与轴对称图形
． 什么叫轴对称：
能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于
． 什么叫轴对称图形：
直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做
．轴对称与轴对称图形的区别与联系：
而轴对称图形是指一个图形的两个
．线段的垂直平分线：
．轴对称的性质：
⑴成轴对称的两个图形全等。
．怎样画轴对称图形：
线段、角的轴对称性
．线段的轴对称性：
线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合
．角的轴对称性：
l A B
ACEDOPl A B M
角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合
等腰三角形的轴对称性
等腰三角形的性质：
（简称“等边对等角”）
底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”)
等腰三角形的判定：
2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”）
．等边三角形：
等边三角形的定义：
等边三角形的性质：
3条对称轴；
600。
个角相等的三角形是等边三角形；
600的三角形是等边三角形；
600的等腰三角形是等边三角形。
．三角形的分类：
斜三角形：三边都不相等的三角形。
三角形 只有两边相等的三角形。
等腰三角形
等边三角形
等腰梯形的轴对称性
等腰梯形的定义：
等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
等腰梯形的性质：
．等腰梯形的判定：
在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。
补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。
勾股定理与平方根
勾股定理、勾股定理的应用 A D C B
、勾股定理：
∠C=900222abc
、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：
a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
222abc∠C=900
a2＋b2＝c2三个数a、b、c叫做勾股数。
一般的，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。
只有一个平方根，它是0本身。负数没有平方根。
a，那么这个数就叫做a的立方根，也称为三次方根。
0的立方根是0.
常见的无理数有：⑴ 无限不循环小数：如0.010010001……
开不尽的根号：如3、5、34、37等
⑶ 圆周率：如-3.14、
等。
、近似数的认识：
例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近
.请说说生活中应用近似数的例子。
四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数
=3.1415926…
3，就是精确到个位（或精确到1）
3.1，就是精确
到十分位（或精确到0.1）
3.14，就是精确到百分位（或精确到0.01）
3.142，就是精确到千分位（或精确到0.001）
、有效数字：
从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这
例如：上面圆周率π的近似值中，3.14有3个有效数字3，1，4；
有4个有效数字3，1，4，2.
中心对称图形(一) C B A c b a
中心对称与中心对称图形
、图形的旋转：
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，
旋转的角度称为旋转角。旋转前、后的图形全等。对应点到旋转中
、中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图
也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应
2个图形，对称点的连线都经过对称中心，
、中心对称图形：
180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重
、中心对称与中心对称图形之间的关系：
（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。（2）成
若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个
.
、对比轴对称图形与中心对称图形：
中心对称图形
有一个对称中心——点
绕对称中心旋转180O
旋转后与原图形重合
平行四边形
、平行四边形的定义：
2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
□ABCD，读作平行四边形ABCD.
、平行四边形的性质：
、平行四边形的判定：
2组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2组对边分别相等的四边形是平行四边形；
2组对角分别相等的四边形是平行四边形；
矩形、菱形、正方形
、矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。
、矩形的性质：
对称轴是对边中点连线所在直线，有两条，
、矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有3个角是直角的四边形是矩形。
、菱形的定义：
、菱形的性质：
对称轴是两条对角线所在直线，对称中心
、菱形的判定：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
、菱形的面积：
=1
AC·BD
、正方形的定义：
、正方形的性质：
对称轴有四条，对称中心是对角线的交点。
、正方形的判定：
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②有一组邻边相等矩形形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形。
、
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
三角形、梯形的中位线 O D C B A D C B A O
1、三角形的中位线： ⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 区别三角形的中位线与三角形的中线。 ⑵三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 2、梯形的中位线：
数量、位置的变化
、数量的变化：
3种各具特色的表达方式
、位置的变化：
现实生活中，人们既关心事物的数量变化，也关心事物的位置变化，如行驶中的车辆、
、平面直角坐标系：
⑴有关概念：平面上有公共原点且互相垂直的2条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐
x轴或横轴；竖直方向的数轴称为y轴或纵轴。
O称为坐标原点。
P（如图），我们应该如何确定它的位置？
P分别作x、y轴的垂线，将垂足对应的数组合起来形成一
点的坐标，可表示为P（a，b）
Q的坐标为（m，n），该如何确定点Q的位置？
x、y轴上表示m、n的点作x、y轴的垂线，两线的交点
Q）
、点坐标的特征：
⑴四个象限内点坐标的特征：
两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别记作第一、二、三、四
O x y 4 2 3 1 4 3 2 1 -2 -3 -1 -4 -3 -2 -1 -4 P（a，b） · a b
⑵数轴上点坐标的特征：
轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a，0）；
轴上的点的横坐标为0，可表示为（0，b）。
(a，a)；第二、四象限角
(a，-a)。
，b)关于x轴对称的点的坐标为(a，-b)；
，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a，b)；
，b)关于原点对称的点的坐标为(-a，-b)。
函数
、常量和变量：
、函数：
x与y，如果对于变量x的每一个值，变量y
的值与它对应，我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
,表示2个变量之间的关系可用3种方法：表格、图形、式子。表示2个变量之间
（函数解析式）
s=100t就是一个函数解析式。
1
yx中，能使它有意义的值是3x的一切实数，所以函数13yx的取
3x的一切实数。
0；
一次函数
一次函数
、一次函数与正比例函数的定义：
x与y之间的关系，可以表示为y=kx+b（k，b为常数k≠0）的
y是x的一次函数。
b=0时， y叫做x的正比例函数。
、如何求一次函数与正比例函数的解析式：
因为正比例函数y=kx (k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函数的解析
x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值。
y=kx+b(k≠0)中的待定系数有两个k和b，因此要确定一次函数的解析式
x、y的两组条件，列出一个方程组，从而求出k和b。
、一次函数的图象：
y=kx的图象是经过原点的一条直线
，一次函数y=kx+b的图象是
y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b个单位长度得到的一条
由直线的公理可知：两点确定一条直线。所以在画一
y=kx+b的图
y-kx+b。
、一次函数的性质：
y=kx+b中，
k>0，那么y的值随x的增大而增大；
k<0，那么y的值随x的增大而减小。
y=kx中，
k>0，那么正比例函数的图象经过一、三象限；
k<0，那么正比例函数的图象经过二、四象限；
y=kx+b中，
k>0、b>0，那么一次函数的图象经过一、二、三象限；
k>0、b<0，那么一次函数的图象经过一、三、四象限；
k<0、b>0，那么一次函数的图象经过一、二、四象限；
k<0、b<0，那么一次函数的图象经过二、三、四象限；
一次函数的应用
、一次函数的应用：
(1)认真分析实际问题中变量之间的关系；(2)若具有
(3)利用一次函数的有关知识解题。
常常数据较多，反映的内容也很复杂，如何把众多的信息组织
要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径。在实际生活问题中，
关键是建立一次函数关系式，然后再根据一次函数的性质，综
要注意结合实际，确定自变量的取值范围，求出对应的函数
、二元一次方程组的图象解法
y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y+b=0的解；
kx－y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上。
如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方
数据的集中程度
数据的集中程度
、 平均数：
一般地，对于n个数x
，x2，…，x n 我们把
xxxxn21 叫做这 n 个数的
“接近”哪个数。
n个数中，x
出现f1 次，x2出现f2次，x3出现f3次，… …x n出现fn
（其中f
+f2+f3+……+fn=n），这n个数的平均数可表示为：
fxfxfxfxxnn332211
x
，x2，x3，……，x n的平均数为x，则一组新数据：
+a，x2+ a，x3+ a，……，xn+ a的平均数为：
axx
举例说明：某班第一小组的同学的身高如下：（单位：㎝）：158，160，160，170，158，170，
，158，160，160，168，170。计算这组同学的平均身高。（精确到1㎝）
163
2433170216841603158x
将各个数据同时减去160，得到-2，0，0，10，-2，10，8，-2，0，0，8，8
.3)88002810210002(
1x
1632.163160xx
、加权平均数：
在实际问题中，一组数据中各个数据的重要程度并平总是相同的，有时有些数据比其它
“权 ”。
加权平均数：如果在n个数中，x
出现f1 次，x2出现f2次，x3出现f3次，……x k出现f k
（其中f
+f2+f3+……+f k=n），则
fxfxfxfxxkk332211
其中f
、f2、f3、……f k叫做权。（看例1）
、中位数和众数：
n个数据按大小
顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均
一元一次不等式
.等式的概念：
一般的，用符号“=”连接的式子叫做等式。
*等式的左右两边是代数式。
一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式。 不等
用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左
linear ineqality with one unknown）。
不等式的性质：
1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4.不等式的两边都乘以0,不等号变等号。
不等式的基本性质
1.性质1：如果a>b,那么a±c>b±c
2.性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c)
3.性质3：如果a>b，c<0，那么ac
1、去分母 （运用不等式性质2，3）。
2、去括号 。
3、移项 （运用不等式性质1）。
4、合并同类项。
5、将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2，3）。
（6、有些时候需要在数轴上表示不等式的解集）
二．一元一次不等式的解法及解集
1.解一元一次不等式的步骤：(1)去分母，(2)去括号，(3)移项，(4)合并同类项，
求得解集。
2.一元一次不等式的解集
将不等式化为aχ>b的形式
(1)若a>0，则解集为χ>b/a
(2)若a<0，则解集为χ 5.不等式的解集：
（1） 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。例如，6是不等式x﹥5
7，8，9，…也是不等式x﹥5的解。
（2）一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如，不等式
5≤-1的解集为x≤4；不等式x²﹥0的解集是所有非零实数。求不等式解集的
6.数轴：
规定原点，方向，单位刻度的直线叫做数轴。
7.解不等式的五个步骤：（在运算中，根据不同情况来使用）
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）两边同时除以x的系数。
8.一元一次不等式：
这些不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
9.一元一次不等式组：
（1） 一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个
2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不
. 不等式解集的表示方法：
（1） 用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一
x-1≤2的解集是x≤3。
（2） 用数轴表
示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不
分式
A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的等式叫做分式。其中A叫
B叫做分式的分母。
掌握分式的概念应注意：
（1）分式的分母中必须含有未知数。
（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。分式的法则
分式的法则
约分：
把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。
分式的乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
分式的加减法法则：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
通分：
异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。如：3/2和2/3可化
9/6和4/6！即：3/2*3，2/3*2！
异分母分式的加减法法则：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减
(1).定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 A/
叫做分式（fraction）。
注：A/B=A×1/B
(2).组成：在分式 中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
(3).意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。
(4).分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分式值为0。
:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除
0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分
V.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，
VI.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分．
VII.分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积
,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分
,再将公因式约去.
注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母
,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.
VIII.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分
,一般将一个分式化为最简分式.
IX.通分:把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的
.
X.分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为
.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.
注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次
.
注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质2.(2)分式的约分和通分都
是互逆运
.
分式的四则运算
XI.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
XII.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再
.
XIII.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的
.
XIV.分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式
.
分式方程
XVI.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
XVII.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程
);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必
,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产
)....................................................
反比例函数
y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限
从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，
① k ≠ 0; ②一般情况下 , 自变量 x 的取值范围是 x
0 的一切实数 ; ③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 . 反比例函数的图象属
,
X和Y轴但不会相交（K≠0）。
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象
2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，
随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上
x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可
x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平
S1，S2则S1＝S2=|K|
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=
y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那
A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，
b²+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
图形的相似
,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。（相似的符号：∽）
1时，相似的两个图形全等。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
1.两个三角形的两个角对应相等
2.两边对应成比例,且夹角相等
3.三边对应成比例
平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原
相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线
、外接圆半径、
相似三角形周长的比等于相似比。
相似三角形面积的比等于相似比的平方
认识概率
1）频率=
频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方
2）概率
P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；
（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；
（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的
数据的离散程度
n个数x
，x2，…，xn，那么：
12......nxxxx
+++=；
用这种方法得到的差
=最大值-最小值；
据
x、2x……, nx的方差为2s，则
()()()222
21.....nxxxxxx
轾-+-++-犏臌
.
据
x、2x……, nx的标准差s，则
()()()222
21.....nxxxxxx
轾-+-++-犏
二次根式
二次根式的定义和概念：
1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√ā表示
的算数平方根,√0=0 当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为
2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。
二次根式√ā的简单性质和几何意义
1）a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性 ]
2）（√ā）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
二次根式的性质和最简二次根式
1）二次根式√ā的化简
a(a≥0）
√ā=|a|={
-a(a＜0)
2）积的平方根与商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）
3）最简二次根式
条件：
（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；
（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+
等；
二次根式的乘法和除法
1 运算法则
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/√b=√a /√b（a≥0，b>0）
二数二次根之积，等于二数之积的二次根。
2 共轭因式
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因
二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的
分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
如图
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
如图
根式中不能含有分母,
分母中不能含有根式.
一元二次方程
2次的整式方程
(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高项的次数
和
2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，
ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为
（4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
（a、b、c是实数a≠0)
配方法
如：解方程：x^2+2x－3=0
解：把常数项移项得：x^2+2x=3
等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4
因式分解得：（x+1）^2=4
解得：x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
2.公式法
其公式为x＝（-b±√（b^2－4ac））/2a
3.因式分解法
“提公因式法”、“公式法（又分“平
”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0
解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1）^2=0
解得：x1=x2=-1
4.开方法
5.代数法
ax^2+bx+c=0
同时除以a，可变为x^2+bx+c=0
设：x＝y-b/2
方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0
再变成：y^2+(b^2*3)/4+c=0
y=±√[(b^2*3)/4+c]
如何选择最简单的解法：
、看是否可以直接开方解；
2、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑
3、使用公式法求解；
4、最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题
一元二次方程的判断式：
b^2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根．
b^2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根．
b^2-4ac<0 方程有两个共轭的虚数根（初中可理解为无实数根）．
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
解方程求出题中未知数的值；
检验所求的答案是否符合题意，并做答．
X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
中心对称图形(二)
圆的定义有2
其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。
其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
概括
O表示。连接圆心和圆上的任意一点的线段
r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表
2倍，半径是直径的1/2。
用字母表示是：d=2r或r=d/2
圆的相关量
圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环的小
π表示，π=3.1415926535...，在实际应用中我们只取它的近似值，即π≈3.
（在奥数中一般π只取3、3.1416或3.14159）
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分
内心和外
心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一
【圆和圆的相关量字母表示方法】
圆—⊙ 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母） 弧—⌒ 直径—d
扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S
【圆和其他图形的位置关系】
以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），
在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫
AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距
AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内
R和r，且R≥r，圆心距
P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
一有关圆的基本性质与定理
⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的
条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周
90度的圆周角所对的弦是直径。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，
2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：面积，L：周长）
④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）
⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交P
于X，Y，则M为XY之中点。
（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
（9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
〖有关切线的性质和定理〗
切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点
3）圆的切线垂直于经过切点
的半径。
切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线
〖有关圆的计算公式〗
圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180
扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧
n=360r/l(r是底面半径,l是母线长)
圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母o或⊙表示
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称
2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环
π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
πr^2，用字母S表示。
二次函数
定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；
.
②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.
开口方向 对称轴 顶点坐标
y
0a时
0a时
0x（y轴） （0,0） kaxy2 0x（y轴） (0, k) 2hxay hx (h,0)
hxay2
hx (h,k)
bxaxy2
bx2
bacab4422，)
求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：
bacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，
bx2.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶
(h,k)，对称轴是直线hx.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的
若已知抛物线上两点
2(,)(,)、xyxy（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：
2
xxx
抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线
bx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴
y轴左侧；③0
b（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.
（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.
当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：
①0c，抛物线经过原点; ②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半
.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0
b.
用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标
x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.
直线与抛物线的交点
（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0, c).
（2）抛物线与x轴的交点
二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标
x、2x，是对应一元二次
2cbxax
.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根
①有两个交点(0)抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切；
③没有交点(0)抛物线与x轴相离.
（3）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标
k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.
（4）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的
bxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时
G有两个交点; ②方
l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.
（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为
0
1，，，xBxA，则12ABxx
锐角三角函数
A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），
csc）都叫做角A的锐角三角函数。
正弦等于对边比斜边，
余弦等于邻边比斜边
正切等于对边比邻边；
余切等于邻边比对边
正割等于斜边比邻边
余割等于斜边比对边
正切与余切互为倒数，
、互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
、同角三角函数间的关系
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
余切等于邻边比对边
、三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减
小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.