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弹塑性力学2应变分量与协调方程讲义

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1.2 应变分量和协调方程

1.2 应变分量和协调方程
•为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
•证 明 —— 应 变 协 调 方 程 是 变 形 连 续 的 必 要 和 充分条件。
•变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数。
•目标——如果应变分量满足应变协调方程，则 对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量。
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
u x dx, y u x, y u dx
x
u x, y dy u x, y u dy
y
v x dx, y v x, y u dx
• 变形通过应变描述
• 应变状态—— 坐标变换时，应变分量是
随之坐标改变而变化。
• 应变分量的转轴公式
n n i'j'
ii' jj' ij
• 应变张量
x
ij
1
2
yx
12zx
1
2
xy
y
12zy
1212xyzz
z
11 21 31
12 22 32
13 23 33
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 •坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。
§1.2 应变分量
• 由于外部因素 —— 载荷或温度
• 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化
• 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件

有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具
幂函数型弹塑性本构模型
该模型将应力应变关系表示为幂函数形式，适用于描述岩石等材料 的弹塑性行为。
双曲线型弹塑性本构模型
该模型将应力应变关系表示为双曲线形式，适用于描述某些复合材 料的弹塑性行为。
弹塑性本构模型的选用原则
根据材料的性质选择合适的弹塑性本 构模型，以确保能够准确描述材料的 力学行为。
在选择本构模型时，需要考虑模型的 复杂性和计算效率，以便在实际工程 中得到广泛应用。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹塑性力学基础 • 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质 。
当外力卸载后，物体发生弹性恢复，但需要一定的时间才能完成。这种 现象称为弹性后效。弹性后效的大小与材料的性质、温度和加载速率等 因素有关。
03
塑性应力应变关系
塑性应力应变关系定义
塑性应力应变关系
01
描述材料在塑性变形阶段应力与应变之间的关系。
特点
02
当材料受到超过屈服点的外力时，会发生塑性变形，此时应力

弹塑性力学(应变状态理论)讲稿

弹塑性力学(应变状态理论)讲稿

当体积不变时：
ij e ij
应变偏张量
三、应变参量及计算公式
1. 主切应变

2
x y
2 x y 2

x y
2
cos 2
xy
2
sin 2
sin 2
xy
2
cos 2
1 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 3 ( 1 2 )
1 2 3
2. 八面体切应变 与三个应变主轴方向具有相同倾角平面上的应变
m ax 1 3
1 8 (1 2 3 ) m 3 2 2 2 2 8 1 2 2 3 3 1
du u d x dt x x dv v d y dt y y dw w d z dt z z
d xy d yz d zx
u v dt dt y x v w dt dt z z w u dt dt x z
zx
u w z x
4. 应变张量与应变参量
一、应变张量
引入符号：
xy
yz
zx
1 1 v u xy x y 2 2 1 1 w v yz y z 2 2 1 1 u w zx 2 2 z x
v
dy B y
P


A B
u x x v y y
xy
v u x y
v v dy y
u u dy y
三维状态下的几何方程
x
y
几 何 方 程

弹塑性力学 第二章 应变与几何方程

弹塑性力学 第二章 应变与几何方程
具有相同性质的一组物理量，可以用一个带 下标的字母表示：
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
z C
A
P
B
O
y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
A
P
B
O
z
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S u
P v
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
§3-2.几何方程
连续性方程
• 连续性方程是单连体小变形连续的必要和 充分条件。 • 如应变分量满足连续性方程，可保证位移 分量存在。
§3-6.应变率和应变增量
§3-7 位移边界条件
在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件 在给定位移的表面Su上
注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。
PA=dx C C’ P P’ A A’ B B’ PB=dy PC=dz
研究在oxy平面 内投影的变形，
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
v
变形前 P 变形后

弹塑性理论--应变 ppt课件

弹塑性理论--应变 ppt课件

一、P点的正应变
x

(u

u dx) x dx
u

u x
在这里由于小变形，由y
方向位移v所引起的PA的伸缩
是高一阶的微量，略去不计。
o
u P
v
y
P
B v v dy
y
u u dx x
A
A
x
v v dx x
B
u u dy y
ppt课件
图3－1
3
同理可求得：
Sy

o(Sx2 , S y 2 )

(x

x)

( x0

x0 )

u x
Sx

u y
Sy
(y

y)

( y0

y0
)

v x
Sx

v y
Sy
Sx Sx Sx (x x) (x0 x0 )
S y

S y
Sx
(y ppt课件
16
这样，对于纯变形来说 Si ui, j S j Si i, j S j
现在说明应变张量 i, j 的物理意义。
如S平行X轴，则 S x S, S y 0
S x S y

u x
Sx

u y
Sy


v x
Sx

v y
Sy

11
wwyx ))
w

z

0

1 (u v) 2 y x
1 2
(
u z

弹塑性力学之应变状态理论

弹塑性力学之应变状态理论

x'
b
m m
b
a a
y'
2017/9/26
14
2.3 应变张量的性第质二章 应变状态理论
2 主应变与主应变方向
应变矩阵的特征问题 ij li li
应变张量的特征方程 3 I1 ' 2 I2 ' -I3 ' 0 l12 l22 l32 1
应变张量的不变量
2017/9/26
I1 ' x y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz
弹塑性力学
第2章 应变状态理第论二章 应变状态理论
本章学习要点：
理解变形体内部任意一点处应变状态的基本概念 掌握计算物体内任一点、任意微分面上的主应变
及应变主方向的计算公式 理解Cauchy方程（几何方程）和Saint Venant方
程（变形协调方程）的物理意义，熟练掌握这两 个基本方程
2017/9/26
u
v
w
uC (u z dz, v z dz, w z dz)
2017/9/26
19
2.4 体积应变 第二章 应变状态理论
变形后
M、A 、B 、C各点的坐标
(x u, y v, z w)
(x dx u u dx, y v v dx, z w w dx)
x
x
x
(x u u dy, y dy v v dy, z w w dy)
ij eij mij eij
应变球张量：
m 0 0
0
m
0
0 0 m
m
1 3
(1
2
3 )
1 3
( x
y
z)
1 3
I1
'

弹塑性力学2应变分析

弹塑性力学2应变分析

第二章 应变分析
z
C

C
B
w
A
A

B
B
w
w x
dx
o
u
u u x dx
x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC ，变形时，棱边 AB 转动
一个角度 ，棱边 AC 转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx 表示，其值为 和 之和，即：
PB的正应变为：

P B PB PB

(r u )d rd rd

u r
径向线段PA的转角为： 0 环向线段PB的转角为：
BB PP PB (u u d ) u
Bpp来自＝tg 所以有：
1 u r
B
rd
r

1 u r v z

v r
1 w r w r
（2－9）
u z
14
第二章 应变分析
其中，u，v，w 分别表示一点位移在径向（r方向），环向
（ 方向）以及轴向（z方向）的分量。
对于平面问题，柱坐标变为极坐标，则平面极坐标表示
的几何方程为：
u r r 1 v u r r 1 u v v r r r r
dx
v y
dy
v z
dz ) (dz
w x
dx
上式两边同除以 (dr ) ，并利用（2－13）式得：
(1 N ) [l (1
2
2
u x
)m v z
u y
2
n

工程弹塑性力学-第二章 应变理论

工程弹塑性力学-第二章 应变理论

JUST
江苏科技大学 2.3
Jiangsu University of Science and Technology
转动张量与转动位移
1 1 u2 u1 z z z x x 3 2 2 1 2 1 u3 u 2 2 x 2 x2 x3 1 u1 u3 y 2 x3 x1
2
u u u dx2 2 dx1 2 dx2 2 dx3 x1 x2 x3 u3 u3 u3 dx3 dx1 dx2 dx3 x1 x2 x3
dx1 ldr, dx2 mdr, dx3 ndr
T S A 1 1 S T TC , A T TC 2 2




表示为 T 的共轭张量
对称张量
反对称张量

位移梯度张量可分解为对称张量和反对称张量之和
D R
1 1 ui , j ui , j u j ,i ui , j u j ,i D R 2 2
JUST
江苏科技大学
Jiangsu University of Science and Technology
2.4 任意方向的线应变
dr dr du
du dr dr r dr dr
dr 1 r dr
划分为个坐标轴：
2
dr 1 r dr 2 2 2 2 dx1 du1 dx2 du2 dx3 du3
转动张量与转动位移
任意方向的线应变

弹塑性力学2应变分析详解

弹塑性力学2应变分析详解

zx
（2－6）
若A点在z 轴方向的位移为 w f2 (x, y, z) ，
8 8
则B点在Z 轴方向的位移为
w1
f2 (x dx, y, z)
w
w dx ， x
B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为: z
C
C
BB
w1
w
w x
dx
w
A
B
B
w w dx x
在直角三角形 ABB 中，可得：
tg BB
第二章 应变分析
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系 第二节 应变状态分析 第三节 主应变 第四节 应变张量和应变偏量 第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）
1
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系
定义：正应变
x
lim u x0 x
du dx
变形均匀，则有:
x
l l0 l0
l l0
x
u x
y
v y
z
w z
（2－5）
当 x， y， z 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。
z
C
C
B
w
w w dx
A
B
x
A
B
o
u
x
u u dx x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC，变形时，棱边AB转动
一个角度 ，棱边 AC转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx表示，其值为 和 之和，即：
u y
dy
u dz z
N
p dr
o
y
同理可得 ： vN，wN 即有式（2－14） x

弹性与塑性力学基础-第3章平衡微分方程及应变协调方程

弹性与塑性力学基础-第3章平衡微分方程及应变协调方程
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立 ➢ 微分体切向平衡方程
ddrdrr
r d(rd)rd
rrdr r ddrd2 rdrd2 Krddr0
➢ 用r代替r ，简化以后，除以rddr，再略去微量，得
1 r rr2rrK0
2 x y 2
2 y x2
2 xy xy
2 y z2
2 z y 2
2 yz yz
➢ 当六个应变分量
2 z x2
2 x z2
2
2 x yz
x
2 xz
zx yz x
xz y
xy z
(3-7)
满足以上应变协 调方程(3-7)时，
2 2 y zx
y
弹性与塑性力学基础
第三章
平衡微分方程及应变协调方程
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-1 平衡微分方程的概念
3.1.1 平衡微分方程的概念 3.1.2 平衡微分方程的建立
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 3.2.2 平面应变状态
➢ 通过中心C并平行于z轴的直线为矩轴，力矩平衡方程 MC＝0：
xy xxyd x d y1d 2 xxd y y1d 2x
yx y yxd y d x 1d 2 yyd x x 1d 2 y0
将上式除以dxdy，得到ຫໍສະໝຸດ y1 2xyx
dx
=
yx
1 2
yx
x
dy
2020/10/略13 去微量，(亦即dx、dy都趋于零时)，得出

弹塑性力学讲义

弹塑性力学讲义

(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析)
(2) 变形分析及几何相容条件 (几何分析)
(3) 受力与变形间的本构关系 (物理分析)
哈工大 土木工程学院

10 / 27
01 绪 论
◆ 材料力学研究问题的基本方法：
选一维构 件整体为 研究对象
变形前，在某表 面绘制标志线； 变形后，观察总 结构件表面变形 的规律
1969年，Roscoe等人出版了《临界状态土力学》专著，这 是世界上第一本关于岩土塑性理论的专著，详细研究了土的 实用模型。
1982年，Desai等人也出版了一本《工程材料本构定律》
专著，进一步阐明了岩土材料变形机制，形成了较系统的岩 土塑性力学。
哈工大 土木工程学院

19 / 27
01 绪 论
哈工大 土木工程学院

4 / 27
01 绪 论
弹塑性力学的任务：根据对弹塑性体的实验观察结
果寻求物体在弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及 有关基本理论。
1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程 和理论；
2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初 等理论可靠性与精确度的度量；
样的结论，同时进一步 证明了各向同性体有两个独立的弹性
系数。

哈工大 土木工程学院
15 / 27
01 绪 论
线性各向同性体弹性力学的发展时期：
1850年，基尔霍夫解决了平板的平衡和震动问题； 1855-1856年，圣维南提出了局部性原理和半逆解法； 1862年，艾里解决了弹性力学的平面问题； 19世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出了这些原 理的近似计算方法。
01 绪 论
现代力学的发展及其特点 1、现代力学的发展

弹塑性力学与有限元：2 应变分量与协调方程

弹塑性力学与有限元：2 应变分量与协调方程

刚体位移：所有应变为零时的位移
x
u x
0
y
v y
0
z
w z
0
xy
v x
u y
0
yz
w y
v z
0
zx
u z
w x
0
x
u x
0
y
v y
0
z
w z
0
u f1y, z v f2 x, z w f3x, y
2
f1y,
y 2
z
0
对y求导
f2x, z f1y, z 0 对x求导
x
y
2
f 2 x,
x2
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
变形位移：位移不仅使 得位置改变，而且改变 了物体内部各个点的相 对位置。
位移u，v，w是单值连续函数，进一步分析 位移函数具有连续的3阶导数。
初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变
了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
刚体位移：物体内部 各点位置变化，但仍 保持初始状态相对位 置不变（无变形）。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z

弹塑性力学定理和公式

弹塑性力学定理和公式

弹塑性⼒学定理和公式应⼒应变关系弹性模量||⼴义虎克定律1.弹性模量对于应⼒分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常⽤的弹性常数包括:a弹性模量单向拉伸或压缩时正应⼒与线应变之⽐,即b切变模量切应⼒与相应的切应变之⽐,即c体积弹性模量三向平均应⼒与体积应变θ(=εx+εy+εz)之⽐,即d泊松⽐单向正应⼒引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之⽐,即此外还有拉梅常数λ。

对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独⽴的。

常⽤弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。

室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。

2.⼴义虎克定律线弹性材料在复杂应⼒状态下的应⼒应变关系称为⼴义虎克定律。

它是由实验确定，通常称为物性⽅程，反映弹性体变形的物理本质。

A各向同性材料的⼴义虎克定律表达式（见表3-3 ⼴义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应⼒公式中的x 、y、z分别⽤r、θ、z和r、θ、φ代替。

对于平⾯极坐标，表中平⾯应⼒和平⾯应变公式中的x、y、z⽤r、θ、z代替。

B⽤偏量形式和体积弹性定律表⽰的⼴义虎克定律应⼒和应变量分解为球量和偏量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应⼒偏量与应变偏量关系式在直⾓坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。

弹性⼒学基本⽅程及其解法弹性⼒学基本⽅程|| 边界条件|| 按位移求解的弹性⼒学基本⽅法|| 按应⼒求解的弹性⼒学基本⽅程|| 平⾯问题的基本⽅程|| 基本⽅程的解法|| ⼆维和三维问题常⽤的应⼒、位移公式1.弹性⼒学基本⽅程在弹性⼒学⼀般问题中，需要确定15个未知量，即6个应⼒分量，6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性⽅程确定，即(1)3个平衡⽅程[式（2-1-22）]，或⽤脚标形式简写为(2)6个变形⼏何⽅程[式（2-1-29）]，或简写为(3)6个物性⽅程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或2.边界条件弹性⼒学⼀般问题的解，在物体部满⾜上述线性⽅程组，在边界上必须满⾜给定的边界条件。

弹性与塑性力学基础-第三章平衡微分方程及应变协调方程

弹性与塑性力学基础-第三章平衡微分方程及应变协调方程
� � � z� ydxd � zd xz � � ��
0 � zdydxd x K � ydxd xz � �
x z � � � xd zd xy � �
程方分微衡平的下系标坐角直维三 4-3§
� � � � y� x� � xy � x x � � � � � xd zd � y d � � z d y d � z d y d x d � � x �� xy � � � � � � �0=XF�程方衡平的矩力出列 �
� yx � � � �
程方分微衡平的下系标坐角直维二 2-3§
态状力应面平 1.2.3
程方调协变应及程方分微衡平 章三第
础 基 学 力 性塑与性弹
�程 方 分 微 的 似 相 个 一 得 可 � 0 � y F � 程 方 衡 平 由 � 样 同
0 � xK �
y�
xy
��
�
x
x�
��
� � yd x � � 0 � 1 � ydxd x K � 1 � xd xy � � 1 � xd � xy � � �
础 基 学 力 性塑与性弹
心中的积体的它在用作�布分匀均是为认以可力应的受所上面各 � 数 函 的 y 和 x标 坐 置 位 是 量 分 力 应 �
图力受板薄 析分力受元微
.度长位单个一为取寸尺的向方z�yd和xd为别分寸尺向方y和x � 体面六行平正的小微个一出取板薄的力受 � 态状力应面平 1.2.3
��
)式 形 化 简 中 题 问 面 平 程 方 叶 维 纳 或 ( 程 方 分 微 衡 平 的 中 题 问 面 平 � 式系关的间之量分力体与量分力应题问面平 � 态状力应面平 1.2.3
程方分微衡平的下系标坐角直维二 2-3§

弹塑性力学-2 应变分析

弹塑性力学-2 应变分析

0
0
0 0 0
平均应变：
1 0 ( 1 2 3 ) 3
x 0 xy xz 应变偏量 eij y 0 yz yx zx zy z 0
1 ( 2 ) x y z xy xz 3 1 eij yx (2 y x z ) yz 3 1 ( 2 ) zx zy z x y 3 1 ( 2 ) 0 0 3 1 2 3 1 0 (2 2 1 3 ) 0 3 1 0 0 ( 2 ) 3 1 2 3
( x )dx xy dy xz dz 0
yx dx ( y )dy yz dz 0
zx dx zy dy ( z )dz 0
系数行列式为零
x xy xz yx y yz 0 zx zy z
第2章 应变分析
一点的应变状态，应变与位移的关系 主应变 应变张量与应变偏量 应变协调方程
2-1 一点的应变状态,应变与位移的关系
在物体中，若任意两个点的相对位置有了变化， 则认为物体有了变形。 沿x方向的正应变
A
x
x
A’
l0
B
u
u u
u du x lim x 0 x dx
dv yx dx y dy yz dz dw zx dx zy dy z dz
o
x v
x
主应变空间中， r (1 , 2 , 3 )表示一个应变状态。如 何找到r？ 若r增加了一个增量dr， z 则r和dr在坐标轴上的投 dr 影是成比例的。

李同林 弹塑性力学 第2章 应力理论 应变理论

李同林 弹塑性力学 第2章 应力理论 应变理论

yx l1 ( y n )l 2 yz l 3 0 zx l1 zy l 2 ( z n )l 3 0
( x n )l1 xy l 2 xz l 3 0
（2—12）
ij ij n l j 0

ij ij lii l jj
（2—10）
3、平面应力状态
◆
注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。
x x cos2 y sin 2 2 xy sin cos
2 2 n Px2 Py2 Pz2 n
2 2 ( 1l1 ) 2 ( 2l2 ) 2 ( 3l3 ) 2 ( 1l12 2l2 3l3 )
( )l ( )l ( 1 3 )l ( 2 3 )l 3
xy y zy
xz yz 或 z
x xy xz ij yx y yz （2—3） zx zy z
据剪应力互等定理 一个对称的二阶张量。
ij ji (i j) ,应力张量应是
z′
2 2 2 x x l11 y l12 z l13 2 xy l11l12 2 yz l12 l13 2 zx l13 l11 2 2 2 y x l 21 y l 22 z l 23 2 xy l 21l 22 2 yz l 22 l 23 2 zx l 23 l 21 2 2 2 z x l31 y l32 z l33 2 xy l31l32 2 yz l32 l33 2 zx l33 l31
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位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
u x dx, y u x, y u dx
x
u x, y dy u x, y u dy
y
v x dx, y v x, y u dx
x
v x, y dy v x, y v dy
y
几何意义
Ax, y A'x u, y v
Bx dx, y B' x dx u u dx, y v v dx
x
x
A' B' AB
dx uxdx2 vxdx2 dx
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
yz
z
11 21 31
12 22 32
13
23
33
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。
•坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。
• 体积应变
u v w .
yz xz xy 2 2u
x y z
yz
对x求一阶偏导数，则
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
2 y
x 2
2 x
y 2
2 xy
xy
•应变协调方程
2 z
2 y
2 y
z 2
2 yz
yz
2 x
z 2
2 z
x 2
2 xz
求其位移。
• 解：
x
u x
3x
u 3 x2 f (y) 2
y
v y
2y
v y2 g(x)
xy
v x
u y
f '(y) g'(x)
xy
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必 须满足一定的条件。以下我们将着手建立这 一条件。
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。
•为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
•证明——应变协调方程是变形连续的必要和 充分条件。
•变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数。
如通过积分，计算出
u
u0
P0 P
xdx
(1
2
xy
z
)dy
(1
2
xz
y
)dz
v
v0
P0 P
(1
2
xy
z )dx
ydy
(1
2
yz
x )dz
保证单值连 w
w0
P0 P
(1
2
xz
y )dx
(1
2
yz
x )dy
xdz
x
0 x
P0 P
x dx x dy x dz
x
y
从几何方程中消去位移分量，第一式和第 二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得
2 y
x2
2 x
y 2
2 (v xy x
u ) y
2 xy
xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数
前后两式相加并减去中间一式，则
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数
前后两式相加并减去中间一式，则
•目标——如果应变分量满足应变协调方程，则 对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量。
•利用位移和转动分量的全微分，则
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz
xdx
(1 2
xy
z
)dy
(1 2
xz
y
)dz
d x
x
x
dx
x
y
dy
x
z
dz
轮换x , y, z，可得
du，dv和dy，dz
AB
dx
x
u x
C
x,
y
dy
C
'
x
u
u y
dy,
y
dy
v
v y
dy
y 1 ux 2 vx 2 1
y
v y
正应变
tan 1
vxdx
1 ux dx
v x
tan2
u y dy 1 vy dy
u y
xy
1
2
tan 1
tan 2
v x
u y
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
x
u x
z
y
0 y
P0 P
y dx y dy y dz
x
y
z
续的条件是 积分与积分 路径无关
z
0 z
P0 P
z dx z dy z dz
x
y
z
是单值连续的，则问题可证。
根据格林公式
应变
• 由于外部因素 —— 载荷或温度
• 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化
• 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
持初始状态相对位置不变。
• 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改
变了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z) M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
x y z
V
* V V
x
y
z
• ——弹性体一点体积的改变量
• 引入体积应变有助于
• 简化公式
• 解释
协调方程
• 数学意义：
• 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量 描述
• 力学意义——变形连续
• 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元 体变形的约束
• 例1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
主应变与主应变方向
• 变形通过应变描述
• 应变状态—— 坐标变换时，应变分量是
随之坐标改变而变化。
• 应变分量的转轴公式
i' j' n n ii ' jj ' ij
• 应变张量
x
ij
1
2
yx
1 2
zx
1 2
xy
v x
u y
y
v y
zw zBiblioteka yzw yv z
zx
u z
w x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零
微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
微小应变的几何解释
• 几何方程——位移导数表示的应变 • 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形 • 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动
xz
•——圣维南 （Saint Venant）方 程
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z
yz
( yz xz xy ) 2 2 y
y x y z
xz
( yz xz xy ) 2 2 z
z x y z
xy
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。

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