人教版数学必修四：1.1.1任意角(学生版)

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.（2）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（3）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）理解任意角以及象限角的概念；（6）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（7）推广角的概念、引入大于360角和负角；2、过程与方法通过创设情境：“转体720，逆（顺）时针旋转”，角有大于360角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具: 三角板、电脑、投影机四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图 1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周），“转体1080”（即转体3周）等,都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle). [展示课件]如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750；图 1.1.3(2)中，正角210，负角150,660；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（anyangle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

1.1.1 任意角（教学设计）内容：人教A版高中数学必修④第一章第一节第一课时.适合对象：高一学生【教材分析】三角函数是基本初等函数之一，也是中学数学的重要内容之一，它是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律的最强有力的数学工具．因此，本节课作为高中三角函数的起始课，有着衔接初高中学习，承前启后的作用，也为今后学习任意角的三角函数奠定了基础．本节课主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；介绍象限角的概念；终边相同的角的表示方法；帮助学生树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广后角的概念．【教学目标分析】根据新课程标准和上述教材分析，本节课的教学目标设计如下：1．知识与技能目标：（1）使学生理解用“旋转”定义角；（2）理解“正角”、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义；（3）掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法．2．过程与方法（1）通过问题情境，让学生自己完成角的概念的推广这一认知过程，培养学生观察、分析、运用所学知识解决问题的能力；（2）指导学生通过各种角表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力．3．情感态度价值观（1）通过对角的定义的推广过程的教学使学生感受到数学的应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心，激发学生学习数学的热情；（2）重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，同时体会到创新的乐趣；（3）通过对角的集合表示的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风．【教学重难点】1．教学重点：理解并掌握正角、负角、零角及象限角的定义，会表示终边相同的角的集合；2．教学难点：把终边相同的角用集合的符号语言表示出来．【教学问题诊断分析】学生在初中已学过0360范围内的角，这可能对角的概念的推广在认识上有一定的困难，因此，在教学中可结合生活中的具体例子，以学生熟悉的背景，引起学生的认知冲突，让学生体会角的概念有推广的必要．接着给出有关角的概念，在已有的认知条件下，学生是可以接受的.值得注意的是，终边相同的角的概念并不难理解，但用集合表示终边相同的角时，部分学生还是会有一些障碍，针对这一问题，在教学时应多举实例将特殊问题推广到一般情况，最好能让学生自己总结.【教学方法分析】新课程要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课可采用问题引领的方式让学生思考、自主探究及教师启发的教学方法．教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，并以多媒体辅助教学为手段，构建学生自主探究的平台，激发学生的求知欲，促使学生解决问题.【信息技术分析】多媒体教室及PowerPoint2003．【教学过程】导入新课师：今天这节课，我想和大家共同探讨一个话题：角（教师板书）师：对于角，我们并不陌生，初中就学过角的概念．问题1：初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？师生活动：教师提问，学生思考、回答.设计意图：回忆初中所学角的概念，为接下来角的推广作准备．新课讲解内容一：角的定义问题2：体操名词“程菲跳”是“踺子后手翻转体180度接前直转体空翻540度”的动作命名．这里的540度是一个什么样的角，能描述它吗？设计意图：用体操情境引发学生思考，激发学生探究新知的欲望，调动学生参与教学的积极性，由此引出用“旋转”来定义角.师生活动：师：540度角初中学过吗？怎么描述呢？生：初中没学过，我认为540度实际上就是旋转了一周半．师：那540度角能画出来吗？生：我目前画不出来.师：现在540度角还画不出来，说明初中角的概念不能满足我们进一步学习的需要，所以本节课的首要任务就是将角推广到任意角．（教师板书：1.1.1任意角，同时PPT给出角的定义）角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的的图形.（接着用PPT演示角的形成过程并给出角的表示方法以及角的顶点、始边和终边的概念）内容二：正角、负角和零角师：好，我们接着看下一个问题.问题3：跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度？设计意图：使学生认识到角的推广不仅考虑要用旋转量，还应考虑旋转方向，为接下来正角、负角和零角的概念做好准备.师生活动：生：这是900度的角（教师追问：你是怎么想到的？学生继续作答）师：那向内旋转和向外旋转完全一样吗？生：不完全一样，空中旋转过程不一样（因为方向不同）师：也就是说，我们不仅需要从数量的角度将角推广，还需要根据旋转方向不同将角加以区分．在新的定义下，我们继续探讨与角有关的概念．（教师板书，同时PPT给出概念）1．正角、负角和零角我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．师：这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．内容三：象限角师：前面我们讲了这么多，现在请大家动手画出120的角.设计意图：利用新概念重新认识角的问题，通过画120角发现位置可能不同，让学生感受没有统一标准时，角的表示不方便. 通过画图探究、交流，不难给出合理的规定，让学生感知把角放到平面直角坐标系中的好处.师生活动：教师让学生把所画的图形在黑板上展示，最好有位置不同的图形作对比.如果没有的话，教师自己画一个和学生所画位置不同的角.师：可以看出，由于选取始边的位置不同，可能同样大小的角画出来的位置不同，我们更好的管理任意角，我们要给任意角加以规定.为了后续学习的需要，我们常在平面直角坐标系中讨论角，那么怎么呢把角放到坐标系中比较合理？生：把角的顶点放在坐标原点，始边放在x 轴的正半轴.（教师纠正为x 轴非负半轴） 教师在总结分析角的始边和顶点规定的基础上，给出象限角的概念.（教师板书：象限角.同时PPT 上给出象限角的概念）2．象限角为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．内容四：终边相同的角师：学习了这些概念，我们再画几个角.问题4：在平面直角坐标系中作出32-，328，392-的角，观察这些角之间有什么内在联系？设计意图：从具体问题入手，了解终边相同的角的关系.师生活动：学生独立画图.教师巡视后，学生回答.生：这些角的终边相同.（教师追问：为什么？能解释一下吗？）师：与32-角终边相同的角有多少个？（学生回答：无数个）师：这些与32-角终边相同的角，包括32-的角在内，能用集合表示出来吗？教师给足时间让学生思考、作图，教师巡视后请学生（可找多个学生）在黑板上写出自己的答案，教师归纳总结，得出终边相同的角的集合.（教师板书，PPT 展示下面文字）3．终边相同的角一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}=360,k k Z ββα+⋅∈即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数 个周角的和．例题分析例 1 在0360（即0360α≤<）范围内，找出与95012'-角终边相同的角，并判定它是第几象限角．解：95012129483360''-=-⨯，所以在0360范围内，与95012'-角终边相同的角是12948'，它是第二象限角．设计意图：通过例题，使学生进一步理解任意角的概念以及象限角和终边相同的角的概念. 师生活动：学生独立完成后回答，教师点评总结.学生练习1．下列说法正确的是（ ）参考答案：DA ．第一象限的角小于第二象限的角B ．若90180α≤≤，则α是第二象限的角C ．小于90的角都是锐角D ．有些角不是任何象限的角2．与460-角终边相同的角可以表示成( )参考答案：CA ．460360,k k Z +⋅∈B ．100360,k k Z +⋅∈C ．260360,k k Z +⋅∈D ．260360,k k Z -+⋅∈设计意图：通过练习，检验是否掌握的任意角的概念.师生活动：学生独立思考，教师巡视、个别辅导后请学生回答，教师再点评. 课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？设计意图：让学生复习本节课的主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法. 师生活动：学生回答，教师补充.同时解决学生提出的疑惑布置作业必做题：课本第9页 习题1.1 A 组 1、2、3选做题：已知α是第一象限角，那么2α和2α是第几象限角？ 板书设计。