2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科)
1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．
（Ⅰ）若90BFD ∠=︒，ABD ∆的面积为，求p 的值及圆F 的方程．
（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值．
2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆
22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 切，圆心P 的轨迹为曲线C ．
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ．
3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22
221(0)
x y a b a b
+=>>
的离心率为
2
，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点．
(Ⅰ)求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．
4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2
:4
x C y =与直线
(0)y kx a a =+>交于,M N 两点．
(Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．
5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的
圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．
(I)证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(II)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与
l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的
取值围．
6. (2017年全国高考Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)已知椭圆C ：（a >b >0），四
点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1
，P 4（1
）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
7．(2018年全国高考Ⅰ卷理科第
19题) (本小题满分12分)设椭圆的右焦点为
，过
的直线与
交于
，
两点，点
的坐标为
．
⑴当与轴垂直时，求直线的方程；
⑵设为坐标原点，证明：
．
22
22=1x y a b
+
2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(参考答案)
1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．
（Ⅰ）若90BFD ∠=︒，ABD ∆
的面积为，求p 的值及圆F 的方程．
（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值．
【解析】(Ⅰ)由对称性知BFD ∆是等腰直角三角形，斜边||2BD p =， 点A 到准线l
的距离||||d FA FB ===，
由1
||2ABD S BD d ∆=⨯⨯=2p =．
∴圆F 的方程为22(1)8x y +-=．
（Ⅱ）由对称性设2
000(,)(0)2x A x x p
>，则(0,)2p F ．
由点,A B 关于点F 对称得200(,)2x B x p p --，从而2022
x p p p -=-，所以22
03x p =．
因此3,)2p A
，直线3:2p p p
m y x -=+
，即0x +=． 又22122x py y x p =⇔=
，求导得'x y p ==
，即x =
)6
p
P ．
又直线:6p n y x -
=-
，即0x -=． 故坐标原点到直线,m n
距离的比值为23p =．
【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力．
2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆
22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 切，圆心P 的轨迹为曲线C ．
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，
当圆P 的半径最长时，
求||AB ．
【解析】由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -，半径11r =，圆N 的圆心为(1,0)N ，半径23r =． 设动圆P 的圆心为(,)P x y ，半径为R ．
(Ⅰ)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 切，
所以1212||||()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=，且4||MN >． 由椭圆的定义可知，
曲线C 是以,M N 为左，右焦点，长半轴长为2
(左顶点除外)，
其方程为22
1(2)43
x y x +
=≠-． (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点(,)P x y ，由于||||222PM PN R -=-≤，所以2R ≤． 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，2R =．
∴当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=． 当l 的倾斜角为90︒时，l 与y
轴重合，可得||AB =
当l 的倾斜角不为90︒时，由1r R ≠知l 不平行x 轴．设l 与x 轴的交点为Q ， 则
1
||||QP R
QM r =，可求得(4,0)Q -， ∴设:(4)l y k x =+，由l 与圆M
1=
，解得k =
当4k =
时，将4y x =
+22
1(2)43x y x +=≠- 整理得27880x x +-=． (*)
设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是(*)方程的两根．所以1287x x +=-，128
7x x =-．
1218
|||7
AB x x ∴=-==．
当4k =-
时，由对称性知18||7
AB =．
综上，||AB =18
||7
AB =
． 【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．
