5.7 三角函数的应用
一、选择题
1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )
A.
150 B ．50 C.1100
D ．100 解析：T ＝2π100π＝150
. 答案：A
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
解析：由图可知－3＋k ＝2，则k ＝5，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8. 答案：C
3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.
则此楼群在第3A ．10 000元 B ．9 500元
C ．9 000元
D ．8 500元
解析：因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9
500＝10 000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin (2ω＋φ)＝0，sin (ω＋φ)＝1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z .易得3ω＋φ＝－π2
＋2k π，k ∈Z . 又当x ＝3时，y ＝500sin(3ω＋φ)＋9 500，所以y ＝9 000.
答案：C
4．如图，单摆离开平衡位置O 的位移s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系为s
＝6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( ) A ．2 s B ．1 s
C.12 s
D.14
s 解析：由题意，知周期T ＝
2π2π＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为12
s. 答案：C
二、填空题
5．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
解析：T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T
＝80(次/分)． 答案：80
6．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)关于时间t (单位：
s)的函数解析式是s ＝A sin(ωt ＋φ)，0<φ<π2
，函数图象如图所示，则φ＝________. 解析：根据图象，知⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫1112，0两点的距离刚好是34个周期，所以34T ＝1112－16＝34. 所以T ＝1，则ω＝2πT
＝2π. 因为当t ＝16
时，函数取得最大值，
所以2π×16＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π6
. 答案：π6
7．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋
B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A >0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f (x )＝________.
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6，周期T ＝2×(7－3)＝8，所以ω＝
2πT ＝π4
. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫πx 4＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，
所以8＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6， 所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4＋φ＝1，结合|φ|<π2可得φ＝－π4， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4
－π4＋6. 答案：f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6 三、解答题
8．弹簧振子以O 为平衡位置，在B ，C 两点间做简谐运动，B ，C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次到达C 点，求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)弹簧振子在5 s 内通过的路程及位移．
解析：(1)设振幅为A ，则2A ＝20 cm ，
所以A ＝10 cm.
设周期为T ，则T 2
＝0.5 s ，所以T ＝1 s ，所以f ＝1 Hz. (2)振子在1 s 内通过的距离为4A ，故在5 s 内通过的路程s ＝5×4A ＝20A ＝20×10＝200(cm)．
5 s 末物体处在B 点，所以它的位移为0 cm.
9．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin (100πt ＋π6)
