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材料力学8章组合变形

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材料力学 组合变形完整版

材料力学 组合变形完整版

x
（竖直xz面My） C
B
D
A
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
根据内力图分析
可能的危险截面：B和D
思考
如何通过计算确定危险截面的位置？
y
M
My
z
Mz
由于圆形截面的特殊性， 可将弯矩平行四边形合成
危险截面为B
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
4.确定危险点及应力状态
危险点的位置
y
y
M
My
z
Mz
M
z
T
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
危险点的应力状态
y
M
z
T


二向应力状态
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
5.根据强度理论进行强度校核 要求回顾如何根据材料选择强度理论
钢属于塑性材料，按第三或第四强度理论校核
第三强度理论校核： 1 3 []
第四强度理论校核：
材料力学
组合变形/扭转与弯曲的组合
2FL
FL
材料力学
3. 根据弯矩图确定可能的危险截面
竖直xy面：
FL
水平xz面：
2FL
FL
结论： 危险截面可 能是中点或 固定端。
材料力学
4. 通过叠加求危险截面的最大正应力
z
z
y
y
Mxy Mxz Wz Wy

Mxy 2 Mxz 2
材料力学
W
y
竖直xy面：
FL
Z
水平xz面：
2FL
σmax=|σ’+σmax| σmax≤[σ]
②扭转与弯曲组合

《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形

《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形

强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4

材料力学第八章组合变形

材料力学第八章组合变形

例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max

材料力学 第八章 组合变形

材料力学 第八章 组合变形

度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y

材料力学第8章 组合变形_OK

材料力学第8章 组合变形_OK
作用在横梁上的力有载荷F，拉杆的 拉力FB，支座C的反力FCx、FCy，将 B点的作用力分解为FBx、FBy。可以 将作用在BC梁上的力分为两组：F、
14
FBy、FCy使梁发生弯曲变形。FBx、F
第8章 组合变形
由静平衡方程可求得
FB 40kN FCx FBx FBcos30 34.6kN
略不计。将以上两项正应力叠加后
就得到横截面上任意点的总应力为
' " FN (x) M z (x) y
（8－1）
A
Iz
式中A为横截面面积，Iz为截面对z轴的惯性矩。叠加后的正
应力分布如图8－4(d)所示。
11
第8章梁组发合变生形弯曲变形时固定端处弯
矩最大，固定端处为弯曲的危险截
面；由于轴力是常量，每个横截面
M
Wz
32M
d 3
31.29MPa
30
第8章 组合变形 应力叠加后，最大拉应力发生在立柱的右侧，其值为
t max 32.51MP a t
最大压应力发生在立柱的左侧，其值为
c max 30.07MP a c
由此例可以看出，偏心拉压中的偏心距越大，弯曲 应力所占比例就越高。因此，要提高偏心拉压杆件的强度， 就应尽可能减小偏心距或尽量避免偏心受载。
第8章(4）组合强变形度计算。由型钢表查得N
o20a号工字钢横截面面积A=35.5cm2
=35.5×10-4m2，抗弯截面系数Wz=23
7cm3=237×10-6m3。危险截面J的上
边缘各点的应力为 σcmax
FN A
M max W
3354.5.6110034
28103 237106
9.75118.14127.9MPa[σ]

《材料力学》第八章组合变形

《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。

材料力学第8章组合变形

材料力学第8章组合变形

MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W

材料力学第八章组合变形及连接部分的计算

材料力学第八章组合变形及连接部分的计算
t . max
Mz 0 FN Iy A
F
350
M
FN
425 10 3 F 0.075 F 5.3110 5 15 10 3 667 F Pa F Mz c. max 1 N Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
50 150
425F 103 N.m
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm I y 5.31107 mm4
y1
z0
y
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 FN F 50 M 425103 F N.m （3）立柱横截面的最大应力
az
中性轴
z0 0 y0 0
i z2 a y yo ey 2 iy a z zo ez
截面核心
y
中性轴
F (e y , e z )
z
求直径为D的圆截面的截面核心.
d a y1 2
i z2 ay ey
a z1
az
2 iy
2 4 d d 64 2 iy i z2 2 A d 4 16
F
1， 首先将斜弯曲分解 为两个平面弯曲的叠加
Fy F cos

L2
L2
Z y
My Wy
Fz F sin
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Z y
Wz 70.758cm 3
Mz
Fy L 4
Fz L My 4
查表： W y 692.2cm 3

材料力学第八章-组合变形

材料力学第八章-组合变形

12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算

材料力学-8组合变形

材料力学-8组合变形

C2
C1
对于许用拉、压应力相等的材
C3
料，可取任意点C1 来研究。
C2
A截面
C3 C4
C1
T C4
C2
C1 点处于平面应力状态
26
三、强度分析
1、主应力计算
1 ( )2 2 1 2 4 2
3 2
2
22
2 0
2、相当应力计算
1 、拉伸正应力 ' FN
A
2、弯曲正应力 '' M y
Iz
' '' FN M y
A Iz
( z,y)
M
z
0
x
FN
y
z
z 单向应力状态
9
强度条件
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态， 故其强度条件为
max [ ] （拉压等强度材料）
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时， 应分别建立杆件的抗拉、 抗压强度条件。
一、受力特点 作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力，还有横向 力
二、变形特点 杆件将发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲组合变形
7
内力分析
横截面上内力 1、拉(压) ：轴力 FN
弯矩 M
2、弯曲 剪力
M
z
0
x
FN
y
因为剪力引起的剪应力较小，故一般不考虑。
8
应力分析
横截面上任意一点 ( z, y) 处的 正应力计算公式为
t max [ t ]
cmax [ c ]
10
例1 桁架结构如图所示。横梁用20a工字钢制成。 其抗弯截面模量 Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2，总荷载F= 34kN，横梁材料的许用应

材料力学第8章 组合变形

材料力学第8章 组合变形

b.未通过轴线或形心主惯性轴，向其分解
注意：荷载分解、简化的前提是不改变研究段的内力。
（2）内力分析方法
用截面法计算任意截面的内力，通过内力确定变形的组成
z
Fsz My
Ty
Fsy
M z FN
FN
T
x M z , Fsy M y , Fsz
轴向拉、压 扭转 x,y面内的平面弯曲 x,z面内的平面弯曲
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
F sin
F cos F
（2）求B点的应力
MB FN
WA
12.32103 25103
0.1 0.22
0.1 0.2
6
B
17.23 MPa
（3）求B点30º斜截面上的正应力
300 cos2 30 17.23 cos2 30 12.99 MPa
（4）求B点的主应力
1 0 2 0 3 17.23 MPa
z
面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称 轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上
Mz
的最大正应力发生在截面的棱角处。于是
，可根据梁的变形情况，直接确定截面上
My
最大拉、压应力点的位置，而无需定出其
y
中性轴。
因危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力的影响）， 故，强度条件为：
max
M y max Wy
F sin
12.32kN m
F cos F
例： 如图示一矩形截面折杆，已知F＝50kN，尺寸如图所示， α＝30°。（1）求B点横截面上的应力；（2）求B点α＝30°截
面上的正应力；（3）求B点的主应力σ1、 σ2、 σ3。
FN
B
MB 100mm

材料力学-第八章组合变形

材料力学-第八章组合变形

M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z

M
y sin
z

cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A


F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My

Fa 2
FN
2
max


FN A

My Wy




F 2a2

Fa / 2 2a2 a2 /
6


2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
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4Fa
r 3
F
r 2
(1
4a r
)
t
4Fa
r 3
F
r 2
F
r 2
(
4a r
1)
a
r 4
时截面无拉应力。
第17页/共40页
FM z
y
a
截面核心：当载荷作用在某封闭区域内则 整个截面内只有压应力，此封闭区域称为 截面核心。
r b
r 4
第18页/共40页
h 6
b 6
h
F
求图示结构的最大应力
FN M
2) 对称弯曲：截面有一个纵向对称面，载荷 作用在此对称面内。 对称弯曲一定是平面弯曲，而平面弯曲能 保证弯曲应力公式成立。
3) 无纵向对称面，载荷沿主惯轴依然是平面 弯曲。
第7页/共40页
求：max及自由端形心位移。
A
危险截面：根部。
Mz=Flcos My=Flsin
B
危险点：A、B
max
My Wy
M(kNm) FN(kN)
MC=12(kNm)
12
按弯曲选工字钢：
40
W
MC
[ ]
120cm3
选16号工字钢： W 141cm3 , A 26.131cm2
校核：
max
M W
Fx A
100.5MPa
第13页/共40页
合格
作业 8－1
❖ 8.3 用16号槽钢，求许可载荷。 ❖ 8.7 F1作用在C点正上方，（不求
(2) 拉切应力状态：
(3) 圆轴弯扭组合变形
1 W
M2 T2 1 W
M
2 y
M
2 z
T2
[ ]
第22页/共40页
y
F1 已知：d=20mm，F1=0.4kN，
150
120 x F2=0.5kN，[]=150MPa。校核
z
F2
解：危险截面：根部。
T=F10.15=60N·m My=F20.12=60N·m
a/4
e=a/8
FN=-F M=aF/8
a
危险点:
F a 3a
aF / 8 1 a(3a)2
4F 3a 2
4F 3a 2
8F 3a 2
464
F
对称开槽:
F aa/2
2F a2
1max
F a2
2 max
F 3a2
Fa / 4 a (3a)2
4F 3a 2
2 62
第19页/共40页
§9.4 扭转与弯曲的组合
2）组合变形解法： • 将外载荷向轴线简化 • 组合变形分解为多个基本变形 • 分别计算基本变形的各个量 • 对应的量进行叠加
3）叠加原理成立的条件：方程为线性。
• 小变形、材料服从胡克定律 • 位移、应力、应变和内力与外力成 线性
关系
第6页/共40页
弯曲补充
1) 平面弯曲：轴线在载荷作用平面弯曲成一 平面曲线。
8.27
M/kNm
1.73
危险截面：根部。
危险点：下边 Wz 7.75 105 m3 A 1.81103 m2
max
FN A
M Wz
111.5MPa
第12页/共40页
安全
800
例1：已知F=8kN，[σ]=100MPa
Fx 2500
试选择工字钢型号。
Fy C
2.5Fy=4F
Fy =12.8(kN) 1500 F Fx =Fy 25/8=40(kN)
1）弯扭组合的危险点及强度条件
T
AFS DCM
危险点：A、B
B
短梁C点：
A
B
C
T 4FS
Wt 3A
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B点：
1 3
2
( )2 2
2
2 0 σ
r3 1 3 2 4 2
Bσ
r4
1 2
( 1
2 )2
( 2
3 )2
(
3
1 )2
2 3 2
对于圆轴考虑到：
d 2
第15页/共40页
§9.3 偏心压缩和截面核心
1）偏心压缩的概念：
F
轴向力的作用线不与轴 线重合。 2）轴向力向截面形心简化， 得到FN和M。 3）用叠加法求最大应力。
第16页/共40页
已知圆柱半径为r 求最大应力及中性 轴位置
FN=-F， M=Fa
A r 2
I 1r 4
4
c
max
F
r 2
§8.1 组合变形和叠加原理
1）基本变形和组合变形
基本变形：拉压、（剪切）、扭转、弯曲
组合变形：两种或两种以上基本变形组合
主要组合变形： 非对称弯曲
拉弯（偏心拉压）
拉扭
弯扭
拉弯扭
第1页/共40页
拉弯（偏心拉压）
F F F
F
第2页/共40页
压弯
第3页/共40页
弯扭
第4页/共40页
拉弯扭
第5页/共40页
96Fa
d 3
M Mz
M
2 y
M
2 z
5Fa
M W
d
5Fa 3 / 32
B
第10页/共40页
§9.2 拉伸或压缩与弯曲的组合
解法：
❖ 将外力向形心简化，计算 FN 和 M，
❖ 判定危险截面： FN 和 M 较大或截面 F
较小，必要时作 FN、M 图，
F
❖ 计算最大应力：分析 FN 和 M 引起的 应力分布，判断危险点，计算σmax，
r3
1 W
M2 T2
M W
r4
1 W
T T
W p 2W M 2 0.75T 2
第21页/共40页
说明在什么情况下可应用下列强度条件进行强
度计算，并指出各项符号的含义。(1) 1 3 [ ] (2) 2 4 2 [ ] ；(3) 1 M 2 T 2 [ ]
W
解：(1) 第三强度理论
Mz Wz
F
F
Fl sin Fl cos 6Fl sin cos
1 hb2 1 bh2 bh b
h
6
6
Mz
wy
Fyl 3 3EI z
F cosl 3
3EI z
wz
Fzl 3 3EI y
F sinl 3
3EI y
＋ My＋ －
方位角:
arctan wz wy
arctan
Iz Iy
tan
－
第8页/共40页
az a F
A FB y
My
Mz
x C
x x
I II h
危险截面：A
My=Fa
Mz=2Fa
危险点：I、III
＝bhM2
z
/
6
M hb2
y
/
6
6Fa b2h2(2b来自h)IV b III
第9页/共40页
az a F
x F y
危险截面：根部 My=Fa Mz=2Fa
A My
M
＝dM3 /z32
My
d 3 / 32
❖ 应用强度理论。
第11页/共40页
已知载荷F＝10kN，l＝2m， 载荷作用点与梁轴的距离 e=l/10，方位角 30，许 用应力[]＝160MPa。12.6 工字钢 ，试校核强度。
Fy
F
FN
Fy FN
FN=Fcos30o Fy=Fsin30
o
M0=Fecos30o
My=Fxsin30o- Fecos30o
中性轴）
第14页/共40页
求：危险点应力
FRC
A
C
F
5Fd
10d
F 5d
5d
FS
3F/4
M 2.5Fd
wc
FRC (10d )3 3EI
M (10d )2 2EI
0
FRC
3M 20d
3 4
F
FRA
3 4
F
5Fd
MA
3 4
F
10d
5Fd
2.5Fd
危险点：C
＝dF2
/
4
5Fd
d 3 / 32
164F