引论试题（11页）
4 试证：对任给初值x 0,
0)a >的牛顿迭代公式
112(),0,1
,2,......k a
k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：
2112(1)(,0,1,2,....
(2)1,2,......
k
k k x k x x k x k +-=≥=
证明：
（1
）(2
2
11222k k k k k k k k
x a x a
x x x x x +-⎫⎛-+=+=
=⎪ ⎝⎭
（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，
a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2
12121
6 证明：
若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤
-1102
1
8， 而()
k
k k k k x x x x x 28882182
1-=-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=-+ n
n
k k x x 21221102
1
5.22104185
.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：
此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：
（设x 的近似数*
x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*
x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为
()11
*
*1021
--⨯≤
-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102
21
111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102
21
122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：
00025.0102
21
333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x
∴其相对误差限为
00678.07
.20183
.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有
003063
.071
.20083
.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有
00012.0718
.20003
.033≈<-x e x
备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。
11. 解:
......142857.3722≈，.......1415929.3113
255≈ 21021
722-⨯≤-∴
π，具有3位有效数字 6102
1
113255-⨯≤-π，具有7位有效数字
9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。
令1x ,2x ,3x 所对应的真实值分别为*1x ,*2x ,*
3x ，则
① ∣1x -*
1x ∣≤
21⨯l -110=2
1
⨯210- ∣1x -*
1x ∣/∣1x ∣＜2
1⨯210-/2.72＜0.00184
② ∣2x -*
2x ∣≤21⨯l -110=2
1⨯510-
∣2x -*
2x ∣/∣2x ∣＜2
1⨯510-/2.71828＜0.00000184
③ ∣3x -*
3x ∣＜21⨯l -110=2
1⨯410-
∣3x -*
3x ∣/∣3x ∣＜2
1⨯410-/0.0718＜0.000697
12.解：
⑴ x 211+－x x +-11=)
1)(21(22
x x x ++
⑵ 1-cosx=x
x cos 1sin 2+=22sin 2x
⑶ 1-x
e ≈1+x+!22x +…+!n x n -1=x+!22
x +…+!
n x n
13.解：⑴ x x 1+
-x
x 1-=x
x x
1x 1x /2-
++
⑵
dt t x x
⎰
++1
2
11
=)1arctan(+x -x arctan 设)1arctan(+x =a ，x arctan =b,则
)tan(
b a - =b a b a tan tan 1tan tan ⋅+-=)
1(11
++x x
∴)1arctan(
+x -x arctan =)
1(11
arctan ++x x
⑶ )1ln(2--
x x =1
1ln
2-+x x =)1ln(1ln 2-+
-x x =-)1ln(2-+x x
