复合函数求偏导

可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
(5)
dx u dx v dx
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的
一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx
导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x
复合函数求偏导
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的
函数，即u (x, y),v (x, y) ，如果能构成z是x ,y的
二元复合函数
z f [(x, y), (x, y)],
如何ห้องสมุดไป่ตู้出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能
写成 z , u , v .
dx dx dx
x x x
公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自
变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地，
如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
dz dz du . dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
定理8.5 设函数 u (x, y),v (x, y)在点(x,y)处有偏
导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则
复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 在点(x,y)处的偏导数
z , z 存在，且有下面的链式法则： x y
z z u z v ,
x u x v x z z u z v .
由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变 量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应 自变量的偏导数乘积，即
z z u z v z w.
(2)
x u x v x w x
同理可得到，
z z u z v z w.
(3)
y u y v y w y
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x, y, z), v (x, y, z) 都有偏导数，求复合函数
z yexy sin( x y) exy cos( x y) x
exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z xexy sin( x y) exy cos( x y) y
exy[xsin( x y) cos( x y)].
例2 设z f (x2 y2, xy) ，其中f(u,v)为可微函数，求
w f [(x, y, z), (x, y, z)]
的偏导数 w, w, w . x y z
借助于结构图，可得
w w u w v ,
x u x v x
w w u w v ,
(4)
y u y v y
w w u w v. z u z v z
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x), v (x)
免混淆，将公式(6)右端第一项写 f ，而不写为z .
x
x
例1
设 z eu sinv,u xy,v x y, 求 z , z . x y
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
exy[ y sin(x y) cos(x y)]，
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy[xsin( x y) cos( x y)].
解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v， 用x，y代入，则得到 z exy sin( x y) ，z 是x，y二元复合函数，根 据复合函数的链式法则，得
z , z . x y
解 令u x2 y2,v xy，可得
z z u z v x u x v x
2x z y z ， u v
z z u z v 2 y z x z ，
(1)
y u y v y
复合函数的结构图是
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v
(*)
x u x v x
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.
下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏 导数公式. 1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而
u (x, y),v (x, y), w (x, y) 都有偏导数，求复合函数 z f [(x, y), (x, y), (x, y))
的偏导数 z , z . x y
由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 z x
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v .
(6)
y v y
注意： 这里的 z 与f 是代表不同的意义.其中 z
x x
x
是将函数 z f [x, (x, y)]中的y看作常量而对自变量x
求偏导数，而f 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x
个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数，v (x, y) 有偏导数， 求复合函数 z f [x, (x, y)] 的偏导数 z , z .
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
第一条是 x u z，第二条是 x v z，所以公
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路
径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z,
有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 个偏导数z 与u的乘积.
u x 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数 的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.