6.2结构动力有限元法理论与模型
一、基本原理
在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。最后运用有限元数值方法进行方程的求解。
结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。
二、动态分析模型的确定
由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。
1.模型确定的基本原则
•分析模型应与分析的目的相适应。动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。显然，用于估算基本固
有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。
•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映
结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法
求解。应注意, 不一定模型愈精细精度就愈高。模型愈复杂，往往带来了更繁杂的运算。虽然模型误差小了，但
计算误差加大。不恰当的精细模型反而得到不佳的结果。
•模型应正确反映结构的实际特性。一个具体结构的动态特性，主要取决于质量、刚度的大小与分布，取决于结构边界条件与阻尼特性。因此，模型应尽量保持整个飞行器、甚至各部件的质量、质心位置不变，保证构造的刚度
特性和传力路线基本不变。真实反映分析对象的边界条件与阻尼特性。因此，选取的单元应保持其几何形状、受
力特性、变形特性与实际结构的几何形状特点、受力传力特点、变形特性相一致。例如，对于薄壁结构翼面或
舱段，不应选用板、壳单元来模拟蒙皮。
2.影响分析模型的主要因素
（1）刚度分布。飞行器属于三维物体，但根据动态行为特征对于具有互相正交的两个对称面的飞行器，有时可按二维处理；对于轴对称性强的导弹或发射器，当长细比很大时，往往可按一维模型处理。但是当具有明显的局部非对称性或当因内部装载而引起严重耦合现象时，则需考虑采用三维模型。刚度的具体模型可分为：
⑻ 刚体一一刚度视为无穷大，如舱体内部设备在进行全弹固有特性分析时可视为刚体；
（b）集中刚度模型一一例如运载器级间连接接头或发动机连接支座处、设备支承处等简化为集
中线弹簧或集中扭转弹簧（如图6-1所示）；
图6-1 刚度集中分布模型示意图
1 —板；
2 —集中质量；3—线弹簧；4—梁。
(c)分段连续模型（有限元模型）——对于刚度变化复杂，又不连续变化的复杂结构，常采用
分段连续体有限元模型（如图6-2所示）
图6-2 刚度分段连续模型示意图
1 —板；2—线弹簧。
(d)连续分布模型——例如有限元素法的单元可采用杆、梁、板、壳等连续体。
有限元模型实际上是上述各种典型刚度模型的复合。如多级运载器可简化为分段连续、各段间用集中刚度连接的复合模型（如图6-3所示）。
图6-3 动态分析模型示意图 （a ）集中参数模型；（b ）有限元模型。
1 —板；2—梁；3 —集中质量。
此外，舱体内部压力、轴向载荷、定轴旋转等，将在飞行器数学模型中引起附加修正刚度。
质量分布。 将质量人为集中到选定的结点上。质量矩阵是一个对角矩阵，其形式为
当质量均匀分布时，可将质量平均分配给各相关结点上。如果质量分布不均匀（如图6-4所示）， 较简便的方法是酌情规
定各结点所分担的区域，然后再把各区域质量分配给各结点。
集中质量模型
图6-4 集中质量分配模型
因为此种质量矩阵是一个对角线矩阵，便于一维存贮和进行对称分解。对于结构本身集中质量占相当优势的系统，或网格划分较细的系统可采用此模型。
(b) —致质量模型。此类单元质量矩阵为
a
式中「------- 质量密度；
匸——单元位移函数矩阵。
它之所以被称为一致质量矩阵是因为建立刚度矩阵和质量矩阵所用的位移插值函数是一致的。把所有单元质量矩阵叠加起来得到整个结构的总体质量矩阵。一致质量矩阵总是正定满秩的。
飞行器往往存在非结构质量。例如贮箱中液体晃动质量，对它无论是选用当量摆模型，还是采用弹簧质量系统，都要确定有效质量，一般以集中质量方式处理。
许多复杂结构常采用一致质量与集中质量的复合模型。例如，图6-5所示为“土星V'所采用的复合模型。
质量模型的选择通常要结合模型网格的疏密、单元的种类及结构特点，酌情决定。一般说来，单元划分较细、结构包含的集中质量(例如内部设备或配重块)多，则采用集中质量为宜。如果能用位移函数矩阵丁组成动态时单元的真实变形，则采用一致质量矩阵得到的固有频率与振型比较可靠，而且接近真实值的上界。与一致质量矩阵相比，集中质量矩阵的形成以及以后的运算都比较方便，存储量少，但给出的固有频率往往偏低，振型计算的误差较一致质量矩阵的大。总之，两种质量矩阵在计算精度上的优劣很难得出明确的结论。
(3) 边界条件。它包括全系统的边界条件和多级发射器级间的边界条件。由于振型、频率对于边界条件很敏感，因而必须正确模拟边界条件，才能准确求得实际飞行器的动力分析结果。自由、固支
