2019-2020年上海市七宝中学高一上期中数学试卷

2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题中正确的有（ ）①很小的实数可以构成集合；②集合{}21y y x =-与集合{}2(,)1x y y x =-是同一个集合；③集合{}(,)0,,x y xy x y R ≤∈是指第二和第四象限内的点集. A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】根据集合的概念即可判断. 【详解】对于①，集合具有确定性，故①错；对于②，集合相等必须元素的类型相同，而前者为数，后者为点的集合，故②错； 对于③，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故③错； 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的概念，属于基础题.2．设0,0x y >>，下列不等式中等号不能成立的有（ ） A ．11()()4x y x y++≥ B ．11()()4x y x y++≥ C ．24≥D ．4x y ++≥ 【答案】C【解析】由基本不等式以及用基本不等式验证等号成立的条件即可求解. 【详解】 已知0,0x y >> 对于A 项，11()()224x y x y ++≥⨯=，当且仅当11,x y x y==时，即1,1x y ==时等号成立，故A 项正确，不符合题意；对于B 项，11()()4x y x y ++≥，当且仅当x y =时等号成立，故B 项正确，不符合题意；对于C 2=≥，=时等号成立，但此时x 无实数根，所以等号不成立，故C错误，符合题意；对于D 项，4x y+≥≥，当且仅当x y == 即1,1x y ==时，等号成立，故D 正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式，利用基本不等式时，务必验证等号成立的条件.3．集合(2)01x x A x x ⎧⎫+>⎧⎪⎪=⎨⎨⎬<⎩⎪⎪⎩⎭，集合103x B x x ⎧⎫+⎪⎪=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，则x A ∈是x B ∈的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分不必要 【答案】A【解析】根据条件求出集合,A B ，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可. 【详解】}{(2)0011x x A x x x x ⎧⎫+>⎧⎪⎪==<<⎨⎨⎬<⎩⎪⎪⎩⎭，{1013x B xx x x ⎧⎫+⎪⎪=>=>-⎨⎬-⎪⎪⎩⎭且}3x ≠， 即x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 项正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的关系应用，同时也考查了不等式组以及分式不等式的解法，比较基础.4．使关于x 的不等式23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立的实数t （ ） A ．不存在 B ．有且仅有一个 C ．有不止一个的有限个 D ．无穷多个【答案】B【解析】利用二次函数的性质23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立，只需0∆≤即可.23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立，则0∆≤，即[]23(1)8(3)0t t t ----≤化简整理得2690t t ++≤，所以2(3)0t +≤，解得3t =- 故满足条件的实数t 有且只有一个. 故选：B 【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，借助一元二次不等式与二次函数的关系，转化为用判别式∆求解.二、填空题5．已知集合{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，则U C A =______. 【答案】{}1,2-【解析】根据补集定义直接求解可得结果. 【详解】由补集定义可知：{}1,2U C A =- 本题正确结果：{}1,2- 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.6．若关于x 的不等式(,)x a b a b R +<∈的解集为{}24x x <<，则ab =________. 【答案】3-【解析】根据解绝对值不等式(,)x a b a b R +<∈得a b x b a --<<-； 再由不等式的解集为{}24x x <<，对应相等即可求出答案. 【详解】由(,)x a b a b R +<∈得b x a b -<+<a b x b a ⇒--<<- 又不等式的解集为{}24x x <<，24a b b a --=⎧∴⎨-=⎩ 解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以3ab =-.故答案为：3-本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题.7．命题“若2x =-，则230x x +<”的逆否命题是________. 【答案】“若230x x +≥，则2x ≠-”【解析】命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”即可解答. 【详解】命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”可得 逆否命题为“若230x x +≥，则2x ≠-”. 故答案为：若230x x +≥，则2x ≠- 【点睛】本题考查四种命题，掌握四种命题间的关系是解决问题的关键，属于基础题. 8．若全集U =（1，2，3，4，5，6，7，8，9），A ，B 为U 的子集，且{}()1,9U C A B =，{}2A B ⋂=，{}()()4,6,8U U C A C B ⋂=则集合A =________.【答案】{}2,3,5,7A =【解析】作出韦恩图即可得到结论. 【详解】根据集合关系作出韦恩图（如上图）{}()1,9U C A B =，{}2A B ⋂=，{}()()4,6,8U U C A C B ⋂=∴ 由韦恩图得{}2,3,5,7A =.故答案为：{}2,3,5,7A = 【点睛】本题主要考查韦恩图的应用，根据韦恩图表示集合关系是解决本题的关键.9．已知集合{},,2A a b =，{}22,,2(,)B b a a b R =∈，且A B =则b =________. 【答案】1或12【解析】首先集合相等转化元素相等，求出001a b b =⎧⎨==⎩或 或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再由集合元素的互异性舍去00a b =⎧⎨=⎩即可得出答案.【详解】 由A B =，22a ab b =⎧∴⎨=⎩ 或22a b b a ⎧=⎨=⎩解得 001a b b =⎧⎨==⎩或 或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由集合元素的互异性可知00a b =⎧⎨=⎩ (舍去)，所以1b =或12b = 故答案为：1或12【点睛】本题考查集合之间的相等关系，集合相等转化为元素相等，由于集合元素的无序性，元素相等往往要分情况讨论.10．若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________. 【答案】112【解析】运用基本不等式得出31x y +=≥112xy ≤即可. 【详解】正实数,x y 满足：31x y +=，31x y +=≥∴112xy ≤，当且仅当12x =，16y =时等号成立. 故答案为：112【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.11．已知集合{}230A x R x =∈-≥，{}B x R x a =∈<.若A B =∅，则实数a 的取值范围为________. 【答案】32a ≤【解析】首先解出集合A ，由A B =∅即可求出32a ≤. 【详解】由{}32302A x R x x x ⎧⎫=∈-≥=≥⎨⎬⎩⎭，{}B x R x a =∈<, 若A B =∅，所以32a ≤故答案为：32a ≤ 【点睛】本题主要考查根据集合的交并补运算求参数的取值范围，属于容易题.12．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x 的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=( 1.1)1A -=-.若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是 ．【答案】514x <≤【解析】试题分析：由已知得，即，又因为，又因为x>0，所以，当时，显然不满足条件；当时，，从而得514x <≤；当时，显然不满足条件．故正实数 的取值范围是514x <≤． 【考点】新定义创新题．13．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________.【答案】94【解析】根据基本不等式2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由题意,,1a b R a b +∈+=，则2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当11a b +=+，即12a b ==时等号成立， 即(1)(1)a b ++的最大值为94. 故答案为：94【点睛】本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件.14．若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________. 【答案】[]3,2--【解析】首先讨论k 的取值，解不等式；再由集合A 的元素个数最少，推出只有k 0<满足，若集合A 的元素个数最少，由k 0<，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，只需求6k k +的最大值即可，再由集合A 中x ∈Z ，只需654k k-<+<-即可求解. 【详解】由题知集合A 内的不等式为2(6)(4)0,kx k x x Z ---≥∈，故当0k =时，可得{}4A x Z x =∈<； 当0k >时， 2(6)(4)0kx k x ---≥可转化为24060x kx k -≥⎧⎨--≥⎩ 或24060x kx k -≤⎧⎨--≤⎩，因为64k k <+， 所以不等式的解集为{4x x ≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭，所以A ={4x Z x ∈≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭当k 0<时，由64k k +<，所以不等式的解集为64x k x k ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭，所以A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个. 综上所述，当0k ≥时，集合A 的元素个数为无限个，当k 0<时，集合A 的元素个数为有限个，故当k 0<时，集合A 的元素个数最少，且当6k k+的值越大，集合A 的元素个数越少，令6()f k k k=+（k 0<），则26()1f k k'=-，令()0f k '= 解得k =所以()f k在(,-∞内单调递增，在()内单调递减，所以max ()(f k f ==-又因为x ∈Z ，54-<-<-，所以当654k k-≤+<-，即32k -≤≤-时， 集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭中元素的个数最少，故32k -≤≤- 故答案为：[]3,2-- 【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.三、解答题15．设0,0a b >>， .≥【解析】首先由0,0a b >>==，然后由基本不等式得≥+≥. 【详解】0,0a b >>，==根据基本不等式得≥ ①≥ ② 当且仅当a b =时，①②的等号成立， ①+ ② 得+≥≥【点睛】本题主要考查基本不等式比较两个式子的大小，此题也可用“作差法”进行比较. 16．解下列不等式：（1）1211x x +-->； （2）21712xx x ≤-+.【答案】（1）113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）(]()[),23,46,-∞⋃⋃+∞【解析】（1）解绝对值不等式由“零点分界法”即可求解.（2）解分式不等式转化为整式不等式，分解因式，利用穿针引线即可求解. 【详解】 （1）当12x ≥时，12111(21)11x x x x x +-->⇒+-->⇒< 112x ∴≤< 当112x -≤<时，1121112113x x x x x +-->⇒++->⇒> 1132x ∴<< 当1x <-时，121112113x x x x x +-->⇒--+->⇒> 所以此时无解，综上所述，故不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）22222(712)812100712712712x x x x x x x x x x x x --+-+-≤⇒≤⇒≤-+-+-+ 22222(812)(712)0812********x x x x x x x x x x ⎧-+-+≥-+⇒≥⇒⎨-+-+≠⎩(2)(6)(3)(4)0(3)(4)0x x x x x x ----≥⎧⇒⎨--≠⎩，如图所以不等式的解集为(]()[),23,46,-∞⋃⋃+∞ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、分式不等式的解法，解分式不等式式，转化为整式不等式后为一元高次不等式，分解因式利用穿针引线的方法进行求解.17．据市场分析，某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨），月生产总成本y （万元）x 可以看成月产量（吨）的二次函数.当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元. （1）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数解析式；（2）若[10,25]x ∈，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？【答案】（1）21(15)17.5(1020)10y x x =-+≤≤ （2）当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. 【解析】（1）设出函数解析式，代入()10,20，可得函数解析式. （2）求出每吨平均成本，利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）由题意，设2(15)17.5(,0)y a x a R a =-+∈≠，将10,20x y ==代入上式得202517.5a =+，解得110a =21(15)17.5(1020)10y x x ∴=-+≤≤. （2）21340140103110x x y x x x x -+==+-≥= 当且仅当4010x x=，即[]2010,25x =∈时等号成立， 故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数解析式是解此题的关键.18．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；（Ⅱ）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）（2）或. 【解析】试题分析：（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数m 的取值集合M 可求；（2）x N ∈是x M ∈的必要条件，分、、三种情况讨论即可求a 的取值范围．(1) 由题意知，方程20x x m --=在上有解， 即m 的取值范围就为函数在上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭7分(2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以8分 当时，解集为空集，不满足题意 9分 当时，，此时集合 则，解得12分 当时，，此时集合则11{,4422a a a <-⇒<--≥15分 综上9144a a ><-或16分 【考点】命题与逻辑、分类讨论思想.19．已知二次函数222123(),(),()f x x ax b f x x bx c f x x cx a =-+=-+=-+.（1）若3,2,1a b c ===，解不等式组：123()0()0()0f x f x f x >⎧⎪>⎨⎪>⎩；（2）若{},,1,2,3,4a b c ∈，对任意的x ∈R ，证明：123(),(),()f x f x f x 中至少有一个非负.【答案】（1）{2x x >或}1x <（2）见详解【解析】（1）把3,2,1a b c ===代入解析式，解一元二次不等式组即可求解. （2）利用反证法，假设123(),(),()f x f x f x 中一个都没有非负，再由二次函数的图像和性质需判别式均大于零，由{},,1,2,3,4a b c ∈，22240,40,40a b b c c a ->->->不恒成立，即可得证.【详解】（1）若3,2,1a b c ===，由222123(),(),()f x x ax b f x x bx c f x x cx a =-+=-+=-+则解不等式组123()0()0()0f x f x f x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即解不等式组22232021030x x x x x x ⎧-+>⎪-+>⎨⎪-+>⎩，即211`x x x x R ><⎧⎪≠⎨⎪∈⎩或， 故不等式的解集为{2x x >或}1x <.（2）若{},,1,2,3,4a b c ∈，对任意的x ∈R ，假设123(),(),()f x f x f x 中一个都没有非负，即函数123(),(),()f x f x f x 在x 轴下方均有图像，所以22240,40,40a b b c c a ->->->恒成立，所以三式相加2224440a b c a b c ++--->，即222(2)(2)(2)12a b c -+-+->，又因为{},,1,2,3,4a b c ∈，显然上式不成立， 即假设不成立，故123(),(),()f x f x f x 中至少有一个非负.【点睛】本题主要考查一元二次不等式组的解法以及反证法，利用反正法证明问题时，关键找到矛盾点，本题综合性比较强.。

2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 已知集合A ={0,1}，则下列式子错误的是( )A. 0∈AB. {1}∈AC. ⌀⊆AD. {0,1}⊆A2. 已知x <0，函数y =4x +x 的最大值是( )A. 5B. −4C. −8D. 63. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43) D. [−12,43] 4. 若关于x 的不等式x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. ［−1，+∞)C. ［−1，1］D. ［0，+∞)二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 已知集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}，则C U A =________．6. 解关于x 的不等式：2|x −3|+|x −4|<2．7. 命题“如果√x −2+(y +1)2=0，那么x =2且y =−1”的逆否命题为________．8. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ={0,1，3，5，8}，集合B ={2,4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)= ______ ．9. 已知a ∈R ，b ∈R ，若{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}，则a = ______ ，b = ______ ． 10. 已知x ，y 为正实数，则x2x+y +yx+2y 的最大值为________． 11. 已知集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}，则A ∩B =_____． 12. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________13. 函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，则a +b = ______ ． 14. 已知集合A ={−1,0,a }，B ={0,√a}.若B ⊆A ，则实数a 的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 15. (1)比较a 2+b 2与2(2a −b)−5的大小；(2)已知a,b,c ∈R +，且a +b +c =1，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾816. 解下列不等式：(Ⅰ)|2x +1|−2|x −1|>0； (Ⅱ)||x −2|−1|≤1．17. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ={13x 3−80x 2+5040x,x ∈[120,144)12x 2−200x +80000,x ∈[144,500)，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(I)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ (Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？18. 已知命题是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x−a)[x−(2−a)]<0的解集为N，若N⊆M，求实数a的取值范围．19.已知二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0;(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题型，直接求解即可． 【解答】解：∵集合A ={0,1}， ∴易得A ，C ，D 正确，B 选项，集合与集合的关系不能用∈， 故选B ．2.答案：B解析：解：∵x <0，∴函数y =4x +x =−(−x +4−x )≤−2√−x ⋅4−x =−4，当且仅当x =−2时取等号．∴x <0，函数y =4x +x 的最大值是−4． 故选B ．变形利用基本不等式即可得出．变形利用基本不等式和掌握使用基本不等式时注意“一正，二定，三相等”是解题的关键．3.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].4.答案：B解析： 【分析】本题考查恒成立问题，考查二次函数知识的综合运用，属于基础题．分两种情况讨论，当a ≥0时，二次函数在［0，+∞)单调递增且f(0)>0，当a <0时，要求Δ≤0，从而得到结果. 【解答】解：∵x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，1)当a ≥0时，函数f(x)=x 2+2ax +1在(−a,+∞)上为单调增函数，则函数f(x)=x 2+2ax +1在[0,+∞)上为单调增函数， 所以f(x)≥f(0)，∵f(0)=1>0，∴符合题意，2)当a <0时，因为f(0)=1>0，所以要使x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立， 则4a 2−4≤0，即−1≤a ≤1， 此时有−1≤a <0， 综上a ≥−1． 故选B ．5.答案：{0}解析： 【分析】本题主要考查了集合的补集，属于基础题． 【解答】解：集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}， 则C U A ={0}． 故答案为{0}．6.答案：解：当x ≥4时，原不等式即为2(x −3)+(x −4)<2，即3x −10<2，解得x <4，则有x ∈⌀； 当3<x <4时，原不等式即为2(x −3)+(4−x)<2，即x −2<2，解得，x <4，则有3<x <4； 当x ≤3时，原不等式即为2(3−x)+(4−x)<2，即10−3x <2，解得，x >83，则有83<x ≤3． 则原不等式的解集为{x|83<x ≤3或3<x <4}={x|83<x <4}．解析：运用零点分区间方法，讨论当x ≥4时，当3<x <4时，当x ≤3时，去绝对值，解不等式，最后求并集即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．7.答案：如果x ≠2或y ≠−1，则√x −2+(y +1)2≠0解析： 【分析】本题考查考查四种命题的定义和关系，根据四种命题之间的关系和定义即可得到命题的逆否命题． 【解答】解： 根据逆否命题的定义可知，命题的逆否命题为：如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0，故答案为如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0．8.答案：{7,9}解析：解：∵集合A={0,1，3，5，8}，集合B={2,4，5，6，8}，∴∁U A={2,4，6，7，9}，∁U B={0,1，3，7，9}，则(∁U A)∩(∁U B)={7.9}，故答案为：{7,9}根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集和交集的定义是解决本题的关键．9.答案：−1；0解析：解：由题意知,1}={a2,a+b,0}，∵{a,ba∴根据集合相等的定义可知：有以下几种情况①当a=0时，不符合题意，故a≠0=0时，b=0②当ba即这时集合化简为{a,0，1}={a2，a，0}∴当a=1时不满足集合元素的互异性，故a≠1∴当a2=1时，a=1或a=−1经验证a=−1成立．即此时集合为{−1,0，1}∴可知：a=−1，b=0故答案为：−1，0．根据集合相等的定义，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可得出结论．本题考查集合元素的互异性，考查集合相等的定义，比较基础．10.答案：23解析：【分析】本题主要考查基本不等式的运用，求最值，考查运算能力，属于中档题．对原式子进行换元变形，以及基本不等式应用时应该满足的条件：一正二定三等．解：令2x +y =m ，x +2y =n ， 则x =2m−n 3，y =−m+2n3，且m >0，n >0，因此：x 2x +y +y x +2y =2m −n 3m +−m +2n3n =2m −n 3m +−m +2n 3n =43−(n 3m +m3n) ≤43−2√19=23，当且仅当m =n 时取等号， 则x2x+y +yx+2y 的最大值为23， 故答案为23．11.答案：｛4，6｝解析： 【分析】本题主要考查集合的交集运算，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 利用交集运算定义直接计算即可． 【解答】解：因为集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}， 所以A ∩B =｛4，6｝． 故答案为｛4，6｝．12.答案：解析： 【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题． 【解答】解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2． 所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2). 故答案为．解析：解：由题意，a >1，则1a−1=1，1b−1=13，∴a =2，b =4，∴a +b =6； a <1则1a−1=13，不成立． 故答案为：6．分类讨论，利用函数的单调性，结合函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，求出a ，b ，即可求出a +b ．本题考查函数的最值及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：1解析： 【分析】本题主要考查子集的概念，集合的表示，考查学生对基本概念的理解和应用能力，考查核心素养是计算能力，属于基础题.利用子集关系得√a =a ，求解即可，注意集合元素的互异性． 【解答】解：因为B ⊆A ，所以√a ∈A ，因为A ={−1,0,a}，所以√a ≠0,√a ≠−1， 所以√a =a ，解得a =1； 故答案为1．15.答案：(1)解：因为a 2+b 2−2(2a −b)+5=a 2−4a +4+b 2+2b +1=(a −2)2+(b −1)2⩾0，所以a 2+b 2⩾ 2(2a −b)−5；(2)证明：∵a +b +c =1，a ，b ，c ∈R +， ∴(1a −1)(1b −1)(1c −1)=b+c a×a+c b×a+b c⩾2√bca×2√ac b×2√ab c=8，当且仅当a =b =c 时，取等号．解析： 【分析】(1)本题考查作差法比较大小，两式作差与零比较，即可比较出两式大小；(2)本题考查不等式的证明，将a +b +c =1分别代入分子并化简，进而利用基本不等式即可证明原不等式．16.答案：解：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开得4x 2+4x +1>4x 2−8x +4，即得原不等式的解集为(14,+∞). (Ⅱ)由||x −2|−1|≤1得−1≤|x −2|−1≤1，即0≤|x −2|≤2，此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，所以原不等式的解集为{x|0≤x ≤4}．解析：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开化简求得原不等式的解集．(Ⅱ)把此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，由此可得原不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.答案：解：(I)设x ∈[200,300]时，获利为S ，则S =200x −(12x 2−200x +80000)=−12(x −400)2， 所以在x ∈[200,300]时，S 为单调递增函数， S max =−5000，S min =−20000， 所以补偿范围是[5000,20000]．(Ⅱ)二氧化碳的平均每吨的处理成本为y x ={13x 2−80x +5040,x ∈[120,144),12x −200+80000x,x ∈[144,500], 当x ∈[120,144)时，当x =120时，yx 取得最小值240， 当x ∈[144,500)时，yx=12x +80000x−200⩾2√12x ⋅80000x−200=200，当且仅当12x =80000x，即x =400时，yx 取得最小值200，∵200<240，所以每月的处理量为400吨时，才能使每吨的处理成本最低．解析：本题考查分段函数模型的应用以及基本不等式实际应用，是中档题． (I)根据x ∈[200,300]，求出函数y 的值域即可判断求解．(Ⅱ)写出每吨的平均处理成本的函数表达式，利用基本不等式求解．18.答案：解：(1)命题“∃x ∈[−1,0]，x 2+2x +m <0”是真命题，则m <(−x 2−2x)max ，∵x ∈[−1,0]，∴(−x 2−2x)max =1，则m <1，即M =(−∞,1)； (2)当a <2−a ，即a <1时，N =(a,2−a)， ∵N ⊆M ，∴2−a ≤1，即a ≥1，此时a 无解；当a=2−a，即a=1时，N为空集，满足题意；当a>2−a，即a>1时，N=(2−a,a)，∵N⊆M，∴a≤1，此时a无解．综上：a=1．解析：(1)把原命题转化为m<(−x2−2x)max，再由二次函数求最值得答案；(2)对a分类求解不等式(x−a)[x−(2−a)]<0，再由两集合端点值间的关系列式求解．19.答案：解：(1)设二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)的两个零点分别为x1，x2，由已知得x1+x2=0，而x1+x2=2t，所以2t=0，故t=0．不等式x2−2tx+t2−1≥0即x2−1≥0，解得x≥1或x≤−1，故不等式的解集为{x|x≥1或x≤−1}．(2)因为方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，所以即．解得−1<t<3．解析：本题考查了函数与方程以及一元二次不等式的解法，是一般题．(1)根据韦达定理求出t，然后根据一元二次不等式的解法得出答案．(2)根据一元二次方程根的分布建立关于t的不等式组，解不等式组即可．。

高一年级期中试卷一、填空题1、已知集合{}2|≤=x x A 与集合{}1|≥=x x B ，则=⋂B A .2、命题“若0652=+-x x ，则2=x 或3=x ”的逆否命题是 . 3、不等式0513<--xx 的解集是 . 4、已知函数()()21,122-+=+-=x x x g x x x f ，则()()x g x f ⋅ . 5、若集合{}Z x x x x A ∈<--=,043|2,则集合A 的子集个数为 .6、已知集合{}02|2=+-=q px x x A ，{}05|2=+-=q x x x B ，且{}3=⋂B A ,则q p += .7、已知集合{}a x x A >=|，{}R x x x B ∈<-=,22|，若“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，则a 的取值范围 .8、定义在整数集上的函数()x f 满足()()6,20098,2009n n f n f f n n -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩，则()2008f = .9、关于x 的不等式()()011122<----x m x m 的解集为R ，则实数m 的取值范围为 . 10、设偶函数()x f 的定义域[]55-，，若当[]50，时，()x f 的图像如图所示，则满足不等式()0<x xf 的x 的范围是.11、对于M x x ≤+2-2成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做x x 2-2+的上确界.若+∈R b a , 且1a b +=,则122a b--的上确界为 . 12、设集合{}6,5,4,3,2,1=A ,集合B 有k 个元素，且A B ≠⊂，若所有可能的B 的各个元素之和是210，则k 的所有可能值为 .二、选择题13、设R m b a ∈、、,则“mb ma =”是“b a =”的（ ）、A 充分非必要条件 、B 必要非充分条件 、C 充要条件 、D 既非充分又非必要条件14、下列四组函数中，是同一函数的是（ ）()1=x f A 、和()0x x g = 、B ()2x x f =与()x x g =、C ()31+⋅-=x x x f 与()322-+=x x x g 、D ()212+-=x x x f 与()212+-=x x x g 15、下列结论正确的是（ ）、A 若b a <且d c <，则bd ac < 、B 若b a >，则22bc ac > 、C 若0≠a ，则21≥+aa 、D 若b a <<0，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧==a x x A 1|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==b x x B 1|，则B A ⊇ 16、当一个非空数集G 满足“如果G b a ∈,，则G ab b a b a ∈-+,,,且0≠b 时，G ba ∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则G ∈2017；③集合{}Z k k x x P ∈==,2|是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）、A 1个 、B 2个 、C 3个 、D 4个三、解答题17.已知集合{}a A ,4,1=，{}2,1aB =，且A B ⊆,求实数a 的值.18.已知集合{}{}0107-|,321|2≥-+=+≤≤+=x x x B a x a x A （1）已知3=a ，求集合()B A C R ⋂(2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围.19.已知()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()x x x f 22+-= （1）求()x f 的解析式并直接写出函数()x f 的单调递减区间；（2）若函数()x f 在区间[]21--a ，上单调递增，求实数a 的取值范围。

2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．“ ”是“”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若实数a 、b 满足条件 ，则下列不等式一定成立的是 A ．B ．C ．D ．3．设集合 ， 对任意 恒成立，则P 与Q 的关系是 A ．B ．C ．D ．4．已知集合 2，3， ，集合 是集合A 的子集，若 且 2， ， ，满足集合B 的个数记为 ，则 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12二、填空题6.集合{},a b 的真子集的个数为_________5.设集合{}21,A x x x R =-<?，集合B Z =，则A B ?__________ 7.“2x <”是“24x <”的__________8.命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹.”是__________命题.（填“真”或“假”）9.函数()f x =__________. 10.已知()214f x x +=-，则()f x 的解析式为__________.11.集合(){}(){}2,|1,,23A x y y ax B x y y x ==+==+，A B Ç的元素只有1个，则a 的取值范围是__________.12.若函数()()2225f x x a x =+-+在区间()4,+?上是增函数，则实数a Î__________.13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x £时，()2f x x x =--，则()2f =__________.14.已知函数()2x g x =，且()()2g a g b ?，则ab 的最大值是__________.15.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-.则关于x 的不等式0cx a +<的解集为__________.16.设3,0a b b +=>，则当a =__________时，13aa b+取得最小值三、解答题17．已知x ，y 是实数，求证： ．18．已知全集 ，集合， ，求 ， ．19．已知命题p ：关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根；命题q ：关于x 的一元二次方程 对于任意实数a 都没有实数根．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 20．已知集合 ，集合当 时，求集合 和集合B ；若集合 为单元素集，求实数m 的取值集合；若集合 的元素个数为 个，求实数m 的取值集合 21．已知集合P 的元素个数为 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即 ， ， ， ，其中 ， ， 若集合A 、B 、C 中的元素满足 ， ， ，2， ，则称集合P 为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．“”是“”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题意得“”，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．【考点】充分不必要条件的判定．2．若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、，时，有成立，故A错误；对于B、，时，有成立，故B错误；对于C、，时，有成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．3．设集合，对任意恒成立，则P与Q的关系是A．B．C．D．【答案】C【解析】先分别求出集合P，Q，由此能求出P与Q的关系．【详解】集合，对任意恒成立，当m=0时，-1<0,满足题意，当时，结合二次函数的性质得到．与Q的关系是．故选：C．【点睛】本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知集合2，3，，集合是集合A的子集，若且2，，，满足集合B的个数记为，则A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】根据和，可得，，，集合2，3，4，5，6，；集合，满足集合B的个数列罗列出来，可得答案．【详解】由题意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，满足集合B的个数列罗列出来，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，故选：B．【点睛】本题考查子集与真子集，并且即时定义新的集合，主要考查学生的阅读理解能力．二、填空题5.集合{},a b 的真子集的个数为_________ 【答案】3 【解析】 【分析】由真子集的定义，将集合{},a b 的真子集列举出来即可. 【详解】集合{},A a b =的真子集有{}{},,a b f ， 共3个，故答案为3.【点睛】集合的真子集是指属于该集合的部分（不是所有）元素组成的集合，包括空集.6.设集合{}21,A x x x R =-<?，集合B Z =，则A B ?__________ 【答案】{}2 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合A ，由交集的定义可得结果. 【详解】21x -<，即121x -<-<， 解得13x <<，即()1,3A =， 集合B Z =，则{}2A B?，故答案为{}2.【点睛】本题考查交集的求法以及绝对值不等式的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题，解题时要认真审题. 7.“2x <”是“24x <”的__________ 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法化简不等式24x <，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由24x <得22x -<<,则“2x <”是“24x <”的的必要不充分条件， 故答案为必要不充分.【点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将一元二次不等式的解法、充分条件、必要条件相关的问题联系起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.8.命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹.”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论.【详解】命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹” 的逆否命题为“已知,x y R Î，如果0x =且2y =，那么2x y +=” 为真命題，故命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹” 是真命题，故答案为真.【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.9.函数()f x =__________. 【答案】11,2纟ç-úçú棼 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零，且二次根式的被开方数大于或等于零，由此建立关于x 的不等式组，解之即得函数()f x 的定义域.【详解】要使函数()f x = 则121xx -+0³，等价于()()211011210x x x x ì-+?ï?<?í+?ïî， 函数()f x =11,2纟ç-úçú棼，故答案为11,2纟ç-úçú棼. 【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ＃求出.10.已知()214f x x +=-，则()f x 的解析式为__________. 【答案】()223f x x x =-- 【解析】 【分析】令1x t +=，则1x t =-，求出()f t 223t t =--,从而可得结果. 【详解】因为()214f x x +=-，\令1x t +=，则1x t =-，()()()2114f x f t t \+==-- 223t t =--，\函数()f x 的解析式为()223f x x x =--.，故答案为()223f x x x =--.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.11.集合(){}(){}2,|1,,23A x y y ax B x y y x ==+==+，A B Ç的元素只有1个，则a 的取值范围是__________.【答案】10,2禳镲-睚镲铪【解析】 【分析】由A B Ç中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出a 的范围.【详解】联立2123y ax y x ì=+ïí=+ïî 即2220ax x --=，A B Ç是单元素集，\分两种情况考虑:0a ¹，方程有两个相等的实数根，即0D=， 可得()2280a -+=,解得12a =- 0a =，方程220x --=只有一个根，符合题意，综上,a 的范围为10,2禳镲-睚镲铪故答案为10,2禳镲-睚镲铪. 【点睛】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 12.若函数()()2225f x x a x =+-+在区间()4,+?上是增函数，则实数a Î__________. 【答案】[)2,-+?【解析】 【分析】根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以2x a =-为对称轴的抛物线，利用[)4,+?为[)2,a -+?的子集可构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到实数a 的取值范围.【详解】函数()()2225f x x a x =+-+的图象是开口方向朝上， 以2x a =-为对称轴的抛物线，若函数()()2225f x x a x =+-+在区间[)4,+?上是增函数，所以[)4,+?为[)2,a -+?的子集，则24a -?，解得2a ?，故答案为[)2,-+?.【点睛】本题考査的知识点是函数单调性及二次函数的性质，属于简单题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x £或()'0f x ³恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的．13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x £时，()2f x x x =--，则()2f =__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由()f x 为R 上的奇函数即可得出()()22f f =--，并且0x £时，()2f x xx =--，从而将2x =-代入()2f x x x =--的解析式即可求出()2f -，从而求出()2f . 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，并且0x £时，()2f x x x =--，()()()()222222f f 轾\=--=-----=犏臌，故答案为2 . 【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数奇偶性的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 14.已知函数()2x g x =，且()()2g a g b ?，则ab 的最大值是__________.【答案】14【解析】 【分析】 由()()2g a g b ?可得1a b +=，由基本不等式可得2124a bab 骣+琪?琪桫,注意等号成立的条件即可.【详解】函数()2x g x =，且有()()2g a g b =，2222,1a ba b a b +\=?\+=，0a >且210,24a bb ab 骣+琪>\?琪桫， 当且即当12a b ==时，ab 取最大值14,故答案为14.【点睛】本题主要考查指数幂的运算以及利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用³或£时等号能否同时成立）.15.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-.则关于x 的不等式0cx a +<的解集为__________.【答案】10,9轹÷ê÷ê滕 【解析】 【分析】构造解集和20ax bx c ++>是同解()2,3-的不等式，然后可得出,,a b c ，再代入求0cx a +<求解即可. 【详解】()()230x x +-<的解集为()2,3-，则260x x -++>与20ax bx c ++>是同解不等式，1,1,6a b c \=-==，则关于x 的不等式0cx a +<的解集即为610x <的解集，2610\<，即()()110<，解得109x?，故关于x 的不等式0cx a +<的解集为10,9轹÷ê÷ê滕，故答案为10,9轹÷ê÷ê滕.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及特值法在解题中的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.设3,0a b b +=>，则当a =__________时，13aa b+取得最小值【答案】32- 【解析】 【分析】需要分类讨论，当03a <<和当0a <,分别化简13aa b+，利用基本不等式即可得到结论.【详解】3,0a b b +=>,30b a \=->，即3a <， 当03a <<时，11112739999939a ab a b a a b a b a b ++=+=++?+=， 当且仅当34a =取等号 故当34a =时，13a a b+取得最小值79， 当0a <时,11112539999939a ab a b a a b a b a b ++=--=---?+-+=， 当且仅当32a =-取等号， 故当32a =-时，13a a b+取得最小值59， 综上所述a 的值为32-时， 13a a b+取得最小值，故答案为32-. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于难题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题17．已知x，y是实数，求证：．【答案】见解析【解析】利用综合法，证明不等式即可．【详解】因为，可得，，可得，所以．【点睛】本题考查不等式的证明，综合法的应用，是基本知识的考查.18．已知全集，集合，，求，．【答案】，【解析】先求出A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．【详解】；；；；，；．【点睛】考查描述法表示集合的定义，，以及交集、并集和补集的运算．19．已知命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】由题意可得判别式大于0，由绝对值不等式的解法可得m的范围；考虑命题q真，运用绝对值不等式的性质和判别式小于0，解不等式可得m的范围，由p，q一真一假，解不等式即可得到所求范围．【详解】命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解得；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根，可得，由，可得无实数解，可得，即，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或或或，即有或．【点睛】本题考查二次方程和二次不等式的解法，注意运用判别式和绝对值不等式的性质，考查化简运算能力，属于基础题．20．已知集合，集合当时，求集合和集合B；若集合为单元素集，求实数m的取值集合；若集合的元素个数为个，求实数m的取值集合【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】（1）m＝2时，化简集合A，B，即可得集合∁R A和集合B；（2）集合B∩Z为单元素集，所以集合B中有且只有一个整数，而0∈B，所以抛物线y＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1的开口向上，且与x轴的两个交点都在[﹣1，1]内，据此列式可得m＝0；（3）因为A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），（A ∩B）∩Z中由n个元素，所以1﹣m2＞0，即﹣1＜m＜1；A∩B中至少有3或﹣2中的一个，由此列式可得．【详解】集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|﹣1＜x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N）个，A∩B中至少有3或﹣2中的一个，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有或，解得﹣1＜m＜﹣或＜m＜1∴【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算属难题．21．已知集合P的元素个数为个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即，，，，其中，，若集合A、B、C中的元素满足，，，2，，则称集合P为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)讨论集合A与集合B，根据完美集合的概念知集合C，根据ak +bk=ck,可依次判断集合P与Q是否为完美集合；（2）讨论集合AB,根据完美集合的定义，建立等式求x的值.【详解】（1）集合P＝2，为“完美集合”，令A＝{1}，B＝{2}，C＝{3}．则集合A、B、C中的元素满足a k+b k＝c k，集合Q＝2，3，4，5，不是“完美集合”，若集合Q为“完美集合”，则C中元素最小为3，若C的最小元素为3，则a1+b1＝1+2＝3，a+b2＝4+5＝c2＝6不可能成立，2若C的最小元素为4，则a1+b1＝1+3＝4，a+b2＝2+5＝c2＝6不可能成立，2若C的最小元素为5，则a1+b1＝1+4＝5，a+b2＝2+3＝c2＝6不可能成立，2综上可得集合Q＝{1,2，3，4，5，6}不是“完美集合”（2）由（1）可得x≠2，若A＝{1，3}，4∈B，则5∈C，6∈B，x＝3+6＝9∈C满足“完美集合”的定义；若A＝{1，3}，5∈B，则6∈C，5∈B，x＝3+5＝8∈C满足“完美集合”的定义；【点睛】这个题目考查了集合的新概念型问题，关键是读懂题意，按照题目所给的定义求解.。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 对于α：a−1a+1>0，β：关于x 的方程x 2−ax +1=0有实数根，则α是β成立的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合P ={0,1}，Q ={−1,0，1}，则( ) A. P ∈QB. P ⊆QC. P ⊇QD. Q ∈P 3. 若实数a <b <0，则下列不等式中正确的是( ) A. 1a <1bB. |b |>|a |C. a b +b a >2D. ab <b 2 4. 若函数f(x)=x−1x ，则方程f(4x)=x 的根为( ) A. −2 B. −12 C. 12 D. 2二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x|1≤x ≤2}，集合B ={x|x ≥a}.若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围是______．6. 已知集合M ={x|0≤x <2}，N ={−1,0，1，2}，则M ∩N =______．7. 命题“若x 2−x ≥0，则x >2”的否命题是__________．8. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b =ab +2a +b ，则关于实数x 的不等式：x ⊙(x −2)<0的解集为______ ．9. 已知函数f(x)={2x ,x >0x,x ≤0，则f(1)+f(−1)为________． 10. 若f(x)=√x(x +1)，g(x)=√x ，则f(x)⋅g(x)= ______ ．11. 不等式|2x −1|<x 的解集为______ ．12. 已知不等式x 2+(m +1)x +m 2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围为______ ．13. 设函数f(x)=√1−lgx 的定义域为______．14. 函数y =x +1x−3(x >3)的最小值为________.15. 如果|x −1|+|x −9|>a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是______ ．16. 若集合M ={0,1，2}，N ={(x,y)|x −2y +1≥0，且x −2y −1≤0，y ∈M}，则集合N 中元素的个数为__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知集合A ={x|x 2−2x −8=0}，B ={x|x 2+ax +a 2−12=0}，且A ∪B ≠A ，求实数a 的取值范围．18.设f(x)=|x|+|x+10|．(Ⅰ)求f(x)≤x+15的解集M；(Ⅱ)当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25|19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚(0≤x≤10) 6万元，且每年的能源消耗费用H(万元)与隔热层厚度x(毫米)满足关系H(x)=403x+5设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)请解释H(0)的实际意义，并求f(x)的表达式；(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f(x)最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？20.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．21.集合A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是________．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】>0得a>1或a<−1，解：α：a−1a+1β：关于x的方程x2−ax+1=0有实数根，则判别式△=a2−4≥0，得a≥2或a≤−2，∵{a|a≥2或a≤−2}⫋{a|a>1或a<−1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选：B．2.答案：B解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查集合与集合的关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合P={0,1}，Q={−1,0，1}，∴P⊆Q．故选：B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题．根据不等式的性质取特殊值验证即可．【解答】令b=−1，a=−2，则C正确，A，B，D错误，故选：C．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．【解答】解：因为函数f(x)=x−1，x=x，所以f(4x)=x即为4x−14x即4x2−4x+1=0，，解得x=12故选C．5.答案：a≤1解析：因为A∪B=B，所以A⊆B，由集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≥a}．所以a≤1.故填a≤1．根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．此题考查了子集及其运算，属于简单题．6.答案：{0,1}解析：【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合M={x|0≤x<2}，N={−1,0，1，2}，则M ∩N ={0,1}．故答案为：{0,1}．7.答案：若x 2−x <0，则x ≤2．解析：【分析】本题考查否命题的概念，属于基础题．注意否命题需要对条件和结论都否定．【解答】解：命题“若x 2−x ≥0，则x >2”的否命题是“若x 2−x <0，则x ≤2”.故答案为：若x 2−x <0，则x ≤2．8.答案：(−2,1)解析：解：由题意知：原不等式可化为x(x −2)+2x +x −2<0⇔x 2+x −2<0⇔(x +2)(x −1)<0⇔−2<x <1．故答案为：(−2,1)．原不等式可化为x(x −2)+2x +x −2<0，解之得−2<x <1．本题借助新定义题考查了一元二次不等式的解法，根据定义把不等式转化为一元二次不等式是关键． 9.答案：1解析：【分析】本题考查了分段函数，将x 的值代入函数的解析式即可得答案．【解答】解：由函数f(x)={2x ,x >0x,x ⩽0可得f(1)+f(−1)=2−1=1， 故答案为1．10.答案：√x +1(x >0)．解析：解：由题意f(x)的定义域为{x|x ≤−1或x ≥0}，g(x)的定义域为{x|x >0}，∴f(x)g(x)的定义域为{x|x >0}，f(x)g(x)=√x +1，故答案为√x +1(x >0)．确定函数的定义域，再求出函数的解析式即可．本题考查函数解析式的求解，考查学生的计算能力，比较基础．11.答案：(13,1)解析：解：由不等式|2x −1|<x 可得−x <2x −1<x ，解得13<x <1，故不等式||2x −1|<x 的解集是(13,1)．故答案为：(13,1)．原不等式等价于−x <2x −1<x ，由此求得不等式|2x −1|<x 的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 12.答案：(−∞,−13)∪(1,+∞)解析：【分析】不等式恒成立，需△<0，解出即可．本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法，考查转化思想、考查学生解决问题的能力．【解答】解：∵x 2+(m +1)x +m 2>0的解集为R ，∴△=(m +1)2−4m 2<0，解得：m <−13或m >1．故答案为：(−∞,−13)∪(1,+∞)． 13.答案：(0,10]解析：解：函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：{1−lgx ≥0x >0， 解得：0<x ≤10．∴函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：(0,10]．故答案为：(0,10]．由函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：{1−lgx ≥0x >0，解不等式组即可求出答案． 本题考查函数的定义域及其求法，考查不等式的解法，是基础题．14.答案：5解析：解：∵x >3，∴y =x +1x−3=x −3+1x−3+3≥2√1x−3⋅(x −3)+3=2+3=5，当且仅当x −3=1时，即x =4时取等号，故答案为：5．根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．15.答案：a<8解析：解：由于|x−1|+|x−9|表示数轴上的点x到1和9对应点的距离之和，其最小值等于8，故由题意可得a<8，故答案为：a<8利用|x+1|+|x+9|表示数轴上的点x到−1和−9对应点的距离之和，其最小值等于8，从而求得a 的取值范围．本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，判断|x−1|+|x−9|的最小值等于8，是解题的关键．16.答案：4解析：【分析】本题考查元素和集合的关系的应用，属于基础题目．【解答】解：因为集合M={0,1，2}，N={(x,y)|x−2y+1≥0，且x−2y−1≤0，x，y∈M}，所以N={(0,0)，(1,1)，(1,0)，(2,1)}，所以集合N中元素个数为4．故答案为4．17.答案：解：集合A={x|x2−2x−8=0}={−2,4}，B={x|x2+ax+a2−12=0}，若A∪B=A，则B⊆A，可分为以下几种情况，(1)B=A，即方程x2+ax+a2−12=0的解为x=−2或x=4，解得a=−2；(2)B={−2}，即方程x2+ax+a2−12=0的解为x=−2，(−2)2−2a+a2−12=0，解得：a=−2(舍)或a=4；(3)B ={4}，即方程x 2+ax +a 2−12=0的解为x =4，a 2+4a +4=0，解得a =−2，此时B ={−2,4}≠{4}，故需舍弃；(4)B 为空集，即方程x 2+ax +a 2−12=0无解，a 2−4(a 2−12)<0，解得a >4或a <−4． 综上可知，若B ∪A =A ，a =−2或a ≥4，或a <−4．解析：化简集合A ，若A ∪B =A ，则B ⊆A ，分类讨论，即可求实数a 的取值集合，本题考查实数的取值范围的求法，正确分类讨论是关键，是基础题．18.答案：解：( I)由f(x)=|x|+|x +10|≤x +15得：{x <−10−x −x −10≤x +15 ①，或{−10≤x ≤0−x +x +10≤x +15 ②，或{x >0x +x +10≤x +15③． 解①求得x ∈⌀，解②求得−5≤x ≤0，解③求得5≥x >0，故原不等式的解集为M ={x|−5≤x ≤5 }．( II)当a ，b ∈M 时，−5≤a ≤5，−5≤b ≤5，不等式5|a +b||≤|ab +25|，等价于25(a +b)2≤(ab +25)2，即25(a 2+b 2+2ab)≤a 2⋅b 2+50ab +625，即25a 2+25b 2−a 2⋅b 2−625≤0，等价于(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0．而由−5≤a ≤5，−5≤b ≤5，可得a 2≤25，b 2≤25，∴a 2−25≤0，25−b 2≥0，∴(a 2−25)⋅(25−b 2)≤成立，故要证的不等式5|a +b|≤|ab +25|成立．解析：( I)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a ，b ∈M 时，等价转化不等式5|a +b|≤|ab +25|为(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0，结合题意可得(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0成立，从而得出结论．本题主要考查绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，属于中档题．19.答案：解：(1)H(0)=405=8，H(0)的实际意义为不使用新型隔热材料时，每年的能源消耗费用为8万元．f(x)的解析式为：f(x)=8003x+5+6x(0≤x ≤10)．(2)f(x)=8003x+5+6x =8003x+5+2(3x +5)−10≥2√1600−10=70．当且仅当8003x+5=2(3x +5)即x =5时取等号．∴厚度为5mm 时，总费用最小70万元．若不使用隔热材料，则20年的能源消耗总费用为8×20=160万元，故业主可节省90万元．解析：(1)将建造费用和能源消耗费用相加得出f(x)的解析式；(2)利用基本不等式得出f(x)的最小值及对应的x 的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论． 本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)由已知可得f(x)={−2x +4,x ≤04,0<x <42x −4,x ≥4，所以f min (x)=4，所以只需|m +2|≤4，解得−6≤m ≤2，所以实数m 的最大值M =2；( 2)由(1)知a 2+b 2=2，又a 2+b 2⩾2ab ，∴ab ≤1，∴√ab ≤1 ①,当且仅当a =b 时取等号，又∵√ab a+b ≤12，∴ab a+b ≤√ab 2 ②，当且仅当a =b 时取等号， 由①②得ab a+b ≤12，所以a +b ≥2ab ．解析：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．(1)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m +2|≤4，求解m 的范围，得到m 的最大值M ．(2)综合法，利用基本不等式证明即可．21.答案：5解析：【分析】本题考查集合的 新定义，属于基础题型，理解题意 是关键．【解答】解：∵A ={1,2，3}，B ={1,2}，定义集合间的运算A +B ={x|x =x 1+x 2,x 1∈A,x 2∈B}， ∴A +B ={2,3，4，5}故集合A +B 中元素的最大值是5；故答案为5．。

一.填空题1. 函数的定义域为________【答案】【分析】【剖析】依据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域.【详解】由题意得，即定义域为【点睛】本题考察函数定义域，考察基本求解能力.2. 已知会合，，则________【答案】【分析】【剖析】求出会合A,B，即可获取.【详解】由题会合会合故.故答案为.【点睛】本题考察会合的交集运算，属基础题3. 不等式的解集是________【答案】【分析】【详解】不等式，则故答案为.【点睛】本题主要考察分式不等式的解法，表现了转变的数学思想，属于中档题．4. “若且，则”的否命题是__________________．【答案】若或，则【分析】【剖析】依据原题与否命题的关系，写出否命题即可.【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【点睛】本题考察依据原命题写出否命题，属基础题.5. 已知，则的取值范围是________【答案】【分析】【剖析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为 b=a-z ，经平移直线可得结论．【详解】作出所对应的可行域，即（如图暗影），目标函数z=a-b 可化为 b=a-z ，可看作斜率为 1 的直线，平移直线可知，当直线经过点A（ 1， -1 ）时， z 取最小值 -2 ，当直线经过点O（0， 0）时， z 取最大值0，∴a-b 的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考察线性规划，正确作图是解决问题的重点，属中档题．6. 若，，且，则的取值范围是_【答案】【分析】【剖析】对 a 进行分类议论，依据 A 与B 的交集为空集确立出 a 的范围即可．【详解】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【点睛】本题考察了交集及其运算，娴熟掌握交集的定义是解本题的重点．7. 若对于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____【答案】【分析】略8. 若函数，则________【答案】【分析】【剖析】设, 求出的分析式，再将代入即可.【详解】设,则则即即答案为.【点睛】本题考察函数分析式的求解，波及换元和函数的性质，属中档题．9. 若对于的不等式在上恒建立，则实数的最小值是__【答案】【分析】【剖析】对于的不等式在上恒建立，即求，将不等式式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，从而求得的最小值．【详解】∵对于的不等式在上恒建立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数 a 的最小值为．故答案为．【点睛】本题考察函数的恒建立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒建立问题，一般采用参变量分别的方法进行办理，转变成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．10. 已知函数，（），若不存在实数使得和同时建立，则的取值范围是________【答案】【分析】【剖析】经过 f （x）＞ 1 和 g（ x）＜ 0，求出会合A、B，利用 A∩B=?，求出 a 的范围即可．【详解】由f（ x）＞ 1，得＞ 1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜ x＜-1或 2＜ x＜ 3} ．由 g（ x）＜ 0 得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜ x＜a，a＜ 0} ．由题意 A∩B=?，所以 a≤ -2 或 - 1≤2a＜ 0，故 a 的取值范围是 {a|a ≤ -2 或 - ≤a＜ 0} ．即答案为.【点睛】本题考察分式不等式的解法，二次不等式的解法，会合的交集运算，考察剖析问题解决问题的能力．11. 当时，能够获取不等式，，，由此能够推行为，则________【答案】【分析】【剖析】本考推理，要先考前几个不等式，出律再研究推行后的式子中的p 【解】∵ x∈R+可获取不等式，∴在 p 地点出的数恰巧是分母的指数的指数次方即答案.【点睛】本考推理，解的关是理解推理的律-- 从所的特例中出律来，以之解决，推理是一个很重要的思方式，熟用推理猜想，能够大大提升新的效率，解善用推理，能够一多解指明研究的方向12. 已知数集（，）拥有性：随意、（集），拥有性与两数中起码有一个属于会合，出以下四个命：①数集；②数集拥有性；③若数集拥有性，；④若数（）拥有性，；此中真命有________（填写序号）【答案】②③④【分析】【剖析】利用a i +a j与 a j -a i两数中起码有一个属于A．即可判断出．【解】①数集中，②数集足随意、（），，故数集与不拥有性；两数中起码有一个属于会合，故数集拥有性；③若数列 A 拥有性P， a n+a n=2a n与 a n-a n=0 两数中起码有一个是数列中的一，∵0≤a1＜a2＜⋯＜ a n，n≥3，而 2a n不是数列中的，∴ 0 是数列中的，∴a1=0；故③正确；④当 n=5 ，取 j=5 ，当 i ≥2 ， a i +a5＞ a5，由 A 拥有性 P，a5-a i∈A，又 i=1 ， a5-a 1∈A，∴a5-a i ∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜ a2＜ a3＜ a4＜ a5，∴a5-a 1＞ a5-a 2＞ a5-a 3＞ a5-a 4＞ a5-a 5=0，a5-a 1=a5，a5-a 2=a4， a5-a 3=a3，从而可得 a2+a4=a5， a5=2a3，故 a2+a4=2a3，即答案为②③④.【点睛】本题考察数列的综合应用，本题能很好的考察学生的应用知识剖析、解决问题的能力，重视于对能力的考察，属中档题．二.选择题13. 如图，为全集，、、是的三个子集，则暗影部分所表示的会合是（）A. B.C. D.【答案】 C【分析】【剖析】先依据图中的暗影部分是M∩P的子集，但不属于会合S，属于会合S 的补集，而后用关系式表示出来即可．【详解】图中的暗影部分是：M∩P的子集，不属于会合S，属于会合S 的补集 , 即是 C U S 的子集则暗影部分所表示的会合是（M∩P）∩( ?U S).应选： C．【点睛】本题主要考察了Venn 图表达会合的关系及运算，同时考察了识图能力，属于基础题．14. 以下各组函数中，表示同一函数的是（）A.与B.与C.与D.（）与（）【答案】 D【分析】【剖析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得同样，所以只需逐个判断每个选项中定义域和对应关系能否都同样即可．【详解】对于对于 B选项A 选项，f （ x）的定义域为的定义域为R，g（x）的定义域为[0 ，+∞），∴不是同一函数；的定义域为∴不是同一函数；对于 C选项， f （0） =-1 ，g（ 0） =1， f （ 0）≠ g（ 0），∴不是同一函数．对于 B 选项， f （ x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数分析式化简后为同一分析式，∴是同一函数.应选 D.【点睛】本题主要考察了函数三因素的判断，只有三因素都同样，两函数才为同一函数，属于基础题．15.已知，则“”是“”的（）A.充足非必需条件B.必需非充足条件C.充要条件D.既非充足又非必需条件【答案】 A【分析】【剖析】本题考察的是必需条件、充足条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论分别是什么．而后联合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看能否正确即可获取问题解答．【详解】由题意可知：+22a，b∈R，若“ a +b ＜1”则 a2+2ab+b2＜ 1+2ab+a2?b2，∴（ a+b）2＜（ 1+ab）2∴a b+1＞ a+b．若 ab+1＞ a+b，当 a=b=2 时， ab+1＞a+b 建立，但 a2+b2＜1 不建立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ ab+1＞ a+b”的充足不用要条件．应选： A．【点睛】本题考察的是必需条件、充足条件与充要条件的判断问题．在解答的过程中间充足表现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转变的思想．16.汽车的“燃油效率”是指汽车每耗费 1 升汽油行驶的里程，以下图描绘了甲、乙、丙三辆汽车在不一样速度下的燃油效率状况 . 以下表达中正确的选项是（）A. 耗费 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B.以同样速度行驶同样行程，三辆车中，甲车耗费汽油最多C.甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时，耗费 10 升汽油D.某城市灵活车最高限速 80 千米 / 小时 . 同样条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】 D【分析】试题剖析：对于A，耗费升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B,以同样速度行驶同样行程，三辆车中甲车耗费汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，耗费升汽油,故错；对于D, 车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.应选 D.考点： 1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.【此处有视频，请去附件查察】三.解答题17. 设会合，会合.（ 1）若“”是“”的必需条件，务实数的取值范围；（ 2）若中只有一个整数，务实数的取值范围.【答案】（ 1）；（2）.【分析】【剖析】（ 1）由“”是“”的必需条件，得B? A，而后分，m＞三种状况议论求解实数m的取值范围；（ 2）把中只有一个整数，分，m＞时三种状况借助于两会合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．【详解】 (1) 若“”是“”，则B? A，∵A={x| - 1≤x≤2} ，①当时， B={x|2m ＜x＜ 1} ，此时 - 1≤2m＜ 1?；②当时， B=?，有 B? A 建立；③当时 B=?，有 B? A 建立；综上所述，所求m的取值范围是．(2)∵A={x| - 1≤x≤2} ，∴ ?R A={x|x ＜ -1 或 x＞ 2} ，①当时， B={x|2m ＜x＜ 1} ，若 ( ?R A)∩B中只有一个整数，则 - 3≤2m＜ -2 ，得②当 m当时，不切合题意；③当时，不切合题意；综上知， m的取值范围是.【点睛】在会合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再联合数轴进行会合的运算，若端点地点不准时，要注意对端点的地点进行议论求解，本题是中档题．18. 练习册第21 页的题“，，求证：”除了用比较法证明外，还能够有以下证法：（当且仅当时等号建立），∴.学习以上解题过程，试试解决以下问题：（ 1）证明：若，，，则，并指出等号建立的条件；（ 2）试将上述不等式推行到（）个正数、、、、的情况，并证明.【答案】 (1) 看法析；（ 2）看法析 .【分析】【剖析】（ 1）依据题设例题证明过程，类比可得证明；（ 2）依据题设例题证明过程，类比可得证明；【详解】（ 1），∴，当且仅当时等号建立；（2）故. 当且仅当时等号建立；【点睛】本题考察基本不等式的运用，考察不等式的证明，考察求函数的最值，属于中档题．19.某企业有价值 10 万元的一条流水线，要提升该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提升产品附带值，假定附带值万元与技术改造投入万元之间的关系知足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，此中为常数，且.（ 1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（ 2）求出附带值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（ 1），；（2）.【分析】【剖析】（1）列出 f （ x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，联合二次函数的图象及单一性解决，注意分类议论．【详解】（ 1）设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t 为常数，；（ 2）因为定义域中函数在上单一递减，故.【点睛】本题考察函数的应用问题，函数的分析式、二次函数的最值及分类议论思想，牵涉字母太多，简单犯错．20. 设数集由实数组成，且知足：若（且），则.（ 1）若，试证明中还有此外两个元素；（ 2）会合能否为双元素会合，并说明原因；（ 3）若中元素个数不超出 8 个，全部元素的和为，且中有一个元素的平方等于全部元素的积，求会合 .【答案】 (1)， ;(2) 看法析；（ 3）.【分析】【剖析】（ 1）依据会合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把 2 代入进行考证；（ 2）能够假定A为单元素会合，求出其等价条件，从而进行判断；（ 3）先求出会合 A 中元素的个数，=1，求出 x 的值，从而求出会合 A．【详解】（ 1）证明：若x∈A，则又∵ 2∈A，∴∵- 1∈A，∴∴A中此外两个元素为，；（2），，，且，，，故会合中起码有 3 个元素，∴不是双元素会合；（ 3）由，，可得，全部元素积为1，∴，、、，∴.【点睛】本题考察了元素和会合的关系，考察会合的含义，分类议论思想，是一道中档题．21. 已知，设，，（，为常数） .（ 1）求的最小值及相应的的值；（ 2）设，若，求的取值范围；（ 3）若对随意，以、、为三边长总能组成三角形，求的取值范围.【答案】（ 1），；（2）；（3）.【分析】【剖析】（ 1）代入利用基本不等式即可得出；（ 2），若，即方程没有实根或没有正实根，由此可求的取值范围；（ 3）因为 b＞ a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得对 x＞ 0 恒建立，联合即可得出．【详解】（ 1）。

绝密★启用前上海市七宝中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设命题甲“1x =”,命题乙“21x =”，那么甲是乙的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件2．已知集合{,}P a b =,{|}Q M M P =⊆，则P 与Q 的关系为（ ） A.P Q ⊆B.Q P ⊆C.P Q ∈D.P Q ∉3．若实数a 、b 、c 满足a b c >>,则下列不等式正确的是（ ） A.a b c +>B.11a c b c<-- C.||||a c b c >D.222211ab a b c c <++ 4．已知a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，则下列命题为真命题的是（ ）A.若集合S 的元素个数为2，则集合T 的元素个数也一定为2B.若集合T 的元素个数为2，则集合S 的元素个数也一定为2C.若集合S 的元素个数为3，则集合T 的元素个数也一定为3D.若集合T 的元素个数为3，则集合S 的元素个数也一定为3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知集合{|2019}A x x =≤,{|}B x x a =>,且A B =R ,则实数a 的取值范围是_______ .6．若集合{1,3}M =-,2{3,21,2}N a a a =-++,若{3}M N =-I ,则实数a =_______ .7．命题：“若 不为零，则 都不为零”的逆否命题是 。

七宝中学高一期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 函数12sin(4)y x =-的最小正周期是2. 函数cos2y x =的对称轴方程是3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直 线3y x =上，则sin2θ=4. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β= 5. 函数2sin(2)3y x π=-的单调递减区间为6. 已知2sin 5x =-（32x ππ<<），则x = （用反正弦表示）7. 方程sin x x =的解是8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且224()S a b c =+-， 则cos C = 9. 若将函数()cos()8f x x πω=-（0ω>）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的 函数为偶函数，则ω的最小值是 10. 已知函数sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)()||22x x x x f x ππππ+-=+，对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立，则21||x x -的最小值为 11. 已知函数1sin()()20192019x xx f x π-=+（x ∈R ），下列命题：① 函数()f x 是奇函数；② 函数()f x 在区间[2,2]ππ-上共有13个零点； ③ 函数()f x 在区间(0,1)上单调递增； ④ 函数()f x 的图像是轴对称图形.其中真命题有 （填所有真命题的序号） 12. 已知k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足方程sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋅⋅⋅+︒=︒⋅︒⋅⋅⋅︒的k 有 个二. 选择题13. “[,]22x ππ∈-”是“sin(arcsin )x x =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件又非必要条件 14. 将函数sin()12y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位，得到点P '，若 P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A. 12t =，s 的最小值为6πB. t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为12πD. 2t =，s 的最小值为12π15. 若方程212cos sin 0x x a --+=有实数解，则实数a 的取值范围（ ） A. 9(,]8-∞ B. 9[2,]8- C. 9[0,]8 D. 9[1,]8- 16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ， OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ）A. ::a b cB. cos :cos :cos A B CC. sin :sin :sin A B CD. 111::a b c三. 解答题17. 已知7cos(23)25θπ-=，且θ是第四象限角； （1）求cos θ和sin θ的值；（2）求3cos()sin()22tan [cos()1]tan()cos()ππθθθπθπθθ--++---的值.18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2a b -=，4c =，sin 2sin A B =. （1）求△ABC 的面积S ；（2）求sin(2)A B -的值.19. 已知函数()2sin 2f x x x =-. （1）求()y f x =的最小正周期和对称中心；（2）将()f x 的图像向左移α（0α>）个单位得函数()y g x =的图像，若(0,)2πα∈，()y g x =的一条对称轴为12x π=，求()y g x =，[0,]2x π∈的值域.20. 如题所示：扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道PQ 、QR 、RP ，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，直线PQ 表示第三条街道.（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、QR 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元，200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）21. 给出集合{()|(2)(1)(),}M f x f x f x f x x =+=+-∈R . （1）若()sin3xg x π=，求证：函数()g x M ∈；（2）由（1）可知，()sin3xg x π=是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲：集合M 中的元素都是周期函数；命题乙：集合M 中的元素都是奇函数，请对此给 出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设P 为常数，且0P ≠，x ∈R ，求()sin h x px M =∈的充要条件并给出证明.参考答案一. 填空题 1.2π2. 2k x π=，k ∈Z3. 354. 33655. 511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z6. 2arcsin 3π+7. 7212x k ππ=+或13212x k ππ=+，k ∈Z 8. 0 9. 3210. 38 11.②④ 12. 11二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. B三. 解答题 17.（1）4cos 5θ=，3sin 5θ=-；（2）38.18.（1；（2）32.19.（1）T π=，(,0)122k ππ+，k ∈Z ；（2）[-.20.（1）2+；（2）1222万元.21.（1）略；（2）甲真命题，周期为6，乙假命题，如cos3xy π=；（3）略.。

七宝中学高一期中数学卷一、填空题1.已知集合{|2019}A x x =≤,{|}B x x a =>,且A B = R ,则实数a 的取值范围是_______.2.若集合{1,3}M =-,2{3,21,2}N a a a =-++,若{3}M N =-I ,则实数a =_______.3.命题：“若ab 不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

4.科技节期间，高一年级的某同学发明了一个魔术盒，当任意实数对(,)a b 进入其中时，会得到一个新的实数：21a b +-，如把(3,2)-放入其中，就会得到23(2)13⨯+--=，现将实数对(,3)m m -放入其中，得到实数9-，则m =________.5.设函数211()211x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩，若0()3f x =，则0x =________.6.已知函数()1f x x =+,()g x =，则()()f x g x ⋅=________.7.已知不等式|1|x m -<的解集中有且只有5个整数，则实数m 的取值范围是________.8.若关于x 的不等式224x x a -≤-在R 上的解集为∅,则实数a 的取值范围是________.9.已知函数()f x 的定义域为(1,1)-,则函数()()(2)2xg x f f x =+-的定义域为________.10.已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为.11.已知不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_______.12.对于集合M ，定义函数1()1M x Mf x x M ∈⎧=⎨-∉⎩，对于两个集合M 、N ，定义集合{|()()1}M N M N x f x f x *=⋅=-,用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数,若{1,2,4,8}A =,{2,4,6,8,10}B =,则能使()()Card X A Card X B *+*取最小值的集合X 的个数为________.二、选择题13.设命题甲“1x =”,命题乙“21x =”，那么甲是乙的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.已知集合{,}P a b =,{|}Q M M P =⊆，则P 与Q 的关系为（）A.P Q ⊆B.Q P⊆ C.P Q∈ D.P Q∉15.若实数a 、b 、c 满足a b c >>,则下列不等式正确的是（）A.a b c+> B.11a cb c<-- C.||||a cbc > D.222211ab a bc c <++16.已知a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，则下列命题为真命题的是（）A.若集合S 的元素个数为2，则集合T 的元素个数也一定为2B.若集合T 的元素个数为2，则集合S 的元素个数也一定为2C.若集合S 的元素个数为3，则集合T 的元素个数也一定为3D.若集合T 的元素个数为3，则集合S 的元素个数也一定为3三、解答题17.已知集合2{|0}3x A x x -=<-,函数的()f x =定义域为集合B ,且A B ⊆,求实数a 的取值范围.18.若实数x 、y 、m 满足||||x m y m -<-,则称x 比y 接近m .(1)若23x +比4接近1,求实数x 的取值集合M ；(2)若a 、b 均属于(1)中集合M ,求证：+a b 比1ab +接近0.19.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(020100kC x x k x =≥+，为常数).记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释(0)C 的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式；（2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？20.已知M 是满足下述条件的所有函数()f x 组成的集合：对于函数()f x 定义域内的任意两个自变量1x 、2x ,均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-成立.(1)已知定义域为R 的函数()f x kx b M =+∈,求实数k 、b 的取值范围；(2)设定义域为[1,1]-的函数2()g x ax x =+,且()g x M ∉,求正实数a 的取值范围；(3)已知函数()h x =的定义域为R ,求证：()h x M ∈.21.对于正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ,3n ≥）,如果去掉其中任意一个元素i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.(1)判断集合{1,2,3,4,5}是否为“和谐集”,并说明理由；(2)求证：集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”；(3)求证：若集合A 是“和谐集”,则集合A 中元素个数为奇数.七宝中学高一期中数学卷一、填空题1.已知集合{|2019}A x x =≤,{|}B x x a =>,且A B = R ,则实数a 的取值范围是_______.【答案】(,2019]-∞【分析】利用数轴,根据集合并集的定义,结合已知A B = R ,可以求出实数a 的取值范围.【详解】因为集合{|2019}A x x =≤,{|}B x x a =>,且A B = R ,所以2019a ≤,因此实数a 的取值范围是(,2019]-∞.故答案为：(,2019]-∞【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数问题,利用数轴、理解掌握集合并集的定义是解题的关键.2.若集合{1,3}M =-,2{3,21,2}N a a a =-++,若{3}M N =-I ,则实数a =_______.【答案】2-【分析】根据{3}M N =-I ,可以确定3N -∈,运用分类讨论方法进行求解,求解过程中要再计算一下M N ⋂.【详解】因为{3}M N =-I ,所以3N -∈.当33a -=-时,解得0a =,此时{3,1,2}N =-,因此{3,1}M N =- ,这与{3}M N =-I 不符,故0a =舍去；当213a +=-时,解得2a =-,此时{5,3,6}N =--,所以{3}M N =-I 符合题意；当223a +=-时,方程无实根,综上所述实数2a =-.故答案为：2-【点睛】本题考查了已知集合交集的结果求参数问题,分类讨论是解题的关键.3.命题：“若ab 不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。