14四川理第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--…，集合B 为整数集，则A B = ( ) A.{1,0,1,2}- B.{2,1,0,1}-- C.{0,1} D.{1,0}-【测量目标】集合的基本运算(交集),一元二次不等式.【考查方式】综合考查一元二次不等式的求解和交集运算. 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】由题意可知，集合{|12}A x x ＝－剟，其中的整数有－1，0，1，2，故A B ＝{－1，0，1，2}，故选A.2.在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为( )A.30B.20C.15D.10 【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查二项式定理的某项指数为定值时，此项的系数. 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】6(1)x x ＋的展开式中3x 项的系数与6(1)x ＋的展开式中2x 项的系数相同，故其系数为26C 15=.故选C.3.为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )A.向左平行移动12个单位长度 B.向右平行移动12个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D.向右平行移动1个单位长度【测量目标】函数图像的变换.【考查方式】考查为了达到目标函数的图像，需要将原图像所做的变换.. 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】因为1=sin(2+1)=sin22y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以为得到函数sin(21)y x ＝＋的图像，只需要将sin 2y x ＝的图像向左平行移动12个单位长度,故选A.4.若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A.a b c d > B.a b c d < C.a b d c > D.a b d c< 【测量目标】分式不等式.【考查方式】由已知不等关系判断分式不等式是否成立. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】因为0c d ＜＜，所以11<<0d c ，即11>>0d c --，与0a b ＞＞对应相乘得，>>0a bd c--，所以<a bd c.故选D. 5.执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y ∈R ，则输出的S 的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3第5题图 SCL01【测量目标】程序框图，判断语句，选择语句,线性规划. 【考查方式】当输入值不确定时，求最大的输出值. 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】题中程序输出的是在100x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩………的条件下2S x y ＝＋的最大值与1中较大的数.结合图像可得，当1x ＝，0y ＝时，2S x y ＝＋取得最大值2，2>1，故选C.6.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 【测量目标】排列组合.【考查方式】考查将特殊元素优先排列的排列组合思想. 【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】当甲在最左端时，有55A =120 (种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有114144A A A =424=96⨯ (种)排法，共计120＋96＝216(种)排法.故选B.7.平面向量a =(1,2)， b =(4,2), c ma b =+ (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b的夹角，则m =( )A.2-B.1-C.1D.2 【测量目标】向量的运算.【考查方式】通过中间参数夹角的公式将夹角联系在一起，解出未知数. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】c ma b =+ ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a c b ca cb c，即221(4)2(22)12m m ++++ 224(4)2(22)42m m +++=+ ，即8205+8=2m m +，解得m ＝2,故选D. 8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( ) A.3[,1]3 B.6[,1]3 C.622[,]33 D.22[,1]3第8题图SCL02【测量目标】直线与平面的夹角.【考查方式】考查分类讨论思想和三角函数. 【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】连接1A O ，OP 和1PA ，不难知1POA ∠就是直线OP 与平面1A BD 所成的角(或其补角)设正方体棱长为2，则1=6A O .(1)当P 点与C 点重合时，2PO =，123A P =，且66123c o s =3262α+-=-⨯⨯，此时1AOP α∠＝为钝角26sin = 1cos 3αα-=；(2)当P 点与1C 点重合时，16PO AO ==，122A P =，且6681cos =3266α+-=⨯⨯，此时1AOP α∠＝为锐角，222sin = 1cos 3αα-=；(3)在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中，1CC 上一定存在一点P ，使得190A OP α∠︒＝＝.又因为62233α<<，故sin α的取值范围是6,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B. 9.已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-.现有下列命题：①()()f x f x -=-； ②22()2()1xf f x x =+；③|()|2||f x x ….其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①② 【测量目标】函数的奇偶性，对数函数.【考查方式】考查判断函数可能具有的某些性质的方法. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】()=ln(1)ln(1+)=f x x x ---1ln =1x x -+[]1ln =ln(1)ln(1)=()1xx x f x x +--+----，故①正确；当x ∈(－1，1)时，221+x x ∈(－1，1)，且222222=ln 1+ln 11+1+1x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=222221121ln =ln 21211xx x x x x x x +++++--+ =211ln =2ln 11x x x x ++⎛⎫⎪--⎝⎭()2[ln(1)ln(1)]2x x f x ＝＋－－＝，故②正确；由①知，f (x )为奇函数，所以()f x 为偶函数，则只需判断当x ∈ [0，1)时，f (x )与2x 的大小关系即可.记g (x )＝f (x )－2x ，01x <…，即()ln(1)ln(1)2g x x x x ＝＋－－－，01x <…，22112()=+21+11x g x x x x '-=--，01x <….当0≤x ＜1时，()g x '≥0，即g (x )在[0，1)上为增函数，且g (0)＝0，所以g (x )≥0，即f (x )－2x ≥0，x ∈[0，1)，于是()2f x x …正确.综上可知，①②③都为真命题，故选A.10.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，则ABO △与AFO △面积之和的最小值是( )A.2B.3C.1728D.10 【测量目标】向量的运算，最小值问题.【考查方式】考察向量的数量积，点到直线距离等，围成图形的面积等. 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)，由2x ty my x =+⎧⎨=⎩⇒2y -ty -m =0，根据韦达定理有1y •2y =-m ，∵OA •OB =2，∴1x •2x +1y •2y =2，从而()212y y ⋅+1y •2y −2＝0，∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴1y •2y =-2，故m =2．不妨令点A 在x 轴上方，则1y ＞0，又F (14，0)， ∴ABO S +AFO S =12×2×(1y −2y )+12×14×1y =198y +12y ≥119228y y ⋅＝3．当且仅当198y =12y ， 即1y ＝43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，故选B. 第II 卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数22i1i-=+ .【测量目标】含有分式的复数基本运算.【考查方式】考查带有分式的复数的分母实数化. 【难易程度】容易. 【参考答案】-2i 【试题解析】原式=2(22i)(1i)(1i)2i (1i)(1i)--=-=-+-12.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩……，则3()2f = . 【测量目标】分段函数和周期函数.【考查方式】给出分段函数的表示形式和某些性质，求在某点的函数值. 【难易程度】容易. 【参考答案】1【试题解析】由已知得，2311()()4()2 1.222f f =-=--+=13.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67 ，30 ，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈ ，cos 670.39≈ ，sin 370.60≈ ，cos370.80≈ ，3 1.73≈)第13题图SCL03【测量目标】三角函数，正弦定理.【考查方式】考察对三角函数和正弦定理的应用以及利用公共边求解未知数. 【难易程度】容易. 【参考答案】60【试题解析】过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt ADB △中，ABD ∠＝67°，AD ＝46 m ，∴46AB==50sin670.92AD =(m)，在ABC △中，30ACB ∠︒＝，673037BAC ∠︒︒︒＝－＝，AB ＝50 m ，由正弦定理得，sin37==60sin30AB BC(m)，故河流的宽度BC 约为60 m.14.设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 .【测量目标】线段长度乘积的最值问题.【考查方式】考察了动直线的定点，两直线关系的判定以及均值不等式的应用. 【难易程度】中等. 【参考答案】5【试题解析】由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以22210PA PB AB ＋＝＝，∴22||+|||PA||PB|=52PA PB …，当且仅当|PA PB ＝|时等号成立.15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -.例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”；②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数2()ln(2)1xf x a x x =+++(2x >-，a ∈R )有最大值，则()f x B ∈.其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)【测量目标】充要条件，最值，定义域，复合函数，真假命题. 【考查方式】综合考查函数和简单逻辑用语. 【难易程度】中等. 【参考答案】①③④【试题解析】若()f x A ∈，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确.取函数f (x )＝x (－1<x <1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误.当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个0b ∈R ，一定存在一个0a ∈D ，使得f (0a )＝b －g (0a )，即f (0a )＋g (0a )∈ [-M ，M ]，故③正确.对于2()=ln(+2)++1xf x a x x (x >－2)，当a >0或a<0时，函数f (x )都没有最大值.要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时2()=+1xf x x (x ＞－2).易知f (x )∈11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确.三、解答题：本大题共6小题，共 75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数()sin(3)4f x x π=+.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，4()cos()cos 235f ααα=+π4，求cos sin αα-的值.【测量目标】正弦函数的性质，三角恒等变换.【考查方式】考查正弦型函数的性质，简单的三角恒等变换等基础知识，考察运算求解能力，考察分类与整合，化归与转化等数学思想. 【难易程度】中等.【试题解析】(1)由πππ2π32π242k x k -++剟⇒2ππ2ππ34312k k x -+剟,所以()f x 的单调递增区间为2ππ2ππ[,]34312k k -+(k ∈Z ).(2)由4π()cos()cos 2354f ααα=+⇒4πsin()cos()cos 2454αααπ+=+,因为πcos 2sin(2)sin[2()]24πααα=+=+ππ2sin()cos()44αα=++,所以2π8ππsin()cos ()sin()4544ααα+=++,又α是第二象限角，所以πsin()04α+=或2π5cos ()48α+=.①由πsin()04α+=⇒π3π2ππ2π44k k αα+=+⇒=+(k ∈Z ),所以33cos sin cos sin 244ππαα-=-=-;②由2π5π5cos ()cos()48422αα+=⇒+=-15(cos sin )222αα⇒-=-,所以5cos sin 2αα-=-;综上，cos sin 2αα-=-或5cos sin 2αα-=-. 17.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200-分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【测量目标】排列组合，古典概型，分布列，用期望分析问题. 【考查方式】考查排列组合，古典概型，分布列的综合运用. 【难易程度】中等.【试题解析】(1)X 可能取值有-200，10，20，100,0033111(200)C ()(1)228P X =-=-=，1123113(10)C ()(1)228P X ==-=，2213113(20)C ()(1)228P X ==-=，3303111(100)C ()(1)228P X ==-=,故分布列为: X-2001020100P1838 38 18 (2)由(1)知：每盘游戏出现音乐的概率是33178888p =++=,则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是00313775111C ()(1)88512p =--=.(3)由(1)知，每盘游戏获得的分数为X 的数学期望是133110()(200)102010088888E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=-分.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.18.三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示.设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥. (1)证明：P 为线段BC 的中点； (2)求二面角A NP M --的余弦值.第18题图SCL04【测量目标】三视图，二面角的余弦值，证明题.【考查方式】考查了几何体的三视图，由三视图求出几何体尺寸，建立立体坐标系求二面角. 【难易程度】中等. 【试题解析】(1)由三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A BCD -中：平面ABD ⊥平面CBD ，2AB AD BD CD CB =====,设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ,于是OA BD ⊥，OC BD ⊥ 所以BD ⊥平面OAC ⇒BD AC ⊥,因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//MN BD ，又MN NP ⊥，故BD NP ⊥,假设P 不是线段BC 的中点，则直线NP 与直线AC 是平面ABC 内相交直线,从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠= 矛盾,所以P 为线段BC 的中点.(2)以O为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3)A ，13(,0,)22M -，13(,0,)22N ，13(,,0)22P ,于是13(,0,)22AN =- ，33(0,,)22PN =- ，(1,0,0)MN = ,设平面ANP 和平面NPM 的法向量分别为111(,,)m x y z = 和222(,,)n x y z =,由00AN m PN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒11111302233022x z y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，设11z =，则(3,1,1)m = ,由00MN n PN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⇒222033022x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，设21z =，则(0,1,1)n = , 210cos ,5||||52m n m n m n ⋅===⋅⋅,所以二面角A NP M --的余弦值105. 19.设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上(*n ∈N ).(1)若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； (2)若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n na b 的前n 项和n T .【测量目标】等数数列，导函数的应用，复合数列前n 项和的求解. 【考查方式】数列和函数综合考查. 【难易程度】较难.【试题解析】(1)点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上，所以2n an b =，又等差数列{}n a 的公差为d ,所以1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+===,因为点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，所以87842a b b ==，所以8724d b b ==2d ⇒=,又12a =-，所以221(1)232n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-.(2)由()2()2ln 2x x f x f x '=⇒=,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为222(2ln 2)()a y b x a -=-,所以切线在x 轴上的截距为21ln 2a -，从而2112ln 2ln 2a -=-，故22a =,从而n a n =，2n nb =，2n n n a nb =,231232222n n n T =++++ ,2341112322222n n n T +=++++ ,所以23411111112222222n n n n T +=+++++- 111211222n n n n n +++=--=-,故222n n n T +=-. 20.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q . (i)证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； (ii)当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标. 【测量目标】椭圆的方程，椭圆和直线的关系，均值不等式.【考查方式】考查数形结合思想，几何条件和代数关系的相互转化，曲线和直线联立求解的方法，均值不等式的应用. 【难易程度】较难.【试题解析】(1)依条件2222226324c a a b b a b c =⎧⎧=⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-==⎩,所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=.(2)设(3,)T m -，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，又设PQ 中点为00(,)N x y .(i)因为(2,0)F -，所以直线PQ 的方程为：2x my =-,22222(3)420162x my m y my x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩,所以222122122168(3)24(1)04323m m m m y y m y y m ⎧⎪∆=++=+>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩,于是1202223y y m y m +==+， 20022262233m x my m m -=-=-=++,所以2262(,)33m N m m -++.因为3OT ON mk k =-=,所以O ，N ，T三点共线,即OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点).(ii)2||1TF m =+，22212224(1)||||113m PQ y y m m m +=-+=++, 所以222222||13||24(1)24(1)13TF m m PQ m m m m ++==++++，令21m x +=(1x …), 则2||2123()||32626TF x x PQ x x +==+…(当且仅当22x =时取“=”), 所以当||||TF PQ 最小时，22x =即1m =或1-，此时点T 的坐标为(3,1)-或(3,1)--.21.已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b ∈R ， 2.71828e = 为自然对数的底数. (1)设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； (2)若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围【测量目标】函数的导函数，极值，最值，函数的零点.【考查方式】考查函数的求导，单调区间的确定，分类讨论思想，数形结合思想的应用. 【难易程度】较难.【试题解析】(1)因为2()1xf x e ax bx =--- 所以()()2xg x f x e ax b '==-- 又()2xg x e a '=-,因为[0,1]x ∈，1xee 剟,所以：①若12a …，则21a …，()20xg x e a '=-…，所以函数()g x 在区间[0,1]上单增，min ()(0)1g x g b ==-;②若122ea <<，则12a e <<，于是当0ln(2)x a <<时()20x g x e a '=-<，当ln(2)1a x <<时()20x g x e a '=->，所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单减，在区间[ln(2),1]a 上单增，min ()[ln(2)]22ln(2)g x g a a a a b ==--;③若2ea …，则2a e …，()20x g x e a '=-…,所以函数()g x 在区间[0,1]上单减，min ()(1)2g x g e a b ==--;综上：()g x 在区间[0,1]上的最小值为min 11,,21()22ln(2),222,,2b a e g x a a a b a e e a b a ⎧-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--⎪⎩…….(2)由(1)0f =⇒10e a b ---=⇒1b e a =--，又(0)0f =,若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间,由(1)知当12a …或2ea …时，函数()g x 即()f x '在区间[0,1]上单调，不可能满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.若122ea <<，则min ()22ln(2)32ln(2)1g x a a ab a a a e =--=--+, 令3()ln 12h x x x x e =--+(1x e <<),则1()ln 2h x x '=-.由1()ln 02h x x x e '=->⇒<,所以()h x 在区间(1,)e 上单增，在区间(,)e e 上单减,max 3()()ln 1102h x h e e e e e e e ==--+=-+<即min ()0g x <恒成立,于是，函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔(0)20(1)10g e a g a =-+>⎧⎨=-+>⎩21a e a >-⎧⇒⎨<⎩,又122ea <<, 所以21e a -<<,综上，a 的取值范围为(2,1)e -.。
