江苏省连云港市高级中学(苏教版)高二下学期必修四数学学案：学案：2.2.3向量的数乘(2)

作为一名教职工，就不得不需要编写教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。

优秀的教案都具备一些什么特点呢？又该怎么写呢？这次白话文为您整理了高二数学必修四教案（优秀6篇），如果能帮助到您，小编的一切努力都是值得的。

高中高二数学必修四教案篇一一、教学目标1、把握菱形的判定。

2、通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力。

3、通过教具的演示培养学生的学习爱好。

4、根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想。

二、教法设计观察分析讨论相结合的方法三、重点·难点·疑点及解决办法1、教学重点:菱形的判定方法。

2、教学难点:菱形判定方法的综合应用。

四、课时安排1课时五、教具学具预备教具（做一个短边可以运动的平行四边形）、投影仪和胶片，常用画图工具六、师生互动活动设计教师演示教具、创设情境，引入新课，学生观察讨论；学生分析论证方法，教师适时点拨七、教学步骤复习提问1、叙述菱形的定义与性质。

2、菱形两邻角的比为1:2,较长对角线为，则对角线交点到一边距离为________.引入新课师问:要判定一个四边形是不是菱形最基本的判定方法是什么方法？生答:定义法。

此外还有别的两种判定方法，下面就来学习这两种方法。

讲解新课菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形。

菱形判定定理2:对角钱互相垂直的'平行四边形是菱形。

图1分析判定1:首先证它是平行四边形，再证一组邻边相等，依定义即知为菱形。

分析判定2:师问:本定理有几个条件？生答:两个。

师问:哪两个？生答:(1)是平行四边形(2)两条对角线互相垂直。

师问:再需要什么条件可证该平行四边形是菱形？生答:再证两邻边相等。

（由学生口述证实）证实时让学生注重线段垂直平分线在这里的应用，师问:对角线互相垂直的四边形是菱形吗？为什么？可画出图，显然对角线，但都不是菱形。

菱形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）:注重:(2)与(4)的题设也是从四边形出发，和矩形一样它们的题没条件都包含有平行四边形的判定条件。

记作，它的长度与方向规定如下：|||||a a λ=；
0λ>时，的方向与的方向当0λ<时，的方向与的方向0a =．
0a =则0λ
=，对吗？
．与一定是共线向量吗？ 为非零向量，则
1a a
的模是多
实数与向量的积的运算律：
)()a a λμ=（结合律）；)a a a μλμ=+（第一分
配律）；
a b λλ+（a+b ）=（第二分配律）．
）
3(26)2(329)
a c
b a
c b -+-+-）
3()2()0x a x a b +--+=则
____x =
）{
x y a x y b
+=-=用a b ，
表示x ，y -3a b a b
如图，已知：向量，向量，求作2
ABC 中，C 是AB 的,,OA a OB b ==试用 ,,a b OC 表示并证明。

引导学生思考1
2
C AB AC AB
a b OG
=∆变式一：“是的中点”变为 变式二：G 为AOB 的重心，试用，表示,().OA OB AP t AB OA OB OP
=练习、如图，已知
为两个不共线的向量，且其中t 为实数试用与表示一、你学会了哪些知识 ：
（1）a
λ的定义 （2）运算律；。

《平面向量的坐标表示》的教学设计江苏省大丰高级中学唐丽一教材依据：普通高中课程标准试验教科书江苏凤凰教育出版社数学必修4二设计思想：1教材分析：本节内容是在学生学习了平面向量的加法、减法、数乘运算以及平面向量基本定理之后的一节新授课，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算2学情分析：高一学生已具备一定的分析和概括能力以及自主探究的能力，且对向量的知识有了比较深入的接触和认识，已经熟悉由具体到抽象的数学思维过程，能用向量语言和方法表述和解决数学中的一些问题3设计理念：设计本节课时，力求强调过程，注重学生自主探究新知识的经历和获得新知识的体验教学时不是简单的告诉学生平面向量的坐标表示及坐标运算,而是让学生自己去探究、去发现,充分体现学生的主体地位,激发学生的学习兴趣,提高学生解决问题的能力,培养学生的自主学习的能力4教学指导思想：结合学生的实际情况及本节课的内容特点，采用的是以学生自主探究为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发、引导下，让学生自己去分析、探究，在探究过程中得出结论，从而使学生在获得新知识的同时又提高了能力三教学目标：1知识与技能：会用坐标表示平面向量，掌握平面向量的加法、减法与数乘运算的坐标表示．2过程与方法：利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实现了形向数的转化3情感、态度与价值观：了解向量与其他知识之间的紧密关系，培养学生的学习兴趣及探索精神．教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：形到数的转化四教学准备：根据本节课的特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学知识，利用多媒体辅助教学五．教学过程：（一）复习引入1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的______向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝_____________.(2)基底：把_________的向量e1，e2叫做表示这一平面内______向量的一组基底．⏹思考：如何体现向量分解的“唯一性”的？确定本节课研究方向：如何实现向量的代数表示？（二）问题引领，探究新知⏹问题1：如何选择基底，更方便计算、研究？⏹ 问题2：讨论结果：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．⏹ 问题3：向量的线性运算如何通过坐标运算实现？a =ｘ１，ｙ１，b =ｘ２，ｙ２即：两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差。

平面向量基本定理连云港高级中学 王松保教学目标：1．了解平面向量基本定理及其意义；2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3．能够在具体问题中适当地选取基底，其他向量能够用基底来表达．教学重点：平面向量基本定理教学难点：平面向量基本定理的理解与应用．教学过程：一、 情景创设问题1、一列快速匀速行驶动车t 小时后的位移与一小时的位移的关系？t =21s s【设计意图】对定理的分析是为了共线定理的本质作进一步诠释：共线的向量有无数多个，在“选定一个非零向量ａ”的前提下，其他向量ｂ 均可用ａ 唯一表示，即：存在唯一的实数λ，使得ｂ＝λａ 成立．借助学生对数轴已有的理解，建立起向量ｂ与实数λ 的一一对应关系，为从一维（直线）到二维（平面）做铺垫．问题2、火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v ＝v ＋v ＝6i ＋4．二、意义构建问题3 如图，已知不共线的向量12e e 、，试用12e e 、线性表示向量AB →, CD →和EF→并画出图形问题4 请你在上述平面内任意画一个向量a ，能否用不共线的向量12e e 、线性表示？如果能，画出图形，并列出式子；如果不能，说明理由．问题5 如果把不共线的向量12e e 、变为34e e 、，那么我们能否把向量a 用向量34e e 、线性表示？如果能画出图形并列出式子；如果不能，说明理由【设计意图】 问题3是让学生通过亲历画图，体会不共线的向量可以表示平面内的给定向量．问题4的再次画图，是让学生体会不共线的向量可以表示平面内的任意向量，由于其任意性，所以需要引进两个字母，将向量12e e 、放大、缩小或者改变方向．问题5的再次画图，是让学生体会改变不共线的向量仍然可以表示同一向量，只是将向量34e e 、放大、缩小或者改变方向有所不同。

学生通过片段一的直观感受、思考和片段二的动手操作，舞动思维的“翅膀”，获得“平面内任意向量a 能用不共线的向量12e e 、 线性表示”的感性认识，而且让学生感受这样不共线的向量有多组，一旦这个两个不共线的向量定下来后作出来的平行四边形是唯一的。

课题：向量的加法江苏省盐城中学徐瑢一、教学目标向量是近代数学中重要的基本概念,是中学数学的核心内容,具有工具性的特点,而其工具作用主要通过向量的运算而得以体现的．向量的加法运算是向量运算的基础,它是以物理中矢量的合成为背景抽象出的一种全新的数学运算．依据《高中数学课程标准》的要求,结合学生的认知特点,确定这节课价值取向是强调本质、再现过程、发展思维、提升能力基于此,本节课的教学目标确立为:1理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律与结合律,并会简单应用；2经历将实际问题抽象为数学概念的过程,体会数学思维的严谨性和数学的简约美,同时掌握思想方法,发展各种能力；3发展学生的数学应用意识,体验数学文化,丰富学生的学习情感,提升数学素养．二、学情分析向量加法是向量运算的起始课，是学生第一次有意识地主动去定义一种全新的数学运算，是对运算认识的一次飞跃．然而学生的认知存在着不足，他们对数学运算的经验只局限于数或式等这些代数对象上，对运算的理解也仅局限于算法层面，没有经历过自觉地建构数学运算的过程，所以对于向量加法的意义建构与理解，对学生而言无疑是陌生的、有一定的难度．这就需要去分析学生已有的知识经验．其实，在物理中，学生对力、位移、速度等矢量的合成比较熟悉，这就有了得到向量加法定义及两个法则的抽象原型，同时，学生在学习《向量的概念和表示》时，已经历过从物理原型抽象出向量概念的过程，这为学生顺利抽象出向量加法的定义和法则奠定了基础；此外，学生在初中已经学习过数和式的运算律，这为学习向量加法的运算律提供了类比对象与方法．因此，教师在课堂教学过程中，应该充分发挥教学智慧，为学生提供熟悉的物理情境，给学生适时的启发、点拨，用问题去引导学生展开对物理模型的抽象，从而探究出向量加法的定义及其运算法则，再引导学生对已经学过的数与式的运算规律加以回顾，类比出向量加法的运算律，并加以验证、熟悉和应用．三、重点、难点重点：从实际问题中抽象出数学模型，引导学生归纳出向量加法的定义和运算法则，培养学生的观察发现、归纳类比、抽象概括能力；图1图3 图2 难点：对向量加法法则本质的理解 四、教法方法问题探究式 五、教学过程设计 1 问题情境师:我们知道,数能进行运算,有了运算,从而使得数变化无穷、魅力无比那么与数的运算类比,我们目前研究的向量——既有大小又有方向的量,它是否也能进行运算呢？因为向量有着丰富的物理背景,所以我们先来看几个物理现象:情境1速度的合成 今年7月,江淮流域发生了历史罕见的大洪灾．某城外有一条自西向东流淌的大河,河两岸高筑堤坝,某天,巡防队员在南岸巡逻时发现正对岸的堤坝有一处险情,他们立即跳上小船垂直向对岸驶去（如图1）,已知船的静水速度为8/km h ,河水以4/km h 的速度东流．请问如果船不改变方向,他们能否准确到达出事地点？为什么？生:由于受水流的影响,船的实际航向将会偏离,从而不能准确到达． 师:从物理角度怎么解释？生:船的实际速度应是船静水速度和水流速度的合成． 师:很好,这表明速度与速度之间是可以合成的．情境2力的合成 如图2,很熟悉吧,这是苏教版物理必修1第61页的一幅插图,它说明了什么？生:两个孩子用的力和一个成人用的力是等效的,力也是可以合成的． 情境3 位移的合成 如图3,你能读懂这幅画吗 现在仅从位移的角度看,这两种航行方式之间是何关系生:从上海到台北有两条途径,这两种航行方式是等效的,即两个位移也是可以合成一个位移的．师:在物理中,速度、力和位移都是矢量,去掉这些量的物理属性,从数学的角度来看,它们都是向量,两个矢量的合成也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——加法！这就是我们今天要研究的课题． 2 自主探究问题1 对于给定的两个向量,a b ,我们该如何定义它们的和？前面这些物理原型,给我们什么启发？师:请大家认真思考,可相互讨论交流留足够的时间供学生自主探究生:受速度和力的合成的启发,我们可以在平面内任取一点O,分别作,OA OCOA a OC b==,以,为邻边作平行四边形OABC,则以O为起点的对角线OB就是向量,a b的和如图4．师:这是通过构造平行四边形来操作的,可称之为平行四边形法则这种操作要注意什么？生:两个向量要平移至共起点,和向量为以O为起点的对角线OB．师:还有其他想法吗？生:受位移合成的启发,我们还可以在平面内任取一点O,作,==,则向量OB叫做向量OA a AB b,a b的和如图5．师:这个可称为三角形法则,在操作中要注意什么？生:首尾顺次连接．问题2 这两个法则之间有什么联系？生:在图4中,只要将向量OC平移至AB,平行四边形法则和三角形法则就可以相互转化,平行四边形法则中蕴含了三角形法则（图形中有两个完图4图5全一致的三角形）,三角形法则也可以生成平行四边形法则师:也就是说,这两者是等价的,在本质上是一致的．问题3 如果我们选择其一作为向量和的定义,你愿意选择哪一种呢？为什么？生:我愿意选择三角形法,因为它显得更简约、更容易操作．师:好,下面我们就按照这位同学说的把三角形法则作为两个向量的和的定义,请试着把它的操作过程用文字语言叙述出来．3 意义建构定义:已知向量a、b,在平面内任取一点O,作,OA a AB b==,则向量OB叫做向量,a b的和记作:a b+=+=．+,即a b OA AB OB师:由此可知,两个向量的和仍然是一个向量,它的方向可能与原来的两个向量方向都不相同,它的模也不一定是原来两个向量模的简单叠加我们把求两个向量和的运算叫做向量的加法显然,这里是通过几何作图的方式加以定义的．在具体求和时,应该根据情况灵活地选择两个法则．练习:已知a 、b ,作出a b +．（黑板上给出三个问题:①两个是不共线的向量；②两个同向共线的向量；③两个反向共线的向量）追问1:问题③是反向共线,反向共线中有一种非常特殊的情形——两个相反向量的和什么？该如何求和？生:两个相反向量,其和是0,即()0a a +-=,这种情况实质上就是向量的终点又回到起点． 师:请注意,0和0有着本质的区别；0和任意向量都共线,其和满足:0a a +=． 追问2:后面的两个小题及其拓展说明了什么？生:共线向量相加时,虽然不能构成三角形,但仍可以用三角形法则来实施操作． 追问3:共线向量相加时,能否用平行四边形法则？生:不能,因为此时不能构成平行四边形,无法确定其对角线,所以无法操作师:这进一步说明用三角形法则来定义向量的加法,不仅简约,而且全面、严谨、科学．从数学的角度看,前面提及的物理问题中矢量的合成实质上都是向量的加法．问题 4 以前学习数、字母、式的加法时,它们都满足交换律和结合律,即a b b a +=+,()()a b c a b c ++=++．那么向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？如果满足,具体形式是什么呢？生:应该满足,即交换律:a b b a +=+；结合律:()()a b c a b c ++=++ 追问:该如何来验证呢？ 生:作图．师:好,下面我们分组来试一试（学生热情高涨,思维活跃,学生代表积极交流、展示） 师:研究结果表明:向量的加法也满足交换律和结合律,这与数的加法是一致的．经过大家的协作探究,我们对向量的加法有了一些认识．向量加法的引入,丰富了加法运算的内涵,实现了加法运算的一次质的飞跃． 4 数学应用例1 如图6,O 为正六边形123456A A A A A A 的中心,作出下列向量:1132OA OA OA +=；（平行四边形法则）图62236145A A A A A A +=；（共线向量的和） 31346341634A A A A A A A A A A ++==；4122334455616A A A A A A A A A A A A ++++=；（多个向量的和） 解析:略师:更一般地,如图7,这是2021年第30届伦敦奥运会的会徽,现在,它的外围有若干向量首尾顺次相接,那么所有这些向量的和是什么？这说明什么？请用文字语言来描述．生:1n A A ,即12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=．师:其实这是连续运用三角形法则的结果．因此,这可以看作为向量加法三角形法则的推广,我们不妨称其为多个向量相加的多边形法则；进一步,如果再加上一个向量1n A A ,和向量是什么？生:0,即12233410n A A A A A A A A ++++=． 师:请用文字语言来描述．生:如果平面内有n 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线,则这n 个向量的和为0． 师:这里“终点又回到起点”,结果是0,但过程中却可以是精彩纷呈的这启示我们,生命的意义在于过程,而不是结局．例2 回到情境11如果船不改变方向,船的实际航向是什么？用与水流速度所成角的正切值表示2如果要使船能够垂直到达对岸,该如何确定其航向？解析:略师:这里的第2小题,其实质是知道了两个向量的和向量以及其中的一个向量,求另一个向量,这实际上涉及到到了两个向量加法的逆运算,是我们下一节课将要重点研究的问题5 课堂小结师:船成功到达彼岸的时刻,也是我们这节课结束的时候了本节课我们从物理原型抽象出数学模型,在此基础上去研究数学模型,最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们,数学源于生活,又服务于生活．图7图8马克思说过:一门科学只有在成功地运用数学时,才算达到真正完善的地步．向量的加法为研究物理的相关问题提供了理论基础, 随着对向量研究的逐步深入,向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用．6 课后作业（1）作业：P66 习题2．2的1，2，3（2）拓展探究：请同学们课后完成下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？（,a b 是任意两个向量，则a b +与a b +之间有什么关系？）可以根据自己感兴趣的话题进行拓展探究．。

●教学目标(一)知识目标1.1弧度的角的定义2.弧度制的定义3.角度与弧度的换算(二)能力目标1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数(三)德育目标使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解. ●教学重点使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. ●教学难点弧度的概念及其与角度的关系. ●教学方法 讲授法1.讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.2.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.3.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式. ●教具准备1.幻灯片2张：第一张：P 8图4—5，图4—6(记作4.2.1 A)第二张：本节课教案后面的预习提纲(记作4.2.1 B)2.简单课件(记作4.2.1 C)作半径不等的甲乙两圆，在每个圆上做出等于其半径的弧长，连接圆心与弧的两个端点，得到1弧度的角，将乙图移到甲图上，两个1弧度的角完全重合.(用此简单课件，就是要利用其能够移动的直观性).3.准备两张半径不等的圆形硬纸片，照上述方法当堂作演示也可，或者在黑板上画出甲乙两个半径不等的圆.在每个圆上作出等于其半径的弧长.连接圆心与弧的两个端点，得到一个角，用量角器度量其角度数也可，但都没有课件的直观性强. ●教学过程Ⅰ.课题导入师：在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢? 生：周角的3601为1°的角. 师：回答正确.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，今天我们再来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的单位制——弧度制(板书课题).Ⅱ.讲授新课师：弧度制的单位符号是rad ，读作弧度.我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角(板书).即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.如图（打出幻灯片4.2.1 A ）甲，AB 的长等于半径ｒ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，图乙中圆心角∠AOC 所对的弧长l ＝2ｒ.那么∠AOC 的弧度数就是.22==r r r l 师：请同学们考虑一下，周角的弧度数是多少?平角呢?直角呢? 生：因为周角所对的弧长l ＝2πｒ，所以周角的弧度数是ππ22=rr .同理平角的弧度数是ππ2=r r ，直角的弧度是22ππ=r r . 师：由此可知，任一0°到360°的角的弧度数)(rl x x =，必然适合不等式0≤x ＜2π.角的概念推广后，弧度的概念也随之推广.如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l ＝4πｒ时，这个圆心角的弧度数是多少呢?此时，我们应该先求出这个角的绝对值，然后在其前面放上“－”号，即所求圆心角的弧度数是ππ44-=-=-rr r l 一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.任一角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 是以角α为圆心角时所对弧的长，ｒ是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.师：上面我们学习了弧度制的定义，从定义中我们可以看出，弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小，这个比值与半径的大小有没有关系呢?(展示课件4.2.1 B ，通过移图——重合，说明这个比值与半径的大小无关而只与角的大小有关，即这样定义是合理的)，(也可通过其他方法，证明此问题).师：用角度制和弧度制度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)，用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.下面我们来讨论角度与弧度的换算.因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以360°＝2πrad.180°＝πrad ⇒1°＝rad 180π 角度化弧度时用之 1 rad ＝（π180）° 弧度化角度时用之Ⅲ.例题分析［例1］把67°30′化成弧度解：∵67°30′＝（6721）° ∴67°30′＝rad 180π×6721＝83πrad. ［例2］把53πrad 化成度 解：π53rad ︒=︒⨯=︒⨯=10818053)180(53ππ 注意：(板书)(1)今后用弧度制表示角时，或者说“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或符号“rad ”可以省略不写，而只写这个角的弧度数.(此时的弧度在形式上是不名数，但应当把它理解为名数.如α＝2，即α是2 rad 的角，sin3表示3 rad 角的正弦，π＝180°即πrad ＝180°).但用角度制表示角时，或者用“度”为单位度量角时，“度”即“°”不能省去.(2)用弧度制表示角时，或者说用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.(3)今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°＋3π或者2k π－60°一类的写法.Ⅳ.课堂练习课本P 11练习1、2、3、4、7对于练习中的1题再补充将60°、135°、150°化成弧度；3题再补充将11°15′化成弧度.Ⅴ.课堂小结本节课我们学习了弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法.应该注意，角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝πrad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记.Ⅵ.课后作业一、课本P 12习题4.2 1、2、3、10二、1.预习课本P 10～P 112.预习提纲(打出幻灯片4.2.1 B)(1)角的集合与实数集的对应关系是怎样的?(2)弧长公式的表达形式是什么?(3)引入弧度制有什么好处?●板书设计§4.2.1 弧度制1弧度的角的定义 例1 练习弧度制的定义角度与弧度的换算注意：①…… 例2②…… 练习③…… (特殊角的弧度数)小结●备课资料《高中数学的内容、方法与技巧》已知∠α终边上一点的坐标为（2sin3，－2cos3），当α∈［0，2π］时，α＝23π-rad ，当α是任意角时，α＝)(223Z ∈+-k k ππrad. ●教学后记。

平面向量的坐标表示教案【教学设计设想】1表达知识的发生、开展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示〞，学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化〞，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计，力图呈现平面向量坐标表示的发生、开展过程。

2将知识的数学形态转化为教学形态；教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富，承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。

3教学重心前移；对于本节课的知识，如果学生记住向量坐标表示的结论，学生也能解决一系列的问题，以往的教学，是将重心放在如何强化学生的解题训练上，注重解题的方法与技巧，在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。

4还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近开展区内〞设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考，与同伴交流的时间。

【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示〞，向量根本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑根底，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

节平面向量的根本定理及坐标表示主要四局部内容1平面向量的根本定理，2平面向量的坐标表示，3平行向量的坐标运算，4平面向量共线的坐标表示。

本节教学的内容是本单元的第2节。

【目标与目标解析】知识与技能：1掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：〔1〕能写出给定向量的坐标；〔2〕给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：〔1〕知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；〔2〕向量的坐标等于终点减去起点坐标。

（新）高中数学第2章平面向量2_2_3向量的数乘学案苏教版必修42.2.3 向量的数乘1．掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．[基础·初探]教材整理1 向量的数乘定义阅读教材P68第一、二、三个自然段，完成下列问题．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)λa＝0，则λ＝0.( )(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．( )(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( )【解析】(1)若λa＝0，则λ＝0或a＝0，(1)错误．(2)正确．(3)|－6a|＝6|a|，|3a|＝3|a|，(3)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 向量数乘的运算律阅读教材P 68倒数第2自然段，完成下列问题．1．λ(μa )＝(λμ)a ； 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb .1．5×(－4a )＝________.【解析】5×(－4a )＝5×(－4)a ＝－20a . 【答案】－20a2．a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－2e 2，则a ＋b ＝________. 【解析】 a ＋b ＝(e 1＋2e 2)＋(3e 1－2e 2)＝4e 1. 【答案】 4e 1 教材整理3 向量共线定理阅读教材P 70，完成下列问题．如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .1．已知e 1和e 2不共线，则下列向量a ，b 共线的序号是________．①a ＝2e 1，b ＝2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.【解析】∵e 1与e 2不共线，∴①不正确；对于②有b ＝－2a ；对于③有a ＝4b ；④不正确．【答案】②③2．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．则AB →与BD →________.【解析】∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →，∴BD →与AB →共线．【答案】共线[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]向量数乘的基本运算计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )； (2)12?3a ＋2b－23a －b －7612a ＋37? ????b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．【精彩点拨】利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并．【自主解答】 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12? ????3a ＋2b －23a －b －7612a ＋37b ＋12a＝32a ＋b －13a －12b －712a －12b －712a ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝6a ＋2b .向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.[再练一题]1．若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则? ????13a －b －3? ??a ＋23b ＋(2b －a )＝________.【解析】原式＝13a －b －3a －2b ＋2b －a＝－113a －b＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝(－11－5)i ＋? ??443－4j ＝－16i ＋323j .【答案】－16i ＋323j向量的共线问题已知非零向量e 1，e 2不共线.(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【精彩点拨】对于(1)，欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使BD →＝λAB →即可；对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．【自主解答】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有?k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，AC →，BC →在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．[再练一题]2．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【解】BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2. 因为A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2. 由向量相等的条件，得λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8，所以k ＝－8.[探究共研型]向量共线的有关结论探究1 已知O 为平面ABC 内任一点，若A ，B ，C 三点共线，是否存在α，β∈R ，使OC＝αO A →＋βOB →，其中α＋β＝1?【提示】存在，因A ，B ，C 三点共线，则存在λ∈R ，使AC →＝λAB →，∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →. 令1－λ＝α，λ＝β，则OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1.探究2 已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，那么A ，B ，C 三点是否共线？【提示】共线，因为存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1，∴β＝1－α，∴OC →＝αOA →＋(1－α)OB →，∴OC →＝αOA →＋OB →－αOB →，∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)，∴BC →＝αBA →，∴A ，B ，C 三点共线．如图2-2-20所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D是把OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值. 【导学号：06460048】图2-2-20【精彩点拨】由已知得A 为BC 中点，D 为OB 的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决．【自主解答】 (1)依题意，A 是BC 中点，∴2OA →＝OB →＋OC →，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE →与DC →共线，∴存在实数k ，使CE →＝kDC →，∴(λ－2)a ＋b ＝k ?2a －53b ，解得λ＝45.用已知向量表示未知向量的求解思路：1先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；2然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；3求解过程体现了数学上的化归思想.[再练一题]3.如图2-2-21，在?OADB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →.图2-2-21【解】由题意知，在?OADB 中，BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b .则OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ，ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .[构建·体系]1．已知m ∈R ，下列说法正确的是________．①若m a ＝0，则必有a ＝0；②若m ≠0，a ≠0，则m a 与a 方向相同；③m ≠0，a ≠0，则|m a |＝m |a |；④若m ≠0，a ≠0，则m a 与a 共线．【解析】①错．若m a ＝0，则m ＝0或a ＝0. ②错．m ＞0时，m a 与a 同向，m ＜0时，m a 与a 反向．③错．∵|m a |＝|m ||a |，∴m ＞0时，|m a |＝m |a |；m ＜0时|m a |＝－m |a |. 【答案】④2.△ABC 中，E ，F 分别是AB 、AC 的中点，且AB →＝a ，AC →＝b ，则EF →＝________(用a ，b 表示)．图2-2-22【解析】EF →＝AF →－AE →＝12AC →－12AB →＝12(b －a )．【答案】 12(b －a )3．平面向量a ，b 共线的等价条件是________．(填序号) ①a ，b 方向相同；②a ，b 两向量中至少有一个为零向量；③存在λ∈R ，b ＝λa ；④存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0.【解析】由两个非零向量a ，b 共线的条件，即由向量共线定理可知，①②③不是a ，b 共线的等价条件，④是．【答案】④4．若|a |＝3，b 与a 反向，|b |＝2，则a ＝________b . 【解析】∵b 与a 反向，∴a ＝λb ，λ＜0. 又|a |＝3，|b |＝2，∴|a |∶|b |＝|λ|，∴λ＝－32，∴a ＝－32b .【答案】－325．计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13122a ＋8b －4a －2b；(3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．【导学号：06460049】【解】 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b . (2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a .(3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十七) 向量的数乘(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知λ∈R ，则下列说法错误的是________．(填序号) ①|λa |＝λ|a |；②|λa |＝|λ|a ；③|λa |＝|λ||a |；④|λa |>0.【解析】当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa |∈R ，而|λ|a 是数乘向量，故②必不成立．【答案】①②④ 2．化简14?a ＋2b ＋3a －136a －12b 为________．【解析】原式＝14[]a ＋2b＋3a －2a ＋4b ＝14(2a ＋6b )＝12a ＋32b .【答案】 12a ＋32b3．若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.【解析】∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线，且AC →与AB →同向，∵|AC →||AB →|＝57(如图)，∴|BC →||AC →|＝25，又BC →与AC →反向，∴BC →＝－25AC →. 【答案】－254．在△ABC 中，已知BC →＝3BD →，则AD →＝________(用AB →，AC →表示)．【解析】∵BC →＝3BD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，∴AD →＝23AB →＋13AC →.【答案】23AB →＋13AC →5．(2016·苏州高一检测)设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________. 【导学号：06460050】【解析】∵m 与n 共线，∴存在实数λ，使得m ＝λn ，∴－e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)，∴?－1＝－2λ，k ＝λ，∴λ＝12，k ＝12.【答案】 126．已知向量a ，b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________．【解析】∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．【答案】 A ，B ，D7．若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝________.(用e 1，e 2表示)【解析】∵AD →＝BC →，∴BD →＝AD →－AB →＝3e 2－2e 1. 又∵BD →＝2BO →，∴BO →＝32e 2－e 1.【答案】 32e 2－e 18．(2016·南通高一检测)已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则下列说法正确的是________．(填序号)①点P 在△ABC 外部；②点P 在线段AB 上；③点P 在线段BC 上；④点P 在线段AC 上．【解析】PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，∴2PA →＋PC →＝0.如图，易知P 在线段AC 上．【答案】④ 二、解答题9．如图2-2-23所示，已知在?ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .图2-2-23求证：M ，N ，C 三点共线．【证明】设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13? ??12a ＋b ，∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点，∴M ，N ，C 三点共线．10．如图2-2-24，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.图2-2-24【解】连接CN .∵AN ∥DC ，且AN ＝DC ＝12AB ，∴四边形ANCD 为平行四边形，∴CN →＝－AD →＝－b . ∵CN →＋NB →＋BC →＝0，∴BC →＝－NB →－CN →＝b －12a ，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝14a －b .[能力提升]1．若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →，∴AB →与CD →平行且方向相反，易知|CD →|＞|AB →|. 又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形．【答案】等腰梯形2．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为________．【解析】由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 是△ABC 的重心．取BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →.又M 是△ABC 的重心，∴AM →＝2MD →，∴AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3. 【答案】 33．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m ＝________，n ＝________. 【解析】AD →－AB →＝2AC →－2AD →，∴3AD →＝AB →＋2AC →，∴AD →＝13AB →＋23AC →.【答案】 13 234．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？【解】d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2. 要使c∥d ，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝k (2e 1－9e 2)＝2k e 1－9k e 2，∵e 1，e 2不共线，∴?2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，∴λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d 与c 共线.。

高中数学必修4苏教版教案
教学内容：函数与导数
教学目标：学生能够掌握函数的概念和性质，能够运用导数的定义和性质解决问题教学重点：函数的概念、导数的定义、导数的性质
教学难点：导数的应用
教学准备：教师教案、学生讲义、教学投影仪、教学实验器材
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师向学生简要介绍函数与导数的概念，激发学生学习的兴趣。

二、学习函数（15分钟）
1.定义：教师向学生解释函数的定义，并通过例题进行讲解。

2.性质：教师讲解函数的性质，引导学生理解函数的概念。

三、学习导数（20分钟）
1.定义：教师向学生介绍导数的定义，并通过例题讲解导数的计算方法。

2.性质：教师讲解导数的性质，引导学生掌握导数的特点。

四、导数的应用（20分钟）
1.最值问题：教师通过例题向学生演示如何利用导数求函数的最值。

2.其他问题：教师向学生介绍导数在其他问题中的应用，如切线、曲率等。

五、课堂练习（15分钟）
教师分发练习题，让学生独立完成，并在课堂上讲解解题方法。

六、总结（5分钟）
教师对本节课的内容进行总结，强调函数与导数的重要性，并鼓励学生多加练习。

七、作业布置（5分钟）
教师布置相关的作业，让学生巩固所学内容。

教学反思：本节课教学内容涵盖了函数与导数的基本概念和性质，通过实例讲解和练习的
形式，使学生更容易理解和掌握知识。

需要注意的是，在导数应用的部分，要多举例说明，帮助学生更深入地理解导数的实际应用。

2。

2.3向量的数乘（1）【教学目标】掌握向量数乘的运算律，理解数乘的运算律与实数乘法的运算律的区别与联系．【教学重点】理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律．【教学难点】向量数乘的含义的理解及运算律的应用．【教学过程】一、引入:质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用a表示，那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用3a来表示．●这里,3a是何种运算的结果？二、新授内容：1．向量数乘的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个__________，记作_________，它的长度和方向规定如下：（1）=||a λ__________________；（2)当0>λ时，a λ与a 方向_____________；当0<λ时,a λ与a 方向_____________；当0 =a 时，=aλ_____________； 当=λ时,=aλ____________． 实数与向量相乘，叫做向量的数乘． 注意：向量数乘的结果是一个向量． 2．向量数乘的运算律：（1）= )(aμλ___________；（结合律)； (2)=+a)(μλ ___________;（第一分配律)； (3）=+)(b aλ____________．（第二分配律）．思考：向量数乘与实数乘法有哪些的相同点和不同点？例1．已知向量a 和向量b ，求作向量a 5.2-和向量b a32-．例2．计算：（1))2(2)(3b a b a+--；（2）)243(3)362(2c b a c b a-+---+．【变式拓展】已知a，b 是不共线向量，实数y x ,满足向量等式：ab学必求其心得，业必贵于专精b x a y b y a x2)44()10(3++=-+,则=x ______________,=y ______________．例3．如图，在平行四边形ABCD中,a AC=，b BD =，试用a ，b 表示【变式拓展】（1）如图，在OAB ∆中，C 是AB 的中点，设OA a =，OB b =, 试用a ,b 表示OC ．（2）已知,OA OB 为两个不共线向量,且AB t AP =，其中t 是实数．Ca b求证:OB t OA t OP +-=)1(．三、课堂反馈：1．已知4||=a,5||=b ,且向量a 与b 共线，则=a ________b ．2．计算：(1）)54(3b a+-=_____________（2))23()42(6b a b a---=_____________3．已知向量212e e a +=，2153e e b -=，则43=a b -(用21,e e表示)．4．已知向量a和向量b ,求作向量：（1）a2-;（2）b a+-；(3）b a -2．5．已知OA 和OB 是不共线向量，AB t AP =(R t ∈)，试用OA 和OB 表示向量OP ．a b四、课后作业： 姓名：___________ 成绩:_________1．已知R λ∈，则下列说法正确的是 ．①||||a a λλ=； ②||||a a λλ=； ③||||||a a λλ=； ④||0a λ>．2．已知向量e 1，e 2不共线，且（3x -4y ）e 1＋（2x -3y ）e 2 =6e 1+3e 2，则实数x －y 的值等于 ．3．下列四个命题:①对于实数m 和向量a 与b ，恒有b m a m b a m-=-)(；②对于实数n m ,和向量a ，恒有a n a m a n m-=-)(；③若b m a m =则有b a =；④若an a m =(,,≠∈a R m n ），则nm =，其中正确命题的序号是 ． 4．已知非零向量a ，则向量1||a a 的模为________． 5．已知向量a ，b ,且3()2(2)4()0x a x a x a b ++---+=,则x = ．6．已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF = ． 7．若O为平行四边形ABCD对角线的交点,124,6AB e BC e ==，则1232e e -=．8．(1)如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量错误!＝ ．(填写正确的序号)①－错误!＋错误!错误!； ②－错误!－错误!错误!； ③错误!－错误!错误!；④错误!＋错误!错误!．(2）已知D ，E ,F 分别为ABC ∆的边BC ,CA ,AB 的中点，BC a =,CA b =．给出下列五个命题：①AB a b =+;②12BE a b =+；③1122CF a b =-+；④1122AF a b =--；⑤0AD BE CF ++=.其中所有正确的命题的序号是 ．9．计算：（1）)6(2)35(3b a b a +--;(2))863(2)53(4c b a c b a+---+-．10．已知ABC ∆三条边BC ，CA ,AB的中点分别为F E D ,,，求证：=++CF BE AD ．11。

苏教版高中数学必修四教案
教学内容：数列的推导与应用
教学目标：掌握数列的定义、性质和常见数列的推导方法，能够应用数列解决实际问题。

教学重点：掌握等差数列、等比数列的性质和推导方法。

教学难点：能够灵活运用数列的性质解决实际问题。

教学准备：教材《高中数学必修四》、黑板、彩色粉笔、教学课件、实物模型等。

教学过程：
一、导入新课
1. 引导学生回顾数列的定义和基本性质；
2. 提出本节课的教学目标和重点。

二、学习新知识
1. 等差数列的概念：
通过实物模型展示等差数列的特点，并引导学生找出等差数列的通项公式；
2. 等比数列的概念：
通过实例让学生发现等比数列的性质，并推导等比数列的通项公式；
3. 介绍常见的数列及其性质，如斐波那契数列等。

三、实例分析
1. 给出一道关于等差数列的应用题，让学生分组讨论解决方法；
2. 解答学生的疑问，引导学生总结应用等差数列解决实际问题的方法。

四、练习与拓展
1. 布置一些练习题，巩固学生对数列的掌握；
2. 提出一些拓展问题，让学生进一步挑战自己，拓展思维。

五、课堂小结
通过回顾本节课的内容，让学生总结本节课的重点和难点，巩固所学知识。

六、作业布置
布置作业，让学生巩固所学知识，并引导学生在家中进一步思考和拓展。

教学反思：教学内容设计合理，结合实际情况引导学生学习，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。

2．2.3向量的数乘预习课本P68～71，思考并完成下列问题1．向量数乘的定义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．什么是向量共线定理？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a －b )＝λa －λb .[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算． (2)λa 的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0. 2．向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .[小试身手]1．化简：2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝_________. ★答案★：14a －9b2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则DC ＝________.★答案★：b －a3．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ＝________. ★答案★：－Rr4．在△ABC 中，已知点D 在AB 边上，且AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.★答案★：23向量数乘的基本运算[典例] (1)(－5)×4a ；(2)5(a ＋b )－4(a －b )－3a ； (3)(3a －5b ＋2c )－4(2a －b ＋3c )． [解] (1)原式＝(－5×4)a ＝－20a .(2)原式＝5a ＋5b －4a ＋4b －3a ＝－2a ＋9b .(3)原式＝3a －5b ＋2c －8a ＋4b －12c ＝－5a －b －10c .向量基本运算的方法向量的基本运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用] 化简下列各式： (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .用已知向量表示未知向量[典例] 在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AD ，AG .[解] AD ＝12(AB ＋AC )＝12a ＋12b ； AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13(BA ＋BC )＝23AB ＋13(AC －AB )＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b .用已知向量表示未知向量的方法(1)利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．(2)当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示BC 和MN .解：连结CN ，因为N 是AB 的中点，AB ＝2CD ，所以AN∥DC且AN＝DC，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN＝－AD＝－b，又CN＋NB＋BC＝0，所以BC＝－NB－CN＝－12a＋b；MN ＝MC＋CN＝14a－b.向量共线的判定及应用1.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD.求证：M，N，C三点共线. 证明：设BA＝a，BC＝b，则由向量减法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝12BA－BC＝12a－b.又因为N在BD上且BN＝13BD，所以BN＝13BD＝13(BC＋CD)＝13(a＋b)，所以CN＝BN－BC＝13(a＋b)－b＝13a－23b＝23⎝⎛⎭⎫12a－b，所以CN＝23CM，又因为CN与CM的公共点为C，所以M，N，C三点共线．题点二：利用向量的共线求参数2．设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.解析：因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以AB，BD共线．设AB＝λBD，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，所以λ＝1，p＝－1.★答案★：－1题点三：利用向量共线判定几何图形形状3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形． 证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．向量共线定理应用的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．层级一 学业水平达标1．化简：16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b )＝_______.解析：原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .★答案★：－2a ＋4b2．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________. 解析：2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，所以72y ＝23a ＋12c －12b ，所以y ＝421a －17b ＋17c . ★答案★：421a －17b ＋17c3．若AP ＝13BP ，AB ＝t BP ，则t 的值是________．解析：由题意AP ＝13BP ，所以AB ＝－23BP ，所以t ＝－23.★答案★：－234．已知a ，b 是非零向量，AB ＝a ＋2b ，DC ＝2a ＋4b ，则四边形ABCD 的形状一定是________．解析：因为 DC ＝2AB ，所以DC ∥AB ，且DC ＝2AB ，所以四边形ABCD 一定是梯形．★答案★：梯形5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝AN －AM ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . ★答案★：－14a ＋14b6．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：因为AB ＋AC ＝(AM ＋MB )＋(AM ＋MC )＝MB ＋MC ＋2AM .由MA ＋MB ＋MC ＝0得，MB ＋MC ＝AM ，所以AB ＋AC ＝3AM ，故m ＝3.★答案★：37.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝________.解析：AF ＝AD ＋DF ，又AB ＋AD ＝a ，AD －AB ＝b ， ∴AB ＝12a －12b ，AD ＝12a ＋12b ，DC ＝AB ＝12a －12b ，∴AF ＝AD ＋13DC ＝23a ＋13b .★答案★：23a ＋13b8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝________. 解析：设AB ＝a ，AC ＝b ，则EB ＝－12b ＋a ，FC ＝－12a ＋b ，从而EB ＋FC ＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD .★答案★：AD 9．计算：(1)14⎣⎡⎦⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )； (2)(λ＋μ)(a ＋b )－(λ－μ)(a －b )．解：(1)原式＝14(a ＋2b )＋34a －112(6a －12b )＝14a ＋12b ＋34a －12a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14＋34－12a ＋⎝⎛⎭⎫12＋1b ＝12a ＋32b . (2)原式＝(λ＋μ)a ＋(λ＋μ)b －(λ－μ)a ＋(λ－μ)b ＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a ＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b ＝2μa ＋2λb .10．如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是把OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a 和b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求实数λ的值．解：(1)依题意，A 是BC 中点，∴2OA ＝OB ＋OC ， 即OC ＝2OA －OB ＝2a －b ，DC ＝OC －OD ＝OC －23OB＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE ＝λOA ，则CE ＝OE －OC ＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE 与DC 共线．∴存在实数k ，使CE ＝k DC . ∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，解得λ＝45.层级二 应试能力达标1．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.★答案★：－1或32．若AB ＝5e ，CD ＝－7e ，且|AD |＝|BC |，则四边形ABCD 的形状是________． 解析：因为AB ＝5e ，CD ＝－7e ，所以CD ＝－75AB .所以AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |>|AB |.又因为|AD |＝|BC |，所以四边形ABCD 是等腰梯形．★答案★：等腰梯形3．点C 在线段AB 上，且AC ＝35AB ，若AC ＝λCB ，则λ＝________.解析：∵AC ＝35AB ，∴AC ＝32CB ，AC 与CB 方向相同，故λ＝32.★答案★：324．已知OP 1＝a ，OP 2＝b ，P P 12＝λPP 2 (λ≠0)，则OP ＝_________.解析：因为P P 12＝λPP 2，所以OP 2－OP 1＝λ(OP 2－OP )，所以OP ＝1λOP 1＋λ－1λOP 2.★答案★：1λ a ＋λ－1λb5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．解析：设AB 的中点为D ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD .如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.★答案★：356.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ＝m OA ，OQ ＝n OB ，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，由题意知OG ＝23×12(OA ＋OB )＝13(a ＋b )，PQ ＝OQ －OP ＝nb －ma ，PG ＝OG －OP ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ ＝λPG ， 即nb －ma ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.★答案★：37．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ＝m OA ＋(1－m )OB ＝OB ＋m (OA －OB )， 所以OP －OB ＝m (OA －OB )， 即BP ＝m BA ，所以BP 与BA 共线．又因为BP 与BA 有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线， (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ＝λBA ， 所以OP －OB ＝λ(OA －OB )．又OP ＝m OA ＋n OB . 故有m OA ＋(n －1)OB ＝λOA －λOB ， 即(m －λ)OA ＋(n ＋λ－1)OB ＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA ，OB 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1.8.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AG .解：AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋λBE＝AB ＋λ2(BA ＋BC )＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB ＋λ2(AC －AB ) ＝(1－λ)AB ＋λ2AC ＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG ＝AC ＋CG ＝AC ＋m CF ＝AC ＋m2(CA ＋CB )＝(1－m )AC ＋m 2AB ＝m2a ＋(1－m )b ， 所以⎩⎨⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，所以AG ＝13a ＋13b .。

四队中学教案纸 （学科： 高一数学 ）备课时间教学 课题教时计划1教学 课时1教学 目标 1.能推导2πα±，32πα±的诱导公式，并能灵活运用； 2.掌握()S αβ±公式的推导，并能熟练进行公式正逆向运用。

重点难点()S αβ±公式及诱导公式的推导、运用；()S αβ±公式及诱导公式的运用。

教学过程（一）复习：1．()C αβ±公式； 2．练习：化简：（1）cos3cos sin3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-o o ． （二）新课讲解： 1．诱导公式（1）cos()coscos sinsin sin 222πππαααα-=+=；（2）把公式（1）中2πα-换成α，则cos sin()2παα=-．即：cos()sin 2παα-= sin()cos 2παα-=．2．两角和与差的正弦公式的推导sin()cos[()]2παβαβ+=-+ cos[()]2παβ=--cos()cos sin()sin 22ππαβαβ=-+-sin cos cos sin αβαβ=+即：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （()S αβ+）在公式()S αβ+中用β-代替β，就得到：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-）说明：（1）公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

练习：习题4.6第二题，补充证明：sin()cos 2παα+= cos()sin 2παα+=-.（2）2πα±，32πα±的三角函数等于α的余名三角函数，前面再加上一个把α看作锐角时原三角函数的符号；。

高中数学2.2.3 向量的数乘导学案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学2.2.3 向量的数乘导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

2.3 向量的数乘何意义。

1．向量数乘的定义一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下:（1)｜λa ｜＝｜λ｜|a |；(2)当λ＞0时,λa 与a 的方向相同;当λ＜0时,λa 与a 的方向相反;当a ＝0时,λa ＝0；当λ＝0时,λa ＝0。

实数λ与向量a 相乘,叫做向量的数乘．预习交流1你能说一下向量－3a 的几何意义吗？提示：向量－3a 的几何意义：表示向量a 的有向线段在其相反方向上伸长为原来的3倍． 2．向量数乘的运算律(1)λ（μ a ）＝(λμ）a ；(2）(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；(3）λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量的数乘与向量的加法、减法统称为向量的线性运算．预习交流2运用向量的运算律应注意哪些问题？提示：(1)运算律的记法:向量数乘的运算律可以类比实数乘法或整式乘法的结合律与分配律学习．（2）运算的误区：结合律要注意λ,μ均为实数，不可以是向量．（3)运算律的应用：对以上恒等式不仅能正用,还要能逆用，从而灵活进行向量的线性运算．3．向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a （a ≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .预习交流3(1）若错误!＝e 1－e 2，错误!＝3e 1＋e 2,错误!＝λe 1＋5e 2,则当A ，B ，C 三点共线时，实数λ＝________.(2）判断下列各题中的向量是否共线:①a ＝4e 1－错误!e 2，b ＝e 1－错误!e 2，且e 1，e 2不共线;②a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2，且e 1,e 2共线．提示：(1)7（2）①由a ＝4b ，且e 1，e 2不共线,可知a 与b 共线．②当e 1，e 2中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．当e 1,e 2均不为零向量时，设e 1＝λe 2，∴a ＝(1＋λ)e 2,b ＝(2λ－2)e 2.当λ＝－1时,a ＝0，显然b 与a 共线．当λ≠－1时，b ＝错误!a ，∴b 与a 共线．一、向量数乘的基本运算计算:(1）8（2a －b ＋c ）－6(a －2b ＋c ）－2（2a ＋c )；(2）错误!错误!;(3)(m ＋n )（a －b )－（m ＋n ）(a ＋b )．思路分析:解答本题应先去括号再化简．解:（1）原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c＝(16－6－4）a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2）c＝6a ＋4b .(2）原式＝错误!［（a ＋4b ）－（4a －2b ）］＝错误!（－3a ＋6b ）＝2b －a .（3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n ）a －(m ＋n ）b＝－2(m ＋n )b .1．下列命题中,正确的个数为__________．①(－5)·6a ＝－30a ；②7(a ＋b )－6a ＝7a ＋b ;③(a －5b )＋(a ＋5b )＝2a ;④(a ＋b ）－(a －b )＝2b 。