江苏省新海高级中学、昆山中学、梁丰高级中学三校2020届高三五月高考联考数学试题(PDF含解析)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合A＝{﹣2，0，1，2}，B＝{x|x﹣l＜0}，则A∩B＝．2．设z＝3+2i，i为虚数单位，则z2＝．3．为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从4名（含甲、乙两人）随机选2名，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为．6．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为π，且它的图象过点（−π12，−√2），则φ的值为．7．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是双曲线x22p −y2p=1的一个焦点，则p＝．8．已知α为锐角，若2sin2α=sin(π2+2α)+1，则cosα＝．9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2m﹣1＝2019，a m＝3，其中m∈N*，则m＝．10．已知正实数x，y满足2x•4y＝（2x）y，则x+y的最小值为．11．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，其棱长为1，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的表面积为．12．由圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0外一点P （4，6）引直线l 交圆C 于A 、B 两点，则线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值为 ．13．△ABC 中，BC ＝2，点O ，G 分别为△ABC 的外心、重心，若AO →⋅AG →=AB →⋅AC →，则△ABC 面积的最大值为 ．14．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)={√1−x 2，0≤x ≤1lnx x +12，x ＞1，若关于x的方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知向量m →=（cos B ，cos C ），n →=（4a ﹣b ，c ），且m →∥n →． （1）求cos C 的值；（2）若c =√3，△ABC 的面积S =√154，求a ，b 的值．16．（14分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1=√2AB ，D 是AB 的中点 （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）若点P 在线段BB 1上，且BP =14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD ．17．（14分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB＝90°），如图1所示，其中AE+EB＝30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．（16分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√22，点(1，√62)在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．①求证：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．19．（16分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知函数f（x）有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2）①比较f（x1）+f（x2）与f（2）的大小；②若函数g（x）＝|f（x）|﹣|f（x1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．20．（16分）数列{a n}的数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，若数列{a n}满足：对任意正整数n，k，当n＞k时，S n+k+S n﹣k＝2（S n+S k）总成立，则称数列{a n}是“D（k）数列”（1）若{a n }是公比为2的等比数列，试判断{a n }是否为“D （2）”为数列？ （2）若{a n }是公差为d 的等差数列，且是“D （3）数列”，求实数d 的值； （3）若数列{a n }既是“D （2）”，又是“D （3）”，求证：数列{a n }为等差数列． 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A =[33c d ]，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1→=[11]，属于特征值1的一个特征向量为α2→=[3−2]，求矩阵 A ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin （π3−θ）=√32，椭圆C 的参数方程为{x =2cost y =√3sint （t 为参数）．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a +b +c ＝1，证明：（a +1）2+（b +1）2+(c +1)2≥163．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB =√2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ． （1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角A ﹣DF ﹣B 的大小．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，点p （x 0，y 0）在曲线y ＝x 2（x ＞0）上．已知A （0，﹣1），P n （x 0n ，y 0n ），n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ． （1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{﹣2，0，1，2}，B ＝{x |x ﹣l ＜0}，则A ∩B ＝ {﹣2，0} ． 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【解答】解：∵集合A ＝{﹣2，0，1，2}， B ＝{x |x ﹣l ＜0}＝{x |x ＜1}， ∴A ∩B ＝{﹣2，0}． 故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设z ＝3+2i ，i 为虚数单位，则z 2＝ 5+12i ． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：z 2＝9﹣4+12i ＝5+12i ． 故答案为：5+12i ．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从4名（含甲、乙两人）随机选2名，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是56．【分析】基本事件总数n =C 42=6，甲、乙两人中，至少有一人被选中包含的基本事件个数m =C 21C 21+C 22=5，由此能求出甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率．【解答】解：从4名（含甲、乙两人）随机选2名，基本事件总数n =C 42=6，甲、乙两人中，至少有一人被选中包含的基本事件个数：m =C 21C 21+C 22=5，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率p =m n =56． 故答案为：56．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．运行如图所示的伪代码，其结果为 17 ．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+1+3+5+7的值，所以S＝1+1+3+5+7＝17．故答案为：17．【点评】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出循环得到的S，I的值是解题的关键，是基础题目．5．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为91.4．【分析】根据计分规则去掉一个最高分和一个最低分，计算余下5个数字的平均数．【解答】解：去掉一个最高分94和一个最低分86后，则该作品的平均分为：89+92+93+91+925=91.4．故答案是：91.4．【点评】本题主要考查了茎叶图以及平均数的计算问题，是基础题．6．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为π，且它的图象过点（−π12，−√2），则φ的值为−π12．【分析】根据最小正周期为π，利用周期公式即可求出ω的值，利用图象经过点（−π12，−√2），结合其范围即可求出φ的值．【解答】解：依题意可得：2πω=π，解得：ω＝2，…（2分）又图象过点（−π12，−√2）， 故2sin[2×（−π12）+φ]=−√2，解得：sin （φ−π6）=−√22，…（3分） 因为|φ|＜π2， 所以φ=−π12．… 故答案为：−π12． 【点评】本题主要考查了由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数周期公式的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题． 7．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 22p−y 2p=1的一个焦点，则p ＝ 12 ．【分析】利用抛物线与双曲线的焦点相同，列出关系式，求解即可． 【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 22p−y 2p=1的一个焦点，可得p2=√2p +p ，解得p ＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题． 8．已知α为锐角，若2sin2α=sin(π2+2α)+1，则cos α＝2√55．【分析】利用二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合α为锐角，即可求解cos α的值．【解答】解：∵2sin2α=sin(π2+2α)+1， ∴4sin αcos α＝cos2α+1＝2cos 2α， ∵α为锐角，cos α＞0， ∴2sin α＝cos α，可得tan α=12， ∴cos α=√11+tan 2α=√11+14=2√55． 故答案为：2√55． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2m ﹣1＝2019，a m ＝3，其中m ∈N *，则m ＝ 337 ． 【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出． 【解答】解：S 2m ﹣1＝2019＝（2m ﹣1）a m ，∴2m ﹣1=20193=673， 解得m ＝337． 故答案为：337．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知正实数x ，y 满足2x •4y ＝（2x ）y ，则x +y 的最小值为 3+2√2 ． 【分析】由题意得x +2y ＝xy ，则2x +1y=1，再利用“1”的代换即可得出．【解答】解：∵2x •4y ＝（2x ）y ， ∴x +2y ＝xy ， ∴2x +1y=1，∴x +y =(x +y)(2x +1y )=2+1+2yx +xy ≥3+2√2， 当且仅当2y x=xy即x =2+√2，y =√2+1时等号成立，故答案为：3+2√2．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查“1”的代换，属于基础题．11．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，其棱长为1，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的表面积为 18+12√2 ．【分析】由图可知：在Rt △ABC 中，AB ＝AC =√22．可得正方体的棱长a ＝AD ＝1+2×AC ，即可得出结论．【解答】解：由图可知：在Rt △ABC 中，AB ＝AC =√22． 正方体的棱长a ＝AD ＝1+2×√22=1+√2．∴此正方体的表面积＝6×(1+√2)2=18+12√2． 故答案为：18+12√2．【点评】本题考查了正方体的性质及其表面积、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．由圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0外一点P （4，6）引直线l 交圆C 于A 、B 两点，则线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值为32．【分析】设M （x ，y ），求出圆心C 的坐标，利用MP →⋅CM →=0，即可得到点M 的轨迹方程；然后求解线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0，圆C 的方程可化为：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4， 所以圆心C （1，2），半径为2，设M （x ，y ），则CM →=（x ﹣1，y ﹣2），MP →=（4﹣x ，6﹣y ）， 则由条件知，MP →⋅CM →=0，故（x ﹣1）（4﹣x ）+（y ﹣2）（6﹣y ）＝0， 即（x −52）2+（y ﹣4）2=254． 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是（x −52）2+（y ﹣4）2=254；线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值为：32．故答案为：32．【点评】本题主要考查了动点轨迹，以及直线与圆的位置关系，是中档题．13．△ABC 中，BC ＝2，点O ，G 分别为△ABC 的外心、重心，若AO →⋅AG →=AB →⋅AC →，则△ABC 面积的最大值为 √2 ．【分析】根据重心和外心满足的几何性质，将AO →⋅AG →=AB →⋅AC →进行转化，找到点A 满足的等量关系，然后求三角形ABC 的面积的最值．【解答】解：因为O ，G 是三角形ABC 的外心和重心，设M 为BC 的中点，∴MB →=−MC →． ∴AO →⋅AC →=12AC →2，AO →⋅AB →=12AB →2.AG →=23AM →=23×12(AB →+AC →)． ∴AO →⋅AG →=AO →⋅13(AB →+AC →)=13AO →⋅AB →+13AO →⋅AC →=16AB →2+16AC →2=AB →⋅AC →①，∵16(AB →2+AC →2)=16(AB →+AC →)2−13AB →⋅AC →=23AM →2−13AB →⋅AC →，将上式代入①式得AM →2=2AB →⋅AC →=2(MB →−MA →)⋅(MC →−MA →)=−2(MB →2−MA →2)， ∴MA →2=2MB →2=2，所以，A 点在以BC 的中点M 为圆心，半径为√2的圆上． 故当AM ⊥BC 时，△ABC 面积的最大为12×BC ×√2=12×2×√2=√2．故答案为：√2．【点评】本题考查平面向量的运算及应用，利用化归思想将题目中涉及到的向量转化为基底向量来表示，是本题的关键．同时考查学生利用转化思想来解题的能力和运算能力．有一定难度．14．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)={√1−x 2，0≤x ≤1lnx x +12，x ＞1，若关于x的方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 （1e+16，23）∪{1e+56} ．【分析】利用导数结合函数f （x ）的奇偶性，画出函数f （x ）在R 上的大致图象，解方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0得：f （x ）＝a +13 或f （x ）＝a −13，根据函数f （x ）的图象可知有3种情况，分别求出a 的取值范围，再取并集即可． 【解答】解：当0≤x ≤1时，f （x ）=√1−x 2，单调递减； 当x ＞1时，f （x ）=lnx x +12，则f '（x ）=1−lnx x 2， 令f '（x ）＝0得，x ＝e ，所以当x ∈（1，e ）时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 又f （e ）=1e +12＜1，且f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以函数f （x ）的大致图象，如图所示： 解方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0得 ：f （x ）＝a +13 或f （x ）＝a −13，因为关于x 的方程f 2(x)−2af(x)+a 2−19=0 有4个不同的实数根，根据函数f （x ）的图象可知有3种情况：{1e +12＜a +13＜10≤a −13≤12或{a +13＞1a −13=1e +12或{a +13=1e +12a −13＜0， 解得：1e +16＜a ＜23或a =1e +56，故答案为：（1e+16，23）∪{1e+56}．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及利用导数研究函数的单调性，考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m→=（cos B，cos C），n→=（4a﹣b，c），且m→∥n→．（1）求cos C的值；（2）若c=√3，△ABC的面积S=√154，求a，b的值．【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sin C cos B＝（4sin A﹣sin B）cos C，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sin A＝4sin A cos C，结合sin A＞0，即可解得cos C的值．（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用三角形面积公式S= 12absinC=√154可解得ab＝2，结合余弦定理可求a2+b2＝4，从而解得a，b的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵m∥n，∴c cos B＝（4a﹣b）cos C，…（2分）由正弦定理，得sin C cos B＝（4sin A﹣sin B）cos C，化简，得sin（B+C）＝4sin A cos C﹒…（4分）∵A+B+C＝π，∴sin A＝sin（B+C）﹒又∵A∈（0，π），∵sin A＞0，∴cosC=14．…（6分）（2）∵C∈（0，π），cosC=1 4，∴sinC=√1−cos2C=√1−116=√154．∵S=12absinC=√154，∴ab＝2﹒①…（9分）∵c=√3，由余弦定理得3=a2+b2−12 ab，∴a2+b2＝4，②…（12分）由①②，得a4﹣4a2+4＝0，从而a2＝2，a=±√2（舍负），∴b=√2，∴a=b=√2．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的应用，三角函数和的变换的应用，考查了化归和转化思想，属于中档题．16．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，AA1=√2AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=14BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB 的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）法一：设AB ＝x ，则证明△ABP ∽△ADA 1，可得AP ⊥A 1D ，又由线面垂直的性质可得CD ⊥AP ，从而可证AP ⊥平面A 1CD ；法二：由题意，取A 1B 1 的中点O ，连接OC 1，OD ，分别以OC 1，OA 1，OD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设OA 1＝a ，OC 1＝b ，由题意可得各点坐标，可求A 1C →=（b ，﹣a ，2√2a ），A 1D →=（0．﹣a ，2√2a ），AP →=（0，﹣2a ，−√2a2），由AP →•A 1C →=0，AP →•A 1D →=0，即可证明AP ⊥平面A 1CD ．【解答】证明：（1）如图，连接AC 1，设与CA 1 交于O 点，连接OD ∴直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，O 为AC 1 的中点， ∵D 是AB 的中点， ∴△ABC 1中，OD ∥BC 1， 又∵OD ⊂平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD ．（2）法一：由题意，设AB ＝x ，则BP =√24x ，AD =12x ，A 1A =√2x ，由于BPAD=AB AA 1=√22， ∴△ABP ∽△ADA 1，可得∠BAP ＝∠AA 1D ， ∵∠DA 1A +∠ADA 1＝90°，可得：AP ⊥A 1D ， 又∵CD ⊥AB ，CD ⊥BB 1，可得CD ⊥平面ABA 1B 1， ∴CD ⊥AP ， ∴AP ⊥平面A 1CD ．法二：由题意，取A 1B 1 的中点O ，连接OC 1，OD ，分别以OC 1， OA 1，OD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设OA 1＝a ，OC 1＝b ， 则：由题意可得各点坐标为：A 1（0，a ，0），C （b ，0，2√2a ）， D （0，0，2√2a ），P （0，﹣a ，3√2a2），A （0，a ，2√2a ）， 可得：A 1C →=（b ，﹣a ，2√2a ），A 1D →=（0．﹣a ，2√2a ）， AP →=（0，﹣2a ，−√2a2），所以：由AP →•A 1C →=0，可得：AP ⊥A 1C ，由AP →•A 1D →=0， 可得：AP ⊥A 1D ，又：A1C∩A1D＝A1，所以：AP⊥平面A1CD【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．17．（14分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB＝90°），如图1所示，其中AE+EB＝30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S 2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S 1，S 2， 方案①，设AE ＝x ，则S 1=12x （30﹣x ）≤12[x+(30−x)2]2=2252，当且仅当x ＝15时，取等号，方案②，设∠BAE ＝θ，则S 2＝100sin θ（1+cos θ），θ∈（0，π2），由S 2′＝100（2cos 2θ+cos θ﹣1）＝0得cos θ=12（cos θ＝﹣1舍去）， ∵θ∈（0，π2），∴θ=π3，当S 2′＞0，解得0＜x ＜π3，函数单调递增， 当S 2′＜0，解得π3＜x ＜π2，函数单调递减，∴当θ=π3时，（S 2）max ＝75√3， ∵2252＜75√3，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE =π3．【点评】本题考查了基本不等式和导数的基本应用，关键是求导，属于中档题．18．（16分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，点(1，√62)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． ①求证：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点在椭圆上，满足椭圆方程，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）①设直线PQ 的斜率为k ，则其方程设为y ＝kx （k ＞0），联立椭圆方程，求得P ，Q ，E 的坐标，求得直线QG 的方程，联立椭圆方程可得G 的坐标，进而得到PG 的斜率，结合两直线垂直的条件即可得证；②由①可得|PQ |，|PG |，由三角形的面积公式和换元法、对勾函数的单调性，计算可得所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得e =c a =√22，1a +32b=1， 又a 2﹣b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝c =√2，则椭圆的方程为x 24+y 22=1；（2）①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程设为y ＝kx （k ＞0），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4， 可得x ＝±√1+2k 2，记u =2√1+2k ，则P （u ，uk ），Q （﹣u ，﹣uk ），E （u ，0），于是直线QG 的斜率为12k ，方程为y =k2（x ﹣u ），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+k 2）x 2﹣2uk 2x +k 2u 2﹣8＝0，①， 设G （x 0，y 0），则﹣u 和x 0是方程①的解，故x 0=u(2+3k 2)2+k2，由此可得y 0=uk22+k2，从而PG 的斜率为uk 22+k 2−uk u(2+3k 2)2+k 2−u =−1k，所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．②由①可得|PQ |＝2u √1+k 2，|PG |=2uk √1+k 22+k2，所以△PQG 的面积为S =12|PQ |•|PG |=8k(1+k 2)(1+2k 2)(2+k 2)=8(k+1k)1+2(k+1k)2， 设t ＝k +1k ，由k ＞0，可得t ≥2，当且仅当k ＝1时取得等号． 由S =8t 1+2t 2=82t+1t在[2，+∞）递减，可得t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，且为169，因此△PQG 的面积的最大值为169．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查两直线垂直的条件和三角形的面积公式，以及对勾函数的单调性的运用，考查化简运算能力，属于中档题．19．（16分）设函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+ax （a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2） ①比较f （x 1）+f （x 2）与f （2）的大小；②若函数g （x ）＝|f （x ）|﹣|f （x 1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．【分析】（1）f ′（x ）＝3x 2﹣6x +a ＝3（x ﹣1）2+a ﹣3．对a 分类讨论即可得出单调性．（2）因为函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），由（1）可得：a ＜3．a ＝﹣3x 12+6x 1，a ＝﹣3x 22+6x 2．且x 1＝1−√3−a 3，x 2＝1+√3−a 3．x 1+x 2＝2，x 1x 2=13a ，可得0＜x 2＜2.0＜a ＜3．①函数f （x ）在[0，x 1]，[x 2，2]上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减．可得f （x 1）＞f （0）＝0，f （x 2）＜f （2）＝2a ﹣4．由f （x 1）+f （x 2）＝（x 1+x 2）[(x 1+x 2)2−3x 1x 2]﹣3[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+a （x 1+x 2），代入即可得出．大小关系．②函数g （x ）＝|f （x ）|﹣|f （x 1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点，可得y ＝|f （x ）|在区间[0，2]上只有唯一的最大值|f （x 1）|＝f （x 1）．故由{f(x 2)≥0f(x 1)＞f(2)，（由①知不成立，舍去）．或{f(x 2)＜0f(x 1)＞f(2)f(x 1)＞−f(x 2)，即{f(x 2)＜02a −4＞0．即可得出．【解答】解：（1）f ′（x ）＝3x 2﹣6x +a ＝3（x ﹣1）2+a ﹣3． a ≥3时，f ′（x ）≥0，∴函数f （x ）的单调增区间为R ，无减区间． a ＜3时，令f ′（x ）＞0，解得x ＜1−√3−a3，或x ＞1+√3−a3． ∴函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，1−√3−a 3），（1+√3−a3，+∞）；函数f （x ）的单调减区间为（1−√3−a3，1+√3−a3）．综上可得：a ≥3时，函数f （x ）的单调增区间为R ，无减区间．a ＜3时，函数f （x ）的单调增区间为（﹣∞，1−√3−a3），（1+√3−a3，+∞）；函数f （x ）的单调减区间为（1−√3−a 3，1+√3−a3）． （2）因为函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），由（1）可得：a ＜3．a ＝﹣3x 12+6x 1，a ＝﹣3x 22+6x 2．且x 1＝1−√3−a 3，x 2＝1+√3−a 3．x 1+x 2＝2，x 1x 2=13a ，可得0＜x 2＜2．∴0＜a ＜3．①∵函数f （x ）在[0，x 1]，[x 2，2]上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减．∴f （x 1）＞f （0）＝0，f （x 2）＜f （2）＝2a ﹣4．由f （x 1）+f （x 2）=x 13−3x 12+ax 1+x 23−3x 22+ax 2＝（x 1+x 2）[(x 1+x 2)2−3x 1x 2]﹣3[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+a （x 1+x 2）＝2（4﹣3a ）﹣3（4﹣2a ）+2a ＝2a ﹣4＝f （2） ．即f （x 1）+f （x 2）＝f （2）．②函数g （x ）＝|f （x ）|﹣|f （x 1）|在区间[0，2]上有且只有一个零点， ∴y ＝|f （x ）|在区间[0，2]上只有唯一的最大值|f （x 1）|＝f （x 1）．故由{f(x 2)≥0f(x 1)＞f(2)，（由①知不成立，舍去）．或{f(x 2)＜0f(x 1)＞f(2)f(x 1)＞−f(x 2)，即{f(x 2)＜02a −4＞0．由f （x 2）＝﹣2x 23+3x 22＜0，解得32＜x 2＜2，代入a ＝﹣3x 22+6x 2．得0＜a ＜94．由2a ﹣4＞0，解得a ＞2．∴2＜a ＜94．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）数列{a n }的数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，若数列{a n }满足：对任意正整数n ，k ，当n ＞k 时，S n +k +S n ﹣k ＝2（S n +S k ）总成立，则称数列{a n }是“D （k ）数列” （1）若{a n }是公比为2的等比数列，试判断{a n }是否为“D （2）”为数列？ （2）若{a n }是公差为d 的等差数列，且是“D （3）数列”，求实数d 的值； （3）若数列{a n }既是“D （2）”，又是“D （3）”，求证：数列{a n }为等差数列． 【分析】（1）求出通项公式，把K ＝2代入，然后举反例即可判断；（2）利用S n +3﹣S n ＝a n +3+a n +2+a n +1，S n ﹣S n ﹣2＝a n +a n ﹣1+a n ﹣2可得一个递推公式，又{a n }是公差为d 的等差数列，从而求出d ；（3）反复利用S n 之间的递推公式，求出a n 关系，从而得到证明． 【解答】解：（1）∵a 1＝1，q ＝2，∴S n =2n −1．假设{a n }是D （2）数列，则当n ＞2时，有S n +2+S n ﹣2＝2（S n +S 2）成立． 但当n ＝3时，S 5+S 1＝32，2（S 3+S 2）＝20，所以假设不成立， 于是，{a n }不是D （2）数列．（2）若{a n }是公差为d 的等差数列，又a 1＝1，则a n ＝1+（n ﹣1）d ， 若{a n }是“D （3）数列“，则∀n ＞3，S n +3+S n ﹣3＝2（S n +S 3）， 即a n +3+a n +2+a n +1﹣a n ﹣a n ﹣1﹣a n ﹣2＝2S 3， 所以9d ＝2（2+3d ），即d ＝2．（3）数列{a n }既是“D （2）”，又是“D （3）”， 则{∀n ＞2，S n+2+S n−2=2(S n +S 2)①∀n ＞3，S n+3+S n−3=2(S n +S 2)②，由②﹣①得，∀n ＞3，a n +3﹣a n ﹣2＝2a 3， 把n 变为n +1可得：∀n ＞3，S n +3+S n ﹣1＝2（S n +1+S 2）③ ∀n ＞4，S n +4+S n ﹣2＝2（S n +1+S 3）④ 由④﹣③得，∀n ＞4，a n +4﹣a n ﹣1＝2a 4． 又③﹣①得，∀n ＞3，a n +3+a n ﹣1＝2a n +1， 由④﹣②得，∀n ＞4，a n +4+a n ﹣2＝2a n +1，所以，a n ﹣1，a n +1，a n +3成等差数列，设公差为d 1；a n ﹣2，a n +1，a n +4成等差数列，设公差为d 2．因此a n +3＝a n +1+d 1，a n +4＝a n +1+d 2，所以a n +4﹣a n +3＝d 2﹣d 1＝a n ﹣1﹣a n ﹣2，对n ＞3恒成立． 即当n ≥2时，{a n }成等差数列，设公差为d ，由（1）和（2）中，分别取n ＝3，n ＝4得：{2a 2−4d =−24a 2−7d =−2，解得a 2＝3，d ＝2，又因为a 1＝1，所以{a n }为等差数列，首项a 1＝1，公差为2．【点评】本题考查了数列新定义问题，其本质还是等差等比数列判断与性质应用，考查了学生的逻辑推理以及转化和运算能力，属于较难问题．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A =[33c d ]，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1→=[11]，属于特征值1的一个特征向量为α2→=[3−2]，求矩阵 A ．【分析】根据特征值的定义可知A α＝λα，利用待定系数法建立四个等式关系，解二元一次方程组即可．【解答】解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为 α1=[11]可得 [33cd ] [11]=6 [11]，即 {3+3=6c +d =6；（4分）由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为 α2=[3−2]，可得[33cd ] [3−2]=[3−2]，即 {3×3−3×2=33c −2d =−2，（6分）解得 {c =2d =4，即矩阵 A =[3324]．（10分） 【点评】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin （π3−θ）=√32，椭圆C 的参数方程为{x =2costy =√3sint（t 为参数）．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【分析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出交点的坐标，进一步求出弦长． 【解答】解：直线l 的极坐标方程为ρsin （π3−θ）=√32，转换为直角坐标方程为y =√3x −√3．椭圆C 的参数方程为{x =2costy =√3sint （t 为参数）．转换为直角坐标方程为x 24+y 23=1，进一步联立方程组{y =√3x −√3x 24+y 23=1，整理得x 24+(x −1)2=1，解得x 1=0，x 2=85， 所以A （0，−√3），B （85，3√35）， 所以|AB |=(0−85)2+(−√3−335)2=165．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a +b +c ＝1，证明：（a +1）2+（b +1）2+(c +1)2≥163． 【分析】利用柯西不等式，即可证明【解答】证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2]≥（a +1+b +1+c +1）2，∵a +b +c ＝1，∴（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥163，当且仅当a ＝b ＝c =13时取等号， 问题得以证明【点评】本题考查了不等式的证明，属于基础题【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB =√2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ． （1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角A ﹣DF ﹣B 的大小．【分析】（1）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DF 与BE 所成角的余弦值．（2）求出平面ADF 的法向量和设平面BDF 的法向量，利用向量法能求出二面角A ﹣DF ﹣B 的大小．【解答】解：（1）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D （√2，0，0），F （√2，√2，1），E （0，0，1），B （0，√2，0），C （0，0，0）， 则DF →=（0，√2，1），BE →=（0，−√2，1），∴cos ＜DF →，BE →＞=−13×3=−13，∴异面直线DF 与BE 所成角的余弦值为13． （2）平面ADF 的法向量m →=CD →=(√2，0，0)， 设平面BDF 的法向量n →=（x ，y ，z ），由BF →=（√2，0，1），DF →=（0，√2，1），得：{n →⋅BF →=√2x +z =0n →⋅DF →=√2y +z =0，取x ＝1，得n →=（1，1，−√2）， 设二面角A ﹣DF ﹣B 的大小为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√24×2=12，θ=π3，∴二面角A ﹣DF ﹣B 的大小为π3．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，点p （x 0，y 0）在曲线y ＝x 2（x ＞0）上．已知A （0，﹣1），P n （x 0n ，y 0n ），n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ． （1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得y 0+1x 0=x 02+1x 0=2，解方程可得P 1的坐标；（2）设k 1＝2p （p ∈N *），运用直线 的斜率公式，求得x 0，再求k n ，运用二项式定理，讨论n 为偶数或奇数，即可得证． 【解答】解：（1）由k 1＝2，可得y 0+1x 0=x 02+1x 0=2，解得x 0＝1，y 0＝1，则P 1（1，1）：（2）证明：设k 1＝2p （p ∈N *），即y 0+1x 0=x 02+1x 0=2p ，解得x 0＝p ±√p 2−1， 由y 0＝x 02，可得k n =y 0n +1x 0n=x 02n +1x 0n =x 0n+1x 0n ， 当x 0＝p 2−1时，k n ＝（p 2−1）n 1√n＝（p +√p 2−1）n +（p −√p 2−1）n ；同理当x 0＝p −√p 2−1时，k n ＝（p +√p 2−1）n +（p −√p 2−1）n ．①当n ＝2m （m ∈N *），k n ＝2∑ m k=0C n 2k pn ﹣2k（p 2﹣1）k ，即有k n 为偶数； ②当n ＝2m +1（m ∈N *），k n ＝2∑ m k=0C n 2k pn ﹣2k（p 2﹣1）k ，即有k n 为偶数．综上可得，k n 为偶数．【点评】本题考查二项式定理的运用，直线的斜率公式的运用，以及点满足抛物线的方程，考查分类讨论和化简整理的运算能力，属于难题．。

2019—2020学年第二学期5月调研测试高三数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.设集合{2,0,1,2}=-A ，{}|10B x x =-<，则A B =I ___________.2.设32z i =+，i 为虚数单位，则2=z ___________.3.为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从4名（含甲、乙两人）随机选2名，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是___________.4.运行如图所示的伪代码，其结果为 ．5.如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为___________.6.函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且它的图象过点,212π⎛-- ⎝，则ϕ的值为___________. 7.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2212x y p p-=的一个焦点，则p =________. 8.己知α为锐角，若2sin 2sin 212παα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则cos α=___________. 9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若212019m S -=，3m a =，其中m N *∈，则m =___________. 10.己知正实数,x y 满足()242y x y x ⋅=，则x y +最小值为___________.11.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，其棱长为1，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的表面积为___________.12.由圆22:2410C x y x y +--+=外一点(4,6)P 引直线l 交圆C 于A 、B 两点，则线段AB 中点M 到x 轴的距离的最小值为___________.13.ABC V 中，2BC =，点O ，G 分别为ABC V 的外心、重心，若AO AG AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC V 面积的最大值为___________. 14.设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21,01ln 1,12x x f x x x x-≤≤=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()()221209f x af x a -+-=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是___________. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =m ，，(4)a b c =-n ，，且m n P ．（1）求cos C 的值；（2）若3c =△ABC 的面积15S ，求a b ，的值． 16.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 12AB ，D 是AB 的中点．(1)求证：BC 1∥平面A 1CD;(2)若点P 在线段BB 1上，且BP ＝14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD .17.植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案：方案① 多边形直角三角形AEB （90AEB ∠=o ），如图1所示，其中30m AE EB +=；方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18.己知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，点6⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .①求证：PQG V 是直角三角形；②求PQG V 面积的最大值.19.设函数32()3()f x x x ax a R =-+∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）己知函数()f x 有两个极值点()1212,0x x x x <<①比较()()12f x f x +与(2)f 的大小；②若函数()()()1g x f x f x =-在区间[]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.20.数列{}n a 的数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，k ，当n k >时，()2n k n k n k S S S S +-+=+总成立，则称数列{}n a 是“()D k 数列”（1）若{}n a 是公比为2的等比数列，试判断{}n a 是否为“()2D ”数列？（2）若{}n a 是公差为d 的等差数列，且是“()3D 数列”，求实数d 的值；（3）若数列{}n a 既是“()2D ”，又是“()3D ”，求证：数列{}n a 为等差数列.II （附加题）【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.己知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为11=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为23=2α⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A.22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为3sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，椭圆C 的参数方程为2cos 3sin x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.23.己知1a b c ++=，证明：()()()222161113a b c +++++≥. 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 中，AB ＝2，CE ＝1，CE ⊥平面ABCD ．（1）求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值；（2）求二面角A －DF －B 的大小．25.在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A(0，－1)，00(x ,y )n n n P ，n ∈N*．记直线AP n 的斜率为k n ．（1）若k1＝2，求P1的坐标；（2）若k1为偶数，求证：k n为偶数．。

2020年高考数学模拟试卷（5月份）一．填空题（共12小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∪B＝．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，已知在[50，100）中的频数为160，则n的值为．4．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．5．已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1＝0的斜率为正值的概率是．6．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2√3，则该直四棱柱的侧面积为 ．7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝3（a 1+a 9），则a 5a 4的值为 ．8．将函数y ＝sin （2x +π3）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数的y ＝sin2x 的图象，则φ的最小值为 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线x 2﹣y 2＝4的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，△ABC 为等边三角形，则△ABC 的面积为 ．10．在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→，则AM →⋅AN →的取值范围是 ．11．在△ABC 中，AB +BC ＝4，AB cos A +BC cos C ＝1，则当角B 最大时，△ABC 的面积为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆M ：（x +a +3）2+（y ﹣2a ）2＝1（a 为实数）．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为 ． 13．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x +√3y +z ＝6，则x 3+y 2+3z 的最小值为 ． 14．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |−3x+a ﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1的中点．求证： （1）MN ∥平面ABB 1A 1； （2）AN ⊥A 1B ．16．已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5，且△ABC的面积为9．（1）求AC；（2）当△ABC为锐角三角形时，求cos(2A+π6)的值．17．如图，河的两岸，分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB＝3km，BC＝4km，DF=94km，FE＝3km，EC=32km．若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河岸DE可看成是曲线y=x+bx+a（其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线y＝kx+m（其中k，m为常数）的一部分．（1）求a，b，k，m的值；（2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MN⊥AC，设点M的横坐标为t．①请写出桥MN的长l关于t的函数关系式l＝f（t），并注明定义域；②当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 2，B 1，分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b＞0）的上、下顶点，线段B 1B 2长为2，椭圆的离心率为√32．（1）求该椭圆的方程；（2）已知过点E （0，12）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线MB 2与直线NB 1交于点T ．①若直线l 的斜率为12，求点T 的坐标；②求证点T 在一条定直线上，并写出该直线方程．19．（16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2（S n +1﹣S n ）S n ﹣n （S n +1+S n ）（n ∈N *）．（1）若数列{a n}为等差数列，且b n＝0，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n﹣1}的，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n＜b2n﹣1的所有正整数的n集合．20．（16分）已知函数f（x）＝（x+l）lnx+ax（a∈R）．（1）若y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y+b＝0，求实数a，b的值；（2）证明：当a＜﹣2时，y＝f（x）在（0，+∞）上有两个极值点；（3）设g（x）＝|f（x）|1xe，若g（x）在[1，e]上是单调减函数（e为自然对数的底数），求实数a的取值．参考答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}．【分析】利用集合的并集的运算即可算出结果．解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为√2．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：由（1+i）z＝2i，得z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．则复数z的模为：√2．故答案为：√2．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，已知在[50，100）中的频数为160，则n的值为400．【分析】由频率分布直方图求出[50，100）中的频率，再由在[50，100）中的频数，能求出n．解：由频率分布直方图得：[50，100）中的频率为：（0.004+0.012）×25＝0.4，∵在[50，100）中的频数为160，∴n=1600.4=400．故答案为：400．4．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S＝10+9+8+…+2的值．解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n ＜2时，S ＝10+9+8+…+2的值． ∵S ＝10+9+8+…+2＝54的值， 故输出54． 故答案为：54．5．已知m ∈{﹣1，0，1}，n ∈{﹣2，2}，若随机选取m ，n ，则直线mx +ny +1＝0的斜率为正值的概率是13．【分析】基本事件总数N ＝3×2＝6，由直线mx +ny +1＝0的斜率为正值，得k =−mn ＞0，利用列举法求出直线mx +ny +1＝0的斜率为正值包含的基本事件有2个，由此能求出直线mx +ny +1＝0的斜率为正值的概率．解：m ∈{﹣1，0，1}，n ∈{﹣2，2}，随机选取m ，n ， 基本事件总数N ＝3×2＝6， ∵直线mx +ny +1＝0的斜率为正值， ∴k =−mn ＞0，∴直线mx +ny +1＝0的斜率为正值包含的基本事件有： {﹣1，2}，{1，﹣2}，共2个，∴直线mx +ny +1＝0的斜率为正值的概率是P =26=13． 故答案为：13．6．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2√3，则该直四棱柱的侧面积为 16√2 ．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积． 解：如图所示，直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形， 侧面对角线的长为2√3，∴侧棱长为CC 1=√(2√3)2−22=2√2；∴该直四棱柱的侧面积为S ＝4×2×2√2=16√2． 故答案为：16√2．7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝3（a 1+a 9），则a 5a 4的值为76．【分析】由等差数列的通项公式、前n 项和公式得到a 1＝3d ，由此能求出a 5a 4的值．解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝3（a 1+a 9）， ∴7a 1+7×62d =3(a 1+a 1+8d)， 解得a 1＝3d ，∴a 5a 4=a 1+4d a 1+3d=7d 6d=76．故答案为：76．8．将函数y ＝sin （2x +π3）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数的y ＝sin2x的图象，则φ的最小值为5π6．【分析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，求得φ的最小值． 解：∵将函数y ＝sin （2x +π3）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后， 恰好得到函数的y ＝sin （2x +2φ+π3）＝sin2x 的图象，∴2φ+π3=2k π，k ∈Z ，则φ的最小值满足2φ+π3=2π，φ=5π6，故答案为：5π6．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线x 2﹣y 2＝4的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，△ABC 为等边三角形，则△ABC 的面积为 12√3 ．【分析】先求出双曲线x 2﹣y 2＝4的左顶点为A （﹣4，0），根据双曲线的对称性，设出B （x 1，y 1），C （x 1，﹣y 1）的坐标，根据，△ABC 是等边三角形得（x 1+2）2+y 12＝（﹣y 1﹣y 1）2，求出x 1和y 1的值，由此得BC ＝4√3，从而可以算出面积． 解：双曲线x 2﹣y 2＝4的左顶点为A （﹣2，0），根据双曲线的对称性， 可设B （x 1，y 1），C （x 1，﹣y 1）． 由△ABC 是等边三角形⇒AB ＝BC ，得： （x 1+2）2+y 12＝（﹣y 1﹣y 1）2， 又x 12﹣y 12＝4，∴x 12﹣2x 1﹣8＝0，∴x 1＝﹣2或x 1＝4 右支的范围是x ≥0，所以x 1＝4，从而y 1＝±2√3， 由此BC ＝4√3可以算出面积：S =√34×(4√3)2=12√3．故答案为：12√3．10．在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→，则AM →⋅AN →的取值范围是 [2，5] ．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．解：建立如图所示的直角坐标系，则B （2，0），A （0，0），D （12，√32），设|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→=λ，λ∈[0，1]，M （2+λ2，√3λ2），N （52−2λ，√32），所以AM →⋅AN →=（2+λ2，√3λ2）•（52−2λ，√32）＝﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ＝﹣1， 所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]． 故答案为：[2，5]．11．在△ABC 中，AB +BC ＝4，AB cos A +BC cos C ＝1，则当角B 最大时，△ABC 的面积为√154．【分析】先利用余弦定理，将AB cos A +BC cos C ＝1化边，求出b 的值，然后根据a +c ＝4，再利用余弦定理，求出B 最大时的值，最后代入面积公式求解． 解：设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ．则已知条件为：a +c ＝4，c cos A +a cos C ＝1．由余弦定理得c ×b 2+c 2−a 22bc+a ×a 2+b 2−c 22ab=1，化简得b ＝1．结合a +c ＝4．所以cosB =a 2+c 2−b 22ac =(a+c)2−2ac−12ac =152ac−1①，因为ac ≤(a+c2)=4，当且仅当a ＝c 时取等号．∴152ac −1≥158−1=78． 根据余弦函数在（0，π）上递减，可知cosB =78，即sin B =√158时，B 最大．将cosB =78代入①式得：ac ＝4．∴S △ABC =12acsinB =12×4×√158=√154．故答案为：√154． 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆M ：（x +a +3）2+（y ﹣2a ）2＝1（a 为实数）．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为 −65≤a ≤0 ．【分析】从圆M 上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP ＝1，利用圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，可得|OM |≤2，进而得出答案．解：由题意，圆M ：（x +a +3）2+（y ﹣2a ）2＝1（a 为实数），圆心为M （﹣a ﹣3，2a ） 圆M 上任意一点Q 向圆O 作切线，切点为P ，∠PQO ＝30°， 所以x 2+y 2＝4与圆M 有交点1≤√(a +3)2+4a 2≤3，解得∴−65≤a ≤0，故答案为：−65≤a ≤0，13．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x +√3y +z ＝6，则x 3+y 2+3z 的最小值为374．【分析】利用换元法以及函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后利用二次函数的性质求解即可．解：设T ＝x 3+y 2+3z ，因为x +√3y +z ＝6，所以z ＝6﹣x −√3y ，∴T ＝x 3+y 2+18﹣3x ﹣3√3y ， 可得T ﹣y 2+3√3y ＝x 3+18﹣3x ，设f （x ）＝x 3+18﹣3x ，f ′（x ）＝3x 2﹣3， 令f ′（x ）＝0，可得x ＝±1，f ″（x ）＝6x ，f ″（1）＞0，f （1）＝16， ∵0＜x ＜1时，f （x ）是单调减函数，f （x ）≥16， 当x ＞1时，f （x ）单调增函数，∴f （x ）≥16，即T ﹣y 2+3√3y ≥16，T ≥y 2﹣3√3y +16，当y =3√32时，函数取得最小值374．此时3z ＞0．故答案为：374．14．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |−3x+a ﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为 {a |a =5+3√338或−95} ．【分析】令g （x ）＝0，化简函数g （x ）={2a −x −3x ，x ≤ax −3x，x ＞a，从而不妨设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，讨论当x ＞a 时，求得两根，x ≤a 时，①a ≤﹣1，②﹣1＜a ≤3，③a ＞3，运用等差数列的中项的性质，进而确定a 的值． 解：设f （x ）＝0，可得|x ﹣a |−3x+a ＝2，设g （x ）＝|x ﹣a |−3x +a ，h （x ）＝2，函数g （x ）={2a −x −3x ，x ≤ax −3x，x ＞a， 不妨设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3， 当x ＞a 时，f （x ）＝0，解得x ＝﹣1，x ＝3；①a ≤﹣1，∵x 2＝﹣1，x 3＝3，由等差数列的性质可得x 1＝﹣5， 由f （﹣5）＝0，解得a =−95，满足f （x ）＝0在（﹣∞，a ]上有一解．②﹣1＜a ≤3，f （x ）＝0在（﹣∞，a ]上有两个不同的解，不妨设x 1，x 2，其中x 3＝3， 所以有x 1，x 2是2a ﹣x −3x=2的两个解， 即x 1，x 2是x 2﹣（2a ﹣2）x +3＝0的两个解． 得到x 1+x 2＝2a ﹣2，x 1x 2＝3，又由设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3成差数列，且x 1＜x 2＜x 3，得到2x 2＝x 1+3，解得：a =5+3√338或5−3√338（舍去）；③a ＞3，f （x ）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a =5+3√338或−95．故答案为：{a |a =5+3√338或−95}．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．【分析】（1）取AB的中点P，连结PM、PB1推导出四边形PMNB1是平行四边形，从而MN∥PB1，由此能证明MN∥平面ABB1A1．（2）推导出BB1⊥面A1B1C1，从而面ABB1A1⊥面A1B1C1推导出B1C1⊥B1A1，从而B1C1⊥面ABB1A1，进而B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，推导出AB1⊥A1B，从而A1B ⊥面AB1N，由此能证明A1B⊥AN．【解答】证明：（1）取AB的中点P，连结PM、PB1，因为M、P分别是AB，AC的中点，所以PM∥BC且PM=12BC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N，且PM＝B1N．…所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，…而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1．…（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥面A1B1C1，又因为BB1⊂面ABB1A1，所以面ABB1A1⊥面A1B1C1，…又因为∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1，面ABB1A1∩面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥面ABB1A1，…又因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂面AB1N，所以A1B⊥面AB1N，…而AN⊂面AB1N，所以A1B⊥AN．…16．已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5，且△ABC的面积为9．（1）求AC；（2）当△ABC为锐角三角形时，求cos(2A+π6)的值．【分析】（1）有S△ABC=12AB×BC×sinB=9，又AB＝6，BC＝5，可得sin B，又B∈（0，π），可得cos B=±√1−sin2B，再利用余弦定理即可得出．（2）由△ABC为锐角三角形得B为锐角，可得AB＝6，AC=√13，BC＝5，可得cosA =2×6×13=13，又A ∈（0，π），可得sin A =√1−cos 2A ，可得sin2A ，cos2A ，再利用和差公式即可得出．解：（1）因为S △ABC =12AB ×BC ×sinB =9，又AB ＝6，BC ＝5，所以sinB =35，……… 又B ∈（0，π），所以cosB =±√1−sin 2B =±45，………当cos B =45时，AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcosB =√36+25−2×6×5×45=√13⋯⋯⋯当cos B =−45时，AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcosB =√36+25+2×6×5×45=√109所以AC =√13或√109．……… 注：少一解的扣（2）由△ABC 为锐角三角形得B 为锐角，所以AB ＝6，AC =√13，BC ＝5， 所以cosA =2×6×13=13， 又A ∈（0，π），所以sinA =√1−cos 2A =3√13，……… 所以sin2A =2×1313=1213，cos2A =(2√13)2−(3√13)2=−513，……… 所以cos(2A +π6)=cos2Acos π6−sin2Asin π6=−5√3−1226．………17．如图，河的两岸，分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB ⊥BC ，EF ⊥DF ，DF ⊥AB ，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得AB ＝3km ，BC ＝4km ，DF =94km ，FE ＝3km ，EC =32km ．若以OA ，OD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系xoy ，则河岸DE 可看成是曲线y =x+bx+a（其中a ，b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y ＝kx +m （其中k ，m 为常数）的一部分．（1）求a ，b ，k ，m 的值；（2）现准备建一座桥MN ，其中M ，N 分别在DE ，AC 上，且MN ⊥AC ，设点M 的横坐标为t ．①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式l ＝f （t ），并注明定义域； ②当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？【分析】（1）先求出D 、E 、A 、C 点的坐标，代入函数的解析式，从而求出a ，b ，k ，m 的值即可；（2）①先表示出M 点的坐标，问题转化为求M 到直线AC 的距离即可；②由基本不等式的性质求出最小值即可．解：（1）由题意得：OD ＝BC ＝4，OB ＝FC ，∴D （0，74），E （3，4），A （32，0），C （92，4），把D （0，74），E （3，4）代入y =x+bx+a得：{b a =743+b3+a=4，解得：a ＝﹣4，b ＝﹣7，把A （32，0），C （92，4）代入y ＝kx +m得：{32k +m =092k +m =4，解得：k =43，m ＝﹣2；（2）由（1）得：M 点在y =x−7x−4上， ∴M （t ，t−7t−4），t ∈[0，3]，①桥MN 的长l 为MN 到直线y =43x ﹣2的距离，故l ＝f （x ）=|4t−3(t−7)t−4−6|√3+4=15|4t +9t−4−9|，t ∈[0，3]；②由①得：f （t ）=15|4t +9t−4−9|=15|4（t ﹣4）+9t−4+7|， 而t ﹣4＜0，9t−4＜0，∴4（t ﹣4）+9t−4≤−2√4(t −4)⋅9t−4=−12， 当且仅当4（t ﹣4）=9t−4时即t =52“＝”成立， ∴f （t ）min =15|﹣12+7|＝1．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 2，B 1，分别是椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b＞0）的上、下顶点，线段B 1B 2长为2，椭圆的离心率为√32． （1）求该椭圆的方程；（2）已知过点E （0，12）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线MB 2与直线NB 1交于点T ．①若直线l 的斜率为12，求点T 的坐标；②求证点T 在一条定直线上，并写出该直线方程．【分析】（1）由短轴长及离心率和a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）①由（1）可得B 1，B 2的坐标，设直线MN 的方程，与椭圆联立求出M ，N 的坐标，求出直线MB 2，NB 1，再求两条直线的交点T 的坐标；②设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线MB 2，NB 1，再求两条直线的交点T 的坐标（x ，y ）与M ，N 的坐标的关系，由两根之和及两根之积代入可得，y−1y+1=13，解得y ＝2．即T 在直线y ＝2上．解：（1）由题意可得：2b ＝2，e =c a =√32，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 24+y 2＝1；（2）①由（1）可得B 2（0，1），B 1（0，﹣1），设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由题意可得直线l 的方程为：y =12（x +1），联立直线与椭圆的方程{y =12(x +1)x 24+y 2=1，整理可得：2x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1=−1+√72，x 2=√7−12，x 1x 2=−32，直线MB 2：y =12x 1−12x 1x ﹣1，直线NB 1：y =12x 2+32x 2x ﹣1，所以{y =(12−12x 1)x +1y =(12+32x 2)x −1解得x =4x 1x 23x 1+x 2=−6−2−7=2√7−4，y ＝2， 所以T 的坐标为（2√7−4，2）， ②设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{y =kx +12x 24+y 2=1整理可得（1+4k 2）x 2+4kx ﹣3＝0，x 1+x 2=−4k1+4k 2，x 1x 2=−31+4k 2， 直线B 2M ：y =y 1−1x 1x +1，B 1N ：y y 2+1x 2x ﹣1， 所以{y =y 1−1x 1x +1y =y 2+1x 2x −1可得y−1y+1=y 1−1x 1⋅x 2y 2+1， 而x 224+y 22＝1，∴（1+y 2）（1﹣y 2）=x 224，∴x 2y 2+1=4(1−y 2)x 2，所以y−1y+1=−4(y 1−1)(y 2−1)x 1x 2=−4(kx 1−12)(kx 2−12)x 1x 2=−4•k 2x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+14x 1x 2=−4⋅−3k21+4k2+2k 21+4k 2+14−31+4k2=13，所以y−1y+1=13，解得y ＝2．所以T 在定直线y ＝2．19．（16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2（S n +1﹣S n ）S n ﹣n （S n +1+S n ）（n ∈一、选择题*）．（1）若数列{a n }为等差数列，且b n ＝0，求数列{a n }的通项公式；（2）若a 1＝1，a 2＝3，且数列{a 2n ﹣1}的，{a 2n }都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b 2n ＜b 2n ﹣1的所有正整数的n 集合．【分析】（1）由b n ＝2（S n +1﹣S n ）S n ﹣n （S n +1+S n ）（n ∈N *），得b n ＝2a n +1S n ﹣n （2S n +a n +1），由b n ＝0，得(d 2−d)n 2+(3a 1d −d 2−2a 1)n +2a 12−a 1d ﹣a 1＝0对一切n ∈N *都成立，由此能求出a n ＝0或a n ＝n ．（2）由题意得a 2n+1=2n ，a 2n =3×2n−1，S 2n =2n −1+3(2n −1)=4×2n ﹣4，从而推导出b 2n ﹣b 2n ﹣1=22n−1+8−2n (5n +52)，设f （n ）＝2n [12×2n −(5n +52)]+8，记g （n ）=12×2n −(5n +52)，则g （n +1）﹣g （n ）=12×2n −5，由此能求出满足条件的正整数n 的集合．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n +1＝a 1+nd ，S n =na 1+n(n−1)2d ， 由b n ＝2（S n +1﹣S n ）S n ﹣n （S n +1+S n ）（n ∈N *）， 得b n ＝2a n +1S n ﹣n （2S n +a n +1）， ∵b n ＝0，∴2(a 1+nd)[na 1+n(n−1)2d]−n[2na 1+n(n −1)d +a 1+nd]=0对一切n ∈N *都成立，即(d 2−d)n 2+(3a 1d −d 2−2a 1)n +2a 12−a 1d ﹣a 1＝0对一切n ∈N *都成立， 令n ＝1，n ＝2，解得a 1＝d ＝0或a 1＝d ＝1， 经检验，符合题意， ∴a n ＝0或a n ＝n ．（2）由题意得a 2n−1=2n ﹣1，a 2n =3×2n−1， S 2n =2n −1+3(2n −1)=4×2n ﹣4， S 2n +1＝S 2n +a 2n +1＝4×2n ﹣4+2n ＝5×2n ﹣4， b 2n ＝2a 2n +1S 2n ﹣2n （2S 2n +a 2n +1）＝2×2n ×（4×2n ﹣4）﹣2n （8×2n ﹣8+2n ） ＝2n +1（2n +2﹣9n ﹣4）+16n ，b 2n ﹣1＝2a 2n S 2n ﹣1﹣（2n ﹣1）（2S 2n ﹣1+a 2n ）＝6×2n ﹣1×（5×2n ﹣1﹣4）﹣（2n ﹣1）（10×2n ﹣1﹣8+3×2n ﹣1） ＝2n ﹣1（30×2n ﹣1﹣26n ﹣11）+16n ﹣8，b 2n ﹣b 2n ﹣1＝2n +1（2n +2﹣9n ﹣4）+16n ﹣[2n ﹣1（30×2n ﹣1﹣26n ﹣11）+16n ﹣8] =2n (2n−1−5n −52)+8=22n−1+8−2n (5n +52)，设f （n ）=22n−1+8−2n (5n +52)，即f （n ）＝2n [12×2n −(5n +52)]+8，记g （n ）=12×2n −(5n +52)，则g （n +1）﹣g （n ）=12×2n+1−(5n +152)−12×2n +5n +52=12×2n−5，当n＝1，2，3时，g（n+1）﹣g（n）＜0，当n∈N*时，n≥4，g（n+1）﹣g（n）＜0，∵n＝1时，g（1）=−132＜0，∴g（4）＜0，且g（6）=−12＜0，g（7）=532＞0，∴f（n）=2n[12×2n−(5n+52)]+8在n≥7（n∈N*）时，是单调递增函数，f（1）＝﹣5＜0，f（2）＝﹣34＜0，f（3）＝﹣100＜0，f（4）＝﹣224＜0，f（5）＝﹣360＜0，f（6）＝﹣24＜0，f（7）＝3400＞0，∴满足条件的正整数n的集合为{1，2，3，4，5，6}．20．（16分）已知函数f（x）＝（x+l）lnx+ax（a∈R）．（1）若y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y+b＝0，求实数a，b的值；（2）证明：当a＜﹣2时，y＝f（x）在（0，+∞）上有两个极值点；（3）设g（x）＝|f（x）|1xe，若g（x）在[1，e]上是单调减函数（e为自然对数的底数），求实数a的取值．【分析】（1）对函数f（x）求导，通过切线的斜率k＝f'（1）＝﹣1可求出a的值，把切点（1，a）代入切线方程可求出b的值；（2）令g（x）＝f'（x），则原问题转化为g（x）在（0，+∞）上有两个变号零点，再对g（x）求导，判断其在（0，+∞）上的单调性，然后结合零点存在定理证明，难点是找到端点值g（e﹣a﹣1）和g（e a﹣1）；（3）先将函数g（x）整理成g(x)=|(x+1)lnx+ax|⋅1xe x=|(1+1x)lnx+a|⋅1e x，x∈[1，e]，令h(x)=(1+1x)lnx+a，通过求导、换元和构造函数可证明函数h（x）在[1，e]上单调递增．然后分①h（1）＝a≥0，②h(e)=1+1e+a≤0和③−e+1e＜a＜0三类情况，分别讨论在满足g （x ）在[1，e ]上是单调减函数的情形下，a 的取值范围，在每一步讨论的过程中用到了构造函数、参变分离、零点存在定理等方法．解：（1）f′(x)=lnx +x+1x+a ，k ＝f '（1）＝2+a ＝﹣1，∴a ＝﹣3， ∵切点（1，a ）在直线x +y +b ＝0上，∴1+a +b ＝0，∴b ＝2． 故a ＝﹣3，b ＝2．（2）f′(x)=lnx +x+1x +a =lnx +1x+1+a ， 令g(x)=lnx +1x+1+a ，问题等价于g （x ）在（0，+∞）上有两个变号零点，∴g′(x)=1x −1x 2=x−1x2， 当0＜x ＜1时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增．∴g （x ）min ＝g （1）＝2+a ＜0， 而g （e﹣a ﹣1）＝e a +1＞0，g （e a ﹣1）＝2a +e 1﹣a ＞2a +（1﹣a ）2＝1+a 2＞0，∴g （x ）在（e a ﹣1，1）和（1，e ﹣a ﹣1）上各有一个变号零点，即y ＝f （x ）在（0，+∞）上有两个极值点．（3）g(x)=|(x +1)lnx +ax|⋅1xe x =|(1+1x )lnx +a|⋅1ex ，x ∈[1，e ]， 令h(x)=(1+1x)lnx +a ，则h′(x)=−1x 2lnx +1x (1+1x )=1x (1+1x +1x ln 1x )令t =1x ∈[1e，1]，∴1+1x +1x ln 1x =1+t +tlnt =H(t)，∴H '（t ）＝1+lnt +1＝2+lnt≥1＞0，∴H （t ）在[1e ，1]上单调递增，∴H （t ）＞H(1e )=1+1e −1e=1＞0，∴h '（x ）＞0，即h （x ）在[1，e ]上单调递增．①当h （1）＝a ≥0时，g(x)=e −x [(1+1x)lnx +a]，∵g（x）在[1，e]上是单调减函数，∴g′(x)=−(1+x+x2)lnx−ax2+x+1x2e x≤0，令u（x）＝﹣（1+x+x2）lnx﹣ax2+x+1，则u′(x)=−(1+2x)lnx−1x−(2a+1)x＜0恒成立，∴u（x）在[1，e]上单调递减，∴u（x）max＝u（1）＝﹣a+2≤0，解得a≥2．②当h(e)=1+1e +a≤0即a≤−e+1e时，g(x)=−(1x+1)lnx+ae x，由①知g′(x)=−u(x) x2e x，∵函数g（x）在[1，e]上是单调减函数，∴u（x）＝﹣（1+x+x2）lnx﹣ax2+x+1≥0对∀x∈[1，e]恒成立，即a≤1x+1x2−(1x2+1x+1)lnx对∀x∈[1，e]恒成立，令φ（x）=1x+1x2−(1x2+1x+1)lnx，x∈[1，e]，∴φ'（x）=−3x3−2x2−1x+(2x3+1x2)lnx≤−3x3−2x2−1x+(2x3+1x2)(x−1)=−5x3−1x2＜0，∴φ（x）在[1，e]上单调递减，故φ（x）min＝φ（e）=1e+1e2−(1e+1e2+1)lne=−1，∴a≤φ（x）min＝﹣1，又a≤−e+1e，∴a≤−e+1e=−1−1e．③若−e+1e＜a＜0，h(x)=(1+1x)lnx+a，由前知h（x）在[1，e]上单调递增，∵h(1)⋅h(e)=a(a+1+1e)＜0，∴存在唯一的x0∈（1，e）使h（x0）＝0，此时g（x0）＝0，而g（1）＞0，g（e）＞0，∴g（x）在[1，e]上不单调，舍去，综上所述，实数a的取值范围为(−∞，−1−1e]∪[2，+∞)．。

2020年江苏省盐城中学高考数学仿真试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1}，B ={0,a ，2}，若A ∩B ={−1,0}，则a =_________．2. i 是虚数单位，复数1−5i1−i =_____．3. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为______．4. 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为______．5. 已知双曲线x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±√3x ，那么该双曲线的离心率为____.6. 已知f(x)={2x −3,x >0g(x),x <0是奇函数，则f [g(−2)]=_______7. 碗里有花生馅汤圆2个、豆沙馅汤圆3个、芝麻馅汤圆4个，从中随机舀取一个品尝，不是豆沙馅的概率为______．8. 已知函数f(x)=2sin(2ωx −π4)(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[−1,1]上的单调增区间为__________．9. 已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120∘，弧长为2π，则该圆锥的体积为__________10. 设等比数列{a n }的前n 项和为S ，若27a 3−a 4=0，则S4S 5= ______ ．11. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 12. 已知椭圆C ：，过点P(0,6)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若A 是线段PB 的中点，则点A 的坐标为______．13. 已知函数f(x)={x +2,x >ax 2+5x +2,x ≤a，函数g(x)=f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．14. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，√25bsinC +asinA =bsinB +csinC ，b =4，G 为△ABC 内一点，且GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∠CAG =45°，则AG =________． 二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15. 在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，AA 1⊥平面ABCD ，M 、N 分别是棱A 1D 1、D 1C 1的中点． (1)证明：AC//平面DMN ； (2)证明：平面DMN ⊥平面在BB 1D 1D .16. 在△ABC 中，已知a =2，c =√2，cosA =−√24，求：(1)sinC ；(2)b 和三角形△ABC 的面积．17.如图，圆柱的底面半径为2cm，高为5cm．(Ⅰ)计算圆柱的表面积；(Ⅱ)计算圆柱的体积。

2020届江苏省新海高中、昆山中学、梁丰高中高三下学期5月模拟考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一．填空题（共12小题）1.已知集合{}1,0,2A =-,{}1,1,2B =-,则A B =_____．【答案】1,0,1,2 【解析】由并集定义可直接求得结果.【详解】因为集合{}1,0,2A =-,{}1,1,2B =-,所以,由并集定义得：{}1,0,1,2A B ⋃=-.故答案为：1,0,1,2.2.已知复数z 满足1 i z ＝2i ,其中i 是虚数单位,则z 的模为_______. 2【解析】利用复数的除法法则可得1z i =+,进而求得模即可【详解】由题,()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-, 所以22112z =+=23.为了解学生课外阅读的情况,随机统计了n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在[]50,150中,其频率分布直方图如图所示,已知在[)50,100中的频数为160,则n 的值为_____．【答案】400【解析】由频率分布直方图求出[)50,100的频率,再由在[)50,100的频数,能求出n ．【详解】由频率分布直方图得：[)50,100的频率为：()0.0040.012250.4+⨯=, 在[)50,100中的频数为160,1604000.4n ∴==． 故答案为：400．4.如图是一个算法的流程图,若输入n 的值是10,则输出S 的值是_____． 【答案】54【解析】按照程序框图运行程序,直到满足2n <输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序,输入10n =,0S =,不满足2n <,循环； 01010S =+=,1019n ,不满足2n <,循环；10919S =+=,918n ,不满足2n <,循环；19827S =+=,817n ,不满足2n <,循环；。

江苏省百校联考2020届高三第五次考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{}1,2A =，{}1,2,3A B = ，则集合中B 必定含有的元素是_______.【答案】3【解析】【分析】根据题意，结合并集的概念即可得出答案.【详解】解：∵集合{}1,2A =，{}1,2,3A B = ，∴集合中B 必定含有的元素是3.故答案为：3.【点睛】本题考查对并集概念的理解，属于基础题.2.已知复数()i a i +的模为1（其中i 是虚数单位），则实数a 的值为_______.【答案】0【解析】【分析】设i(i)1i z a a =+=-+，再根据复数的模运算，即可求出a 的值.【详解】解：根据题意，设i(i)1i z a a =+=-+，由于复数()i a i +的模为1，即：1z =，则1z ==，0a ∴=.故答案为：0.【点睛】本题考查复数的乘法运算和模的运算，属于基础题.3.下图是一个算法的流程图，则输出k 的值是_______.【答案】6【解析】【分析】根据程序框图可知，利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序运行，分析循环中各变量值的变化情况，直到满足条件27100k k -+>，即可得出答案.【详解】解:根据程序框图，模拟程序运行，输入1k =，继续运行2k =，此时22710272100k k -+=-⨯+=，不满足条件，执行循环体，3k =，此时227103731020k k -+=-⨯+=-<，不满足条件，执行循环体，4k =，此时227104741020k k -+=-⨯+=-<，不满足条件，执行循环体，5k =，此时22710575100k k -+=-⨯+=，不满足条件，执行循环体，6k =，此时227106761040k k -+=-⨯+=>，满足条件，故输出k 的值是6.故答案为：6.【点睛】本题考查循环程序框图，解题时应模拟程序框图的运行过程，注意循环条件的判断.4.已知一组数据1，3，5，7，9，则该组数据的方差是_______【答案】8【解析】【分析】计算均值，再由方差公式得结论．【详解】由题意1357955x ++++==，∴2222221[(15)(35)(55)(75)(95)]85s =-+-+-+-+-=．故答案为：8．【点睛】本题考查方差的计算，掌握方差计算公式是解题基础．5.已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的左、右顶点与点(0，3)构成等腰直角三角形，则该双曲线的渐近线方程是_______.【答案】y x=±【解析】【分析】根据题意，可知双曲线2221(0)9x y a a -=>焦点在x 轴上，且3b =，设左、右顶点为A B 、，点(0，3)为C ，根据双曲线的顶点坐标可知()(),0,,0A a B a -，再结合题目条件得出AC BC ⊥且AC BC =，利用勾股定理222AC BC AB +=，代数求出a 和b y x a=±，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题意知，双曲线2221(0)9x y a a -=>焦点在x 轴上，且3b =，设左、右顶点为A B 、，点(0，3)为C ，如下图，则()()(),0,,0,0,3A a B a C -，则AO a =，3CO =，AC =，2AB a =，由于左、右顶点与点(0，3)构成等腰直角三角形，所以AC BC ⊥且AC BC =，则222AC BC AB +=，即()2222a +=，解得：3a =，即a b =，所以双曲线的渐近线方程为：b y x x a=±=±，故答案为：y x =±.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和简单几何性质的应用，考查计算能力.6.已知函数tan y x =与sin(3)(0)y x ϕϕπ=-≤<，它们图象有一个交点的横坐标为4π，则ϕ的值是_______.【答案】4π【解析】【分析】根据两函数的图象有一个交点的横坐标为4π，分别代入两个函数解析式，结合ϕ的取值范围，即可求出ϕ的值.【详解】解：由于tan y x =与sin(3)(0)y x ϕϕπ=-≤<的图象有一个交点的横坐标为4π，则tan sin 3144ππϕ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，32,42k k Z ππϕπ∴⨯-=+∈，解得：2,4k k Z πϕπ=-∈，又0ϕπ≤<Q ，∴4πϕ=.故答案为：4π.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，以及三角函数求值问题，考查计算能力.7.斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足121a a ==，21n n n a a a +-=+，现从该数列的前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是_______.【答案】14【解析】【分析】根据题意，分别列举出数列的前12项，再列出能被3整除的数，根据古典概型求概率即可得出结果.【详解】解：根据题意，“兔子数列”满足：121a a ==，21n n n a a a +-=+，则该数列的前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，其中能被3整除的数有：3，21，144，共3项，故从该数列的前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是31124=.故答案为：14.【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，通过列举法列出基本事件解决古典概型问题，对所给定义的理解是解题的关键.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2430a a a +=，31S =-，则n a =_______.【答案】(1)n-【解析】【分析】已知{}n a 为等比数列，2430a a a +=，31S =-，利用通项公式和前n 项和公式求出1a 和q ，根据11n n a a q-=即可求出n a .【详解】解：由题可知，{}n a 为等比数列，2430a a a +=，31S =-，2243330,0a a a a a +=∴+= ，由于等比数列中0n a ≠，解得：31a =-，31S =- ，即：1231a a a ++=-，21111q q--∴+-=-，解得：1q =-，3121a a q∴==-，所以()1111(1)(1)n n n n a a q --==-⋅-=-.故答案为：(1)n -.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，利用等比数列通项公式和前n 项和公式求出基本量，考查化简运算能力.9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则三棱锥11B AC D -的体积是_______.【答案】83【解析】【分析】根据题意，得出三棱锥11B AC D -所有棱长都为即可求出结果.【详解】解：已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则三棱锥11B AC D -所有棱长都为，则11A C D 的面积为：(1121sin 23A C D S π=⨯⨯=△，11A C D 的外接圆半径为：233=，三棱锥的高为：3h ===，则三棱锥11B AC D -的体积是：111183333A C D V S h =⋅=⨯=△.故答案为：83.【点睛】本题考查三棱锥的体积，涉及正方体的性质和三棱锥的性质，考查计算能力.10.已知角αβ，满足tan 2tan αβ=，若3sin()5αβ+=，则sin()αβ-的值是_______.【答案】15【解析】【分析】根据题意，由tan 2tan αβ=得出sin cos 2cos sin αβαβ=，由3sin()5αβ+=，根据两角和与差的正弦公式得出3sin cos cos sin 5αβαβ+=，得出2sin cos 5αβ=，1cos sin 5αβ=，从而可求出sin()αβ-的值.【详解】解：由于tan 2tan αβ=，则sin 2sin cos cos αβαβ=，sin cos 2cos sin αβαβ∴=，又3sin()5αβ+= ，即：3sin cos cos sin 5αβαβ+=，解得：2sin cos 5αβ=，1cos sin 5αβ=，211sin()sin cos cos sin 555αβαβαβ∴-=-=-=.即：sin()αβ-的值为15.故答案为：15.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，涉及同角三角函数商的关系和两角和与差正弦公式的应用，考查化简计算能力.11.若函数()()f x x a =-[1，9]上的最小值为18，则a 的值为_______.【答案】78【解析】【分析】根据题意，设[]1,3t =∈，则2x t =，将原题转化为函数2()()f t t a t =-⋅在区间[]1,3上的最小值为18，则2()3f t t a '=-，分类讨论a ，通过利用导数研究函数的单调性和最值，即可求出a 的值，【详解】解：由题可知，()()f x x a =-[1，9]上的最小值为18，[]1,3t =∈，则2x t =，则原题转化为：函数2()()f t t a t =-⋅在区间[]1,3上的最小值为18，则2()3f t t a '=-，当0a ≤时，2()30f t t a '=-≥恒成立，则()f t 在区间[]1,3上单调递增，则1(1)8f =，解得：78a =（舍去）；当0a >时，令2()30f t t a '=-=，解得：t =或t =（舍去），1≤，即03a <≤时，()f t 在区间[]1,3上单调递增，则1(1)8f =，解得：78a =，符合题意；3≥，即27a ≥时，()f t 在区间[]1,3上单调递减，则1(3)8f =，解得：21524a =（舍去）；若13<<，即327a <<时，()f t 在区间⎡⎢⎣上单调递减，在区间⎤⎥⎦上单调递增，则18f =，无正数解，综上所述：a 的值为78.故答案为：78.【点睛】本题考查利用导数研究含参数的函数的单调性和最值，从而求出参数值，同时考查转化和分类讨论思想.12.已知A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且以AB 为直径的圆过F ，当6ABF π∠=，该椭圆的离心率是_______.【答案】1-【解析】【分析】根据题意，由圆的圆周角的性质得出90AFB ∠= ，且2AB c =，由于6ABF π∠=，则AF c =，BF =，利用椭圆的定义得2AF BF a +=，即可得出a 和c 的关系，从而可求出椭圆的离心率.【详解】解：由题意知，以AB 为直径的圆过F ，点F 为椭圆的右焦点，则90AFB ∠= ，且2AB c =，又6ABF π∠= ，则AF c =，BF =，设椭圆的左焦点为E ，由椭圆的对称性可得AE BF =由椭圆的定义得2AF BF AE AF a +=+=，则2c a +=，即：1==c a ，所以1e =.1-.【点睛】本题考查椭圆的离心率和简单几何性质，以及椭圆定义的应用和圆的性质的应用.13.已知,x y 均为正数，且11x y +=，则8y y x+的最小值为_______.【答案】16【解析】【分析】由题可知，,x y 均为正数，且11x y +=，则10y x y -=>，代入化简得189(1)101y y y x y +=-++-，再利用基本不等式即可求出最小值.【详解】解：由于,x y 均为正数，且11x y +=，∴10y x y-=>，可得：1y >，∴22(1)2(1)18888(1)8111y y y y y y y y y y x y y y-+-++=+=+=-+---，19(1)1010161y y =-++≥=-，即：816y y x+≥，当且仅当43y =时取“＝”，所以8y y x +的最小值为16.故答案为：16.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，对条件的变形是解题的关键.14.已知当0x >，函数()()ln 0f x a x a =>，且()()f x f x =-，若()2()20g x x m m =->的图像与()f x 的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围是_______.【答案】()4,4e 【解析】【分析】根据题意，可知()f x 与()g x 均为偶函数，所以()f x 与()g x 的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，则在第一象限也有公共点，且在该点处的切线也相同，求导得0x >时，()a f x x'=，()4g x x '=，设在第一象限的切点的横坐标为0x ，得出()01,x ∈+∞，则20000ln 24a x x m a x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得020********ln 20x a x m x x x >⎧⎪=⎨⎪=-+>⎩，即可求出0x 的取值范围，从而可求出实数a 的取值范围.【详解】解：由题意知：()()f x f x =-和()2()20g x x m m =->，所以()f x 与()g x 均为偶函数，由于()f x 与()g x 的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，则在第一象限也有公共点，且在该点处的切线也相同，因为0x >时，()()ln 0f x a x a =>，()2()20g x x m m =->所以0x >时，()af x x'=，()4g x x '=，设在第一象限的切点的横坐标为0x ，则00()ln 0f x a x =>，可得()01,x ∈+∞，则有20000ln 24a x x m a x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即：02022000144ln 20x a x m x x x >⎧⎪=⎨⎪=-+>⎩，由220004ln 20m x x x =-+>，即()20021ln 0x x ->，则01ln 0x ->，解得：0x <综上可得：01x <<，则201x e <<，又因为204a x =，所以44a e <<，即：()4,4a e ∈.故答案为：()4,4e .【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知6C π=，()sin ,1m A →=-，()cos ,1n B →=，且//m n →→.（1）求A 的值；（2）若点D 为边BC 上靠近B的四等分点，且AD =ABC 的面积.【答案】（1）6π；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由//m n →→，利用平面向量共线的坐标运算，得出sin cos A B =-，且6C π=，进而得出1sin cos cos cos sin sin cos sin 22A B A C A C A A =-=-=-，即可求出sin cos 3A A =，结合三角形的内角，即可求出A 的值；（2）设BD x =，由点D 为边BC 靠近B 点的四等分点，得4BC x =，由三角形内角和可算出23B A B ππ=--=，在ABD △中，利用余弦定理求出x ，从而得出AB 和BC ，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC 的面积.【详解】解：（1）由题可知，()sin ,1m A →=-，()cos ,1n B →=，且//m n →→，∴()sin cos 10A B -⨯-=，即sin cos A B =-，∴()sin cos cos cos cos sin sin A B A C A C A C =-=+=-，又6C π=，∴1sin cos cos sin sin cos sin 22A A C A C A A =-=-，即3sin cos 22A A =，∴sin cos 3A A =，若cos 0A =，则sin 0A =，与22sin cos 1A A +=矛盾，∴cos 0A ≠，∴tan 3A =，又A 为ABC 的内角，∴6A π=，∴A 的值为6π.（2）设BD x =，由点D 为边BC 靠近B 点的四等分点，得4BC x =，由（1）得6A π=，且已知6C π=，则23B A B ππ=--=，在ABD △中，根据余弦定理：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，得2222(4)24cos3x x x x π=+-⋅⋅⋅，解得：1x =，∴4AB BC ==，∴112sin 44sin 223ABC S BA BC B π=⋅⋅=⨯⨯⨯=△，∴ABC 的面积为【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算和三角形的面积，通过余弦定理解三角形以及两角和与差的正弦公式的应用，考查化简运算能力.16.在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为,AD DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC .（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：CD BE ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，通过三角形的中位线关系，得出//EF AC ，根据线面平行的判定定理，即可证出//EF 平面ABC ；（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点，则BE AD ⊥，因为平面ABD ⊥平面ADC ，根据面面垂直的性质得出BE ⊥平面ADC ，再根据线面垂直的性质，即可证出CD BE ⊥.【详解】证明：（1）在ADC 中，,E F 分别为,AD DC 的中点，∴//EF AC ，∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC .（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点，∴BE AD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面ADC ，BE ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，∴BE ⊥平面ADC ，因为DC ⊂平面ADC ，所以BE DC ⊥，即CD BE ⊥.【点睛】本题考查线面平行的判定以及通过线面垂直、面面垂直的性质证明线线垂直，考查推理证明能力.17.一胸针图样由等腰三角形OAB 及圆心C 在中轴线上的圆弧AB 构成，已知1OA OB ==，23ACB π∠=.为了增加胸针的美观程度，设计师准备焊接三条金丝线,,CO CA CB 且AC 长度不小于OC 长度，设AOC θ∠=.（1）试求出金丝线的总长度()L θ，并求出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，金丝线的总长度()L θ最小，并求出()L θ的最小值.【答案】（1）()2sin()6L πθθ=+，[6π，3π)；（2）6πθ=【解析】【分析】（1）由题可知，23ACB π∠=，AOC θ∠=，从而得出3ACM π∠=，3CAO πθ∠=-，在AOC △中，根据正弦定理即可求出AC θ=和)3OC πθ=-，即可金丝线的总长度()L θ，再根据AC 长度不小于OC 长度，即可求出θ的取值范围；（2）由（1）得()2sin(6L πθθ=+且,63ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，根据三角函数的图象和性质，即可求出()L θ的最小值.【详解】解：（1）∵圆心C 在中轴线上，23ACB π∠=，AOC θ∠=，∴3ACM π∠=，3CAO πθ∠=-，在AOC △中，1AO =，23ACO π∠=，3CAO πθ∠=-，根据正弦定理得：sin sin sin AC OA OCACO OACθ==∠∠，得AC θ=，)3OC πθ=-，∴()2sin()]2sin()36L AC OC ππθθθθ=+=+-=+，∵AC 长度不小于OC 长度，即OC AC ≤，1sin()(cos sin )322πθθθθ-=-≤，即3tan 3θ≥，又02πθ<<，解得：63ππθ≤<，∴θ的取值范围是[6π，3π).（2）由（1）得()2sin(6L πθθ=+，,63ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴,632πππθ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，此时sin(6πθ+单调递增，∴当63ππθ+=，即6πθ=时，sin()6πθ+取得最小值，为sin(62πθ+=，此时金丝线的总长度()L θ最小，最小值为()22L θ=⨯=，∴当6πθ=时，金丝线的总长度()L θ最小，()L θ.【点睛】本题考查正弦定理的应用以及三角函数的实际应用，还涉及三角函数的图象和性质求最值，考查化简运算能力.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 交椭圆C 于M ，N 两点，且0OM ON OH →→→→++=，求MNH △的面积.【答案】（1）22143x y +=；（2）5【解析】【分析】（1）根据题意，椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0，得出1c =，根据222c a b =-得出221a b -=，再根据点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆C 上一点，利用待定系数法即可求出2a 和2b ，从而得到椭圆C 的方程；（2）根据直线的点斜式方程得出直线l 的方程为1)y x =-，与椭圆方程联立，求得0x =或85x =，从而得出85M N x x +=，5M N y y +=，以及弦长MN ，通过0OM ON OH →→→→++=得出点H 的坐标，根据点到直线的距离公式求出H 点到直线l 的距离d ，即可求得MNH △的面积12S MN d =⋅.【详解】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，∵椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0，∴1c =，∴221a b -=①∵点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆C 上一点，∴221914a b +=②由①、②解得：24a =，23b =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，（2）由直线l 过椭圆的右焦点()1,0F 且斜率为l 的方程为：1)y x =-，而直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，代入22143x y +=，消去x ，整理得：2580x x -=，解得：0M x =或85N x =，∴85M N x x +=，232)5M N M N y y x x +=+-=，∴81655M N MN x =-==，∵0OM ON OH →→→→++=，∴OH OM ON →→→=--，即()(),,H H M N M N x y x x y y =----，∴点H 的坐标为(85-，5-)，∴H 点到直线l 的距离2d ==，所以MNH △的面积111622525S MN d =⋅=⨯⨯=.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和根据直线与椭圆的位置关系求弦长和椭圆中的三角形面积，还涉及椭圆的简单几何性质和点到直线的距离公式，考查化简运算能力.19.已知函数32()()f x x x ax a R =+-∈，()ln g x x x =.（1）求曲线()g x 在1x =处的切线方程；（2）对任意(]0,x a ∈，()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当(]0,x a ∈时，试求方程()()f x g x =的根的个数.【答案】（1）1y x =-；（2）30,ln 24⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（3）当30ln 24a <<+时，根的个数为0；当3ln 24a =+时，根的个数为1；当3ln 24a >+时，根的个数为2【解析】【分析】（1）直接求导得()()ln 10g x x x '=+>，利用导数的几何意义即可求出()g x 在1x =处的切线方程；（2）对任意(]0,x a ∈，()()f x g x >恒成立，转化为对任意(]0,x a ∈，2ln 0x x x a +-->恒成立，构造函数2()ln x x x x a ϕ=+--，(]0,x a ∈，分类讨论102a <≤和12a >的情况，利用导数研究函数的单调性、最值和解决恒成立问题，即可求出实数a 的取值范围；（3）分类讨论a 的取值范围，由（2）得，当30ln 24a <<+时，方程()()f x g x =的根的个数为0，当3ln 24a =+时，当12x =时，()()0f x g x -=，得方程()()f x g x =的根的个数为1；当3ln 24a >+时，根据零点存在性定理，即可判断出方程()()f x g x =的根的个数，综合即可得出结论.【详解】解：（1）∵()ln g x x x =，则()g x 的定义域为()0,∞+，∴()ln 1g x x '=+，∴(1)1g '=，∵(1)0g =，则切点为()1,0，∴曲线()g x 在1x =处的切线方程是：1y x =-，（2）∵对任意(]0,x a ∈，()()f x g x >恒成立，∴对任意(]0,x a ∈，2ln x x a x +->恒成立，即2ln 0x x x a +-->恒成立，令2()ln x x x x a ϕ=+--，(]0,x a ∈，则1(1)(21)()21x x x x x xϕ+-'=+-=，①当102a <≤时，当(]0,x a ∈时，()0x ϕ'<，∴()x ϕ在(]0,a 上单调递减，∴211111()ln (ln ln 2024224a a a a ϕϕ=-≥=+--≥+>，∴102a <≤，②当12a >时，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0x ϕ'<，∴()x ϕ在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，当1,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0x ϕ'>，∴()x ϕ在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，∴11113(ln ln 2024224a a ϕ=+--=+->，∴13ln 224a <<+，综上，实数a 的取值范围是30,ln 24⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（3）当30ln 24a <<+时，由（2）得，方程()()f x g x =的根的个数为0，当3ln 24a =+时，由（2）得，当12x =时，()()0f x g x -=，∴方程()()f x g x =的根的个数为1，当3ln 24a >+时，13(ln 2024a ϕ=+-<，3ln 2ln 2412ae e e ----<<=，2()0a a a e e e ϕ---=+>，根据零点存在性定理，()x ϕ在1,2a e -⎛⎫⎪⎝⎭上至少存在1个零点，又在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴在()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有1个零点，22()ln 0a a a a a ϕ=->->，同理，()x ϕ在1,2a ⎛⎤⎥⎝⎦上只有1个零点，∴方程()()f x g x =的根的个数为2，综上，当30ln 24a <<+时，方程()()f x g x =的根的个数为0；当3ln 24a =+时，方程()()f x g x =的根的个数为1；当3ln 24a >+时，方程()()f x g x =的根的个数为2.【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数解决恒成立问题和零点个数问题，还涉及构造函数和零点存在性定理，考查转化思想和分类讨论思想.20.已知数列{}n a 满足112a =，11n n n a a a λλ+=+，n *∈N .（1）若1λ=.①求数列{}n a 的通项公式；②证明：对n N *∀∈，123234a a a a a a ++ 12(5)12(2)(3)n n n n n a a a n n ++++=++.（2）若2λ=，且对n N *∀∈，有01n a <<，证明：118n n a a ++-<.【答案】（1）①11n a n =+；②证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）①当1λ=时，11n n na a a +=+，两边取倒数，再根据数列递推关系，可得出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，即可求出数列{}n a 的通项公式；②由①知11n a n =+，利用裂项公式整理得出121111[](1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)k k k a a a k k k k k k k ++==-+++++++，则对n N *∀∈，根据裂项相消法即可求出12323412n n n a a a a a a a a a +++++ ；（2）当2λ=时，1221nn n a a a +=+，则12221(1)11n n n n n n n n na a a a a a a a a ++-=-=-++，由于01n a <<，则10n a ->，根据基本不等式得出()2112n n n n a a a a +-⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，化简整理有11124(1)2(1)n n n n a a a a +-=⋅++-+，最后再利用基本不等式，即可证明出1218n n a a ++-<.【详解】解：（1）①当1λ=时，11n n na a a +=+，∵1102a =>，∴12101a a a =>+，依此类推，0n a >∴11111n n n n a a a a ++==+，∴1111n na a +-=，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，∴11n n a =+，即11n a n =+，②证明：由①知11n a n =+，故对1,2,3k =L 121111[](1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)k k k a a a k k k k k k k ++==-+++++++，∴12323412n n n a a a a a a a a a +++++ ＝1111111[()()(223343445(1)(2)(2)(3)n n n n -+-++-⨯⨯⨯⨯++++ ＝111(5)[]223(2)(3)12(2)(3)n n n n n n +-=⨯++++，（2）证明：当2λ=时，1221n n n a a a +=+，则12221(1)11n n n n n n n n na a a a a a a a a ++-=-=-++，∵01n a <<，则10n a ->，得()2112n n n n a a a a +-⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，∴2122111(1)(121n n n n n n n n n na a a a a a a a a a +++-+-=-≤⋅++＝2114(1)2(1)2n n n a a a +⋅+-++＝11112448(1)2(1)n n a a +⋅≤⋅++-+，∵1n n a a =-与211n na a +=+不能同时成立，所以上式“＝”不成立，即对n N *∀∈，1218n n a a ++-<.【点睛】本题考查通过数列的递推关系证出等差数列和求数列的通项公式，以及运用裂项相消法求和，还涉及运用基本不等式求最值，考查推理证明和化简运算能力.21.已知矩阵101k A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足21201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A -.【答案】1 10 1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由101k A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦和21201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据矩阵的乘法运算求出1k =，即可得出 1 1=0 1A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设1 = a b A c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再根据逆矩阵的定义和运算，即可求出1A -.【详解】解：∵ 1 =0 1k A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴2 1 1 1 2 1 20 10 10 10 1k k k A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴22k =，解得：1k =，∴ 1 1=0 1A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设1 = a b A c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1 1 1 1 0= 0 1 0 1a b a a b A A c d c c d -+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴1001a a b c c d =⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪+=⎩，解得1101a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴11 1=0 1A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和逆矩阵的定义和运算，考查化简计算能力.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121+2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos(3πρθ=-.（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长度.【答案】（1）3π；（2【解析】【分析】（1）利用消参法将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用斜率公式即可求出直线l 的倾斜角；（2）利用互化公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式，求出圆心1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭到直线l的距离，最后再运用直线与圆的弦长公式AB =.【详解】解：（1）设直线l 的倾斜角为α，[0,)απ∈∵直线l 的参数方程为12312x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，所以1y =，∴tan α=[0,)απ∈，∴3πα=，∴直线l 的倾斜角为3π，（2）由曲线C 的极坐标方程为2cos(3πρθ=-，得2cos sin ρρθθ=+，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的普通方程为220x y x +--=，圆心为1,22⎛ ⎝⎭，半径1r =，则圆心1,22⎛ ⎝⎭到直线l 的距离12d ==，∴AB ==∴AB 的长度为.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程，利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及运用点到直线的距离公式和直线与圆的弦长公式，考查转化思想和运算能力.23.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，若棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2，且向量PC →与BD →夹角的余弦值为15.（1）求CD 的长度；（2）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）2；（2）3【解析】【分析】（1）如下图建立空间直角坐标系，由//AB CD ，可设DC AB λ→→=，则(),2,0C λ，向量求出PC →和BD →的坐标，利用PC →与BD →夹角的余弦值为15，结合空间向量法求异面直线的夹角运算公式，求出λ，即可求出CD ；（2）先求出平面PBD 的一个法向量，再通过空间向量法求线面角公式，即可求出直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.【详解】解：棱,,AB AD AP 两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系如图：则()1,0,0B ，()0,2,0D ，()002P ,,，∵//AB CD ，可设DC AB λ→→=，∴(),2,0C λ（1）(),2,2PC λ→=-，()1,2,0BD →=-，则cos 15PC BDPC BD PC BD →→→→→→⋅<>===,，解得：2λ=，∴22CD AB ==，（2）易得()1,0,2PB →=-，()0,2,2PD →=-，设平面PBD 的一个法向量(),,n x y z →=，则20220n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1z =，则2x =，1y =∴平面PBD 的一个法向量()2,1,1n →=，又()2,2,2PC →=-，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，[0,2πθ∈，则sin cos ,3PC nPC n PC n θ→→→→→→⋅=<>==，∴直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为3.【点睛】本题考查利用空间向量法由异面直线的夹角求其他线段长，以及利用空间向量法求线面夹角，考查运算能力.24.记()f a 为(1)n ax +二项展开式中的3x 项的系数，其中{}1,2,3,...,3a n n ∈≥，.（1）求(1)(2)(3)f f f ，，；（2）证明：3211()()n n n a f a Cn n +==+∑.【答案】（1）3(1)n f C =，3(2)8n f C =，3(3)27n f C =；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由二项式定理的展开式可知，(1)n ax +的二项展开式中的3x 项的系数为33n C a ，则33()n f a C a =，即可求出(1)(2)(3)f f f ，，；（2）由（1）得33()n f a C a =，则33331()(12)n n n f a C n ==+++∑ ，则只需先证22333(1)124n n n ++++= ，3n ≥，利用数学归纳法，化简整理后即可证出3211()()nn n a f a C n n +==+∑.【详解】解：（1）解：∵(1)n ax +的二项展开式中的3x 项的系数为33n C a ，∴33()n f a C a =，∴3(1)n f C =，3(2)8n f C =，3(3)27n f C =，（2）证明：由（1）得33()n f a C a =，则33331()(12)n n n f a C n ==+++∑ 先证：22333(1)124n n n ++++= ，3n ≥，①当3n =时，223333412336=4⨯++=，结论成立，假设当()3,n k k k N *=≥∈时，结论成立，即22333(1)124k k k ++++= ，②当1n k =+时，2233333(1)12(1)(1)4k k k k k ++++++=++ 222244(1)(2)(1)44k k k k k ++++=+⨯=，∴对任意不小于3的正整数n ，均有22333(1)124n n n ++++= ，∴222231(1)(1)(2)(1)()464n nn n n n n n n n f a C =+--+=⨯=⨯∑324321(2)(1)(1)()()24n n n n n n n C n n +--+=⨯+=+.【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用以及利用数学归纳法进行证明，考查转化与化归思想和化简运算能力.。

2020-2021学年江苏省连云港市新海中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“，”的否定是：“，”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件参考答案：B略2. 设，，，则（）．．．．参考答案：A,,，所以，选A.3. 已知△ABC中，AB=AC=4，BC=，点P为BC边所在直线上的一个动点，则满足（）A．最大值为16 B．最小值为4C．为定值8 D．与P的位置有关参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取BC的中点D，则AD==2，由平行四边形法则，=2，故=2?，由此能求出结果．【解答】解：取BC的中点D，则AD==2，由平行四边形法则，=2，∴=2?=2×||×||cos∠PAD=2||2=2×4=8．故选C4. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B当共线时，，，此时方向相同夹角为，所以要使与的夹角为锐角，则有且不共线。

由得，且，即实数的取值范围是，选B.5. 如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线参考答案：B6. 若函数存在反函数，则方程（为常数） ( )A.有且只有一个实根B.至少有一个实根C.至多有一个实根 D.没有实根参考答案：C7. 已知双曲线9y2一m2x2=1（m>o）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=A．1 B．2C．3 D．4参考答案：8. 已知抛物线的准线与x轴交于点D,与双曲线交于A, B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是()A. B. C. D.参考答案：D抛物线的准线方程为，准线与轴的交点为，为等腰直角三角形，得，故点A的坐标为，由点在双曲线上，可得，解得，即，所以，故双曲线的离心率.故选D.9. 的三个内角A、B、C成等差数列，，则一定是( ) A．直角三角形B．等边三角形C．非等边锐角三角形D．钝角三角形参考答案：B10. 设变量x，y满足约束条件：，则的最大值为A．10 B．8 C．6 D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是________(写出正确命题的编号)。

2020年高考数学模拟试卷（5月份）一．填空题（共12小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∪B＝．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，已知在[50，100）中的频数为160，则n的值为．4．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．5．已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1＝0的斜率为正值的概率是．6．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为．7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，S7＝3（a1+a9），则的值为．8．将函数y＝sin（2x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数的y＝sin2x 的图象，则φ的最小值为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A为双曲线x2﹣y2＝4的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，△ABC为等边三角形，则△ABC的面积为．10．在平行四边形ABCD中，∠A，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是．11．在△ABC中，AB+BC＝4，AB cos A+BC cos C＝1，则当角B最大时，△ABC的面积为．12．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2＝1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为．13．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x y+z＝6，则x3+y2+3z的最小值为．14．已知函数f（x）＝|x﹣a|a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．16．已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5，且△ABC的面积为9．（1）求AC；（2）当△ABC为锐角三角形时，求的值．17．如图，河的两岸，分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB＝3km，BC＝4km，DF km，FE＝3km，EC km．若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河岸DE可看成是曲线y（其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线y＝kx+m（其中k，m为常数）的一部分．（1）求a，b，k，m的值；（2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MN⊥AC，设点M的横坐标为t．①请写出桥MN的长l关于t的函数关系式l＝f（t），并注明定义域；②当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B2，B1，分别是椭圆1（a＞b ＞0）的上、下顶点，线段B1B2长为2，椭圆的离心率为．（1）求该椭圆的方程；（2）已知过点E（0，）的直线l与椭圆交于M，N两点，直线MB2与直线NB1交于点T．①若直线l的斜率为，求点T的坐标；②求证点T在一条定直线上，并写出该直线方程．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，设数列{b n}满足b n＝2（S n+1﹣S n）S n﹣n（S n+1+S n）（n∈N*）．（1）若数列{a n}为等差数列，且b n＝0，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n﹣1}的，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n＜b2n﹣1的所有正整数的n集合．20．（16分）已知函数f（x）＝（x+l）lnx+ax（a∈R）．（1）若y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y+b＝0，求实数a，b的值；（2）证明：当a＜﹣2时，y＝f（x）在（0，+∞）上有两个极值点；（3）设g（x）＝|f（x）|，若g（x）在[1，e]上是单调减函数（e为自然对数的底数），求实数a的取值．参考答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}．【分析】利用集合的并集的运算即可算出结果．解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：由（1+i）z＝2i，得．则复数z的模为：．故答案为：．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，已知在[50，100）中的频数为160，则n的值为400．【分析】由频率分布直方图求出[50，100）中的频率，再由在[50，100）中的频数，能求出n．解：由频率分布直方图得：[50，100）中的频率为：（0.004+0.012）×25＝0.4，∵在[50，100）中的频数为160，∴n400．故答案为：400．4．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S＝10+9+8+…+2的值．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S＝10+9+8+…+2的值．∵S＝10+9+8+…+2＝54的值，故输出54．故答案为：54．5．已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1＝0的斜率为正值的概率是．【分析】基本事件总数N＝3×2＝6，由直线mx+ny+1＝0的斜率为正值，得k，利用列举法求出直线mx+ny+1＝0的斜率为正值包含的基本事件有2个，由此能求出直线mx+ny+1＝0的斜率为正值的概率．解：m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，随机选取m，n，基本事件总数N＝3×2＝6，∵直线mx+ny+1＝0的斜率为正值，∴k，∴直线mx+ny+1＝0的斜率为正值包含的基本事件有：{﹣1，2}，{1，﹣2}，共2个，∴直线mx+ny+1＝0的斜率为正值的概率是P．故答案为：．6．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为16．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积．解：如图所示，直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，∴侧棱长为CC12；∴该直四棱柱的侧面积为S＝4×2×216．故答案为：16．7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，S7＝3（a1+a9），则的值为．【分析】由等差数列的通项公式、前n项和公式得到a1＝3d，由此能求出的值．解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，S7＝3（a1+a9），∴，解得a1＝3d，∴．故答案为：．8．将函数y＝sin（2x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数的y＝sin2x 的图象，则φ的最小值为．【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得φ的最小值．解：∵将函数y＝sin（2x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数的y＝sin（2x+2φ）＝sin2x的图象，∴2φ2kπ，k∈Z，则φ的最小值满足2φ2π，φ，故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A为双曲线x2﹣y2＝4的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，△ABC为等边三角形，则△ABC的面积为12．【分析】先求出双曲线x2﹣y2＝4的左顶点为A（﹣4，0），根据双曲线的对称性，设出B（x1，y1），C（x1，﹣y1）的坐标，根据，△ABC是等边三角形得（x1+2）2+y12＝（﹣y1﹣y1）2，求出x1和y1的值，由此得BC＝4，从而可以算出面积．解：双曲线x2﹣y2＝4的左顶点为A（﹣2，0），根据双曲线的对称性，可设B（x1，y1），C（x1，﹣y1）．由△ABC是等边三角形⇒AB＝BC，得：（x1+2）2+y12＝（﹣y1﹣y1）2，又x12﹣y12＝4，∴x12﹣2x1﹣8＝0，∴x1＝﹣2或x1＝4右支的范围是x≥0，所以x1＝4，从而y1＝±2，由此BC＝4可以算出面积：S12．故答案为：12．10．在平行四边形ABCD中，∠A，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[2，5]．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设λ，λ∈[0，1]，M（2），N（），所以（2）•（）＝﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ＝﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．11．在△ABC中，AB+BC＝4，AB cos A+BC cos C＝1，则当角B最大时，△ABC的面积为．【分析】先利用余弦定理，将AB cos A+BC cos C＝1化边，求出b的值，然后根据a+c＝4，再利用余弦定理，求出B最大时的值，最后代入面积公式求解．解：设AB＝c，BC＝a，AC＝b．则已知条件为：a+c＝4，c cos A+a cos C＝1．由余弦定理得，化简得b＝1．结合a+c＝4．所以①，因为，当且仅当a＝c时取等号．∴．根据余弦函数在（0，π）上递减，可知，即sin B时，B最大．将代入①式得：ac＝4．∴．故答案为：．12．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2＝1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为a≤0．【分析】从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP＝1，利用圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°，可得|OM|≤2，进而得出答案．解：由题意，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2＝1（a为实数），圆心为M（﹣a﹣3，2a）圆M上任意一点Q向圆O作切线，切点为P，∠PQO＝30°，所以x2+y2＝4与圆M有交点13，解得∴a≤0，故答案为：a≤0，13．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x y+z＝6，则x3+y2+3z的最小值为．【分析】利用换元法以及函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后利用二次函数的性质求解即可．解：设T＝x3+y2+3z，因为x y+z＝6，所以z＝6﹣x y，∴T＝x3+y2+18﹣3x﹣3y，可得T﹣y2+3y＝x3+18﹣3x，设f（x）＝x3+18﹣3x，f′（x）＝3x2﹣3，令f′（x）＝0，可得x＝±1，f″（x）＝6x，f″（1）＞0，f（1）＝16，∵0＜x＜1时，f（x）是单调减函数，f（x）≥16，当x＞1时，f（x）单调增函数，∴f（x）≥16，即T﹣y2+3y≥16，T≥y2﹣3y+16，当y时，函数取得最小值．此时3z＞0．故答案为：．14．已知函数f（x）＝|x﹣a|a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为{a|a或}．【分析】令g（x）＝0，化简函数g（x），从而不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，讨论当x＞a时，求得两根，x≤a时，①a≤﹣1，②﹣1＜a≤3，③a＞3，运用等差数列的中项的性质，进而确定a的值．解：设f（x）＝0，可得|x﹣a|a＝2，设g（x）＝|x﹣a|a，h（x）＝2，函数g（x），不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞a时，f（x）＝0，解得x＝﹣1，x＝3；①a≤﹣1，∵x2＝﹣1，x3＝3，由等差数列的性质可得x1＝﹣5，由f（﹣5）＝0，解得a，满足f（x）＝0在（﹣∞，a]上有一解．②﹣1＜a≤3，f（x）＝0在（﹣∞，a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝3，所以有x1，x2是2a﹣x2的两个解，即x1，x2是x2﹣（2a﹣2）x+3＝0的两个解．得到x1+x2＝2a﹣2，x1x2＝3，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+3，解得：a或（舍去）；③a＞3，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a或．故答案为：{a|a或}．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．【分析】（1）取AB的中点P，连结PM、PB1推导出四边形PMNB1是平行四边形，从而MN∥PB1，由此能证明MN∥平面ABB1A1．（2）推导出BB1⊥面A1B1C1，从而面ABB1A1⊥面A1B1C1推导出B1C1⊥B1A1，从而B1C1⊥面ABB1A1，进而B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，推导出AB1⊥A1B，从而A1B ⊥面AB1N，由此能证明A1B⊥AN．【解答】证明：（1）取AB的中点P，连结PM、PB1，因为M、P分别是AB，AC的中点，所以PM∥BC且PM BC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N，且PM＝B1N．…所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，…而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1．…（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥面A1B1C1，又因为BB1⊂面ABB1A1，所以面ABB1A1⊥面A1B1C1，…又因为∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1，面ABB1A1∩面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥面ABB1A1，…又因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂面AB1N，所以A1B⊥面AB1N，…而AN⊂面AB1N，所以A1B⊥AN．…16．已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5，且△ABC的面积为9．（1）求AC；（2）当△ABC为锐角三角形时，求的值．【分析】（1）有S△ABC，又AB＝6，BC＝5，可得sin B，又B∈（0，π），可得cos B，再利用余弦定理即可得出．（2）由△ABC为锐角三角形得B为锐角，可得AB＝6，AC，BC＝5，可得，又A∈（0，π），可得sin A，可得sin2A，cos2A，再利用和差公式即可得出．解：（1）因为S△ABC，又AB＝6，BC＝5，所以，………又B∈（0，π），所以，………当cos B时，当cos B时，所以或．………注：少一解的扣（2）由△ABC为锐角三角形得B为锐角，所以AB＝6，AC，BC＝5，所以，又A∈（0，π），所以，………所以，，………所以．………17．如图，河的两岸，分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB＝3km，BC＝4km，DF km，FE＝3km，EC km．若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河岸DE可看成是曲线y（其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线y＝kx+m（其中k，m为常数）的一部分．（1）求a，b，k，m的值；（2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MN⊥AC，设点M的横坐标为t．①请写出桥MN的长l关于t的函数关系式l＝f（t），并注明定义域；②当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？【分析】（1）先求出D、E、A、C点的坐标，代入函数的解析式，从而求出a，b，k，m的值即可；（2）①先表示出M点的坐标，问题转化为求M到直线AC的距离即可；②由基本不等式的性质求出最小值即可．解：（1）由题意得：OD＝BC＝4，OB＝FC，∴D（0，），E（3，4），A（，0），C（，4），把D（0，），E（3，4）代入y得：，解得：a＝﹣4，b＝﹣7，把A（，0），C（，4）代入y＝kx+m得：，解得：k，m＝﹣2；（2）由（1）得：M点在y上，∴M（t，），t∈[0，3]，①桥MN的长l为MN到直线y x﹣2的距离，故l＝f（x）|4t9|，t∈[0，3]；②由①得：f（t）|4t9||4（t﹣4）7|，而t﹣4＜0，0，∴4（t﹣4）212，当且仅当4（t﹣4）时即t“＝”成立，∴f（t）min|﹣12+7|＝1．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B2，B1，分别是椭圆1（a＞b ＞0）的上、下顶点，线段B1B2长为2，椭圆的离心率为．（1）求该椭圆的方程；（2）已知过点E（0，）的直线l与椭圆交于M，N两点，直线MB2与直线NB1交于点T．①若直线l的斜率为，求点T的坐标；②求证点T在一条定直线上，并写出该直线方程．【分析】（1）由短轴长及离心率和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）①由（1）可得B1，B2的坐标，设直线MN的方程，与椭圆联立求出M，N的坐标，求出直线MB2，NB1，再求两条直线的交点T的坐标；②设直线MN的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线MB2，NB1，再求两条直线的交点T的坐标（x，y）与M，N的坐标的关系，由两根之和及两根之积代入可得，，解得y＝2．即T在直线y＝2上．解：（1）由题意可得：2b＝2，e，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：y2＝1；（2）①由（1）可得B2（0，1），B1（0，﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可得直线l的方程为：y（x+1），联立直线与椭圆的方程，整理可得：2x2+2x﹣3＝0，解得x1，x2，x1x2，直线MB 2：y x﹣1，直线NB 1：y x﹣1，所以解得x24，y＝2，所以T的坐标为（24，2），②设M（x1，y1），N（x2，y2），由整理可得（1+4k2）x2+4kx﹣3＝0，x1+x2，x1x2，直线B2M：y x+1，B1N：y x﹣1，所以可得，而y 22＝1，∴（1+y2）（1﹣y2），∴，所以4•4，所以，解得y＝2．所以T在定直线y＝2．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，设数列{b n}满足b n＝2（S n+1﹣S n）S n﹣n（S n+1+S n）（n∈一、选择题*）．（1）若数列{a n}为等差数列，且b n＝0，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n﹣1}的，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n＜b2n﹣1的所有正整数的n集合．【分析】（1）由b n＝2（S n+1﹣S n）S n﹣n（S n+1+S n）（n∈N*），得b n＝2a n+1S n﹣n（2S n+a n+1），由b n＝0，得a1d﹣a1＝0对一切n∈N*都成立，由此能求出a n＝0或a n＝n．（2）由题意得，，4×2n﹣4，从而推导出b2n﹣b2n﹣1，设f（n）＝2n[]+8，记g（n），则g（n+1）﹣g（n），由此能求出满足条件的正整数n的集合．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则a n+1＝a1+nd，，由b n＝2（S n+1﹣S n）S n﹣n（S n+1+S n）（n∈N*），得b n＝2a n+1S n﹣n（2S n+a n+1），∵b n＝0，∴对一切n∈N*都成立，即a1d﹣a1＝0对一切n∈N*都成立，令n＝1，n＝2，解得a1＝d＝0或a1＝d＝1，经检验，符合题意，∴a n＝0或a n＝n．（2）由题意得﹣1，，4×2n﹣4，S2n+1＝S2n+a2n+1＝4×2n﹣4+2n＝5×2n﹣4，b2n＝2a2n+1S2n﹣2n（2S2n+a2n+1）＝2×2n×（4×2n﹣4）﹣2n（8×2n﹣8+2n）＝2n+1（2n+2﹣9n﹣4）+16n，b2n﹣1＝2a2n S2n﹣1﹣（2n﹣1）（2S2n﹣1+a2n）＝6×2n﹣1×（5×2n﹣1﹣4）﹣（2n﹣1）（10×2n﹣1﹣8+3×2n﹣1）＝2n﹣1（30×2n﹣1﹣26n﹣11）+16n﹣8，b2n﹣b2n﹣1＝2n+1（2n+2﹣9n﹣4）+16n﹣[2n﹣1（30×2n﹣1﹣26n﹣11）+16n﹣8]，设f（n），即f（n）＝2n[]+8，记g（n），则g（n+1）﹣g（n），当n＝1，2，3时，g（n+1）﹣g（n）＜0，当n∈N*时，n≥4，g（n+1）﹣g（n）＜0，∵n＝1时，g（1）0，∴g（4）＜0，且g（6）0，g（7）0，∴f（n）在n≥7（n∈N*）时，是单调递增函数，f（1）＝﹣5＜0，f（2）＝﹣34＜0，f（3）＝﹣100＜0，f（4）＝﹣224＜0，f（5）＝﹣360＜0，f（6）＝﹣24＜0，f（7）＝3400＞0，∴满足条件的正整数n的集合为{1，2，3，4，5，6}．20．（16分）已知函数f（x）＝（x+l）lnx+ax（a∈R）．（1）若y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y+b＝0，求实数a，b的值；（2）证明：当a＜﹣2时，y＝f（x）在（0，+∞）上有两个极值点；（3）设g（x）＝|f（x）|，若g（x）在[1，e]上是单调减函数（e为自然对数的底数），求实数a的取值．【分析】（1）对函数f（x）求导，通过切线的斜率k＝f'（1）＝﹣1可求出a的值，把切点（1，a）代入切线方程可求出b的值；（2）令g（x）＝f'（x），则原问题转化为g（x）在（0，+∞）上有两个变号零点，再对g（x）求导，判断其在（0，+∞）上的单调性，然后结合零点存在定理证明，难点是找到端点值g（e﹣a﹣1）和g（e a﹣1）；（3）先将函数g（x）整理成，x∈[1，e]，令，通过求导、换元和构造函数可证明函数h（x）在[1，e]上单调递增．然后分①h（1）＝a≥0，②和③三类情况，分别讨论在满足g（x）在[1，e]上是单调减函数的情形下，a的取值范围，在每一步讨论的过程中用到了构造函数、参变分离、零点存在定理等方法．解：（1），k＝f'（1）＝2+a＝﹣1，∴a＝﹣3，∵切点（1，a）在直线x+y+b＝0上，∴1+a+b＝0，∴b＝2．故a＝﹣3，b＝2．（2），令，问题等价于g（x）在（0，+∞）上有两个变号零点，∴，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）min＝g（1）＝2+a＜0，而g（e﹣a﹣1）＝e a+1＞0，g（e a﹣1）＝2a+e1﹣a＞2a+（1﹣a）2＝1+a2＞0，∴g（x）在（e a﹣1，1）和（1，e﹣a﹣1）上各有一个变号零点，即y＝f（x）在（0，+∞）上有两个极值点．（3），x∈[1，e]，令，则令∈[]，∴，∴H'（t）＝1+lnt+1＝2+lnt≥1＞0，∴H（t）在[]上单调递增，∴H（t），∴h'（x）＞0，即h（x）在[1，e]上单调递增．①当h（1）＝a≥0时，，∵g（x）在[1，e]上是单调减函数，∴，令u（x）＝﹣（1+x+x2）lnx﹣ax2+x+1，则恒成立，∴u（x）在[1，e]上单调递减，∴u（x）max＝u（1）＝﹣a+2≤0，解得a≥2．②当即时，，由①知，∵函数g（x）在[1，e]上是单调减函数，∴u（x）＝﹣（1+x+x2）lnx﹣ax2+x+1≥0对∀x∈[1，e]恒成立，即对∀x∈[1，e]恒成立，令φ（x），x∈[1，e]，∴φ'（x），∴φ（x）在[1，e]上单调递减，故φ（x）min＝φ（e），∴a≤φ（x）min＝﹣1，又，∴1．③若，，由前知h（x）在[1，e]上单调递增，∵，∴存在唯一的x0∈（1，e）使h（x0）＝0，此时g（x0）＝0，而g（1）＞0，g（e）＞0，∴g（x）在[1，e]上不单调，舍去，综上所述，实数a的取值范围为．。

绝密★启用前江苏省三校联考(新海高中、昆山中学、梁丰高中)2020届高三毕业班下学期高考模拟联合考试数学试题(解析版)2020年5月一．填空题（共12小题）1.已知集合{}1,0,2A =-，{}1,1,2B =-，则A B =_____．【答案】1,0,1,2 【解析】【分析】由并集定义可直接求得结果.【详解】因为集合{}1,0,2A =-，{}1,1,2B =-，所以，由并集定义得：{}1,0,1,2A B ⋃=-.故答案为：1,0,1,2.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算,属于基础题.2.已知复数z 满足1 i z ＝2i ,其中i 是虚数单位,则z 的模为_______. 2【解析】【分析】利用复数的除法法则可得1z i =+,进而求得模即可【详解】由题,()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,所以22112z =+=,故答案为：2【点睛】本题考查复数的模,考查复数除法法则的应用,属于基础题3.为了解学生课外阅读的情况,随机统计了n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在[]50,150中,其频率分布直方图如图所示,已知在[)50,100中的频数为160,则n 的值为_____．【答案】400【解析】【分析】由频率分布直方图求出[)50,100的频率,再由在[)50,100的频数,能求出n ．【详解】由频率分布直方图得：[)50,100的频率为：()0.0040.012250.4+⨯=, 在[)50,100中频数为160,1604000.4n ∴==． 故答案为：400．【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、总数的问题,属于基础题.4.如图是一个算法的流程图,若输入n 的值是10,则输出S 的值是_____．。

江苏省梁丰高级中学2019-2020学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 复数满足2＋2z 1－i＝i z ，则z 等于（ ） A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 2． 以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．2,2x R x x ∃∈≤-B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．3． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ）A ．a ＜0，△＜0B ．a ＜0，△≤0C ．a ＞0，△≥0D ．a ＞0，△＞04． 已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A ．4 B ．4 C.4 D ．345． 设集合{}1234U =，，，，{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ） A ．{}12， B ．{}14， C ．{}24，D ．{}134，，6． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a 为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．187． 设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96S S =（ ） A ．2 B ．73 C.83 D ．38． 若直线:1l y kx =-与曲线C ：1()1e x f x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．－1B ．12C ．1 D【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．9． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．y= B ．y=﹣x+C ．y=﹣x|x|D ．y=10．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=21V V （ ）1111] A ．41 B ．31 C ．21 D ．不是定值，随点M。

2020年江苏高考数学模拟试卷（5月份）一．填空题（共12小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∪B＝．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，已知在[50，100）中的频数为160，则n的值为．4．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．5．已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1＝0的斜率为正值的概率是．6．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2√3，则该直四棱柱的侧面积为 ．7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝3（a 1+a 9），则a 5a 4的值为 ．8．将函数y ＝sin （2x +π3）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数的y ＝sin2x 的图象，则φ的最小值为 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线x 2﹣y 2＝4的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，△ABC 为等边三角形，则△ABC 的面积为 ．10．在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→，则AM →⋅AN →的取值范围是 ．11．在△ABC 中，AB +BC ＝4，AB cos A +BC cos C ＝1，则当角B 最大时，△ABC 的面积为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆M ：（x +a +3）2+（y ﹣2a ）2＝1（a 为实数）．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为 ． 13．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x +√3y +z ＝6，则x 3+y 2+3z 的最小值为 ． 14．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |−3x+a ﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1的中点．求证： （1）MN ∥平面ABB 1A 1； （2）AN ⊥A 1B ．16．已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5，且△ABC的面积为9．（1）求AC；（2）当△ABC为锐角三角形时，求cos(2A+π6)的值．17．如图，河的两岸，分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB＝3km，BC＝4km，DF=94km，FE＝3km，EC=32km．若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河岸DE可看成是曲线y=x+bx+a（其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线y＝kx+m（其中k，m为常数）的一部分．（1）求a，b，k，m的值；（2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MN⊥AC，设点M的横坐标为t．①请写出桥MN的长l关于t的函数关系式l＝f（t），并注明定义域；②当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 2，B 1，分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b＞0）的上、下顶点，线段B 1B 2长为2，椭圆的离心率为√32．（1）求该椭圆的方程；（2）已知过点E （0，12）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线MB 2与直线NB 1交于点T ．①若直线l 的斜率为12，求点T 的坐标；②求证点T 在一条定直线上，并写出该直线方程．19．（16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2（S n +1﹣S n ）S n ﹣n （S n +1+S n ）（n ∈N *）．（1）若数列{a n}为等差数列，且b n＝0，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n﹣1}的，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n＜b2n﹣1的所有正整数的n集合．20．（16分）已知函数f（x）＝（x+l）lnx+ax（a∈R）．（1）若y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y+b＝0，求实数a，b的值；（2）证明：当a＜﹣2时，y＝f（x）在（0，+∞）上有两个极值点；（3）设g（x）＝|f（x）|1xe，若g（x）在[1，e]上是单调减函数（e为自然对数的底数），求实数a的取值．参考答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}．【分析】利用集合的并集的运算即可算出结果．解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为√2．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：由（1+i）z＝2i，得z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．则复数z的模为：√2．故答案为：√2．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，已知在[50，100）中的频数为160，则n的值为400．【分析】由频率分布直方图求出[50，100）中的频率，再由在[50，100）中的频数，能求出n．解：由频率分布直方图得：[50，100）中的频率为：（0.004+0.012）×25＝0.4，∵在[50，100）中的频数为160，∴n=1600.4=400．故答案为：400．4．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S＝10+9+8+…+2的值．解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n ＜2时，S ＝10+9+8+…+2的值． ∵S ＝10+9+8+…+2＝54的值， 故输出54． 故答案为：54．5．已知m ∈{﹣1，0，1}，n ∈{﹣2，2}，若随机选取m ，n ，则直线mx +ny +1＝0的斜率为正值的概率是13．【分析】基本事件总数N ＝3×2＝6，由直线mx +ny +1＝0的斜率为正值，得k =−mn ＞0，利用列举法求出直线mx +ny +1＝0的斜率为正值包含的基本事件有2个，由此能求出直线mx +ny +1＝0的斜率为正值的概率．解：m ∈{﹣1，0，1}，n ∈{﹣2，2}，随机选取m ，n ， 基本事件总数N ＝3×2＝6， ∵直线mx +ny +1＝0的斜率为正值， ∴k =−mn ＞0，∴直线mx +ny +1＝0的斜率为正值包含的基本事件有： {﹣1，2}，{1，﹣2}，共2个，∴直线mx +ny +1＝0的斜率为正值的概率是P =26=13． 故答案为：13．6．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2√3，则该直四棱柱的侧面积为 16√2 ．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积． 解：如图所示，直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形， 侧面对角线的长为2√3，∴侧棱长为CC 1=√(2√3)2−22=2√2；∴该直四棱柱的侧面积为S ＝4×2×2√2=16√2． 故答案为：16√2．7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝3（a 1+a 9），则a 5a 4的值为76．【分析】由等差数列的通项公式、前n 项和公式得到a 1＝3d ，由此能求出a 5a 4的值．解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝3（a 1+a 9）， ∴7a 1+7×62d =3(a 1+a 1+8d)， 解得a 1＝3d ，∴a 5a 4=a 1+4d a 1+3d=7d 6d=76．故答案为：76．8．将函数y ＝sin （2x +π3）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数的y ＝sin2x的图象，则φ的最小值为5π6．【分析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，求得φ的最小值． 解：∵将函数y ＝sin （2x +π3）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后， 恰好得到函数的y ＝sin （2x +2φ+π3）＝sin2x 的图象，∴2φ+π3=2k π，k ∈Z ，则φ的最小值满足2φ+π3=2π，φ=5π6，故答案为：5π6．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线x 2﹣y 2＝4的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，△ABC 为等边三角形，则△ABC 的面积为 12√3 ．【分析】先求出双曲线x 2﹣y 2＝4的左顶点为A （﹣4，0），根据双曲线的对称性，设出B （x 1，y 1），C （x 1，﹣y 1）的坐标，根据，△ABC 是等边三角形得（x 1+2）2+y 12＝（﹣y 1﹣y 1）2，求出x 1和y 1的值，由此得BC ＝4√3，从而可以算出面积． 解：双曲线x 2﹣y 2＝4的左顶点为A （﹣2，0），根据双曲线的对称性， 可设B （x 1，y 1），C （x 1，﹣y 1）． 由△ABC 是等边三角形⇒AB ＝BC ，得： （x 1+2）2+y 12＝（﹣y 1﹣y 1）2， 又x 12﹣y 12＝4，∴x 12﹣2x 1﹣8＝0，∴x 1＝﹣2或x 1＝4 右支的范围是x ≥0，所以x 1＝4，从而y 1＝±2√3， 由此BC ＝4√3可以算出面积：S =√34×(4√3)2=12√3．故答案为：12√3．10．在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→，则AM →⋅AN →的取值范围是 [2，5] ．【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．解：建立如图所示的直角坐标系，则B （2，0），A （0，0），D （12，√32），设|BM|→|BC|→=|CN|→|CD|→=λ，λ∈[0，1]，M （2+λ2，√3λ2），N （52−2λ，√32），所以AM →⋅AN →=（2+λ2，√3λ2）•（52−2λ，√32）＝﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ＝﹣1， 所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]． 故答案为：[2，5]．11．在△ABC 中，AB +BC ＝4，AB cos A +BC cos C ＝1，则当角B 最大时，△ABC 的面积为√154．【分析】先利用余弦定理，将AB cos A +BC cos C ＝1化边，求出b 的值，然后根据a +c ＝4，再利用余弦定理，求出B 最大时的值，最后代入面积公式求解． 解：设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ．则已知条件为：a +c ＝4，c cos A +a cos C ＝1．由余弦定理得c ×b 2+c 2−a 22bc+a ×a 2+b 2−c 22ab=1，化简得b ＝1．结合a +c ＝4．所以cosB =a 2+c 2−b 22ac =(a+c)2−2ac−12ac =152ac−1①，因为ac ≤(a+c2)=4，当且仅当a ＝c 时取等号．∴152ac −1≥158−1=78． 根据余弦函数在（0，π）上递减，可知cosB =78，即sin B =√158时，B 最大．将cosB =78代入①式得：ac ＝4．∴S △ABC =12acsinB =12×4×√158=√154．故答案为：√154． 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆M ：（x +a +3）2+（y ﹣2a ）2＝1（a 为实数）．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为 −65≤a ≤0 ．【分析】从圆M 上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP ＝1，利用圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，可得|OM |≤2，进而得出答案．解：由题意，圆M ：（x +a +3）2+（y ﹣2a ）2＝1（a 为实数），圆心为M （﹣a ﹣3，2a ） 圆M 上任意一点Q 向圆O 作切线，切点为P ，∠PQO ＝30°， 所以x 2+y 2＝4与圆M 有交点1≤√(a +3)2+4a 2≤3，解得∴−65≤a ≤0，故答案为：−65≤a ≤0，13．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x +√3y +z ＝6，则x 3+y 2+3z 的最小值为374．【分析】利用换元法以及函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后利用二次函数的性质求解即可．解：设T ＝x 3+y 2+3z ，因为x +√3y +z ＝6，所以z ＝6﹣x −√3y ，∴T ＝x 3+y 2+18﹣3x ﹣3√3y ， 可得T ﹣y 2+3√3y ＝x 3+18﹣3x ，设f （x ）＝x 3+18﹣3x ，f ′（x ）＝3x 2﹣3， 令f ′（x ）＝0，可得x ＝±1，f ″（x ）＝6x ，f ″（1）＞0，f （1）＝16， ∵0＜x ＜1时，f （x ）是单调减函数，f （x ）≥16， 当x ＞1时，f （x ）单调增函数，∴f （x ）≥16，即T ﹣y 2+3√3y ≥16，T ≥y 2﹣3√3y +16，当y =3√32时，函数取得最小值374．此时3z ＞0．故答案为：374．14．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |−3x+a ﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为 {a |a =5+3√338或−95} ．【分析】令g （x ）＝0，化简函数g （x ）={2a −x −3x ，x ≤ax −3x，x ＞a，从而不妨设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，讨论当x ＞a 时，求得两根，x ≤a 时，①a ≤﹣1，②﹣1＜a ≤3，③a ＞3，运用等差数列的中项的性质，进而确定a 的值． 解：设f （x ）＝0，可得|x ﹣a |−3x+a ＝2，设g （x ）＝|x ﹣a |−3x +a ，h （x ）＝2，函数g （x ）={2a −x −3x ，x ≤ax −3x，x ＞a， 不妨设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3， 当x ＞a 时，f （x ）＝0，解得x ＝﹣1，x ＝3；①a ≤﹣1，∵x 2＝﹣1，x 3＝3，由等差数列的性质可得x 1＝﹣5， 由f （﹣5）＝0，解得a =−95，满足f （x ）＝0在（﹣∞，a ]上有一解．②﹣1＜a ≤3，f （x ）＝0在（﹣∞，a ]上有两个不同的解，不妨设x 1，x 2，其中x 3＝3， 所以有x 1，x 2是2a ﹣x −3x=2的两个解， 即x 1，x 2是x 2﹣（2a ﹣2）x +3＝0的两个解． 得到x 1+x 2＝2a ﹣2，x 1x 2＝3，又由设f （x ）＝0的3个根为x 1，x 2，x 3成差数列，且x 1＜x 2＜x 3，得到2x 2＝x 1+3，解得：a =5+3√338或5−3√338（舍去）；③a ＞3，f （x ）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a =5+3√338或−95．故答案为：{a |a =5+3√338或−95}．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．【分析】（1）取AB的中点P，连结PM、PB1推导出四边形PMNB1是平行四边形，从而MN∥PB1，由此能证明MN∥平面ABB1A1．（2）推导出BB1⊥面A1B1C1，从而面ABB1A1⊥面A1B1C1推导出B1C1⊥B1A1，从而B1C1⊥面ABB1A1，进而B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，推导出AB1⊥A1B，从而A1B ⊥面AB1N，由此能证明A1B⊥AN．【解答】证明：（1）取AB的中点P，连结PM、PB1，因为M、P分别是AB，AC的中点，所以PM∥BC且PM=12BC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N，且PM＝B1N．…所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，…而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1．…（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥面A1B1C1，又因为BB1⊂面ABB1A1，所以面ABB1A1⊥面A1B1C1，…又因为∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1，面ABB1A1∩面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥面ABB1A1，…又因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂面AB1N，所以A1B⊥面AB1N，…而AN⊂面AB1N，所以A1B⊥AN．…16．已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5，且△ABC的面积为9．（1）求AC；（2）当△ABC为锐角三角形时，求cos(2A+π6)的值．【分析】（1）有S△ABC=12AB×BC×sinB=9，又AB＝6，BC＝5，可得sin B，又B∈（0，π），可得cos B=±√1−sin2B，再利用余弦定理即可得出．（2）由△ABC为锐角三角形得B为锐角，可得AB＝6，AC=√13，BC＝5，可得cosA =2×6×13=13，又A ∈（0，π），可得sin A =√1−cos 2A ，可得sin2A ，cos2A ，再利用和差公式即可得出．解：（1）因为S △ABC =12AB ×BC ×sinB =9，又AB ＝6，BC ＝5，所以sinB =35，……… 又B ∈（0，π），所以cosB =±√1−sin 2B =±45，………当cos B =45时，AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcosB =√36+25−2×6×5×45=√13⋯⋯⋯当cos B =−45时，AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcosB =√36+25+2×6×5×45=√109所以AC =√13或√109．……… 注：少一解的扣（2）由△ABC 为锐角三角形得B 为锐角，所以AB ＝6，AC =√13，BC ＝5， 所以cosA =2×6×13=13， 又A ∈（0，π），所以sinA =√1−cos 2A =3√13，……… 所以sin2A =2×1313=1213，cos2A =(2√13)2−(3√13)2=−513，……… 所以cos(2A +π6)=cos2Acos π6−sin2Asin π6=−5√3−1226．………17．如图，河的两岸，分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB ⊥BC ，EF ⊥DF ，DF ⊥AB ，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得AB ＝3km ，BC ＝4km ，DF =94km ，FE ＝3km ，EC =32km ．若以OA ，OD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系xoy ，则河岸DE 可看成是曲线y =x+bx+a（其中a ，b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y ＝kx +m （其中k ，m 为常数）的一部分．（1）求a ，b ，k ，m 的值；（2）现准备建一座桥MN ，其中M ，N 分别在DE ，AC 上，且MN ⊥AC ，设点M 的横坐标为t ．①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式l ＝f （t ），并注明定义域； ②当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？【分析】（1）先求出D 、E 、A 、C 点的坐标，代入函数的解析式，从而求出a ，b ，k ，m 的值即可；（2）①先表示出M 点的坐标，问题转化为求M 到直线AC 的距离即可；②由基本不等式的性质求出最小值即可．解：（1）由题意得：OD ＝BC ＝4，OB ＝FC ，∴D （0，74），E （3，4），A （32，0），C （92，4），把D （0，74），E （3，4）代入y =x+bx+a得：{b a =743+b3+a=4，解得：a ＝﹣4，b ＝﹣7，把A （32，0），C （92，4）代入y ＝kx +m得：{32k +m =092k +m =4，解得：k =43，m ＝﹣2；（2）由（1）得：M 点在y =x−7x−4上， ∴M （t ，t−7t−4），t ∈[0，3]，①桥MN 的长l 为MN 到直线y =43x ﹣2的距离，故l ＝f （x ）=|4t−3(t−7)t−4−6|√3+4=15|4t +9t−4−9|，t ∈[0，3]；②由①得：f （t ）=15|4t +9t−4−9|=15|4（t ﹣4）+9t−4+7|， 而t ﹣4＜0，9t−4＜0，∴4（t ﹣4）+9t−4≤−2√4(t −4)⋅9t−4=−12， 当且仅当4（t ﹣4）=9t−4时即t =52“＝”成立， ∴f （t ）min =15|﹣12+7|＝1．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 2，B 1，分别是椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b＞0）的上、下顶点，线段B 1B 2长为2，椭圆的离心率为√32． （1）求该椭圆的方程；（2）已知过点E （0，12）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线MB 2与直线NB 1交于点T ．①若直线l 的斜率为12，求点T 的坐标；②求证点T 在一条定直线上，并写出该直线方程．【分析】（1）由短轴长及离心率和a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）①由（1）可得B 1，B 2的坐标，设直线MN 的方程，与椭圆联立求出M ，N 的坐标，求出直线MB 2，NB 1，再求两条直线的交点T 的坐标；②设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线MB 2，NB 1，再求两条直线的交点T 的坐标（x ，y ）与M ，N 的坐标的关系，由两根之和及两根之积代入可得，y−1y+1=13，解得y ＝2．即T 在直线y ＝2上．解：（1）由题意可得：2b ＝2，e =c a =√32，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 24+y 2＝1；（2）①由（1）可得B 2（0，1），B 1（0，﹣1），设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由题意可得直线l 的方程为：y =12（x +1），联立直线与椭圆的方程{y =12(x +1)x 24+y 2=1，整理可得：2x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1=−1+√72，x 2=√7−12，x 1x 2=−32，直线MB 2：y =12x 1−12x 1x ﹣1，直线NB 1：y =12x 2+32x 2x ﹣1，所以{y =(12−12x 1)x +1y =(12+32x 2)x −1解得x =4x 1x 23x 1+x 2=−6−2−7=2√7−4，y ＝2， 所以T 的坐标为（2√7−4，2）， ②设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{y =kx +12x 24+y 2=1整理可得（1+4k 2）x 2+4kx ﹣3＝0，x 1+x 2=−4k1+4k 2，x 1x 2=−31+4k 2， 直线B 2M ：y =y 1−1x 1x +1，B 1N ：y y 2+1x 2x ﹣1， 所以{y =y 1−1x 1x +1y =y 2+1x 2x −1可得y−1y+1=y 1−1x 1⋅x 2y 2+1， 而x 224+y 22＝1，∴（1+y 2）（1﹣y 2）=x 224，∴x 2y 2+1=4(1−y 2)x 2，所以y−1y+1=−4(y 1−1)(y 2−1)x 1x 2=−4(kx 1−12)(kx 2−12)x 1x 2=−4•k 2x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+14x 1x 2=−4⋅−3k21+4k2+2k 21+4k 2+14−31+4k2=13，所以y−1y+1=13，解得y ＝2．所以T 在定直线y ＝2．19．（16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n ＝2（S n +1﹣S n ）S n ﹣n （S n +1+S n ）（n ∈一、选择题*）．（1）若数列{a n }为等差数列，且b n ＝0，求数列{a n }的通项公式；（2）若a 1＝1，a 2＝3，且数列{a 2n ﹣1}的，{a 2n }都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b 2n ＜b 2n ﹣1的所有正整数的n 集合．【分析】（1）由b n ＝2（S n +1﹣S n ）S n ﹣n （S n +1+S n ）（n ∈N *），得b n ＝2a n +1S n ﹣n （2S n +a n +1），由b n ＝0，得(d 2−d)n 2+(3a 1d −d 2−2a 1)n +2a 12−a 1d ﹣a 1＝0对一切n ∈N *都成立，由此能求出a n ＝0或a n ＝n ．（2）由题意得a 2n+1=2n ，a 2n =3×2n−1，S 2n =2n −1+3(2n −1)=4×2n ﹣4，从而推导出b 2n ﹣b 2n ﹣1=22n−1+8−2n (5n +52)，设f （n ）＝2n [12×2n −(5n +52)]+8，记g （n ）=12×2n −(5n +52)，则g （n +1）﹣g （n ）=12×2n −5，由此能求出满足条件的正整数n 的集合．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n +1＝a 1+nd ，S n =na 1+n(n−1)2d ， 由b n ＝2（S n +1﹣S n ）S n ﹣n （S n +1+S n ）（n ∈N *）， 得b n ＝2a n +1S n ﹣n （2S n +a n +1）， ∵b n ＝0，∴2(a 1+nd)[na 1+n(n−1)2d]−n[2na 1+n(n −1)d +a 1+nd]=0对一切n ∈N *都成立，即(d 2−d)n 2+(3a 1d −d 2−2a 1)n +2a 12−a 1d ﹣a 1＝0对一切n ∈N *都成立， 令n ＝1，n ＝2，解得a 1＝d ＝0或a 1＝d ＝1， 经检验，符合题意， ∴a n ＝0或a n ＝n ．（2）由题意得a 2n−1=2n ﹣1，a 2n =3×2n−1， S 2n =2n −1+3(2n −1)=4×2n ﹣4， S 2n +1＝S 2n +a 2n +1＝4×2n ﹣4+2n ＝5×2n ﹣4， b 2n ＝2a 2n +1S 2n ﹣2n （2S 2n +a 2n +1）＝2×2n ×（4×2n ﹣4）﹣2n （8×2n ﹣8+2n ） ＝2n +1（2n +2﹣9n ﹣4）+16n ，b 2n ﹣1＝2a 2n S 2n ﹣1﹣（2n ﹣1）（2S 2n ﹣1+a 2n ）＝6×2n ﹣1×（5×2n ﹣1﹣4）﹣（2n ﹣1）（10×2n ﹣1﹣8+3×2n ﹣1） ＝2n ﹣1（30×2n ﹣1﹣26n ﹣11）+16n ﹣8，b 2n ﹣b 2n ﹣1＝2n +1（2n +2﹣9n ﹣4）+16n ﹣[2n ﹣1（30×2n ﹣1﹣26n ﹣11）+16n ﹣8] =2n (2n−1−5n −52)+8=22n−1+8−2n (5n +52)，设f （n ）=22n−1+8−2n (5n +52)，即f （n ）＝2n [12×2n −(5n +52)]+8，记g （n ）=12×2n −(5n +52)，则g （n +1）﹣g （n ）=12×2n+1−(5n +152)−12×2n +5n +52=12×2n−5，当n＝1，2，3时，g（n+1）﹣g（n）＜0，当n∈N*时，n≥4，g（n+1）﹣g（n）＜0，∵n＝1时，g（1）=−132＜0，∴g（4）＜0，且g（6）=−12＜0，g（7）=532＞0，∴f（n）=2n[12×2n−(5n+52)]+8在n≥7（n∈N*）时，是单调递增函数，f（1）＝﹣5＜0，f（2）＝﹣34＜0，f（3）＝﹣100＜0，f（4）＝﹣224＜0，f（5）＝﹣360＜0，f（6）＝﹣24＜0，f（7）＝3400＞0，∴满足条件的正整数n的集合为{1，2，3，4，5，6}．20．（16分）已知函数f（x）＝（x+l）lnx+ax（a∈R）．（1）若y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y+b＝0，求实数a，b的值；（2）证明：当a＜﹣2时，y＝f（x）在（0，+∞）上有两个极值点；（3）设g（x）＝|f（x）|1xe，若g（x）在[1，e]上是单调减函数（e为自然对数的底数），求实数a的取值．【分析】（1）对函数f（x）求导，通过切线的斜率k＝f'（1）＝﹣1可求出a的值，把切点（1，a）代入切线方程可求出b的值；（2）令g（x）＝f'（x），则原问题转化为g（x）在（0，+∞）上有两个变号零点，再对g（x）求导，判断其在（0，+∞）上的单调性，然后结合零点存在定理证明，难点是找到端点值g（e﹣a﹣1）和g（e a﹣1）；（3）先将函数g（x）整理成g(x)=|(x+1)lnx+ax|⋅1xe x=|(1+1x)lnx+a|⋅1e x，x∈[1，e]，令h(x)=(1+1x)lnx+a，通过求导、换元和构造函数可证明函数h（x）在[1，e]上单调递增．然后分①h（1）＝a≥0，②h(e)=1+1e+a≤0和③−e+1e＜a＜0三类情况，分别讨论在满足g （x ）在[1，e ]上是单调减函数的情形下，a 的取值范围，在每一步讨论的过程中用到了构造函数、参变分离、零点存在定理等方法．解：（1）f′(x)=lnx +x+1x+a ，k ＝f '（1）＝2+a ＝﹣1，∴a ＝﹣3， ∵切点（1，a ）在直线x +y +b ＝0上，∴1+a +b ＝0，∴b ＝2． 故a ＝﹣3，b ＝2．（2）f′(x)=lnx +x+1x +a =lnx +1x+1+a ， 令g(x)=lnx +1x+1+a ，问题等价于g （x ）在（0，+∞）上有两个变号零点，∴g′(x)=1x −1x 2=x−1x2， 当0＜x ＜1时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增．∴g （x ）min ＝g （1）＝2+a ＜0， 而g （e﹣a ﹣1）＝e a +1＞0，g （e a ﹣1）＝2a +e 1﹣a ＞2a +（1﹣a ）2＝1+a 2＞0，∴g （x ）在（e a ﹣1，1）和（1，e ﹣a ﹣1）上各有一个变号零点，即y ＝f （x ）在（0，+∞）上有两个极值点．（3）g(x)=|(x +1)lnx +ax|⋅1xe x =|(1+1x )lnx +a|⋅1ex ，x ∈[1，e ]， 令h(x)=(1+1x)lnx +a ，则h′(x)=−1x 2lnx +1x (1+1x )=1x (1+1x +1x ln 1x )令t =1x ∈[1e，1]，∴1+1x +1x ln 1x =1+t +tlnt =H(t)，∴H '（t ）＝1+lnt +1＝2+lnt≥1＞0，∴H （t ）在[1e ，1]上单调递增，∴H （t ）＞H(1e )=1+1e −1e=1＞0，∴h '（x ）＞0，即h （x ）在[1，e ]上单调递增．①当h （1）＝a ≥0时，g(x)=e −x [(1+1x)lnx +a]，∵g（x）在[1，e]上是单调减函数，∴g′(x)=−(1+x+x2)lnx−ax2+x+1x2e x≤0，令u（x）＝﹣（1+x+x2）lnx﹣ax2+x+1，则u′(x)=−(1+2x)lnx−1x−(2a+1)x＜0恒成立，∴u（x）在[1，e]上单调递减，∴u（x）max＝u（1）＝﹣a+2≤0，解得a≥2．②当h(e)=1+1e +a≤0即a≤−e+1e时，g(x)=−(1x+1)lnx+ae x，由①知g′(x)=−u(x) x2e x，∵函数g（x）在[1，e]上是单调减函数，∴u（x）＝﹣（1+x+x2）lnx﹣ax2+x+1≥0对∀x∈[1，e]恒成立，即a≤1x+1x2−(1x2+1x+1)lnx对∀x∈[1，e]恒成立，令φ（x）=1x+1x2−(1x2+1x+1)lnx，x∈[1，e]，∴φ'（x）=−3x3−2x2−1x+(2x3+1x2)lnx≤−3x3−2x2−1x+(2x3+1x2)(x−1)=−5x3−1x2＜0，∴φ（x）在[1，e]上单调递减，故φ（x）min＝φ（e）=1e+1e2−(1e+1e2+1)lne=−1，∴a≤φ（x）min＝﹣1，又a≤−e+1e，∴a≤−e+1e=−1−1e．③若−e+1e＜a＜0，h(x)=(1+1x)lnx+a，由前知h（x）在[1，e]上单调递增，∵h(1)⋅h(e)=a(a+1+1e)＜0，∴存在唯一的x0∈（1，e）使h（x0）＝0，此时g（x0）＝0，而g（1）＞0，g（e）＞0，∴g（x）在[1，e]上不单调，舍去，综上所述，实数a的取值范围为(−∞，−1−1e]∪[2，+∞)．。

2020年江苏省新海高中、昆山中学、梁丰高中高考数学模拟试卷（5月份）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知集合{1A =-，0，2}，{1B =-，1，2}，则A B =U ． 2．（5分）已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为 ．3．（5分）为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，已知在[50，100)中的频数为160，则n 的值为 ．4．（5分）如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是10，则输出S 的值是 ．5．（5分）已知{1m ∈-，0，1}，{2n ∈-，2}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=的斜率为正值的概率是 ．6．（5分）已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为 ．7．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，7193()S a a =+，则54a a 的值为 ． 8．（5分）将函数sin(2)3y x π=+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，恰好得到函数的sin 2y x =的图象，则ϕ的最小值为 ．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ∆为等边三角形，则ABC ∆的面积为 ． 10．（5分）在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =u u u u u u r u u u u u ru u u u u r u u u u u r ，则AM AN u u u u r u u u r g 的取值范围是 ． 11．（5分）在ABC ∆中，4AB BC +=，cos cos 1AB A BC C +=，则当角B 最大时，ABC ∆的面积为 ．12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，圆22:(3)(2)1(M x a y a a +++-=为实数）．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得30OQP ∠=︒，则a 的取值范围为 ． 13．（5分）已知0x >，0y >，0z >，且36x y z ++=，则323x y z ++的最小值为 ． 14．（5分）已知函数3()||2f x x a a x=--+-有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB AA =，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点．求证：（1）//MN 平面11ABB A ； （2）1AN A B ⊥．16．（14分）已知在ABC ∆中，6AB =，5BC =，且ABC ∆的面积为9． （1）求AC ；（2）当ABC ∆为锐角三角形时，求cos(2)6A π+的值．17．（14分）如图，河的两岸，分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB km =，4BC km =，94DF km =，3FE km =，32EC km =．若以OA ，OD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系xoy ，则河岸DE 可看成是曲线x by x a+=+（其中a ，b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y kx m =+（其中k ，m 为常数）的一部分． （1）求a ，b ，k ，m 的值；（2）现准备建一座桥MN ，其中M ，N 分别在DE ，AC 上，且MN AC ⊥，设点M 的横坐标为t ．①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并注明定义域； ②当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点2B ，1B ，分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点，线段12B B 长为23． （1）求该椭圆的方程；（2）已知过点E 1(0,)2的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线2MB 与直线1NB 交于点T ．①若直线l 的斜率为12，求点T 的坐标；。

2 1 - 1 163 2 2 2 2019—2020 学年第二学期 5 月调研测试参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．{ 2，0} 2．5+12i 3．5 4．17 5.91 6．- π7．12 8． 25 56 9．337 10． 3 + 211. 12 18 + 12 12. 3 13.14.( 1 + 1 , 2 ) U {1 + 5} 2 e 6 3 e 6二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）∵ m ∥ n ，∴ c cos B = (4a - b ) cos C ， ........................................................ 2 分由正弦定理，得sin C cos B = (4sin A - sin B ) cos C ，化简，得sin(B + C ) = 4sin A cos C ﹒ ........................................ 4 分 ∵ A + B + C = p ，∴ sin A = sin(B + C ) ﹒又∵ A ∈(0, p ) ，∵sin A > 0 ，∴ cos C = 1． ................................6 分 4（2）∵ C ∈(0, p ) ， cos C = 1，∴sin C = 4 = = 15 ． 4∵ S = 1 ab sin C = 15，∴ ab = 2 ﹒① ..................................... 9 分2 4∵ c = ，由余弦定理得3 = a 2 + b 2 - 1ab ，2∴ a 2 + b 2 = 4 ，② ..................................................... 12 分 由①②，得 a 4 - 4a 2 + 4 = 0 ，从而 a 2 = 2 ， a = ± （舍负），所以b = ，∴ a = b = ． ....................................................... 14 分16．证明：（1）连结 AC 1 ，设交 A 1C 于点O ，连结OD ．∵四边形 AA 1C 1C 是矩形，∴ O 是 AC 1 的中点． ............................ 2 分在△ ABC 1 中， O ， D 分别是 AC 1 ， AB 的中点，∴ OD ∥ BC 1 ． ........................................................ 4 分又∵ OD ⊂ 平面 A 1CD ， BC 1 ⊄ 平面 A 1CD ，∴ BC 1 ∥平面 A 1CD ． ............................................... 6 分 （2）∵ CA = CB ， D 是 AB 的中点，∴ CD ⊥ AB ﹒又∵在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，底面 ABC ⊥侧面 AA 1B 1B ，交线为 AB ，22 1 - cos 2 C1= = πCD ⊂ 平面 ABC ，∴ CD ⊥ 平面 AA 1B 1B ﹒ ................................ 8 分∵ AP ⊂ 平面 A 1B 1BA ，∴ CD ⊥ AP ． ....................................9 分∵ BB = 2BA ， BB = AA ， BP = 1BB ，1 1 14 1∴ BP =2 = AD ， ∴ Rt △ ABP ∽ Rt △ A AD ，BA 4 AA 1从而∠ AA 1D =∠ BAP ，所以∠ AA 1D +∠ A 1 AP =∠ BAP +∠ A 1 AP = 90︒ ，∴ AP ⊥ A 1 D ． ....................................................... 12 分又∵ CD A 1 D = D ， CD ⊂ 平面 A 1CD ， A 1D ⊂ 平面 A 1CD∴ AP ⊥ 平面 A 1CD ． .................................................. 14 分16. 解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为 S 1, S 2 ．方案①设 AE = x ，则 S 1 = ⨯(30 - x ) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分21 ⎡ x + (30 - x )⎤2≤ 2 ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ 225（当且仅当 x 15 时，“=”成立）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分 2方案②设∠BAE =θ，则 S = 100 sin θ(1+ cos θ),θ∈⎛ 0,π⎫ ． ．．．．．．．．．．．．．．．．8 分2 2 ⎪⎝ ⎭由 S ' = 100 (2 cos 2 θ+ cos θ-1) = 0 得， cos θ= 1（ cos θ= -1 舍去）．．．．．．．．．．10 分22因为θ∈⎛ 0,π⎫，所以θ= π，列表： 2 ⎪ 3⎝ ⎭θ⎛ 0,π⎫ 3 ⎪ ⎝ ⎭π3⎛π,π⎫3 2 ⎪ ⎝ ⎭' S 2 +0 -S 2极大值所以当θ=时， (S 2 ) 3max= 75 ． ．．．．．．．．．．．．．12 分3 14 2 22225因为2< 75π ，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE =．3答：方案①，②苗圃的最大面积分别为225m2 , 75 3m2 ，建苗圃时用方案②，且2π∠BAE=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分3【注：不作答，不写单位分别扣1 分】18．解：（1） x+y= 14 2…………4 分（i）设直线PQ 的斜率为k，则其方程为y =kx(k > 0) ．⎧y =kx⎪2由⎨x2⎪⎩ +y2=得x =±．....................................... 6 分1+ 2k 2记u =，则P(u, u k ), Q(-u, -uk ), E(u, 0) ．1+ 2k 2于是直线QG 的斜率为k 2⎧y =k(x -u),，方程为 y =k(x -u) ．2⎪ 2 2 22 2 2由⎨x2 y2 得(2 +k )x -2uk x +k u - 8 = 0 ．①⎪+= 1⎪⎩42设G(x G , y G ) ，则-u 和x G 是方程①的解，故 x G = u(3k 2 + 2)2 +k 2uk 3，由此得y G =2 +k 2．…………8 分uk 32 +k 2-uk =-1从而直线PG 的斜率为u(3k 2 + 2) k．2 +k 2-u所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． ............................. 10 分（ii）由（i）得| PQ |= 2u | PG |=2 +k 2，所以△PQG 的面积S =1| PQ‖PG |=8k(1 +k 2)8(1+k)=k ． .................... 12 分2 (1 + 2k 2 )(2 +k 2 ) 1+ 2( 1 +k)2k31+k22uk k 2 +111 21 设 t =k + k，则由 k >0 得 t ≥2，当且仅当 k =1 时取等号．因为 S = 8t1 + 2t 2在[2，+∞）单调递减，所以当 t =2，即 k =1 时，S 取得最大值，最大值 为16 ．因此，△PQG 面积的最大值为16． ............................ 16 分 9 919. 解：（1） f ' (x ) = 3x 2 - 6x + a = 3(x - 1) 2 + a - 3.当 a ≥ 3 时， f ' (x ) ≥ 0 ，所以 f (x ) 的单调增区间为(-∞,+∞) ,无减区间；当 a < 3 时，令 f ' (x ) > 0 ，得 x < 1 -或 x > 1 + ,所以 f (x ) 的单调增区间为(-∞,1 -3 - a ) 和(1 + 3 3 - a,+∞) ，减区间为(1 - 33 - a ,1 + 3 3 - a ) . 3 综上：当 a ≥ 3 时， f (x ) 的单调增区间为(-∞,+∞) ,无减区间当 a < 3 时， f (x ) 的单调增区间为(-∞,1 -3 - a ) 和(1 + 3 3 - a ,+∞) ， 3减区间为(1 -3 - a ,1 + 3 3 - a ) ...............................................4 分 3(2)因为 f (x ) 的两个极值点 x ，x ，由（1）知，当 a < 3 时，a = -3x 2 + 6x ，a = -3x 2 + 6x ，121122且 x 1 = 1 -，x 2 = 1 +，则 x 1 + x 2 = 2，x 1 x 2 = a ，因此0 < x 1 < 1 < x 2 < 2 ，所以0 < a < 3 ............................................................................................................. 6 分 ①因为 f (x ) 在[0, x 1 ]，[x 2 ,2] 上单调递增，在[x 1 , x 2 ] 上递减， 所以 f (x 1 ) > f (0) = 0, f (x 2 ) < f (2) = 2a - 4 . 由 于 f (x ) + f (x ) = x 3 - 3x 2 + ax + x 3 - 3x 2 + ax12111222= (x 1 + x 2 )(x 2 - x 1 x 2 + x 2 ) - 3[(x 1 + x 2 ) 2- 2x 1 x 2 ] + a (x 1 + x 2 )= (x 1 + x 2 )[(x 1 + x 2 ) 2 - 3x 1 x 2 ] - 3[(x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 ] + a (x 1 + x 2 )= 2(22 - 3a ) - 3(22 - 2a ) + 2a = 2a - 4 = f (2)即 f (x 1 ) + f (x 2 ) = f (2) ........................................................................................ 10 分②因为函数 g (x ) =| f (x ) | - | f (x 1 ) | 在区间[0，2]上有且只有一个零点，所以 y =| f (x ) | 在3 - a33 - a 3 3 - a 33 - a3区间[0，2]上只有唯一的最大值| f (x 1 ) |= f (x 1 ) .......................................................... 12 分⎧ f (x 2 故由⎨ ) ≥ 0 ⎧ f (x 2 ) < 0 （由①知不成立，故舍去）或⎪f (x ) > f (2) ⎧ f (x 2 （即⎨ ) < 0 ） f (x ) > f (2) ⎨ 1 2a - 4 > 0 ⎩ 1 ⎪ f (x ) > - f (x )⎩ ⎩ 12 由 f (x ) = -2x3 + 3x 2 < 0 ，解得 3 < x < 2 ，代入 a = -3x 2+ 6x ，得0 < a < 9 ,2 2 2 2 2 2 24由 2a - 4 > 0 ，得 a > 2 ，所以 2 < a < 9 ................................................................16 分4【注：①中还可以用降次的方法处理】 20.解：（1）因为a 1 = 1, q = 2 ，所以 S n = 2n- 1 ， ......................... 1 分 假设{a n }是否为 D (2)为数列，则当 n ＞2 时，则 S n +2 + S n -2 = 2(S n + S 2 ) 成立，但n = 3 时， S 5 + S 1 = 32 , 2(S 3 + S 2 ) = 20 ， S 5 + S 1 ≠ 2(S 3 + S 2 ) ，所以假设不成立， {a n }不是为 D (2)为数列 ................................................... 3 分 (2) 设{a n }的公差为 d ，则 a n = 1 + (n - 1)d ，因为{a n }是“D (3)数列”，则∀n > 3, S n +3 + S n -3 = 2(S n + S 3 )即a n +1 + a n +2 + a n +3 - (a n -2 + a n -1 + a n ) = 2S 3 ，所以 9d =2(3+3d )，即 d =2 ..................................................................................................... 7 分 (3) 数列{a n }既是“D (2)数列”，又是“D (3)数列”，⎧∀n > 2, S n +2 + S n -2 = 2(S n + S 2 ) ① 所以⎨⎩∀n > 3, S n +3 + S n -3 = 2(S n + S 3 ) ②②-①得： ∀n > 3, a n +3 - a n -2 = 2a 3 ，⎧∀n > 3, S n +3 + S n -1 = 2(S n +1 + S 2 ) ③ ⎨⎩∀n > 4, S n +4 + S n -2 = 2(S n +1 + S 3 ) ④④-③得： ∀n > 4, a n +4 - a n -1 = 2a 4 ， ....................................... 9 分又③-①得： ∀n > 3, a n +3 + a n -1 = 2a n +1 ，④-②得： ∀n > 4, a n +4 + a n -2 = 2a n +1 ， ..................................... 11 分所以 a n -1, a n +1, a n +3 成等差数列，设公差为 d 1， a n -2 , a n +1, a n +4 成等差数列，设公差为 d 2因此 a n +3 = a n +1 + d 1 ， a n +4 = a n +1 + d 2⎩ 1 c d 1 1 2 c d 2 2 所以 a n +4 - a n +3 = d 2 - d 1 = a n -1 - a n -2 对 n >3 恒成立，即{a n }(n ≥ 2) 成等差数列，设公差为 d ， 在（1）（2）中分别取 n =3,n =4 得：⎧2a 2 - 4d = -2⎨4a - 7d = -2，解得a 2 = 3, d = 2 ，所以a n = 2n - 1......................................... 16 分附加题答案21．解：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α ＝ ⎡1⎤可得，⎡3 3⎤ ⎡1⎤ ＝6 ⎡1⎤ ，1 ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 即 c + d = 6 ，……3 分由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为α ＝ ⎡3⎤，2 ⎢ ⎥⎣ ⎦可得⎡3 3⎤ ⎡3⎤ ＝ ⎡3⎤，即3c - 2d = -2 ， ……6 分⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎧ c = 2 ⎡33⎤ 解得⎨d = 4 ，即 A ＝ ⎢24⎥ ， ……10 分 ⎩ ⎣ ⎦B.解：（1）由ρsin(π－θ)，得ρθ－1sin θ)－13 2 2 2 2 2 2 2化简得 y= 3x － 3，所以直线 l 的直角坐标方程是 y= 3x － 3． ............... 2 分由 x 2 y 2 2 2 x 2 y 2( ) +( 2 ) =cos t +sin t =1，得椭圆 C 的普通方程为 3y= 3x － 3，+ =1．..................... 4 分 4 3 x 2 y 2消去 y ，得x 2+(x －1)2=1， + =1， 4 3 化简得 5x 2－8x =0，解得 x 1=0，x 2=8， ....................................... 8 分5所以 A (0，－ 3)，B (8，，5 则 AB =16． ........................................ 10 分5C.证明：因为 a + b + c = 1，所以(a +1)2+ (b +1)2+ (c +1)2= a 2+ b 2+ c 2+2 (a + b + c ) + 3 = a 2+ b 2+ c 2+ 5 ．2 4→ 所以要证明(a +1)2+ (b +1)2+ (c +1)2≥16， 3即证明 a 2 + b 2 + c 2≥1． .............................................. 5 分3因为 a 2+ b 2+ c 2= (a + b + c )2-2(ab + bc + ca ) ≥ (a + b + c )2- 2 (a 2+ b 2+ c2) ，所以3(a 2 +b 2 +c 2 )≥(a + b + c )2．a 2 +b 2 +c 2≥1因为a +b +c = 1，所以 3 ． 所以(a + 1)2 + (b + 1)2 + (c + 1)2≥16 ． ................................................................ 10 分3→ → →23．解：⑴以{CD ，CB ， CE }为正交基底，建立如图空间直角坐标系 C －xyz ，则 D ( 2，0，0)，F ( 2， 2，1)，E (0，0，1)，B (0， 2，0)，C (0，0，0)，→ → 所以DF ＝(0， 2，1)， BE ＝(0，– 2，1)， ........... 2 分从而 → → –1 1 cos<DF ， BE >＝ ＝－ 3⨯ 3． ……………………4 分 z3 E所以直线 DF 与 BE 所成角的余弦值为1． ............. 5 分3F(2)平面 ADF 的法向量为 m ＝CD ＝ ( 2，0，0).……………6 分 CBy→设面 BDF 的法向量为 n = (x ，y ，z )．又BF ＝( 2，0，1)． DA→ →x 由 n · DF ＝0，n · BF ＝0，得 2y ＋z ＝0， 2x ＋z ＝0， 取 x ＝1，则 y ＝1，z ＝– 2，所以 n = (1，1，－ 2)， ....................... 8 分所以 cos<m ，n >＝ 2 ＝1．4⨯ 2 2ππ又因为<m ，n >∈[0，]，所以<m ，n >＝ ．23π所以二面角 A – DF – B 的大小为 ． ....................................10 分 3y ＋1 x 2＋123．解：（1）因为 k 1＝2，所以 0 ＝ 0x 0 x 0＝2，解得 x 0＝1，y 0＝1，所以 P 1 的坐标为(1，1)． ············· 2 分 y ＋1 x 2＋1（2）设 k 1＝2p (p ∈N *)，即＝x 0x 0＝2p ，所以 x 2－2px ＋1＝0，所以 x ＝p ± p 2－1． ··············· 4 分x nny n ＋1 x 2n ＋1 n 10 0 因为 y ＝x 2，所以 k ＝ ＝ ＝x ＋ ， 0 0 nn0 n 0 n 0所以当 x 0＝p ＋ p 2－1时，k n ＝(p ＋ p 2－1)n ＋( 1)n ＝(p ＋ p 2－1)n ＋(p － p 2－1)n ． ······ 6 分p ＋ p 2－1同理，当 x 0＝p － p 2－1时，k n ＝(p ＋ p 2－1)n ＋(p － p 2－1)n ． m①当 n ＝2m (m ∈N *)时， k n ＝2 ∑ C 2k p n －2k (p 2－1)k ，所以 k n 为偶数． k =0 m②当 n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2 ∑ C 2k p n －2k (p 2－1)k ，所以 k n 为偶数． k =0综上， k n 为偶数． ·························· 10 分 ：x x。

江苏省新海高级中学、昆山中学、梁丰高级中学三校2020届五月高考模拟联考数学Ⅰ命题单位: 连云港市新海高级中学 昆山市昆山中学 张家港市梁丰高级中学2020年5月一．填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．． 。

1. 已知集合A = {-1，0，2}, B ={-1，1，2}，则A U B = ▲ ．2. 已知复数z 满足(1 + i ) = 2i ，其中i 是虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在[50,150]中，其 频率分布直方图如图所示，已知在[50，100)中的频数为160，则n 的值为 ▲ ．4. 如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为 ▲ ．5. 已知m ∈{-1,0,1}, n ∈{-2,2},若随机选取m , n , 则直线mx +ny +1=0的斜率为正值的概率是 ▲ ．6. 已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为23,则该直四棱柱的侧面积为 ▲ ．7. 设S 是等差数列{a n }的前n 项和, S 7=3(a 1+a 9),则a 5a 4的值为 ▲ ． 8. 将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 的图象向左平移ϕ (ϕ＞0) 个单位后, 恰好得到函数的y = sin2x 的图象, 则 ϕ 的最小值为 ▲ ．9. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A 为双曲线x 2－y 2 = 4的左顶点, 点B 和点C 在双曲线的右支 上, △ABC 是等边三角形, 则△ABC 的面积为 ▲ ．10. 在平行四边形ABCD 中, ∠A = π3 , 边AB 、AD 的长分别为2、1, 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点且满足|BM ||BC | ＝ |CN ||CD |, 则AM →·AN →的取值范围是 ▲ ．11. 在△ABC 中, AB +BC =4, AB cos A + B C cos C =1,则当角B 最大时, △ABC 的面积为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系xOy 中,圆O: x 2＋y 2=1, 圆M : (x ＋a ＋3)2+(y －2a )2=1(a 为实数). 若圆O 与圆M 上分别存在点P ,Q ,使得∠OQP =30°, 则a 的取值范围为 ▲ ． 13. 已知x >0, y >0,z >0, x +3y +z =6,则x 3+y 2+3z 的最小值为 ▲ ．14. 已知函数f (x )＝||x －a －3x+a －2有且仅有三个零点, 且它们成等差数列, 则实数a 的取值集合为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内．．．．．．．．．作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步驟． 15. (本小题满分14分)如图, 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ∠ABC =90°, AB =AA 1, M , N 分别是AC , B 1C 1的中点． 求证: (1) MN ∥平面ABB 1A 1; (2) AN ⊥A 1B ．16. (本小题满分14分)已知在△ABC 中, AB = 6, BC = 5且△ABC 的面积为9． (1) 求AC 的长度;(2) 当△ABC 为锐角三角形时, 求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．17. (本小题满分14分)如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB ⊥BC ，EF ⊥DF ，DF ⊥AB ，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得AB = 3km ，BC =4km ，DF = 94 km ，FE =3km ，EC =32km .若以OA ,OD 所在直线分别为x , y 轴建立平面直角坐标系xoy ，则河岸DE 可看成是曲线y = x +bx +a（其中a ，b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y = kx +m （其中k ，m 为常数）的一部分.（1）求a ，b ，k ，m 的值；（2）现准备建一座桥MN ，其中M ,N 分别在DE ,AC 上，且MN ⊥AC ，设点M 的横坐标为t . ① 请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式l= f (t )，并注明定义域；N（第15题）AB C A 1B 1C 1M② 当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，点B 2，B 1，分别是椭圆 x 2a 2＋y 2b2=1 (a >b >0)的上、下顶点，线段B 1 B 2长为2，椭圆的离心率为 32.(1) 求该椭圆的方程；(2) 已知过点E (0，12)的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线MB 2与直线NB 1交于点T .① 若直线l 的斜率为12，求点T 的坐标；② 求证点T19. (本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，设数列{b n }满足b n =2(S n +1－S n ) S n －n (Sn +1＋S n )( n ∈N *). (1) 若数列{a n }为等差数列，且b n =0，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a 1=1，a 2=3，且数列{ a 2n -1}，{a 2n } 都是以2为公比的等比数列，求满足不等式 b 2n -1＜b 2n 所有正整数n 的集合.（第18题）（第17题）a20. (本小题满分16分)已知函数f (x )=(x +l)ln x +ax (a ∈R ).(1) 若y =f (x )在(1，f (1)处的切线方程为x +y +b =0，求实数a ，b 的值; (2) 证明:当a <－2时，y = f (x )在(0，+∞)上有两个极值点; (3) 设g (x )= | f (x )|1xe x，若g (x )在[1，e ]上是单调减函数(e 为自然对数的底数): 求实数a 的取值.江苏省新海高级中学、昆山中学、梁丰高级中学三校 2020 届 五 月 高 考 模 拟 联考数学Ⅰ参考答案及讲评2020 年 5 月 9 日一．填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70分.请把1. 已知集合 A = {-1，0，2},B ={-1，1，2}，则 A U B = ▲ ．2. 已知复数 z 满足(1 + i ) = 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的模为 ▲ ．3. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示，已知在[50，100)中的频数为 160，则 n 的值为 ▲ ．4. 如图所示的流程图，当输入 n 的值为 10 时，则输出 S 的值为 ▲ ．5. 已知 m ∈ {-1 , 0 ,1 }, n ∈ {-2 ,2 }, 若随机选取 m , n , 则直线 mx + ny +1=0 的斜率为正值的概率是 ▲ ．6. 已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形,侧面对角线的长为 2 3,则该直四棱柱的侧面积为 ▲ ．7. 设 S 是等差数列{a n }的前 n 项和, S 7 = 3(a 1 +a 9 ) , 则 a 54的值为 ▲ ． ⎛2x π⎫ 8. 将函数 f (x )＝sin ⎝ ＋3⎭ 的图象向左平移ϕ (ϕ＞0) 个单位后, 恰好得到函数的 y = sin2x 的图象,则 ϕ 的最小值为 ▲ ．39. 在平面直角坐标系 x Oy 中, 已知点 A 为双曲线 x 2－y 2 = 4 的左顶点, 点 B 和点 C 在双曲线的右支上, △ABC 是等边三角形, 则△ABC 的面积为 ▲ ．10. 在平行四边形 ABCD 中, ∠A =π, 边 AB 、AD 的长分别为 2、1, 若 M 、N 分别是边 BC 、CD 上|BM | |CN | → →的点且满足|BC | =|CD |, 则AM ·AN 的取值范围是 ▲ ．2233 66【答案】1.｛－1，0，1，2｝2.3. 100004. 545. 16. 167.7 8.5 π9. 12 10. [2，5]11. 在△ABC 中, AB + B C =4 , AB cos A + B C cos C =1 , 则当角 B 最大时, △ABC 的面积为 ▲．12. 在平面直角坐标系 x Oy 中,圆 O : x 2 ＋ y 2=1 , 圆 M : (x ＋ a ＋ 3) 2+(y － 2 a ) 2 =1(a 为实数). 若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P , Q , 使得∠ OQP = 3 0 °,则 a 的取值范围为 ▲．13. 已知 x >0 , y > 0 ,z >0 , x + 3y + z =6 , 则 x 3 +y 2+3z 的最小值为 ▲．214.已知函数f(x)＝|x－a| 3+a －2有且仅有三个零点, 且它们成等差数列, 则实数a的取值集合－x 为▲．二、解答题:本大题共 6小题,共计 90 分,请．作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟． 15. (本小题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中, ∠ABC =90°, AB =AA 1, M , N 分别是AC , B 1C 1 的中点． A 1求证: (1) MN ∥平面 A BB 1A 1; (2) AN ⊥A 1B ． B 1 N C 1B PCMA（第 15 题）16. (本小题满分 14 分)已知在△ABC 中, AB = 6, BC = 5 且△ABC 的面积为 9． (1) 求 AC 的长度;⎛2A π⎫(2) 当△ABC 为锐角三角形时, 求 c os ⎝ ＋6⎭的值．E C MNx+a17.(本小题满分14 分)如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F 三点共线，FD 与B A 的延长线交于点O，测得A B = 3km，BC=4km，DF=9km，FE=3km，34 EC=2 km.若以OA,OD 所在直线分别为x, y 轴建立平面直角坐标系xoy，则河岸DE 可看成是曲线y =x+b （其中a，b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y = kx+m（其中k，m 为常数）的一部分. （1）求a，b，k，m 的值；（2）现准备建一座桥MN，其中M,N 分别在DE,AC 上，且MN⊥AC，设点M 的横坐标为t.① 请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式l= f (t)，并注明定义域；② 当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？yFDO A B x（第17 题）18. (本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 B 2，B 1，分别是椭圆x 2 y 2a 2 ＋b 2 =1 ( a >b >0 )的上、下顶点，线段 B 1 B 2 长为 2，椭圆的离心率为 2 .(1) 求该椭圆的方程；(2) 已知过点 E (0 1)的直线 l 与椭圆交于 M ，N 两点，直线 M B 与直线 N B 交于点 T .，2 2 11① 若直线 l 的斜率为2 ，求点 T 的坐标； ② 求证点 T 在一条定直线上，并写出该直线方程.（第 18 题）yTB 2 E NOxMB 119.(本小题满分16 分)已知数列{a n}的前n项和为S n，设数列{b n}满足b n=2(S n+1－S n) S n－n (S n+1＋S n)( n∈N*).(1)若数列{a n}为等差数列，且b n=0，求数列{a n}的通项公式；(2)若a1=1，a2=3，且数列{ a2n-1}，{a2n} 都是以2 为公比的等比数列，求满足不等式b2n-1＜b2n所有正整数n 的集合.xe20. (本小题满分 16 分)已知函数 f (x ) =(x + l) ln x +ax (a ∈ R ).(1) 若 y =f (x )在(1，f (1)处的切线方程为 x +y + b =0， 求实数 a ，b 的值;(2) 证明:当 a <－2 时，y = f (x )在(0，+∞)上有两个极值点;(3) 设 g (x )= | f (x ) | 1 x ，若 g (x )在[1，e ]上是单调减函数(e 为自然对数的底数): 求实数 a 的取值.。

江苏省盐城市东台海丰中学2020年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知为平行四边形，若向量，，则向量为（A）（B）（C）（D）参考答案：C略2. 《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱参考答案：A【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．3. 函数的单调递减区间是( )A. B. C. D.参考答案：D4. （）A．1+2i B．1-2i C．2+i D．2-i参考答案：D5. 若（，i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A【分析】化简可得，根据两复数相等的原则，解出a，b，即可得结果【详解】由题意得，所以，所以，所以复数在复平面内对应的点为（3，-2）在第四象限【点睛】本题考查两复数相等的概念，即两复数实部与实部相等，虚部与虚部相等，属基础题。

6. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若，则角A等于A．B．C．D．参考答案：D∵，∴（a﹣b）（a+b）=c（c+b），∴a2﹣c2﹣b2=bc，由余弦定理可得cosA=∵A是三角形内角，∴A=故选D.7. 方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．k＞4 B．k=4 C．k＜4 D．0＜k＜4参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用椭圆的简单性质考查不等式求解即可．【解答】解：方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，即方程表示焦点在x轴的椭圆，可得4＞k＞0．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．8. 在△ABC中，AB=3，AC=2，D为BC的中点，则（）A．－5 B．C．D．5参考答案：B由题意，如图所示，根据平面向量的基本定理和数量积的运算，可得，故选B.9. 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，点H在棱A1A上，且HA1=1．点E，F分别为棱B1C1，C1C 的中点，P是侧面BCC1B1内一动点，且满足PE⊥PF．则当点P运动时，|HP|2的最小值是( )A．7﹣B．27﹣6C．51﹣14D．14﹣2参考答案：B考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，画出图形，结合图形，知GP最小时，HP取得最小值，求出此时GP的值即可．解答：解：以EF为直径在平面BCC1B1内做圆，该圆的半径为|EF|=，再过H引BB1的垂线，垂足为G，连接GP，∴HP2=HG2+GP2，其中HG为棱长4，因此当GP最小时，HP取得最小值，此时GP=3﹣；∴HP 2=+42=9﹣6+2+16=27﹣6；∴HP 2的最小值为27﹣6．如图所示故选：B点评：本题考查了空间位置关系与距离的求法问题，解题的关键是得出GP 最小时，HP 取得最小值，是较难的题目．10. 定义在上的奇函数满足：当时，，则在上方程的实根个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 参考答案： C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 命题“x 0∈R ，x 02+ 2x 0 +2≤0” 的否定是．参考答案：略12. 在抽查某产品的尺寸的进程中，将其尺寸分成若干组，是其中的一组，已知该组的频率为，该组的直方图的高为，则_______________________；参考答案：；13. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是 ．参考答案：14. 过点（3,0）且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点坐标为 .参考答案：15. 已知数列的前项和满足，则数列的通项公式________．参考答案：16. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20 -80 mg/1OOmL (不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL (含80)以上时,属醉酒驾车.据有关调査，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共100人.如图是对这100人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为有_____参考答案： 1517. 某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x 、y 满足，则该学校今年计划招聘教师最多人．参考答案：10【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可． 【解答】解：设z=x+y ，作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=x+y 得y=﹣x+z ， 平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点A 时， 直线y=﹣x+z 的截距最大，此时z 最大．但此时z 最大值取不到，由图象当直线经过整点E （5，5）时，z=x+y 取得最大值， 代入目标函数z=x+y 得z=5+5=10． 即目标函数z=x+y 的最大值为10． 故答案为：10．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。